江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三(最后冲刺)数学试卷含解析《附15套高考模拟卷》

2019届江西省奉新一中、南丰一中等六校高三下学期联考数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虛数单位，复数32iz i=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第二象限B ．第四象限C ．直线320x y -=上D ．直线320x y +=上【答案】C【解析】化简：23,1313z i =-+得到231313z i =--，写出复平面中对应的点的坐标，判断即可. 【详解】(32)2323,321313131313i i i z i z i i +===-+=---，在复平面中的点为23(,)1313--在第三象限，且在直线320x y -=上. 故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算，以及复数的几何意义，考查了学生数学运算，数形结合的能力，属于基础题.2．已知集合{}2|180M x x x =-+≥，(){}|lg 3N x N y x =∈=-，则集合M N ⋂的子集个数是（ ） A ．4 B ．7C ．8D ．16【答案】C【解析】化简M ，N 得到[0,18]M =，{}|3N x N x =∈<，求解得到={0,1,2}M N ⋂，进而得解. 【详解】{}2|180[0,18]M x x x =-+≥=Q ,(){}{}|lg 3|3N x N y x x N x =∈=-=∈< ={0,1,2}M N ∴⋂有32=8个子集.故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算以及子集的个数问题，考查了学生概念理解，运算求解能力，属于基础题.3．若实数a 满足2log 41log a a >>，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,4 B ．()2,4C ．()1,2D ．()4,+∞【答案】C【解析】分为两部分：21log a >，log 41a >结合函数的单调性求解a 的范围. 【详解】2221log log 2log 20a a a >∴>∴>>Qlog 411,a a >∴>Q log 4log 14a a a a >⇒<<又20a >>， 所以12a << 故选：C 【点睛】本题考查了对数函数的单调性在求解对数不等式的应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.4．已知抛物线C ：24y x =的焦点为点F ，准线为直线l ，点A 在抛物线C 上，设点A 到y 轴的距离为d ，若3AF d +=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由抛物线的定义可知：=||1d AF -，得到||2AF =，即得解. 【详解】由抛物线的定义可知：=||1d AF -，于是213||2AF AF -=∴=，即点A 到直线l 的距离为2. 故选：B 【点睛】本题考查了抛物线的定义在距离问题中的应用，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.5．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【答案】C【解析】先把4人分为3组，共24C 种不同的情况，把3组全排列共有2343C A 种，再排除甲乙被分在同一地方的情况，即得解. 【详解】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有2343C A 种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有33A 种，所以不同的安排方法种数是：23343336630C A A -=-=. 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题.6．已知随机变量()2,1X N :，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξμσ:，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.7282C ．0.6587D ．0.8641【答案】D【解析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==， 故选：D 【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.7．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．8．已知等比数列{}n a ，24804sin2a a xdx π⋅=⎰，且40a <，则1611sin 6a a a π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．12±B ．3±C ．3-D ．3 【答案】D【解析】由定积分定义求得：24804sin2=4a a xdx π⋅=⎰，结合40a <，得到60a <，因此61112,4a a a =-=，即得解. 【详解】22480014sin2=4[cos 2]|=42a a xdx x ππ⋅=-⎰,40a <Q ，2640=a q a ∴<26481116=2,4a a a a a a -=-∴==161143sin sin()63a a a ππ⎛⎫∴=-=⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了等比数列，定积分，正弦函数等知识点，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.9．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称作陀罗，闽南语称为“干乐”，北方称为“冰尜”或“打老牛”，以前多用木头制成，现在多为塑料或金属制.玩时可用绳子缠绕，用力抽绳，使它起立旋转.现有一陀螺，其三视图如图所示，其中俯视图中的ABC ∆为正三角形，则该陀螺的体积为（ ）A ．9333π B ．3333π+C ．27345π D ．9345π【答案】A【解析】由三视图知该几何体是上部为三棱锥，中部为圆柱体，下部为圆锥体的组合体，由图中数据计算它的体积即可. 【详解】由三视图知该几何体是上部为三棱锥，中部为圆柱体，下部为圆锥体的组合体，由图中数据计算它的体积为：V V V V =++下上中2211'''33ABC S h r h r h ππ∆=++ 2211123sin 6023sin 60sin 6023332323o o o ππ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=332π+故选：A 【点睛】本题考查了三视图及组合体的体积问题，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.10．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）.A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D【解析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.11．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上焦点为F ，上、下顶点分别为A ，B ，过点F 作y 轴的垂线与双曲线交于P ，Q 两点，QF 的中点为N ，连接PB 交x 轴于点M ，若M ，A ，N 三点共线，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3CD．【答案】B【解析】由题意，得到BOM BFP ∆∆:，得到 2||b OM a c=+，又AOM AFN ∆~∆，得到3c a =，即得解. 【详解】因为PF y ⊥轴，所以21||||2bPF PQ a==，由BOM BFP ∆∆:，得22||||||||||OM OB a b b OM PF BF a c a a c=∴=⋅=++ 又M ，A ，N 三点共线，知22||||||||2b AO OM a a c AOM AFN b AF FN c aa+∆~∆∴=∴=- 整理得：33c c a e a=∴== 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的性质的综合问题，考查了学生综合分析，数形结合，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.12．对于函数()y f x =，()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =--，则称()()00,M x f x ，()()00,N x g x --是函数()f x 与()g x 的一对“雷点”.已知()243x x f x =---，()1g x kx =+，若函数()f x 与()g x 恰有一个“雷点”，则实数k 的取值范围为（ ） A ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．411,33⎧⎫⎛⎤---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦UD ．411,33⎧⎫⎡⎤---⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U 【答案】C【解析】转化243y x x =---，为22(2)1(0)x y y ++=≥，表示圆心为(2,0),-半径为1的圆（x 轴上方），作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，()g x 的图象为过定点P (0,1)的直线，原问题转化为直线与半圆的交点个数问题. 【详解】令243y x x =---，整理得22(2)1(0)x y y ++=≥，它表示圆心为(2,0),-半径为1的圆（x 轴上方），作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示.由()1g x kx =+知，()g x 的图象为过定点P (0,1)的直线l ， 因为函数()f x 与()g x 恰有一个“雷点”,()1g x kx =+与右侧下半圆有一个交点，利用圆心到直线的距离等于半径可求得直线l 与y 轴右侧半圆相切时的斜率43k =-， 直线P A ,PB 的斜率分别为11,3--，故实数k 的取值范围为：411,33⎧⎫⎛⎤---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦U .故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．已知()2,2a =-r ，1b =r ，a r ，b r的夹角为135︒，且0a b c ++=r r r r ，则c =r ______.【解析】先求得||a =r ，利用0a b c ++=r r r r ，转化||||c a b =--=r r r 代入即得解. 【详解】由题意可得：||a ==r0||||a b c c a b ++=∴=--=r r r r r r r Q==【点睛】本题考查了向量的数量积和向量的模长公式综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.14．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为-160，则a =______.【答案】2-【解析】写出通项12316rrrr T C a x -+=，令12333r r -=∴=，结合系数为-160，求解a 即可. 【详解】26123166()()r r r r r r r aT C x C a x x--+==Q令12333r r -=∴=3361602C a a ∴=-∴=-故答案为:-2 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.15．已知x，y满足约束条件104020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22y xzxy-=的取值范围为______.【答案】16[,0]15-【解析】转化：22=,y x y xzxy x y-=-令1,yk z kx k==-，作出不等式组表示的平面区域，研究区域中得点(,)x y与坐标原点(0,0)连线的斜率得取值范围即可.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：yx表示点(,)x y与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图得，当直线经过点53(,)22A时，yx取得最小值为35；当直线经过点(2,2)B时，yx取得最大值为1.22=,y x y xzxy x y-=-令13,(1)5yk z k kx k==-≤≤又因为21'10zk=+>因此函数13(1)5z k kk=-≤≤单调递增，因此：当1k=时，max0z=；当35k=时，min1615z=-故答案为：16[,0]15-【点睛】本题考查了非线型规划问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.16．