数学：29.2《反证法》同步测试(华东师大版九年级下)

华东师大版九年级数学下册第28章样本与总体同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、为了了解2017年我县九年级6023名学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了200名学生的数学成绩，下列说法正确的是( )A．2017年我县九年级学生是总体B．每一名九年级学生是个体C．200名九年级学生是总体的一个样本D．样本容量是2002、为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（）A．anbB．bnaC．banD．abn3、某校为了了解八年级1000名学生期中数学考试情况，从中抽取了100名学生的期中数学成绩进行了统计，下面判断中正确的有（）．①这种调查的方式是抽样调查；②1000名学生是总体；③每名学生的期中数学成绩是个体；④100名学生的期中数学成绩是总体的一个样本．A．1个B．2个C．3个D．4个4、为了解1000台新型电风扇的寿命，从中抽取10台作连续运转实验，在这个问题中，下列说法错误的是（）A．1000台新型电风扇的寿命是总体B．抽取的10台电扇的使用寿命是样本C．每台电扇的寿命是个体D．抽取的10台电扇是样本容量5、为全面掌握小区居民新冠疫苗接种情况，社区工作人员设计了以下几种调查方案：方案一：调查该小区每栋居民楼的10户家庭成员的疫苗接种情况；方案二：随机调查该小区100位居民的疫苗接种情况；方案三：对本小区所有居民的疫苗接种情况逐一调查统计．在上述方案中，能较好且准确地得到该小区居民疫苗接种情况的是（）A．方案一B．方案二C．方案三D．以上都不行6、某校为了解本校七年级500名学生的身高情况，随机选择了该年级100名学生进行调查．关于下列说法：①本次调查方式属于抽样调查；②每个学生是个体；③100名学生是总体的一个样本；④总体是该校七年级500名学生的身高．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是( )A．调查方式是普查B．该校只是360个家长持反对态度C．样本是360个家长D．该校约有90%的家长持反对态度8、为了解某市参加中考的51000名学生的视力情况，抽查了其中1500名学生的视力情况进行统计分析，下列叙述正确的是（）A．51000名学生是总体B．每名学生是总体的一个个体C．1500名学生的视力情况是总体的一个样本D．以上调查是普查9、下列调查中，调查方式选择合理的是（）A．为了了解澧水河流域饮用水矿物质含量的情况，采用抽样调查方式B．为了保证长征运载火箭的成功发射，对其所有的零部件采用抽样调查方式C．为了了解天门山景区的每天的游客客流量，选择全面调查方式D．为了调查湖南卫视《快乐大本营》节目的收视率，采用全面调查方式10、能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制（）A．条形统计图B．扇形统计图C．折线统计图D．直方图第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、为了使样本能较好地反映总体情况，除了有合适的样本容量外，抽取时还要尽量使每一个个体有_______的机会被抽到．抽样调查是实际中经常采用的调查方式，如果抽取的_______得当，就能很好地反应总体情况，否则，抽样调查的结果会偏离总体情况．抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种_______．2、一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个．3、开学之初，七（1）班的张老师为了安排座位，需要了解全班同学的视力情况，你认为张老师应采取_________（填“全面调查”或“抽样调查”）的统计方法较为合适．4、为了解某校1000名师生对“新型冠状病毒”的了解情况，从中随机抽取了50名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是___．5、小张所在的公司共有600名员工，他为了解公司员工所使用的手机品牌情况，随机调查了部分员工，并将调查得到的数据绘制成如图所示的统计图，那么小张所在公司使用“华为”品牌手机的人数约是_____人．6、为了解某校七年级600名学生的睡眠时间，从中抽取36名学生进行调查，这个问题中的样本容量是________．7、为了解某校六年级学生的身高情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，统计数据如表：根据表格信息解决下列问题：（1）在抽样调查中，身高不低于165cm的频数为_____________；（2）若该校六年级学生共有200人，可以估计身高不足160cm的人数为_____________人．8、食品卫生部门从某区域3200户商家中随机抽选160家进行专项检查，发现2户存在过期食品仍然在售的情况，相关部门按要求处罚相应商家，并销毁过期商品．请你估计该区域有_____户商家需要下架销毁过期商品．9、2020年末，我国完成了第7次人口普查，国家统计局采取的调查方式是_______．（填“全面调查”“抽样调查”）10、某班50名学生参加2013年初中毕业生毕业考试，综合评价等级为A，B，C等的学生情况如扇形图所示，该学校共有500人参加毕业考试，估计该学校得A等的学生有______名．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、虎林市教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出该校九年级学生总数．（2）求出活动时间为5天的学生人数，并补全频数分布直方图．（3）求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？2、为了了解游客对某市冰雪旅游服务满意度，从某景区中随机抽取部分游客进行调查，调查结果分为：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意四个等级．请根据如图所示的两幅统计图中的信息回答下列问题：(1)求本次调查共抽取了多少名游客？(2)请通过计算补全条形统计图；(3)若该景区累计接待游客90万人次，请你估计对该景区服务表示不满意的游客有多少万人次．3、2020年冬季达州市持续出现雾霾天气．某记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了尚不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m＝，n＝，扇形统计图中E组所占的百分比为%；（2）若该市人口约有200万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数．（3）治污减霾，你有什么建议？4、某校德育处利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了15名学生的测试成绩，得分用x 表示，共分成4组：A ：6070x ≤<，B ：7080x ≤<，C ：8090x ≤<，D ：90100x ≤≤，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息：初二的测试成绩在C 组中的数据为：80，86，88．初三的测试成绩：76，83，100，88，81，100，82，71，95，90，100，93，89，86，86．初二学生成绩频数分布直方图(1)=a ，b = ；(2)通过以上数据分析，你认为（填“初二”或“初三”）学生对防疫知识的掌握更好？请写出一条理由；(3)若初二、初三共有3000名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有多少人？