16.2.2分式的加减(1、2)

第十六章 分式16.2 分式的运算16.2.2 分式的加减Ⅰ．核心知识扫描1．同分母分式相加减：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．2．异分母分式相加减：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，后再加减．3．分式的加、减、乘、除、乘方混合运算也是先乘方，再乘、除，最后加、减；如有括号，先完成括号内的运算．Ⅱ．知识点全面突破知识点1：同分母分式相加减（重点）定义：同分母的分式的加减法，只要把分子相加减，而分母不变.用字母表示为：b a ±c a =b c a±.例：计算： （1）22222333a b a b a b a b a b a b+--++； （2）2253a b ab +－2235a b ab -－228a b ab+. （3）22m n n mn m m n n m++----． 解：（1）原式＝2(2)(2)()3a b a b a b a b ++-+-＝223a a b ＝23ab； （2）2253a b ab +－2235a b ab -－228a b ab +＝()()()222253358a b a b a b ab +---+ ＝222253358a b a b a b ab+-+--＝22a b ab ＝a b . （3）方法一：原式＝22m n n mn m n m n m+-+---- ＝22m n n mn m+---＝n mn m--＝1． 或，方法二：原式＝(2)2m n n mm n m n m n -+-+----＝(2)2m n n mm n-+++-＝1．点拨：（1）（2）按照同分母分式加减法的法则进行运算，分子是一个多项式，相减时需要添加括号.（3）尽管本题的分母不相同，但我们注意到n －m 和m －n 互为相反数，所以我们可以将异分母化为同分母计算，．知识点2：异分母分式相加减（重点）定义：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减.即用字母表示为：b ±d =bc ad±.例：计算：（1）2312224x x x x +-+--；（2）211a a a --- 解：（1）原式＝2223(2)22444x x xx x x ---++---＝23(2)224x x x x ---+-＝2484x x --＝42x +（2）原式＝2111a a a +--＝22111a a a a ----＝11a - 点拨：（1）我们先将各分母通分，然后运用同分母分式加减法则进行计算.（2）本题可看作21a a -与1a --的和或看作21a a -与1a +的差，可将整式部分看作分母为1的一个分式，然后再通分，运用同分母分式相加减法则进行计算.知识点3：分式混合运算（难点）分式的运算主要包括分式的计算、化简与求值．这些需要应用较多的基础知识，解题方法多样，有的变形极易混淆，故特别要注意每步运算的根据，选择合理的运算途径，严格依据运算法则、顺序即先乘方，再乘、除，最后加、减；如有括号，先完成括号内的运算和运算性质进行．（2）1)11(22-÷+-+a aa a a 解： （1）原式4(4)(4)44x x x x x x -⎛⎫=++-⎪+-⎝⎭＝2(4)(4)x x x -++＝22416x x -+2(1)(1)(1)(1)11a a a a a a a a ⎡⎤-++-=-⋅⎢⎥++⎣⎦(2)原式 221(1)(1)1aa a a a a -++-=⋅+ 1.a a -=点拨：（1）括号内是两个异分母分式相加，我们先将所有分子、分母因式分解，然后计算括号内的加法运算，最后再做除法运算；（2）小括号内的运算，在通分时，要注意添加小括号，即变为：-（a-1）的形式解：选一：C B A ÷-)(＝2)4221(2+÷---x xx x ＝xx x x x 2)2)(2(+⨯-+＝21-x ． 当3=x 时，原式＝1231=-． 选二：C B A ÷-＝242212+÷---x xx x ＝x x x x x 2)2)(2(221+⨯-+-- ＝)2(221---x x x ＝xx x x 1)2(2=--．当3=x 时，原式＝31． 点拨：本题主要考查分式的混合运算，在运算时，一定要按照先乘除，后加减的顺序进行，若有括号还应先算括号内的部分．Ⅲ．提升点全面突破提升点1：化简求值，未知数的取值要使分式有意义解：原式=2121x x x x x x ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭=2121x x x x x --+÷ 211.(1)1x x x x x -==--·当2x =时，原式=11.21=-点拨：化简求值的步骤是：一、先化简，化简的运算顺序是：先算括号里面的，再算乘除，最后算加减，结果要求最简．二、将数值代入化简的式子，求出结果；【易错警示】○C 特别注意x 只要不取0和1都可以． 提升点2：利用分式的运算巧求值例2：已知x 为整数，且222218339x x x x ++++--为整数，则所有符合条件的x 的值之和为（ ） A ．20 B ．18 C ．15 D ．12答案：原式＝222218339x x x x +-++--＝()()22232321899x x x x x --+++--＝2269x x +-＝()()()2333x x x ++-＝23x -． 