新北师大版八年级数学下册课课练2直角三角形习题

2 直角三角形1. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是()A. 一组边对应相等B. 两组直角边对应相等C. 两组锐角对应相等D. 一组锐角对应相等2. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°3. 在两个直角三角形中，若有一对角(非直角)相等，一对边相等，则两个直角三角形()A. 一定全等B. 一定不全等C. 不一定全等D. 以上都不是4. 如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是()A. AC＝ADB. AB＝ABC. ∠ABC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠BAD5. 如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是()A. OA＝OBB. E是AC的中点C. △AOE≌△BODD. AE＝BD6. 如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD 的度数为_____.7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F.若BF＝AC，那么∠ABC的大小是_____.8. 如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A、C作a的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为_____.9. 如图，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝_____时，才能使△ABC≌△PQA.10. 如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.12. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC、BD相匀于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．13. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．14. 如图，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝AB，AC＝AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB.(1)图中共有几对全等三角形，请你一一列举.(2)求证：CF＝EF.参考答案1.B 【解析】A、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，现已知一组边对应相等，要判定两直角三角形全等，还需要一组角对应相等地或是另一组边对应相等才能进行判定，故选项错误；B、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误.故选B．2.B3.C4.A【解析】根据题意可知∠C=∠D=90°，AB=AB，然后由AC=AD，可根据HL判定两直角三角形全等，故符合条件；而B答案只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不正确；C答案符合AAS，证明两三角形全等，故不正确；D答案是符合AAS，能证明两三角形全等，故不正确.故选A.5.B6.110°【解析】∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，且CA=CA，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA=∠DCA，∵∠BAC=35°，∠ABC=90°，∴∠BCA=55°，∴∠BCD=2∠BCA=110°．7.45°8.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠ABE.∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）,∴AE=BF，BE=CF，∴AB=．9.5或10【解析】∵AX⊥AC，∠C=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，又∵AP=CB=5，PQ=AB，∴△ABC≌△PQA．点P运动到C点时，△ABC≌△PQA．∵AX⊥AC，∠C=90°，∴∠BCA=∠QAP =90°，又∵AP=CA=10，PQA=AB，∴△ABC≌△PQA．10.【证明】∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，，∴△CDA≌△CEB．11.【证明】∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠CAD=∠EAD，即AD平分∠BAC.12.【解】∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD=OB，在△ABO与△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴CD=AB=20（m）.13.（1）【证明】∵AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF. （2）【解】∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．14.(1)【解】图中有3对全等三角形有Rt△ABC≌Rt△ADE，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF.(2)【证明】连接AF，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).∴BC＝DE.在Rt△ABF和Rt△ADF中，AB＝AD，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，∴BF＝DF，∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.。

北师大版八年级数学下册1.2 直角三角形同步练习一、单选题1.已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（）A. 150°B. 180°C. 240°D. 270°3.半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则＝（）A. 28B. 26C. 18D. 354.△ABC中，若a=5，b=13，c=12，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形5.下列命题的逆命题正确的是( )A. 两条直线平行,内错角相等B. 若两个实数相等,则它们的绝对值相等C. 全等三角形的对应角相等D. 若两个实数相等,则它们的平方也相等6.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（）A. 24cm2B. 30cm2C. 40cm2D. 48cm27.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（）A. 50°B. 45°C. 40°D. 25°8.如图，△是等边三角形，为的中点，，垂足为点，∥，，下列结论错误的是( )A. 30°B.C. △的周长为10D. △的周长为99.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A. 3，4，5B. 2，3，4C. 1，2，3D. 4，5，610.如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：① 与可能相等；② 与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为.其中，正确结论的序号为（）A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③二、填空题11.命题：“如果a=0，那么ab=0”的逆命题是________．12.我国南宋著名数学家秦九少韶的著作《数书九章》记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜三里，中斜四里，大斜五里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田的面积有多大？题中“里”是我国市制单位，1里=500米，则沙田的面积为________平方千米.13.已知等腰三角形的底角是15°，腰长为8cm，则三角形的面积是________.14.如图，有一直角三角形纸片ABC，，∠B=30°，AC=1，于点D，F，G分别是线段AD，BD上的点，H，I分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD 上的点E处，当FG=EG时，AF的长是________.15.如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3 cm，△ABC的面积是9 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为________.16.如图，的面积为，平分，于，则的面积为________；17.某花园小区有一空地（如图所示的△ABC），为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量AB=13m，BC=10m，BC边上的中线AD=12m，如果种植每平方米花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要________元．三、解答题18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3 ，点D在AB上，且BD=2AD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求线段DE的长度．19.△ABC为等边三角形，. .（1）求证：四边形是菱形.（2）若是的角平分线，连接，找出图中所有的等腰三角形.20.如图，一竖直的木杆在离地面6尺高的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的8尺处.木杆折断之前有多高?21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B 作BD⊥BC交CF的延长线于点D.（1）试说明AE＝CD；（2）若AC＝10cm，求BD的长.22.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设，，为三角形三边，为面积，则①这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则②（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① ②或者② ① ；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，，，仍记，为三角形面积，则．23.请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．（1）如图①，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，另一边交BA的延长线于点G.求证：EF＝EG；（2）如图②，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF＝EG(填“＝”或“≠”)；（3）运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G、A重合)，其余条件不变，若AB＝4，DG＝3，求的值．答案一、单选题1. D2. D3. A4. D5. A6.A7. A8. C9. A 10. D二、填空题11. 如果ab=0，那么a=0 12. 1.5 13. 16cm214. 15. 6 16. 0.5cm217.3000三、解答题18. （1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD=∠BCE．在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3 ，∴AB=6．∵BD=2AD，∴AD=2，BD=4．由（1）可知△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=45°，BE=AD=2，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°．∵在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∴DE2=BE2+BD2，∴DE= =2 ．19. （1）解：如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABDF是菱形. （2）解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE.20. 解：16尺21. （1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°.∴∠D=∠AEC.又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）.∴AE=CD（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL）∴BD=EC= BC= AC，且AC=10cm.∴BD=5cm.22. （1）解：由①得：，由②得：，（2）解：公式①和②等价；推导过程如下：，，①中根号内的式子可化为：，（3）解：连接、、，如图所示：．23. （1）证明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，∴∠AEG=∠CEF，又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，∴△EAG≌△ECF（ASA）∴EG=EF（2）解：EF=EG；过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，则∠MEN=90°，EM=EN，∴∠GEM=∠FEN，又因为∠EMG=∠ENF=90°，∴△EMG≌△ENF∴EF=EG．故答案为：= （3）解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图3所示：则∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，∴，∴，又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，∴∠FEN=∠GEM，∴Rt△GME∽Rt△FNE，∴.。