5、为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩按“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级进行统计，并绘制了如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）．根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查共抽取了多少名学生？(2)①请补全条形统计图；②求出扇形统计图中表示“及格”的扇形的圆心角度数．(3)若该校有2400名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为“优秀”和“良好”等级的学生共有多少名？-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．根据总体、个体、样本、样本容量的定义，做出判断．【详解】解： 2017年我县九年级学生的数学成绩是总体，故A不符合题意；每一名九年级学生的数学成绩是个体，故B不符合题意；200名九年级学生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意；样本容量是200，故D符合题意；故选D【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．2、A【解析】【分析】首先求出有记号的b条鱼在a条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【详解】解：∵打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条，∴有标记的鱼占ba，∵共有n条鱼做上标记，∴鱼塘中估计有n÷ba＝anb（条）．故选：A．【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．3、C【解析】【分析】总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．本题考查的对象是某校八年级学生期中数学成绩，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本．【详解】解：①这种调查方式是抽样调查，故正确；②总体是八年级1000名学生期中数学成绩，故错误；③个体是八年级每个学生的期中数学成绩，这个说法正确，故正确；④100名学生的期中数学成绩是总体的一个样本，这个说法正确，故正确；故正确的说法有①③④共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了总体、个体与样本，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本．关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．4、D【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【详解】解：A、1000台新型电风扇的寿命是总体，正确，故选项A不合题意；B、抽取的10台电扇的使用寿命是样本，正确，故选项B不合题意；C、每台电扇的寿命是个体，正确，故选项C不符合题意；D、此次抽样调查的样本容量是10，故选项D错误，故选项D合题意．故选：D．【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．5、C【解析】【分析】根据调查收集数据应注重代表性以及全面性，进而得出符合题意的答案．【详解】解：因为全面掌握小区居民新冠疫苗接种情况，所以对本小区所有居民的疫苗接种情况逐一调查统计．故选：C．【点睛】本题考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握数据收集代表性是解题关键．6、B【解析】【分析】总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．本题考查的对象是我校八年级学生期中数学考试成绩，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【详解】解：①本次调查方式属于抽样调查．故①正确；②每个学生的身高情况是个体．故②错误；③100名学生的身高情况是总体的一个样本．故③错误；④总体是该校七年级500名学生的身高．故④正确；故正确的说法有2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了总体、个体与样本，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本．关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．7、D【解析】【分析】根据抽查与普查的定义以及用样本估计总体解答即可．【详解】解：A．共2500个学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，故本项错误，不符合题意；B．在调查的400个家长中，有360个家长持反对态度，该校只有36025002250400⨯=个家长持反对态度，故本项错误，不符合题意；C．样本是360个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本项错误，不符合题意；D．该校约有90%的家长持反对态度，本项正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，解题的关键是掌握这些是基础知识．8、C【解析】【分析】普查是对总体中的每个个体都进行的调查方式，抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，通过调查样本来收集数据．总体是考察的全体对象，个体是组成总体的每一个考察对象，样本是被抽取的个体组成，根据定义分析判断即可.【详解】A、51000名学生的视力情况是总体，选项错误；B、每名学生的视力情况是总体的一个个体，选项错误；C、1500名学生的视力情况是总体的一个样本，选项正确；Ｄ、该调查属于抽样调查，选项错误．故选：C【点睛】本题考查抽样调查和普查的区别，总体、个体、样本的定义，根据相关知识点解题是关键．9、A【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查所费人力、物力和时间较少，但只能得出近似的结果判断即可．【详解】A. 为了了解澧水河流域饮用水矿物质含量的情况，适合采用抽样调查方式，符合题意；B. 为了保证长征运载火箭的成功发射，对其所有的零部件适合采用全面调查方式，该选项不符合题意；C. 为了了解天门山景区的每天的游客客流量，适合选择抽样调查方式，该选项不符合题意；D. 为了调查湖南卫视《快乐大本营》节目的收视率，适合选择抽样调查方式，该选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10、C【解析】【分析】根据统计图的特点解答．【详解】解：能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制折线统计图，故选：C．【点睛】此题考查了统计图的特点，条形统计图能够直观地反映各变量数量的差异，折线图能直观反映各变量的变化趋势，扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中所占的百分比，直方图体现个体的数量，熟记每种统计图的特点是解题的关键．二、填空题1、相等样本简单的随机抽样【解析】略2、15【解析】【分析】由共摸了100次球，发现有25次摸到红球知摸到红球的概率为0.25，设盒子中白球有x 个，可得50.255x=+，解之即可． 【详解】解：设盒子中白球大约有x 个， 根据题意，得：50.255x=+， 解得15x =，经检验15x =是分式方程的解，所以估计盒子中白球大约有15个，故答案为：15．