四川省绵阳市高中2020届高三高考适应性考试(四诊)数学(理)

2020年四川省绵阳市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =…，则(A B =I ) A ．{1，2} B ．{1-，0，1} C ．{1-，1，2} D ．{0}2．（5分）若a R ∈，则“2a >”是“||2a >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）已知复数z 满足(12)(z i i i -=g 是虚数），则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）从编号0，1，2，⋯，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为( ) A ．72B ．74C ．76D ．785．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y = 6．（5分）在5(2)x a +（其中0)a ≠的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为()A ．12±B ．12C ．2-D ．27．（5分）已知tan()34πα+=-，则sin 2(α= )A ．45B ．25 C ．45-D ．8．（5分）圆224x y +=被直线2y =+截得的劣弧所对的圆心角的大小为( ) A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒9．（5分）某木材加工厂需要加工一批球形滚珠．已知一块硬质木料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近( )A ．3cmB ．2.5cmC ．5cmD ．4.5cm10．（5分）2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数 1~5051~100100以上 门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( ) A ．20B ．30C ．35D ．4011．（5分）如图，ABC ∆中，2BC =，且32AB BC =-u u u r u u u r g ，AD 是ABC ∆的外接圆直径，则(AD BC =u u u r u u u rg )A ．1B ．2C ．23D ．4312．（5分）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“Ω集合”，给出下列5个集合；①1{(,)|}M x y y x ==②1{(,)|}x x M x y y e-==③2{(,)|1}M x y y x ==-④2{(,)|22}M x y y x x ==-+⑤{(,)|cos sin }M x y y x x ==+．其中是“Ω集合”的所有序号是( ) A ．②③B ．①④⑤C ．②③⑤D ．①②④二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2log ,1()(3),1,x x f x f x x >⎧=⎨+⎩…则(2)f -= ．14．（5分）已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则当且仅当a = 时，ab 取得最小值 15．（5分）为准确把握市场规律，某公司对其所属商品售价进行市场调查和模型分析，发现该商品一年内每件的售价按月近似呈()sin()f x A x B ωϕ=++的模型波动(x 为月份），已知3月份每件售价达到最高90元，直到7月份每件售价变为最低50元．则根据模型可知在10月份每件售价约为 ．（结果保留整数）16．（5分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为线段AB 、1BD 的中点，则点A 到平面EFC 的距离为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 满足12a =，324a =，且{}2nna 是等差数列． （1）求n a ；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．18．（12分）3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线A 和B 生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X 为来自B 机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学四诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则集合A. B. 2， C. 1， D.2.已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为A. B. C. D.3.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为A. B.C. D.4.展开式的常数项为A. 120B. 160C. 200D. 2405.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为A. B. C. D.6.下列说法正确的是A. 命题“，”的否定是“，”B. 命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题C. “在上恒成立”“在上恒成立”D. 命题“已知x，，若，则或”的逆否命题是真命题7.如图，在平行四边形ABCD中，，，，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中，则的取值范围是A. B. C. D.8.已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则A. 3B. 2C.D.9.若，且，则下列不等式成立的是A. B.C. D.10.已知数列与的前n项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则k的最小值是A. B. 49 C. D.11.四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A. B. C. D.12.若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a是实数，i是虚数单位，若是纯虚数，则______．14.设是等差数列的前n项和，若，，则数列中的最大项是第______项．15.已知函数满足对任意的都有成立，则______．16.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且为坐标原点，若与的面积分别为和，则最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设．求函数的单调区间；在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值．18.在某外国语学校举行的高中生数学建模大赛中，参与大赛的女生与男生人数之比为1：3，且成绩分布在，分数在80以上含的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．Ⅰ求a的值，并计算所抽取样木的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；Ⅱ填写下面的列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．女生男生总计获奖5不获奖总计200附表及公式：其中，．19.如图，已知长方形ABCD中，，，M为DC的中点，将沿AM折起，使得平面平面ABCM．