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【精编】专题02参数方程一本通之备战高考数学选做题

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专题02 参数方程知识通关1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． （1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等. （2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．常见曲线的参数方程普通方程 参数方程过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线y －y 0＝tan α(x －x 0)00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)圆心在原点，半径为r 的圆 x 2＋y 2＝r 2cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 中心在原点的椭圆22221x y a b+=(a >b >0) cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数) 【注】（1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M(x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．（2）若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为00cos sin x x R y y R θθ=+⎧⎨=+⎩错误！未找到引用源。

(θ为参数).（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为00cos sin x x a ty y b t =+⎧⎨=+⎩错误！未找到引用源。

(t 为参数).基础通关1．了解参数方程，了解参数的意义.2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 题组一 参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【例1】已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为(θ为参数)．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. （2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离|2|45a d -=≤，解得－25≤a ≤2 5. 题组二 参数方程及其应用（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．（2）对于形如00x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【例2】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解析】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.（2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 故|PA |的最大值与最小值分别为2255，255. 能力通关1．直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，注意以下两个结论的应用： (1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.2．圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.3．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．利用参数的几何意义解决问题【例1】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=. （I ）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的极坐标方程；（II ）若(0,1)P -，且直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求222||+||(||||)PM PN PM PN ⋅的值.【解析】（I ）依题意，曲线C ：()()22111x y -+-=，即222210x y x y +--+=，故曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=；因为直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=，即3cos sin 10ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为310x y --=.坐标系与参数方程的综合问题【例2】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()324ρθπ-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(cos ,3sin )αα， 因为曲线2C 是直线，所以||PQ 的最小值即点P 到直线60x y +-=的距离的最小值， 易得点P 到直线60x y +-=的距离为|cos 3sin 6|2|sin()3|62d ααα+-π==+-，当且仅当2()3k k απ=π+∈Z 时，d 取得最小值，即||PQ 取得最小值，最小值为22，此时点P 的直角坐标为13(,)22．【例3】在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）已知,A B 是曲线2C 上两点，且π6AOB ∠=，求3OA OB -的取值范围. 【解析】（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：()22214x y -+=， 由2x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2x x y y =⎧⎨=''⎩，代入上式可知：曲线2C 的方程为()2211x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()1,A ρθ，2π,6B ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭（ππ,23θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭）， ∴12π332cos 23cos 6OA OB ρρθθ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭π2sin 6θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为π2ππ,636θ⎛⎫⎛⎫-∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3OA OB -的取值范围是[)2,1-. 高考通关1．在平面直角坐标系xOy 中，直线21:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）试判断直线l 与曲线C 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.【解析】（1）由211x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得230x y --=，所以直线l 的普通方程为230x y --=.由4cos ρθ=两边同乘以ρ得24cos ρρθ=，因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，所以224x y x +=，配方得22(2)4x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=. （2）法一：由（1）知，曲线:C 22(2)4x y -+=的圆心为)0,2(，半径为2， 由圆心到直线的距离公式得)0,2(到直线230x y --=的距离|203|5255d --==<， 所以直线l 与曲线C 相交，设交点为A 、B ， 所以=||AB 5952)55(2222=-.所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为5952. 法二：由（1）知，:l 230x y --=，:C 22(2)4x y -+=，联立方程，得⎩⎨⎧=+-=--4)2(03222y x y x ，消去y 得092252=+-x x ， 因为0304954222>=⨯⨯-， 所以直线l 与曲线C 相交，设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，由根与系数的关系知52221=+x x ，5921=x x ， 所以5952594)522()21(1||22=⨯-⋅+=AB ， 所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为5952.2．在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为232212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为π2cos 6ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若射线()π=03θρ>与直线l 交于点P ,与曲线C 交于点Q (Q 与原点O 不重合),求OQ OP 的值．【解析】（1）由232212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t 得直线l 的普通方程为40x y +-=, 把cos ,sin x y ρθρθ==,代入40x y +-=得直线l 的极坐标方程为()cos sin 4ρθθ+=.（2）由题意可得,48ππ13cos sin33OP ==++,ππ2cos 336OQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 所以OQ OP =1333388++⨯=. 3．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为)3,1(，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θθρρsin 2cos 44+=+.（1）求点P 的极坐标1(,)ρα(02π)α≤<及曲线C 的参数方程； （2）过点P 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若||MN =3，求直线l 的直角坐标方程.【解析】（1） 在平面直角坐标系xOy 中，点P )3,1(是第一象限内的点，∴12ρ=，tan 3α=且π02α<<， π3α∴=， ∴点P 的极坐标为π(2,)3.曲线C 的极坐标方程为θθρρsin 2cos 44+=+，θρθρρsin 2cos 442+=+∴，由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得y x y x 24422+=++，∴曲线C 的直角坐标方程为042422=+--+y x y x ，即1)1()2(22=-+-y x ，∴曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数）.（2）显然直线l 的斜率存在， ∴可设直线l 的方程为)1(3-=-x k y ，即03=-+-k y kx ，||MN =3，圆C 的半径为1， ∴圆C 的圆心(2,1)到直线l 的距离为21， ∴2|13|121k k -+=+，化简得03815)13(832=-+-+k k ，解得3-=k 或3358-=k ， ∴直线l 的直角坐标方程为0323=-+y x 或(853)38380x y --+-=.4．已知极点与直角坐标系的原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为31sin()62ρθπ--=． （1）求直线l 的参数方程；（2）设l 与曲线2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）相交于A ，B 两点，求点()1,1P 到A ，B 两点的距离之积． 【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为31sin()62ρθπ--=，化为直角坐标方程即31(1)3y x -=-，显然直线l 过点(1,1)，倾斜角为6π， 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为123x ty t⎧=⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D 的极坐标方程为(1sin )2ρθ+=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与曲线D 交于,M N 两点，求||MN .【解析】（Ⅰ）消掉参数t ，得曲线C 的普通方程为32y x =-，即230x y +-=. 曲线D 的方程可化为：sin 2ρρθ+=，显然0ρ>， 所以化为直角坐标方程为222x y y ++=，化简得244x y =-.方法二：将曲线C 的参数方程化为552535x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），并代入曲线D 的直角坐标方程，得2525()44(3)55m m -=-+，整理得2+85400m m +=.精心整理 提升自我11 由求根公式解得21,285(85)4404521021m -±-⨯==-±⨯， 故12||||410MN m m =-=.。

