【精品】2018年高中数学教师优质课教学设计★ 1.3.1函数的单调性与最大(小)值

⾼中数学必修⼀：1.3.1《单调性与最⼤（⼩）值》教案《单调性与最⼤（⼩）值》教案教学⽬标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运⽤函数图像进⾏理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最⼤（⼩）值.难点：理解函数的最⼤（⼩）值，能利⽤单调性求函数的最⼤(⼩)值.教学过程在教法学法⽅⾯，采⽤启发式、探讨式的教学⽅法，引导学⽣⾃主探究，合作交流。

通过学⽣⾝边熟悉的事物，教师创造疑问，学⽣想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学⽣以⾃⼰的努⼒找到了解决问题的⽅法。

⼀、情景导⼊问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增⼤，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最⼤、最⼩值？⼆、新课教学（⼀）函数单调性定义1．增函数⼀般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个⾃变量x 1，x 2，当x 1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学⽣活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，⼀个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

○2必须是对于区间D内的任意两个⾃变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这⼀区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的⽅法步骤利⽤定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的⼀般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配⽅）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．4、判定函数单调性的常见⽅法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常⽤⽅法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进⾏判断。

人教版高中数学《函数的单调性与最值》全国一等奖教学设计1.3.1 函数的单调性与最大（小）值（第一课时）教学设计本课教学内容来自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》第一章3.1节。

函数单调性研究自变量x增大时函数y增大或减小的性质。

增函数表现为“随着x增大，y也增大”。

与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质。

函数单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有。

函数单调性的研究方法具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。

教学的重点是引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）。

本课教学内容包含四种知识类型。

函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题、提出问题、解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识。

函数的单调性是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识。

图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识。

本课教学内容不仅在函数内部，而且在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中都有重要的应用，因此在数学中具有核心地位。

文章没有明显的格式错误和问题段落。

本课将通过生活常见数据曲线图例子和函数f(x)=0.001x+1、y=x+的研究，引发观察发现思维和提出、分析、解决问题的思维。

同时，将通过二次函数探究背景，引发从直观到抽象、由特殊到一般、从感性到理性、先猜想后证明的思维，树立“事物是普遍联系的”价值观。

1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时）一、 教学目标 1. 知识与技能： (1)理解函数单调性的概念(2)学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性(3)掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤 2. 过程与方法：通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力 3. 情感态度与价值观：通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。

二、 教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡 三、 教学模式：引导探究 四、 教学方法：教师启发讲授 五、 教学基本流程：六、 教学过程： 1. 创设情境从实际问题引入函数的单调性通过函数图像，直观认识函数的单调性通过图表，用自然语言描述用数学符号语言描述单调性由图像判断函数的单调区间 利用定义证明函数单调性 练习、反馈、巩固 归纳小结（1）（提问学生）据说，由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因（2）由图象可知，7月25日之后的16天内，北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。

而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事。

（过渡性语言）原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因。

从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。

同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。

2. 探究新知（1） 观察图像，感知特征（直观感知）首先，我们看看十分熟悉的两个函数，一次函数x x f =)(和二次函数2)(x x f =，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面天气图像的变化规律？（预测）：学生通过感知，可以看出，从左到右，一次函数x x f =)(的图像是上升的；而二次函数2)(x x f =的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的。

教学设计1.3.1单调性与最大(小)值第1课时整体设计教学目标1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学方法教师启发讲授，学生探究学习．教学手段计算机、投影仪．教学过程创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．图1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，y ＝x 2，y ＝1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：(1)函数y ＝x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y ＝－x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而减小．(2)函数y ＝x 2在[0，＋∞)上y 随x 的增大而增大，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．(3)函数y ＝1x在(0，＋∞)上y 随x 的增大而减小，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小． 引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f (x )在该区间上为增函数；如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f (x )在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数y ＝x ＋2x(x ＞0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(3)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为x 12－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＜0，即x 12＜x 22， 所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1，x 2.【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①已知f (x )＝1x，因为f (－1)＜f (2)，所以函数f (x )是增函数． ②若函数f (x )满足f (2)＜f (3)，则函数f (x )在区间[2,3]上为增函数．③若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f (x )＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．掌握证法，适当延展【例】证明函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数． 1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，设元f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 2求差 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 1－2x 2＝(x 1－x 2)＋2(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－2x 1x 2，变形 ∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞2，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，断号∴函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数．定论 2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．问题：要证明函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞0可以吗？ 引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本习题1.3 A 组第1,2,3题．课后探究：(1)证明：函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数当且仅当对任意的x ，x ＋h ∈(a ，b )，且h ≠0有f (x ＋h )－f (x )h＞0. (2)研究函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图． 设计说明1．教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．2．教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．3．教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．4．教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．第2课时作者：方诚心整体设计教学目标1．知识与技能(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用．(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题．2．过程与方法(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确．3．情感、态度与价值观理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象．重点难点教学重点：函数最大(小)值的定义和求法．教学难点：如何求一个具体函数的最值．教学过程导入新课思路1．某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址，新厂址的长为x m ，则宽为10 000xm ，所建围墙y m ，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y 最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题．思路2．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①f (x )＝－x ＋3；②f (x )＝－x ＋3，x ∈[－1,2]；③f (x )＝x 2＋2x ＋1；④f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]．学生回答后，教师引出课题：函数的最值．推进新课新知探究提出问题(1)如图4所示是函数y ＝－x 2－2x 、y ＝－2x ＋1，x ∈[－1，＋∞)、y ＝f (x )的图象．观察这三个图象的共同特征．图4(2)函数图象上任意点P (x ，y )的坐标与函数有什么关系？(3)你是怎样理解函数图象最高点的？(4)问题(1)中，在函数y ＝f (x )的图象上任取一点A (x ，y )，如图5所示，设点C 的坐标为(x 0，y 0)，谁能用数学符号解释：函数y ＝f (x )的图象有最高点C?图5(5)在数学中，形如问题(1)中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？(6)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(7)函数最大值的几何意义是什么？(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值吗？为什么？(9)点(－1,3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方？讨论结果：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．(2)函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．(4)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．(5)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．．．．．(6)f(x)≤M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.(7)函数图象上最高点的纵坐标．(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．(9)不是，因为该函数的定义域中没有－1.(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．提出问题(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.(2)类比上面问题(9)，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．讨论结果：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．．．．．函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．应用示例例1 求函数y ＝2x －1在区间[2,6]上的最大值和最小值． 活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y ＝2x －1的图象，只取在区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的．解：设2≤x 1＜x 2≤6，则有f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). ∵2≤x 1＜x 2≤6，∴x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，即函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是减函数． ∴当x ＝2时，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上取得最大值f (2)＝2； 当x ＝6时，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上取得最小值f (6)＝25.图6由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在上是下降的，最高点是(±1,4)，1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错．并对学生的板书及时评价．将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值．“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t 取什么值时函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的最大值；转化为求函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的最大值及此时自变量t 的值．解：作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象，如图7所示，图7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29. 即烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29 m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论．注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．课本本节练习5.【补充练习】某厂2013年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与去年促销费m (万元)(m ≥0)满足x ＝3－2m ＋1.已知2013年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费m (万元)的函数；(2)求2013年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：(1)年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值．解：(1)每件产品的成本为8＋16x x元，故2013年的利润为 y ＝1.5×8＋16x x ×x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (万元)(m≥0)．(2)可以证明当0≤m≤3时，函数y＝28－16m＋1－m是增函数，当m＞3时，函数y＝28－16m＋1－m是减函数，所以当m＝3时，函数y＝28－16m＋1－m取最大值21万元．拓展提升问题：求函数y＝1x2＋x＋1的最大值．解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，故图象最高点是⎝⎛⎭⎫－12，43.图8则函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.(方法二)函数的定义域是R，可以证明当x＜－12时，函数y＝1x2＋x＋1是增函数；当x≥－12时，函数y＝1x2＋x＋1是减函数．则当x＝－12时，函数y＝1x2＋x＋1取最大值43，即函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.(方法三)函数的定义域是R，由y＝1x2＋x＋1，得yx2＋yx＋y－1＝0.∵x∈R，∴关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0必有实数根．当y＝0时，关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0无实数根，即y＝0不属于函数的值域．当y≠0时，则关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0是一元二次方程，则有Δ＝(－y)2－4×y(y－1)≥0.∴0＜y≤43.∴函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.点评：方法三称为判别式法，形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c dx 2＋ex ＋f(d ≠0)，当函数的定义域是R (此时e 2－4df ＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2＋nx ＋k ＝0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m ≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k ＝0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2－4mk ≥0，得关于y 的不等式，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n 2－4mk ≥0，m ≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．课堂小结本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域．作业课本习题1.3A 组 5,6.设计感想为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：1．在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．2．在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤．备课资料基本初等函数的最值1．正比例函数：y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[a ，b ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .2．反比例函数：y ＝k x(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值．在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b；当k ＜0时，函数y ＝k x 的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝k a. 3．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[m ，n ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .4．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在定义域R 上有最小值f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝－b 2＋4ac 4a ，无最大值；当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在定义域R 上有最大值f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝－b 2＋4ac 4a ，无最小值． 二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值可能出现以下三种情况：(1)若－b 2a＜p ，则f (x )在区间[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )． (2)若p ≤－b 2a≤q ，则f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，此时f (x )的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：①当p ≤－b 2a ＜p ＋q 2时，则f (x )max ＝f (q )； ②当p ＋q 2＝－b 2a时，则f (x )max ＝f (p )＝f (q )； ③当p ＋q 2＜－b 2a＜q 时，则f (x )max ＝f (p )． (3)若－b 2a≥q ，则f (x )在区间[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )． 由此可见，当－b 2a∈[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ；当－b 2a∉[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f (p )和f (q )中的最小值．。

