习题课线面积分的计算

第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++， 则⎰⎰∑dS z y x222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

（同学们认真做好笔记，将方法进行补充完整，其中，L 为平面曲线，Γ为空间曲线）（线面积分）计算方法总结：1.第一类曲线积分：.),,(;),(dS z y x f dS y x P L ⎰⎰Γ方法：计算公式191P （1-1）（1-2）（1-3）及推广2.方法①：197P 计算公式（2-1）方法②：y P ≠∂∂林公式非闭：补充曲线后用格闭合：L dxdy y P x Q I L D ⎰⎰∂∂-∂∂=)(y P =∂∂⎰+==),(,1100I 0I y x y x Qdy Pdx L L ）（非闭：闭合：（此时，I 与路径无关，（00,y x ）为起点，（11,y x ）为终点）方法①：199P 计算公式（2-1）的推广方法②：240P 斯托克斯公式（转化为第二类曲面积分）（若方法②使得计算复杂，则不用，一般用方法①）3.第一类曲面积分：dSz y x f ⎰∑),,(方法①：220P 公式（4-2）3种情形.解题步骤：①根据曲面∑选好投影面②确定投影域，曲面∑的显函数形式，并求出dS③将②中三者代入公式，化为二重积分计算.方法②：高斯公式）（'23216P -转为三重积分。

4.第二类曲面积分：⎰⎰∑++RdxdyQdzdx Pdydz 格林公式方法①：228P 计算公式））（）（）（（5545'3535----解题步骤：①代②投③定号（注意曲面的侧定号）方法②：两类曲面积分的联系公式（5P230)cos cos cos (γβαdxdy dzdx dydz dS ===方法③：高斯公式）（16P 232-转化为三重积分三.对面积的曲面积分的计算法思想：化为二重积分就按按照曲面积分的不同情况分为以下三类：（1）若曲面][),(Z xy D xoy y x Z 面，投影区域投影到将：∑∑=（3）若曲面])[,(yz D yoz z y x x 面，投影区域投影到将：∑∑=总结解题步骤：1.应根据曲面∑选好投影面.2.确定投影域并写出曲面∑的显函数形式，并求出dS .3.将曲面∑的显函数形式和dS 代入被积函数，化为二重积分进行计算.小结：与路径无关的四个等价命题条件在单连通区域D上),(),(yxQyxP，具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立等价命题（1）在D内⎰+LQdyPdx与路径无关（2）⎰=+C,0QdyPdx闭曲线DC⊂（3）在D内存在),,(yxu使QdyPdxdu+=（4）在D内，xQyP∂∂=∂∂感谢高数老师大人的总结！！！。

四、已知平面区域 {(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤ ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）sin sin sin sin y x y x L L
xe
dy ye dx xe dy ye dx −−−=−∫∫ ； （2）sin sin 252
y x xe dy ye dx π−−≥∫ . (2)
计算2∑∫∫，其中∑
为下半球面z =0a >. 六（本题共15分）、设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分42
2(C )xydx x dy x y ϕ++∫v
1的值为常数. (1) 设为正向闭曲线. 证明:
L 22(2)x y −+=422()0L xydx x dy x y
ϕ+=+∫v ； (2) 求函数()x ϕ； (3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422(C )xydx x dy x y
ϕ++∫v
. 五、（本题16分）已知是空间曲线S 22310x y z +=⎨=⎩
绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（）（取上侧）, y 0z ≥Π是在点处的切平面, S (,,)P x y z (,,)x y z ρ是原点到切平面Π的距离, ,,λμν表示的正法向的方向余弦. S 计算：（1）d (,,)S z S x y z ρ∫∫; （2）. (3)d S
z x y z S λμν++∫∫ ( 15 ) f (x ) a,b,c
Σ x 2+y 2+z 2=1,
I = Σf (ax +by +cz )d S. I =2π 1−1f (√a 2+b 2+c 2u )d u.。