已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD是矩形，其中2AD=，4AB=，面PAD⊥面ABCD ，PA PD =，且直线PB 与CD 所成角的余弦值为25，则四棱锥P ABCD -的外接球表面积为______.【答案】643π【解析】由平面PAD ⊥面ABCD ，可得AB PA ⊥，故角PBA 即为直线PB 与CD 所成的角，可求得PAD ∆为等边三角形，设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R ，分析可得，2222=AE OE PG OG ++，222163R AE OE ∴=+=，即得解. 【详解】由平面PAD ⊥面ABCD ，得AB ⊥平面PAD ，所以AB PA ⊥， 故角PBA 即为直线PB 与CD 所成的角， 故25cos 25,2BA PBA PB PA BP ∠====， 又2AD =，PA PD =，故PAD ∆为等边三角形. 四棱锥P ABCD -的高sin 603o PF PA == 设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .如图，过点O 作OG PF ⊥于点G ，作OE AC ⊥于点E ，连接AO 则2222=AE OE PG OG ++，即22223(5)=(3)23OE OE OE ++∴=222163R AE OE ∴=+=故外接球的表面积为：26443R ππ= 故答案为：643π【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了面面垂直，异面直线所成角，四棱锥的外接球等知识点，考查了学生综合分析，空间想象，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，2AD =，21sin CAD ∠=，23D π∠=，且A ，B ，C ，D 四点共圆.（1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）7AC =（2）93S =【解析】（1）结合已知条件，求得sin sin()3ACD CAD π∠=-∠，再利用正弦定理sin sin ADAC D ACD=∠即得解；（2）由,,,A B C D 四点共圆，得3B π∠=，利用余弦定理：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅得到7AB BC ⋅≤，求得：173sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅≤，max ()ABC ACD S SS ∆∆=+，即得解.【详解】 （1）221sin 314D CAD π∠=∠=Q ， 32112121sin sin()131962147ACD CAD π∴∠=-∠=-⨯=在ACD ∆中，由正弦定理得：sin 7sin ADAC D ACD==∠（2）因为,,,A B C D 四点共圆，得3B D B ππ∠+∠=∴∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 2AC AB BC AB BC B AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC=+-⋅=+-⋅≥⋅-⋅=⋅即：7AB BC ⋅≤，当且仅当：=AB BC 时等号成立. 所以173sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅≤所以四边形ABCD 面积的最大值：max 7312193()272ABC ACD S S S ∆∆=+=+⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了正弦定理，余弦定理，面积公式等知识点，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于中档题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，222AD AP PD BC AB =====，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ；（2）点F 在线段CD 上，且平面PAD 与平面PBF 25，求CFFD的值. 【答案】（1）证明见详解； （2）3=2CF FD 【解析】（1）由题设的长度关系和条件，证得AE EC ⊥，因此AE ⊥平面PCE ，又//BC AD BC ∴⊥平面PCE ，又BC ⊂平面PBC ，故得证；（2）建立空间直角坐标系，设(,,0)F t t ，根据平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角25，求出t ，即得解.【详解】（1）PAD ∆Q 为等边三角形，AE =ED ，PE AD ⊥∴ 又因为底面ABCD 为直角梯形，//,,2AD BC BAD E π∠=为AD 的中点，22AD BC AB ==，因此四边形ABCE 为正方形.AE EC ∴⊥，又PE EC E AE =∴⊥I 平面PCE又//BC AD BC ∴⊥平面PCE .BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCE ；（2）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3)(,,0)E A B C D P F t t --，(0,1,3),(0,1,3),(1,1,3),(,,3)PD PA PB PF t t =-=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r设平面PBF 的法向量为(,,)n x y z =r，则：30,30n PB x y z n PF tx ty z ⋅=--=⋅=+=r u u u r r u u u r，令2z t = 则：33,33x t y t ==，(3+333,2)n t t t ∴=r又平面PAD 的法向量为：(1,0,0)m =u r2223325|cos ,||(33)(33)4tm n t t t +∴<>==++-+u r r33=52CF t FD ∴=∴【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.19．由郭帆执导吴京主演的电影《流浪地球》于2019年2月5日起在中国内地上映，影片引发了观影热潮，预计《流浪地球》票房收入47亿人民币，超过《红海行动》成为中国影史票房亚军，仅次于《战狼2》.某电影院为了解该影院观看《流浪地球》的观众的年龄构成情况，随机抽取了40名观众，将他们的年龄分成7段：[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试求这40名观众年龄的平均数、中位数、众数；（2）（i ）若从样本中年龄在50岁以上的观众中任取3名赠送VIP 贵宾观影卡，求这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率；（ii ）该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数，将《流浪地球》电影票票价提高20元，并允许购买电影票的观众抽奖3次，中奖1次、2次、3次分别奖现金x 元、10x +元，3x 元.设观众每次中奖的概率均为15，若要使抽奖方案对电影院有利，则x 最高可定为多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1)37,35,35 (2)(i)914,(ii)37 【解析】（1）根据频率分布直方图的数据，以及平均数、中位数、众数的计算公式即得解；（2）(i )根据频率分布直方图得到样本中50岁以上的观众人数，以及不低于70岁的观众人数，利用超几何概型即得解；（ii ）由题意知ξ服从二项分布，利用二项分布的概率公式即得解. 【详解】 平均数150.15250.2350.3450.15550.1650.05750.0537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前三组的频率之和为：0.15+0.20+0.30=0.65,故中位数落在第3组，设中位数为x ，则(30)0.030.20.150.535x x -⨯++=∴= 即中位数为35，第三组的频率最大，故众数为35.（2）(i )由频率分布直方图年龄在50岁以上的观众共有400.28⨯=名，年龄不低于70岁的观众有2名，记事件A 为“这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率”，则：36389()=114C P A C -=.(ii )设观众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能取得值为：0,,10,3x x x +（单位：元）, =0ξ表示顾客三次抽奖都没有获奖.所以：0331164(=0)=C ()(1)55125P ξ-=， 11231148()()(1)55125P x C ξ==-=22131112(10)()(1)55125P x C ξ=+=-=33311(3)()5125P x C ξ===观众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：644812163120()0(10)3125125125125125x E x x x ξ+=⨯+⨯++⨯+⨯=令63120720371259x x +≤∴≤所以x 最高定价为37元时，才能使得抽奖方案对电影院有利. 【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生数学应用，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20．已知直线l过点(和椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦点且方向向量为(v =r ，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线2a x c=-上.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()2,0E 的直线m 交椭圆C 于点M 、N，且满足0OM ON ⋅=≠u u u u r u u u r （O 为原点）？若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22162x y +=;(2) 2y x y x x =-=+= 【解析】（1）根据椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线2a x c =-上得到： 23a c=，焦点坐标为(2,0)-，联立即得解；（2）转化OM ON ⋅=u u u u r u u u r为：||||sin OM ON MON ⋅∠=u u u u r u u u u r||3MN d ⋅=，设直线m ，与椭圆联立，表示||,MN d ，即可求解得到直线m 的方程. 【详解】（1）直线:l y =+l的直线方程为：y = 联立解得：32x =-因为椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线2a x c=-上，23232a c ∴=⨯= 又直线l 过椭圆的焦点，因此焦点坐标为(2,0)-，222,6,2c a b ∴===因此椭圆的方程为：22162x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线不垂直于x 轴时，直线m 的方程为：(2)y k x =-，直线与椭圆22162x y +=联立整理得： 2222(31)121260k x k x k +-+-=2212122212126,3131k k x x x x k k -∴+==++||O MN MN d -∴===||||cos OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=u u u u r u u u ru u u u r u u u u r Q||||sin OM ON MON ∴⋅∠=u u u u r u u u u r111||||||sin 22233OMNS MN d OM ON MON ∆∴=⋅=∠=⨯=u u u u r u u u r2|||1)333MN d k k k ∴⋅==+∴=±当直线m 垂直于x轴时，也满足OMN S ∆=故m得方程为：2y x y x === 【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.21．设函数()()ln f x x x a =-. （1）当1a =，求()f x 的极值；（2）对函数()'y f x =图像上任意两个点()11,A x y ，()22,B x y ，()120x x <<，设直线AB 的斜率为k （其中()'f x 为函数()f x 的导函数），证明：()122x x k +>. 