【点睛】本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，解题的关键是用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．3、全面调查【解析】【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．解：因为要了解全班同学的视力情况范围较小、难度不大，所以应采取全面调查的方法比较合适．故答案为：全面调查．【点睛】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．4、50名师生“新型冠状病毒”的了解情况．【解析】【分析】根据样本的定义解答，样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．【详解】依题意，则这项调查中的样本是：50名师生“新型冠状病毒”的了解情况．故答案为：50名师生对“新型冠状病毒”的了解情况【点睛】本题考查了总体、个体、样本，是概念题，需要注意，不论总体还是样本都要指明“考察的对象”，这也是此类题目最容易出错的地方．5、210【解析】【分析】用样本中使用华为品牌的人数所占比例乘以总人数即可得出答案．【详解】解：小张所在公司使用“华为”品牌手机的人数约是600×3535152051015+++++＝210（人），故答案为：210．本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．6、36【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【详解】解：为了解某校七年级600名学生的睡眠时间，从中抽取36名学生进行调查，这个问题中的样本容量是36．故答案为：36．【点睛】本题考查的是确定总体、个体、样本和样本容量．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”7、 14 80【解析】【分析】（1）根据频数分布表中的频数进行计算即可；（2）用总人数乘以身高不低于160cm 的学生人数所占比例．【详解】解：（1）样本中，身高在“165170x ≤<”有8人，在“170175x ≤<”有6人，所以样本中身高不低于165cm的频数为8614+=，故答案为：14；（2）412200804121086+⨯=++++（人），故答案为：80．【点睛】本题考查频数分布表，掌握频率=频数总数是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．8、40【解析】【分析】设该区域有x户商家需要下架销毁过期商品，根据样本中存在销售过期食品商户的数量所占比例＝总体中存在销售过期食品商户的数量所占比例列出方程求解即可．【详解】解：设该区域有x户商家需要下架销毁过期商品，根据题意，得：2 3200160x=，解得：x＝40，所以该区域有40户商家需要下架销毁过期商品，故答案为：40．【点睛】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．9、全面调查【解析】根据全面调查和抽样调查的概念判断即可．【详解】解：为了全面的、可靠的得到我国人口信息，所以国家统计局采取的调查方式是全面调查，故答案为：全面调查．【点睛】本题考查的是全面调查和抽样调查，解题的关键是掌握通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查，其二，调查过程带有破坏性，其三，有些被调查的对象无法进行普查．10、100【解析】【分析】根据各部分的和可以看作整体1，求得A等的所占百分比，A等学生占该班人数的百分比乘以总人数即A等的人数．【详解】解：500×（1-30％-50％）=100．故答案为：100．【点睛】本题考查扇形统计图，解题的关键是记住百分比，总人数，所占人数之间的关系．三、解答题1、（1）200；（2）50，图见解析；（3）90【解析】（1）根据综合实践活动的天数为4天的人数60人，所占比例为30%，即可求得总人数；（2）将总人数乘以实践活动的天数为5天的学生人数所占的比例即可求得, 活动时间为5天的学生人数,进而求得活动时间为7天的人数，即可补全统计图（3）分别求得活动时间为5,6,7天的人数，求其和即可【详解】解：（1）活动的天数为4天的人数60人，所占比例为30%，则总人数为：60÷30%＝200（人）（2）活动的天数为5天的有：200×（1－10%－15%－30%－5%-15%）=50(人)活动的天数为7天的有：200×5%=10（人）补全5天和7天的两个直方条（如图）（3）50+30+200×5%=90(人)该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是90人【点睛】本题考查了频数直方图和扇形统计图信息关联，从统计图中获取信息是解题的关键．2、 (1)50名(2)见解析(3)7.2万人次【解析】【分析】（1）根据A的人数除以占的百分比，得出调查总数即可；（2）将总人数减去A、B、D的人数即可得C的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以表示不满意的游客所占的百分比即可．(1)这次抽样调查的游客有：10÷20%=50（名）答：本次调查共抽取了50名游客；(2)“基本满意”的游客有：50-10-20-4=16（人），补全条形图如图：(3)90×450=7.2（万人），答：估计对该景区服务表示不满意的游客有7.2万人次．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．3、（1）400，100，15；（2）60万人；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据A的人数除以BA所占的百分比，求得总人数，总人数乘以B的百分比可得m，总人数减去其余各组人数之和可得n，用E组人数除以总人数可得答案；（2）根据全市总人数乘以D类所占比例，可得答案；（3）根据以上图表提出合理倡议均可．【详解】解：（1）本次调查的总人数为80÷20%＝400（人），则B组人数m＝400×10%＝40（人），C组人数n＝400﹣（80+40+120+60）＝100（人），∴扇形统计图中E组所占的百分比为（60÷400）×100%＝15%；（2）200×120400＝60（万人），答：估计其中持D组“观点”的市民人数有60万人；（3）由上面的统计可知，造成“雾霾”的主要原因是“工厂造成的污染”和“汽车尾气排放”．倡议关停重污染企业，加大对工厂排污的监管和处罚；倡议大家尽量乘坐公共交通工具出行，减少汽车尾气的排放．【点睛】本题主要考查了扇形统计图，统计表，能从图形中获取准确信息是解题的关键．4、 (1)86,100(2)初三(3)1200。

29.2反证法讲学稿内容：反证法课型：新授第1课时姓名________【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学习重难点】【学习过程】一．学前准备：1.自学课本80页到81页，写下疑惑摘要：2. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°二、自学、合作探究1、用具体例子让学生体会反证法的思路思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.2、由上述的例子归纳反证法的步骤2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；三、例题讲解例1．求证两条直线相交只有一个交点.例二．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.四、学习体会五、自我测试1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.六、板书设计七、自我提高1．“a<b”的反面应是（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．7．完成下列证明．如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°10. 已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.11. 三角形内角中至多有一个内角是钝角.12. 求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.13.求证：一个三角形中不能有两个直角.八、学（教）后感。

