扩展欧几里德算法计算乘法逆元

欧几里德扩展算法求多项式乘法逆元在数学的世界里，有个东西叫多项式。

说白了，它就是由变量和常数构成的一种数学表达式，像是“3x^2 + 2x + 1”这种。

不说你可能觉得没什么，实际在很多地方都用得到。

可你知道吗，有些时候我们需要找一个“逆元”，就像在生活中找个朋友互相帮助一样，互相成就。

这个时候，欧几里德扩展算法就会派上用场了。

想象一下，你和朋友一起去超市买东西，你们有各自的预算，结果买完东西一算，发现你们花的钱总和正好就是你们的预算。

多开心啊！可要是其中一个人花了超出预算，怎么办呢？这时候就需要“逆元”了。

简单来说，逆元就像是你花的那些钱的“反向操作”，让你又回到最开始的预算上。

数学里的逆元就是要找到一个多项式，让它和原来的多项式相乘，结果等于1。

这听起来是不是有点复杂？但实际上，跟朋友一起合作，互相帮助一样，找到这个逆元其实也能挺有趣的。

在多项式的世界里，欧几里德扩展算法就像是个聪明的智者，帮我们找到这个逆元。

先说说什么是欧几里德算法。

其实很简单，它就是一种求最大公约数的方法。

想象一下，你有两个数字，一个是你家里的小狗的年龄，另一个是你奶奶的岁数。

你想知道它们的最大公约数，也就是两者共同的“朋友圈”有多大。

用欧几里德算法，你可以一步一步把大数字变小，最后找到那个共同的“朋友”。

可是，等到多项式的世界里，事情就有点不同了。

你得用扩展版的欧几里德算法，毕竟这里的“朋友”不止两个。

有了多项式，怎么求逆元呢？得设定一个模，比如一个素数，这样就能在这个范围内找到逆元。

想象你在打麻将，得有个圈子才能玩下去，不然大家都不知所措。

咱们就开始动手了。

先用欧几里德算法找出原多项式和模之间的关系。

这就像你和朋友打扑克，先得把牌理顺，看看谁的牌大。

然后用扩展算法，逐步找出每一步的系数，像是记录下你们在超市里每一项开支，最后再加起来，找出最终的结果。

这个过程其实挺有趣的，像是在玩一场智慧的游戏，时不时还会有意想不到的收获。

欧几里得算法与扩展欧几里得算法（求二元一次不定方程、乘法逆元）1.欧几里得算法，即辗转相除法。

用于求两个整数的最大公约数比较方便，时间复杂度为O（logN）N为两个整数的规模。

最大公约数，是能够同时被两个整数整除的最大整数。

比如说，求56和21的最大公约数：（每行数分别代表a=56,b=21,a%b）此时得到最大公约数为7。

递归代码如下：int gcd(int a, int b)return b ? gcd(b, a%b) : a;2.扩展欧几里得算法顾名思义，扩展欧几里得算法就是对欧几里得算法的扩展，可以应用于求二元一次方程的通解、乘法逆元等。

对于上面的欧几里得算法，当递归到出口时，a=7,b=0。

很容易就可以得到一组ax+by=7的解：x=1,y=0。

那么如何通过7x+y=7的解逆推出56x+21y=7的解呢？对于欧几里得算法的每一个状态，都存在ax+by=gcd(a,b)的解，我们假设有这样两组解（且他们为相邻状态）：ax1+by1=gcd(a,b)a'x2+b'y2=gcd(a',b')那么可以知道：a'=b b'=a%b 且gcd(a',b')=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)，所以有ax1+by1=bx2+(a%b)y2 另a%b可写为 a-a-b所以有 ax1+by1=bx2+(a-(a-b)b)y2故ax1+by1=ay2+bx2+(a-b)by2故ax1=ay2 by1 = b(x2+ (a-b)by2)故 x1=y2 y1 = x2 +(a-b)y2故可以得到x1,y1与x2,y2的关系 : x1=y2 y1 = x2 +(a-b)y2我们已知的是最后一组解，那么就要根据最后一组解逆推上去，就可以得到ax+by=gcd(a,b)的一组解了。