北师版数学八年级下册第一章三角形的证明2直角三角形第2课时直角三角形全等的判定1．(2019·河南实验中学月考)下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(C) A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一条直角边对应相等2．(2019·江苏南京建邺区期末)如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是(A)A．HL B．SASC．ASA D．AAS第2题图第3题图3．(2019·贵州黔南州期末)如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是(D)A．AE＝DF B．∠A＝∠DC．∠B＝∠C D．AB＝DC4．如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是(B) A．60°B．90°C．120°D．180°第4题图 第5题图5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AB 于点D ，BC ＝BD .若AC ＝4 cm ，则AE ＋DE ＝__4__cm__．6．如图，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，要使得△ABC ≌△CDA . (1)若以“SAS”为依据，需添加条件__AB ＝CD __； (2)若以“HL”为依据，需添加条件__AD ＝BC __．7．如图所示，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF .求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF .证明：在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，∵AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF (HL)．8．(2019·湖北孝感中考)如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，BC 与AD 交于点E ，AC ＝BD ，求证：AE ＝BE .证明：∵∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ACB 和△BDA 是直角三角形． 在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt △ACB ≌Rt △BDA (HL)，∴∠ABC ＝∠BAD ，∴AE ＝BE .9．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，BE ＝CF .(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出； (2)选择一对你认为全等的三角形进行证明．解：(1)3对．分别是△ABD ≌△ACD ，△ADE ≌△ADF ，△BDE ≌△CDF . (2)以△BDE ≌△CDF 为例证明．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°. 又D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎨⎧BD ＝CD ，BE ＝CF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)．10．在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，A (－4，0)，B (0，3)．若在该坐标平面内有以点P (不与点A ，B ，O 重合)为一个顶点的直角三角形与Rt △ABO 全等，且这个以点P 为顶点的直角三角形与Rt △ABO 有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( A ) A ．9 B ．7 C ．5D ．311．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，BC 交AD 于点O .给出下列结论：①BC 平分∠ABD ；②△ABO ≌△CDO ；③∠AOC ＝120°；④△BOD 是等腰三角形．其中正确的结论有( B ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．③④第11题图第12题图12．(2019·山东济南商河期末)如图，△ABC中，AB＝AC，高BD，CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中全等的直角三角形共有(D)A．4对B．5对C．6对D．7对13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：__AB＝BC(答案不唯一)__，使△ADB≌△CEB.第13题图第14题图14．(2019·江苏南通中考)如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝__70__度．15．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝__7__．第15题图第16题图16．(2019·浙江杭州西湖区月考)如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动__0，2，6，8__秒时，△DEB与△BCA全等．17．(2019·山东青岛市北区期中)求证：一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等．证明：已知：如图，△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，BM为△ABC的中线，FN为△DEF的中线，且CM＝FN.求证：△ABC≌△DEF.证明：在Rt△BCM和Rt△EFN中，CM＝FN，BC＝EF，∴Rt△BCM≌Rt△EFN(HL)，∴BM＝EN.∵BM为△ABC的中线，FN为△DEF的中线，∴AB＝DE.在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)，即一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等．18．(教材P20，例改编)如图，有两个长度相等的滑梯BC和EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，判断两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE之间的数量关系？请说明理由．解：互余．理由如下：由题意，得∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴∠ABC＝∠DEF.又∵∠DEF＋∠DFE＝90°，∴∠ABC＋∠DFE＝90°，即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．19．如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE＝DF.求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.证明：如图，连接BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC.∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC＝DC，BE＝DF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．20．(2019·贵州铜仁石阡期末)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，过A，B分别作AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D，E.(1)如图1，当直线MN在△ABC外部时，求证：DE＝AD＋BE；(2)如图2，当直线MN经过△ABC内部时，请写出线段AD，DE，BE之间的等量关系，并证明．解：(1)证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA ＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB.在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠BEC，∠DAC＝∠ECB，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD＝CE，CD＝BE.∵DE＝CD＋CE，∴DE ＝AD＋BE.(2)DE＝AD－BE.。

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》精选练习一、选择题1.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A.∠BAC=∠BADB.AC=AD或BC=BDC.AC=AD且BC=BDD.以上都不正确2.下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等3.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A.HLB.AASC.SSSD.ASA4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（）A.SSSB.AASC.SASD.HL5.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A.140°B.160°C.170°D.150°6.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A.44°B.34°C.54°D.64°7.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A.30°B.60°C.90°D.120°8.如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为（）A.65°B.35°C.55°D.45°9.在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（）A.15°B.30°C.60°D.90°10.如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A.90°B.100°C.110°D.120°11.已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（）A.4对B.3对C.2对D.1对12.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）A.100度B.120度C.135度D.140度二、填空题13.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：（答案不唯一），使△ADB≌△CEB.14.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是.15.在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为度.16.在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC= .17.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2.有下列结论：①AC∥DE；②∠A=∠3；③∠B=∠1；④∠B与∠2互余；⑤∠A=∠2.其中正确的有（填写所有正确的序号）.三、解答题18.如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.19.已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由.20.如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.求证：△ADE≌△BEC.21.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B.求证：CD⊥AB.22.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。

