下载文档原格式
高 中 数 学 选 修 4-5知识点不等式选讲1、不等式的基本性质 a >b ⇔b > a ①（对称性） a >b ,b > c ⇒ a > c ②（传递性） ③（可加性） a >b ⇔ a +c >b +c（同向可加性）a > b,c > d ⇒ a + c > b + d （异向可减性）a > b,c < d ⇒ a -c > b -d ④（可积性）a > b,c > 0 ⇒ ac > bc a > b,c < 0 ⇒ ac < bc⑤（同向正数可乘性）a > b > 0,c > d > 0 ⇒ ac > bda >b > 0,0 <c <d ⇒ a > b（异向正数可除性）c d ⑥（平方法则）a > b > 0 ⇒ a > b (n ∈N ,且n >1)n n⑦（开方法则）a >b > 0⇒ n a > n b (n ∈N ,且n >1)1 1 1 1a >b > 0 ⇒ < ;a < b < 0 ⇒ >a b a b ⑧（倒数法则）2、几个重要不等式ab ≤ a 2+b2 . a2 b 2+ ≥ 2ab (a ，b ∈R ) ①,（当且仅当a = b 时取"= "号）.变形公式：2 a +b ≥ ab() ,（当且仅当a ，b ∈R + a = b 时取到等号）.2 ②（基本不等式）⎛ a +b ⎫2ab ≤ ⎝ 2 ⎭ .⎪ a + b ≥ 2 a b 变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.a +b +c ≥ 3 abc(a 、b 、c ∈R +)（当且仅当 3 ③（三个正数的算术—几何平均不等式）a =b =c 时取到等号）.a 2 + + ≥ab +bc +ca (a ，b ∈R ) b 2c 2④（当且仅当 a = b = c 时取到等号）. a +b +c ≥ 3abc (a > 0,b > 0,c > 0)3 3 3⑤ （当且仅当 a = b = c 时取到等号）.b a若ab > 0,则 + ≥ 2a b ⑥ （当仅当 a=b 时取等号） b a若ab < 0,则 + ≤ - 2a b （当仅当 a=b 时取等号）b a b + m < 1< a + n < aa + mb + n b ，（其中a >b > 0，m > 0，n > 0)< ⑦规律：小于 1同加则变大，大于 1同加则变小.> a ⇔ x < -a 或x > a ;⑧当a > 0时，x > a ⇔ x 2 2x < a ⇔ x 2 < a 2 ⇔ -a < x < a .a -b ≤ a ±b ≤ a + b .⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式2+b - a +b ≤ a 2+b 2 ≤ ab ≤ a - 1①平均不等式： 1 2 2 ，（a ,b ∈R+a =b 时取"= "，当且仅当号）.≤ ≤ ≤ （即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：⎛ a +b ⎫ 2≤ a 2 +b 2(a +b )2 ab ≤ ⎝ 2 ⎭ 2 ; ⎪ a 2 +b 2 ≥ .2②幂平均不等式：1 a 12 + a 2 2 +...+ a n 2 ≥ (a + a +...+ a n ) 2.1 2 n ③二维形式的三角不等式：x 1 + y 1 + x 2 + y 2 ≥ (x - x 2) + (y - y 2)2 2 2 2 2 2(x , y ,x , y ∈R ).1 11 12 2④二维形式的柯西不等式：(a2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) ≥ (ac +bd ) 2 (a ,b ,c ,d ∈R ).当且仅当 ad = bc 时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：(a 1 +a 2 +a 3 )(b 1 +b 2 +b 3 ) ≥ (ab +a b +a b 3) .2 2 2 2 2 2 21 12 2 3⑥一般形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 2(a 1 +a 2 +...+a n )(b 1 +b 2 +...+b n) ≥ (ab +a 2b 2 ... a b n ) . + + n21 1⑦向量形式的柯西不等式：α ⋅β ≤ α β , 设α,β是两个向量，则 当且仅当 β α = k β时，k是零向量，或存在实数，使等号成立.⑧排序不等式（排序原理）： a 1 ≤ a ≤...≤ a ,b ≤b ≤...≤b n 为两组实数 .c 1,c ,...,c n 是b 1,b ,...,b n 的任一排列，则设2 n 1 2 2 2 a 1b +a b +...+a b ≤ a c +a c +...+a c ≤ ab+a b +...+a b . （反序和乱序和≤ ≤n 2 n -1 n 1 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n a 1 = a = ...= a n 或b 1 = b = ...= b n 时，反序和等于顺序和.顺序和），当且仅当2 2 ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）f (x ) ,对于定义域中任意两点 x 1,x(x ≠ x ),有 若定义在某区间上的函数 2 1 2 f (x 1 + x 2 ) ≤ f (x )+ f (x 2)或 f (x 1 + x ) ≥ f (x )+ f (x 2). 121 2 22 2 则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：(a + 1) + >(a + 1) 3 ;2 2 2 2 4 ①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），1 11 12 2 1 < 2 < k (k -1) , > k (k +1) , = k + k ⇒ k + k -1 , k 2 k 2 2 k k如1 2> k + k +1 (k ∈ N * ,k >1) k 等.5、一元二次不等式的解法ax 2+bx +c > 0(或< 0) 求一元二次不等式(a ≠ 0,∆ =b 2 -4ac > 0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.。