代码如下：int exgcd(int a, int b, intx, int y)return a;int r = exgcd(b, a%b, x, y); --递归到求出公约数，开始倒着求每一组的x,y。

乘法逆元的求法（5种）若a*b≡1（mod p）即a，b互为mod p意义下的逆元即（x/a）%p应为x*b%p⼀、扩展欧⼏⾥得求逆元根据a*b+p*k=1板⼦O(logN)：1 #include<bits/stdc++.h>2 typedef long long ll;3 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {4if(!b) {5 x=1,y=0;6return a;7 }8 ll res=exgcd(b,a%b,y,x);9 y-=a/b*x; ///x=x1,y=x1-a/b*y1 x1,y1代表下⼀状态10return res;11 }12int main()13 {14 ll a,p,x,y; ///扩展欧⼏⾥得计算a的逆元（mod p）15 scanf("%lld%lld",&a,&p);16 ll d=exgcd(a,p,x,y);17 printf(d==1?"%lld":"-1",(x+p)%p);///最⼤公约数不为1，逆元不存在，输出-118return0;19 }View Code⼆、费马⼩定理求逆元(p为素数)p为素数，则有a p−1=1(modp)则a p−2∗a=1(modp)即a p−2为a mod p意义下的逆元板⼦O(logp):1 #include<bits/stdc++.h>2 typedef long long ll;3 ll quickpowmod(ll a,ll b,ll mod) {4 ll ans=1;5while(b) {6if(b&1) ans=(ans*a)%mod;7 b>>=1;8 a=(a*a)%mod;9 }10return ans;11 }12int main()13 {14 ll a,p; ///费马⼩定理计算a的逆元（mod p）15 scanf("%lld%lld",&a,&p);16 ll inva=quickpowmod(a,p-2,p);17 printf("%lld",inva);18return0;19 }View Code三、欧拉定理求逆元（a，p互素）a,p互素，则有aφ(p)=1(modp)则aφ(p)−1∗a=1(modp)即aφ(p)−1为a mod p意义下的逆元板⼦(logp)：1 #include<bits/stdc++.h>2 typedef long long ll;3 ll get_euler(ll x) {4 ll ans=x;5for(ll i=2;i*i<=x;i++)6if(x%i==0) {7 ans=ans/i*(i-1);8while(ans%i==0) ans/=i;9 }10if(ans>1) ans=ans/x*(x-1);11return ans;12 }13 ll quickpowmod(ll a,ll b,ll mod) {14 ll ans=1;15while(b) {16if(b&1) ans=(ans*a)%mod;17 b>>=1;18 a=a*a%mod;19 }20return ans;21 }22int main()23 {24 ll a,p,x,y;25 scanf("%lld%lld",&a,&p); ///a与p互素26 ll inva=quickpowmod(a,get_euler(p)-1,p);27 printf("%lld",inva);28return0;29 }View Code四、递推求逆元设p是模数，i是待求的逆元，我们求的是i−1p=k∗i+r，令 r < i,则k=p/i,r=p%ik∗i+r≡0(modp)k∗r−1+i−1≡0(modp)i−1≡−k∗r−1(modp)i−1≡−pi∗inv(pmodi)(modp)1 LL inv[mod+5];2void getInv(LL mod)3 {4 inv[1]=1;5for(int i=2;i<mod;i++)6 inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;7 }View Code适⽤范围：mod数是不⼤的素数⽽且多次调⽤，⽐如卢卡斯定理。

扩展的欧几里得算法扩展的欧几里得算法是一种求解最大公约数的算法，也被称为扩展欧几里得算法或扩展辗转相除法。

它不仅可以求出最大公约数，还可以求出一组使得两个数的线性组合等于最大公约数的系数。

本文将介绍扩展的欧几里得算法的原理、应用及其优化。

一、原理扩展的欧几里得算法是基于欧几里得算法（辗转相除法）的扩展。

欧几里得算法是一种求解最大公约数的方法，其基本思想是：用较小的数除较大的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为零为止。