八年级数学下册第一章三角形的证明1.2直角三角形第2课时同步练习新版北师大版2 直角三角形第二课时测试时间:20分钟一、选择题1.下列说法正确的有( )(1)一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.(2)一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(3)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.(4)有两条边对应相等的两个直角三角形全等.(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.A.2个B.3个C.4个D.5个2.如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( )A.∠BAC=∠BADB.AC=AD或BC=BDC.AC=AD且BC=BDD.以上都不正确3.如图,△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点,以下结论:(1)△ABD≌△ACD;(2)AB=AC;(3)∠B=∠C;(4)AD是△ABC的角平分线.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE= cm.5.两个直角三角形中,如果都有一个锐角等于38°,又都有一条边等于3.8 cm,那么这两个直角三角形全等.(填“一定”或“不一定”)三、解答题6.如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.参考答案1答案 C (1)可根据AAS判定全等,(2)可根据ASA或AAS判定全等,(3)不能判定全等,(4)可根据HL或SAS判定全等,(5)可根据HL判定全等.2答案 B 由题图可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,也是公共边.依据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,还需补充一条直角边对应相等,即AC=AD或BC=BD.AD=AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD,∴AB=AC,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∴AD是△ABC的角3答案 D ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵D为BC的中点,∴BD=CD,又平分线.故选D.4答案7解析∵∠ADB=90°,∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠DBA=90°,∴∠EAC=∠DBA,∵AB=AC,∠ADB=∠CEA=90°,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴AD=CE,BD=AE,∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm.5答案不一定解析当3.8 cm长的边一个为斜边,另一个为直角边时,两三角形不可能全等.故答案为不一定.6证明∵AD为△ABC的高,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△BFD和Rt△ACD中,∵BF=AC,FD=CD,∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL),∴∠FBD=∠CAD.∵∠CAD+∠C=90°,∴∠FBD+∠C=90°.∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC.。

第一章三角形的证明第2节直角三角形课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．1，2，3C．1，1，2D．5，12，13 2．在△ABC中，已知AB＝5，AC＝12，BC＝13，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．如图，在四边形ABCD中，90B=∠，1AB BC==，6CD=，2AD=，若D a∠=，则BCD∠的大小为（）A．2a B．90a︒+C．135a︒﹣D．180a︒﹣4．满足下列条件时，ABC不是．．直角三角形的为（）A．5AB=，13BC=，12AC=B．::3:4:5AB BC AC=C．::3:4:5A B C∠∠∠=D．中线12CD AB=5．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是ABC的高，则AD的长为（）A．23B．5C．3D．26．如图，在ABC 中，△ACB ＝90°，△ABC ＝60°，AB ＝4，顶点A ，B 分别在x 正半轴和y 轴正半轴上滑动，连接OC ．当OC 的长度最大时，点C 的坐标为（ ）A ．(2，23)B ．(4，23)C ．(2，3)D ．(4，3)评卷人得分 二、填空题 7．同一平面内有A ，B ，C 三点，A ，B 两点之间的距离为5 cm ，点C 到直线AB 的距离为2 cm ，且ABC 为直角三角形，则满足上述条件的点C 有______个． 8．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，15cm AC =，8cm BC =，AX AC ⊥于A ，P ，Q 两点分别在边AC 和射线AX 上移动．当PQ AB =，AP =______cm 时，ABC 和APQ 全等．评卷人得分三、解答题 9．如图，已知等腰三角形ABC 的底边BC ＝13cm ，D 是腰AB 上一点，且CD ＝12cm ，BD ＝5cm ．（1）求证：△BDC 是直角三角形；（2）求△ABC 的面积．10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上．（1）请直接写出线段AB、AC的长度；（2）连接BC，请判断△ABC的形状，并说明理由．11．下面是56⨯的网格（1）如图（1），A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点），判断AC与BC的数量和位置关系，直接写出结论，不需要说明理由；（2）如图（2），求12∠+∠的度数（要求：画出示意图并给出推导过程）．12．某单位有一块四边形的空地，△B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米），现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？13．在平面直角坐标系中，直线a：y＝2x﹣6和直线b：142y x=-+相交于点H，分别与x、y轴交于点A、B、C、D，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线，分别与直线a、b交于点E、F．（1）求点H的坐标；（2）判断直线a、b的位置关系，并说明理由；（3）设点P的横坐标为m，当m为何值时OD＝EF？请说明理由．14．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，点、、A B C 均在格点上．（1）直接写出AC 的长为___________，ABC 的面积为_____；（2）请在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作出AC 边上的高BD ，并保留作图痕迹．15．已知：如图，在ABC ∆中，12AC cm =，9BC cm =；在ABE ∆中，DE 为AB 边上的高，8DE cm =，ABE ∆的面积260S cm =．求四边形ACBE 的面积．16．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB =13，AD =12，AC =15，BD =5，求CD 的长．17．已知：如图，在等边ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，BD 与AE 交于点F ，CD BE =．（1）求证：BD AE =；（2）过A 作AG BD ⊥，垂足为求证：2AF FG =．18．阅读下列内容：设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：△若222a b c =+，则该三角形是直角三角形；△若222a b c >+，则该三角形是钝角三角形；△若222a b c <+，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，22263645=<+，故由△可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x ．且这个三角形是直角三角形，求2x 的值．（3）当2a =，4b =时，判断ABC 的形状，并求出对应的2c 的取值范围．19．如图所示，在ABC 中，20AB =，12AC =，16BC =，把ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上．（1）判断ABC 的形状．（2）求重叠部分（阴影部分）的面积．20．如图，学校有一块三角形空地ABC ，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE 和△EDC ，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，△EDC ＝90°，DC ＝6m ，CE ＝10 m ，BD ＝14 m ，AB ＝16m ，AE ＝2m ．（1）求DE 的长；（2）求四边形ABDE 的面积．21．（1）问题：如图△，在四边形ABCD中，90B C∠=∠=︒，P是BC上一点，PA PD=，AB BP BC+=．求证：90APD∠=︒；（2）问题：如图△，在三角形ABC中，45B C∠=∠=︒，P是AC上一点，PE PD=，且90EPD∠=︒．求AE APPC+的值．22．[实际问题]小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿做好刚能放入电梯中（如图△示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？[类比探究]为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．探究1：如图△，在△ABC中，AC△BC．若BC = a，AC = b，AB = c，则a + b与c之间有什么数量关系？解：在△ABC中，△AC△BC△BC2 + AC2 = AB2，即a2 + b2 = c2△（a-b）2≥0△a2 + b2 - 2ab≥0△a2 + b2≥2ab△c2≥2ab△c2 + a2 + b2≥2ab + a2 + b2△2c2≥（a+b）2△a，b，c均大于0△a + b与c之间的数量关系是a + b≤2c．探究2：如图△，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB△BC，AC△CD．若AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则a + b + c与d之间有什么数量关系？解：△AB△BC，AC△CD△BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2△a2 + b2 + c2 = d2△（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0△a2 + b2≥2ab，a2 + c2≥2ac，b2 + c2≥2bc将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c2≥2ab + 2ac + 2bc△2d2≥2ab + 2ac + 2bc△2d2 + a2 + b2 + c2≥2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2△ ____ d2≥（a+b+c）2△a，b，c，d均大于0探究3：如图△，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线，AB△BC，AC△CD，AD△DE．若AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e，则a + b + c + d与e之间的数量关系是_________ ．[归纳结论]当a1 > 0，a2 > 0，…an> 0，m > 0时，若a12 + a22 + … + an2 = m2，则a1+ a2 + … + an，与m之间的数量关系是_________ ．[问题解决]小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图△示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是_________米．[拓展延伸]公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花圃，若花圃面积和为400平方米，则水池的最大周长为_________米．23．如图1所示，已知，在钝角ABC中，ABC BAC∠=∠，点D在边BC的延长线上，连接AD，AE平分CAD∠交CD于点E，过点E作EH AB⊥，垂足为点.H直线EH与直线AC相交于点.F设1CEF∠∠=，2CFE∠=∠．（1）求证：12∠=∠；（2）设ADCα∠=，AEHβ∠=．△若30BAC∠=︒，50CAD∠=︒，则α=______，β=______；△若D是线段BC的延长线上一动点，试探究α与β的关系，并说明理由；（3）若将（2）中“D是线段BC的延长线上一动点”改为“D是线段CB的延长线上一动点”，其它条件不变，试完成下列问题：△请在图2中补全图形；△α与β的关系为_______________________________．24．在如图的正方形网格中，若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：（1）在下列各数中，任意选取三个无理数，并判断这三个数为边长的线段能否组成一个直角三角形，请直接写出所有能构成直角三角形的三边对应的无理数；2、4、5、8、10、15、20、25；（2）在解决（1）的问题时，你所运用的定理名称是．A．勾股定理B．勾股定理逆定理（3）在下面方格上画出（1）中你所确定的一个直角三角形，并且顶点都在格点上．25．