2019-2020学年江西省吉安市高二上学期期末数学(理)试题带答案
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故选：
【点睛】
本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.
8．方程 表示双曲线的必要条件是（）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】根据双曲线的方程 ，可得结果.
【详解】
由 ，
得
方程
表示双曲线的充要条件是 ，
即 ，知 正确，
故选：
【点睛】
本题主要考查双曲线的方程，属基础题.
9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑 中， 平面 ，且 为 的中点，则二面角 的正弦值为（）
【详解】
（1）依题意，
在 中，
由余弦定理，
，
即 ，
，
，则 .
故椭圆 的方程为
（2）当直线 的斜率为 时，
共线，不可能形成三角形，
故直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ，
，消去 得
，
设 ，
则
化简可得
又
所以 (定值).
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合应用，本题难点在于计算 ， ，属难题.
【详解】
由 ，
得 .焦点 ，
设直线 ，
与抛物线 方程联立，得
设 ，
则 ，
由 ，得 ，
联ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解得
所以
故选：
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何应用，属中档题
7．在四面体 中，空间的一点 满足 ，若 共面，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据四点 共面的向量表示 ，可得结果.
【详解】
由 共面知，
【答案】
【解析】根据新定义结合向量数量积的坐标表示，可得结果.
【详解】
则
由
，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查对新定义的理解，还考查向量数量积的坐标表示，属基础题.
16．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵” ，其中 若 ，“堑堵”即三棱柱 的外接球的体积为 ，则“阳马”即四棱锥 体积的最大值为__________．
故选：C
【点睛】
本题主要考查公公理的知识，属基础题.
3．垂直平分两圆 的公共弦的直线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将两圆化为标准方程形式，得到两圆心坐标，根据所求的直线与两圆的公共弦垂直，可得所求直线过两圆心，可得结果.
【详解】
配方得 ，圆心
，圆心 .
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，
【答案】
【解析】根据三棱柱的各顶点到外接球的球心距离相等，可得 为球的直径，并计算 ，假设， ，然后表示四棱锥 体积，结合勾股定理，可得结果.
【详解】
， ，
设 ，则
当且仅当 时，取等号.
故“阳马”即四棱锥 体积最大值为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查几何体的体积，属中档题.
三、解答题
17．如图，在多面体 中，四边形 是菱形，四边形 与四边形 均为矩形， 为 的中点.
，而 ，
平面 .
（2）如图
四边形，四边形 均为矩形，
// 且 ，
// 且
// 且
即四边形 为平行四边形.
设 交 于 ，连接 ，
则 为 的中点，又 为 的中点，
// 且 ，
// 且 ，
// 且
四边形 为平行四边形，
// 且
平面 ， 平面 ，
//平面 .
【点睛】
本题考查线面垂直，线面平行的判定定理，属基础题.
其方程为
即 .
故选：
【点睛】
本题考查圆的应用，属基础题.
4．将两直角边长分别为 的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先计算得到斜边上的高，绕斜边旋转可得该几何体为共底面的两圆锥，根据圆锥的侧面求法，可得结果.
【详解】
直角三角形的斜边长为 ，
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过建系，分别求出平面 的一个法向量，平面 的一个法向量，然后利用夹角公式以及平方关系，可得结果.
【详解】
分别以直线 为 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 ，
则 ，
，
，
设 为平面 的一个法向量，
由 ，得 取 ，
则 .
取平面 的一个法向量 ，
设二面角 为 ，则
（2）过 的直线 与椭圆 交于 两点，过 两点分别作定直线 的垂线，垂足分别为 ，求 为定值.
【答案】（1） ；（2）见详解，定值为4
【解析】（1）根据三角形面积公式，可得 ，然后利用余弦定理和椭圆的定义，可得结果.
（2）巧设直线 的方程 ，并于椭圆方程联立，利用韦达定理，计算出 以及 ，然后可得结果.
2019-2020学年江西省吉安市高二上学期期末数学（理）试题
一、单选题
1．设直线 的斜率为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据斜率与倾斜角的关系，可得结果.
【详解】
将直线方程化为斜截式 ，
斜率
故选：
【点睛】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.
2．下列命题是公理的是（）
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： //平面
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】（1）根据 结合线面垂直的判定定理，可得结果.
（2）通过说明四边形 为平行四边形，可得 // ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）四边形 ，四边形 均为矩形.
，而 ，
平面 ，又 平面 ，
，由底面 是菱形知，
A．平行于同一个平面的两个平面互相平行
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
【答案】C
【解析】根据立体几何中的公理知识，可得结果.
【详解】
B错误；A，D为定理；C是公理.
当 时，
由 ，
得 .此时直线方程为 .
综上，
所求直线 的方程为 或 .
【点睛】
本题考查直线与双曲线的应用，难点在于对参数的讨论，属中档题.
