等式的性质与解方程(1)

教学内容：用等式的性质（1）解方程课程标准：了解等式的性质，能用等式的性质解决简单的方程。

教材分析：这部分内容是在学生已学用方程表示简单情境中的数量关系的基础上，通过天平这一直观教具，让学生观察天平两侧都加上或减去相同的质量，天平仍然平衡，引导学生探索和发现“等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立”的等式性质，从而让学生利用等式的性质解简单的方程。

通过教学，使学生理解并掌握等式的性质，能运用等式的性质解决形如x±a=b的简单实际问题，使学生初步理解“方程”“方程的解”和“解方程”的含义。

前置基础：它是在学生学习了等式及方程的意义的基础上进行学习的。

后继地位：为后面学习解复杂方程作准备，在知识衔接上具有重要作用。

而这一节恰好在这一单元之中起着承上启下的作用。

核心知识点：理解等式的性质，用等式的性质解x+a =b或x-a =b 的方程教学目标：1、通过实验探索，使学生理解等式的性质，学会用等式性质解方程。

2、在观察、操作、讨论的过程中，掌握等式的性质，能灵活运用等式的性质解形如：x+a =b或x-a =b 的方程。

3、在教学活动过程中，培养积极的数学兴趣；在利用等式性质解决问题的过程中，体验方程的对称美和数学的严密性，培养学生良好的书写与检验习惯。

教学重难点：理解等式的性质，学会用等式性质解方程，检验方程。

教学过程：一、导入新课：１、师：课件出示主题图，提问：根据以上信息,你发现了什么？用数量关系式说说你的发现。

生：小金丝猴的质量+笼子的质量=500克生：x+150=500师：小金丝猴的质量是多少呢？学生说出答案。

师：刚才，这个同学说的是我们原来学过的方法，我们换一种思路来研究。

2、师：还可以怎样求未知数x呢？请大家一起借助天平来研究一下。

二、探究新知1、实验一：天平的一边放上2听相同的啤酒易拉罐，另一边放上1瓶啤酒，使天平平衡。

师：（1）天平两边平衡，说明了什么？2听啤酒＝1瓶啤酒。

《等式的性质与方程的解集》知识清单一、等式的性质1、等式的对称性如果 a ＝ b，那么 b ＝ a。

这意味着等式两边的元素可以相互交换位置，等式仍然成立。

例如：如果 5 ＋ 3 ＝ 8，那么 8 ＝ 5 ＋ 3。

2、等式的传递性如果 a ＝ b 且 b ＝ c，那么 a ＝ c。

这表明若两个等式依次成立，那么可以通过传递得到新的等式。

比如：已知 2 ＋ 3 ＝ 5，5 ＝ 1×5，那么 2 ＋ 3 ＝ 1×5。

3、等式的加（减）法性质如果 a ＝ b，那么 a ＋ c ＝ b ＋ c，a c ＝ b c。

即在等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。

举例来说：因为 7 ＝ 7，所以 7 ＋ 2 ＝ 7 ＋ 2，7 3 ＝ 7 3。

4、等式的乘（除）法性质如果 a ＝ b，且c ≠ 0，那么 ac ＝ bc，a÷c ＝ b÷c。

也就是说，等式两边同时乘以或除以同一个非零数，等式保持不变。

例如：若 6 ＝ 6，且2 ≠ 0，则 6×2 ＝ 6×2，6÷2 ＝ 6÷2。

二、方程的概念方程是含有未知数的等式。

例如：2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个方程，其中x 是未知数。

方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。

三、一元一次方程1、定义只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程叫做一元一次方程。

其标准形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中a ≠ 0，a、b 是常数）2、解法（1）去分母：在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。

（2）去括号：运用乘法分配律去掉括号。

（3）移项：将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要变号。

（4）合并同类项：将同类项合并，化简方程。

（5）系数化为 1：在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

例如：解方程 2(x 1) ＋ 3 ＝ 5去括号：2x 2 ＋ 3 ＝ 5移项：2x ＝ 5 3 ＋ 2合并同类项：2x ＝ 4系数化为 1：x ＝ 2四、二元一次方程1、定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。