如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为10？参考答案：1．D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A.22223134+=≠ ，故无法构成直角三角形，不符合题意；B.2221(2)33+=≠ ，故无法构成直角三角形，不符合题意；C.2221122+=≠ ，故无法构成直角三角形，不符合题意；D. 22251216913+==，故可以构成直角三角形，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长,,a b c 满足222+=a b c ，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．【详解】解：△AB ＝5，AC ＝12，BC ＝13，△AB 2+AC 2＝25+144＝169＝BC 2，△△ABC 为直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．3．C【解析】【分析】连接AC ，由勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，进而可求出△BCD的度数；【详解】连接AC，△AB=BC=1，△B=90°△AC=22+=，112又△AD=2，DC=6，△(6)2=22+(2)2，即CD2=AD2+AC2，△△DAC=90°，△Dα∠=，△△ACD=90°-α，△AB=BC，△△BAC=△BCA=45°，△△BCD=90°-α+45°=135°-α；故选：C.【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答此题的关键．4．C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．【详解】解：A、△22251213+=，△AC2+AB2= BC2，△△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、△AB：BC：AC=3：4：5（设AB=3x，BC=4x，AC=5x），则()()()222345x x x+=，△AB2+BC2=AC2，△△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、△△A：△B：△C=3：4：5，△A+△B+△C=180°，△最大角△C=5345++×180°=75°，△△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；D、△中线12CD AB=，△AD=BD=CD，△△A=△DCA，△BCD=△B，△△A+△DCA+△BCD+△B=180°，△△DCA+△BCD=△ACB =90°，△△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：△如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，△三角形的内角和等于180°．5．D【解析】【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB2，AC2，BC2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，从而利用三角形面积求解．【详解】解：由题意可得：2222420AB222215AC =+= 2223425BC =+=△222+AB AC BC =△△ABC 是直角三角形又△AD 是ABC 的高△1122AC AB BC AD ⋅=⋅， 11525522=AD ⨯⨯⨯，解得：=2AD 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键． 6．A【解析】【分析】 首先取线段AB 的中点，根据直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，三角形三边关系，可以得到OC 最大时，OC ＝AB ，然后根据等边三角形的性质和直角三角形的判定，可以得到△OAC 是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到点C 的坐标．【详解】解：取AB 的中点M ，连接MO ，MC ，如图1所示，则OM +MC ＞OC ，故当OM +MC ＝OC 时，OC 取得最大值，如图2所示，△△ACB ＝△AOB ＝90°，点M 为AB 的中点，AB ＝4，△CM ＝BM ＝AM ＝OM ＝2，△△ABC ＝60°，△△BMC 是等边三角形，△△BMC ＝△AMO ＝60°，△△AMO 是等边三角形，△OA＝AM＝2，△OAM＝60°，又△AM＝MC，△AMO＝△MAC+△MCA，△△MAC＝30°，△△OAC＝△OAM+△MAC＝60°+30°＝90°，△OC＝MO+MC＝2+2＝4，△AC＝22OC OA-＝2242-＝12＝23，△点C的坐标为（2，23），即当OC的长度最大时，点C的坐标为（2，23），故选：A．【点睛】此题考查了直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质和勾股定理，有一定的综合性．7．8【解析】【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则90C∠=︒；（2）AB为直角边，2AC cm=或2BC cm=；【详解】（1）当AB为斜边时，点C到直线AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图：（2）当AB为直角边时，2AC cm=或2BC cm=，符合条件的点有4个，如图；符合要求的C点有8个；故答案是8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．8．8或15【解析】【分析】分情况讨论：△AP=BC=8cm时，Rt△ABC△Rt△QPA（HL）；△当P运动到与C点重合时，Rt△ABC△Rt△PQA（HL），此时AP=AC=15cm．【详解】解：△当P运动到AP=BC时，如图1所示：在Rt△ABC和Rt△QPA中，=⎧⎨=⎩BC PA AB QP，△Rt△ABC△Rt△QPA（HL），即AP=BC=8cm；△当P运动到与C点重合时，如图2所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中，=⎧⎨=⎩AC PA AB QP，△Rt△ABC△Rt△PQA（HL），即AP=AC=15cm．综上所述，AP的长度是8cm或15cm．故答案为：8或15．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．9．（1）见解析；（2）5075．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形面积公式解答即可．【详解】证明：（1）△BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，△BC2＝BD2+CD2，△△BDC为直角三角形；（2）设AB＝xcm，△△ABC是等腰三角形，△AB ＝AC ＝xcm ，△△BDC 为直角三角形，△△ADC 也为直角三角形，△AD 2+CD 2＝AC 2，△x 2＝（x ﹣5）2+122，解得：16910x =， △11169122210ABC S AB CD ==⨯⨯=2507()5cm ． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．10．（1）AB ＝10，AC ＝25；（2）等腰直角三角形，理由见解析．【解析】【分析】（1）由勾股定理直接可求AB ，AC 的长；（2）根据勾股定理的逆定理判定△ABC 是直角三角形，又AB ＝BC ＝，故△ABC 为等腰直角三角形．【详解】解：（1）由勾股定理可得AB ＝223+1=10，AC ＝222+4=25；（2）△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：由（1）可知()221010AB ==，()222520AC ==，又BC 2＝32+12＝10，△AB 2+BC 2＝AC 2．△△ABC 是直角三角形．又AB=BC =10 ，△△ABC 是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解决本题的关键主要熟练掌握勾股定理及其逆定理．11．（1）AC BC=且AC BC⊥；（2）1290∠+∠=︒．【解析】【分析】（1）构造直角三角形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可得到AC与BC 的数量和位置关系；（2）构造全等三角形，将△2转化为△ACB，再根据勾股定理及其逆定理，即可得到△1+△2的度数．【详解】（1）AC BC=且AC BC⊥．理由：如图（1），△CD BE=，90ADC CEB∠=∠=︒，AD CE=，△ACD△△CBE△（SAS），△AC CB=，ACD CBE∠=∠，又△90CBE BCE∠+∠=︒，△90ACD BCE∠+∠=︒，△1809090ACB∠=-=°°°，△AC BC⊥；（2）如图（2），作ABC，DEF，△BC FE=，ABC DFE∠=∠，AB DF=，△ABC△DFE△（SAS），△2ACB DEF=∠=∠∠．由图，结合勾股定理，得22521AC=+=，224225DC=+=，5AD=，△22252025AC DC AD+=+==，△ACD△是直角三角形，且90ACD∠=︒．△21180ACD∠+∠+∠=°，△121801809090ACD∠+∠=-∠=-=°°°°．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及全等三角形的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．12．这块地全部种草的费用是1080元．【解析】【分析】连接AC，先证明△ACD是直角三角形，根据S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC求出四边形ABCD的面积即可解决问题．【详解】解：连接AC，△△B=90°，△在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC=32+42=52，在△ACD中，CD2=132，AD2=122，△52+122=132，△AC2+AD2=CD2，△△DAC=90°，△S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC=12AB•BC+12AC•AD=36cm2，△36×30=1080（元），△这块地全部种草的费用是1080元．【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明△ADC是直角三角形，属于中考常考题型．13．（1）H（4，2）；（2）a△b，理由见解析；（3）m的值为125或285，理由见解析【解析】【分析】（1）联立两直线解析式，解方程组可求得H点坐标；（2）过点H分别作y轴、x轴的垂线，分别交y轴、x轴于点M和点N，过点B作y轴的垂线交HN于点G由直线解析式可求得B、D的坐标，则可求得DH、BH、BD的长，利用勾股定理逆定理可判定△BDH为直角三角形，可求得a△b；（3）用m可分别表示出E、F的坐标，则可表示出EF的长，由EF＝OD＝4，则可求得m 值．【详解】解：（1）联立两直线解析式，可得：26142y xy x=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩，△H（4，2）；（2）a△b，理由如下：过点H分别作y轴、x轴的垂线，分别交y轴、x轴于点M和点N，过点B作y轴的垂线交HN于点G，如图所示，在y＝2x﹣6中，令x＝0，可得y＝﹣6，在y＝﹣12x+4中，令x＝0可得y＝4，△B（0，﹣6），D（0，4），M（0，2），N（4，0），G（4，﹣6）△BD＝10，DM＝2，HM＝ON＝BG＝4，GH＝BM＝8，则DH＝222224DM HM+=+＝25，BH＝222248BG HG+=+＝45，△DH2+BH2＝20+80＝100＝BD2，△△BDH 是以BD 为斜边的直角三角形，△△BHD ＝90°，即a △b ；（3）△P 点横坐标为m ，△E （m ，2m ﹣6），F （m ，﹣12m +4）， △EF ＝|2m ﹣6﹣（﹣12m +4）|，△EF ＝OD ＝4，△|2m ﹣6﹣（﹣12m +4）|＝4，解得m ＝125或m ＝285， △当m 的值为125或285时，OD ＝EF ． 【点睛】本题主要考查两条直线相交和平行，涉及函数图象的交点坐标、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质及方程思想等知识，在（1）中注意函数图象的交点坐标的求法，在（2）中分别求得DH 、BH 和BD 的长是解题的关键，注意勾股定理及其逆定理的应用，在（3）中用m 表示出EF 的长，得到关于m 的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强．14．（1）29AC =，9ABC S=；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据无刻度直尺作图中作垂直的技巧画出线段BD 即可；【详解】解：（1）222529,AC =+=， 111452425149222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=： （2）如图所示，BD 即为所求．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．15．114cm 2【解析】【分析】根据三角形面积公式，求出AB 的长，由勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，于是得到△ABC 的面积，即可得到结论．【详解】 解：在△ABE 中，DE 为 AB 边上的高，8DE cm =，ABE ∆的面积260S cm =．