1.3.1 第一课时函数的单调性一、教学目标（一）核心素养教材以一次函数、二次函数等初等函数图象为例，来推导一般函数图象的性质——单调性，体现了由特殊到一般，由形到数的思想，让学生在图象变化趋势的精细刻画中，体会数学逻辑推理的严谨性，再现数学知识的生成过程．在实际生活中函数模型的建立及函数性态研究，体现了数学服务于社会生活有着重要的作用，也对学生直观想象、逻辑推理、数学抽象及数学建模等数学核心素养的培育奠定基础．（二）学习目标1．帮助学生通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义．2．数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系．3．函数单调性的判定及证明．（三）学习重点1．理解函数单调性．2．函数单调性的判定及证明．（四）学习难点函数单调性的判定及证明．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务一般地，设函数()f x的定义域为I:,x x，当______时，都有（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12______，那么就说函数()f x在区间D上是_____函数（increasing function）（图（1））．【答案】12x x <;12()()f x f x <;增（或 12x x >;12()()f x f x >;增）．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当______时，都有______，那么就说函数()f x 在区间D 上是_____函数（decreasing function ）（图（2））． 【答案】12x x <;12()()f x f x >;减（或 12x x >;12()()f x f x <;减）．（3）如果对于定义域I 内某个区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）______，区间D 叫做函数()y f x =的______. 【答案】单调性;单调区间． 2．预习自测（1）作函数2y x =-的图象，并指出单调增区间_______;单调减区间______ ． 【答案】(,0)-∞;(0,)+∞． (二)课堂设计 1.知识回顾（1）函数的定义，求函数的定义域、解析式、值域． （2）函数的表示法．常见初等函数的图象． （3）平方差、立方差公式． 2.问题探究探究一 通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义●活动① 学生作函数2,y x y x ==图象,指出图象的变化趋势.生:随着x 值的增大,图象（1）呈上升趋势;图象（2）有升有降,先降后升. 师:图象的观察顺序:从左往右,从右往左,中间往两边走,还是两边往中间走？ 生:按照约定俗成:从左往右看.师:从右往左观察,如何描述？生:图象（1）从右往左x值不断变小,图象呈下降趋势;图象（2）从右往左x值不断变小,图象呈先下降后上升趋势;师:至于中间往两边走,两边往中间走,都能描述图象的变化趋势,无论哪一种观察顺序,都有一定道理的,正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.我们发现,对图象变化趋势的描述,是“因人而异”的,不同的观察顺序,得到的变化趋势不尽相同.我们能否进一步研究图象达成一定共识呢？【设计意图】学生通过对教材的研读，理解函数图象的变化趋势，拘泥于教材从左到右的“主观意识”的影响，跳跃性地得到函数单调性的结论．从而对“为什么研究点的坐标变化”产生不解，甚至认为“多此一举”．通过对函数图象变化趋势，不同的观察顺序进行描述，产生了“因人而异”的矛盾，为后面对图象变化趋势，进行精细化描述奠定基础．●活动②图象的变化趋势能否用坐标来刻画师:数学研究也要“求同存异”，刚才的图象变化趋势描述有“因人而异”的矛盾，我们从构成图象的点的坐标进行分析，看能否达成共识.由图象（1）:我们取整数点，便于计算：通过观察分析，得到下表:可以发现:无论观察顺序如何变化，x 值与()f x 值是相应共同一致变化的:()f x 值随x 值增大而增大，()f x 值随x 值减小而减小.这与函数解析式()f x x 的对应方式是一致的，不以相对顺序的变化而改变.为了达成统一，我们按照约定俗成的顺序:从左至右看,图象是上升的，图象构成点的坐标变化，()f x 值随x 值增大而增大（或()f x 值随x 值减小而减小，此时是从右往左看）.师:用同样的方法研究图象（2）,取整数点,便于计算,通过观察分析,得到下表:综合从左至右观察图象（1）（2）的变化趋势,点的坐标值有如下特点:图象上升时,()f x 值随x 值增大而增大（或()f x 值随x 值减小而减小,此时是从右往左看）. 图象下降时,()f x 值随x 值增大而减小（或()f x 值随x 值减小而增大,此时是从右往左看）. 【设计意图】图象的变化趋势的刻画:第一,分析了观察顺序从左至右（可变化）的描述是片面的;第二,探求由点的横纵坐标x 、()f x 值变化来描述,这两者的结合,让学生体会从图象的形,到构成图象点的横纵坐标值的数的思维呈现,为后面单调性概念的形成打下基础.探究二:数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系 ●活动①由以上探究能否给出增（减）函数定义生:从左往右看:图象是上升的,称为增函数;图象下降的称减函数; 师:不够具体,函数首先考虑定义域,能否由点的坐标值来定义.生:从左往右看:图象上升,其构成的点的坐标,()f x 值随x 值增大而增大的函数,称为增函数;图象下降,其构成的点的坐标,()f x 值随x 值增大而减小的函数,称为增函数;师:图象变化趋势的刻画,是由某几个点,还是所有点的坐标刻画？ 生:所有点的坐标.师:所有点的坐标如何刻画()f x 值随x 值增大而增大（或减小）呢？在所有点中,我们任取一个点11(,)A x y ,横坐标x 值的不断增大,到任意另一点22(,)B x y ,因此12x x <.由A B 、的任意性,覆盖了整个定义域I ,即:12(,)x x I ⊆.这里我们成功解决了横坐标x 值的不断增大的问题,那纵坐标()f x 的变化趋势如何刻画？生:11(,)A x y 到22(,)B x y ,12x x <横坐标x 值的不断增大,纵坐标变化用12,y y 来表示若,12y y <纵坐标y 值的不断增大;若12y y >,纵坐标y 值的不断减小师:综合以上探究,对函数图象变化趋势的,由图象上所有点的坐标值变化刻画,再转化为任意两个点11(,)A x y 到22(,)B x y 的坐标值变化刻画12,x x I ∈,12x x <,12(,)x x D I =⊆,若12y y <,即y 值随x 的不断增大而增大,图象呈上升,称()f x 为增函数,D 为单增区间; 若12y y >,即y 值随x 的不断增大而减小,图象呈下降,称()f x 为减函数,D 为单减区间;【设计意图】在教师的引导下,让学生根据图象变化趋势,从形到数的探究过程中的体会中,不断完善结论,生成出有自我特色的增（减）函数的概念. ●活动②对比教材概念,加深概念理解 我可以给出如下定义:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x :当12x x <时,都有12y y <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（increasing function ）． 当12x x <时,都有12y y >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数（decreasing function ）． 如果对于定义域I 内某个区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做函数()y f x =的单调区间. 师:教材对单调性的定义,还可以怎样定义. 生:交换11(,)A x y 22(,)B x y 位置后有:21x x <．当12x x >时,都有12y y >,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（increasing function ）． 当12x x >时,都有12y y <,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数（decreasing function ）． 师:这也是从图象从右至左看即由22(,)B x y 到11(,)A x y （12x x <）到变化得到,也算殊途同归吧. 师:以()f x x =,2()f x x =为例说明函数一定有单调性吗？有单调区间吗？ 生:()f x x =在定义域(,)-∞+∞单调递增,单增区间为(,)-∞+∞．2()f x x =在定义域(,)-∞+∞有增有减,不具备单调性;单增区间(0,)+∞,单减区间(,0)-∞． 师:如图，函数单调性,是在定义域I 内某个子集区间D 上讨论的,子集区间D 上的单调性不能决定定义域I 的单调性;同时定义域I 的单调性也不能决定子集区间D 上的单调性,若函数在定义域内严格单调另当别论了.【设计意图】让学生理解函数单调性是一种局部性质,其图形表现的实质是从左至右观察图象上升或下降趋势,反映到数的特征上即点的坐标量化1x 与2x ,1y 与2y 的相对变化关系.我们可以通过形与数的途径判断函数单调性,但对未知函数的单调性判断,更多倾向于数的定量分析,即定义法.●活动③两个函数和（差）的单调性师:由1()f x x =,22()f x x =的单调性,判断下列函数的单调性,能得出什么结论. （1）12()()y f x f x =+,(0,)x ∈+∞; （2）12()()y f x f x =-,(,0)x ∈-∞; （3）21()()y f x f x =-,(,0)x ∈-∞;生:化简之后均为二次函数,由图象性质易判断给定区间的单调性. 师:若通过原函数单调性分析:（1）12()()y f x f x =+,(0,)x ∈+∞;1()f x x =,22()f x x =在(0,)x ∈+∞均为增函数,相加之后单调性为增.其结构为:增+增=增,按照此思路总结出（2）、（3）的结构形式,还能想到哪些结构？生:增-减=增、减-增=减、减+减=减,至于乘除要因题而论了，所以（2）(,0)x ∈-∞，f 1(x)为增函数，f 2(x)为减函数，相减为增函数；（3）(,0)x ∈-∞，f 2(x)为减函数，f 1(x)为增函数，相减为减函数；【设计意图】通过初等函数单调性的判断,过渡到简单复合函数单调性判断,让学生对函数的单调性的判断方法有更新的认识. ●活动④单调性定义的等价形式师:由单调性定义知:()y f x =在x D ∈上为增函数⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x <时,都有12y y <⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x >时,都有12y y > ⇔12,x x D I ∀∈⊆，12x x -与12y y -同号即:1212()()0x x y y --> ⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120y y x x ->-⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120x x y y ->-． 请同学们给出减函数定义的等价形式．生:()y f x =在x D ∈上为减函数⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x <时,都有12y y >⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x >时,都有12y y <⇔12,x x D I ∀∈⊆,1212()()0x x y y --< ⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120y y x x -<-⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120x x y y -<-． 【设计意图】学生对单调性定义的不同呈现形式有一定了解,众多的形式都来自于坐标值变化的是否一直性,让学生更深刻地认识函数单调性. 探究三:函数单调性的判定及证明 ●活动① 由图象观察单调区间例1 定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？【知识点】单调区间的判定． 【数学思想】【解题过程】函数()y f x =单调区间有[5,2]--,(2,1]-,(1,3],(3,5],其中函数()y f x =在区间[5,2]--,(1,3]上为减函数,在区间(2,1]-,(3,5]上为增函数.【思路点拨】从左至右看图象的变化趋势及对应的区间范围． 【答案】减区间[5,2]--,(1,3]；增区间(2,1]-,(3,5]. 同类训练 函数1()f x x=,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数,在定义域内单调吗？【知识点】单调性的判定 【数学思想】【解题过程】函数1()f x x=单调区间(,0)-∞,(0,)+∞; 函数1()f x x =在区间(,0)-∞,(0,)+∞为减函数; 函数1()f x x=在定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞内不具备单调性.【思路点拨】子集区间单调性与定义域单调性的区别． 【答案】减区间(,0)-∞,(0,)+∞;定义域内不具备单调性.【设计意图】学生能根据图象判断函数的单调区间，弄清单调区间与定义域间的区别与联系． ●活动② 定义法证明函数单调性 例2 物理学中的玻意耳定律kp V=（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之． 【知识点】定义法证明函数单调性 【数学思想】【解题过程】根据单调性的定义，设1V ,2V 是定义域(0,)+∞上的任意两个实数，且12V V <，则：21121212()()V V k kp V p V k V V VV --=-=． 由12,(0,)V V ∈+∞,得120VV >．由12V V <,得210V V ->,又0k >,于是12()()0p V p V ->，即:12()()p V p V >． 所以，函数kp V=在(0,)V ∈+∞是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 增大. 【思路点拨】明确定义法证明步骤. 【答案】同类训练 证明函数9()f x x x=+在(0,3)递减. 【知识点】定义法证明函数单调性． 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域(0,3)上的任意两个实数,且12x x <,则12121212121212121212()(9)99119()()()()()9()()(1)x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+-=--=． 12x x <,∴120x x -<，12,(0,3)x x ∈,∴1209x x <<,1290x x -<，∴12()()0f x f x ->．即 12()()f x f x >,函数9()f x x x=+在(0,3)递减. 【思路点拨】定义法证明的步骤:作差、变形、断号、结论. 【答案】例3证明函数()f x =在定义域内是减函数. 【知识点】定义法证明函数单调性． 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域[0,)+∞上的任意两个实数,且12x x <,则12()()((f x f x -=-===． 12x x <, 210x x ∴->，120x x ≤<, 0>，12()()0f x f x ∴->． 即 12()()f x f x >,函数()f x =[0,)+∞递减．【思路点拨】变形时,利用根式有理化变形技巧 【答案】同类训练 证明函数3()f x x =在定义域内是增函数. 【知识点】定义法证明函数单调性 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域R 上的任意两个实数,且12x x <, 则11332212212122()()()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++1222222222121212133()[()()[()]4424x x x x x x x x x x x x =-+++=-++．12x x <, 120x x ∴-<,222213()024x x x ++>，12()()0f x f x ∴-<． 即 12()()f x f x <,函数3()f x x =在R 递增.【思路点拨】变形时,注意立方差公式、完全平方式的应用. 【答案】【设计意图】掌握定义法证明单调性步骤:任取—作差—变形—断号—结论,特别是对变形的处理技巧,结合根式分母（子）有理化、平方差、立方差以及完全平方式等,从而准确地判定或证明函数的单调性.●活动③ 常见函数单调性的考查例4函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,求a 的取值范围. 【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数2()2(1)2f x x a x =+-+函数图象为: 由题意:对称轴14x a =-≥, (,3]a ∴∈-∞-．【思路点拨】抛物线的单调区间由开口方向与对称轴共同决定． 【答案】(,3]a ∈-∞-．同类训练 函数2()(21)3f x x a x =--++在区间[2,)+∞上是减函数,求a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】如图: 215222a a +≤⇒≥--． 【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴,判断单调区间． 【答案】5[,)2a ∈-+∞． 例5函数2()21x f x x -=+在区间(,)a -∞上是增函数,求a 的取值范围.【知识点】一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】函数2()21x f x x -=+对称中心11(,)22-， 如图:1(,)(,)2a -∞⊆-∞-,1(,]2a ∴∈-∞-． 【思路点拨】由反比例函数图象平移而来,在定义域内不具备单调性,对各自的单调区间分开验证． 【答案】1(,]2a ∈-∞-． 同类训练 函数1()2x f x ax -=+在(2,)-+∞上单调递减,求a 的取值范围． 