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高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程知能训练轻松闯关文北师大版选修4_4

高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程知能训练轻松闯关文北师大版选修4_4

【2019最新】精选高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程知能训练轻松闯关文北师大版选修4_41．(2015·高考湖北卷改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB|.解：由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x.由得y2－x2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y2－x2＝4， 可得或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322， 不妨设A ，则B ，故|AB|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222 ＝2.2．(2016·唐山模拟)已知椭圆C ：＋＝1，直线l ：(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C ：(θ为参数)，直线l ：x －y ＋9＝0.(2)设P(2cos θ，sin θ)，则|AP|＝ ＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝＝.由|AP|＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.故P.3．(2016·沈阳质量监测)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(θ为参数)，直线l 经过点P(1，2)，倾斜角α＝.(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|PA|·|PB|的值．解：(1)圆C 的标准方程为x2＋y2＝16.直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，所以t1t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11. 4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.(2)设P，又C(0，)，则|PC|＝＝，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3，0)．1．(2016·唐山统考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)，斜率为的直线l交y轴于点E(0，1)．(1)求C的直角坐标方程，l的参数方程；(2)直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|＋|EB|.解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.l的参数方程为(t为参数，t∈R)．(2)将代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得t2－t－1＝0.解得t1＝，t2＝，则|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝. 2．(2016·长春调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以x2＋y2＝2y－2x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.(2)设z ＝x ＋y ，由圆C 的方程x2＋y2＋2x －2y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，)，半径是2. 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入z ＝x ＋y ，得z ＝－t ，又直线l 过C(－1，)，圆C 的半径是2，所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即x ＋y 的取值范围是 [－2，2]．3．(2016·太原联考)已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ＝1.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：(t 为参数)距离的最小值．解：(1)点P 的直角坐标为(3，)．由ρ2＋2ρsin θ＝1，得x2＋y2＋2y ＝1，即x2＋(y ＋)2＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x2＋(y ＋)2＝4.(2)曲线C 的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －2y －7＝0. 设Q(2cos θ，－＋2sin θ)，则M ，那么点M 到直线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋cos θ－2sin θ－712＋22 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ－2sin θ－1125＝≥＝－1，所以点M 到直线l 的最小距离为－1.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为(t 为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与曲线C1、C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．(1)分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝时，l 与C1、C2的交点分别为A1、B1，当α＝－时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，当α＝0时，射线l 与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(1，0)、(a ，0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a ＝3，当α＝时，射线l 与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(0，1)、(0，b)，因为这两个交点重合，所以b ＝1.(2)由(1)可得，曲线C1、C2的普通方程分别为x2＋y2＝1，＋y2＝1，当α＝时，射线l 与曲线C1的交点A1，与曲线C2的交点B1； 当α＝－时，射线l 与曲线C1、C2的两个交点A2、B2分别与A1、B1关于x 轴对称，则四边形A1A2B2B1为梯形，所以四边形A1A2B2B1的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫2×31010＋2×22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010－222＝.。