【答案】（1）()y f x =在1x =处取得极小值(1)0f =. （2）证明见解析.【解析】（1）()'ln 1ln f x x a x =+-=，分析导函数零点，单调性即得解；（2）转化()122x x k +>为()121212ln ln 2x x x x x x -+>-，即1121221ln 21x x x x x x -<+，令122(1),(01)ln 01x t t t t x t -=∈∴->+，，研究函数2(1)()ln ,(0,1),1t F t t t t -=-∈+的单调性，即得证. 【详解】（1）()'ln 1ln f x x a x =+-= 令()'01f x x =∴=令()'01()f x x f x >∴>∴在(1,)+∞单调递增；令()'01>0()f x x f x >∴>∴在(01)，单调递减； ()y f x ∴=在1x =处取得极小值(1)0f =.（2）()'ln 1f x x a =+-Q 1212ln ln x x k x x -∴=-要证：()122x x k +>，只需证：()121212ln ln 2x x xx x x -+>-，1121212121122210ln ln 2ln 21x x x x x x x x x x x x x x ---<∴-<∴<++Q令122(1),(01)ln 01x t t t t x t -=∈∴->+， 设222(1)(1)()ln ,(0,1),'()01(1)t t F t t t F t t t t --=-∈=-<++ 因此：()F t 在(0,1)单调递减，故2(1)()(1)0ln 01t F t F t t ->=∴->+ 从而：()122x x k +> 【点睛】本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于难题.22．已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 44πρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）写出直线l 的极坐标方程并判断曲线C 的形状； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求211OA OB ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）=3πθ，以C （2，2）为圆心，2为半径的圆；（2【解析】（1）直线得参数方程消参，得到普通方程，利用极坐标和直角坐标得互化公式，得到曲线C 得直角坐标方程，继而判断曲线C 的形状；（2）将直线l 与曲线C 的直角坐标方程联立，得到韦达定理，继而求211OA OB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的值. 【详解】设直线l的参数方程为：122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）:l y ∴=，极坐标方程为sin cos ρθθ=因此l 的极坐标方程为：=3πθ因为曲线C的极坐标方程为2sin 4=4sin 4cos 44πρθρθρθ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭， 所以曲线C 的直角坐标方程为224440x y x y +--+=， 即：22(2(2)4x y -+-=）因此曲线C 是以C （2，2）为圆心，2为半径的圆.（2）联立224440x y x y +--+=，y =，得21)10,0x x -+=∆>设12121,1x x x x +=2222121212||||1111=2||2||2||x x OA OB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∴-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21212()442x x x x +-==第 21 页 共 21 页 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程综合问题，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()2f x x a x =+++，()a R ∈.（1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≥-的解集为A ，且[]6,4A ⊇--，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7{|2x x ≤-或5}2x ≥ （2）2a ≤-或12a ≥【解析】（1）由条件用绝对值的意义，求得不等式的解集；（2）原命题等价于()4f x x ≥-在[]6,4x ∈--恒成立，去掉绝对值化简即得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，不等式()6f x ≥即：126x x -++≥ 而12x x -++表示数轴上的点x 对应点到1，-2两个点的距离之和， 而57,22-对应的点到1，-2两个点的距离之和正好等于6， 故126x x -++≥的解集为：7{|2x x ≤-或5}2x ≥ （2）原命题等价于()4f x x ≥-在[]6,4x ∈--恒成立，即[]246,4x a x x x +++≥-∈--，恒成立， 即：246x a x x x a +--≥-∴+≥6x a ∴≥-或6x a ≤--2∴≤-a 或12a ≥【点睛】本题考查了绝对值不等式的解集及性质，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.。

奉新一中2019届高三上学期笫一次月考数学（文）试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1、已知复数iiz ++=21（其中i 为虚数单位），则复数z 在坐标平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 若α是第三象限角，且1tan 3α=，则cos α=（ ）Ａ.3-Ｂ.10Ｃ.10-3. 函数3()log (21)xf x =+的值域为（ ）A. (0,)+∞B. [)0,+∞C. (1,)+∞D. 1,+∞4..命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤55．已知ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，且()0,2,a x x b A =>==60°，若三）2x << D 2x <≤243m -+是幂函数； 2a ≥. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 7.若33)24cos(,31)4cos(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα，则=+)2c o s (βα ( ) A．33B ．33-C ．935 D 96- 8．定义在R 上的函数g(x)＝e x＋e －x＋|x|，则满足g(2x －1)<g(3)的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2，2)C ．(－1，2)D ．(2，＋∞) 9.如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则14x y+的最小值为( )A. B. 93 C. 9226+10．已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,2)(2x ax x x x x f ，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 0<a B. 0≤aC. 3<aD. 30<<a11．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，若sin A 、sin B 、sin C 依次成等比数列，,32ππ⎫⎪⎭ D ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭数，且()()[]222,0，当+=-∈-f x f x x )()[]222,0，当+=-∈-f x f x x 时，内关于x 的方程)0(0)2(log )(>=+-a x x f a 有4） A 4⎝⎭C ．()1,8D ．()8+∞二．填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如右图所示， 则(2)f = 。

奉新一中2019届高三上学期第二次月考数学（文）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知{}{}21230A x|x ,B x|x x =>=--<，则A B ⋃=（ ） A ．{}11x|x x <-≥或 B ．{}13x|x << C ．{}3x|x >D ．{}1x|x >-2.设复数Z 满足i i i Z -=+⋅2)1(-）（，则=⋅Z Z （ ） A.1 B.21C.22D.23．若011<<ba ，则下列结论不正确的是（ ） A ．22b a < B ．2b ab < C ．0<+b a D ．b a b a +>+4．已知数列}{n a 为等差数列，若21062π=++a a a ，则)tan(93a a +的值为（ ） A. 0 B ．33C ．1D ．35．已知平面向量=+=-=b a m b a 23),,2(),2,1(则（ ） A ．（﹣1，2） B ．（1，2） C ．（1，﹣2）D ．（﹣1，﹣2）6.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2，则m 的值为（ ）A.4B.5C.8D.97．函数()()33101y log x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny +-=上，其中00m ,n >>，则mn 的最大值为（ ）A ．12B ．14 C. 18 D ．1168．若函数()()3200log x x f x g x ,x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩，为奇函数，则()()3f g -=（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．09.数列1}{1=a a n 满足且对任意的n a a a N n n n ++=∈++11都有，则｝｛na 1的前100项和为 A.101100 B.10099 C.100101 D.10120010.给出下列命题：①已知：的充分条件是且"1""11",,>>>∈ab b a R b a ，②已知平面向量,，：1>1>1>”的必要不充分条件， ③已知的充分不必要条件是"1""1",,22≥+≥+∈b a b a R b a ， ④命题1ln 1,:00000-≤+≥∈∃x x x eR x p x 且使的否定为,:R x p ∈∀⌝都有1ln 1->+<x x x e x 且其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.311．已知,函数满足:恒成立,其中是的导函数,则下列不等式中成立的是（ ）A.B.C..)3()4(2.ππf f D <12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，xe x xf )1()(+=则对任意的R m ∈，函数m x f f x F -=))(()(的零点个数至多有（ ）A.3个B.4个C.6个D.9个 二、填空题（每小题5分，共20分）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 ；14.已知=-=∈)4cos(,2tan 20πααπα则），，（ ；15.设向量21,e e12==，21,e e 的夹角是︒60，若212172e t e e e t ++与的夹角为钝角，则t 的取值范围为 ；16.已知函数）（其中R a ax x x g x f x∈+==2)(,2)(。