最后的除数就是最大公约数。

例如，求出48和18的最大公约数，过程如下：48 ÷ 18 = 2 (12)18 ÷ 12 = 1 (6)12 ÷ 6 = 2 0因此，最大公约数是6。

扩展的欧几里得算法的主要思想是在欧几里得算法的基础上，求出一组使得两个数的线性组合等于最大公约数的系数。

设a、b为两个正整数，d为它们的最大公约数，那么必定存在整数x和y，使得ax + by = d。

扩展的欧几里得算法就是通过辗转相除的过程，递归求解x和y的值。

具体来说，假设a、b为两个正整数，d为它们的最大公约数，且a > b。

则有：1. 如果b = 0，那么d = a，此时x = 1，y = 0。

2. 如果b ≠ 0，那么可以将a除以b，得到a = bq + r（其中q为a÷b的商，r为余数）。

因为d是a和b的公约数，所以d也是b和r的公约数。

因此，可以递归地求解b和r的系数x1和y1，即有：bx1 + ry1 = d由于a = bq + r，可以将其代入上式，得到：bx1 + (a - bq)y1 = d展开后得到：ay1 + b(x1 - qy1) = d因此，x = y1，y = x1 - qy1。

通过递归求解，最终可以得到x和y的值，从而求出a和b的最大公约数d以及一组使得两个数的线性组合等于最大公约数的系数。

二、应用扩展的欧几里得算法在密码学、数论、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

拓展的欧几里得算法求逆元c++拓展的欧几里得算法用于求解两个数a和b的最大公约数，同时可以求解出满足a * x + b * y = gcd(a, b)的整数x和y，其中a和b互质时，x即为b的乘法逆元。

以下是一个用C++实现的拓展的欧几里得算法，求解逆元的函数为`modular_inverse`：```cpp#include <iostream>using namespace std;// 拓展的欧几里得算法int extended_euclidean_algorithm(int a, int b, int &x, int &y) {if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}int x1, y1;int gcd = extended_euclidean_algorithm(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - (a / b) * y1;return gcd;}// 求解逆元int modular_inverse(int a, int m) {int x, y;int gcd = extended_euclidean_algorithm(a, m, x, y);if (gcd != 1) {throw invalid_argument("Inverse doesn't exist");}return (x % m + m) % m;}int main() {int a, m;cout << "Enter a: ";cin >> a;cout << "Enter m: ";cin >> m;try {int inverse = modular_inverse(a, m);cout << "Inverse of " << a << " (mod " << m << ") is: " << inverse << endl;} catch (const invalid_argument& e) {cout << e.what() << endl;}return 0;}```在这个代码示例中，用户需要输入一个整数a和模数m。

用扩展欧几里得算法求乘法逆元例题扩展欧几里得算法是计算两个整数的最大公约数的算法，并且可以根据最大公约数得到一组解，用于求解线性同余方程的解，也可以用来求乘法逆元。

下面以求解$a$的乘法逆元为例，即寻找一个整数$x$，使得$a times x equiv 1 (text{mod} p)$，其中$p$是一个质数。

使用扩展欧几里得算法，先计算$a$和$p$的最大公约数$gcd(a,p)$，假设为$d$，则有：$gcd(a,p) = d = ax + py$，其中$x$和$y$是扩展欧几里得算法得到的一组解。

由于$d$是$a$和$p$的最大公约数，所以$d$必定是$a$的约数，即$d|a$。

同时，由于$p$是质数，所以$d$不可能是$p$的约数，即$d$与$p$互质。

因此，我们可以将等式两边同时除以$d$，得到：$dfrac{a}{d}x + dfrac{p}{d}y = 1$由于$d$与$p$互质，所以$dfrac{p}{d}$的乘法逆元存在，假设为$k$，即$dfrac{p}{d} times k equiv 1 (text{mod} d)$。

将$k$乘到等式两边，得到：$dfrac{a}{d} times k times x + dfrac{p}{d} times k times y = k$由于$dfrac{p}{d} times k equiv 1 (text{mod} d)$，所以可以将$dfrac{p}{d} times k$替换为$z$，得到：$dfrac{a}{d} times k times x + z times y = k$这个等式可以看成是一个线性同余方程$dfrac{a}{d} times k times x + z times y equiv k (text{mod} d)$，使用扩展欧几里得算法求解即可得到$x$的值。