高中数学选修 4-5知识点不等式选讲1、不等式的基本性质①（对称性） a b b a ②（传递性） a b , b c a c ③（可加性）a b ac bc（同向可加性） a b , c d a c b d （异向可减性） a b,cda cb d④（可积性） a b ,c 0 ac bca, 0 b c ac bc⑤（同向正数可乘性） a b 0, cd0 ac bda bab 0, 0c d（异向正数可除性） c d⑥（平方法则）0 ( , 1) abab n N 且nnn⑦（开方法则）0 n n( , 1) a bab n N 且n1 1 1 1 ab0 ; a b⑧（倒数法则） a ba b2、几个重要不等式ab① a2b 22ab a ，b R ,（当且仅当 ab 时取" "号）. 变形公式：,（当且仅当 ab 时取" "号）. 变形公式：ab 222.a baba ，bR②（基本不等式） 2,（当且仅当 a b 时取到等号）.变形公式： ab2 a baba b22.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）a b c33 abc(a、b、cR)（当且仅当a b c 时取到等号）.④a b c ab bc ca a，b R2 2 2（当且仅当a b c 时取到等号）.a 3b 3c 3 3abc(a 0,b 0,c 0)⑤（当且仅当a b c 时取到等号）.b a若则ab 0,2a b⑥（当仅当 a=b 时取等号）b a若ab0,则2a b（当仅当 a=b 时取等号）b b m a na1⑦ a b n ba m ，（其中ab 0，m 0，n 0)规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.当0时，或;a x a x 2 a 2 x a x a⑧x a x 2 a 2 a x a.a b a b a b .⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式2 a b a 2 b2aba b 2 2 （1 1 ，a,b R①平均不等式：，当且仅当a b 时取" "号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式：ab a b ab; 2 2 (a b)a b2.。
选修4-4知识点一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
高中数学选修4-4知识点归纳高中数学选修4-4主要内容是复数的运算和应用。
复数是实数与虚数的和，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1.复数的表示和性质：复数可以用直角坐标系表示，实部和虚部分别对应于横坐标和纵坐标。
复数具有加法、减法、乘法和除法四则运算，遵循实数的运算法则。
复数的共轭复数表示为a-bi，共轭复数具有性质：两个复数的和等于其实部的和加上虚部的和，两个复数的积等于实部的积减去虚部的积。
2.复数的平方根与n次方：对于任意一个复数z=a+bi，令w=x+yi是z的平方根，则w^2=z，即(x+yi)^2=a+bi。
将等式两边展开，得到x^2-y^2+(2xy)i=a+bi。
由此得到实部的方程组x^2-y^2=a和虚部的方程组2xy=b。
解这两个方程组，就可以得到平方根w的实部和虚部。
同样的方法，我们可以计算复数的n次方。
3.复数的模和辐角：复数的模表示复数到原点的距离，记为|z|，计算公式是|z|=√(a^2+b^2)。
复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，记为θ，计算公式是tanθ=b/a。
复数的辐角一般用弧度表示，可以在求辐角时使用反正切函数。
复数的模和辐角与复数的实部和虚部之间有一定的关系，可以通过公式a=|z|cosθ，b=|z|sinθ进行互相转换。
4.复数的指数形式和三角形式：复数的指数形式表示为z=|z|e^(iθ)，其中e是数学常数自然常数，e≈2.71828。
将复数的指数形式进行展开，可以得到z=|z|(cosθ+isinθ)。
这个形式叫做复数的三角形式，其中|z|表示模，θ表示辐角。
三角形式可以用于复数的运算和求解复数方程。
指数形式可以用于复数乘法和除法的运算，有简洁的表达方式。
5.复数的应用：复数广泛应用于科学和工程领域，尤其是在电学和物理学中。
在电学中，复数可以描述交流电的电压和电流，计算复数的平均功率和相位差。
在物理学中，复数可以描述波的传播和干涉现象，求解复杂的波动方程。
高中数学选修4--5知识点总结1不等式的基本性质③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）a .b ,c ：：： 0 二 ac :：: bc ⑤(同向正数可乘性)a .b . 0,cd .0=- ac . bda ba >b >0,0c c £d n — >—(异向正数可除性) c d① （对称性）b ：= b a ②（传递性）b,b c 二 a c-c .b -d④（可积性）a b ,bc⑥（平方法则）a b 0= a n b n( n^N,⑦（开方法则）a >b >0=需 >飯(n ^N,且n >1)⑧（倒数法则） 11a b 0; a ：：：：2、几个重要不等式2 2① a b - 2ab a ，b R,（当且仅当a = b 时取"-"号）.变形公式:2 2ab = 7②（基本不等式）-—T abb ^ R + ） 2 '，（当且仅当a =b 时取到等号）ab -才.变形公式：a • b—2\ ab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三相等”.，要注意满足三个条件“一正、二定、王戲abc / , -3 （a、b c R）（当且仅当③（三个正数的算术一几何平均不等式）a =b =c 时取到等号）2 2 2④a b c _ ab bc ca a, b R(当且仅当a =b =c 时取到等号).