1.2应用举例第一课时精品教案

⑵方位角——从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如图所示，点E所在的方位角是_________．
例1. 如图，C，D在同一水平线上，且与烟囱的中轴线AB在一个平面内，在C，D两处测得烟囱顶部的仰角分别是α、β，若CD＝a，测角仪器的高是h，求烟囱的高度.
变式1.如下图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α=54°40‘，在塔底C处测得A处的俯角为β=50°1′. 已知铁塔BC部分的高为27.3m.
（1）求点A到点B的距离；（2）求出山高CD .
【解题反思】把本例中的图形按逆时针方向旋转90°后，对比例三，你有什么发现吗？
例2. 如图，在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，如何通过测量，求得角楼的高度？
解题分析2. 如图，如果移动测量仪CC′到DD′(测量仪高度不变)，想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？
答：在△B′C′D′中，由正弦定理，得＝，因此B′C′＝＝≈72.17(m).
变式2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°. 求此山的高度CD.。

平果二中“一课一研”教学设计表课题人教版必修5 第一章 1.2 应用举例课型新授课参备人修改建议教学目标1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)．参备教师签名重难点1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)．教法教具教学过程与自主预习：1．基线的概念与选择原则(1)定义在测量上，根据测量需要适当确定的叫做基线．(2)性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越．思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫，目标视线在水平视线下方时叫。

(如图所示)．(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)板书设计思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？当堂练习1．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据( )A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为( ) A．α＋βB．α－βC．β－αD．α3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为( )A． 3 B．2 3 C．23或 3 D．34．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B 两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为( )A．(30＋303)m B．(30＋153)m C．(15＋303)m D．(15＋33)m 合作探究例1．海上A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )A．10 3 海里B．1063海里C．52海里D．56海里三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．练习：1．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为________ m.【例2】(1)如图所示，从山顶望地面上C ，D 两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．503米C ．502米D ．50(3＋1)米 (2)在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33 m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m[探究问题]1．已知A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．【例3】如图所示，为了测量河对岸的塔高AB ，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，测得CD ＝200米，在C 点和D 点测得塔顶A 的仰角分别是45°和30°，且∠CBD ＝30°，求塔高AB .测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．1．本节课要掌握三类问题的解法(1)测量距离问题．(2)测量高度问题．(3)与立体几何有关的测量问题．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.课后练习：1．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )A．d1>d2B．d1<d2C．d1>20 m D．d2<20 m 2．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )海里/小时．A．8(6＋2) B．8(6－2) C．16(6＋2) D．16(6－2) 3．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：科研处盖章审核人年月日。

1.2 应用举例（一）学科：数学年级：高二备课教师：一、教材分析：本章引言中我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，研究如何测量距离、高度、角度。

二、教学目标：1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离，测量高度，测量角度的实际问题，了解常用的测量相关术语。

2、采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。

课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

3、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

三、教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

四、教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

五、教学准备1、课时安排：2课时2、学情分析：根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。

主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。

二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。

这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。

在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。

学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。

三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。

（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。

（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。

四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。

难点：测量方法的寻找与计算。

五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。

六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。

知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。

高中数学人教B版必修五第一章《1.2 应用举例》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能目标:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语,同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

2、过程与方法:通过解决“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题,初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法,进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力,提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3、情感、态度与价值观:通过解决“测量”问题,体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题,培养学生的数学应用意识和探索问题、解决问题的能力,学习用数学的思维方式去解决问题,认识世界。

2学情分析
本节课是普通高中新课程人教B版《必修5》第一章1.2第一课时的内容 ,是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程,本节课主要介绍了正弦定理和余弦定理在测量距离中的应用。

正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的理论基础,让学生掌握建立“数学模型”的基本思想是本节课的重中之重。

通过对解斜三角形在实际中应用的讲解,让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问题以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要的作用。