19．已知圆 ，直线 .
（1）求直线 被圆 所截得弦长的最大值；
（2）过直线 上的点 作圆 的切线 ，记切线 长的最小值为 ，当 在 上变化时，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【详解】
（1）由双曲线的定义知，
点的轨迹是焦点在 轴上的双曲线，
其中 ，又 .
故轨迹 的标准方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，
直线与双曲线有两个公共点，不满足题意.
所以，直线 的斜率一定存在.
设直线 的方程为 .
由 ，得
.(※)
当 时，即
若 ，方程 无解；
若 ，由方程 得 .
此时直线方程为
即 .
【详解】
由 ，得 或 .
当 时，
// ；
当 时，
与 重合，
所以，“ ”是“ // ”充要条件.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面中两直线平行的充要条件，属基础题.
6．若直线 过抛物线 的焦点 交抛物线 于两点，则 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据 ，可得 ，假设直线方程，并且与抛物线方程联立，结合 ，可得直线方程，然后根据韦达定理，以及抛物线焦点弦的性质，可得结果.
故选：
【点睛】
本题主要考查通过建系来解决面面角的问题，立体几何问题中采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属基础题.
10．过圆 上一定点 的圆的切线方程为 .此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆 上的点 作椭圆的切线 .则过 点且与直线 垂直的直线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据类比推理，可得直线 的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.
（2）建系，可得 以及平面 的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）因为 // ， 平面
平面 //平面 .
平面 ，
平面 平面 ，
所以 // .又 // //
又 .
（2） 平面 ，
分别以直线 为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设 为平面 的一个法向量，
由 ，得 ，
【详解】
过椭圆 上的点 的
切线 的方程为 ，
即 ，切线 的斜率为 ，
与直线 垂直的直线的斜率为 ，
过 点且与直线 垂直的
直线方程为 ，
即 .
故选：
【点睛】
本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题.
11．从点 射出的光线经直线 反射后到达点 ，则光线所经过的路程是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【答案】（1） ， ；（2）见详解
【解析】（1）先计算 ，根据抛物线的定义，可得 ，最后可得结果.
（2）假设直线方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示出 ，可得结果.
【详解】
（1）因为 在抛物线上，
，由抛物线的定义，
或
当 时， ，故舍去
所以，抛物线的方程为 ，
准线方程为
（2）设直线 的方程为 ，由
取 ，则 .
又
设 与平面 所成角为 ，
则
所以， 与平面 所成角为
【点睛】
本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.
8．方程 表示双曲线的必要条件是（）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】根据双曲线的方程 ，可得结果.
【详解】
由 ，
得
方程
表示双曲线的充要条件是 ，
即 ，知 正确，
故选：
【点睛】
本题主要考查双曲线的方程，属基础题.
9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑 中， 平面 ，且 为 的中点，则二面角 的正弦值为（）
【详解】
（1）依题意，
在 中，
由余弦定理，
，
即 ，
，
，则 .
故椭圆 的方程为
（2）当直线 的斜率为 时，
共线，不可能形成三角形，
故直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ，
，消去 得
，
设 ，
则
化简可得
又
所以 (定值).
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合应用，本题难点在于计算 ， ，属难题.
【详解】
由 ，
得 .焦点 ，
设直线 ，
与抛物线 方程联立，得
设 ，
则 ，
由 ，得 ，
联ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解得
所以
故选：
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何应用，属中档题
7．在四面体 中，空间的一点 满足 ，若 共面，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据四点 共面的向量表示 ，可得结果.
【详解】
由 共面知，
【答案】
【解析】根据新定义结合向量数量积的坐标表示，可得结果.
【详解】
则
由
，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查对新定义的理解，还考查向量数量积的坐标表示，属基础题.
16．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵” ，其中 若 ，“堑堵”即三棱柱 的外接球的体积为 ，则“阳马”即四棱锥 体积的最大值为__________．
故选：C
【点睛】
本题主要考查公公理的知识，属基础题.
3．垂直平分两圆 的公共弦的直线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将两圆化为标准方程形式，得到两圆心坐标，根据所求的直线与两圆的公共弦垂直，可得所求直线过两圆心，可得结果.
【详解】
配方得 ，圆心
，圆心 .
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，
【答案】
【解析】根据三棱柱的各顶点到外接球的球心距离相等，可得 为球的直径，并计算 ，假设， ，然后表示四棱锥 体积，结合勾股定理，可得结果.
【详解】
， ，
设 ，则
当且仅当 时，取等号.
故“阳马”即四棱锥 体积最大值为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查几何体的体积，属中档题.
三、解答题
17．如图，在多面体 中，四边形 是菱形，四边形 与四边形 均为矩形， 为 的中点.
，而 ，
平面 .
（2）如图
四边形，四边形 均为矩形，
// 且 ，
// 且
// 且
即四边形 为平行四边形.