求证：；若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为．20.设椭圆的离心率，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有．求椭圆的方程；设直线l：上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异于点，直线BQ与x轴相交于点若的面积为，求直线AP的方程．21.已知函数，，a，．当时，求函数的单调区间．若曲线在点处的切线l与曲线切于点，求a，b，c的值．若恒成立，求的最大值．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．写出曲线，的普通方程；过曲线的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线于A，B两点，求．23.已知函数．当时，解不等式；若存在满足，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】先分别求出集合A和B，从而得到，由此能求出集合．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．【解答】解：集合2，，或，，集合．故选：A．2.答案：C解析：解：p：，化为：，，，解得：．q ：，解得．若p是q的充分不必要条件，则，解得．实数a的取值范围为．故选：C．p：，化为：，化为，，解得x范围．q：，解得根据p是q的充分不必要条件，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于中档题．由于当时，函数始终满足，利用指数函数的图象和性质可得先画出函数的图象，此函数是偶函数，当时，即为，而函数，即可得出图象．【解答】解：当时，函数始终满足．因此，必有．先画出函数的图象：红颜色的图象．而函数，其图象如黑颜色的图象．故选：B．4.答案：B解析：解：，的展开式中的通项公式为，，1，，6，，所以展开式的常数项为160．故选：B．先对进行变形，再利用二项式定理中的展开式的通项公式求得结果．本题主要考查对式子的合理变形及二项式定理中的通项公式的应用，属于基础题．5.答案：C解析：解：由题意得到每次生成每个实数都大于的概率为，用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为：；故选：C．由题意得到每次生成每个实数都大于的概率为，三次独立事件的重复发生的概率即为所求．本题考查了几何概型的概率以及独立重复试验的概率求法；属于基础题．6.答案：D解析：解：选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；选项B，命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为“若函数只有一个零点，则”，当时，，显然只有一个零点；当时，要使只有一个零点，则，即，所以或，即B错误；选项C，“在上恒成立”“在上恒成立”，即C错误；选项D，原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，即D正确．故选：D．A，根据全称命题的否定形式可判断；B，先写出原命题的逆命题为“若函数只有一个零点，则”，然后对函数的最高次项系数是否为0进行分类讨论，求出a的取值即可；C，“在上恒成立”“在上恒成立”；D，根据原命题与逆否命题同真同假进行判断．本题考查命题的真假判断，包含全称命题的否定、四种命题的改写与真假关系、函数的恒成立问题等知识点，考查学生的推理论证能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，即；，即所以．因为，二次函数的对称轴为：，故当时，．故选：C．画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．则，，若过A时取得最大值为4，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若过B时取得最大值为4，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故．故选B．9.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．，且，可取，代入计算即可得出大小关系．【解答】解：采用特殊值法，，且，可取，．则，，，．故选：B．10.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的判断，裂项法数列求和，属于中档题．根据递推公式求出的通项公式，利用裂项法求，从而得出k的最小值．【解答】解：，，，，，，又，，．是以3为首项，以3为公差的等差数列，，，．．故选：C．11.答案：A解析：解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是，得，所以正方体棱长中，，，即外接球半径，得外接球表面积为．故选：A．将三视图还原为直观图，得四棱锥的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题．12.答案：D解析：解：当时，函数，时，，时，，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当时，，，时，恒成立，函数是增函数，，所以时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能力．13.答案：1解析：解：是纯虚数，，解得．故答案为：1．由已知条件可得，求解即可得答案．本题考查了复数的基本概念，是基础题．14.答案：13解析：解：，，，，且，故的最大值为，满足的最大的，故中的最大项是第13项．故答案为：13．先由，且，数列是单调递减数列，前13项是正数，从第14项开始为负数，再研究数列中的最大项即可．本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：7解析：解：设所以可得因为函数满足对任意的都有成立所以即所以故答案为：7．由题意得两个式子相加可得，因为所以本题考查了利用函数的对称性求和，解决本题的关键是发现函数与和式的对称性，利用倒叙相加法求和．此法在数列部分常见，也是一种求和的重要方法．16.答案：6解析：解：抛物线的焦点为，设，，，，即为，解得，即，则，，则，当且仅当，即时，上式取得等号．则的最小值为6．故答案为：6．求得抛物线的焦点，设，，，，运用向量的数量积的坐标表示，可得，运用三角形的面积公式和向量的数量积和性质，可得，，再由基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用向量的数量积的形式表示三角形的面积，考查基本不等式的运用，主要考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：解：由题意可知，，由，，得，，由，，得，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是；由，可得，由题意知A为锐角，所以，由余弦定理，可得，即，当且仅当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．解析：本题主要考查了正弦函数的图象和性质、余弦定理、基本不等式的应用，三角形的面积公式，属于中档题，由三角函数恒等变换化简解析式可得，由，可解得的单调递增区间，由，可解得单调递减区间；由，可得sin A，cos A，由余弦定理并结合基本不等式可得，当时等号成立，从而可求，从而得解，18.答案：解：Ⅰ，．Ⅱ由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，列联表如下：女生男生总计获奖53540不获奖45115160总计50150200因为，所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生，男生有关．”