奉新县第一中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题 2018.10.一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =（ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2、 若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -3、已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且(a ＋b)2－c 2＝4，C ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．33 B ．233C ． 3D ．2 3 4、给出下列结论：①命题“1sin ,≠∈∀x R x ”的否定是“1sin ,=∈∃x R x ”； ②命题“6πα=”是“21sin =α”的充分不必要条件； ③数列{}n a 满足“n n a a 31=+”是“数列{}n a 为等比数列”的充分必要条件.其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③5、已知数列{a n }，{b n }满足b n =log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 5•a 16=，则b 1+b 2+b 3+…+b 20=（ ）A ． ﹣10B ． log 210C ． ﹣5D ． log 256、已知数列{a n }中满足a 1=15，a n+1=a n +2n ，则的最小值为（ ）A ． 9B ． 7C ．D ． 2﹣17、已知函数f(x+1)是偶函数，当),1(+∞∈x 时，函数f(x)=sinx-x ，设)21(-=f a ，)3(f b =，)0(f c =，则a 、b 、c 的大小关系为( )A.b<a<cB.c<a<bC. b<c<aD.a<b<c8、已知函数22cos sin sin 21cos 21)(22+--=x x x x x f ，则（ ） （A ）)(x f 在83π=x 时取得最小值2，其图像关于点)0,83(π对称（B ）)(x f 在83π=x 时取得最小值0，其图像关于点)0,85(π对称（C ）)(x f 在)87,83(ππ单调递减，其图像关于直线8π-=x 对称（D ）)(x f 在)87,83(ππ单调递增，其图像关于直线8π-=x 对称9、已知向量)1,4(x -=，)5,(+=x y ，),0(,+∞∈y x ，且⊥，则xy 取得最小值时，y =（ ）A.3B. 1C.2D. 2510、已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )． A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点11、平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a|2|b|2a ·b 2B.|a|2|b |2a ·b 2C.12|a|2|b|2a ·b2D.12|a|2|b |2a ·b212、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，21()1()(1)10x x f x ef x x +⎧≤-⎪=⎨⎪--<≤⎩，若f (x )≥x +a “对于任意x ∈R 恒成立，则常数a 的取值范围是（ ）A.1(,2)e -∞- B.(,2]-∞- C.1(,1]e-∞- D.(,1]-∞- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________.14、a ，b ，c 分别是△ABC 内角A 、B 、C 的对边，若c ＝23b ，sin 2A －sin 2B ＝3sin B sin C ，则A ＝________.15、已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将数列中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋b 2c 2的值为_______．16、已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

) 1.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0} ( )A. {1,1}B. {1}C. {x ＝1}D. {x 2－2x ＋1＝0} 【答案】B 【解析】试题分析：集合{x|x 2－2x ＋1＝0}实质是方程x 2－2x ＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B. 考点：集合的表示方法点评：列举法是把集合中的所有元素一一写出的方法。

2.若集合{}{}1,0,1,2,|(1)0M N x x x =-=-=，则M N ⋂=（ ） A. {}1,0,1,2- B. {}0,1,2C. {}1,0,1-D. {}0,1【答案】D 【解析】试题分析：因为{}{|(1)0}0,1N x x x =-==，所以{}0,1M N ⋂=；故选D ． 考点：1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算．3.集合{|12},{|13}A x x B x x =-<<=<<，那么A B ⋂=（ ） A. ∅B. {|11}x x -<<C. {|12}x x <<D.{|23}x x <<【答案】C 【解析】{|12}{|13}{|12}A B x x x x x x ⋂=-<<⋂<<=<<选C4.已知全集U R ＝，集合12345{}{|}2A B x x ∈≥R ＝，，，，，＝，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0}1，B. {}1C. {12}，D. {012}，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦恩图知阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的公共元素所剩下的元素，由此可得选项.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集的元素所剩下的元素。

江西省宜春市2019-2020学年中考数学最后模拟卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．计算：()()223311a a a ---的结果是( ) A ．()21a x - B ．31a -． C ．11a - D ．31a + 2．一、单选题如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 分别是∠BAC 、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°3．设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y 的最小值是（ ）A ．2k-2B ．k-1C ．kD ．k+14．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A ．5sin αB ．5sin αC ．5cosαD ．5cos α5．如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋楼顶部B 的仰角为30°，看这栋楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC 为（ ）A ．160米B ．（3C ．3米D ．360米6．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE=6cmB ．4sin EBC 5∠= C ．当0＜t≤10时，22y t 5=D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形7．如图，在正方形OABC 中，点A 的坐标是（﹣3，1），点B 的纵坐标是4，则B ，C 两点的坐标分别是（ ）A ．（﹣2，4），（1，3）B ．（﹣2，4），（2，3）C ．（﹣3，4），（1，4）D ．（﹣3，4），（1，3）8．某校八（2）班6名女同学的体重（单位：kg ）分别为35，36，38，40，42，42，则这组数据的中位数是（ ）A ．38B ．39C ．40D ．429．下列计算正确的是（ ）A ．（﹣8）﹣8=0B ．3+=3C ．（﹣3b ）2=9b 2D ．a 6÷a 2=a 310．如图，在射线OA ，OB 上分别截取OA 1=OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1，B 1B 上分别截取B 1A 2=B 1B 2，连接A 2B 2，…按此规律作下去，若∠A 1B 1O=α，则∠A 10B 10O=（ ）A ．102αB ．92αC ．20αD ．18α 11．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥，CDB 30∠=o ，CD 23= ）A．2πB．πC．π3D．2π312．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（）A．120元B．125元C．135元D．140元二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知关于x，y的二元一次方程组2321x y kx y+=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则k的值是_________．14．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_____ °．15．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是______．16．用换元法解方程2231512x xx x-+=-，设y=21xx-，那么原方程化为关于y的整式方程是_____．17．函数y=2+1-1xx中自变量x的取值范围是___________．18．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）阅读材料：对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．即如图①，若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上请根据阅读材料，解决下列问题：如图②，直线CD 是等边△ABC 的对称轴，点D 在AB 上，点E 是线段CD 上的一动点（点E 不与点C 、D 重合），连结AE 、BE ，△ABE 经顺时针旋转后与△BCF 重合．（I ）旋转中心是点 ，旋转了 （度）；（II ）当点E 从点D 向点C 移动时，连结AF ，设AF 与CD 交于点P ，在图②中将图形补全，并探究∠APC 的大小是否保持不变？若不变，请求出∠APC 的度数；若改变，请说出变化情况．20．（6分）如图，AC 是O e 的直径，点B 是O e 内一点，且BA BC =，连结BO 并延长线交O e 于点D ，过点C 作O e 的切线CE ，且BC 平分DBE ∠．()1求证：BE CE =；()2若O e 的直径长8，4sin BCE 5∠=，求BE 的长．21．（6分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数．（2）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出2人担任组长（不分正副），求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）22．（8分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m 名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：m=；请补全上面的条形统计图；在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为；已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动．23．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣32），顶点为P．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．24．（10分）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？25．（10分）顶点为D的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B(3，0)，交y轴于点C，直线y＝﹣x+m 经过点C，交x轴于E(4，0)．求出抛物线的解析式；如图1，点M为线段BD上不与B、D重合的一个动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，设点M的横坐标为x，四边形OCMN的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；点P为x轴的正半轴上一个动点，过P作x轴的垂线，交直线y＝﹣34x+m于G，交抛物线于H，连接CH，将△CGH沿CH翻折，若点G的对应点F恰好落在y轴上时，请直接写出点P的坐标．26．（12分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是»BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．27．