2021年高考数学考点68参数方程必刷题理含解析

2021年高考数学考点68参数方程必刷题理含解析

考点68 参数方程1．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.（1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设圆与圆的公共弦的端点为，圆的圆心为，求的面积.【答案】(1)见解析;(2)见解析.2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）若直线l与圆相切，求的值；（2）若直线l与曲线（为参数），交于A，B两点，点，求．【答案】（1）；（2）。

3．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点. （1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.4．在平面直角坐标系x y中，曲线C的参数方程为为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为。

（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值.【答案】（1）；（2）。

5．在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），设是曲线上任一点，是曲线上任一点.(1)求与交点的极坐标；(2)已知直线，点在曲线上，求点到的距离的最大值.【答案】（1）与的交点极坐标为与；（2）点到的距离的最大值为.6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（1）求曲线的参数方程；（2）在曲线上求一点，使它到直线（为参数）的距离最长，求出点的直角坐标.【答案】（1）；（2）.易知点D在参数方程中对应的角，所以，，从而点D的直角坐标为 .法三：利用圆C的极坐标求点D直角坐标。

精编新版2019年高中数学单元测试《坐标系与参数方程》专题完整考题库(含答案)

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2019年高中数学单元测试试题 坐标系与参数方程专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在极坐标系中，圆心坐标是),(πa （0>a ），半径为a 的圆的极坐标方程是…（ ）A ．θρcos 2a -=（232πθπ<≤）． B ．θρcos a =（πθ<≤0）．C ．θρsin 2a -=（232πθπ<≤）． D ．θρsin a =（πθ<≤0）．2．曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，t ≠0），它的普通方程是（ ）A ．（x －1）2（y －1）＝1B ．y ＝2)1()2(x x x --C ．y ＝1)1(12--x D ．y ＝21xx-＋1（1997全国理，9）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题3． 参数方程2,(cos 3tan ,x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）化为普通方程为___________．4．在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为___________.（2013年高考湖北卷（理））5．在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于,A B 两点,则______AB =（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））6．(理)在极坐标系中，点 ()π23， 与曲线2cos ρθ= 上的点的距离的最小值为 .(文)若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为_______________. 7．极坐标方程为cos 0ρθθ-=表示的圆的半径为___________【..1 】 二 解答题8．曲线22223,151t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）的普通方程是 ． 【250(03)x y x +-=≤<】9．已知曲线C 的参数方程为24(x t t y t⎧=⎨=⎩为参数），若点(,2)P m 在曲线C 上，则m =▲ ．10．把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x （α是参数）化为普通方程，结果是 ．（1995上海，15）三、解答题11．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y tx 342（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，若圆C 的极坐标方程为28cos 120ρρθ-+=，试求直线l 被圆C 所截的弦长.12．已知曲线C 的极坐标方程是)4cos(2πθρ+=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：⎩⎨⎧+-=-=ty tx 3141（为参数t ），求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．13．已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左，右焦点，直线l的参数方程为2,(),2x t t y ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩R 为参数,． (Ⅰ)求直线l 和曲线C 的普通方程； (Ⅱ)求点1F ，2F 到直线l 的距离之和.1．（坐标系与参数方程选做题）14．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线 段AB 的长．15．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处,极轴与x 轴的正半轴重合.直线l 的参数方程为cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数,θ为直线l 的倾斜角)，圆C 的极坐标方程为28cos 120ρρθ-+=.(Ⅰ)若直线l 与圆C 相切,求θ的值；(7分) (Ⅱ)若直线l 与圆C 有公共点,求θ的范围.(3分)16．已知圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin 23,cos 21y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．17．已知A 是曲线12sin ρθ=上的动点，B 是曲线12cos()6πρθ=-上的动点，试求AB 的最大值．18．在极坐标系中，圆C的方程为)4ρθπ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），判断直线l 和圆C 的位置关系．19．从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ,在OM 上取一点P ,使12OM OP ⋅=.(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设R 为l 上的任意一点,试求RP 的最小值.20．已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程： )4sin(22πθρ+=．(1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2）判断直线l 和圆C 的位置关系．21．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，求点M π(2,)6关于直线π4θ=的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．22．已知(,)P x y 是椭圆2214x y +=上的点，求2M x y =+的取值范围．23．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中θ为参数.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()3πρθ+=求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值.24．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值.25．已知直线l 的极坐标方程是cos sin 10ρθρθ+-=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线1cos :sin x C y θθθ=-+⎧⎨=⎩（为参数）上求一点，使它到直线l 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．26．在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题满分10分.27．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合． （1）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （2）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．19．（文）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.28．已知圆C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程．29． 已知直线l 的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．30．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。