【知识点】一次函数及一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】函数1()2x f x ax -=+． 当0a =时,1()2x f x -=在(,)-∞+∞上单调递减,成立； 当0a ≠时,1()2x f x ax -=+对称中心21(,)a a--； 0a >时,21(,)a a--对称中心在第三象限， 0(0,1]22a a a>⎧⎪⇒∈⎨-≤-⎪⎩． 0a <时,21(,)a a--对称中心在第一象限，不满足题意,舍去． [0,1]a ∴∈． 【思路点拨】结合对称中心位置与1(0),(1)02f f ==,作大致图象,再分析. 【答案】[0,1]a ∈．【设计意图】含参题目的处理,要根据题意结合函数单调性分类讨论.常见的一次函数,二次函数,反比例函数及一次分函数的图象性质要求掌握.●活动④ 单调性综合应用例6 已知(0)1f =,且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=---．（1）求()f x ;（2）解不等式()(2)f x f x <-．【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】由题意 ()()(21)f x y f x y x y -=---．（1）令:x y =,则()()(21)1()(1)1f x x f x x x x f x x x -=---=⇒=-+．（2）()(1)1f x x x =-+，(2)(2)(1)1f x x x -=--+，()(2)(1)1(2)(1)1(,1)f x f x x x x x x <-⇒-+<--+⇒∈-∞．【思路点拨】抽象函数的综合应用,观察题目结构,通过隐含条件结合函数单调性解题．【答案】（1）()(1)1f x x x =-+;（2）(,1)x ∈-∞．同类训练 函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,(2)1f =,()()()f xy f x f y =+．（1）解不等式()(3)2f x f x +-≤；（2）求(1)f ,解不等式()(22)0f x f x --<．【知识点】抽象函数求定义域,函数单调性的应用.【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）()f x 定义在(0,)+∞,则0330x x x >⎧⇒>⎨->⎩．……….① ()()()f xy f x f y =+,()(3)((3))f x f x f x x ∴+-=-，211(2)(2)(4)f f f =+=+=,((3))(4)f x x f ∴-≤，()f x 在(0,)+∞上单调递增,(3)4[1,4]x x x ∴-≤⇒∈-．………②由①②:(3,4]x ∈．（2）1(1)0x y f ==⇒=．()f x 定义在(0,)+∞,则01220x x x >⎧⇒>⎨->⎩．……….① ()()()()()()f xy f x f y f x f xy f y =+⇒=-．()(22)()22x f x f x f x ∴--=-,()(1)22x f f x ∴<-． ()f x 在(0,)+∞上单调递增,1222x x x ∴<⇒>-．………② 由①②:(2,)x ∈+∞．【思路点拨】定义域优先的原则,利用函数单调性构建不等式组求解．【答案】（1）(3,4]x ∈;（2）(2,)x ∈+∞．【设计意图】抽象函数定义域方面结合函数单调性的考察也是热点之一,对于抽象函数综合性问题,要定义域优先的原则,结合函数的单调性,建立不等式组求解.3.课堂总结知识梳理（1）从图象变化趋势探究,生成函数单调性的概念.（2）根据函数图象求单调区间.（3）利用定义法证明函数的单调性.（4）函数单调性的应用.重难点归纳（1）从图形变化趋势到单调性概念的生成.（2）单调性概念的深层次理解.（3）单调性的综合应用.（三）课后作业基础型 自主突破1.画出下列函数图象,并根据图象说出()y f x =的单调区间,以及在各单调区间上,函数()y f x =是增函数还是减函数．（1）2()31f x x x =--+；（2）2()32x f x x-=-． 【知识点】二次函数、一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）2()31f x x x =--+对称轴为32x =-,开口向下， 如图: 函数在3(,)2-∞-为增函数,在3[,)2-+∞为减函数.（2）2()32x f x x -=-的对称中心为31(,)22-,且(2)0f = 如图:函数在33(,)(+)22-∞∞，，为减函数. 【思路点拨】（1）二次函数的单调区间,由开口方向与对称轴共同决定;（2）一次分函数作图时,先确定对称中心,再取特殊点定象限.【答案】（1）增3(,)2-∞-;减3[,)2-+∞；（2）减3(,)2-∞,3(,)2+∞． 2.证明:函数1()12f x x=-在(,0)-∞上为增函数． 【知识点】定义法证明单调性．【数学思想】【解题过程】12,(,0)x x ∀∈-∞且12x x <，1212121211()()(1)(1)222x x f x f x x x x x --=---=． 12x x <,120x x ∴-<，12,(,0)x x ∈-∞,120x x ∴>,12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <． 函数1()12f x x=-在(,0)-∞上为增函数． 【思路点拨】证明题用定义法较严谨.初步判断函数单调性,可作函数图象观察单调区间,也可分析法12y x =在(,0)-∞为减,12y x =-在(,0)-∞为增,112y x=-在(,0)-∞为增. 【答案】3.讨论函数3()2f x x x =--+的单调性,并证明你的结论．【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】12,x x R ∀∈且12x x <，33331211222121()()()()()()f x f x x x x x x x x x -=-----=-+-222211212121212()(1)()[()1]24x x x x x x x x x x x =-+++=-+++．12x x <,210x x ∴->，22112()1024x x x +++>,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >． 3()2f x x x =--+在R 上是减函数.【思路点拨】定义法证明函数单调性,式子变形为几个因式相乘的形式,要有利于符号判断.【答案】4.函数2()2(3)3f x x a x a =--+在(,2)-∞-上是减函数,则实数a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】2()2(3)3f x x a x a =--+函数图象对称轴为3x a =-,开口向上.如图:325a a -≥-⇒≤．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴,判断单调区间．【答案】(,5]a ∈-∞．5.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在1(,1)2上是增函数,那么(2)f 的取值范围． 【知识点】二次函数的单调性．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】2()(1)5f x x a x =--+在1(,1)2上是增函数，11222a a -∴≤⇒≤． (2)112,2(2)7f a a f =-≤⇒≥．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴位置,判断单调区间．【答案】[7,)+∞．6. 函数()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数,且(1)(21)f a f a -<-,求a 的范围．【知识点】抽象函数定义域、函数单调性的应用．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】由题意,定义域(1,1)-,则111(0,1)1211a a a -<-<⎧⇒∈⎨-<-<⎩． ()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数(1)(21)f a f a -<-．2(1)(21)3a a a ∴->-⇒<． 综上所述2(0,)3a ∈． 【思路点拨】抽象函数关注定义域的原则,结合函数单调性,构建不等式组求解. 【答案】2(0,)3a ∈． 能力型 师生共研7.判断函数()f x x =在其定义域内的单调性．【知识点】定义法证明函数单调性.【数学思想】【解题过程】()f x x =-,定义域为R ．12,x x R ∀∈且12x x <，121212()()))()f x f x x x x x -=---=--1212()(x x x x =--=-．12x x <,120x x ∴-<且0>，21xx +>,0x∴-<，120,0x x ∴-<<，12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．()f x x ∴=-在R 上单调递减．【思路点拨】定义法证明单调性步骤:作差、变形、断号、结论．【答案】8.若定义在R 上的二次函数2()4f x ax ax b =-+在区间[0,2]上是增函数,()(0)f m f ≥,求实数m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数2()4f x axax b =-+对称轴为2x =．()f x 在区间[0,2]上是增函数,如图:()(0)(4)f m f b f ≥==．[0,4]m ∴∈【思路点拨】二次函数图象的对称性．【答案】[0,4]m ∈．探究型 多维突破9.讨论函数2()(11)1ax f x x x =-<<-的单调性． 【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】12,(1,1)x x ∀∈-且12x x <．121221122112222212121122(1)()(1)()()()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)ax ax a x x x x a x x x x f x f x x x x x x x x x +-+--=-==----+-+-． 12,(1,1)x x ∈-,1210x x ∴+>,110x +>,210x +>,110x -<,210x -<．12x x <,210x x ∴->．当0a >时,1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>⇒()f x 在(1,1)-单减，当0a <时,1212()()0()()f x f x f x f x -<⇒<⇒()f x 在(1,1)-单增，当0a =时,()f x 为常值函数,在(1,1)-不具备单调性．【思路点拨】在变形成功后,用分类讨论的思想,判断符号的正负确定函数单调性.【答案】10.已知()f x 的定义域为R ,对任意实数m n 、,都有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当0x >时,0()1f x <<．（1）证明:(0)1f =,且当0x <时,()1f x >；（2）证明:()f x 在R 单调递减．【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）证明:令1m =,0n =代入f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，∴f (1)＝f (1)·f (0)． 10>,0(1)1f <<,(0)1f ∴=．当0x <时,0x ->,0()1f x ∴<-<．令m x =,n x =-代入f (m ＋n )＝f (m )·f (n )．1()()(0)1()()f x f x f f x f x ⋅-==⇒=-． 0()1f x <-<,1()1()f x f x ∴=>-． （2）证明:12,x x R ∀∈且12x x <，212111()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-2111121()()()()(()1)f x x f x f x f x f x x =--=--．210x x ->,21210()1()10f x x f x x ∴<-<⇒--<,1()0f x >． 21()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x ∴>．()f x ∴在R 单调递减．【思路点拨】抽象函数单调性的证明,利用已知条件,构造利于判断12()()f x f x -正负的结构. 自助餐1.在区间(0,)+∞上不是增函数的是（ ）A. 21y x =+B. 231y x =-C. 2y x=D. 221y x x =++ 【知识点】初等函数图象．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】分别作出各函数图象,观察得结论．【思路点拨】一次函数y kx b =+的单调性由k 的正负确定,0k >时,函数在定义域内单增,0k <函数在定义域内单减；二次函数单调区间由开口方向与对称轴决定；一次分函数的单调区间由对称中心决定.【答案】C ．2.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数,,a b R ∈,且0a b +≤,则有（ ）A.()()()()f a f b f a f b +≤--B.()()()()f a f b f a f b +≥--C.()()()()f a f b f a f b +≤-+-D.()()()()f a f b f a f b +≥-+-【知识点】函数单调性的应用．【数学思想】等价转化思想．【解题过程】解:0a b a b +≤⇒≤-或b a ≤-．()f x 在(,)-∞+∞上是减函数．()()f a f b ∴≥-或()()()()()()f b f a f a f b f a f b ≥-⇒+≥-+-．【思路点拨】0a b a b +≤⇒≤-或b a ≤-,再结合函数单调性．【答案】D ．3.函数()y f x =在[1,1]-上是增函数,且2(1)(1)f x f x -<-,则x 的范围______.【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】解:()y f x =在[1,1]-上是增函数．有2211111111x x x x x -≤-≤⎧⎪≤-≤⇒∈⎨⎪-<-⎩．【思路点拨】首先求2(1),(1)f x f x --的定义域,再利用函数单调性求解．【答案】x ∈．4.函数2()2f x x ax =-+与()1a g x x =+在区间[1,2]上都是减函数,则a 的范围______. 【知识点】二次函数、一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:2()2f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数． 则:对称轴1x a =≤,1a ∴≤…………①()1a g x x =+对称中心(1,0)-． 当0a >图象在第一、三象限,在[1,2]上单减,满足题目条件；当0a <图象在第二、四象限,在[1,2]上单增,与题目矛盾 ．0a ∴>．…………②由①②知:(0,1]a ∈．【思路点拨】由函数图象确定单调区间．【答案】(0,1]a ∈．5.函数()f x 对任意m n R ∈、,都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,()1f x >．（1）求证:()f x 在R 上是增函数；（2）若(3)4f =,解不等式2(5)2f a a +-<．【知识点】抽象函数单调性判断．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）证明:12,x x R ∀∈且12x x <，()()()1f m n f m f n +=+-，212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x ∴-=-+-=-+--=--． 210x x ->,21()1f x x ∴->，21()10f x x ∴-->,21()()0f x f x ∴->,即21()()f x f x >． ()f x ∴在R 上是增函数．（2）解:(3)(21)(2)(1)1(11)1(1)13(1)24f f f f f f f =+=+-=+-+-=-=．(1)2f ∴=,即2(5)2(1)f a a f +-<=．()f x 在R 上是增函数,251(3,2)a a a ∴+-<⇒∈-．【思路点拨】（1）抽象函数单调性证明,主要寻求12()()f x f x -的结构特征及符号判定；（2）结合函数单调性,转化为解关于x 的不等式问题．【答案】（1）略；（2）(3,2)a ∈-．6.已知函数1133()5x xf x --=,1133()5x xg x -+=．（1）求()f x 的单调区间；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值,由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式,并加以证明.【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】（1）解:函数()f x 的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，12,(0,)x x ∀∈+∞且12x x <，1111113333112233121211331211()()()(1)555x x x x f x f x x x x x -----=-=-+． 12x x <,1133120x x ∴-<,113312110x x +>，12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <．()f x ∴在(0,)+∞上是增函数.同理,()f x 在(,0)-∞上也是增函数.（2）计算得(4)5(2)(2)0f f g -=,(9)5(3)(3)0f f g -=,由此概括出对所有不等于零的实数x 有:2()5()()0f x f x g x -=．22111122223333332333311()5()()5()()055555x x x x x x f x f x g x x x x x -------+-=-⋅=---=． 【思路点拨】（1）由定义法单调性的判断；数学探究模式的体现:计算、归纳、猜想、验证.【答案】（1）单增区间(,0)-∞,(0,)+∞；（2）0.。