《等式的性质和解方程》说课稿及反思（一）一、说教材方程式学生第一次接触，是学习列方程解决实际问题的基础，五年级上册已学习了用字母表示数。

教材让学生在具体情境中认识方程的意义，先教学等式，再教学方程的意义。

其实学生在数学学习中一直接触着等式，教材通过天平，呈现了两端质量相等与不等的三种情况，引导学生用等式和不等式分别表示两端的质量，并让学生判断这些式子哪些是等式，加深学生对等式的印象，为学生认识方程的意义后辨析方程和等式的关系打下基础。

但教材中只以天平作为方程概念的素材太过单一，所以本设计以9个材料感悟后形成的式子再进行分类，让学生在分类中辨析材料，聚类命名。

二、说学生分析在学习本内容以前，学生已近学习了用字母表示数，知道用字母表示数的价值，并能用含有字母的式子表示数量关系，为本课的学习打下了基础。

另外学生对天平也已经认识，而且能读懂天平两边的质量关系，也是学生用数学方式表达关系的基础。

本课采用分类研究的方法，学生可能之前没有这样研究的经验，所以如何二级分类可能有些困难，要做适当的指导。

方程的概念很容易掌握，但是其内涵和外延的挖掘及理解学生往往会走入误区，以为未知数只能用x表示等，让学牛经历一个完整的探究过程，从从具体的情境中提炼出数量关系，并用方程表示，逐步从具体走向抽象，体会方程是刻画现实世界中等量关系的数学模型，初步体验方程思想。