同时培养学生数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力,提高学生解决实际问题的能力。

激发学生学习数学的兴趣,并让学生体会数学的应用价值。

3重点难点
重点:如何将实际问题转化为数学问题,并利用解斜三角形的方法予以解决。

难点:如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

4教学过程。

1.2 应用举例整体设计教学分析本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．本节教材提出了四个问题：问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．三维目标1．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体课件直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题．2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．重点难点教学重点：掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．教学难点：将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．思路 2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．推进新课新知探究提出问题1提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：若已知三角形的两边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？2回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法？3如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？如果底部不能到达，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？4对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？5解决实际问题的一般程序是什么？活动：教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及BC即可算出AC的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？图1图2教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：既然底部不可到达，则BC就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：(1)应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；(2)为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据，少用间接求出的量．讨论结果：(1)～(4)略．(5)解决实际问题的一般程序是：(1)审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；(2)建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；(3)求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；(4)还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．应用示例例1(教材问题1)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．点评：解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3 m的误差，可让学生分析误差产生的原因．变式训练如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)解：如下图，在△ABC 中，∠BCA＝90°＋β，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α. 根据正弦定理，BC sin α－β＝AB sin 90°＋β， 所以AB ＝BCsin 90°＋βsin α－β＝BCcosβsin α－β. 解Rt△ABD，得BD ＝ABsin∠BAD＝BCcosβsinαsin α－β.将测量数据代入上式，得 BD ＝27.3cos50°1′sin54°40′sin 54°40′－50°1′＝27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177(m)， CD ＝BD －BC≈177－27.3≈150(m)．答：山的高度约为150 m.例2(教材问题2)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．点评：结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？变式训练如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b答案：C解析：由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.活动：教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．解：在△ABC 中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sinA ＝AB sinC ，BC ＝ABsinA sinC ＝5sin15°sin10°≈7.452 4(km)， CD ＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m)．答：山的高度约为1 047 m.点评：此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．知能训练1．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A 和B ，观测对岸标记C 点，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB ＝120 m ，则河宽为__________ m.答案：20(3＋3)解析：由题意画出示意图，如下图，则∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，知AB sin∠ACB ＝AC sin75°， ∴AC＝sin75°sin60°·120＝20(32＋6)． 在Rt△ACD 中，CD ＝ACsin45°＝20(3＋3)，即河的宽为20(3＋3) m.2．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__________.答案：156米解析：在△DBC 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得CD sin∠CBD ＝BC sin∠BDC， ∴BC＝30sin30°sin135°＝15 2. 在Rt△ABC 中，AB ＝BC·tan60°＝152×3＝156(米)，即塔高为156米．课堂小结先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？你没有画出的原因是什么呢？在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．作业课本本节习题1—2A 组1、2、3.设计感想本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程，通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模，不要求学生死记硬背解决实际问题的方法步骤．本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一重点，不在一些细枝末节上浪费时间．通过本节探究，学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法，下一步教师要在规范步骤等方面加以关注．备课资料一、拓展资源1．利用余弦定理证明正弦定理在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，求证：a sinA ＝b sinB ＝c sinC. 