《函数的单调性与最大值》教学设计教学设计：函数的单调性与最值一、教学目标：1.了解函数的单调性的概念，能够判断函数在一些区间内的单调性。

2.理解函数的最值的概念，能够求解函数在一些区间上的最大值和最小值。

3.能够运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的单调性：A.单调递增与单调递减的概念及判断方法。

B.设计一些示例，让学生观察函数图像，并判断函数在一些区间内的单调性。

2.函数的最大值和最小值：A.最大值和最小值的概念及求解方法。

B.设计一些函数并给出定义域，让学生求解函数在一些区间上的最大值和最小值。

3.实际问题的解决：A.设计一些实际问题，例如求解函数在一些时间段内的最大速度、最小成本等，让学生运用函数的单调性和最值的概念解决问题。

三、教学过程：1.引入：通过展示一个山峰的图片，并问：“在山峰的哪个位置有最高点？在山谷的哪个位置有最低点？”引导学生思考什么是最值。

2.导入函数的单调性概念：A.讲解函数的单调递增与单调递减的定义。

B.给出函数图像，让学生判断函数在一些区间内的单调性。

C.给出一些判断函数单调性的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。

3.引入函数的最值概念：A.讲解函数的最大值和最小值的定义。

B.给出一个函数图像，让学生找出函数在一些区间上的最大值和最小值。

C.给出一些求解函数最值的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。

4.实际问题的解决：A.给出一个实际问题，例如一辆汽车的速度随时间的变化函数，让学生运用函数的单调性和最值的概念求解汽车在一些时间段内的最大速度。

B.设计几个类似的实际问题，让学生分组讨论解决方法，并展示解决过程和答案。

5.小结与拓展：A.总结函数的单调性与最值的概念。

B.引导学生思考函数单调性与最值的应用领域，例如应用于经济学、物理学等领域。

C.布置相关的作业，要求学生运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。

四、教学评价与反思：1.对于函数的单调性的判断，可以通过让学生观察函数图像，找出函数的增减规律，提高学生的图形观察能力。

《函数的单调性与最大（小）值》第一课时函数的单调性通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。

再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。

掌握用定义证明函数单调性的步骤。

函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

【知识与能力目标】1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。

【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。

【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。

【教学重点】函数单调性的概念。

【教学难点】判断、证明函数单调性。

从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

(一)创设情景，揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。

他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数。

艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图：思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？（二）研探新知观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：。