解析：Ⅰ根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；Ⅱ由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，从而可得列联表，再计算出，与临界值比较可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：证明：长方形ABCD中，，，M为DC的中点，，则，平面平面ABCM，平面平面，平面ABCM，平面ADM，平面ADM，．取M中点O，连接DO，则平面ABCM，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为1，，设，，0，．设平面AME的一个法向量为y，，则取，得1，二面角的余弦值为．由，解得．为BD上靠近D点的处．解析：本题考查线线垂直的证明，考查点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．在长方形ABCD中，，，M为DC的中点，可得，则，由线面垂直的判定可得平面ADM，则；取M中点O，连接DO，则平面ABCM，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求得值，即可得E的位置．20.答案：解：设，，，又由，得，且，解得，因此椭圆的方程为：．设直线AP的方程为，与直线l的方程联立，可得点，故将与联立，消去x，整理得，解得，或．由点B异于点A，可得点由，可得直线BQ的方程为，令，解得，故D．又的面积为，故，整理得，解得，．直线AP的方程为，或．解析：本题考查椭圆方程的性质，直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是较难题．由离心率可得a与c的关系，再由，得，又，可得椭圆方程；设直线AP的方程为，与直线l的方程联立，可得点P的坐标，进一步得到Q 的坐标．联立直线方程与椭圆方程，求得B点坐标，则BQ所在直线方程可求，取，求得D的坐标．得到，结合的面积为，即可列式求得m值，则直线AP的方程可求．21.答案：解：Ⅰ，则．令，得，所以在上单调递增．令，得，所以在上单调递减．分Ⅱ因为，所以，所以l的方程为．依题意，，．于是l与抛物线切于点，由得．所以，，分Ⅲ设，则恒成立．易得．当时，因为，所以此时在上单调递增．若，则当时满足条件，此时；若，取且，此时，所以不恒成立．不满足条件；当时，令，得由，得；由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．要使得“恒成立”，必须有：“当时，”成立．所以则．令，，则．令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，．从而，当，时，的最大值为．综上，的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；Ⅱ求出函数的导数，根据切线方程求出a，b，c的值即可；Ⅲ设，求出函数的导数，通过讨论a的范围，问题转化为，得到，令，，根据函数的单调性求出的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：即的普通方程为，，，可化为，即曲线左焦点为，直线l的倾斜角为，，所以直线l的参数方程为：为参数，将其代入曲线整理可得：，所以．设A，B对应的参数分别为，，则．所以．解析：本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线，的普通方程；直线l的参数方程为：为参数，将其代入曲线整理可得：，利用参数的几何运用求．23.答案：解：当时，，当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即．综上所述，原不等式的解集为或；由，即，得，又，，即，解得．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及绝对值的性质，是一道中档题．将a的值带入，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；根据绝对值的性质求出，即，求出a的范围即可．。

绵阳南山中学2020年绵阳高考适应性考试模拟数学试题（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}03,A x x x N =<<∈，{}29B x y x ==-，则集合()R AC B =（ ）A. {1，2}B. {1，2，3}C. {0，1，2}D. （0，1）【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A ，B ，再利用补集的定义求得R C B ，然后利用交集的定义求解. 【详解】因为集合{}{}03,1,2A x x x N =<<∈=，{}{29|3B x y x x x ==-=≥或}3x ≤-，所以{}|33R C B x x =-<<， 所以(){}1,2R A C B =.故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知1:12p x ≥-，()2:1q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A. (-∞，3] B. [2，3] C. (2，3] D. （2，3）【答案】C 【解析】 【分析】求出p 与q ，然后利用p 是q 的充分不必要条件，列出关系式求解即可． 【详解】解：由1:12p x -，所以23x <， 又()2:1q x a -<，11a x a -<<+， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以3112a a <+⎧⎨-⎩，解得23a <≤即(]2,3a ∈．故选：C ．【点睛】本题考查充要条件的应用，分式不等式与一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．3.若当x ∈R 时，函数()xf x a =始终满足0|()|1f x <≤，则函数1log ay x=的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】当x ∈R 时，函数||()x f x a =满足0()1f x <≤，得01a <<，画出log ||a y x =，再根据对称性可得结果.【详解】当x ∈R 时，函数||()x f x a =满足0()1f x <≤，得01a <<，画出函数log ||a y x =的图象，如图中黑色的图象，函数1log log ||aa y x x==-与log ||a y x =的图象关于x 轴对称， 得到红色颜色的图象，故答案为B ．【点睛】两个函数图象的对称性：（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于x 轴对称；（2）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称；（3）函数()y f x =的图象与()y f x =--的图象关于原点对称.4.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为（ ） A. 120 B. 160 C. 200 D. 240【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则求解．【详解】由题意常数项为11332444160C C ⨯⨯+=．故选：B ．【点睛】本题考查三项式展开式中的项，解题时可用二项式定理，也可结合多项式乘法法则求解．5.用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A.127B.23C. 827D.49【答案】C 【解析】 由题意可得： 每个实数都大于13的概率为12133p =-=， 则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭.