求二次函数的函数关系式

二次函数关系式一、二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

二、二次函数关系式1. 顶点式二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。

2. 标准式二次函数的标准式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示抛物线的形状和位置。

3. 一般式二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中x和y表示平面直角坐标系中某个点的横纵坐标。

三、二次函数图像特征1. 对称轴二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴方程为x = h。

2. 开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 最值当a>0时，最小值等于k；当a<0时，最大值等于k。

4. 零点二次函数在x轴上与x轴交点称为零点。

零点可以通过求解ax²+bx+c=0得到。

四、二次函数的应用1. 求解问题二次函数可以用来求解各种实际问题，如求解最大值、最小值、零点等。

2. 经济学应用在经济学中，二次函数可以用来表示成本、收益、利润等与产量相关的关系。

3. 物理学应用在物理学中，二次函数可以用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。

五、二次函数的图像绘制1. 找出顶点坐标通过顶点式或标准式可以找到抛物线的顶点坐标。

2. 找出对称轴方程对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。

3. 找出零点通过一般式可以求得零点，也可以通过图像上与x轴交点得到。

4. 确定开口方向和最值根据a的正负性可以确定抛物线开口方向和最值。

5. 绘制图像根据以上步骤确定抛物线的各个特征后，就可以绘制出完整的二次函数图像了。

六、总结本文介绍了二次函数的定义、关系式、图像特征以及应用，并详细说明了如何绘制一个完整的二次函数图像。

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。

27、2、3求二次函数的函数关系式【学习目标】1. 能根据条件合理选择二次函数关系式，会用待定系数法求二次函数关系式；2. 在解决某些实际问题时，能建立适当的直角坐标系，使所得函数关系式尽量简单；3. 通过经历自主探索与合作交流，培养数形结合的思想，体验方程的思想，进一步强化数学的应用与建模意识，体会数学在现实生活中广泛的应用。

【学习重点】求二次函数的关系式。

【学习难点】选择何种表达式确定二次函数关系式。

【学习过程】一、创设情景，引入新课引例：：学校想为学生建造自行车棚，如图，车棚的棚顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳棚顶。

它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。

施工前请你们帮建筑工人设计制造一个建筑模板，聪明的同学们，你们将如何画出模板的轮廓线呢?二、例题讲解，探求新知『自主探究打好基础』根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；分析：根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c=2y++bxax的形式；（2）已知一个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的关系式。

分析：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为9a=xy，再根据抛)8(2-物线与y轴的交点可求出a的值；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；分析:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为=xxay，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(-)5)(3+三、巩固新知，体验成功尝试用不同方法建立直角坐标系解决引例问题。

（根据你选择的方法，画出直角坐标系解决问题）四、课堂小结通过本节课的学习，谈谈你的收获与疑惑？五、课堂检测1、把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．22(1)y x =-+B ．22(1)y x =--C ．221y x =-+D ．221y x =--2、将抛物线y ＝2x 2先沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是________________。

求二次函数解析式的四种方法一、根据函数的顶点坐标和开口方向求解析式方法：设二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，已知顶点坐标为 (h, k)。

1.根据开口方向求a的取值：-若二次函数开口向上，则a>0；-若二次函数开口向下，则a<0。

2.根据已知点求解a、b、c的值：将已知顶点坐标代入解析式，得到方程 k = ah^2 + bh + c。

由此，可得到关系式：- 若 a = 0，则b ≠ 0，方程为 kh + c = k；- 若a ≠ 0，则方程为 ah^2 + bh + c = k。

解方程组，得到a、b、c的值。

3.根据a、b、c的值写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入解析式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。

二、根据已知的三个点求解析式方法：设已知的三个点为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。

1.求解a的值：通过使用待定系数法，假设解析式为 y = ax^2 + bx + c，将三个点代入解析式得到一个方程组：{a(x₁)² + bx₁ + c = y₁{a(x₂)² + bx₂ + c = y₂{a(x₃)² + bx₃ + c = y₃解方程组，得到a的值。

2.求解b、c的值：将求得的a的值带入上述方程组中，并解方程组，得到b、c的值。

3.写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。

三、根据已知的顶点坐标和另一点求解析式方法：设已知的顶点坐标为(h,k)，另一点坐标为(x,y)。

1.求解a的值：代入已知顶点坐标 (h, k)，得到方程 k = ah^2 + bh + c。

再代入另一点坐标 (x, y)，得到方程 y = ax^2 + bx + c。

消去c，并利用两个方程，可以解得a的值。

求二次函数的函数关系式教学设计目录一、创设问题情境 (1)二、复习回顾 (2)三、新课探究 (2)四：巩固练习 (3)五:解答情景引入中问题 (4)六：小结 (5)七、作业： (6)八、板书设计： (6)求二次函数的函数关系式教学目标知识与技能：让学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数的关系式。

过程与方法：使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

情感态度与价值观：让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

教学方法：讲授法、练习法、课堂讨论法、启发引导法重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式难点：通过将生活中的实际问题抽象成数学问题，利用已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

教具准备：投影仪。

课时安排：一课时教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。

它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m。

施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?（引出新课）二、复习回顾根据下列条件，分别写出相应的函数表达式1.y与x成正比，其图像过点p(2,1);2.函数y=2kx+k的图像过点（2，-5）3.一次函数的图像过点（1，2）、（-3，5）三、新课探究问题：解答上面的问题，运用了什么数学方法？运用这种数学方法的一般步骤是什么？说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数的表达式的步骤。

例1.一个二次函数的图像过（0,1）（2,4）（3,10）三点，求这个二次函数的关系式.分析：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c过三个点，将这三点坐标代入，可得三元一次方程组，再解这个方程组即可求出a,b,c的值。

观察点（0,1），将其代入y＝ax2＋bx＋c，可得c=1再把另外两点代入即可得方程组，求出a，b的值.例2.一个二次函数的图像过点（0,-5），它的顶点坐标是（-2,3），求这个二次函数的关系式.问：1.图像的顶点坐标是（h,k）的二次函数的关系式是怎样的形式呢？分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a不为0）通过配方可得到什么形式的二次函数？这个二次函数的顶点坐标是什么？如何设它的关系式？如何确定a的值？让学生完成本例题解答，找一个学生上黑板作答，其他学生在练习本上完成。

二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。

它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c分别代表函数的系数。

二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。

本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。

在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。

标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。

另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。

顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。

顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。

顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。

此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。

描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。

描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。

描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。

总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。

通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。

首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。