华师大版九年级下册数学第28章考试试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列调查中，最适合用普查方式的是()A．调查一批电视机的使用寿命情况B．调查某中学九年级一班学生的视力情况C．调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况D．调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况2．2017年中考已经结束，南平市教研室从各校随机抽取1000名考生的数学试卷进行调査分析，这个问题的样本容量是()A．1000 B．1000名C．1000名学生D．1000名考生的数学试卷3．为了了解我县初中学生视力情况，采用抽样调查方式，在下列的抽样方法中，最合理的是()A．抽取几个乡镇的初中生B．抽取县城3所初中学校的学生C．抽取一个乡镇的所有初中学生D．在我县所有初中学校三个年级中各抽取1个班的学生4．为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，结果书法、绘画、舞蹈及其他的频数分别为8、11、12、9，则参加书法兴趣小组的频率是() A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.35．甲校女生占全校总人数的54%，乙校女生占全校总人数的50%，则女生人数() A．甲校多于乙校B．甲校少于乙校C．不能确定D．两校一样多6．某校七年级共有1000人，为了了解这些学生的视力情况，抽查了20名学生的视力，对所得数据进行整理．若数据在4.85～5.15这一小组的频率为0.3，则可估计该校七年级学生视力在4.85～5.15范围内的人数有()A．600人B．300人C．150人D．30人7．某家庭搬进新居后又添置了新的电冰箱、电热水器等家用电器，为了了解用电量的大小，该家庭在6月份初连续几天观察电表的度数，电表显示的度数如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日电表显示度数(度)115118122127133136140143 估计这个家庭六月份用电度数为()A．105度B．108.5度C．120度D．124度8．小文同学统计了他所在小区居民每天微信阅读的时间，并绘制了直方图．有以下说法：①小文同学一共统计了60人；②每天微信阅读不足20分钟的人数有8人；③每天微信阅读30～40分钟的人数最多；④每天微信阅读0－10分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是()A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④二、填空题(每小题4分，共24分)9．小芳为了帮助同学检查一篇作文有无错别字，从中选择一段进行检查，这种抽样调查的方法是________的(填“合适”或“不合适”)．10．某校要了解七年级新生的身高情况，在七年级四个班中，每班抽10名学生进行检测，在这个问题中，总体是________________________，样本是______________________________，样本容量是________．11．从编号为1～50的总体中抽取10个个体组成一个样本，下列抽样最能够反映总体特征的是________(填序号)．①选取1～10组成样本；②选取41～50组成样本；③选取末尾是0和5的组成样本；④随机地选取10个个体组成样本．12．甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500克的酸奶，从甲、乙灌装的酸奶中分别随机抽取了30瓶，测得它们实际质量的方差是：s2甲＝4.8，s2乙＝3.6，那么________(填“甲”或“乙”)机器灌装的酸奶质量较稳定．13．某校为了解学生喜爱的体育活动项目情况，随机抽查了若干名学生，让每人选一项自己最喜欢的项目，并制成如图所示的扇形统计图．如果该校有900名学生，则喜爱跳绳的学生约有________人．第13题图第14题图14．为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示(每小组数据可含最小值，不含最大值)，其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为________人．三、解答题(共72分)15．(8分)某中学为了了解该校3500名学生是否知道春季传染病的预防知识，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查．在这个调查中，总体是什么？个体是什么？样本是什么？样本容量是什么？16．(8分)为了了解浮桥和平小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表(部分)：月均用水量x/m30＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤20x＞20频数/户1220 3频率0.120.073的家庭约有多少户．17.(10分)在对某地区的一次人口抽样统计分析中，各年龄段(年龄为整数)的人数如下表所示．请根据此表回答下列问题：年龄段0～910～1920～2930～3940～4950～5960～6970～7980～89 人数9111718171286 2(2)________岁年龄段的人数最多，________岁年龄段的人数最少；(3)年龄在60岁以上(含60岁)的频数是________，所占百分比是________；(4)如果该地区现有人口为80000人，为了关注人口老龄化问题，估算该地区60岁以上(含60岁)的人数约为多少人．18．(10分)某校计划成立学生社团，要求每一位学生都选择一个社团，为了解学生对不同社团的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个学生社团”问卷调查，规定每人必须并且只能在“文学社团”“科学社团”“书画社团”“体育社团”和“其他”五项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两个不完整的统计图表．请解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）在扇形统计图中，“书画社团”所对应的扇形圆心角度数为；（3）若该校共有3000名学生，试估计该校学生中选择“文学社团”的人数.19.（12分）某校七年级共有500名学生，团委准备调查他们对“低碳”知识的了解程度.（1）在确定调查方案时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查七年级部分女生；方案二：调查七年级部分男生；方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生.其中最具有代表性的一个方案是；（2）团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图（如图①、②所示），请你根据图中信息，将其补充完整；（3）若以本次调查学生对“低碳”知识的了解程度去估计该校七年级学生对“低碳”知识的了解程度，请你估计该校七年级有多少名学生比较了解“低碳”知识.20.