（12分）为营造“安全出行”的良好交通氛围,实时监控道路交迸,某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示,立杆MA与地面AB垂直,斜拉杆CD与AM交于点C,横杆DE∥AB,摄像头EF⊥DE于点E,AC=55米,CD=3米,EF=0.4米,∠CDE=162°．求∠MCD的度数；求摄像头下端点F到地面AB的距离．(精确到百分位)参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=()23-31a a -=()23-11a a -（） =31a - 故选；B【点睛】本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．2．A【解析】分析：依据AD 是BC 边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE 平分∠BAC ，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°． 详解：∵AD 是BC 边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A ．点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．3．A【解析】【分析】先根据0＜k＜1判断出k-1的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤1即可得出结论．【详解】∵0＜k＜1，∴k-1＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤1，∴当x=1时，y最小=1（k-1）+1=1k-1．故选A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．4．D【解析】【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．【详解】∵BC=5米，∠CBA=∠α，∴AB=BCcosα=5cosα．故选D．【点睛】本题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．5．C【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于点D.根据三角函数关系求出BD、CD的长，进而可求出BC的长.【详解】如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D.在Rt △ABD 中，∠BAD ＝30°，AD ＝120m ，BD ＝AD∙tan30°＝120×33＝403m ； 在Rt △ADC 中，∠DAC ＝60°，CD ＝AD∙tan60°＝120×3＝1203m.∴BC ＝BD ＋DC ＝40312031603＋＝m.故选C.【点睛】本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值. 6．D【解析】（1）结论A 正确，理由如下：解析函数图象可知，BC=10cm ，ED=4cm ，故AE=AD ﹣ED=BC ﹣ED=10﹣4=6cm ．（2）结论B 正确，理由如下：如图，连接EC ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由函数图象可知，BC=BE=10cm ，BEC 11S 40BC EF 10EF 5EF 22∆==⋅⋅=⋅⋅=， ∴EF=1．∴EF 84sin EBC BE 105∠===． （3）结论C 正确，理由如下：如图，过点P 作PG ⊥BQ 于点G ，∵BQ=BP=t ，∴2BPQ 11142y S BQ PG BQ BP sin EBC t t t 22255∆==⋅⋅=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=． （4）结论D 错误，理由如下：当t=12s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图，连接NB ，NC ．此时AN=1，ND=2，由勾股定理求得：NB=2NC=217∵BC=10，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．故选D ．7．A【解析】【分析】作CD ⊥x 轴于D ，作AE ⊥x 轴于E ，作BF ⊥AE 于F ，由AAS 证明△AOE ≌△OCD ，得出AE=OD ，OE=CD ，由点A 的坐标是（﹣3，1），得出OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，得出C （1，3），同理：△AOE ≌△BAF ，得出AE=BF=1，OE ﹣BF=3﹣1=2，得出B （﹣2，4）即可．【详解】解：如图所示：作CD ⊥x 轴于D ，作AE ⊥x 轴于E ，作BF ⊥AE 于F ，则∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°，∴∠OAE+∠AOE=90°．∵四边形OABC 是正方形，∴OA=CO=BA ，∠AOC=90°，∴∠AOE+∠COD=90°，∴∠OAE=∠COD ．在△AOE 和△OCD 中，∵AEO ODC OAE CODOA CO ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OCD （AAS ），∴AE=OD ，OE=CD ．∵点A 的坐标是（﹣3，1），∴OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，∴C （1，3）．同理：△AOE ≌△BAF ，∴AE=BF=1，OE ﹣BF=3﹣1=2，∴B （﹣2，4）．故选A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．8．B【解析】【分析】根据中位数的定义求解，把数据按大小排列，第3、4个数的平均数为中位数．【详解】解：由于共有6个数据，所以中位数为第3、4个数的平均数，即中位数为38402=39， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了中位数．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若这组数据的个数是奇数，则最中间的那个数叫做这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．9．C【解析】选项A ，原式=-16；选项B ，不能够合并；选项C ，原式=；选项D ，原式=.故选C. 10．B【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 2B 2O ，依此类推即可得到结论．【详解】∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α， ∴∠A 2B 2O ＝12α， 同理∠A 3B 3O ＝12×12α＝212α， ∠A 4B 4O ＝312α，∴∠A n B n O ＝n 112-α， ∴∠A 10B 10O ＝9a 2， 故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．11．D【解析】分析：连接OD ，则根据垂径定理可得出CE=DE ，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可．详解：连接OD,∵CD ⊥AB ，∴13,2CE DE CD === (垂径定理)， 故OCE ODE S S V V ，= 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵30CDB ∠=︒，∴60COB ∠=o (圆周角定理)，∴OC=2，故S 扇形OBD=260π22π3603⨯=， 即阴影部分的面积为2π3. 故选D.点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.12．B【解析】试题分析：通过理解题意可知本题的等量关系，即每件作服装仍可获利=按成本价提高40%后标价，又以8折卖出，根据这两个等量关系，可列出方程，再求解．解：设这种服装每件的成本是x元，根据题意列方程得：x+15=（x+40%x）×80% 解这个方程得：x=125则这种服装每件的成本是125元．故选B．考点：一元一次方程的应用．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．－1【解析】【详解】∵关于x，y的二元一次方程组23{+2=1①②+=-x y kx y的解互为相反数，∴x=-y③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k，即k=-1.故答案为-114．1【解析】【分析】根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE=CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE=∠A=30°，再根据∠ACB=80°即可解答．【详解】∵DE垂直平分AC，∠A=30°，∴AE=CE，∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，∴∠BCE=80°-30°=1°．故答案为：1．15．两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等【解析】【分析】根据尺规作图的方法,两点之间确定一条直线的原理即可解题.【详解】解：∵两点之间确定一条直线,CD 和AB 都是圆的半径,∴AB=CD,依据是两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等.【点睛】本题考查了尺规作图：一条线段等于已知线段,属于简单题,熟悉尺规作图方法是解题关键.16．6y 2-5y+2=0【解析】【分析】根据y ＝21x x -，将方程变形即可． 【详解】根据题意得：3y ＋152y =， 得到6y 2－5y ＋2＝0故答案为6y 2－5y ＋2＝0【点睛】此题考查了换元法解分式方程，利用了整体的思想，将方程进行适当的变形是解本题的关键． 17．x≥﹣12且x≠1 【解析】【详解】 试题解析：根据题意得：2+10{-10x x ≥≠ 解得：x≥﹣12且x≠1. 故答案为：x≥﹣12且x≠1. 18．1．【解析】【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD 的长度即可．【详解】∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE=5，∴DE=12AC=5， ∴AC=2．在直角△ACD 中，∠ADC=90°，AD=6，AC=2，则根据勾股定理，得22221068CD AC AD =-=-=．故答案是：1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．B 60【解析】分析：(1)根据旋转的性质可得出结论;(2)根据旋转的性质可得BF=CF ，则点F 在线段BC 的垂直平分线上，又由AC=AB ，可得点A 在线段BC 的垂直平分线上，由AF 垂直平分BC,即∠CQP=90，进而得出∠APC 的度数.详解：(1)B,60；（2）补全图形如图所示；APC ∠的大小保持不变,理由如下：设AF 与BC 交于点Q∵直线CD 是等边ABC ∆的对称轴∴AE BE =,1302DCB ACD ACB ∠=∠=∠=︒ ∵ABE ∆经顺时针旋转后与BCF ∆重合∴ BE BF =,AE CF =∴BF CF =∴点F 在线段BC 的垂直平分线上∵AC AB =∴点A 在线段BC 的垂直平分线上∴AF 垂直平分BC ,即90CQP ∠=︒∴120CPA PCB CQP ∠=∠+∠=︒点睛：本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟记旋转的性质及垂直平分线的性质，注意只证明一点是不能说明这条直线是垂直平分线的.20．（1）证明见解析；（2）25BE 6=． 【解析】【分析】()1先利用等腰三角形的性质得到BD AC ⊥，利用切线的性质得CE AC ⊥，则CE ∥BD ，然后证明13∠=∠得到BE=CE ；()2作EF BC ⊥于F ，如图，在Rt △OBC 中利用正弦定义得到BC=5，所以1522BF BC ==，然后在Rt △BEF 中通过解直角三角形可求出BE 的长．【详解】()1证明：BA BC =Q ，AO CO =，BD AC ∴⊥，CE Q 是O e 的切线，CE AC ∴⊥，CE //BD ∴，12∠∠∴=． BC Q 平分DBE ∠，23∠∠∴=，13∠∠∴=，BE CE ∴=；()2解：作EF BC ⊥于F ，如图，O Q e 的直径长8，CO 4∴=．4OC sin 3sin 25BC∠∠∴===， BC 5∴=，BE CE Q =，15BF BC 22∴==， 在Rt BEF V 中，EF 4sin 3sin 1BE 5∠∠=== 设EF 4x =，则BE 5x =，BF 3x ∴=，即53x 2=，解得5x 6=， 25BE 5x 6∴==．故答案为（1）证明见解析；（2）256BE ．【点睛】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.也考查了解直角三角形．21．