总结一下求乘法逆元的步骤：1. 使用扩展欧几里得算法计算$a$和$p$的最大公约数$gcd(a,p)$，得到一组解$x$和$y$，使得$gcd(a,p) = ax + py$。

拓展的欧几里得算法求乘法逆元拓展的欧几里得算法又叫扩展欧几里得算法，是一种求解一元线性同余方程的方法，可以用来求解乘法逆元。

假设要求a在模n下的乘法逆元，即找到x满足ax ≡ 1 (mod n)。

算法步骤如下：1. 用欧几里得算法求出a和n的最大公约数gcd(a,n)以及对应的系数s和t。

2. 如果gcd(a,n)不等于1，则a在模n下没有乘法逆元。

3. 如果gcd(a,n)等于1，则ax ≡ 1 (mod n)可以转化为ax + ny = 1的形式，其中y为x的系数。

4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(a,n)的系数s和t，使得sa + tn = gcd(a,n)。

5. 把等式ax + ny = 1中的a用sa + tn替换，得到(sx +n'y)a + (ty) n = 1，其中n'为n的系数。

6. 取模得到(sx + n'y)a ≡ 1 (mod n)，即ax在模n下的乘法逆元为sx + n'y。

举例说明：计算16在模21下的乘法逆元。

1. 计算gcd(16,21)：21 = 1 × 16 + 5，16 = 3 × 5 + 1，gcd(16,21) = 1。

2. gcd(16,21) = 1，继续下一步。

3. 转化为16x + 21y = 1的形式，求出y的系数。

4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(16,21)的系数s和t，使得16s + 21t = gcd(16,21)，得到s = 11，t = -8。

5. 代入得到(11x - 8y)16 + 21y = 1，即(11x - 8y)16 ≡ 1 (mod 21)。

6. 求解得到x = 11，即16在模21下的乘法逆元为11。

注意事项：1. 模数n必须是正整数，且与a互质，否则a在模n下没有乘法逆元。

2. 扩展的欧几里得算法有多组解，根据具体问题设置取值范围。

课程编写
内容
名称密码学数学基础之求逆
与要求掌握密码学相关的数学基础知识理解求逆运算的过程
(虚拟PC）Windows XP操作系统
环境描述Visual C++ 6.0 实验代码
识
乘法逆元的定义为：对于w∈Zn，存在于x∈Zn，使得于wx≡1 mod n，则w是可逆的，称x为为x=w−1；其中Zn表示小于n的所有非负整数集合。

通常通过扩展欧几里得算法和费马小定理求乘扩展欧几里得算法。

扩展欧几里得算法的定义为：如果整数f1，gcd(d,f)=1，那么d有一个模f 的乘法逆元；即对d，存在一个小于f的正整数d-1，使得d×d−1≡1 mod f。

容实验求逆运算程序
骤
1、打开控制台，进入虚拟环境。

2、使用默认的用户名：administrator，密码：123456登录到目标主机windows xp
3.桌面找到Visual C++ 6.0双击。

选择“文件”“新建”。

4.创建一个win32控制台工程，工程名称和位置自定（此处工程名称以“BUPT1044B”为例）。

5.左侧工作区，选择“FileView”选项卡。

6.右键工程文件名称，选择“添加文件到工程”。

可到d:\tools\BUPT1047B中找到相关代码。

7.根据实验原理，编写程序。

输入两个数字，第一个数字为公式wx≡1 mod n的w，第二个数字为输出结果如下：
8.实验结束，关闭实验场景。

RSA算法中的欧几里德算法2008-03-14 12:10 1078人阅读评论(0) 收藏举报欧几里德算法（辗转相除法）欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里德算法举例例如，在RSA算法中，首先要验证Φ（n）与密钥d互素，则可利用欧几里德算法来验证：设Φ(n)=(23-1)*(29-1)=616，取d=19，则依次进行如下过程：616 ÷ 19 = 32 余 819 ÷ 8 = 2 余 38 ÷ 3 = 2 余 23 ÷ 2 = 1 余 1当余数为1时，即可证明Φ（n）与d互素扩展欧几里德算法模P乘法逆元对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a，p) = 1证明：首先证明充分性如果gcd(a，p) = 1，根据欧拉定理，aφ(p) ≡ 1 mod p，因此显然aφ(p)-1 mod p是a的模p乘法逆元。