（12分）王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率为98%.现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如图所示.（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？21.（12分）4月23日是“世界读书日”，学校开展“让书香溢满校园”读书活动，以提升青少年的阅读兴趣，九年级（1）班数学活动小组对本年级600名学生每天阅读时间进行了统计，根据所得数据绘制了两幅不完整统计图（每组包括最小值不包括最大值）.九年级（1）班每天阅读时间在0.5小时以内的学生占全班人数的8%.根据统计图解答下列问题：（1）九年级（1）班有名学生；（2）补全直方图；（3）除九年级（1）班外，九年级其他班级每天阅读时间在1～1.5小时的学生有165人，请你补全扇形统计图；（4）求该年级每天阅读时间不少于1小时的学生有多少人.参考答案与解析1．B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.D 9．不合适10．七年级新生的身高情况 所抽出的40名新生的身高情况 4011．④ 12.乙 13.270 14.150015．解：总体是3500名学生是否知道春季传染病的预防知识，(2分)个体是每一个学生是否知道春季传染病的预防知识，(4分)样本是随机抽取的200名学生是否知道春季传染病的预防知识，(6分)样本容量是200.(8分)16．解：12÷0.12＝100(户)，100×0.07＝7(户)，100－(7＋20＋3)＝70(户)，70÷100×1600＝1120(户)．(7分)所以该小区日均用水量不超过10m 3的家庭约有1120户．(8分)17．解：(1)100(2分) (2)30～39 80～89(4分) (3)16 16%(6分)(4)8＋6＋2100×80000＝12800(人)．(9分)答：该地区60岁以上(含60岁)的人数约为12800人．(10分) 18．解：(1)36 9(4分) (2)90°(6分) (3)3000×18180＝300(人)．(9分)答：估计该校学生中选择“文学社团”的人数约为300人．(10分) 19．解：(1)方案三(2分)(2)由两幅图可知：调查总人数为6÷10%＝60(人)，因此“比较了解”的人数比例为18÷60×100%＝30%，“了解一点”的人数比例为1－10%－30%＝60%，“了解一点”的人数为60－18－6＝36(人)，补全统计图如图所示．(8分)(3)因本次调查中，比较了解“低碳”知识的人数的比例为30%，据此可估计该校七年级学生比较了解“低碳”知识的人数约为500×30%＝150(名)．(11分)答：该校七年级约有150名学生比较了解“低碳”知识．(12分) 20．解：(1)x 甲＝(50＋36＋40＋34)÷4＝40(千克)，(2分)x 乙＝(36＋40＋48＋36)÷4＝40(千克)，(4分)总产量约为40×100×98%×2＝7840(千克)．答：甲、乙两山样本的平均数均为40千克，甲、乙两山杨梅的产量总和约为7840千克．(6分)(2)s 2甲＝14[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，(8分)s 2乙＝14[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，(10分)∴s 2甲＞s 2乙.∴乙山上的杨梅产量较稳定．(12分)21．解：(1)50(2分)(2)九年级(1)班每天阅读时间在0.5～1小时的人数为50－4－18－8＝20(人)，补全直方图如图所示．(5分)(3)由题意可知1～1.5小时在扇形统计图中所占比例为165÷(600－50)×100%＝30%，∴0.5～1小时在扇形统计图中所占比例为1－30%－10%－12%＝48%，补全扇形统计图如图所示．(9分)(4)(600－50)×(30%＋10%)＋18＋8＝246(人)．(11分)答：该年级每天阅读时间不少于1小时的学生有246人．(12分)。

29.2反证法◆随堂检测1、写出下列结论的反面：（1）a ∥b ______________（2）a ≥0 _______________2、用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”时，第一步应假设__________．3、用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一步应__________．4、用反证法证明命题：“如果AB ∥CD ，AB ∥EF ，那么CD ∥EF ．”证明的第一个步骤应是( )A ．假定CD ∥EFB ．假定CD 不平行于EFC ．假定AB ∥EFD ．假定AB 不平行于EF◆典例分析用反证法证明：四边形的四个内角不能都是锐角.分析：根据题意写出适当的已知求证，假设“四边形有四个内角都是锐角”，推出矛盾，从而证明原结论正确.已知：四边形ABCD ，求证：∠A 、∠B 、∠C 、∠D 不能都是锐角.证明：反证法假设：四边形有四个内角都是锐角∵∠A 、∠B 、∠C 、∠D 是锐角 ∴∠A+∠B+∠C+∠D 0360<这与“四边形的内角和是360°”矛盾 ∴假设不存在 ∴原命题成立◆课下作业●拓展提高1、试写出下列命题的反面：（1）a 大于2 _____________（2）a ⊥b _______________2、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________.3、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角.证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________.①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾；②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾.综上所述，假设不成立.∴∠B 一定是锐角. 4、反证法证明命题：若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d>r ，则点P 在⊙O 的外部．首先应假设( )A．d<r B．d≤r C．点P在⊙O 内 D．点P在⊙O上或点P在⊙O内5、用反证法证明：三角形的三个内角中，总有一个角不大于60°．6、用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角．参考答案◆随堂检测1、（1）直线a、b相交（2）a小于02、一个直角三角形一定有两个直角3、垂直于同一条直线的两条直线相交4、B◆课下作业●拓展提高1、（1）a小于等于2（2）a不垂直于b2、假设a=b3、直角钝角①直角∠A+∠B+∠C＞1800三角形内角和180°②钝角∠A+∠B+∠C＞1800三角形内角和180°4、D5、证明：假设三角形的三个内角都大于60,∵三角形的三个内角都大于60，∴三个内角的和大于1800，这与三角形内角和180°矛盾，所以原命题正确。

29.2反证法（参考）【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

【学习重难点】学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。

学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。

【学法指导】通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。

【学习过程】一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。

2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。