三、说教学目标1.使学生理解等式的概念,掌握等式的性质,并能用语言叙述。

会用等式的性质变形等式,并能对变形说明理由。

2.通过学习,帮助学生理解等式的性质,并熟练应用等式的性质解方程,为学习列方程解应用题做好准备。

3.通过学习等式的性质,体会由旧等式变为新等式的解题思想,并会利用等式的性质解方程。

4.培养学生的抽象思维能力,帮助学生养成检查和验算的良好习惯。

四、说教学重难点重点:建立等式的概念,掌握等式的性质并利用等式的性质解方程。

难点:利用等式的性质变形等式,提高解方程的正确率。

等式的性质与解法（知识点总结）等式在数学中起着非常重要的作用，它是研究方程、方程组和不等式等诸多数学问题的基础。

掌握等式的性质和解法对于学习数学以及解决实际问题都具有重要意义。

本文将对等式的性质和解法进行总结，帮助读者更好地理解和应用数学知识。

一、等式的基本性质1. 等式的传递性等式的传递性指的是，如果有一个等式a=b，b=c，那么可以得出a=c。

这是因为等式的两边是相等的，所以它们可以相互替代。

2. 等式的对称性等式的对称性表示如果有一个等式a=b，那么也可以得到b=a。

这是因为等式的两边是相等的，所以它们可以颠倒顺序。

3. 等式的反身性等式的反身性是指任何数与自身相等，即a=a。

这是显而易见的。

4. 等式的加法性等式的加法性指的是，如果等式a=b成立，则对于任意数c，a+c=b+c也成立。

即等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。

5. 等式的乘法性等式的乘法性与加法性类似，如果等式a=b成立，则对于任意数c，a×c=b×c也成立。

即等式的两边同时乘以或除以相同的数，等式仍然成立。

二、等式的解法在解方程和方程组时，我们需要运用等式的性质并采取适当的解法，以求得等式的解。

1. 移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法之一。

通过移动方程中的项，将未知数移到一个侧，常数移到另一个侧，从而求得方程的解。

2. 相消法相消法适用于含有分式的方程。

通过相消的方式去除方程中的分母，从而简化方程，进而解得未知数的值。

3. 代入法代入法适用于解二元一次方程组。

首先将一个方程解出其中一个未知数，然后代入另一个方程，求得另一个未知数的值。

4. 消元法消元法也适用于解二元一次方程组。

将两个方程相加或相减，通过消去一个未知数，从而将方程组化简成只含一个未知数的方程，然后解得未知数的值。

5. 因式分解法因式分解法适用于解一元二次方程。

通过将方程进行因式分解，然后得到每个因子为零时的解，从而求得方程的解集。

等式的性质与方程的解集练习题（1）1. 某旅游景点2019年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：∘C）的折线图如图，则（）A.1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月B.1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系C.最高气温与最低气温的差逐步减小D.最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系2. 下列解方程过程中，错误的是（）A.将10−2(3x−1)＝8x+5去括号，得10−6x+1＝8x+5B.由＝1，得＝100C.由-x＝3，得x＝-D.将3−去分母，得3−3(5x−1)＝2(x+2)3. 多项式a+5与2a−8互为相反数，则a＝（）A.−1B.0C.1D.24. 已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2−17x+66＝0的根，则第三边的长为（）A.6B.11C.6或11D.75. 关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4＝0有一个根为0，则m的值应为（）A.2B.−2C.2或−2D.16. 如果x2+Ax−27可分解因式为(x−3)(x+B)，则A、B的值是（）A.−6，−9B.6，9C.−6，9D.6，−97. 因式分解：x3−9x=________．8. 某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元，旅行团中每人的飞机票价按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在35人或35人以下，每张机票收费900元；若旅行团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过60人，则当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数为________．9. 已知函数f(x)=x|2x−a|−1有三个零点，则实数a的取值范围为________．10. 在实数范围内分解因式：________．11. 求3x3+x2+x−2除以x−2的商式与余数．12. （1）； 12.（2）．13. 已知函数f(x)=a sin x+b cos x，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f(x)=0}，B= {x|f(f(x))=0}，且A=B．（1）证明：b=0；（2）求a的最大值．14. 化简或求值．（1）b √a 3⋅√ab 3a √b 2√ab3>0,b >0)；（2）(214)12+0.1−2−(278)13+π0．15. 已知集合M ={(x, y)|0≤y ≤√4−x 2, 且x +y −2≤0}， (1)在坐标平面内作出集合M 所表示的平面区域；(2)若点P(x, y)∈M ，求(x +3)2+(y −3)2的取值范围．参考答案与试题解析等式的性质与方程的解集练习题（1）一、多选题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）1.【答案】B,D【考点】进行简单的合情推理【解析】根据所给统计图逐一分析即可【解答】由图得1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是1月，最高气温与最低气温的差有增有减，故AC错误；由图还可得1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系且最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系，故BD正确；2.【答案】A,B,D【考点】演绎推理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、选择题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）3.