再证明必要性假设存在a模p的乘法逆元为bab ≡ 1 mod p则ab = kp +1 ，所以1 = ab - kp因为gcd(a，p) = d所以d | 1所以d只能为1扩展欧几里德算法举例举例同上，在RSA算法中要求ed=1(mod Φ(n))即求密钥d的模Φ(n)乘法逆元，即d=19，Φ(n)=(23-1)*(29-1)=616参考“正向”欧几里德算法的计算式，采用回推法1=3- 1×21=3- 1×(8-2×3) 整理，即1=3×3- 1×81=3×(19-2×8)- 1×8 整理，即1=3×19- 7×81=3×19- 7×(616-32×19) 整理，即1=227×19- 7×616由此，得到结果：227×9=1 （mod 616），故e=19分享到：•上一篇：RSA算法中的欧拉定理和费马定理•下一篇：RSA算法中的高幂次运算实现。

让我们来掏空欧几里得扩展算法。

欧几里得算法，也称为辗转相除法，是一种用来计算两个数的最大公约数的有效算法。

而欧几里得扩展算法，则可以进一步应用到求解模运算的逆元问题上。

现在，让我们来解决一个具体的问题：用欧几里得扩展算法求67模119的逆元。

我们需要明确逆元的概念。

在模运算中，如果存在一个数x，使得a*x ≡ 1 (mod m)，那么x就是a在模m意义下的逆元。

逆元就是在模m 意义下，对于给定的数，能够使得它与另一个数的乘积模m后得到1的数。

接下来，我们可以使用欧几里得扩展算法来求解逆元。

该算法的一般步骤如下：步骤1：我们需要使用欧几里得算法来计算出67和119的最大公约数。

这可以通过不断地进行辗转相除来逐步缩小问题规模，直到找到最大公约数为止。

假设最终的最大公约数为d。

步骤2：利用欧几里得算法中的倒推过程，我们可以得到一个关于67和119的线性组合，使得这个组合等于d。

也就是说，存在整数x和y，使得67*x + 119*y = d。

步骤3：如果d=1，说明67和119互质，我们可以继续进行下一步。

如果d不等于1，那么67和119不互质，说明67在模119意义下没有逆元。

步骤4：我们可以根据步骤2中得到的线性组合，通过适当的变换，找到一个关于67和119的线性组合，使得这个组合等于1。

这个线性组合中的系数就是67在模119意义下的逆元。

通过上述步骤，我们可以求解出67在模119意义下的逆元。

将这个逆元记为x，即67 * x ≡ 1 (mod 119)。

这样，我们就成功地用欧几里得扩展算法求解了67模119的逆元。

值得注意的是，欧几里得扩展算法不仅可以用来求解模运算的逆元问题，还可以在密码学、数论和离散数学等领域中发挥重要作用。

对于这一算法的掌握和理解具有重要的实际意义。

总结回顾一下，通过本文的讨论，我们对欧几里得扩展算法的应用有了更深入的了解。

从最大公约数的计算到线性组合的推导，再到逆元的求解，我们逐步揭开了算法的神秘面纱。

欧几里得算法：又叫做辗转相除法，用来求两个数的最大公约数。

通过辗转相除，当余数为0的时候，最后的除数就是两个数的最大公约数。

扩展欧几里得算法结论：对整数a 与b来说, 必存在整数x 与y 使得ax+by=gcd(a,b)
逆元定义：ax = 1(mod p)，此时a与x互为逆元
例如a = 4，p = 11，由于4*3=12,12 mod 11 = 1,a=4在模11条件下的逆元为x=3。

为什么扩展欧几里得算法可以求解逆元：
由逆元定义可知满足ax%p=1，因此a与b互为逆元时，加上k倍的p也不影响，毕竟kp对p取余之后为0,所以可以将求逆元的过程转换成：ax+kp=1,此时a与p已知，这就成功转化成扩展欧几里得算法求解的形式，我们可以求出x和k，x即为a对应的逆元。