设 交 于 ，连接 ，
则 为 的中点，又 为 的中点，
// 且 ，
// 且 ，
// 且
四边形 为平行四边形，
// 且
平面 ， 平面 ，
//平面 .
【点睛】
本题考查线面垂直，线面平行的判定定理，属基础题.
其方程为
即 .
故选：
【点睛】
本题考查圆的应用，属基础题.
4．将两直角边长分别为 的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先计算得到斜边上的高，绕斜边旋转可得该几何体为共底面的两圆锥，根据圆锥的侧面求法，可得结果.
【详解】
直角三角形的斜边长为 ，
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过建系，分别求出平面 的一个法向量，平面 的一个法向量，然后利用夹角公式以及平方关系，可得结果.
【详解】
分别以直线 为 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 ，
则 ，
，
，
设 为平面 的一个法向量，
由 ，得 取 ，
则 .
取平面 的一个法向量 ，
设二面角 为 ，则
（2）过 的直线 与椭圆 交于 两点，过 两点分别作定直线 的垂线，垂足分别为 ，求 为定值.
【答案】（1） ；（2）见详解，定值为4
【解析】（1）根据三角形面积公式，可得 ，然后利用余弦定理和椭圆的定义，可得结果.
（2）巧设直线 的方程 ，并于椭圆方程联立，利用韦达定理，计算出 以及 ，然后可得结果.
2019-2020学年江西省吉安市高二上学期期末数学（理）试题
一、单选题
1．设直线 的斜率为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据斜率与倾斜角的关系，可得结果.
【详解】
将直线方程化为斜截式 ，
斜率
故选：
【点睛】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.
2．下列命题是公理的是（）
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： //平面
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】（1）根据 结合线面垂直的判定定理，可得结果.
（2）通过说明四边形 为平行四边形，可得 // ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）四边形 ，四边形 均为矩形.
，而 ，
平面 ，又 平面 ，
，由底面 是菱形知，
A．平行于同一个平面的两个平面互相平行
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
【答案】C
【解析】根据立体几何中的公理知识，可得结果.
【详解】
B错误；A，D为定理；C是公理.
当 时，
由 ，
得 .此时直线方程为 .
综上，
所求直线 的方程为 或 .
【点睛】
本题考查直线与双曲线的应用，难点在于对参数的讨论，属中档题.
19．已知圆 ，直线 .
（1）求直线 被圆 所截得弦长的最大值；
（2）过直线 上的点 作圆 的切线 ，记切线 长的最小值为 ，当 在 上变化时，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【详解】
（1）由双曲线的定义知，
点的轨迹是焦点在 轴上的双曲线，
其中 ，又 .
故轨迹 的标准方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，
直线与双曲线有两个公共点，不满足题意.
所以，直线 的斜率一定存在.
设直线 的方程为 .
由 ，得
.(※)
当 时，即
若 ，方程 无解；
若 ，由方程 得 .
此时直线方程为
即 .
【详解】
由 ，得 或 .
当 时，
// ；
当 时，
与 重合，
所以，“ ”是“ // ”充要条件.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面中两直线平行的充要条件，属基础题.
6．若直线 过抛物线 的焦点 交抛物线 于两点，则 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据 ，可得 ，假设直线方程，并且与抛物线方程联立，结合 ，可得直线方程，然后根据韦达定理，以及抛物线焦点弦的性质，可得结果.
故选：
【点睛】
本题主要考查通过建系来解决面面角的问题，立体几何问题中采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属基础题.
10．过圆 上一定点 的圆的切线方程为 .此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆 上的点 作椭圆的切线 .则过 点且与直线 垂直的直线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据类比推理，可得直线 的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.
（2）建系，可得 以及平面 的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）因为 // ， 平面
平面 //平面 .
平面 ，
平面 平面 ，
所以 // .又 // //
又 .
（2） 平面 ，
分别以直线 为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设 为平面 的一个法向量，
由 ，得 ，
【详解】
过椭圆 上的点 的
切线 的方程为 ，
即 ，切线 的斜率为 ，
与直线 垂直的直线的斜率为 ，
过 点且与直线 垂直的
直线方程为 ，
即 .
故选：
【点睛】
本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题.
11．从点 射出的光线经直线 反射后到达点 ，则光线所经过的路程是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【答案】（1） ， ；（2）见详解
【解析】（1）先计算 ，根据抛物线的定义，可得 ，最后可得结果.
（2）假设直线方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示出 ，可得结果.
【详解】
（1）因为 在抛物线上，
，由抛物线的定义，
或
当 时， ，故舍去
所以，抛物线的方程为 ，
准线方程为
（2）设直线 的方程为 ，由
取 ，则 .
又
设 与平面 所成角为 ，
则
所以， 与平面 所成角为