（1）补全条形统计图见解析；“骑车”部分所对应的圆心角的度数为108°；（2）2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为12．【解析】【分析】（1）从两图中可以看出乘车的有25人，占了50%，即可得共有学生50人；总人数减乘车的和骑车的人数就是步行的人数，根据数据补全直方图即可；要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比，然后再求度数；（2）列出从这4人中选两人的所有等可能结果数，2人都是“喜欢乘车”的学生的情况有3种，然后根据概率公式即可求得．【详解】（1）被调查的总人数为25÷50%＝50人；则步行的人数为50﹣25﹣15＝10人；如图所示条形图，“骑车”部分所对应的圆心角的度数＝1550×360°＝108°；（2）设3名“喜欢乘车”的学生表示为A、B、C，1名“喜欢骑车”的学生表示为D，则有AB、AC、AD、BC、BD、CD这6种等可能的情况，其中2人都是“喜欢乘车”的学生有3种结果，所以2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为12．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（1）150，（2）36°，（3）1．【解析】【分析】（1）根据图中信息列式计算即可；（2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；（4）根据题意计算即可．【详解】（1）m=21÷14%=150，（2）“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图如图所示；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×15150=36°；（4）1200×20%=1人，答：估计该校约有1名学生最喜爱足球活动．故答案为150，36°，1．【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．23．（1）y=12x2+x﹣32（2）存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣2，2）（3）点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 1 【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，32）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（﹣3，0），（1，0），（0，32）代入抛物线解析式得09a-3b+c0a+b+c32c⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得：a=12，b=1，c=﹣32∴抛物线解析式：y=12x2+x﹣32（2）存在．∵y=12x2+x﹣32=12（x+1）2﹣2∴P点坐标为（﹣1，﹣2）∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），∴12a2+a﹣32=2解得a1=﹣1﹣22，a2=﹣1+22∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣22，2）或（﹣1+22，2）（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF，AB=PF=4∵点P坐标（﹣1，﹣2）∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）∴平行四边形的面积=4×2=1若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）∴3112200222xy-+-+⎧=⎪⎪⎨+-+⎪=⎪⎩，∴x=﹣1，y=2∴点F（﹣1，2）∴平行四边形的面积=12×4×4=1综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为1．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.24．（1）35元/盒；（2）20%．【解析】【详解】试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得：3500240011x x=-，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：年增长率为20%．考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题．25．(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)S＝﹣(x﹣94)2+8116；当x＝94时，S有最大值，最大值为8116；(3)存在，点P的坐标为(4，0)或(32，0).【解析】【分析】（1）将点E代入直线解析式中，可求出点C的坐标，将点C、B代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式．（2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点D的坐标，设直线BD的解析式，代入点B、D，可求出直线BD的解析式，则MN可表示，则S可表示．（3）设点P的坐标，则点G的坐标可表示，点H的坐标可表示，HG长度可表示，利用翻折推出CG＝HG，列等式求解即可．【详解】（1）将点E 代入直线解析式中，0＝﹣34×4+m ， 解得m ＝3，∴解析式为y ＝﹣34x+3， ∴C(0，3)，∵B(3，0)， 则有3093c b c=⎧⎨=-++⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣(x ﹣1)2+4，∴D(1，4)，设直线BD 的解析式为y ＝kx+b ，代入点B 、D ，304k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为y ＝﹣2x+6，则点M 的坐标为(x ，﹣2x+6)，∴S ＝(3+6﹣2x)•x•12＝﹣(x ﹣94)2+8116， ∴当x ＝94时，S 有最大值，最大值为8116． (3)存在，如图所示，设点P 的坐标为(t ，0)，则点G(t ，﹣34t+3)，H(t ，﹣t 2+2t+3)， ∴HG ＝|﹣t 2+2t+3﹣(﹣34t+3)|＝|t 2﹣114t| CG 223(33)4t t +-+-54t ， ∵△CGH 沿GH 翻折，G 的对应点为点F ，F 落在y 轴上，而HG ∥y 轴，∴HG ∥CF ，HG ＝HF ，CG ＝CF ，∠GHC ＝∠CHF ，∴∠FCH ＝∠CHG ，∴∠FCH ＝∠FHC ，∴∠GCH ＝∠GHC ，∴CG ＝HG ，∴|t 2﹣114t|＝54t ， 当t 2﹣114t ＝54t 时， 解得t 1＝0(舍)，t 2＝4，此时点P(4，0)．当t 2﹣114t ＝﹣54t 时， 解得t 1＝0(舍)，t 2＝32， 此时点P(32，0)．综上，点P 的坐标为(4，0)或(32，0)． 【点睛】 此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最后一问推出CG ＝HG 为解题关键．26．（1）DE 与⊙O 相切,证明见解析；（2）AC=8.【解析】(1)解：（1）DE 与⊙O 相切．证明：连接OD 、AD ，∵点D 是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC ，∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ODA ，∴∠DAC=∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 与⊙O 相切．（2） 连接BC,根据△ODF 与△ABC 相似，求得AC 的长．AC=827．（1）72o （2）6.03米【解析】【详解】分析：延长ED ，AM 交于点P ，由∠CDE=162°及三角形外角的性质可得出结果;(2)利用解直角三角形求出PC ，再利用PC+AC-EF 即可得解.详解：（1）如图，延长ED ，AM 交于点P ，∵DE ∥AB, MA AB ⊥∴EP MA ⊥, 即∠MPD=90°∵∠CDE=162°∴ 1629072MCD ∠=-=o o o（2）如图，在Rt △PCD 中， CD=3米，72MCD ∠=o∴PC = cos 3cos7230.310.93CD MCD ⋅∠=⋅≈⨯=o 米∵AC=5.5米， EF=0.4米，∴0.93 5.50.4 6.03PC AC EF +-=+-=米答：摄像头下端点F 到地面AB 的距离为6.03米.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解决此类问题要了解角之间的关系，找到已知和未知相关联的的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高线或垂线构造直角三角形.。

奉新一中2020届高三上学期第二次月考数学（理）试卷命题人： 2019.9 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集R U =，集合}5,4,3,2,1{=A ,}2{≥∈=x R x B ,则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{3,4,5}D ．{2,3,4,5}2.已知函数()ln f x x x a =+在点()()1,1f 处的切线经过原点，则实数（ ） A ．1- B ．0 C ．1eD ．13.下列说法正确的是( )A. “f(0)=0”是“函数 f （x ）是奇函数”的充要条件B. 若 p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ￢：x R ∀∈，210x x --< C. “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”D. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题4.函数1()2x f x x =-的零点所在的区间是（ ）A. 1(0,)2B. 1(,1)2C. 3(1,)2D. 3(,2)25.55cos 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.12C. 12-D. 6.设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c b a <<7.已知函数()1ln xf x x+=在区间(),2a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. (－1,1) B. [0,1] C. [0,1) D. 10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.下列点不是函数()tan 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一个对称中心的是（ ）A. 2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 9.已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()2f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 2019B. 1C. 0D. -111.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22(sin sin )sin ()3sin sin B C B C B C +-+=，且2a =，则△ABC 的面积的最大值是（ ）B. 3C. D. 412.已知函数f(x)在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[0,+∞)D. (－∞,0]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知数列{}n a 的前项和21++=n n s n ，则=+43a a ． 14.函数()sin()f x A x ωϕ=+,(A,ω,φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则(0)f = ．15.已知31)16cos(=+πα，其中为锐角，则)163sin(πα-的值为 ．16. 若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--=2),2(2121,2384)(x x f x x x f 则6)()(-=x xf x g 在[1,n2],*∈N n 内的所有零点之和为： ．三、解答题（本题共6道小题,第17题满分10分,其余每题满分都是12分,共70分） 17.(本小题满分10分) 集合{|sin cos(),}6A y y x x m x R π==-++∈，2{|2,[1,2]}B y y x x x ==-+∈，若命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，且是必要不充分条件，求实数的取值范围。