课标全国卷数学高考模拟试题精编(二)

课标全国卷数学高考模拟试题精编(二)

课标全国卷数学高考模拟试题精编二【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝()A．0 B．－2C．0或－2 D．0或±22．命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是()A．若x＞1，则x≤0 B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0 D．若x＜1，则x＜03．若复数z＝2－i，则z＋10z＝()A．2－i B．2＋i C．4＋2i D．6＋3i4．(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为()A．5x2－45y2＝1 B.x25－y24＝1C.y25－x24＝1 D．5x2－54y2＝1(文)已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±22x B．y＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x5．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后的图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36．(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．157．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( )A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π169．(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2(文)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C ．1 D ．211．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.1412．(理)设函数f (x )＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.16．(理)已知a n ＝∫n0(2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．(文)在△ABC 中，2sin 2A 2＝3sin A ，sin (B －C)＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(Ⅰ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；(Ⅱ)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n}，求{b n}的前n项和S n.18．(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其他情况下获B类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人对每一个问题正确回答的概率均为1 2，用随机变量X表示该中学获得B类资格的人数，求X的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区某年全年每天的PM2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率；(3)以这12天的PM2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．19.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O 为AB 1上的动点，当OD ∥平面ABC 时，求AOOB 1的值．20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ →＝92时，求此时直线l ′的方程；(Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g(x)＝ln (mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m ＞0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g(x 1)≥f(x 2)成立，求m 的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x 2－13ax 3(a ＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x (x －1)，函数g(x)的导函数为g ′(x)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x ＞0时，不等式g ′(x)≥1＋ln x 恒成立．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在AB 的延长线上．(1)若EA ＝2ED ，EB ＝3EC ，求ABCD 的值；(2)若EF ∥CD ，求证：线段FA ，FE ，FB 成等比数列． 23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎨⎧x ＝cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 1和C 2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求|OP|·|OQ|的最大值．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x －2a|. (1)当a ＝1时，求f(x)≤3的解集；(2) 当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 课标全国卷高考模拟试题精编二1．C ∵B ⊆A ，∴x 2＝4或x 2＝2x ，∴x ＝±2，或x ＝2，x ＝0，检验知x ＝2时，不适合，∴x ＝－2或x ＝0. 2．C 由否命题的定义知应选C.3．D ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋10(2＋i )(2－i )(2＋i )＝6＋3i.4．(理)D 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，所以c ＝1，又因为双曲线的离心率等于5，所以c a ＝5，所以a ＝55，所以b 2＝c 2－a 2＝45，所以该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.