电偶极辐射电场线分布的分析

E θ = P0 k0
3
co sθ e
- i ( k 0 r-ω t)
( 19 ) ( 20 )
( ω 1 i 1 θe- i k0 r- t) sin 3 3 + 2 2 π ε 4 k0 r k0 r k0 r 0
将分量式写成实数形式 : 3 2 P0 k0 θ[ 31 3 co s ( k0 r - ω t) - 21 2 sin ( k0 r - ω t) ] Er = co s π ε 4 0 k0 r k0 r
_ _
2
( 15 )
_
er
_
eθ
eφ ( 16 )
_
E =
ic k0
θ r θ r sin r sin _ 1 × B = 9 9 ω iε 0 0μ 0 θ 9r 9 0 0 r sin θ Bφ
_
=
I△ l
er r
2
ω ε i4 π 0
I△ l
ik0 +
e θ ik0 1 2 co s 1 θθ k2 sin - 2 0 r r r r
E θ = E φ P0 k0
3
( 21 ) ( 22 ) ( 23 )
π ε 4 0 =0
θ[ ( sin
1
k0 r
3 3
-
1
k0 r
) co s ( k0 r - ω t) +
1
k0 r
2 2
sin ( k0 r - ω t) ]
4 电偶极辐射的电场线方程
电偶极辐射的电场线满足方程 Er θ 1 E = θ dr r d ( 22 ) 、 ( 23 ) 带入式 ( 24 ) , 整理后得 将式 ( 21 ) 、 1 1 ( 2 2 - 1 ) co s ( k0 r - ω t) + sin ( k0 r - ω t) k0 r k0 r θ 2 co s θ= d dr sin θ 1 1 sin ( k0 r - ω t) 2 2 co s ( k0 r - ω t) k0 r k0 r
-
i k r
3 0 3
_
e θ e
- ik 0 r
( 17 )
E =
π ε 4 0
θ 2 co s
-ω i t
1
k0
3
r
3
+
- i ( k 0 r-ω t) i _ 1 i 1 _ θ 3 e r + sin e θ e 2 2 3 + 2 2 k0 r k0 r k0 r k0 r
( 18 )
其中 P = P0 e . 所以有分量式 : 3 2 P0 k 0 1 i Er = 3 3 + 2 2 π ε 4 k0 r k0 r 0
3
电偶极辐射电场线分布的分析
程正则 ,彭 耐
(咸宁学院 物理系 ,湖北 咸宁 437100 )
摘 要 : 从麦克斯韦基本电磁理论出发 , 严格推导得出电偶极辐射的电场强度表达式和电场线 表达式 ,根据电场线表达式作出电偶极辐射电场线的分布图 , 然后从电场线分布图探讨电偶极 辐射电场线分布及辐射特点 . 关键词 : 电偶极辐射 ; 电场强度 ; 电场线 中图分类号 : O441. 2 文献标识码 : A
1 2 [ 1 + tan ( k r - ω t) ] 2
( 27 )
( 28 ) ( 29 )
1
kr
2 sin θ[ k tan ( k r - ω t) r + 1 ] co s ( k r - ω t) ] = K
其中 K =
1
Ck
2
.
2 sin θ co s ( k r - ω t) [
1
kr
+ tan ( k r - ω t) ] = K
( 30 ) ( 31 )
2 sin θ[ sin ( k r - ω t) +
1
kr
co s ( k r - ω t) ] = K
( 32 ) sin θ co s [ω t - k r + a rc tan (ω t - k r) ] = K k r 上式中 K为常量 , K取不同的值 , 即得 t时刻电偶极辐射场中不同的电场线方程 . 通过 ( 21 ) 、( 22 ) 、 ( 23 ) 式可知 , 对于 r,θ 取相同的值 , 对于 φ取任意不同的值 , 场点的电场强度都相同 , 所以电场分布具有轴 对称性 , 因此只需要作出 O xz平面上的电场线 . (1 +
_
( 8)
J dV ′= Id l ′
_
并注意到我们此处的电流元 Id l ′ 沿 Z 方向 , 则它的矢势为 _ - ikR - ikR μ μ _ _ _ 0 0 Id l ′ e Id l′ e ( 10 ) A ( r′ , t) = = ez π △l π △l 4 R 4 R 由于 △ l < < λ, 在上式的积分过程中可以认为 r基本不变 , 即 R ≈ r, 由于矢量势是 r的函数 , 偶极子 场具有中心对称性的关系 , 因而采用球坐标系较为方便 , 故在球坐标系中矢量势可表示为 _ - ik r μ μ _ _ _ 0 I△ l - ik r _ 0 I △l e ( co s θ e r - sin θ eθ ) ( 11 ) A ( r′ , t) = e ez = π π 4 r 4 r