△1186022ABE S AB DE AB =⨯⨯=⨯⨯=△， △AB =15cm ，在ABC ∆中，12AC cm =，9BC cm =，AB =15 cm ，△22222129225AC BC AB +=+==，△△ABC 是直角三角形，△21912542ABC S cm =⨯⨯=△， △四边形ACBE 的面积=25460114ABC ABE S S cm +=+=△△．【点睛】本题考查了三角形面积公式和勾股定理的逆定理，掌握这些知识点是解题的关键． 16．9【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD 是直角三角形，再在Rt△ACD 中根据勾股定理求出BD 的长即可．【详解】解：在△ABD 中，AB =13，AD =12， BD =5，△AD 2＋BD 2＝122＋52＝169，AB 2＝132＝169，△AD 2＋BD 2＝AB 2，△△ABD 是直角三角形，且△ADB ＝90°，在Rt△ACD 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝152－122＝81，△CD ＝9．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．17．（1）证明见解析，（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出BC = AB ，△C =△ABC =60°，证△BCD △△ABE 即可； （2）根据全等得出△CBD =△BAE ，证△AFG =60°，用30°角所对直角边等于斜边一半求解即可．【详解】（1）证明：△△ABC 是等边三角形，△BC = AB ，△C =△ABC =60°，△CD BE =，△△BCD △△ABE ，△BD AE =（2）证明：△△BCD △△ABE ，△△CBD =△BAE ，△AFG =△BAE +△ABD =△CBD +△ABD =60°，△AG BD ⊥，△△AGF =90°，△F AG =30°，△2AF FG =．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行证明．18．（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析【解析】【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x 2的值；（3）分△ABC 为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．【详解】解：（1）△72+82=49+64=113＞92，△三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；（2）△这个三角形是直角三角形，当x 为斜边，△52+122=x 2，△x 2=169，当12是斜边，则52+x 2=122，解得：x 2=119，故x 2的值为169或119；（3）△a =2，b =4，△4242c -<<+，△2436c <<，若△ABC 是锐角三角形，则222a b c +<或222a c b +<，则220c >或212c <，△22036c <<或2412c <<；若△ABC 是直角三角形，则222+=a b c 或222a c b +=，则220c =或212c =；若△ABC 是钝角三角形，则222a b c +>或222a c b +>，则220c <或212c >，△21220c <<．【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．19．（1）直角三角形；（2）36【解析】【分析】（1）根据AB 、AC 、BC 的长度，利用勾股定理的逆定理计算并判断即可；（2）利用勾股定理求出CD =6，所以阴影部分面积为12×CD ×AC ，求出即可．【详解】解：（1）△20AB =，12AC =，16BC =，则222121620+=，即满足222AB BC AC =+，△△ABC 是直角三角形；（2）设CD =x ，△在△ABC 中，AB =20，AC =12，BC =16，把△ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上， △BD =B ′D =16-x ，B ′C =AB -AC =20-12=8，△DCB ′=90°，△在Rt △DCB ′中，CD 2+B ′C 2=DB ′2，△x 2+82=（16-x ）2，解得：x =6，△重叠部分（阴影部分）的面积为：12×6×12=36．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出BD =B ′D =16-x ，B ′C =8是解题关键．20．（1）8米；（2）72m 2【分析】（1）直接利用勾股定理即可求得DE 的长；（2）连接BE ，先利用勾股定理求得BE ，再利用勾股定理的逆定理证明△ABE 为直角三角形，再根据四边形ABDE 的面积ABE BDE S S ∆∆=+即可求．【详解】（1）90EDC ∠=︒，△在Rt EDC ∆中，DC ＝6m ，CE ＝10 m ，△221068ED =-= m ；（2）如图，连接BE ，在Rt△EBD 中，BD ＝14 m ，ED ＝8 m ，22222148260B D E D B E ∴=+=+=， △AB ＝16m ，AE ＝2m ，2222162260AB AE ∴+=+=，222AB AE BE ∴+=，△△ABE 是直角三角形，△A ＝90°，△S △ABE ＝1122AB AE ⋅=×16×2＝16， 又△S △BDE ＝1122BD DE ⋅=×14×8＝56， △四边形ABDE 的面积72ABE BDE S S ∆∆==+(m 2)．【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用．（2）中虽然用眼睛可观察到△A=90°，但是必须证明后方可应用．21．（1）见解析；（2）1【解析】（1）先证明()ABP PCD HL ≅△△，从而得APB PDC ∠∠=，进而即可得到结论； （2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，易证()APE FDP AAS ≅△△，DPC △是等腰直角三角形，进而即可求解．【详解】（1）△BP PC BC +=，BP AB BC +=，△PC AB =，在t R ABP △与t R PCD 中△AP PD AB PC =⎧⎨=⎩， △()ABP PCD HL ≅△△，△APB PDC ∠∠=，△180APD APB DPC ∠=︒-∠-∠180()PDC DPC =︒-∠+∠18090=︒-︒90=︒； （2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，在ABC 中，18090A B C ∠=︒-∠-∠=︒，△A PFD ∠∠=， △90APE DPF +=︒∠∠ ，90AEP APE ∠+∠=︒，△DPF AEP ∠∠=，在APE 与FDP 中A DFP DPE AEP PE PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()APE FDP AAS ≅△△，△AE PF =，AP DF =，△在DPC △中，90904545FDC C ∠∠︒︒︒︒=-=-=，△DF FC =，△AP FC =，△PC PF FC AE AP =+=+，△1AE AP PC+=．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．22．探究2：3；3；探究3：2a b c d e +++≤；[归纳结论]12n a a a nm ++⋯+≤；[问题解决]33；[拓展延伸]40【解析】【分析】探究2，根据a 2 + b 2 + c 2 = d 2，即可合并，再根据完全平方公式即可得到结论； 探究3，根据a 2 + b 2 + c 2 +d 2=e 2，仿照探究1,2的结论即可求解；[归纳结论]根据探究1,2,3故可得到结论； [问题解决]由探究得到的结论及长2+宽2+高2=32，故可代入求解；[拓展延伸]由探究得到的结论及a 2+b 2+c 2+d 2=400，故可代入求解．【详解】探究2，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AB △BC ，AC △CD ．若AB = a ，BC = b ，CD = c ，AD = d ，则a + b + c 与d 之间有什么数量关系？解：△AB △BC ，AC △CD△BC 2 + AB 2 = AC 2，AC 2 + CD 2 = AD 2△a 2 + b 2 + c 2 = d 2△（a -b ）2≥0，（a -c ）2≥0，（b -c ）2≥0△a 2 + b 2≥2ab ，a 2 + c 2≥2ac ，b 2 + c 2≥2bc将上面三式相加得，2a 2 + 2b 2 + 2c 2≥2ab + 2ac + 2bc△2d 2≥2ab + 2ac + 2bc△2d 2 + a 2 + b 2 + c 2≥2ab + 2ac + 2bc + a 2 + b 2 + c 2△ 3d 2≥（a +b +c ）2△a ，b ，c ，d 均大于0△a + b + c 与d 之间有这样的数量关系：a + b + c ≤3d ．探究3：△在五边形ABCDE 中，AB △BC ，AC △CD ，AD △DE△BC 2 + AB 2 = AC 2，AC 2 + CD 2 = AD 2 ，AD 2 + ED 2 = AE 2由AB = a ，BC = b ，CD = c ，DE = d ，AE = e ，可得a 2 + b 2 + c 2 +d 2=e 2，△a + b + c + d ≤42e e =△a + b + c + d 与e 之间的数量关系是2a b c d e +++≤；[归纳结论]△a 2 + b 2 + c 2 = d 2，a ，b ，c ，d 均大于0，可得a + b + c ≤3d ；a 2 +b 2 +c 2 +d 2=e 2，a ，b ，c ，d ，e 均大于0，可得2a b c d e +++≤△当a 1 > 0，a 2 > 0，…an > 0，m > 0时，若a 12 + a 22 + … + an 2 = m 2，则a 1+ a 2 + … + an ，与m 之间的数量关系是：12n a a a nm ++⋯+≤；[问题解决]由题意及勾股定理可得长2+宽2+高2=32△长+宽+高≤3×3=33，△电梯的长、宽、高和的最大值是33米； [拓展延伸]根据题意及正方形的面积可得a 2+b 2+c 2+d 2=400，△440040a b c d +++≤⋅=，△则水池的最大周长为40米；【点睛】此题主要考查勾股定理的探究应用，解题的关键是熟知勾股定理及完全平方公式的运用． 23．（1）见解析；（2）△70︒，35︒．△2βα=，理由见解析；（3）△见解析；△902αβ+=︒【解析】【分析】（1）根据EH AB ⊥，利用互余性质可得190ABC ∠+∠=︒，90BAC AFH ∠+∠=︒，再利用等角的余角相等可得1AFH ∠=∠，再利用2AFH ∠=∠，进行等量代换即可得到答案； （2）△在ABD △中利用内角和公式即可求α，在Rt AEH 中利用互余性质可求得β；△设DAE CAE x ∠=∠=，B CAB y ∠=∠=，同△分别利用内角和公式和互余性质可得()1802ADC x y α=∠=︒-+，()90AEH x y β=∠=︒-+，即可判断2αβ=；（3）△依据题意画出图形即可，注意D 是线段CB 的延长线上一动点，应在线段CB 的延长线作图；△设CBA CAB x ∠=∠=，EAH y ∠=，利用角的和差可得+CBA BAD ADC ∠=∠∠，即2x x y α=-+，则2y α=，根据互余的性质得：90AEH EAH ∠+∠=︒，即可得：902αβ+=︒．【详解】（1）证明：EH AB ⊥， 90AHF EHB ∴∠=∠=︒，190ABC ∴∠+∠=︒，90BAC AFH ∠+∠=︒，ABC BAC ∠=∠，1AFH ∴∠=∠，2AFH ∠=∠，21∴∠=∠．（2）△30B CAB ∠=∠=︒，60ACB B CAB ∴∠=∠+∠=︒，50CAD ∠=︒，180506070ADC α∴=∠=︒-︒-︒=︒，EA 平分DAC ∠，1252EAC DAC ∴∠=∠=︒， 55EAH EAC CAB ∴∠=∠+∠=︒，90AHE ∠=︒，905535AEH β∴=∠=︒-︒=︒．故答案为70︒，35︒．△如图1中，设DAE CAE x ∠=∠=，B CAB y ∠=∠=．()1802ADC x y α∴=∠=︒-+，90AHE ∠=︒，()90AEH x y β∴=∠=︒-+，2αβ∴=．（3）△图形如图所示：△设CBA CAB x ∠=∠=，EAH y ∠=．AE ∵平分CAD ∠，CAE DAE x y ∴∠=∠=-，2DAB x y y x y ∴∠=--=-，+CBA BAD ADC ∠=∠∠，2x x y α∴=-+，2y α∴=，EH AB ⊥，90AHE ∴∠=︒，90AEH EAH ∴∠+∠=︒， 902αβ∴+=︒．故答案为：902αβ+=︒．【点睛】 此题考查了角的和差、角平分线、三角形内角和和互余的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系．24．（1）5、 15、20或5、10、15或2、8、10；（2）B ；（3）（1）中的三组数中，只有以2、8、10为边的直角三角形能在网格中画出使其顶点为格点，图见解析．【解析】【分析】（1）先从所给各数中找出无理数，选出三个一组，找得所有的分组．然后对每一组的三个数先平方，再排序，最后计算较小的两个数的和是否等于最大的那个数，若相等，则这组数就能构成直角形角形，否则不能构成直角三角形．用上述方法到每一组，从而找出所有符合条件的三个无理数；（2）据“勾股定理”和“勾股定理逆定理”的含义及区别作答；（3）先据“勾股定理”在网格中画出能构成能直角三角形的三个数为长度的线段，再适当变动其位置就可画出（1）中所确定的直角三角形．【详解】（1）在所给的这列数中：△42=，=，255△25，4不是无理数；△2、5、8、10、15、20都是开平方开不尽的数△2、5、8、10、15、20都是无理数，取其中三个一组列举如下：△2、5、8；△2、5、10；△2、5、15；△2、5、20；△2、8、10；……，共计20组；对于第△组+≠△258△第△组各数不能构成直角三角形，用同样方法发现第△、△、△组的各数都不能构成直角三角形；对于第△组△2810+=△第△组各数能构成直角三角形；……重复上述过程于全部的20组，可得只有如下这样的三组数能构成直角三角形：5、15、20或5、10、15或2、8、10；（2）解决（1）时，是计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方，若是则三角形为直角三角形，否则不是直角形．