(文)A 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A.5．C f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y ＝－f ′(x )＝－(cos x －sin x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∵将f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.故m ＝π2＋2k π，k ∈N ，故m 的最小值为π2. 6．(理)D 令x ＝1，得2n ＝32，所以n ＝5，C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5x 10－3r，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以展开式中x 4的系数为C 25＝10.(文)A 设n 抽到的号码为a n ，则a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由750＜30n －21≤960，得：25.7＜n ＜32.7，所以n 的取值为26、27、28、29、30、31、32，共七个，因此做问卷C 的人数为7.7．B 按框图所示程序运行可得S ＝1，A ＝1；S ＝3，A ＝2；S ＝7，A ＝3；S ＝15，A ＝4；S ＝31，A ＝5；S ＝63，A ＝6.此时输出S ，故M 为6. 8．C如图所示，O 为球的球心，由AB ＝BC ＝2，AC ＝2可知∠ABC ＝π2，即△ABC 所在的圆面的圆心O 1为AC 的中点，故AO 1＝1，S △ABC ＝1，当D 为OO 1的延长线与球面的交点时，D 到平面ABC 的距离最大，四面体ABCD 的体积最大．连接OA ，设球的半径为R ，则DO 1＝R ＋R 2－1，此时V A －BCD ＝13×S △ABC ×DO 1＝13(R ＋R 2－1)＝23，解得R ＝54，故这个球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝25π4.9．(理)C 因为y ′＝1x ＋2－1＝－x －1x ＋2，由y ′＝0得x ＝－1，又f (－1)＝ln 1＋1＝1，所以b ＝－1，c ＝1，所以ad ＝bc ＝－1.(文)C ∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a . ∴⎩⎨⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b k ＝3×12＋a，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.10．D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的距离d ≥2，选D.11．B 在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为(a ，b )，表示边长为2π的正方形．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，需4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π，表示以原点为圆心，π为半径的圆的外部，且在正方形的内部，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以有零点的概率为3π24π2＝34.12．(理)A 对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＜0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－(1＋4m 2)2mx ＜0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m ＜0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2＞1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1＞1＋4m 28m 2，解得m ＜－12或m ＞12(舍去)，故m ＜－12.(文)B 若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x ≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根．而x ＞0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根，当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a ＜0或0＜a ＜1.13．解析：由三视图知：原几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体，圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1＝π；三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为2，高为3，所以三棱柱的体积为13×12×2×2×3＝33，所以该几何体的体积为π＋33. 答案：π＋33 14．解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23＜a ＜35. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3515．解析：因为3＝2＋log 22＜2＋log 23＜2＋log 24＝4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝124. 答案：12416．(理)解析：∵a n ＝∫n 0(2x ＋1)d x ＝n 2＋n ，∴1a n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ＝1－1n ＋1.∴b n S n ＝(n －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n －8－n －8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－10≥29－10＝－4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时，取“＝”．故b n S n 的最小值为－4. 