⑤a 3b 3c 3 _ 3abc(a 0,b 0,c 0)（当且仅当a =b =c 时取到等号）b a若ab 0,则—-_2 ⑥ a b （当仅当a=b 时取等号） b — 若ab ：：： 0,则--2a b （当仅当a=b 时取等号）b b m, a n a 1 ：：：⑦a a+m b+nb ,（其中 aAb>0, mnO , n >0）规律：小于1同加则变大，大于 1同加则变小.⑧ 当a .0时，x .a ：=x 2 .a 2：=x ：：：v 或x a;2 2x<a= x <a = —acxca.3、几个著名不等式兰后兰吐-兰匡工（+① 平均不等式：a b 2 2,（a ，b ，R ，当且仅当a=b 时取"="号）.（即调和平均 -几何平均-算术平均-平方平均）. 变形公式：ab/业 f 兰士； a2+b 2,g ：.2 2； a b- 2 .② 幕平均不等式：a 12 a 22 …a n 2 -丄佝 a 2 …a n ）2.n③ 二维形式的三角不等式：、、xj y ； .X 22 y 22 -（为一X 2）2 （% - y 2）2 （“庄山 R ）. ④二维形式的柯西不等式:⑨绝对值三角不等式 a —b^a±b^a + b2 2 2 2 2(a +b )(c +d )X(ac+bd) (a,b,c,d^R).当且仅当 ad=bc 时，等号成立.⑤ 三维形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 2 2(a-i a 2 a 3 )(b| b 2 b 3 ) _ (a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3).⑥ 一般形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 2 2 (ai a 2... - a . )(bi b ?…bn) _ (a 1b 1 a zb…and).⑦ 向量形式的柯西不等式：设〉，：是两个向量，则「 I 卜I I '当且仅当：是零向量，或存在实数k ，使〉二时, 等号成立•⑧ 排序不等式(排序原理)：设印兰岂兰…兰a n 上兰b 2兰…兰b n 为两组实数.G ,c 2,..., c n 是l3| ,b 2,..., b n 的任一排列，则&10 a 2 bi J ... a n b^ - a 1c^ a? c ? ... ■ ac - a 1bi ■ &2匕2 ■ ... ■ a n b n (反序和 < 舌 L 序和 < 顺序和)，当且仅当a1 =& = ...=a n 或b =b 2 = ... = 0时，反序和等于顺序和⑨琴生不等式：(特例：凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f (X)，对于定义域中任意两点X ,X 2(X1 =X 2),有 f (X 1 十X 2) ^f (X 1)+f (X 2)或f (X 1 +X 2)、f (Xp+f(X 2)2_2或2-2贝y 称f(X)为凸(或凹)函数4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法(作差，作商法)、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等 常见不等式的放缩方法：5、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式aX bX c 0(或疳°)2(卄0门二b -4ac 0)解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数①舍去或加上(a②将分子或分母放大(缩小)，1 1 1 1如 k 2 k(k-1)k 2 k(k 1)2 2 — 1 2 ------ =——1 2 ■- k k k 1(k N *,k 1)二判：判断对应方程的根•三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ，结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x) 0= f(x) g(x) 0g(x)f(x) — f(x)g(x)_0g(x)「- .g(x)=O (“：：：或乞”时同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解—? (x) >0fJf(x) >a(a >0)u」 2⑴f(x)naf7T0)= {fl"⑵f(x)：：af (x) 0 .亠「f(x)狂0 g(x)_0 或.f(x) g(x) =g(x) < 0 f(x) [g(x)]2a)2_ [f(x)Z0f(x) ：： g(x) = g(x) 0f(x)订g(x)]2卩(x)Z0.f(x) .g(x) = g(x) — 0⑸f(x) g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法：⑴当a>1 时，a f(x) >a g(x) = f(x)=g(x)f (x) g(x) r⑵当0<aG时，a =a 二f(x)cg(x)规律：根据指数函数的性质转化.xx、对数不等式的解法f(x) 0log a f(X)• log a g(x)：= g(x) 0⑴当a"时，l f(x)>g(x)f(x) 0log a f (x) >log a g(x)二<g(x)>0⑵当Ocavl时,L f(x)v g(x)规律：根据对数函数的性质转化•xx、含绝对值不等式的解法：a (ax 0)a =《⑴定义法：.