故选：B(勾股定理逆定理)；（3）△15不能写成两个自然数的平方和的形式，△以网格的格点为端点的线段其长不可能为15△5、15、20或5、10、15不能作为直角三角形的三边画在网格中，使其顶点都在格点上；△22211=+、22822=+、221013=+△以网格的格点为端点的线段其长可以为2、8、10，△2、8、10为边的直角三角形可以画在网格中，使其顶点都在格点上，如下图所示：【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理，并利用其在网格中画格点直角三角形．熟悉勾股定理及其逆定理的应用方法和区别是关键，此题的另一个关键是只有一个自然数能写成两个自然数平方和的形式，则这个自然数的算术平方根为长度的线段其两个端点才都能在格点上．25．（1）△ABC是直角三角形；（2）当t＝3、6或5.4时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）当t为2秒或24103-秒，P、Q两点之间的距离为10．【解析】【分析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；（2）由于动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论；（3）当P、Q两点之间的距离为10时，分四种情况讨论：点P在AC上，点Q在BC 上；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P 在点Q的右侧；点P在AB上，点Q在BC上，分别求得t的值并检验即可．【详解】解：（1）△ABC是直角三角形．△AB＝10，BC＝6，AC＝8，△AC2＋BC2＝100＝AB2，△△ABC是直角三角形；（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝6，则t＝6÷2＝3秒，；如图，当点P在AB上时，分两种情况：若BP＝BC＝6，则AP＝4，故t＝（8＋4）÷2＝6秒；若CP＝CB＝6，作CM△AB于M，则12×AB×MC＝12×BC×AC，12×10×MC＝12×6×8，解得MC＝4.8，△由勾股定理可得PM＝BM＝3.6，即BP＝7.2，△AP＝2.8，故t＝（8＋2.8）÷2＝5.4秒．综上所述，当t＝3、6或5.4时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）△如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤4），由勾股定理可得：（2t）2＋t2＝10，解得t＝2；△当点P在AB上，点Q在BC上时，当P运动到A点时，t=4，此时PQ=228445+=，当Q运动到B点时，t=6，此时PQ的长为10-2×（6-4）=6，△PQ的长大于6且小于45，不符合题意；△当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（8＜t≤9），由题可得：2t＋t−24＝10，解得t＝24103+，△t＝24103+>9，△不成立，舍去．△如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（6≤t＜8），由题可得：24−2t−t＝10，解得t＝24103-；综上所述，当t为2秒或24103-秒，P、Q两点之间的距离为10．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理的应用以及等腰三角形的判定与性质的运用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．。

1.2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定一、选择题:1. 两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A.6个B.5个C.4个D.3个12A BCD第2题图 第5题图 第7题图 第8题图7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（ ）BAEFCDA．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°二、填空题:9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”.10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________.11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．第11题图第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形.15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=_______时，△ABC≌△APQ．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为__________m.第17题图第18题图三、解答题:19. 如图，,于点，，平分交于点，请=⊥=∠AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．20.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证: Rt△AB E≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.21. 如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．22. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.BAE CD23. 如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?B AE MF D参考答案一、选择题1.D2.B3.B4.B5.C6.C7.C8.A二、填空题9. 斜边,直角边,HL 10. SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL 11. BP=DP 或AB=CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ． 12.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS. `13. 45° 14. 3 15. 4或8 16. 7 17. 90° 18. 500三、解答题19.解：（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）. （2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.在Rt ADB △和Rt ADC △中，,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.20.解：（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)(2) ∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠AC B=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.21.（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，∵∠A=∠A ，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC ， ∴△ACD ≌△ABE ， ∴AD=AE ．（2）互相垂直，在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ， ∴△ADO ≌△AEO ， ∴∠DAO=∠EAO ，即OA 是∠BAC 的平分线， 又∵AB=AC ， ∴OA ⊥BC ．22.证明：∵BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E ∴∠ADB=∠AEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD 和△CAE 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE(AAS) ∴BD=AE,AD=CE ∵AE=AD+DE ∴BD=CE+DE23. 解：(1)EM=FM(2)作EH ⊥AM,垂足为H,FK ⊥AM,垂足为K 先说明Rt △EHA ≌Rt △ADB 得EH=AD Rt △FKA ≌Rt △ADC 得FK=AD 得EH=FK在Rt △EHK 与Rt △FKM 中,Rt △EHM ≌Rt △FKM 得EM=FM.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方2 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..则菱形ABCD的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P，再随机摸出一张卡片，其数字记为q，则关于的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12 18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转 (1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由. 20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

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北师大版数学八年级下册第一章第二节直角三角形课时练习一、选择题（共15小题）1．下列说法中不正确的是（）A．平行四边形是中心对称图形B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等答案：D解析:解答：A．平行四边形是中心对称图形，说法正确；B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等，说法正确；C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等，说法错误；D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等,说法正确；故选：C．分析:根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据AAS定理可得B正确;根据全等三角形的判定定理可得要证明两个三角形全等，必须有边对应相等可得C正确；根据HL定理可得D正确．2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（)A．140° B．160° C．170° D．150°答案：B解析：解答：∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°,∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．分析：利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=( ）A．44° B．34° C．54° D．64°答案：A解析：解答：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故选A．分析:根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．4．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°答案：C解析：解答：由题意得,剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故选：C．分析:根据直角三角形两锐角互余解答．5．如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确答案：B解析：解答：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．依据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD,故选：B．分析：根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．6．下列可使两个直角三角形全等的条件是（)A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等答案：B解析:解答：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；而D构成了AAA，不能判定全等；B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．故选：B．分析：判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答．7．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是( ）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA答案：A解析：解答：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边,∴△AEO≌△AFO．故选A．