第三节 函数的基本性质1.3.1 第二课时 函数的最大（小）值（李波）一、教学目标（一）核心素养教材以二次函数2()f x x =图象为例,观察出函数图象的最低点(0,0),这给我们提供了一种求函数最值的方法“图象观察法”,这也是一种最直接,最直观的方法.结合上一课时函数的单调性,学生通过函数图象,研究函数性质,寻求最值.在实际生活中,常遇到最值问题,我们是通过建立函数模型来进行研究,体现了数学与社会生活紧密联系.本节课,在探究函数的最值问题中,不断培育学生的数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.（二）学习目标1.通过函数图象,理解函数最大（小）值及几何意义．2.结合函数单调性求最大（小）值．3.函数最大（小）值的实际问题中的应用．（三）学习重点1.理解函数最大（小）值的概念及几何意义．2.求函数的最大（小）值．（四）学习难点结合函数单调性求最大（小）值．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有______;（2）存在0x I ∈,使得_______,那么我们称M 是函数()y f x =的最____值. 详解:()f x M ≤;0()f x M =;大或 ()f x M ≥;0()f x M =;小．2．预习自测（1）作函数22y x x =-+的图象,指出函数是否有的最值？若有,请求出最值． 详解:有最大值,无最小值;最大值为1．(二)课堂设计1.知识回顾（1）常见初等函数的图象．（2）函数的单调性．2.问题探究探究一 通过函数图象,函数最高（低）点的位置特征及几何意义●活动① 学生作函数y x =,1y x =,2y x =图象,观察图象的最高（低）点生:y x =图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点;1y x=图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点,且中间断开; 2y x =图象往上无限延伸,没有最高点,最低点在(0,0)处;师:结合图像观察结论,能否阐述函数图象最高（低）点的位置特质及几何意义？ 生:2y x =图象最低点在(0,0)处.仔细观察发现,位置特征:最低点位于函数图象上,不是图像外的其他点;几何意义:函数图象上所有点在坐标系中的位置都高于它或和它一样高（最低点本身）.【设计意图】观察图象易找到最高（低）点,教学时对最高（低）点的位置特征、几何意义进行探究,展现数学概念生成的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力. ●活动② 图象的最高（低）点所体现的函数对应关系本质师:点之间位置高度的如何量化,更显数学的严谨性.由第一课时函数单调性推导,我们在描述()f x 随着x 的增大而增大,任取点11(,)A x y 到22(,)B x y ,其中12x x <刻画x 的增大,因此,我们是借助于点的坐标来探究.同学们可以想一想:在坐标系中,图象的点的高度,是由构成图象点的纵坐标决定的.师:下面以2y x =图象最低点在(0,0)O 为例,探究函数对应关系本质图象上其他点的位置不低于点O⇔图象上任意点(,)Q x y 位置不低于点(0,0)O⇔任意点(,)Q Q Q x y 的纵坐标Q y 的值与(0,0)O 纵坐标O y 的值关系:Q O y y ≥;而任意点(,)Q Q Q x y 的横坐标Q x 的值与(0,0)O 横坐标O x 的关系:,Q O x x R ∈（定义域） ⇔定义域R 内,寻求纵坐标的最小值因此,我们可以下结论:函数图象的最高（低）点(,)Q Q Q x y 的实质是:函数在定义域内任取x 所对应的y 值小于或等于（大于或等于）该点的函数值Q y ;也可以这样描述,函数整个定义域I 内的函数值y 在Q x x =处有最大（小）值Q y ,称Q y 为函数的最大（小）值.关系流程如图:【设计意图】从图象的最高（低）点的“形”,如何过渡到最大（小）值这个“数”,是教学设计的重点.我们从最高（低）点的位置特征,几何意义分析,让学生充分认识到点的坐标,是图象的构成元素点的数量体现,对“形”的认识自然过渡到“数”的分析.点的坐标由横、纵坐标组成,在坐标系中图象上的点投影在x 轴所覆盖的范围、y 轴所覆盖的范围,分别对应了函数的定义域和值域.最高（低）点的横、纵坐标,在坐标系中该点投影在x 轴是其横坐标取值、y 轴上是其纵坐标取值,与其他点投影到y 轴上的值相比较,是最大（小）值,同时该点横、纵坐标分别对应了定义域内某个值,值域内的最大（小）值.●活动③函数最大（小）值的概念师:由以上的推导,我们能否生成函数最大（小）值的概念?生:存在某个值使得所有函数值都比它大（小）也可相等．师:由几何特征,这个值在值域中吗？请继续完善．生:这个值在值域中.值域中存在某个值,使得所有函数值都比它大（小）． 师:函数定义域优先,值域中某个值是否有一个x 与之对应？生:至少有一个x 与之对应,即存在性．师:一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（()f x M ≥）;（2）存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么我们称M 是函数()y f x =的最大（小）值.【设计意图】学生要充分认识图象的最高（低）点的位置、该点坐标形式、坐标的对应实质这三者之间的联系,才能从“形”的位置特征及几何意义,到“数”对应方式,呈现了函数最大（小）值概念的生成过程.探究二 结合函数单调性求最大（小）值●活动①由图象观察函数最值．例1已知函数()11f x x x =++-．（1）画出()f x 的图象;（2）根据图象写出()f x 的最小值．【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）解:()11f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其图象如图所示:（2）由图象,得函数()f x 的最小值为2.【思路点拨】画出函数()y f x =的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值．【答案】（1）略;（2）2.同类训练 如图为函数()y f x =,[4,7]x ∈-的图象,指出它的最大值、最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是( 1.5,2)--,所以当3x =时取得最大值,最大值是3;当 1.5x =-时取得最小值,最小值是－2.【思路点拨】从左至右观察图象,在最高（低）点对应的纵坐标值,为函数的最大（小）值.【答案】3,-2．【设计意图】考查学生如何观察函数最值●活动②利用函数单调性求最值例2:求函数21y x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值． 【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[2,6]x x ∀∈,且12x x <211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 12,[2,6]x x ∈,12(1)(1)0x x ∴-->．12x x <,120x x ∴->,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．21y x ∴=-是区间[2,6]上的减函数． 因此,函数21y x =-在区间[2,6]的两个端点分别取得最大值与最小值,即在2x =时取得最大值,最大值为2,在6x =时取得最小值,最小值为0.4．【思路点拨】由图象可观察函数单减,在2x =处有最大值,在6x =处有最小值.在实际解答题中,能说明函数的单调性应先证明,再求最值．【答案】2，0.4．同类训练 求函数4()f x x x=+在[1,2]x ∈上的最大值与最小值． 【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[1,2]x x ∀∈,且12x x <，则121212121212444()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 12x x <,120x x ∴-<，1212,[1,2](1,4)x x x x ∈∴∈，，1212401x x x x ∴-＜，＞，1212()()0()().f x f x f x f x ∴-＞，即＞4()f x x x∴=+在[1,2]x ∈上是减函数． 从而函数的最大值是(1)145f =+=,最小值是(2)224f =+=．【思路点拨】由函数单调性求最值．【答案】5,4．【设计意图】求函数最值时,首先判定函数在给定区间的单调性,结合函数图象,在区间的端点值处取得最值.●活动③二次函数的最值问题例3求函数2()22f x x ax =-+在[2,4]上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x ax =-+的对称轴是x a =，当2a <时,()f x 在[2,4]上单增,min ()(2)64f x f a ==-，当4a >时,()f x 在[2,4]上单减,min ()(4)188f x f a ==-，当24a ≤≤时,2min ()()2f x f a a ==-．综上所述2min64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩同类训练 求函数2()22f x x x =-+在[,1]t t +上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x x =-+的对称轴是1x =．当110t t +<⇒<时,()f x 在[,1]t t +上单减,2min ()(1)1f x f t t =+=+； 当1t >时,()f x 在[,1]t t +上单增,2min ()()22f x f t t t ==-+；当1101t t t ≤≤+⇒≤≤时,min ()(1)1f x f ==．综上所述2min21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例4 函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m （0m >）,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:2()34(4)(1)f x x x x x =--=-+如图min 325()()24f x f ==-,=-43[,3]2m ∴∈． 【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.同类训练:函数2()23f x x x =-+在[0,]a （0a >）上最大值是3,最小值是2,求a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:22()23(1)2f x x x x =-+=-+如图:要取到最小值2,a 必须对称轴1x =右侧取值．最大值为3,则a 的必须在对称轴1x =左侧取值．[1,2]a ∴∈．【答案】[1,2]a ∈．【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.【设计意图】通过值域寻求定义域的问题,结合二次函数图象,找出对应的坐标轴的取值范围．●活动④函数关系中恒成立问题例5已知函数223()x x f x x++=([2,)x ∈+∞)． (1)求()f x 的最小值;(2)若()f x a >恒成立,求a 的取值范围．【知识点】函数单调性求最值，恒成立问题转化．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:(1) 12,[2,)x x ∀∈+∞,且12x x <，223()x x f x x++=则12121212(3)()()()x x f x f x x x x x --=-．12x x <,120x x ∴-<，12,[2,)x x ∈+∞,124x x ∴>,1230x x ∴->，12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <． 故函数223()x x f x x++=在[2,)+∞上为增函数． ∴当2x =时,()f x 有最小值,即11(2)2f =． (2) ()f x 有最小值为11(2)2f =． ()f x a >恒成立,只需min ()f x a >,即112a <． 【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题．【答案】（1）112;（2）112a <． 同类训练 函数2()3f x x x a =++-,[1,1]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】函数单调性、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:[1,1],()0x f x ∈-≥恒成立，23a x x ∴≤++,[1,1]x ∈-时恒成立．记:2()3g x x x =++， 只需min 11()4a g x ≤=,即114a ≤． 【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题． 【答案】114a ≤． 例6 函数2()3,f x x ax a =++-若[2,3]a ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数x 的取值范围.【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想、分类讨论思想．【解题过程】解:22()3(1)(3)f x x ax a a x x =++-=-++,[2,3]a ∈-,()0f x ≥恒成立，记:2()(1)(3)g a a x x =-++，转化为()0g a ≥恒成立,[2,3]a ∈-．当1x =时,()40g a =>恒成立1x ∴=…………….①当1x >时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单增,22min ()(2)25(1)40g a g x x x =-=-+=-+>恒成立,1x ∴>…………….②当1x <时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单减，2min ()(3)30g a g x x ==+> 31x x ∴≤-≤<或0…………….③由①②③:(,3][,)x ∈-∞-⋃+∞0．【思路点拨】也可用二次函数图象问题求解,若向一次函数图象问题转化,问题变得相对容易．【答案】(,3][,)-∞-⋃+∞0．同类训练 函数2()3,f x x ax a =++-[2,2]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】函数2()3f x x ax a =++-图象的对称轴是2a x =-． 当22a -≤-,即4a ≥时,()f x 在[2,2]-上单增,min ()(2)730f x f a =-=-≥73a ∴≤． a ∴∈Φ………….① 当22a -≥,即4a ≤-时,()f x 在[2,2]-上单减,min ()(2)70f x f a ==+≥7a ∴≥-， [7,4]a ∴∈--．…………….②当222a -<-<,即44a -<<时,2min 412()()024a a a f x f ---+==≥62a ∴-≤≤， (4,2]a ∴∈-．………….③由①②③:[7,2]a ∈-．【思路点拨】对称轴与给定区间位置不同关系,由函数图象观察单调性,结合最值求解．【答案】[7,2]a ∈-．