本题选择C 选项.6.下列说法正确的是（ ）A. 命题“x R ∀∈，0x e >”的否定是“0x R ∃∈，00x e >”B. 命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题C. “22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“()()2max min2x xax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”D. 命题“已知x ，R y ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】由否定的定义判断A 选项；举反例判断B ，C 选项；写出逆否命题即可判断D 选项. 【详解】对A 项，命题“x R ∀∈，0x e >”的否定是“0x R ∃∈，00x e ≤”，故A 错误； 对B 项，命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为假命题，因为0a =时，()21f x x =-也只有一个零点，故B 错误； 对C 项，当2a =时，不等式222x x x +≥在[]1,2x ∈上恒成立，此时()()2max min2324xx x +=<=，故C 错误；对D 项，逆否命题为“已知x ，R y ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”，显然，逆否命题为真命题，故D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了写出原命题的逆否命题并判断真假，写出全称命题的否定，属于中档题.7.如图，在平行四边形ABCD 中，π3BAD ∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NCBC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅的取值范围是A. []0,3B. []1,4C. []2,5 D. []1,7【答案】C 【解析】 因为BM NCBC DCλ==,所以BM BC λ=,NC DC λ=， 所以AM AN ⋅=()()AB BC AD DN λ+⋅+=()()AB BC AD AB DC λλ+⋅+-=()()1AB AD AD AB λλ⎡⎤+⋅+-⎣⎦=()()411AB AD AB AD λλλλ⋅+-++-⋅=()()1411λλλλ+-++-=225λλ--+. 当0λ=时,AM AN ⋅取得最大值5; 当1λ=时,AM AN ⋅取得最小值2,AM AN ⋅的取值范围是[]2,5.本题选择C 选项.8.已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ ( )A. 3B. 2C. －2D. －3【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A 时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A 时截距最大，此时z 的最大值为4，符合题意．若过点B 时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A 时截距最大，此时z 的最大值为6，不符合题意．．考点：简单的线性规划．【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．9.若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. 21log ()2a ba ab b +<<+ B.21log ()2a b a b a b<+<+ C. 21log ()2a ba ab b +<+<D. 21log ()2a ba b a b +<+<【答案】B 【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 21,2a ba b a b ab ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.10.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，则k 的最小值为（ ） A.17B.149C. 49D.8441【答案】B 【解析】 【分析】先求得n a 的通项公式，化简n b 的表达式，利用裂项求和法求得n T ，由此求得k 的最小值.【详解】当1n =时，211163a a a =+，解得13a =.当1n ≥时，由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a ---=+，两式相减并化简得()()1130n n n n a a a a --+--=，由于0n a >，所以1130,3n n n n a a a a ----=-=，故n a 是首项为3，公差为3的等差数列，所以3n a n =.则()()112111781812121nn n a n n n a a b ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，故12n n T b b b =+++223111111117818181818181n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11117781n +⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦()11149781n +=--，由于n T 是单调递增数列，1111498149n +-<-，149k ≥. 故k 的最小值为149，故选B. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题. 11.四棱锥P­ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P­ABCD 的五个顶点都在一个球面上， E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22 ，则该球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【答案】A【解析】四棱锥P­ABCD 中PA ⊥面ABCD ，且ABCD 为正方形，球心为PC 中点，因为,2PA AB a PC R ====，所以2222222234122a R R R S R ππ⎛⎫=+⇒=+⇒=∴== ⎪⎝⎭，选A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．12.若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()0,∞+D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当12a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数， 且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a >时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围.【详解】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '=-=令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0>g x ，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0<g x ，当0(,)x x ∈+∞时，()0>g x ；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 二.