-a(a：：：°)⑵平方法：卩(x)|-|g(x)|= f2(x)乞g2(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①Ma台-a M x£a(a AO);②|x| £a二x^a或xW—a(a£0);③|f (x)| 兰g(x)二—g(x)兰f (x)兰g(x) (g(x) AO)④|f(x)| g(x)：= f(x) _g(x)或f(x)乞-g(x) (g(x) _0)规律：关键是去掉绝对值的符号.xx、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集•xx、含参数的不等式的解法2解形如ax bx c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:⑴讨论a与0的大小；⑵讨论二与0的大小；⑶讨论两根的大小.xx、恒成立问题2⑴不等式ax bx c 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当a =0 时=b =0,c 0；a 0=I②当a = 0时"0-2⑵不等式ax bx c ::: 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当a = 0 时=b = 0,c ：： 0;-l a :：:0②当a=0时⑶ f（X）：：a恒成立：=f（X）max ：：a;f（X）_ a恒成立f（X）max -a；（X）min - a；⑷ f （x） a恒成立=ff（X）- a 恒成立=f（X）min - a・XX、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线Ax B y C =o的同一侧的所有点的坐标代入A X By C后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（X o’y。
选修4-4数学知识点一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').(,yy0),(x,x:μμλλϕ的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP'''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM∠叫做点M的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M的极坐标，记为),(θρM.极坐标),(θρ与)Z)(2,(∈+kkπθρ表示同一个点。
极点O的坐标为)R)(,0(∈θθ.4.若<ρ,则>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6。
高中数学 选修4--5知识点 1、不等式的基本性质①（对称性）b a >②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. （正：a 和b 都是正数 定：ab 为定值或a+b 为定值 相等：当且仅当a=b 时等号成立。
③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b>+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： 2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法，其同解定理有：①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+②“斜率”型：y z x =或;y b z x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
专题01 坐标系【知识网络】【考情分析】 考纲要求①理解坐标系的作用。
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行坐标和直角坐标的互化。
④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。
⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。
考情分析高频考点 常见曲线的极坐标方程、直角坐标和极坐标的互化考查形式 通过近几年高考命题趋势看，本部分重点考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，常见曲线的极坐标方程也是考查的重点，主要考查基础知识、基本技能， 题型一般为解答题，难度中等．命题角度 结合直线与圆、圆锥曲线、三角函数及恒等变换、向量等知识考查 常见题型 解答题备考要求对知识点进行归纳整理、掌握常见曲线的极坐标方程、直角坐标和极坐标之间的互化公式及其运用等．【知识详单】1.平面直角坐标系的作用通过平面之间坐标系，实现了平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而使得数与形的结合．2. 平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．坐标系直角坐标系 柱坐标系和球坐标系极坐标系极坐标方程及其应用极坐标和极坐标系的概念直角坐标和伸缩变换极坐标与直角坐标的互化3.极坐标与极坐标系极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。
注意：平面直角坐标与极坐标的区别：（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。
⑵ 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。
注意 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4.极坐标方程及其应用（1）极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
图形互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。