答案：－4(文)解析：由2sin 2A2＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又0＜A ＜π，π6＜A ＋π6＜7π6，故A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，由sin (B －C)＝2cos B sin C ，可得sin B cos C ＝3cos B sin C ．设a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ，由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3c cos B ，从而b (a 2＋b 2－c 2)2ab ＝3c (c 2＋a 2－b 2)2ca ，故可得b 2－bc －3c 2＝0，从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －3＝0，从而b c ＝1＋132. 答案：1＋13217．解：(Ⅰ)∵f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∴a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， ∴数列{a n }为等差数列． (Ⅱ)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n[5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]2＝3n 2－13n ＋282.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n 22，1≤n ≤23n 2－13n ＋282，n ≥3.18．(理)解：(1)设第i(i ＝1,2，…，8)组的频率为f i ，则由频率分布直方图知f 7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12.所以笔试成绩在260分以上的同学的概率P ≈f 72＋f 8＝0.14，故这2 000名同学中，参加面试的约为2 000×0.14＝280人．(2)不妨设三名同学为甲、乙、丙，且甲的笔试成绩在270分以上，记事件M 、N 、R 分别表示甲、乙、丙获得B 类资格，则P(M)＝1－18－18＝34，P(N)＝P(R)＝1－18＝78，所以P(X ＝0)＝P(M N R )＝1256，P(X ＝1)＝P(M N R ＋M N R ＋M N R)＝17256， P(X ＝2)＝P(MN R ＋M NR ＋M N R)＝91256， P(X ＝3)＝P(MNR)＝147256， 所以随机变量X 的分布列为：EX ＝0×1256＋1×17256＋2×91256＋3×147256＝52.(文)解：(1)由茎叶图可知，空气质量为超标的数据有四个：77,79,84,88， 平均数为x ＝77＋79＋84＋884＝82，方差为s 2＝14×[(77－82)2＋(79－82)2＋(84－82)2＋(88－82)2]＝18.5.(2)由茎叶图可知，空气质量为二级的数据有五个：47,50,53,57,68，任取两个有十种可能结果：{47,50}，{47,53}，{47,57}，{47,68}，{50,53}，{50,57}，{50,68}，{53,57}，{53,68}，{57,68}，两个数据的和小于100的结果只有一种：{47,50}． 记“两个数据的和小于100”为事件A ，则P(A)＝110，故从空气质量为二级的数据中任取两个，这两个数据的和小于100的概率为110. (3)由茎叶图可知，空气质量为一级或二级的数据共八个，所以可以估计空气质量为一级或二级的概率为812＝23，又366×23＝244，所以2012年大约有244天空气质量达到一级或二级．19．(理)解：设AB ＝a ，PA ＝b ，建立空间坐标系，使得A(0,0,0)，B(a,0,0)，P(0,0，b)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(Ⅰ)BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b)，所以BE→＝12AD →＋12AP →，BE ⊄平面PAD ，∴BE ∥平面PAD.(Ⅱ)∵BE ⊥平面PCD ，∴BE ⊥PC ，即BE →·PC →＝0PC →＝(2a,2a ，－b)，∴BE →·PC →＝2a 2－b 22＝0，即b ＝2a.平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a)，BD →＝(－a,2a,0)BC →＝(a,2a,0)， 所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以平面EBD 与平面BDC 夹角的余弦值为66.(文)解：(1)取BC 的中点为M ，连接AM ，B 1M ， 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， △ABC 为正三角形，所以AM ⊥BC ，故AM ⊥平面BCC 1B 1，又BD ⊂平面BCC 1B 1， 所以AM ⊥BD .又正方形BCC 1B 1中，tan ∠BB 1M ＝tan ∠CBD ＝12， 所以BD ⊥B 1M ，又B 1M ∩AM ＝M ， 所以BD ⊥平面AB 1M ，故AB 1⊥BD ，正方形BAA 1B 1中，AB 1⊥A 1B ，又A 1B ∩BD ＝B ， 所以AB 1⊥平面A 1BD .(2)取AA 1的中点为N ，连接ND ，OD ，ON .因为N ，D 分别为AA 1，CC 1的中点，所以ND ∥平面ABC ， 又OD ∥平面ABC ，ND ∩OD ＝D ，所以平面NOD ∥平面ABC ， 所以ON ∥平面ABC ，又ON ⊂平面BAA 1B 1，平面BAA 1B 1∩平面ABC ＝AB ， 所以ON ∥AB ，注意到AB ∥A 1B 1，所以ON ∥A 1B 1，又N 为AA 1的中点， 所以O 为AB 1的中点，即AOOB 1＝1.20．