高一数学函数课件

从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
引例分析
例1：巡航导弹发射后,经 过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845km,且炮 弹距地面的高度h(单位:km)随时间(单位:t)变化的 规律是
叫做自变量.
思考: y=1(x∈R)是函数吗？
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
引例分析
例1：巡航导弹发射后,经 过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845km,且炮 弹距地面的高度h(单位:km)随时间(单位:t)变化的 规律是
(3)
1 1234
2345 1234
(4)
(5)
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
设集合M=｛x| 0≤ x ≤ 2｝，N=｛y| 0≤ y ≤ 2 ｝，下面的4个图 形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是（）
h=130t－5t2
t的取值范围：
数集A={t|0≤t≤26}
h的取值范围：
数集B={h|0≤h≤845}
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
y kx b
yax2 bxc
y 2 1
o 1 2x

总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：

与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。

即时训练 1-1:函数 y=
+
-
-
的定义域为
解析:要使函数解析式有意义,需满足
.(用区间表示)
+
-
≥ ,
≥ , ⇒
≥- ,
≤ , ⇒-2≤x≤3,
-
≠
≠
且 x≠ .所以函数的定义域为[-2, )∪( ,3].
答案:[-2, )∪( ,3]
小试身手
1.函数 f(x)=
A.(-∞,3)
-
的定义域是(
探究点四
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域
[例4] (1)已知函数f(x)=-2x+3的值域为[-5,5],则它的定义域为(
A.[-5,5]
B.[-7,13]
C.[-4,1]
D.[-1,4]
(1)解析:由函数f(x)=-2x+3的值域为[-5,5]可知-5≤3-2x≤5,
解得-1≤x≤4.故选D.
解析:对于A,A中取0,在B中没有0对应,故A错误;
对于B,C,根据函数的定义,B,C正确;
对于D,A不是数集,故D错误.故选BC.
函数y=f(x),x∈A
如果自变量取值a，则由对应法则f确定的值y称为函数
在a处的函数值，记作y=f(a)
例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1
当x=2时y=7可以写成f(2)=7
)
A.A=N,B=N*,对应关系 f:对集合 A 中的元素取绝对值与 B 中元素对应
B.A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应关系 f:x→y=x2,x∈A,y∈B
C.A={-1,1,
,-2},B={1,2,4},对应关系 f:x→y=x 2,x∈A,y∈B

_______．
进阶习题2
函数 y = sin(2x - π/6) 在区间 [0, π] 上的单调递增区间为 _______．
进阶习题3
函数 y = sin(x - π/6) 在区间 [0, π] 上的单调递减区间为 _______．
进阶习题4
函数 y = sin(2x + π/3) 在区间 [0, π/2] 上的单调递减区间为 _______．
高阶习题及解析
01
02
03
04
高阶习题1
函数 y = sin(x + π/3) 在区间 [0, π] 上的对称轴方程为 _______．
高阶习题2
函数 y = sin(2x - π/2) 在区 间 [0, π] 上的对称轴方程为
_______．
高阶习题3
函数 y = sin(x - π/6) 在区间 [0, π] 上的对称中心坐标为
参数A、ω、ψ的意义与作用
A的意义与作用
振幅A决定了正弦函数的最大值 和最小值，即函数的幅度大小。 增大A的值会使函数振幅增大，
反之则减小。
ω的意义与作用
角频率ω决定了正弦函数的周期 ，即函数重复出现的时间间隔。 增大ω的值会缩短周期，使函数 变化加快；减小ω的值则会延长
周期，使函数变化减慢。
ψ的意义与作用
ω的变化影响
改变ω的值会影响函数的周期，周期 的变化会导致函数图像的平移。同时 ，ω的变化也会影响函数在单个周期 内的变化速率。
03
CATALOGUE
函数y=asin(ωx+ψ)的应用实例
物理中的简谐振动与波动
简谐振动
在物理中，简谐振动是一种周期性的 来回运动。函数y=asin(ωx+ψ)可以 用来描述这种振动的位移随时间的变 化。其中，ω表示振动的角频率，ψ 表示初相，a表示振幅。

一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;

【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)