6. 柱坐标系(1) 定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z ) (z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z <＋∞.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .7. 球坐标系(1) 定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ·sin φ·cos θ，y ＝r ·sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.【方法技巧】1．坐标法在求解曲线轨迹问题中的应用在利用坐标法求解曲线轨迹问题时，首先，根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系． 2.极坐标与直角坐标的互化技巧注意直角坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对),(y x 是一一对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对),(θρ不是一一对应的,只有在规定0(>ρ,[)πθ2,0∈)的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多种表示形式.专题02 参数方程【知识网络】【知识详单】 1.曲线的参数方程（1）概念：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M (x,y )都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. （2）求曲线的参数方程的一般步骤：第一步 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y )表示曲线上任意一点M 的坐标； 第二步 选参：选择合适的参数；第三步 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式.第四步 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程． （3）曲线的普通方程的概念：相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程.注意：参数方程的几个基本问题 （1）消去参数，把参数方程化为普通方程.（2）由普通方程化为参数方程.（3）利用参数求点的轨迹方程.（4）常见曲线的参数方程. 2.几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程(ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）注意：t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P (y x ,)为直线上任意一点. (ⅰ)过点P 0(00,y x )，斜率为a bk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程(ⅰ)圆222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos r y r x (ϕ为参数)ϕ的几何意义为“圆心角”(ⅰ)圆22020)()(r y y x x =-+-的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00r y y r x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“圆心角”（3）椭圆的参数方程(ⅰ)椭圆12222=+b y a x (0>>b a ) 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）(ⅰ)椭圆1)()(220220=-+-b y y a x x (0>>b a )的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00b y y a x x （ϕ为参数），ϕ的几何意义为“离心角”(4)双曲线的参数方程(ⅰ)双曲线12222=-b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕbtg y a x sec （ϕ为参数） (ⅰ)双曲线1)()(220220=---by y a x x 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕbtg y y a x x 00sec （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”(5)抛物线的参数方程px y 22= (p >0) 的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数）其中t 的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数（顶点除外）. 3.参数方程与普通方程的互化参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程 这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数． 【方法技巧】消去参数 恰当选择参数1.参数方程与普通方程的互化技巧参数方程与普通方程互化时一定要保持x、y范围相同，不是所有的参数方程都可化为普通方程．普通方程化成参数方程时，选择的参数不同其参数方程不同．2.极坐标方程与参数方程的区别参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的．同时注意参数的范围．注意区分极坐标方程和参数方程的区别：从方程的形式上很容易区分清楚．3.极坐标、参数方程与普通方程的综合应用纵观历年来高考试题，极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是高考热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点．专题03 不等式和绝对值不等式【知识网络】【考情分析】【知识详单】1.不等式的基本性质（1）如果a ＞b ，那么，b ＜a ；如果a ＜b ，那么b ＞a ； （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c ；（3）如果a ＞b ，那么a +c ＞b +c ；推论：如果a ＜b ，c ＜d ，那么a +c ＜b +d ； （4）如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc ； （5）如果a ＞b ＞0，那么n n b a >（n ∈N ，n≥2）； （6）如果a ＞b ＞0，那么nn b a >（n ∈N ，n≥2）。