中国剩余定理（CRT）是数论中的一个重要定理，用于解决一组模同余方程组。

C++ 中可以通过实现相关算法来应用中国剩余定理。

首先，让我们回顾一下中国剩余定理的基本形式。

给定一组同余方程：
x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
⋮
x≡a k(mod m k)
其中m1,m2,...,m k两两互质，即任意两个模数的最大公约数为 1。

中国剩余定理保证存在唯一的解x模乘积M=m1⋅m2⋅...⋅m k。

C++ 中实现中国剩余定理的一种方式是使用扩展欧几里得算法求解模数之间的乘法逆元，然后通过计算累积求解最终的x。

以下是一个简单的 C++ 示例代码：
这个例子中，我们通过extendedGCD函数求解乘法逆元，然后在chineseRemainderTheorem函数中应用中国剩余定理。

这只是一个简单的示例，实际应用中可能需要根据具体情况进行修改。

扩展欧几里得算法求逆元c++扩展欧几里得算法是求解线性同余方程ax ≡ 1 (mod m) 的经典方法，其中 a 和 m 都是正整数。

如果存在整数 x 满足这个方程，我们称 x 是 a 在模 m 意义下的逆元。

以下是使用扩展欧几里得算法求逆元的 C++ 代码示例：```c++#include <iostream>using namespace std;// 扩展欧几里得算法求解 ax + by = gcd(a, b) 的一组解int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;} else {int g = exgcd(b, a % b, y, x);y -= (a / b) * x;return g;}}// 求解ax ≡ 1 (mod m) 的最小正整数解 xint modulo_inverse(int a, int m) {int x, y;int g = exgcd(a, m, x, y);if (g != 1) {// a 在模 m 意义下没有逆元return -1;} else {// 求解最小正整数解 (x % m + m) % mreturn (x % m + m) % m;}}int main() {int a = 3; // 求 3 在模 11 意义下的逆元int m = 11;int x = modulo_inverse(a, m);if (x != -1) {cout << a << " 在模 " << m << " 意义下的逆元是 " << x << endl;} else {cout << a << " 在模 " << m << " 意义下没有逆元" << endl;}return 0;}```注意，如果 a 在模 m 意义下没有逆元，则返回值为 -1。

非质数的乘法逆元
质数的乘法逆元在数论中有着广泛的应用，但如果在模意义下考虑非质数的情况，其乘法逆元是否存在呢？
事实上，对于模数m和一个非质数a，如果a和m不互质，则a 在模m意义下没有乘法逆元。