填空题13.已知a 是实数，i 是虚数单位，若21(1)z a a i =-++是纯虚数，则a =__________．【答案】1 【解析】由题意得21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =．答案：114.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S ，260S ，则数列(),25n n S n N n a +⎧⎫∈≤⎨⎬⎩⎭中的最大项是第______项.【答案】13 【解析】 【分析】由已知可得数列{}n a 是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列25121225,,,S S S a a a …从第14项起为负值，而13121213,,,S S Sa a a ⋯为递增数列，则答案可求．【详解】解：在等差数列{}n a 中，由250S ，260S ，得125126()2502()2602a a a a +⨯⎧>⎪⎪⎨+⨯⎪<⎪⎩，∴1313140a a a >⎧⎨+<⎩，则数列{}n a 是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，数列25121225,,,S S S a a a …从第14项起为负值， 而13121213,,,S S S a a a ⋯为递增数列， ∴数列25121225,,,S S S a a a …的最大项是第13项． 故答案为：13．【点睛】本题考查数列的函数特性，考查等差数列前n 项和的应用，属于中档题． 15.已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】 【详解】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.16.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且6OA OB ⋅=（O 为坐标原点），若ABO 与AFO 的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是______ 【答案】6 【解析】 【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及6OA OB ⋅=消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题. 【详解】解：设直线AB 的方程为x ty m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ， 直线AB 与x 轴交点为()0,M m ．∴联立2x ty m y x=+⎧⎨=⎩，可得2y ty m =+，根据韦达定理得12y y m ⋅=-， ∵6OA OB ⋅=∴12126x x y y +=，即()2121260y y y y ⋅+⋅-=， ∵A ，B 位于x 轴的两侧，∴123y y ⋅=-∴3m =设点A 在x 轴的上方，则10y >∵1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴()12121111434224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11111331926222y y y y y ⎛⎫=++=+≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号． 故答案为：6【点睛】求解本题时，应考虑以下几个点：1、联立直线与抛物线方程，消x 或y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意"一正，二定，三相等"． 三.解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间； （Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫=⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A = 由题意知A为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤+当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24+ 考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.18.在某外国语学校举行的HIMCM (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求a 的值,并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅱ)填写下面的22⨯列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”． 女生男生 总计 获奖 5不获奖总计 200附表及公式：()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++．【答案】（Ⅰ）0.025a =，69x =；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得22⨯列联表,再计算出2K ,与临界值比较可得．【详解】解：(Ⅰ)110a =⨯[1(0.010.0150.03-+++0.0150.005)10]0.025+⨯=, 450.1550.1565x =⨯+⨯+0.25750.3850.15950.0569⨯+⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,22⨯列联表如下：女生男生 总计获奖 5 3540不获奖 45 115 160总计 50150200因为22200(51153545)40160150K ⨯⨯-⨯=⨯⨯ 4.167 3.841≈>,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型. 19.如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为25. 【答案】（1）见解析；（2）E 为BD 上靠近D 点的15处【解析】【分析】（1）在长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，可得2AM BM ==，则AM BM ⊥，由线面垂直的判定可得BM ⊥平面ADM ，则AD BM ⊥；（2）取M 中点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABCM ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求得λ值可得E 的位置．【详解】（1）证明：∵长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，∴2AM BM ==，则AM BM ⊥. ∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，BM ⊂平面ABCM ，∴BM ⊥平面ADM ，∵AD ⊂平面ADM ，∴AD BM ⊥； （2）取M 中点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABCM ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM 的一个法向量为()0,1,0m =， 设DE DB λ=，()1,2,1ME MD DB λλλλ=+=--，()2,0,0AM =-.