分析:利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．8．如图所示,AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为（)A．65° B．35° C．55° D．45°答案:B解析：解答:∵AB⊥BD，AC⊥CD,∴∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°,又∵∠AEB=∠CED,∴∠A=∠D=35°．故选B．分析：先由AB⊥BD，AC⊥CD可得∠B=∠C=90°，再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，由对顶角相等有∠AEB=∠CED，然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°．9．在直角三角形中,其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是( ）A．15° B．30° C．60° D．90°答案：B解析：解答:设较小的锐角是x °，则另一个锐角是2x °，由题意得,x +2x =90，解得x =30，即此三角形中最小的角是30°．故选:B ．分析：设较小的锐角是x ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）A ．100度B ．120度C ．135度D ．140度答案：C解析:解答：如图，∵∠C =90°，∴∠BAC +∠ABC =180°﹣90°=90°,∵AD 、BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线，∴∠OAB +∠OBA =21×90°=45°， ∴∠AOB =180°﹣（∠OAB +∠OBA )=180°﹣45°=135°．故选：C ．分析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC +∠ABC =90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB +∠OBA =45°，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．11．如图所示，H 是△ABC 的高AD ,BE 的交点，且DH =DC ，则下列结论:①BD =AD ；②BC =AC ;③BH =AC ；④CE =CD 中正确的有( ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B解析:解答：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH=∠ADB=90°∵∠HBD+∠BHD=90°,∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE ∴∠HBD=∠EAH∵DH=DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD=AD，BH=AC②：∵BC=AC∴∠BAC=∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD∴∠ABC=45°∴∠BAC=45°∴∠ACB=90°∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°∴结论②为错误结论．③：由①证明知,△BDH≌△ADC∴BH=AC解④：∵CE=CD∵∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏条件,无法证得△BEC≌△ADC∴结论④为错误结论综上所述，结论①，③为正确结论,结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选:B．分析:可以采用排除法对各个选项进行验证，从而得出最后的答案．12．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL答案：C解析：解答:两边及夹角对应相等的两个三角形全等,这为“边角边”定理，简写成“SAS”．故选：C．分析:根据三角形全等的判定定理，两条直角边对应相等，还有一个直角，则利用了SAS．13．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°,D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（)A．90° B．100° C．110° D．120°答案：C解析：解答:如图，∵在△ABC中,∠C=60°，∠B=50°,∴∠A=70°．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选：C．分析:由三角形内角和定理求得∠A=70°；由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°;然后根据四边形内角和是360度进行求解．14．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对答案：C解析:解答：相等的锐角有：∠B=∠CAD,∠C=∠BAD共2对．故选:C．分析:根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可．15．下列说法错误的是（)A．直角三角板的两个锐角互余B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行C．如果两个角互补，那么,这两个角一定都是直角D．平行于同一条直线的两条直线平行答案:C解析：解答：A．直角三角形中的两个锐角互余，所以直角三角板的两个锐角互余，故本选项说法正确;B．根据平行公理可知：过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条，故本选项说法正确；C．如果两个角互补，那么，这两个角和一定是180°，但是它们不一定都是直角，故本选项说法错误;D．根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行．故本选项说法正确；故选:C．分析:①根据直角三角形的性质判断；②过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条；③根据补角的定义进行判断；④根据平行线的性质进行判断．二、填空题（共5小题)16．如图,在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB,垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：（答案不唯一)，使△ADB≌△CEB．答案:AB=BC解析：解答：AB=BC,AD⊥BC，CE⊥AB，∠B=∠B∴△ADB≌△CEB(AAS）．答案：AB=BC．分析：要使△ADB≌△CEB,已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等,故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．17．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．答案：AC=DE解析：解答：AC =DE ，理由是：∵AB ⊥DC ，∴∠ABC =∠DBE =90°，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，⎩⎨⎧==BCBE DE AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ）．故答案为：AC =DE ．分析：先求出∠ABC =∠DBE =90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．18．如图，在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∠1=∠2，有下列结论:①AC ∥DE ;②∠A =∠3;③∠B =∠1;④∠B 与∠2互余；⑤∠A =∠2．其中正确的有 （填写所有正确的序号)．答案：①②③解析：解答：∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴△ACD 与△ACB 都为直角三角形，∴∠A +∠1=90°，∠A +∠B =90°,∴∠1=∠B ，选项③正确；∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，选项①正确；∴∠A =∠3，选项②正确；∵∠1=∠B ,∠1=∠2，∴∠2=∠B ，即∠2与∠B 不互余，选项④错误;∠2不一定等于∠A ，选项⑤错误;则正确的选项有①②③,故答案为：①②③．分析:由同角的余角相等得到∠1=∠B，由已知内错角相等得到AC与DE平行,由两直线平行同位角相等得到∠A=∠3,再利用等量代换得到∠2与∠B相等,∠2不一定等于∠A．19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为度．答案：60解析:解答：∵三角形是直角三角形，一个锐角等于30°，∴另一个锐角为90°﹣30°=60°,故答案为：60．分析：根据直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角的度数即可．20．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC= ．答案：45°或135°解析：解答：有2种情况,如图（1)，（2),∵∠BHD=∠AHE，又∠AEH=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°,∠HAE+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠C，∴∠C=∠BHD,∵BH=AC，∠HBD=∠DAC，∠C=∠BHD,∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD．如图(1）时∠ABC=45°；如图（2）时∠ABC=135°．∵AD=BD，AD⊥BD，∴△ADB 是等腰直角三角形，∴∠ABD =45°，∴∠ABC =180°﹣45°=135°，故答案为:45°或135°．分析：根据高的可能位置，有2种情况，如图(1)，（2），通过证明△HBD ≌△CAD 得AD =BD 后求解．三、解答题（共5小题）21．如图，已知∠A =∠D =90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB =CD ，BE =CF ． 求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE ．答案：证明:∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，∵∠A =∠D =90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，⎩⎨⎧==CD AB CE BF ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）．解析：分析:由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．22．已知：AB ⊥BC ,AD ⊥DC ，∠1=∠2,问：△ABC ≌△ADC 吗？说明理由．答案：解：△ABC ≌△ADC ．理由如下：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B =∠D =90°．在△ABC 与△ADC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ACAC DB 21,∴△ABC ≌△ADC （AAS ）．解析:分析:根据全等三角形的判定定理AAS 进行证明．23．如图，AD ∥BC ，∠A =90°，E 是AB 上的一点，且AD =BE ，∠1=∠2．求证：△ADE ≌△BEC ．答案：证明：∵∠1=∠2，∴DE =CE ．∵AD ∥BC ，∠A =90°,∴∠B =90°．∴△ADE 和△EBC 是直角三角形，而AD =BE ．∴△ADE ≌△BEC ．解析：分析：此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．24．如图，在直角△ABC中,∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．答案:证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°,∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°,∴CD⊥AB．解析：分析：25．在△ABC中,OE⊥AB,OF⊥AC且OE=OF．（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB=AC;答案:证明：∵OE=OF，OB=OC，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）;∴∠B=∠C,∴AB=AC．（2)如图，当点O在△ABC内部时,且OB=OC,试说明AB与AC的关系；答案：AB=AC．证明:同(1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF；∴∠OBE=∠OCF;∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB;∴∠ABC=∠ACB；∴AB=AC．(3）当点O在△ABC外部时，且OB=OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）答案：解:当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB=AC成立，如图①;当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立,如图②．（图形不唯一，符合题意,画图规范即可）解析：分析：（1）证△BOE≌△COF，可得∠B=∠C,通过等角对等边,得出AB=AC；（2）与（1)类似，在证得△BOE≌△COF后,得∠OBE=∠OCF，OB=OC；则∠OBC=∠OCB，可证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出AB=AC；（3)由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB=AC的结论才成立（等腰三角形三线合一)．。