他运用了怎样的推理方法? 答：。

3、自学课本80页到81页，写下摘要疑惑：（1）摘要：反证法：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,从这样的假设出发,经过得出和已知条件矛盾,或者与等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法.反证法证题的基本步骤：1．命题的结论的反面是正确的；（反设）2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与矛盾；（归缪）3．由判定假设不正确，从而命题的结论是正确的.（结论）（2）疑惑：二、自学、合作探究1、用具体例子体会反证法的含义及思路思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.什么叫反证法?（A、B组自己归纳;C、D组看课本）2、由上述的例子归纳反证法的步骤（A、B组自己归纳; C、D组看课本）1．2．3．3、学以至用已知：在△ABC中，AB≠AC求证：∠B ≠∠ C证明：假设，则（）这与矛盾．假设不成立．∴．三、例题讲解例1．求证：两条直线相交只有一个交点.已知：；求证：；证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点”矛盾，所以假设不成立，则．例2．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.已知：；求证：；证明：假设，则可设它们相交于点A。

初三数学29. 1 几何问题的处理方法；29. 2 反证法知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§29. 1 几何问题的处理方法§29. 2 反证法二. 重点、难点：1. 重点：⑴进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理，提高演绎推理的能力．⑵掌握运用等腰三角形的判定和性质定理．⑶理解和掌握平行四边形、特殊平行四边形以及等腰梯形的性质定理和判定定理．会用逻辑推理的方法进行证明．⑷了解反证法的概念，掌握反证法证明几何命题的思想和步骤．2. 难点：⑴有些命题可以通过观察和实验得到，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而说明证明的必要性．所以理解证明的必要性和能够证明一个命题是本单元的重难点．⑵在证明过程中，如何添加适当的辅助线也是本单元的难点之一．三. 知识梳理：1. 研究几何图形性质的方法前面我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用量一量、算一算、猜一猜等方法，这是研究几何图形性质的一种基本方法．而本章是用逻辑推理的方法来推导图形的性质，逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，常用的依据有公理、定理（如经过两点有且只有一条直线）、定义、性质（如等式性质、不等式性质）、等量代换等．2. 逻辑推理的依据－－－－公理、定理⑴公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，我们把这样的真命题叫做公理．公理是不需要证明的．⑵定理：一些命题从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，我们把这样的真命题叫做定理．3. 证明⑴一个命题是否正确，要经过逻辑推理，这个推理的过程叫做证明．⑵证明的一般步骤：①根据题意，画出图形，图形要具有一般性，不能特殊化，并且在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证．③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．4. 用推理方法研究三角形三角形中需要证明的定理很多，而定理的证明方法各有不同，学习时要注意以下方法：⑴通过图形的运动，将三角形拼在一起，找到证明斜边，直角边定理的途径；⑵通过对角平分线的两条定理的类比得出线段垂直平分线的两定理；⑶证明勾股定理逆定理时可用构造法证明；⑷学习概念时需用概念辨析法．在解答有关等腰三角形的问题时，需运用分类思想，不要出现漏解现象．5. 用推理方法研究四边形⑴学习平行四边形的判定和性质，可按边的关系、角的关系以及对角线的关系进行分类，在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特点，正确合理地使用平行四边形的判定和性质定理，可以用平行四边形知识证明的问题，不要再倒退到用三角形的全等来证明．⑵将矩形和菱形放在一起进行类比，可以更好地掌握矩形和菱形的特殊性质、学习三角形、等腰梯形的中位线时也要用类比的方法．⑶证明一个问题时，要从已知条件与求证结论两头入手，探索解题途径，建立沟通已知与求证的桥梁，最后用综合法写出证题过程，研究四边形时，一般通过作辅助线把它转化为三角形的有关问题来解决，同时要注意四边形知识的直接应用．由于各种特殊平行四边形概念交错，容易混淆，所以在判断时常常因为概念不清而出错．学习时要对平行四边形与特殊的平行四边形之间的从属关系等基本知识进行整理，弄清演变过程，使之结构化、系统化，并通过针对性的训练，加深理解内在关系，在应用中得到巩固．6. 反证法⑴反证法的概念：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题成立，这样的证明方法叫做反证法．⑵反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论的反面是正确的；②从这个假设出发，通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；③由矛盾说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．反证法是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，从而想出的从问题的反面出发给出证明的一种方法．这里总结了反证法的一般步骤，要注意的是，若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定．【典型例题】例1. 已知：如图，点D在AC上，点E在AB上，BD和CE相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．分析：BE和CD分别在△BOE与△COD中，由已知条件不能直接证明△BOE≌△COD，但已知AB=AC，AB、BE及AC、CD分别在一条直线上，如果能证明AE=AD，就可得BE=CD．而AE、AD分别在△AEC和△ADB中，可由已知条件证得△AEC≌△ADB．∴△AEC≌△ADB（ASA）．∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）．又∵AB=AC，∴BE=CD．例2. 等腰三角形一边上的高是另一边的一半，则顶角的度数为 ．分析：一般会填30°或120°，这是不完整的，原因是没有充分考虑一切可能的情形，出现漏解现象．我们遇到多解问题时，一定要分类讨论，要充分考虑一切可能的情形，避免出现漏解现象．正确解法：⑴如图，当底边上的高是腰长的一半时，CD=21AC ，∴∠ACB=120°．⑴ ⑵ ⑶ ⑷⑵如图，当一腰上的高是底边的一半时，BD=21AB ，可得∠ACB=120°． ⑶如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的外部，即DB=21BC ，可得∠ACB=150°．⑷如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的内部，DB=21BC ，∴∠C=30°． ∴正确解为30°、150°、120°．例3. 