【设计意图】函数的最值与单调性的关系:若函数在闭区间[,]a b 上是减函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f a ,最小值为()f b ;若函数在闭区间[,]a b 上是增函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f b ,最小值为()f a ．探究三 函数最大（小）值的实际问题中的应用●活动① 生活问题构建函数模型例7 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:2400,0400()280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,其中x 是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数()f x ;（2）当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:（1）月产量为x 台,则总成本为20000100x +元,从而⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)400(,10060000)4000(,2000030021)(2x x x x x x f（2）当0400x ≤≤时,21()(300)25000,2f x x =--+ 当300x =时,max ()25000f x =；当400x >时,()60000100f x x =-是减函数,()60001004002000025000.f x <-⨯=<综上所述：300x ∴=时,max ()25000f x =．即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．【思路点拨】分段函数模型要注意x 的不同取值范围,所对应的利润求值问题．【答案】（1）2130020000,(0400)()260000100,(400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩;（2）每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．同类训练 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元？最大利润是多少？【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:设售价为x 元,利润为y 元,单个涨价50x -元,销量减少10(50)x -个． 2(40)[50010(50)](40)(100010)10(70)9000.y x x x x x =---=--=--+故当70x =时,max 9000y =所以售价为70元时,利润最大为9000元．【思路点拨】构建一元二次方程求最值．【答案】售价为70元时,利润最大为9000元．【设计意图】 （1）解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学问题解决．（2）分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．3. 课堂总结知识梳理（1）通过函数图象,探究函数最大（小）值及几何意义．（2）结合函数单调性求函数最大（小）值．（3）函数最大（小）值在实际问题中的应用．重难点归纳（1）函数最大（小）值概念的生成．（2）求函数最大（小）值．（三）课后作业基础型 自主突破1.若函数()f x x =则（ ） A ()f x 的最大值为0,无最小值 B ()f x 无最大值,最小值为0C ()f x 的最大值为+∞,最小值为0D ()f x 的最大值为0,最小值为-∞【知识点】图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】如图: ()f x x =在(,0),[0,)-∞+∞在0x =处有最小值(0)0f =,无最大值【思路点拨】由图象观察求最值【答案】B 2.若函数26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为（ ） A 10,6 B 10,8 C 8,6 D 8,8【知识点】一次函数图象性质【数学思想】【解题过程】解:由一次函数单调性26,(1,2]y x x =+∈,7,[1,1]y x x =+∈-,因此26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩在区间[1,2]x ∈-,min max ()(1)6,()(2)10f x f f x f =-===【思路点拨】也可用图象观察的方法.【答案】A3.函数2()2f x x x =+（1）在(2,5]-的最大值,最小值分别是________（2）在(1,2]-的最大值,最小值分别是________【知识点】二次函数图象【数学思想】数形结合思想【解题过程】函数2()2f x x x =+对称轴1x =-（1）(2,5]x ∈-,函数在1x =-处有最小值,min ()(1)1f x f =-=-在5x =处有最大值,max ()(5)35f x f ==（2）函数在(1,2]-上单增,在2x =处有最大值,max ()(2)8f x f ==【思路点拨】给定区间求最值,作图观察.【答案】（1）35,-1;（2）8,无4.函数1()12f x x=--在(2,5]x ∈上的值域是______ 【知识点】函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:函数11()122x f x x x-=-=--,定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ 由一次分函数图象知: ()f x 在(2,5]上单减min 4()(5)3f x f ==,函数无最大值【思路点拨】可用定义法证明函数单调性,也可分析法2y x =-在(2,5]为减,12y x =-在(2,5]为增, 112y x=--在(2,5]为减. 【答案】4[,)3+∞ 5. 已知二次函数()f x 满足且()f x 的最大值为8,求此二次函数的解析式【知识点】待定系数法求函数解析式 【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】解:设2()(0)f x ax bx c a =++≠ (2)(1)1f f =-=-,()f x 的最大值为824211484a b c a b c ac b a ⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得447a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2()447f x x x ∴=-++【思路点拨】也可以用顶点式、两点式求解【答案】2()447f x x x =-++6. ()1f x ax =+在[1,2]上的最大值与最小值之差为2,求a 的值【知识点】一次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:()1f x ax =+当0a =时,()1f x =常值函数,在[1,2]上无单调性当0a >时,()1f x ax =+在[1,2]上单增,min max ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+ max min ()()(21)(1)2f x f x a a a ∴-=+-+==当0a <时,()1f x ax =+在[1,2]上单减,max min ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+max min ()()(1)(21)22f x f x a a a a ∴-=+-+=-=⇒=-【思路点拨】一次函数y kx b =+的单调性,0,();0,()k f x k f x ><【答案】2或-2能力型 师生共研7.已知2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[1,5]上的最小值为(5)f ,求a 的范围【知识点】二次函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()2(1)2f x x a x =+-+对称轴为1x a =- min ()(5)f x f =2()2(1)2f x x a x ∴=+-+在区间[1,5]单减,称轴为154x a a =-≥⇒≤-【思路点拨】【答案】4a ≤-8.设1()1f x kx x =--,其中1k >,若()f x 在[2,)+∞上有最小值,求k 的值 【知识点】单调性应用【数学思想】【解题过程】解:11()11f x kx kx x x =-=+--,其中y kx =,11y x =-在[2,)+∞均单调递增1()1f x kx x ∴=--在[2,)+∞单增min 3()(2)2f x f k ⇒=⇒= 【思路点拨】性质法判断函数单调性【答案】32k = 探究型 多维突破9.若函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-的最大值为178,求a 的值.【知识点】二次函数根的分布【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想【解题过程】解:函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-当0a =时,()f x x =在[1,1]-上单增,max ()(1)1f x f ==矛盾当0a >时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a =-< max ()(1)1f x f ∴==矛盾当0a <时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a=-> 当112a -≤,即12a ≤-时, 2max14117()()248a f x f a a --=-==,2a ∴=- 当112a ->,即102a -<<时max ()(1)1f x f ∴== 矛盾 综上所述:2a =-【思路点拨】二次函数根的分布问题,结合函数图象及函数在区间上的单调性讨论【答案】2a =-10.建造一个容积为6400立方米,深为4米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米200元,池底的造价为每平方米100元．（1）把总造价y 元表示为池底的一边长x 米的函数;（2）由于场地原因,蓄水池的一边长不能超过40米,问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？【知识点】数学建模【数学思想】函数与方程思想【解题过程】解:（1）由已知池底的面积为640016004=平方米,底面的另一边长为1600x 米, 则池壁的面积为:160024()x x⨯⨯+平方米． 所以总造价: 16001600()160000,(0,)y x x x=++∈+∞ （2）由题意知16001600()160000,(0,40]y x x x=++∈ 设12040x x <<≤,则121212121212(1600)160016001600()1600()1600()x x y y x x x x x x x x --=+-+=- 12040x x <<≤,120x x ∴-<,1201600x x ∴<<1216000x x ∴-<,120y y ∴->即12y y >从而这个函数在(0,40]上是减函数,故当40x =时,min 288000y =所以当池底是边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.【思路点拨】函数单调性求最值【答案】边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.自助餐1.函数2()43,[1,4]f x x x x =-+∈,则()f x 的最大值为（ ）A. -1B.0C.3D.-2【知识点】二次函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()43(1)(3)f x x x x x =-+=--, 如图:max ()(4)3f x f ==【思路点拨】给定区间求最值【答案】C2.函数()21f x x x =-+的值域为（ ）A.1[,)2+∞B.1(,]2-∞ C.[1,)+∞ D.(0,)+∞ 【知识点】函数值域【数学思想】等价转化思想【解题过程】()21f x x x =-+定义域1[,)2+∞ 21,y x y x =-=在1[,)2+∞上单增 ()21f x x x ∴=-+在1[,)2+∞上单增,∴值域1[,)2+∞ 【思路点拨】性质法判断函数单调性,再求最值【答案】A3. 函数2202,()02,x x x f x x x -≤≤⎧--=⎨<≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为______ 【知识点】分段函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:如图所示max ()(2)2f x f ==min ()(2)(0)0f x f f =-==【思路点拨】分段函数在对应区间求一次函数、二次函数的最值【答案】2,04.函数2()45f x x x =-+在[0,]m 上的最大值5,最小值1,则m 的取值范围______【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:22()45(2)1f x x x x =-+=-+如图所示:max ()(0)(4)5f x f f ===min ()(2)1f x f == [2,4]m ∴∈【思路点拨】由值域反推定义域【答案】[2,4]5.已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-（1）当1a =-时,求函数()f x 的最大值和最小值（2）函数()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数,则a 的取值范围【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:（1）当1a =-时,22()22(1)1f x x x x =++=++ [5,5]x ∈-,min ()(1)1f x f ∴=-=,max ()(5)37f x f =-=（2）22()()2f x x a a =++-,函数对称轴x a =-函数在区间[5,5]-上是单调函数,5a ∴≤-或5a ≥【思路点拨】二次函数的对称轴与开口方向,决定了函数单调区间6.求函数223,[1,2]y x ax x =--∈的最大值()M a 和最小值()m a .【知识点】二次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:函数2()23f x x ax =--的对称轴是x a = 当1a <时,()f x 在[1,2]上单增,min ()(1)22()f x f a m a ==--=max ()(2)14()f x f a M a ==-=当2a >时,()f x 在[1,2]上单减,max ()(1)22()f x f a M a ==--=min ()(2)14()f x f a m a ==-=当12a ≤≤时,2min ()()3()f x f a a m a ==--= 最大值由区间端点与对称轴决定1 1.5a ≤≤max ()(2)14()f x f a M a ==-=1.52a <≤max ()(1)22()f x f a M a ==--=综上所述:222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩ 【思路点拨】对称轴与区间的位置关系,分类讨论【答案】222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩。