证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∴sin 2A ＝1－cos 2A ＝1－b 2＋c 2－a 222bc 2＝2bc 2－b 2＋c 2－a 222bc 2＝2bc ＋b 2＋c 2－a 22bc －b 2－c 2＋a 24b 2c 2＝b ＋c ＋ab ＋c －a a ＋b －c a －b ＋c 4b 2c 2.∴a 2sin 2A ＝4a 2b 2c 2a ＋b ＋c －a ＋b ＋c a ＋b －ca －b ＋c . 记该式右端为M ，同理可得b 2sin 2B ＝M ，c 2sin 2C＝M ， ∴a 2sin 2A ＝b 2sin 2B ＝c 2sin 2C. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC . 2．如图，P 为△ABC 内的一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，求证：1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C.证明：在△PAC 中，由正弦定理，得AP sinθ＝b sin∠APC. ∴∠APC＝180°－θ－(A －θ)＝180°－A.∴AP sinθ＝b sinA. 从而S △PAB ＝12c·APsinθ＝12c·bsinθsinA ·sinθ＝12bcsinA·sin 2θsin 2A ＝S △ABC ·sin 2θsin 2A .同理可得S △PBC ＝S △ABC ·sin 2θsin 2B ，S △PCA ＝S △ABC ·sin 2θsin 2C .相加后即得S △ABC ＝S △ABC (sin 2θsin 2A ＋sin 2θsin 2B ＋sin 2θsin 2C )．∴1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C. 二、备用习题1．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则塔高为( )A ．20(1＋33) m B ．20(1＋3) m C ．10(6＋2) m D ．20(6＋2) m2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，β3．如图，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于 ( )A.asinαsinβcosβ－αB.asinαsinβsinβ－αC.asinαcosβsinβ－αD.acosαcosβcosβ－α4．如图，有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )A．5 m B．10 m C．10 2 m D．10 3 m5．如下图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝15°，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)6．如下图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得A点的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500 m，求塔高AB.参考答案：1．B 解析：如图，AB为楼，CD为塔，AM为水平线，则有AB＝20.∠DAM＝45°，∠CAM＝60°， ∴MD＝20，AM ＝20，CM ＝20 3. ∴CD＝20(1＋3)(m)．2．D 解析：由α，β，b 可利用正弦定理求出BC. 3．B 解析：在△ABC 中，CD ＝a ，∠DAC＝β－α， 由正弦定理，得a sin β－α＝ACsinα，∴AC＝asinαsin β－α.在Rt△ABC 中，AB ＝AC·sinβ＝asinα·sinβsin β－α.4．C 解析：在△ABC 中，由正弦定理，可知x sin45°＝10sin30°，∴x＝10 2 m.5．解：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD ＝6 000 m ，∠ACD＝45°， 由正弦定理，有AD ＝CDsin45°sin60°＝63·CD.同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD ＝6 000，∠BCD＝30°. 由正弦定理，有BD ＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°， 根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝632＋222·CD＝426CD ＝1 00042 m. 答：炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.6．解：设AB 的高为x.∵AB 与地面垂直， ∴△ABM，△ABN，△ABP 均为直角三角形．∴BM＝x·cot30°＝3x ，BN ＝x·cot45°＝x ，BP ＝x·cot60°＝33x. 在△MNB 中，BM 2＝MN 2＋BN 2－2MN·BN·cos∠MNB， 在△PNB 中，BP 2＝NP 2＋BN 2－2NP·BN·cos∠PNB， 又∵∠BNM 与∠PNB 互补，MN ＝NP ＝500， ∴3x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos∠MNB，① 13x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos∠PNB.② ①＋②，得103x 2＝500 000＋2x 2，∴x＝2506(m)．答：塔高AB 为250 6 m.第2课时导入新课思路 1.(本章章头图导入)有的学生可能要问：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢？也就是怎样算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢？学过本节后就简单清晰了，由此展开新课．思路 2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题，这些都是距离问题，那么能否借助正弦定理、余弦定理测量一些角度的问题呢？回答是肯定的，由此展开新课．推进新课新知探究 提出问题1回忆前面是如何测量距离和高度的？2在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的？ 3回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则.4日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有如何预防台风的侵袭等，这些可否像前面探究的距离和高度那样，转化为解三角形模型来解决呢？活动：教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理．为了提高学生兴趣，可换个提法，前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”，我们如果不按这个步骤进行结果会怎样？通过这样反复强化，使学生的“数学建模”意识得以巩固，这里关键是找出已知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形．三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它．讨论结果： (1)～(4)略．应用示例例1(教材问题3)活动：本例题是解三角形与向量结合的典例，教师可引导学生复习向量的相关知识．利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量，指导学生画出平面示意图，这是解好本问题的关键．点评：本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架，目的是让学生熟悉解决平衡力系的数学方法，解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解决．变式训练有两根柱子相距20 m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m ，求此时绳子所受的张力．解：如图所示，设重力作用点为C ，绳子AC 、BC 所承受的力分别记为CE →、CF →，重力记为CG →.由C 为绳子的中点，知|CE →|＝|CF →|. 由CE →＋CF →＝CG →，知四边形CFGE 为菱形． 又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2102＋0.22≈0.02，∴|CE →|＝|CF →|＝12|CG →|cos∠FCG ＝8.90.02＝445，即绳子所受的张力为445 N.例2如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0. 1°，距离精确到0.01 n mile)活动：教师引导学生根据题意画出平面示意图，这是解决本类题目很重要的一方面．