_
μ 0 当交变电流分布给定时 , 计算辐射场的基础是推迟势公式 A ( r, t) = π 4 若电流 J 是一定的频率的交变电流 , 有
_ _
∫
J
_
r′ , tR
R c
dV ′
( 1)
)e J ( r′ , t) = J ( r ′ 代入 ( 1 ) 式中得
_ _ _
_
_
_
_
-ω i t
( 2)
_
_
_
∫
( 4)
3 收稿日期 : 2007 - 05 - 25
34
咸宁学院学报 第 27 卷
ikR 在 ( 3 ) 和 ( 4 ) 式中 , 因子 e 是推迟势作用因子 , 他表示电磁波传至场点时有相位滞后 kR. _ 电荷密度 ρ 与电流密度 J 由电荷守恒定律相联系 , 在一定频率的交变电流情形中有
( 24 )
( 25 )
36
咸宁学院学报 第 27 卷 将两边积分 , θ = ln ( C sin2θ ) 左边 = ln C + 2 ln sin 右边利用 MA TLAB 积分 , 右边 = ln r - ln [ k tan ( k r - ω t) r + 1 ] + 将上式进行化简 ,
0 引 言
电偶极子辐射是电磁波辐射理论的基础 ,清楚地了解它的辐射规律是非常重要的. 在辐射问题的实际应用 中 ,可以计算辐射功率和辐射的方向性. 电偶极辐射的电磁波是空间中的 T M波 , T M 波在现实中有多方面的应 用. 电偶极子辐射是天线工程中最基本的问题. 本文用数学方法严格推导得出电偶极辐射的电场线方程 ,得到电 偶极振子电场的 E线公式后 ,作出了不同时刻电偶极振子电场的 E线图. 对 E线作了分类 ,分区分时准确地作 出图形并加以讨论 ,最后完成对电偶极辐射过程演示. 进而对电偶极振子的 E线随时间的变化情况及电偶极振 子的电场作较详细的分析. 这对电磁波辐射理论的教学直观化有一定的意义. 1 电偶极振子的构成 一对等量异号的电荷组成的带电系统 , 当它们之间的距离 Δl远比场点到它们的距离 r小得多 ( r > > Δl) 时 , 我们把这种带电体系叫做电偶极子 [ 1 ] . 当点电偶极子两端的电荷交替变化时 , 在其附近空间将产 生交变电磁场 , 并使电磁场往远处辐射 . 通常 , 交变电偶极子上的电荷变化可视为一个电流元 . 最简单的 辐射电流元是一个很短的直线电流元 . 设此电流元的长度 Δl总是远小于自由空间的电磁波电偶极子波长 λ . 即 Δl < <λ , 则可以认为其上电流的幅值和相位处处相同 , 即电流均匀分布 ; 且其直径 d 与其长度相比 可忽略不计 , 即有 d < < Δl, 反之 , 根据电流连续性原理 , 电流元两端必有等值而异号的电荷积聚 , 相当于 一个交变的电偶极子 . 这样对交变电偶极子的分析也就是对电流元的分析 , 这种短直线电流元称为电偶 [2 ] 极子或基本振子 , 也称为赫兹振子 . 赫兹振子的辐射也就叫做电偶极辐射 . 2 计算辐射场的一般方法
图 1
dQ 因为 I = , 故有 dt -ω i t d (Q0 e ) dQ -ω i t I = = =- ω i Q0 e dt dt
所以 , I = ω i Q 其中 I和 Q 分别是电流和电荷的有效值相量 , 且其上均未打出表示复数的小点 . 在表达式 ( 3 ) 中 , 将体电流元换成线电流元 , 即
_
( 9)
∫
∫
第 6 期 程正则 ,彭 耐 电偶极辐射电场线分布的分析
35
R 表示场点到源点的距离 , r表示场点到振子中心 (坐标中心 ) 的距离 , k表示电磁波的波数 . 由于我们 所讨论的场点位于真空中 , 则 k 为 k0 , 且有 ( 12 ) k0 = ω μ 0ε 0 此时 ( 11 ) 可写为 - ik 0 r μ μ _ _ _ _ 0 I △ l - ik 0 r _ 0 I△ l e ( co s θ e r - sin θ eθ ) ( 13 ) A ( r′ , t) = e ez = πr π 4 4 r 由于矢量势与坐标无关 , 且无 φ分量 , 由 ( 6 ) 式则磁场为
_
×H =
_
9D _ +J 9t
_ _
_
在电荷分布区外面 , J = 0, 且 D = ε 0 E, B = μ 0 H , 可得 _ _ _ ω 9E i × B =μ =- 2 E 0ε 0 9t B