这是因为如果存在一个数x，使得ax ≡1(mod m)，则必须有gcd(a,m)=1，否则方程ax≡1(mod m)无解。

但如果a和m互质，则a在模m意义下有乘法逆元。

此时可以用扩展欧几里得算法求出a关于m的乘法逆元x，即ax≡1(mod m)。

扩展欧几里得算法不仅能够求出最大公约数gcd(a,m)，还可以同时返回x和y，使得ax+my=gcd(a,m)。

因此，当gcd(a,m)=1时，判断a 是否有乘法逆元只需要判断扩展欧几里得算法的第一个返回值是否为1即可。

总之，在模意义下，非质数的乘法逆元存在与否与模数m的取值和非质数a是否与模数m互质有关。

对于a和m不互质的情况，a在模m意义下没有乘法逆元；对于a和m互质的情况，可以用扩展欧几里得算法求出a关于m的乘法逆元。

- 1 -。

扩展欧几里德算法计算乘法逆元一．欧几里德算法欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：void swap(int & a, int & b) {int c = aa = b;b = c;}int gcd(int a,int b){if(0 == a ){return b;}if( 0 == b){return a;}if(a > b){swap(a,b);}int c;for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b){a = b;b = c;}return b;}二．扩展欧几里德算法乘法逆元模P乘法逆元对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1三．扩展欧几里德算法如下：#include <iostream.h>int gcd(int a, int b , int &ar,int &br){int x1,x2,x3;int y1,y2,y3;int t1,t2,t3;int k;if(0 == a){//有一个数为0，就不存在乘法逆元ar = 0;br = 0;return b;}if(0 == b) {ar = 0;br = 0 ;return a;}x1 = 1;x2 = 0;x3 = a;y1 = 0;y2 = 1;y3 = b;for(t3 = x3 % y3 ; t3 != 0 ; t3 = x3 % y3){ k = x3/y3;t2 = x2-k*y2;t1 = x1-k*y1;x1 = y1;x1 = y2;x3 = y3;y1 = t1;y2 = t2;y3 = t3;}if( y3 == 1){//有乘法逆元ar = y2;br = x1;return 1;}else{//公约数不为1，无乘法逆元ar = 0;br = 0;return y3;}}int main(){int a,b;int ar,br;int r;cin>>a ;cin>> b ;r = gcd(a,b,ar,br);cout<<"\n最大公约数:"<<r<<endl; cout<<"\n乘法逆元:"<<ar<<endl; cout<<"\n乘法逆元:"<<br<<endl; return 0;}四．程序分析本程序只是很简单描述了一般情况下的扩展欧几里德算法乘法逆元，当给出的两个数如果最大公因数不为一时，则无乘法逆元，将他们的逆元都设置为0，当给出的数只要有一个为零，则没有乘法逆元。

欧几里得算法求逆元介绍欧几里得算法是一种用于求最大公约数的算法，它是古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中首次提出。

然而，在计算机科学中，欧几里得算法也被广泛应用于求逆元的问题上。

逆元是一个数学概念，它表示在模运算下除法的逆元素。

具体而言，对于一个整数a和模数m，如果存在一个整数b，使得ab被m整除并且余数为1，则称b为a在模m下的逆元。

求逆元在密码学和数论中有重要应用，尤其是在求解同余方程和构造加密算法中。

在本文中，我们将详细介绍欧几里得算法如何应用于求逆元的问题，并给出具体的实现方法和示例。

欧几里得算法什么是最大公约数在介绍欧几里得算法之前，我们先来了解一下最大公约数的概念。

最大公约数，简称为gcd（Greatest Common Divisor），是指能同时整除两个或多个整数的最大正整数。

对于两个整数a和b，它们的最大公约数记作gcd(a, b)。

欧几里得算法的原理欧几里得算法的原理非常简单，它基于下面的原理：对于两个正整数a和b，它们的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。

也就是说，gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。

欧几里得算法的执行过程欧几里得算法的执行过程可以通过递归或循环来实现。

以下是使用递归方式实现欧几里得算法的伪代码：function gcd(a, b)if b = 0 thenreturn aelsereturn gcd(b, a mod b)求逆元得到了最大公约数后，我们可以进一步利用欧几里得算法求解逆元。

对于给定的整数a和模数m，如果gcd(a, m) = 1，则a在模m下存在逆元。

使用欧几里得算法求逆元的步骤如下：1.对于给定的a和m，利用欧几里得算法求得它们的最大公约数gcd(a, m)。

2.如果gcd(a, m) = 1，则表示a在模m下存在逆元，我们可以继续下一步；否则，逆元不存在。

3.调用扩展欧几里得算法，求得a在模m下的逆元b。

扩展欧几里得算法求逆元c++扩展欧几里得算法是一种求解两个数的最大公约数和满足特定条件的整数解的算法。

在求解逆元的过程中，扩展欧几里得算法可以找到满足ax≡1(modn)的最小正整数解。

下面是C++实现的代码：```C++#include <iostream>using namespace std;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}int gcd = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return gcd;}int mod_inverse(int a, int n) {int x, y;int gcd = exgcd(a, n, x, y);if (gcd == 1) {return (x % n + n) % n;}return -1;}int main() {int a = 3, n = 11;int inv = mod_inverse(a, n);if (inv == -1) {cout << 'No inverse exists.' << endl;} else {cout << 'The inverse of ' << a << ' modulo ' << n << ' is ' << inv << '.' << endl;}return 0;}```在上面的代码中，exgcd函数实现了扩展欧几里得算法，求出最大公约数gcd和满足ax+by=gcd的一组整数解x和y。

mod_inverse 函数则是利用exgcd函数求出a在模n下的逆元，如果逆元存在，则返回最小正整数解，否则返回-1。