求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．分析：根据证明文字命题的一般步骤，先找出条件和结论，再画图写出已知和求证，最后写出证明．证明文字命题的一般步骤：⑴理解题意，找出命题的条件和结论；⑵根据题意正确画出图形；⑶根据条件结论，结合图形写出已知和求证；⑷探索证明思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ．求证：∠DBC=21∠A ． 证法一：用折半法，找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等．作顶角平分线AE ．∵AE ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）．∴∠EAC+∠C=180°－90°=90°．∴BD ⊥AC （已知），∴∠DBC+∠C=180°－∠BDC=180°－90°=90°．∴∠DBC+∠C=∠EAC+∠C ． ∴∠DBC=∠EAC ．∵∠EAC=21∠A ，∴∠DBC=21∠A ． 证法二：用加倍法，找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等． 如图，作∠DBF=∠DBC ，BF 交AC 于F ．由作法得∠FBC=2∠DBC ，即∠DBC=21∠FBC ．∴△BFD ≌△BCD （ASA ）． ∴∠BFD=∠C ．∴∠FBC=180°－∠BFD －∠C=180°－2∠C ．又∵∠C=∠B ，∴∠A=180°－∠B －∠C=180°－2∠C ．∴∠FBC=∠A （等量代换）．∵∠DBC=21∠FBC （已证），∴∠DBC=21∠A ．例4. 等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长是 cm ．分析：要求三角形的周长，只要求出第三边的长即可，由于题目中的三角形是等腰三角形，第三边也就只能在4cm 和9cm 中选取，由三角形三边的关系可知，第三边不能为4cm ，故其周长即可确定．解：设第三边长为xm ，则9－4﹤x ﹤9+4，即5﹤x ﹤13．由于此三角形是等腰三角形，所以第三边的长为9cm ，即周长为22cm ．点拨：本题主要考查了等腰三角形的一些性质以及三角形中的有关概念，需要注意的是有关等腰三角形的问题往往需要进行讨论，但本题需要考虑到三角形三边的关系，4cm 只能作底边．例5. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC 、∠ACD 的平分线交于点P ．求证：点P 到AB 、AC 的距离相等．分析：欲证点P 到AB 、AC 的距离相等，只需证PE=PF 即可．证明：如图，过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥AC 于F ，过点P 作PG ⊥CD 于G ．∵点P 在∠ABC 的角平分线上，∴PE=PG ．∵点P 在∠ACD 的角平分线上，∴PF=PG ．∴PE=PF ．∴点P 到AB 、AC 的距离相等．例6. 已知：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O ，且与AB 、CD 分别相交于点F 、E ．求证OE=OF ．分析：本题证法不惟一，但不论用何种证法，主要途径是平行四边形的性质．证法一：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ，∠ECO=∠FAO ． 又∵∠AOF=∠COE ，∴△AOF ≌△COE ．∴OE=OF ．证法二：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ． ∴OEOF OC OA ． ∴OE=OF ． 点拨：本题还可以用平行四边形的中心对称性来证明，请读者自己试一试．例7. 如图，在平行四边形ABCD 中CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ：EF ：FB 为（ ）A. 1：2：3B. 2：1：3C. 3：2：1D. 3：1：2分析：如图，应利用平行四边形的性质及其他图形的性质求解，由∠1=∠2，∠1=∠3，可得∠2=∠3．所以BE=BC=4．而AB=6，所以AE=2．故可求得AE=2，EF=1，BF=3．解：选B例8. 如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于点F ．求证：OE=OF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO ．又∵AG ⊥EB ，∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．∴∠1=∠2．∴Rt △BOE ≌Rt △AOF ．∴OE=OF ．变式题：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变（如下图），则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．分析：结论“OE=OF ”仍成立，可通过证Rt △AOF ≌Rt △BOE 来证OE=OF ．解：结论“OE=OF ”仍成立，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB ．∴在Rt △AFO 中，有∠F=90°－∠FAO ．又∵AG ⊥BE ，则在Rt △AGE 中，有∠E=90°－∠GAE ．∵∠FAO=∠GAE ，∴∠E=∠F ．∴Rt △AOF ≌Rt △BOE ．∴OE=OF ．例9. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ．若AD=6，BC=10，则GH= ．分析：灵活运用梯形及三角形的中位线性质，是解决此题的关键．EF 是梯形的中位线，则EG 是△BAC 的中位线，CF 是△DBC 的中位线，HF 是△DAC 的中位线，根据中位线的性质可解决此题．解：EG=21AD ，GF=21BC ，FH=21AD ， CH=EF －2EG=21（AD+BC ）－AD=21（BC －AD ）=2．例10. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE=AF ，AB=4．设△AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．分析：求△AEF 的面积有多种方法，我们要由题目的条件出发，寻求一种既易于求出这个三角形的面积，又易于与EC 建立联系的方法．由于四边形ABCD 是正方形，它的边长都为4，EC 为x ，那么BE 是容易用x 的代数式表示的，这样，△ABE 、△ECF 的面积都容易用x 的代数式表示，而△ABE 与△ADF 是全等的，这样由正方形的面积减去上述三个三角形的面积求△AEF 的面积是较好的方法．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠D=90°．又∵AE=AF ，∴△ABE ≌△ADF ．∴BE=DF ．∵BC ＝CD ，∴EC ＝FC ＝x ，BE ＝DF ＝4－x ．由图形可知，S △AEF =AB 2－2S △ABE －S △ECF =42－2×21×4×（4－x ）－21x 2， ∴y=－21x 2+4x ． ∵E 点在BC 边上，且与E 与C 重合时△AEF 不存在，∴x 的取值范围为0﹤x ≤4，它的图象如下．点拨：x 的取值要保证有合理的实际意义，由于x 的取值范围为0﹤x ≤4，所以，它的图象是抛物线的一部分，并且点（0，0）是空心圆点，点（4，8）是实心原点．例11. 用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直角．分析：根据题设与结论，写出已知、求证，然后按反证法的步骤进行证明．已知：四边形ABCD ．求证：四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．