因为23x -是整数，x －3也是整数，所以x －3可取±1，±2， 所以x ＝1，2，4，5，所有符合条件的x 的值之和为12，所以本题答案为D ． 点拨：由于222218339x x x x ++++--是整数，而这个式子显然没有经过化简，我们应该首先考虑将这个式子进行化简，然后再考虑其它问题． 方法总结：在本题中，由于222218339x x x x ++++--可以化简，这时我们一般先考虑化简，然后再考虑它的值是整数． 例3：已知21(2)(2)22x A Bx x x x +=++-+-，试求A 、B 的值.解：将右边两个分式相加，得21(2)(2)(2)(2)(2)(2)x A x B x x x x x +-++=+-+- 因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即2x ＋1＝(2)(2)A x B x -++所以2x ＋1＝()(22)A B x A B ++-+，对应系数比较，得2221A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：3454A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴A ＝34，B ＝54． 点拨：这里A 和B 都是待定系数,本题是根据恒等式的概念，利用对应项的系数相等求解，这种解题方法叫做待定系数法.待定系数法在求函数解析式的时候应用得特别多.提升点3：分式加减的实际应用例4：甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ （2）谁的购货方式更合算？分析：由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m 元/千克，第二次购买的饲料的单价为n 元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量.在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价. 解：（1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ，n 是正数，且m ≠n ）甲两次购买饲料的平均单价为1000100010002m n +⨯＝2nm +（元/千克），乙两次购买饲料的平均单价为nm 8008002800+⨯＝nm mn +2（元/千克）.（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是：2n m +－n m mn +2＝)(2)(2n m m m ++－)(24n m mn + ＝)(24222n m mn n mn m +-++＝)(2)(2n m n m +-，由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，)(2)(2n m n m +-也是正数，即2n m +－n m mn +2＞0，因此乙的购买方式更合算.点拨：及时地用字母表示出相应的代数式并运用分式的加减运算是解决问题的关键.Ⅳ．综合能力养成解：原式5141413131212111+-+++-+++-+++-+=x x x x x x x x 564)5)(1(4)5)(1()1(551112++=++=+++-+=+-+=x x x x x x x x x x点拨：注意观察分式之间的关系：()11111n n n n =-++解：P ＋Q ＝a 2＋b 2a 2－b 2＋2aba 2－b 2＝a 2＋2ab ＋b 2a 2－b 2＝(a ＋b )2 (a ＋b ) (a －b )＝a ＋b a －b，当a ＝3，b ＝2时，P ＋Q ＝3＋23－2＝5； P －Q ＝a 2＋b 2a 2－b 2－2aba 2－b 2＝a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2＝(a －b )2 (a ＋b ) (a －b )＝a －b a ＋b ， 当a ＝3，b ＝2时，P －Q ＝3－23＋2＝15； Q －P ＝－(P －Q )＝－(a 2＋b 2a 2－b 2－2aba 2－b 2)＝－a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2＝－(a －b )2 (a ＋b ) (a －b )＝－a －b a ＋b ，当a ＝3，b ＝2时，Q －P ＝－3－23＋2＝－15；点拨：现在的中考数学试卷对分式的考查越来越灵活，已不在拘泥于以前的简单知识考查了，好多地方都以开放性试题的形式出现，大家要注意这一变化.思路一：这个式子是一个恒等式，等式右边的分式分母的积等于左边分式的分母，如果将等式右边相加，则左、右分母相同，分子也应相同，从而可求出A 、B 、C 的值.解：22222(4)()()44(4)(4)A Bx C A x x Bx C AB x Cx A x x x x x x ++++++++==+++ 因为左右两边恒等且分母相同，故分子也应恒等，即：2()4A B x Cx A +++＝4，且x 的对应项的系数相等，从而有0044A B C A +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得：110A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩思路二：我们要求三个未知数的值，我们取三个x 的值代入恒等式即可列出三个关于A 、B 、C 的方程组成一个三元一次方程组，从而求出A 、B 、C 的值. 