解：(Ⅰ)①当直线PQ 的斜率不存在时，由F (1,0)可知PQ 方程为x ＝1 代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又A (－2,0)∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－32，AP →·AQ →＝274不满足 ②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 方程为y ＝k (x －1)(k ≠0) 代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2(－x 1－x 2＋x 1x 2＋1)＝－9k23＋4k 2AP →·AQ →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝27k 23＋4k 2＝92 ∴k ＝±62故直线l ′的方程：y ＝±62(x －1)(Ⅱ)AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)与l 的方程：x ＝4联立得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2同理得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2 ∴y M y N ＝6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝36y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4①k 不存在时，y M y N ＝36·32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－321＋2(1＋1)＋4＝－9②k 存在时y M y N ＝－324k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2＋16k 23＋4k 2＋4＝－9M 、N 两点的纵坐标之积为定值－9.21．(理)解：(1)∵f ′(x )＝a sin x ＋ax cos x －sin x ＝(a －1)sin x ＋ax cos x ， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(a －1)·22＋π4·a ·22＝2π8， ∴a ＝1，f ′(x )＝x cos x .当f ′(x )＞0时，－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2；当f ′(x )＜0时，－π2＜x ＜0或π2＜x ＜π，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1，则只需g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立即可． g ′(x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋m －2m (mx ＋1)(x ＋1)2(x ≥0，m ＞0)，①当m ≥2时，m －2m ≥0，∴g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，∴g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立，故m ≥2时成立．②当0＜m ＜2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－m m 时，g ′(x )＜0，此时g (x )单调递减，∴g (x )＜g (0)＝1，故0＜m ＜2时不成立． 综上，m ≥2.(文)解：(1)f ′(x )＝x －ax 2＝－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，∴当f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝1a ，又a ＞0，∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，∴f (x )的极小值为f (0)＝0，f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝16a 2.(2)∵a ＝e ，∴g (x )＝12x 2－13e x 3＋e x (x －1)， g ′(x )＝x (e x －e x ＋1)．(ⅰ)记h (x )＝e x －e x ＋1，则h ′(x )＝e x －e ，当x ∈(－∞，1)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数；x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数，∴h (x )≥h (1)＝1＞0，则在(0，＋∞)上，g ′(x )＞0；在(－∞，0)上，g ′(x )＜0，故函数g (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． (ⅱ)x ＞0时，g ′(x )＝x (e x －e x ＋1)≥1＋ln x ⇔e x －e x ＋1≥1＋ln xx ，由(ⅰ)知，h (x )＝e x －e x ＋1≥1，记φ(x )＝1＋ln x －x (x ＞0)，则φ′(x )＝1－xx， 在区间(0,1)上，φ′(x )＞0，φ(x )是增函数；在区间(1，＋∞)上，φ′(x )＜0，φ(x )是减函数，∴φ(x )≤φ(1)＝0，即1＋ln x －x ≤0，1＋ln xx ≤1，∴e x －e x ＋1≥1≥1＋ln xx ，即g ′(x )≥1＋ln x 恒成立．22．解：(1)由A，B，C，D四点共圆，得∠CDE＝∠ABE，又∠DEC＝∠BEA，∴△ABE∽△CDE，于是ABCD＝BEDE＝AECE.①设DE＝a，CE＝b，则由BEDE＝AECE，得3b2＝2a2，即b＝23a代入①，得ABCD＝3ba＝ 6.(2)证明：由EF∥CD，得∠AEF＝∠CDE. ∵∠CDE＝∠ABE，∴∠AEF＝∠EBF.又∠BFE＝∠EF A，∴△BEF∽△EAF，于是F AFE＝FEFB，故F A，FE，FB成等比数列．23．解：(1)圆C1和C2的普通方程分别是(x－2)2＋y2＝4和x2＋(y－1)2＝1，所以圆C1和C2的极坐标方程分别是ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ.(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4cos α，α)，Q(2sin α，α)，所以|OP|＝|4cos α|，|OQ|＝|2sin α|.从而|OP|·|OQ|＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP|·|OQ|的最大值是4.24．解：(1)当a＝1时，原不等式可化为|2x－1|＋|x－2|≤3，当x＞2时，3x－3≤3，则x≤2，无解；当12≤x≤2时，x＋1≤3，则x≤2，所以12≤x≤2；当x＜12时，3－3x≤3，则x≥0，所以0≤x＜12.综上所述，原不等式的解集为[0,2]．(2)原不等式可化为|x－2a|≤3－|2x－1|，因为x∈[1,2]，所以|x－2a|≤4－2x，即2x－4≤2a－x≤4－2x，故3x－4≤2a≤4－x对x∈[1,2]恒成立．当1≤x≤2时，3x－4的最大值为2,4－x的最小值为2，所以a的值为1.。