教学设计中学数学教学设计：§1.3.《函数的单调性》教学设计一【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力.二【学生分析】从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

三【教学目标】1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.四【教学重点与难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．五【学法与教学用具】1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。

1.3.1函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念、函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要让学生掌握函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。

如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。

同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。

所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。

二、教学目标设置:（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法及单调性的简单运用。

（2）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括、自主构建单调增函数、减函数的概念；能运用函数单调性的定义解决一些简单的问题；让学生领会数学结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

（3）情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好学习习惯与学习态度。

(三)情感态度与价值观:创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.三、学生学情分析:学生在初中只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法） 师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？ 意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值全体设计教材分析研讨函数的单调性和最值是函数性质一个重要内容.理论上，在初中学习函数时，曾经重点研讨了一些函数的增减性，只是当时的研讨较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也次要根据观察图象得出，而本大节内容，正是初中有关内容的深化和进步：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是绝对某个区间来说的，还阐明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严峻的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法分歧同来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因而，在本节教学时可以充分运用信息技术创设教学情境，以利于先生作函数图象，有更多的工夫用于考虑、探求函数的单调性、最值等性质.还要特别注重让先生经历这些概念的构成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研讨经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让先生经过自主探求活动，体验数学概念的构成过程的真理，学会运用函数图象理解和研讨函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，进步运用知识解决成绩的能力.3.经过实例，使先生领会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题认识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的理论成绩，使先生感遭到学习函数单调性的必要性与重要性，加强先生学习函数的紧迫感，激发先生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数方式化定义的构成.课时安排：2课时第1课时函数的单调性【教学目标】1．知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念，经过观察一些函数图象的特点，构成增（减）函数的直观认识. 再经过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

1.3.1单调性与最大（小）值（第一、二课时）函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学教学目标（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学过程：一、课前准备一、复习引入：⒈ 复习：按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数2x y =和3x y =的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2.⒉ 从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,当1x <2x 时，有1y <2y .这时就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数. 从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0），得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数.二、新课导学⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数.⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延 ①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3 函数的最大（小）值（1）设函数y=f(x)的定义域为D ，如果存在实数M 满足：对任意的x ∈D 都有f(x) ≤M ；存在x o ∈D, 使得f(x o ) =M ．那么， M 就是函数Y=f(x)的最大值． 设函数Y=f(x)的定义域为D ，如果存在实数M 满足：对任意的x ∈D ，都有f(x)≥ M ；存在x o ∈D,使得f(x o ) =M ．那么，我们称M 是函数Y=f(x)的最小值．注： ①对于任意的x 属于给定区间，都有f(x) ≤M 成立，“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式．②最大值M 必须是一个函数值，即它是值域中的一个元素．例如函数f(x)＝- x 2,对任意的x ∈R ，都有f(x) ≤1，但f(x)的最大值不是1，因为1不属于f(x)的值域，否则大于零的实数都是最大值了．(2)函数最大（小）值的求法① 函数值域是指函数值的集合，函数最大（小）值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大（小）值就是闭区间两端点的值② 求函数最大（小）值可以利用求值域的方法进行，如配方法、换元法、判别式法、图象法、单调性等等．典型例题例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数.证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 注：对于分式函数单调性的证明，作差之后，要通分，然后将分子或分母分解因式，便于判定符号；而在“作差变形”的过程中，尽量化成几个最简单因式的乘积，也可以把其中的因式化成几个完全平方式的和的形式，在判断因式的正负号时，经常采用这种方法．例2、讨论函数21)(x x f -=的单调性。

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。

§函数的单调性（人教版必修一）教案河北易县中学边红霞一、教材分析1、地位及作用本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的定义域、值域、最值、奇偶性等其它性质出现。

它既是在学生学过函数概念、图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的基础，同时单调性在比较大小、解不等式、证明不等式、数列的性质以及其它知识的综合应用中发挥着重要作用。

研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从特殊到一般”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

2、教学目标1）、知识目标：（1）理解单调性概念，掌握函数单调性的应用（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图助数的过程，在这个过程中，通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。

2）、能力目标：在探索过程中培养分析、归纳、抽象思维及推理判断能力。

初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。

3）、情感目标：在参与过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣，提高学好数学的自信。

3、教学重点与难点难点：函数单调性定义。

重点：利用定义证明函数的单调性。

二、教学方法根据学生的认知规律，本节采用探索式的教学方法，利用启发、合作探究、由浅入深进行教学，以激发学生思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以熟悉的问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

在鼓励学生主体参与的同时，发挥教师的主导作用，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

三、学法分析1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过对比构造，来完成从感性认识到理性思维质的飞跃，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。

2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。

《函数的单调性与最大（小）值》教学设计（第1课时）一．教材地位分析《单调性与最大（小）值（1）》系新课标实验教材必修Ⅰ第一章第三节内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的奇偶性。

它是在学习了函数的基础上进一步研究函数必不可少的一部分内容。

二．教学目标设计1．知识与技能：1）使学生理解函数单调性的的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

2）启发学生能够发现问题、提出问题，培养学生分析问题、认识问题的能力和创造的解决问题的能力。

3）通过观察—猜想—推理—证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

{2．过程与方法：1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物注意的思想教育。

2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

3．情感态度与价值观：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以点燃学生的学习热情，理性认识生活中的增长、递减现象。

三．教学重点和难点设计教学重点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。

教学难点：利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性。

`四．学情、教法分析及教材处理按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。

学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；同时，学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。

根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主。

五．教具准备多媒体课件（Ppowerpoint）六．教学流程设计<：七．教学情境设计 1．【情景导入】2．【新课探究】3．【讲解例1】4．【知识迁移】5．【讲解例2】6．【知识巩固】7．【课堂小结】（通过提问的形式，让学生总结）八．情景设计说明1．注重创设问题情景，通过学生观察，提出问题并建立数学模型解决问题，让学生了解数学的实际应用。

1.3.1单调性与最大（小）值教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾1.函数有哪几个要素？2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4.区间的表示方法.前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。

（II）讲授新课1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？⇒随着x的增加，y值在增加。

问题2：怎样用数学语言表示呢？⇒设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1<x2时，f(x1)< f(x2).(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。

结论：这时，说y1= x2在[0，+∞]上是增函数。

（同理分析y轴左侧部分）由此可有：如果对于属(decreasing（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

（III）例题分析例1.下图是定义在闭区间[]5,5-上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。

-，[)3,1上是减函数；在区间[)1,2-，[)5,3上是增函数，那问题3：y=f(x)在区间[)2,5-么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。

必修一 1.3.1 单调性与最大（小）值（第2课时）
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。

（2）会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。

（3）了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最值。

2.过程与方法：
从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。

3.情感态度价值观：
通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.
【重点难点】
1.教学重点：理解函数的最值。

2.教学难点：运用函数的单调性求函数的最值。

【教学策略与方法】
1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．
2.教具准备：多媒体
【教学过程】
问题1. 这两个函数图象有何共同特征？。