【答案】C【考点】多项式的相等【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】因式分解定理三角形的形状判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】因式分解定理【解析】由于x2+Ax−27=(x−3)(x+B)=x2+(B−3)x−3B，利用等式是恒等式可得{A=B−3−27=−3B，解得即可．【解答】解：∵x2+Ax−27=(x−3)(x+B)=x2+(B−3)x−3B恒成立，∴{A=B−3−27=−3B，解得{A=6B=9．故选B．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）7.【答案】x(x+3)(x−3)【考点】因式分解定理【解析】对多项式分解因式，首先要提取公因式，然后再选择适当的方法继续分解．【解答】解：原式=x(x2−32)=x(x+3)(x−3).故答案为：x(x+3)(x−3)．8.【答案】40【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，则根据已知分段求出对应的y，并求出各段的y的最大值，比较即可求解．【解答】设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，当1≤x≤35且x∈N时，m＝900，y max＝900×35−16000＝15500；当35<x≤60且x∈N时，m＝900−20(x−35)＝1600−20x，则y＝(1600−20x)x−16000＝−20x2+1600x−16000＝−20(x−40)3+16000，故当x＝40时，y max＝16000>15500，故当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数为40人，9.【答案】(2√2, +∞)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合，通过函数的导数求解即可．【解答】解：函数f(x)=x|2x−a|−1有三个零点，就是x|2x−a|=1，即|2x−a|=1x有三个解，令y=|2x−a|，y=1x ，可知y={2x−a,x≥a2，a−2x,x<a2，画出两个函数的图象，如图：x<a2，y=1x，y′=−1x2=−2，解得x=√22，x=−√22（舍去），此时切点坐标(√22, √2)，代入y=a−2x可得，a=2×√22+√2=2√2，函数f(x)=x|2x−a|−1有三个零点，则实数a的取值范围为(2√2, +∞)．故答案为：(2√2,+∞).10.【答案】ab2−3a＝a(b+√3)(b−√3)【考点】因式分解定理【解析】先提取公因式a，然后利用平方差公式进行因式分解．【解答】原式＝a(b2−3)=a(b+√3)(b−√3)．四、解答题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）11.【答案】3x3+x2+x−2＝(x−2)(3x2+7x+15)+28，所以3x3+x2+x−2除以x−2的商式为3x2+7x+15与余数为28．【考点】因式分解定理【解析】由3x3+x2+x−2＝(x−2)(3x2+7x+15)+28，可得商式和余数．【解答】3x3+x2+x−2＝(x−2)(3x2+7x+15)+28，所以3x3+x2+x−2除以x−2的商式为3x2+7x+15与余数为28．12.【答案】原式＝＝−1−+＝．原式＝【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】（1）证明：显然集合A≠⌀．设x0∈A，则f(x0)=0．因为A=B，所以x0∈B，即f（f(x0)）=0，所以f(0)=0，所以b=0．（2）解：由（1）得f(x)=a sin x，a∈Z．①当a=0时，显然满足A=B．②当a≠0时，此时A={x|a sin x=0}；B={x|a sin(a sin x)=0}，即B={x|a sin x= kπ, k∈Z}．因为 A =B ，所以对于任意x ∈R ，必有a sin x ≠kπ(k ∈Z ，且k ≠0)成立． 所以对于任意x ∈R ，sin x ≠kπa，所以 |kπa|>1，即|a|<|k|⋅π，其中k ∈Z ，且k ≠0． 所以|a|<π，所以整数a 的最大值是3．【考点】 集合的相等 【解析】（1）利用集合相等得到f(0)=0，从而求b ；（2）讨论a 与0的关系，在a ≠0时，因为 A =B ，对于任意x ∈R ，必有a sin x ≠kπ(k ∈Z ，且k ≠0)成立，结合正弦函数的有界性得到 |kπa|>1，求得a 的最大值．【解答】（1）证明：显然集合A ≠⌀． 设 x 0∈A ，则f(x 0)=0． 因为 A =B ，所以 x 0∈B ，即 f （f(x 0)）=0， 所以 f(0)=0， 所以 b =0．（2）解：由（1）得f(x)=a sin x ，a ∈Z ． ①当a =0时，显然满足A =B ．②当a ≠0时，此时A ={x|a sin x =0}；B ={x|a sin (a sin x)=0}，即B ={x|a sin x =kπ, k ∈Z}． 因为 A =B ，所以对于任意x ∈R ，必有a sin x ≠kπ(k ∈Z ，且k ≠0)成立． 所以对于任意x ∈R ，sin x ≠kπa，所以 |kπa|>1，即|a|<|k|⋅π，其中k ∈Z ，且k ≠0．所以|a|<π，所以整数a 的最大值是3． 14. 【答案】 原式=b(a 3(ab)13)12a(b 2(ab)12)13=a 53×b 76a 76×b 56=a 12⋅b 13．原式=(94)12+(110)−2−[(32)3]13+1=32+100−32+1=101．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】直接根据有理数指数幂的运算求解即可． 【解答】 原式=b(a 3(ab)13)12a(b 2(ab)12)13=a 53×b 76a 76×b 56=a 12⋅b 13．原式=(94)12+(110)−2−[(32)3]13+1=32+100−32+1=101．15. 【答案】解：(1) 如图区域内部即为所求；(2)由题意可得：区域内的点到(−3, 3)的距离的平方，所以(x +3)2+(y −3)2∈[22−12√2，34]． 【考点】集合的含义与表示 【解析】(1)根据题意画出图形即可；(2)结合(1)找出(x +3)2+(y −3)2表示的意义求解即可． 【解答】解：(1)如图区域内部即为所求；(2)由题意可得：区域内的点到(−3, 3)的距离的平方，所以(x+3)2+(y−3)2∈[22−12√2，34]．。