解：对于等式224(4)4A Bx Cx x x x +=+++来说，当x ＝1时，可得：455B C A +=+，当x ＝－1时，可得：455B C A -+-=-+，当x ＝2时，可得：12428A B C+=+，解这三个方程组成的三元一次方程组可得：A ＝1，B ＝－1，C ＝0.点拨：这里A 和B 都是待定系数,本题是根据恒等式的概念，利用对应项的系数相等求解，这种解题方法叫做待定系数法.Ⅴ．分层实战训练A 组．基础训练A ．22a b -B ．a b +C ．a b -D ．1A.1=---a b b b a aB.b a n m b n a m --=-C.a ab a b 11=+- D.ba b a b a b a -=-+--1222 3．计算211x x x ---的结果是（ ）（知识点1、2） A ．211x x -- B ．11x - C ．11x -- D ．211x x x ---4．计算234310224x x x x ++-+--的结果是 （ ）（知识点1、2）A ．42x + B ．42x - C ．22x + D ．22x - 5．若2m n +=-，1mn =，则2211m n +的值为（ ）（知识点3） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．当a ＝－2时，222212212a a a a a a a --+-+--的值为（ ）（知识点1、2）A ．－13 B ．－73 C ．1 D ．－53二、填空题（每小题5分，共30分） 7．计算：2b a c b ca b c b a c b c a+-+--+----＝________________.（知识点1）8．已知271x x x =-+，则1x x+等于__________.（知识点1、2）9．化简：（1）244222x x x x x -+--- （2）221(2).1a a a a -+--- （3）22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭（知识点3） 10．先化简，再求值：311111x x x x ⎛⎫-÷⎪+-+⎝⎭，其中5x =．（知识点3）B 组．培优训练1．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-” （提升点1）小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（ ）．A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的2．a 、b 为实数，且ab =1，设P ＝1a a ++1b b +，Q =11a ++11b +，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）．（提升点2）3．已知3a bb a +=，则222225a ab b a ab b-+++＝__________________．（提升点2） 5．若25452310A B x x x x x -+=-+--，试求A 、B 的值. （提升点2）6．已知：221A x =-，11(1)11B x x x=+≠±+-，下面三个结论：①A ，B 相等；②A ，B 互为相反数；③A ，B 互为倒数.请问哪个正确?为什么? （提升点2，探究题） 7．工程队计划修建一条长1200米的公路，采取新的施工方式后，实际每天修建公路的长度比原计划增加15米，从而缩短了工期，设原计划每天修建公路x 米，那么 （1）原计划修建这段公路需要多少天？实际修建这段公路用了多少天？ （2）实际修建这段公路的工期比原计划缩短了几天？（提升点3，图文信息题）第十六章 分式 16.2 分式的运算16.2.2 分式的加减A 组．基础训练1．B ，点拨：原式＝2222()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b-+--===+----,故此题选B ．2．D ，点拨：按照分式的加减运算法则进行计算，可以得出（A ）（B ）（C ）三个选项的计算结果都是错误的，出错的原因多数是符号错误，只有（D ）是正确的． 3．B ，点拨：把1x --看作11x +-，然后通分化简 4．A ，点拨：先通分，最简公分母是24x -，后计算5．C ，点拨：2211m n +＝222()2m n mnm n +-＝26．D ，点拨：先化简，在代入求值7．－2，点拨：先化为同分母分式，然后再进行加减运算. 8．87，点拨：将271xx x =-+分子、分母同时除以x ，得到1711x x=-+9．解 （1）原式＝2442x x x -+-＝2(2)2x x --＝2x -.（2）原式=2(1)(2)1211a a a a a ---=--+=-（3）原式＝()()()22222222x x x x x x x x x +----⨯-⨯+- ＝()()2222x x x x x -+-+＝()()()22222x x x x +--+＝82x +． 点拨：考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序。