定义域
f:x 2x1
值域
函数解析式：f(x)=2x+1或y=2x+1
-3
-5
-2
-3
-1
-1 f(x)2x1
0
1
1
3
2
5
3
7 对应法则
对应法则施
加的运算对
f ( 3 ) 2 （ 3 ） 象 1 5
对应法 则
运算对象
运算内容：乘以2加一
象，即y的值
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(a )f,(a 1 )
练习：
g(x) 2x3 5x2 3x2,求g(3),
h(x) | 4x|,求h(8),h(a) x2
1 r(x) 3
x5,求r(3),r(6)
x
已知函数
x 2
f
(x)


x
2

2
x
(1)求 f ( 2 ) , f的( 1值);
2
集合B中有唯一元素和A中某个元素对应
开平方
B
A
3
300
-3
2
450
-2 1
600
-1
900
求正弦
A
一对多不是映射
求平方
B
1
1
-1
一对一是映射
A
乘以2
1
2
4
-2
2
3 -3
9
3
多对一是映射
一对一是映射
集合A中任何一个元素都在B中有对应
乘以2加1
A
1
3
5
1B
2 3 4 5 6 7
集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对 应，不能称为映射。

运算求解
能求出简单函数的定义域；能根据函数的表示方法，求出给定自变量所对应的函数值； 能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题。
六、单元教学建议 1.做好初高中衔接 2.使学生经历完整的概念学习过程 3.要重视“事实”的教学价值
4.函数概念的教学要采用“归纳式” 5.函数性质的教学
七、单元学习难点及其突破 1. 判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A,B 必须是非空实数集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的 不是函数关系.
a.数学抽象：函数的概念； b.逻辑推理：函数性质的由来； c.数学运算：求定义域、值域、函数解析式等； d.直观想象：抽象函数解不等式； e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思 想解决实际问题.
三：课时安排
本章数学约需12课时，具体分配如下(仅共参考):
3.1函数的概念及其表示
约4课时
8.函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单 调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. (2)若一个函数在区间[a,b] 上是单调的，则此函数在这一单调区间内 的任意子集上也是单调的.
9. 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值. 2. 函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x) 在区间[a,b] 上是增(减)函数，则f(x) 在区间[a,b] 上的最小(大)值是 f(a), 最大(小)值是f(b).
3.2函数的基本性质
约3课时
3.3幂函数
约1课时
3.4函数的应用(一)

对于数集 A3中的任一时刻t，在数集 B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此，这里I是 t 的函数.
问题4:国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t
这个是函数吗？
思考：有人说“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1小时就前进了350km”.你认为这个说法正确吗？
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式；(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数.(6) 函数关系必定是一对一或多对一，一对多不是函数
……………………
Hale Waihona Puke 函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.
2.x >4,记作:__________；

注 意
（1）要求必须是非空集合A，B； （2）必须是集合A中的任意一个x； （3）必须是在集合B中有唯一确定的数与之相对应; （4） “y= f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，
如“y= g(x)”； （5）函数符号“y= f(x)”中的 f(x)表示与x对应的函数
值，一个数，而不是f乘x．
新课导入
初中时的函数定义：
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对 于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就 说y是x的函数，x叫做自变量．
初中学过的函数： 一次函数 二次函数 反比例函数
y = ax + b(a 0) y = ax2 + bx + c(a 0) y = k (k 0)
x
计算天体的位置，用到了函数
炮弹的速度对于高度和射程的影响 用到了函数
远距离航海中对经度与纬度的测量用到函数
1.2.1 函数的概念
f :A→B
y=f(x), xA
观察实例：
1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标， 炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：
m）随时间t（单位：s）变化的规律是
（1）区间是集合；
（2）区间的左端点小于右端点；
（3）区间中的元素都是点，可以用数字表示；
（4）任何区间都可以在数轴上表示出来；
（5）以“－∞”，“+∞”为区间的一端时，这一 端必须是小括号. 例如（-∞，100]
例1 求下列函数的定义域
(1)f(x) = 1 ; x- | x |
(2)f(x) = x + 2 + 1 . 10 - x
h = 130t - 5t2 .
＊

上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：

+ ( ∈ ) 时取得最大值1，


当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；

①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +




+ ，所以自变量增加 ，函数值




+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.


单调性


−
−



−



同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；