等式与方程 【知识要点】一、方程1、等式的意义：表示相等关系的式子叫做等式。

如：25-5=202、方程：含有未知数的等式是方程。

如：28-x =123、两者之间的关系：方程一定是等式；等式不一定是方程。

4、方程成立的条件：（1）必须是等式； （2）必须设有未知数二、解方程1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程。

2、等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。

3、解方程的方法：（1）等式的性质；（2）四则运算各部分的关系：一个加数＝和-另一个加数 减数＝被减数-差 被减数＝减数＋差一个因数＝积÷另个因数 除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数（3）移项。

4、等式的检验：将方程的解代入原方程看方程两边是否相等。

注意：解方程的时候要注意三点：1、要写“解”字；2、所有的等号要上下对齐；3、解完方程，要养成检验的好习惯。

【经典例题】【例1.1】下面的式子中，是等式的在后面（ ）里画“√”。

x +18=36（ ） x +2﹥10（ ） 72-x （ ） x =3（ ）等式方程【例1.2】哪些是等式，哪些是方程，请填入相应的横线上。

(填序号)①3+x=12②3.6+x③4+17.5=21.5④48+x﹤63等式______________________；方程：_____________________。

【练习1】判断。

（1）含有未知数的式子叫方程。

（）（2）等式都是方程。

（）（3）方程都是等式。

（）（4）10＝4x－8不是方程。

（）【例2】练习：1、解方程x-18=2020+3x=452x-4=133x+12=15x÷26=528x=33.6x÷25=1512x=108【练习2】解方程32+4x=4672-3x=181.2x-3=11.46.3x×3=22.6834÷3.2x=2.1255.6x÷1.12=10【例3】解方程并检验x -97=145 1.15+x =6.8 x ÷3=2.1 15x =240 -x【练习3】解方程并检验13.5-x =8.2 3x =3.9 28÷x =42 7.6+x =34.5【例4】填空。

等式的性质与解法等式是数学中常见的一种表达方式，它表示两个量相等的关系。

对于数学问题的解决，等式的性质和解法起着至关重要的作用。

本文将通过讨论等式的基本性质和具体解法，帮助读者更好地理解和运用等式。

一、等式的基本性质1. 传递性：如果等式A=B，B=C成立，则A=C也成立。

这意味着我们可以通过链式推理来处理复杂的等式关系。

2. 对称性：等式具有对称性，即如果A=B，则B=A。

这个性质对于证明和推导等式非常有用。

3. 反身性：任何数与自身相等，即A=A。

这条性质可应用于等式的化简和变形。

二、等式的解法1. 直接解法：对于简单的等式，可以直接通过运算得到解。

例如，对于等式2x=8，我们可以通过除以2的操作得到x的值为4。

2. 移项法：当等式中含有未知量的各项时，可以通过移项来求解。

移项法的关键在于将未知量的项移到等式的一侧，使其与已知量相比较。

例如，对于等式3x+5=20，我们可以通过将5移到等式左侧，再进行求解。

3. 因式分解法：对于一些复杂的等式，我们可以通过因式分解来求解。

这种方法主要运用于二次方程等特殊形式的等式。

例如，对于等式x^2-16=0，我们可以通过因式分解得到(x+4)(x-4)=0，进而解得x的值为±4。

4. 变量替换法：在一些较为抽象的问题中，我们可以通过引入新的变量来进行求解。

例如，对于等式3(x+y)-4(x-y)=7，我们可以引入新的变量a=x+y和b=x-y，将等式转化为2a-8b=7，进而求解a和b。

5. 取舍法：当我们无法通过代数方法求得等式的精确解时，可以通过取舍法来确定一个近似值。

这种方法主要运用于应用问题中，例如对于长度、面积等测量值的处理。

三、实例分析现在我们通过一些具体的例子来展示等式的性质和解法。

1. 例题1：解方程组：2x + 3y = 104x + 5y = 20通过变量替换法，我们令a = 2x + 3y，b = 4x + 5y，得到方程组：a = 10b = 20从而推导出a和b的值，进而求得x和y的解。