教师可就此点拨学生注意：画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练．我们前面学习时有过这样的经历：有些选择题，甚至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力之所在，提醒学生关注这一点．解：在△ABC 中，∠ABC＝180°－ 75°＋ 32°＝137°，根据余弦定理， AC ＝AB 2＋BC 2－2AB×BC×cos∠ABC ＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15.根据正弦定理， BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC，sin∠CAB＝BCsin∠ABC AC ＝54.0sin137°113.15≈0.325 5，所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.点评：本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用．解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上．变式训练如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为31 n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20 n mile 后到D 处，测得CD 为21 nmile ，问此时轮船离港口A 还有多远？解：由条件知∠CAD＝60°，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△BCD 中，由余弦定理，得 cosβ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD·BD ＝－17.∴sinβ＝1－cos 2β＝437.∴sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝5314.在△ABC 中，由正弦定理，得CD sin∠CAD ＝ADsinα，∴AD＝CD·sinαsin∠CAD ＝15 n mile.答：此时轮船离港口还有15 n mile.例3(教材问题4)活动：为降低难度，本题已经给出了平面示意图，教学时，可先不让学生看这个图形，让学生通过阅读题意自己画出图形，然后对照题目给出的图形，以便找出偏差．或者教师以幻灯片的形式打出题意，稍后再出示示意图，留给学生足够的思考空间．点评：(1)本例右边的边注可作为本例的变式训练．在教材图116中，延长PQ 到Q′，使∠AQQ′＝40.3°，台风沿PQ 方向过点Q′时，则台风终止侵袭A 城．侵袭A 城的时间为台风经过Q 到Q′所用的时间．解△AQQ′，求出Q 与Q′的距离，然后除以台风移动的速度就可得到侵袭A 城的时间．(2)解完此题后教师引导学生总结应用正、余弦定理解斜三角形的解题方法．在解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．知能训练1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m⊥n ，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则∠B＝__________.2．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？答案： 1.π6解析：由题意，得3cosA －sinA ＝0，即tanA ＝ 3. 又∵0＜A ＜π，∴A＝π3.由正弦定理，得sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin 2C ，即sinC ＝sin 2C. ∵sinC≠0，∴sinC＝1. 又∵0＜C ＜π，∴C＝π2.∴B＝π－(π2＋π3)＝π6.2．解：在△ABC 中，BC ＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠A＝15°.由正弦定理，知AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝15(6＋2)，∴A 到BC 所在直线的距离为AC×sin45°＝15(3＋1)≈40.98(海里)． ∵40.98海里＞38海里，∴船继续向南航行，没有触礁的危险．课堂小结先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程，熟悉有关角的概念；回顾在本节实际问题的探究中，是怎样画出方位角的，是如何将实际问题转化为数学问题的，又是怎样灵活地选用正弦定理、余弦定理的．通过本节利用物体受力情况和航海、台风侵袭等实际问题，我们感受到数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分．作业课本本节习题1—2A 组4；习题1—2B 组3.设计感想本教案是根据课程标准，学生的认知特点，内容的安排而设计的，由于本节课的前面已经有了举例探究经验，因此设计的活动主要都是通过学生自己完成；只是教材一开始就呈现出台风侵袭城市的背景图，涉及到方位角，学生对图形难以把握，特别从空间的视角去审视的时候有些困难．因此教师应充分利用多媒体课件演示，让学生从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度问题，引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在，教师不要怕在此浪费时间．本教案的设计意图还在于，通过本节课的展示，让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，数学知识来源于生活而最终服务于生活；数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，而是让学生体会到数学的实用价值．备课资料一、备用习题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系是( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180°2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°3．如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY 上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行．(1)起初，两人的距离是多少？(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候两人的距离最短？4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．(角度精确到1°)5．如图，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最近？6．在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？7．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一般匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°，且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度；(单位：海里/时)(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 参考答案： 1．B2．B 解析：由题意可画出平面示意图，如图，则∠ACB＝80°， ∵AC＝BC ， ∴∠ABC＝50°.因此灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.3．解：(1)∵甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA·OBcos60°＝32＋12－2×3×1×12＝7，∴起初两人的距离是7千米．(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t ，当0≤t≤34时，PQ 2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°＝48t 2－24t ＋7；当t ＞34时，PQ 2＝(4t －3)2＋(1＋4t)2－2(4t －3)(1＋4t)cos120°＝48t 2－24t ＋7，∴PQ＝48t 2－24t ＋7.(3)PQ 2＝48t 2－24t ＋7＝48(t －14)2＋4，∴当t ＝14时，即在第15分钟末，PQ 最短．答：在第15分钟末，两人的距离最短． 4．解：连结BC ，由余弦定理，得。