函数的单调性教案
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§2.1.4 函数的奇偶性
课题：
函数奇偶性
教学目的：
1 知识与能力目标
（1）理解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法。
（2）能用定义来判断函数的奇偶性。
（3）掌握奇偶函数的图像性质。
2 过程与方法目标
（1）能培养学生数形结合的思想方法。
（2）从数和形两个角度理解函数的奇偶性
3情感态度与价值观目标
（1）体会具有奇偶性函数的图像对称的性质，感受数学的对称美，体现数学的美学价值。
（2）通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想。
教学重点：
函数的奇偶性的概念性质及其几何意义．
教学难点：
判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学方法：
探究观察对比法
课型：
概念学习型
教学过程：
一、引入课题：
实践操作：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：
1.以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；
(2)若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
2.以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
(2)若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．
二、观察思考 构建概念:
1.函数的奇偶性定义象上面实践操作1中的图象关于y 轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数。
参照上述图形给出准确具体的数学概念：
概念一（偶函数）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
关键词 ， ，式子表示为 ，图象特征 .
答：任意，都有.()()f x f x -=关于y 轴对称. （学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义。
概念二（奇函数）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
关键词 ， ，式子表示为 ，图象特征 .
答：任意，都有.()()f x f x -=-关于原点对称.
注意：
1>. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
2>. 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
2.具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．
三、典型例题：
例1：判断下列函数的奇偶性： （1）2()1f x x =-；
x x x f 1)()2(+
=；
(3)()2f x x =；
解：(1)函数f (x )=x 2-1的定义域是R ，且对于定义域内的任意一个x ，都有
22()()11()f x x x f x -=--=-=，所以f (x )=x 2
-1为偶函数.
（2）对于此函数，其定义域为{x|x ≠0}，因为对于定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，所以函数为奇函数。
(3)函数 f (x )=2|x |的定义域为R ，且对于定义域内的任意一个x ，都有
()22()f x x x f x -=-==,所以f (x )=2|x |为偶函数.
思考：
（1）判断函数奇偶性的步骤是什么？
（2）有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ （3）有没有既不是奇函数也不是偶函数的函数？ 思考结论：
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（定义法）
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
2 确定f(－x)与f(x)的关系；
3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
（说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．）
（2）既是奇函数又是偶函数要求函数定义域对称，且同时满足f(－x) = f(x)和f(－x)=－f(x) ，既f(-x)=f(x)=-f(x),所以f(x)=0。
既函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数。
（3）既不是奇函数也不是偶函数有两种情况。
一是其定义域不关于原点对称，二是函数既不满足f(－x) = f(x)也不满足f(－x)=－f(x)。
如函数
)0(,)(2≥=x x x f 既不是奇函数也不是偶函数。
（4）
图像法判别函数的奇偶性：
若函数f(x)的函数图像关于y 轴对称，则此函数为偶函数； 若函数f(x)的函数图像关于原点对称，则此函数为奇函数。
巩固练习
1.判断下列函数的奇偶性：
|1||1|)(-++=x x x f 、x x x f 1
)(+
=、
221)(x x x f += 2.设
5)(7
++=bx ax x f ，已知f(-7)=-17，求f(7)的值。
3.已知函数f(x)，对任意实数x 、y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，试判别f(x)的奇偶性。
（特值代入）
四、归纳总结：
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是
否关于原点对称．
判断函数的奇偶性：
定义法：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定f(－x)与f(x)的关系；
3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x) 是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 图像法：若函数图形关于y 轴对称，则该函数是偶函数； 若函数图形关于原点对称，则该函数是奇函数。
五、作业：
（1）必做题：课本P46 第5题、6题；
（2）选做题：①若函数22,0,
(),0,
x x x f x ax x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩当a 为何值时，()f x 为奇函数？
②已知函数(),()f x g x 都定义在实数集R 上，且满足()f x 为偶
函数，()g x 为奇函数，2()()2
f x
g x x x +=+-，试求函数(),()f x g x 的解析式.
板书设计：
函数的奇偶性
偶函数
()()
f x f x -=图象关于
y 轴对称
定义
图象
奇函数
()()
f x f x -=-图象关于原点对称
定义
图象
判定
定义法
图象法
定义域关于
原点对称
函数的奇偶性
引入的图形及性质例题思考题
练习总结
函数奇偶性定义
解题步骤作业
教学设计思路：
本节课由实践活动引出对关于y轴对称和关于原点对称的函数图像的性质的探讨，进而引出新课——函数的奇偶性。
通过对定义的掌握来判断函数的奇偶性，让学生对奇偶性的概念理解更加深入。
当然，这种教学思路也有缺点，由于课时及教学工具的关系，没能让学生更直观地观察奇函数和偶函数的图像，如果能再直观点，效果应该会更好。