2019-2020学年江西省宜春中学高三（下）3月月考数学（理科）试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）A=（）1．（5分）设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则∁UA．{x|1＜x≤2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x≤2}2．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．（5分）已知△ABC中，AB=2，AC=4，O为△ABC的外心，则•等于（）A．4 B．6 C．8 D．104．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．（5分）在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（）A．B．C．D．无法确定6．（5分）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5．若存在两项a m ，a n 使得，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．8．（5分）将函数y=sin （x+）cos （x+）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（ ） A ．B ．﹣C ．D ．9．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，α∥β，则m ∥β C ．若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β D ．若m ⊂α，α⊥β，则m ⊥β 10．（5分）已知椭圆的焦点是F 1（0，﹣），F 2（0，），离心率e=，若点P 在椭圆上，且•=，则∠F 1PF 2的大小为（ ） A ．B ．C ．D ．11．（5分）设函数f （x ）=xsinx+cosx 的图象在点（t ，f （t ））处切线的斜率为k ，则函数k=g （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（5分）若圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上至少有三个不同点到直线l ：x ﹣y+b=0的距离为，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2] B ．[﹣10，10] C ．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞） D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，的夹角为，且|=1，，|= ．14．（5分）（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为．15．（5分）已知等比数列{an }的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为．16．（5分）设定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的实数解x1，x2，x3，则= ．三、解答题：（本题共5小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为2，求c．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．19．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（1）打满4局比赛还未停止的概率；（2）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E（ξ）．令Ak ，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．20．（12分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．21．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣be x（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直．（1）若函数f（x）在[，1]存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（2）若f′（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在第二问的前提下，证明：﹣＜f′（x1）＜﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣|﹣|2x+1|．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证：++≥1．2019-2020学年江西省宜春中学高三（下）3月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则∁A=（）UA．{x|1＜x≤2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x≤2}【分析】由全集U，以及A，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，∁A={x|1＜x≤2}，U故答案为：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z•i=2﹣i，得．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）已知△ABC中，AB=2，AC=4，O为△ABC的外心，则•等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出．【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，可得，∴，故选：B，【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0，S=0不满足条件S＞1，执行循环体，n=2，S=，不满足条件S＞1，执行循环体，n=4，S=+，不满足条件S＞1，执行循环体，n=6，S=++，不满足条件S＞1，执行循环体，n=8，S=+++=，满足条件S＞1，退出循环，输出n的值为8．故选：B．【点评】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．5．（5分）在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（）A．B．C．D．无法确定【分析】本题是一个计算概率的问题，由题意知已经知道，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，根据无放回抽取的概率意义，可得到最后一名同学抽到红球的概率．【解答】解：由题意，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，由于无放回的抽样是一个等可能抽样，故此两个同学抽到红球的概率是一样的都是．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率，理解无放回抽样是一个等可能抽样是求解本题的关键．6．（5分）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，故选C．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，转化思想的应用．7．（5分）已知正项等比数列{an }满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项am，an使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项am ，an使得，∴am an=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．8．（5分）将函数y=sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）A．B．﹣C．D．【分析】化简函数解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，结合题意，可求得φ的值．【解答】解：∵y=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+φ），将函数y的图象向右平移个单位后得到f（x﹣）=sin（2x﹣+φ），∵f （x ﹣）为偶函数，∴﹣+φ=k π+，k ∈Z ，∴φ=k π+，k ∈Z ，故选：C ．【点评】本题考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题．9．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，α∥β，则m ∥β C ．若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β D ．若m ⊂α，α⊥β，则m ⊥β【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，m ∥β或m ⊂β；在C 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D 中，m ⊥与β相交、平行或m ⊂β．【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故B 错误；在C 中，若m ⊂α，m ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确； 在D 中，若m ⊂α，α⊥β，则m ⊥与β相交、平行或m ⊂β，故D 错误． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．（5分）已知椭圆的焦点是F 1（0，﹣），F 2（0，），离心率e=，若点P 在椭圆上，且•=，则∠F 1PF 2的大小为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由题意可设题意的标准方程为：=1（a ＞b ＞0），可得：c=，e==，a 2=b 2+c 2，联立解出可得：椭圆的标准方程为：+x 2=1．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由椭圆定义可得m+n=4，由•=，可得mncos∠F1PF2=，利用余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，联立即可得出．【解答】解：由题意可设题意的标准方程为：=1（a＞b＞0），则c=，离心率e==，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为：+x2=1．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=4，∵•=，∴mncos∠F1PF2=，又（2c）2==m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，∴12=42﹣2mn﹣2×，解得mn=．∴cos∠F1PF2=，∴cos∠F1PF2=，∴∠F1PF2=．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、数量积运算性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．11．（5分）设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（）A．B．C． D．【分析】由已知可得k=g（t）=f′（x）=xcosx，分析函数的奇偶性及x∈（0，）时，函数图象的位置，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，∴k=g（t）=f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，C，当x∈（0，）时，函数值为正，图象位于第一象限，排除D，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，导数运算，函数的奇偶性，难度中档．12．（5分）（2017春•袁州区校级月考）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：x﹣y+b=0的距离为，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣10，10] C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离d=≤，∴﹣2≤b≤2，∴b的取值范围是[﹣2，2]，故选A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，的夹角为，且|=1，，|= 3 ．