《1.3.1单调性与最大（小）值第1课时》教学设计课型：新授课一、教学内容解析《函数的单调性》是《高中数学人教 A 版》（必修1）第一章 1.3.1 节的内容，本节课的主要内容是从形与数两方面理解函数单调性的概念，依据图象判断函数的单调性和应用定义证明一些简单函数在给定区间上的单调性．函数的单调性是学生在了解函数概念之后学习的第一个函数性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质．函数单调性的研究体现了对函数研究的一般方法．这就是：加强数形的结合，由直观到抽象，由特殊到一般．即借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化的数字特征，从而加以解析研究，用准确的数学语言刻画．函数的单调性为研究函数的其他性质起到了示范作用，提供了方法依据．函数的单调性有着承前启后的作用．一方面，函数的单调性是前一节内容函数的概念与图象知识的延续与扩展，同时函数的单调性又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础，在解决函数定义域、值域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；此外，从方法论的角度分析，本节教学过程当中，还渗透了数形结合、归纳类比、转化与化归等数学思想．利用定义证明函数单调性的过程中，算法的思想提前渗透，在强调对单调性概念中的“任意”理解的同时，为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫．本节课的教学重点：形成增（减）函数的形式化定义.二、教学目标设置根据新课标的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求，并结合本校学生的实际水平，确定本节课教学目标如下：1．从形与数两方面理解函数单调性的概念，会根据函数图象判断函数的单调性，指出函数的单调区间；2．能够根据函数单调性的定义证明函数在指定区间上的单调性；3．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．目标解析：1．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、归纳类比思想、转化与化归思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括出函数单调性的概念．2．能够以具体的例子说明函数在某区间上是增函数还是减函数；能够举例，并通过绘制图象说明函数在定义域的某区间上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质．对于一个简单函数能够用单调性的定义证明它在指定区间上是增函数还是减函数．三、学生学情分析从学生的知识上看，学生已经学过一次函数、二次函数及反比例函数、函数的概念及表示，能画出一些简单函数的图象，从图象的直观变化，学生能粗略的领会函数增减性的概念，从而引入函数单调性的定义也就水到渠成．从学生现有的学习能力来看，通过初中对函数的认识和实验，学生已具备一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”的描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重难点问题．函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础．但是如何运用数学符号将自然语言的描述转化为形式化的定义，学生接受起来还比较困难．在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性的定义．教学难点：在形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；基于第一次接触代数证明，如何用定义严格证明函数的单调性，也是本节课教学的一个难点.四、教学策略分析为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：1．创设情境．通过观察上楼梯的动态图片及分析上楼梯时人的位置随台阶的变化情况，自然联系函数的单调性，同时激发学生的学习兴趣，轻松引入课题．2．提炼概念．①以学生熟悉的函数2()f x x =为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性；②通过几何画板的动态演示和数据分析，让学生直观了解图象的升降与)(x f x 、对应值之间的关系，能用自然语言“()f x 随着x 的增大而增大” 来描述“函数()2f x x =的图象在()+∞,0是上升的”，进一步认识函数单调性；③经历观察、分析、归纳的认知过程，能将图象在()+∞,0“上升”这一特征用该区间上“任意的12x x <，都有12()()f x f x <”的符号语言进行刻画，从而产生增函数的概念．最后通过类比，得出减函数的概念．3．辨析概念．一方面是函数单调性概念内涵的挖掘，结合函数单调性定义中的关键词“任意”以及单调性是函数的局部性质等内容设置辨析，加深对概念的理解；另一方面是概念的外延拓展，从单调区间没有可加性、单调性概念的正逆互推这两个方面和学生互动交流，提升对单调性概念的整体认知．4．应用概念．一方面通过观察图象判断函数的单调性，指出函数的单调区间；另一方面，让学生掌握根据定义证明函数在给定区间上的单调性的方法和规范步骤．五、教学过程（一）创设情境，引入新知函数是研究事物运动变化规律的数学模型，而生活中许多运动变化现象都具有规律性．让学生观察“上楼梯”的动态图片，提出问题：在上楼梯时，人的位置是如何随台阶的变化而变化的？预设：随着台阶数的增加，人的位置会逐渐升高．“上楼梯”的这种变化规律，体现的就是人的位置与台阶级数这两个量之间的变化规律，从函数的角度看，即一个量随另一个量变化而变化的规律．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．（二）提炼概念，形成新知教师：这种规律，反映了函数的一个重要性质，这就是我们今天要研究的内容：函数的单调性．本节课我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．问题1：观察函数22)(1)(+-=+=x x f x x f 与的图象，解决如下问题：（1）从左往右看，图象有什么样的“升”、“降”规律？（2）图像的这种“升”、“降”规律反映了随着自变量的变化，函数值是如何变化的？教师：引导学生观察图象，获得信息： ①第一个图象从左至右是上升的，在整个定义域内f (x )随着x 的增大而增大; ②第二个图象从左至右是下降的，在整个定义域内f (x )随着x 的增大而减小．然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数．教师：二次函数2)(x x f =在整个定义域内是增函数还是减函数？通过师生互动，引导学生认识增、减函数和区间的关系，强调单调性是针对定义域的某个区间而言的，是函数的一种局部性质．【设计意图】从图象直观感知函数的单调性，并从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述，完成对单调性的第一次认识．教师：通过观察图象的升、降趋势，我们用自然语言描述了增、减函数，但数学中的概念表述要求严谨规范，所以还需用准确的符号语言来刻画增、减函数的定义．问题2：以二次函数2)(x x f =为例，如何用准确的符号语言描述“)(x f 在()+∞,0上是增函数，即在()+∞,0上)(x f 随x 的增大而增大”？第一步：将“x 增大”符号化，类比“x 增大”得到“f (x )的增大”；教师： “x 增大”，就是x 由小变大，这说明“增大”意味着大小比较，而比较至少要在两个数之间进行．不妨设其中一数为1x ,另一数为2x ，将1x 看作较小数、2x 看作较大数，自然得到“x 增大”用符号语言描述就是：21x x <．第二步：将“随”字符号化；预设：学生不难得出，当21x x <时，有()()21x f x f <．第三步：再将隐含语言“区间”符号化；教师：1x 、2x 在哪里取？该区间与定义域有何关系？强调单调性是函数的局部性质，逐步引导学生得出单调性定义．说明：学生对“任意性”的认识可能会有欠缺，但可通过后续的概念辨析等学习活动加深对单调性概念的理解，逐步深化认知．【设计意图】通过一系列提问和引导，让学生突破思维的瓶颈，初步学会用符号语言“在区间()0,+∞上任取两个数12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <”来描述“在()0,+∞上()f x 随着x 的增大而增大”，把对单调性的认识由感性上升到理性认知高度，完成对概念的第二次认识．师生共同探究，得出增函数的严格定义（板书定义）：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．用图象刻画增函数．【设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法． 问题3：类比增函数的定义，对于一般的函数()y f x =，我们又该如何给减函数下定义？学生通过类比、观察、交流后，得出减函数定义，并用图象刻画减函数． 师生活动：小组交流讨论，代表发言．【设计意图】得出减函数定义，培养学生的类比推理能力．（三）辨析概念，深化新知辨析题：判断下列说法是否正确，若不正确，请举例说明理由．(1)定义在R 上的函数f (x )满足f (－1)< f (2) ，则函数f (x )在R 上是增函数．（交流讨论，借助幻灯片以图象形式给出反例）(2)3)(2-=x x f 在()上是增函数+∞∞-,．（×）(3)反比例函数x x f 1)(=在()0,∞-，()+∞,0上是减函数，则x x f 1)(=在()()+∞⋃∞-,00,上也是减函数．（×）（小组合作探究,学生展示反例）(4)函数()y f x =在),0[+∞上为增函数，任取[)+∞∈,021x x 、，如果()()21x f x f <，那么21x x <．（√） (几何画板作动态演示)师生交流，代表发言，通过辨析题让学生认识到以下五点：(1)在定义域R 上有两个或无数个自变量满足当21x x <时，有()()21x f x f <都不能反映“函数值)(x f 随自变量x 的增大而增大”的本质．必须强调1x 、2x 是“任意”的，才符合增函数的特征；(2) 有些函数只在定义域的某些区间上具有单调性，而在整个定义域上不一定单调，强调单调性是函数的局部性质；(3) 以反比例函数为突破口，强调单调区间没有可加性；通过本题也可让学生思考：如何说明一个函数在给定区间上不是单调函数？(4) 函数单调性的概念可以正逆互推，了解这点有利于后续解决运用单调性求解不等式的相关问题．【设计意图】通过对概念的辨析，一方面挖掘函数单调性概念的内涵，另一方面拓展其外延，加深对单调性的理解，完成对概念的第三次认识．（四）应用概念，掌握新知例1 下图是定义在区间[]5,5-上的函数()y f x =，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【设计意图】学生能通过观察图象说出函数的单调区间，完善和加深对函数单调性概念的理解．例2 试用单调性的定义证明2)(x x f =在),0[+∞上是增函数．师生活动：教师分析，学生思考，教师按定义严格板书示范，指出本例证明的关键是对作差结果进行合理变形和符号判断，让学生提炼用定义法证明函数单调性的基本步骤：①任取；②判断；③根据定义下结论，并强调12,x x 的三个特征：同范围、任意性、有大小．练习：证明函数12)(+=x x f 在()0,∞-上是减函数．师生活动：学生上台展示，教师讲评．【设计意图】让学生掌握用定义证明函数单调性的方法和书写的规范步骤．（五）课堂小结通过本节课的学习，我们来体会一下都有哪些收获？师生活动：学生谈本节课的感受，教师梳理、总结本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．思考：如果对任意的12,x x ()b a ,∈，当21x x ≠时，有()[]0)()(2121>--x f x f x x ，那么函数y =f (x )在()b a ,上是增函数吗？（六）布置作业1．基础达标：①教材中练习的第2、3题；②求证：函数()2f x x =在区间(),0-∞上是减函数；2．能力提升：研究函数⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=0,0,1)(22x x x x x x f 的单调性； 3．思考探究：在一碗水中加入一定量的糖，糖加的越多糖水越甜（糖水不饱和状态下）．你能用本堂课所学知识解释这一生活现象吗？【设计意图】有梯度的设计作业，满足不同层次学生的不同要求．同时，探究题有意识的将数学与生活结合，让学生学以致用，既巩固了基本知识，又提升了分析问题和解决问题的能力．（六）板书设计（七）教学反思本节课通过给出具体的函数实例和函数单调性的图形语言，调动学生参与的意识，又运用多媒体演示、提问、分析定义等方法，加深对抽象的数学概念的理解，渗透了数形结合的数学思想方法．后面通过概念辨析，使学生的认识得到深化，思维得到发展．。