证明：假设四边形ABCD 中没一个角是钝角或直角，则∠A ＜90O ，∠B ＜90O ，∠C ＜90O ，∠D ＜90O ，于是∠A+∠B+∠C+∠D ＜90O ×4=360O ．这与四边形内角和是360O 相矛盾，所以四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题（每题3分，共30分）1. 一个多边形的每个外角都等于72°，这个多边形是 边形，它的每个内角是 ．2. 等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为15cm 和13cm 两部分，则此三角形的腰长 cm ，底边长 cm ．3. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题为 ．4. n 边形的外角和与内角和的度数之比为2：9，则边数为 ．5. 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，其周长为50cm ，且△AOB 的周长比△COB 的周长大9cm ，则AB= cm ，BC= cm ．6. 正方形的边长为5cm ，以它的对角线为边长的等边三角形的高为 cm ．7. 三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与一个梯形的面积之比等于 ．8. 等腰梯形的腰与上底相等，且等于下底的一半，这个等腰梯形的周长为50cm，则它的中位线长cm．9. 若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为．10. 兴威公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，是拼铺图案的一部分．如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于．二、选择题（每题3分，共24分）11. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB，DE=AC，有下列判断：①BC=AD，②DE⊥AC，③∠C=45°，其中结论正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③12. 下列命题中，正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形13. 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 互相垂直平分14. 等腰梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，那么图形中全等三角形有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对15. □ABCD中，AB=AC=6cm，P是BC边上一点，过点P，作PE∥CA，交AB于E，PF∥BA，交AC于F点，则四边形AEPF的周长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm16. 平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD的长分别是12和8，则边AB的取值（）A. 0＜AB＜2B. 2＜AB＜10C. 4＜AB＜10D. 4＜AB＜2017. 矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形中，是中心对称图形的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个18. 如图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）A. 49cmB. 43cmC. 41cmD. 46cm三、解答题（22题10分，23题12分，其余每题8分，共46分）19. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，延长AB到F，使BF=BE，连结并延长AE，交CF于G．求证：AG⊥CF．20. 已知：四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=23，BC=6，求四边形ABCD 的面积．21. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形．22. 已知：如下图，AB=CD ，AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．（1）根据以上条件，你能得出哪些等式（如可以得出DE=BF ）？至少写出可得等式中的任意三个；（不同于DE=BF ）（2）证明你写出的关于线段相等的一个结论．23. 如下图，在平面直角坐标系中，点A 是动点且纵坐标为4，点B 是线段OA 上的一个动点，过点B 作直线MN 平行x 轴，设MN 分别交射线OA 与x 轴形成的两个角的平分线于点E 、F ．⑴求证：EB=BF ； ⑵当OAOB 为何值时，四边形AEOF 为矩形？并证明你的结论； ⑶是否存在点A 、B ，使四边形AEOF 为正方形？若存在，求点A 与点B 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案 http://一、填空题：1. 五，108°2. 10；8（或332;326） 3. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4. 115. 17；86.625 7. 31 8. 18 9. 23cm 2 10. 120°二、选择题：11. A 12. D 13. B 14. C15. C 点拨：不妨取P 为BC 的中点．16. B 17. C 18. D三、解答题：19. 点拨：证Rt △FBC ≌Rt △EBA ，得∠F=∠BEA ．而∠BAE+∠BEA=90°，故∠BAE+∠F=90°．∴AG ⊥CF ．20. 点拨：作如图所示的辅助线，把四边形补成矩形，用矩形面积减去两个等腰直角△ADE 和△CDF 的面积．由题意，得ED=6232==AE ． 过D 作DG ∥BC 于G ，则有DG=GC=BC －BG ．又BG=6，∴DG=6－6． 则有S 四边形ABCD =6×（6－6）－)66(216621--⨯⨯2=12． ∴四边形ABCD 的面积为12．21. 已知：在□ABCD 中，AC=DB （如图）．求证：□ABCD 是矩形．证明：∵AC=DB ，BC=CB ，AB=DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠ABC=∠DCB ．又AB ∥DC ，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=90°． ∴□ABCD 是矩形．22. 点拨：AE=CF ，AF=CE ，∠ADE=∠CBF 等．证明略．23. ⑴证明：如图．∵OF 是∠AOx 的角平分线，∴∠1=∠2．∵MN 平行于x 轴，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∴BO=BF ．同理可证BO=BE ．所以EB=BF ．⑵解：当21=OA OB 时，四边形AEOF 是矩形． ∴21=OA OB ，∴OB=AB ． 又∵BE=BF ，∴四边形AEOF 是平行四边形．∵OE 、OF 是角平分线，∴∠EOF=90°．∴四边形AEOF 是矩形．⑶解：存在点A 、B 使四边形AEOF 为正方形，如下图．∵MN 平行于x 轴，∴当A 点在y 轴时，即A 点坐标为（0，4）时，有OA ⊥EF ． 此时，取OA 的中点B （0，2），由（2）知四边形AEOF 是矩形．∴四边形AEOF 是正方形．∴存在A （0，4），B （0，2），使四边形AEOF 为正方形．。