精选文档123第一章三角形的证明第2课时直角三角形1．（ 2019 ·河北初二期末）如图，△ ABC的角均分线CD、 BE订交于 F，△ A=90，°EG△BC，且 CG△ EG于 G，以下结论：1①△ CEG=2△ DCB；②△ DFB=△ CGE；③△ ADC=△ GCD；④ CA均分△ BCG;此中正确的个数是（）2A．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】①△EG△BC，△△CEG=△ACB．又△CD 是△ABC 的角均分线，△△CEG=△ACB=2△DCB，故正确；④没法证明CA 均分△BCG，故错误；③△△A=90 °，△△ADC+△ACD=90 °．△CD均分△ACB，△△ACD=△BCD，△△ADC+△BCD=90 °．△EG△BC，且 CG△EG，△△GCB=90 °，即△GCD+△BCD=90 °，△△ADC=△GCD，故正确；1②△△EBC+△ACB=△AEB，△DCB+△ABC=△ADC，△△AEB+△ADC=90 °+（△ABC+△ACB）=135°，211△△DFE=360 °﹣ 135 °﹣ 90° =135，°△△DFB=45 °= △CGE，△△CGE=2△DFB，△△DFB=△CGE，故正确．22应选 C．°2.（2019·吉林初二期末）在????????????中，∠??????= 90 ， ????⊥????于 ??， ????均分∠??????交????于 ??，则A． ????= ???? B．????= ????C． ????= ????D． ????= ????【答案】 C【分析】△△ ACB=90，°CD△AB，△△ACD+△ BCD=90，△°ACD+△ A=90，°△△BCD=．△A△CE均分△ ACD，△△ACE=△ ．DCE又△△ BEC=△A+△ACE，△BCE=△BCD+△DCE，△△BEC=△，BCE△BC=BE．应选 C．3.（2019·福建初二期中）如下图，H 是△ABC的高 AD，BE的交点，且 DH=DC，则以下结论：① BD=AD；② BC=AC；③ BH=AC；④ CE=CD 中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B【分析】①△BE△AC， AD△BC，△△AEH=△ADB=90°．△△HBD+△BHD=90 °，△EAH+△AHE=90 °，△BHD=△AHE，△△HBD=△EAH．△DH=DC，△△BDH△△ADC（ AAS），△BD=AD，BH=AC；②△BC=AC，△△BAC=△ABC．由①知，在 Rt△ABD 中，△BD=AD，△△ABC=45°，△△BAC=45°，△△ACB=90°．△△ACB+△DAC=90 °，△ACB＜ 90°，△结论②为错误结论．③由① 证明知，△BDH△△ADC，△BH=AC；④△CE=CD，△ACB=△ACB；△ADC=△BEC=90 °，△△BEC△△ADC，因为缺少条件，没法证得△BEC△△ADC，△结论④ 为错误结论．综上所述，结论① ，③ 为正确结论，结论② ，④ 为错误结论，依据题意应选B．应选 B．4. （2019·江西初二期中）三角形的三边长a，b ，c 知足关系式（ a+2b﹣ 60）2+|b ﹣ 18|+ c 30 =0，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】 D【分析】△(a+2b-60)2+|b-18|+ c 30 =0，△a+2b-60=0， b-18=0 ， c-30=0 ，△a=24， b=18， c=30，22，△a+b2=c△这个三角形是直角三角形，应选： D.5.（2019·湖南初一期末）已知两个分别含有30°，45°角的一幅直角三角板．（1）如图 1 叠放在一同，若△CAD=4△BAD，请计算△CAE的度数；（2）如图 2 叠放在一同，使△ACE=2△BCD，请计算△ACD的度数．【分析】解：（ 1）由△CAD+△BAD=90°，△CAD=4△BAD，△5△ BAD=90，°△△ BAD=18，°△△CAE=18；°（ 2）设△BCE=α，△△ACE=2△，BCD-α =2（ 60-α），△ 90△α=30°，即△BCE=30，°△△ BCD=30，°△△ ACD=120．°6.（2019·全国初二课时练习）如图是一块地的平面图， AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，△ADC=90°，求这块地的面积．【分析】连结AC ，△△ADC=90°△在 Rt △ ADC中， AC2= AD2+CD2=42+32=25，22222△ AC+BC =25+12 =169, AB =13 =169，222△ AC+BC = AB，△△ ACB=90，°112△ACB△ADC△S=S －S =2× 12×5－× 4× 3=24m2答：这块地的面积是24 平方米7.（ 2019·江苏初二月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC的地点如下图．（ 1）分别写出△ABC各个极点的坐标；（ 2）判断△ABC的形状；（ 3）请在图中画出△ABC对于 y 轴对称的图形△A'B'C'．【分析】解：（1）由题意可知：A(-1,5),B(-2,0),C(-4,3);(2)依据勾股定理可得：AB2125226BC 2322213AC2322213△ BC=AC，且BC2AC 2AB2△△ ABC是等腰直角三角形；(3)A'B'C'△如下图：8.（ 2019·广东初二期中）如图，在四边形 ABCD中， AB＝BC＝ 2， CD＝ 3，AD＝ 1，且△ABC＝90°，连结 AC．（1）求 AC的长度．（2）求证△ACD是直角三角形．（3）求四边形 ABCD的面积？【分析】解：（1 ）在直角△ABC中， AC 为斜边，且 AB＝BC＝ 2，则 AC＝AB2BC2＝2222＝2 2 ．（2）△AD＝ 1， CD＝3， AC＝ 2 2△222AC+AD ＝CD，即△ACD为直角三角形，且△DAC＝90°，1111（ 3）四边形 ABCD的面积＝ S△ABC+S△ACD＝AB× BC+ AD× AC＝× 2× 2+× 1×2＝ 2+2．22222答：四边形ABCD的面积为2+ 2 ．。

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】1.2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定一、选择题1．在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C =∠C ′=90°，∠A =∠B ′，AB =B ′A ，则下列结论中正确的是（ ） A.AC =A ′C ′ B.BC =B ′C ′ C.AC =B ′C ′D.∠A =∠A ′2．下列结论错误的是( )A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等D ．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等 3．两个直角三角形全等的条件是（ ）A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.一条斜边和一直角边对应相等 4．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠5．如图所示，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 交D 点，E 、F 分别是DB 、DC 的中点，则图中全等三角形的对数是（ ）A.1B.2C.3D.4ABCD（第4题）二、填空题6． 如图，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ， AE ＝AF ，请找出一对全等的三角形： ． 7．如图，已知AC ⊥BD ，BC =CE ，AC =DC .试分析∠B +∠D = .8．如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF 与GE E F ，，分别是AD BC ，的中点，可证得Rt AGE △≌ ，理由是 ，于是G 是 的中点． 三、解答题9．如图，已知AD AF ，分别是两个钝角ABC △和ABE △的高，如果AD AF =，AC AE =．求证：BC BE =．A D CBEA B CFEDG参考答案1．C 2．D 3．D 4．C 5．D6．Rt Rt ADE ADF △≌△ 7．90° 8．Rt Rt AGE BGF △≌△，HL ，AB 9．根据“HL ”证Rt Rt ADC AFE △≌△，CD EF ∴=，再根据“HL ”证Rt Rt ABD ABF △≌△，BD BF ∴=，BD CD BF EF ∴-=-，即BC BE =．中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

《2 直角三角形》习题
一．基础巩固
1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长的平方之比为1∶2∶3
C．三边长之比为3∶4∶5 D．三内角之比为3∶4∶5
2．如图1所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________cm（结果不取近似值）．
图1 图2
3．如图2，以R t△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________．
4．已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形．二．综合应用
1．已知a、b、c是R t△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？
2．已知：如图3，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD．
求证：△ABC是直角三角形．
图3
3．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．。

1.2直角三角形课时练习一、选择题1．△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为高，若BD＝2cm，则AD等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm.2．将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分面积为（）A B．C D3．已知直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．30°4．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF ⊥CD于点F，则EF的长是（）A．3B．4C．5D．1257．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．69、直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为( )A．100度B．120度C．135度D．140度10、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=8，BD=6，则AC的长为积为( )A．142B．74C．8 D．6411、如图，AB⊥AC，垂足为A，DC⊥DB，垂足为D，AE⊥BC，DF⊥BC垂足分别为E、F，AB=DC，则图中全等三角形为()A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对二、填空题12．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是．第10题图第11题图13．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，AB∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．14．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）15．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．16．如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．三、解答题17．如图所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12cm，△ABE的面积S＝60cm2．(1)求出AB边的长；(2)你能求出∠C的度数吗？请试一试．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：222=+.AD AC BD19．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=12km，AC=5km，BC=13km，要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，求这条公路的最低造价是多少万元？=，点D为平面内一点，连AD、BD、CD．20．在等腰ABC中，AB AC∠=∠，求证：（1）如图1，若点D是ABC内一点，且BAD CAD∠=∠；DBC DCB（2）如图2，若点D 是ABC 外一点，且180ADC ADB ∠+∠=︒，60ACD ∠=︒，求证：AB CD BD =+； （3）如图3，若点D 在CB 的延长线上，过点C 作CE AD ⊥交AD 于点E ，若AD CD =，AE BD =，求证：2221144AE CD CE =-．。