【分析】利用向量的数量积化简求解即可．【解答】解：向量，的夹角为，且|=1，，可得：=7，可得，解得|=3．故答案为：3．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查转化思想以及计算能力．14．（5分）（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为16 ．【分析】（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，分别令4﹣2r=2，4﹣2r=1，解得r，进而得出．【解答】解：（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，令4﹣2r=2，解得r=1；令4﹣2r=1，解得r=舍去．∴（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为=16．故答案为：16．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）已知等比数列{an }的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为7 ．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2an}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）设定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的实数解x1，x2，x3，则= 11 ．【分析】令f（x）=t，借助函数图象判断方程f（x）=t的解的情况，从而得出关于t的方程t2+bt+c=0在（0，+∞）上根的分布情况，进而求出x1，x2，x3．【解答】解：作出y=f（x）的函数图象如图所示：令f（x）=t，由图象可知当且仅当t=2时，方程f（x）=t有3解；当0＜t＜2或t＞2时，方程f（x）=t有两解；当t≤0时，方程f（x）=t无解．∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的实数解，∴关于t的方程t2+bt+c=0在（0，+∞）上只有一解t=2．令f（x）=2得x1=﹣1，x2=1，x3=3．∴=（﹣1）2+12+32=11．故答案为：11．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．三、解答题：（本题共5小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为2，求c．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可．（Ⅱ）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：即，∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC…（2分）∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC∴sinB+sinA+sinC=3sinC…（4分）∴sinB+sinA=2sinC∴a+b=2c…（5分）∴a，c，b成等差数列．…（6分）（Ⅱ）∴ab=8…（8分）c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4c2﹣24．…（10分）∴c2=8得…（12分）【点评】本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数妹子学到了与余弦定理，等差数列的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据面面垂直的判断定理即可证明平面PCD⊥平面PAD；（2）根据线面平行的性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥CD ①又∵AB⊥AD，AB∥CD，∴CD⊥AD ②由①②可得 CD⊥平面PAD又CD⊂平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD（2）解：当点E是PC的中点时，BE∥平面PAD．证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF易得EF是△PCD的中位线∴EF∥CD，EF=CD由题设可得 AB∥CD，AF=CD∴EF∥AB，EF=AB∴四边形ABEF为平行四边形∴BE∥AF又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD∴BE∥平面PAD【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理．考查学生的推理能力．19．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（1）打满4局比赛还未停止的概率；（2）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E（ξ）．令Ak ，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．【分析】（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式能求出打满4局比赛还未停止的概率．（2）ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E （ξ）．【解答】解：（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止的概率为：P（A1C2B3A4）+P（B1C2A3B4）==．（2）ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=+=，P（ξ=3）=P（A1C2C3）+P（B1C2C3）==，P（ξ=4）=P（A1C2B3B4）+P（B1C2A3A4）==，P（ξ=5）=P（A1C2B3A4A5）+P（B1C2A3B4B5）==，P（ξ=6）=P（A1C2B3A4C5）+P（B1C2A3B4C5）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6P∴E（ξ）==．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法及应用，考查考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．20．（12分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程．【解答】解：（1）因为，所以|OP|=，因为OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，所以|OM|==；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，所以|OM|=，所以△OMP的面积为××=，所以；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得代入化简得动点T轨迹方程为．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣be x（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直．（1）若函数f（x）在[，1]存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（2）若f′（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在第二问的前提下，证明：﹣＜f′（x1）＜﹣1．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为在上有解，令，故只需，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令h（x）=f'（x），则h（x）=ax2﹣e x，问题转化为方程有两个根，设φ（x）=，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）求出f′（x1）=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=e t（﹣1），（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：因为f'（x）=ax2﹣be x，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1…（1分）（1）由前可知，f'（x）=ax2﹣e x根据题意：f'（x）＞0在上有解，即ax2﹣e x＞0在上有解…（2分）即在上有解，令，故只需所以，所以，当时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递减，所以g（x）min=g（1）=e，所以 a＞e…（4分）（2）令h（x）=f'（x），则h（x）=ax2﹣e x，所以h'（x）=2ax﹣e x由题可知，h'（x）=0有两个根x1，x2，即2ax﹣e x=0有两个根x1，x2，又x=0显然不是该方程的根，所以方程有两个根，…（6分）设φ（x）=，则φ′（x）=，当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．故要使方程2a=有两个根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞，所以a的取值范围是（，+∞），（3）由（2）得：0＜x1＜1＜x2…（9分）且由h'（x1）=0，得2ax1﹣=0，所以a=，x1∈（0，1）…（10分）所以f′（x1）=h（x1）=a﹣=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=e t（﹣1），（0＜t＜1），则r′（t）=e t（）＜0，r（t）在（0，1）上单调递减，所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣＜f′（x1）＜﹣1．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．【分析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心C 1，C2在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线AB的距离，则△AOB的面积可求．【解答】解：（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0． (1)将曲线C2：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4y=0． (2)由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为；（Ⅱ）由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲线C1是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲线C2：是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆．∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，∴当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，∴直线AB（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．∵O到直线AB的距离为，又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+，∴△AOB的面积为．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣|﹣|2x+1|．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证：++≥1．【分析】（Ⅰ）作出函数的图象，即可求f（x）的值域；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=|x﹣|﹣|2x+1|=，函数的图象如图所示，则函数的值域为（﹣∞，1]；（Ⅱ）证明：由题意x，y，z均为正实数，x+y+z=1，由柯西不等式可得（x+y+z）（++）≥（y+z+z）2=1，∴++≥1．【点评】本题考查绝对值函数的值域，考查不等式的证明，考查柯西不等式，属于中档题．。