设平面AME 的一个法向量为(),,n x y z =，则()20210n AM x n ME y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得20,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由25cos ,5m n m n m n ⋅==，解得15λ=.∴E 为BD 上靠近D 点的15处.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．20.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线交椭圆于,E H 两点，若直线EH 垂直于x 轴时，有32EH = （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：1x =-上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD ，求直线AP 的方程.【答案】（1）22413y x +=；（2）330x -=或330x -=. 【解析】试题分析：（1）由离心率可得,a c 的关系，再由32FH =，结合隐含条件，求得22,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程联立，可得点P 的坐标，进一步得到Q 的坐标，联立直线与椭圆的方程，求得B 的坐标，则BQ 所在的直线方程可求，取0y =，求得D 的坐标，得到AD ，结合APD ∆的面积为2，即可求解实数m 的值，得到直线方程. 试题解析：（1）设(),0(0)F c c ->，因为12e =所以有2a c =，又由32EH =得2232b a =，且222a b c =+，得231,4a b ==，因此椭圆的方程为：22413y x +=.（2）设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理()223460m y my ++=， 解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ， 可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为 ()222623*********mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为2，故221622322m m m ⨯⨯=+，整理得2320m m -+=，解得3m =3m =±.所以，直线AP 的方程为330x +-=或330x --=.点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质性质、直线与圆锥曲线的位置关系及直线方程的求解,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数()2x x x e f x =+-，()2g x x ax b =++，,a b ∈R .（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点()0,1处的切线l 与曲线()y g x =切于点()1,c ，求,,a b c 的值； （Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求+a b 的最大值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,2, 1.a b c =-==（Ⅲ）1e - 【解析】【详解】（Ⅰ） ()2xF x e x b =--，则()2xF x e '=-.令()20,xF x e '=->得ln2x >，所以()F x 在()ln2,+∞上单调递增.令()20,xF x e '=-<得ln2x <，所以()F x 在(),ln2-∞上单调递减.（Ⅱ）因为()21xf x e x '=+-，所以()00f '=，所以l方程为1y =.依题意， 12a-=， 1c =. 于是l 与抛物线()22g x x x b =-+切于点()1,1， 由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== -（Ⅲ）设()()()()1xh x f x g x e a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()()1.xh x e a ='-+（1）当10a +≤时， 因()0h x '>，所以此时()h x 在(),-∞+∞上单调递增.①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01bx ,a 1-<+ 此时()()()000111101xbh x e a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件； （2）当10a +>时，令()0h x '=，得()ln 1.x a =+由()0h x '>，得()ln 1x a >+； 由()0h x '<，得()ln 1.x a <+所以()h x 在()(),ln 1a -∞+上单调递减，在()()ln 1,a ++∞上单调递增.要使得“()()10xh x e a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当()ln 1x a =+时， ()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥”成立.所以()()()11ln 1b a a a ≤+-++.则()()()211ln 1 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x =-' 令()0G x '=，得.x e =由()0G x '>，得0x e <<；由()0G x '<，得.x e >所以()G x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减, 所以，当x e =时， ()max 1.G x e =-从而，当1,0a e b =-=时， +a b 的最大值为1e -.- 【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=.（Ⅰ）写出曲线1C ，2C 的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，求AB . 【答案】（1）221204x y +=,222:(2)(1)1C x y ++-=（2【解析】分析：（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程为422x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线2C整理可得：240t -+=，利用参数的几何运用求AB ．详解:（Ⅰ）2222cos sin 122y x y sin αααα⎧=⎪⎛⎫⇒+=+=⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎩ 即曲线1C 的普通方程为221204x y +=∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρ=曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= 即()()222:211C x y ++-=.（Ⅱ）曲线1C 左焦点为()4,0-直线l 的倾斜角为4πα=，sin cos αα==所以直线l的参数方程为42x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）将其代入曲线2C整理可得240t -+=，所以(24420∆=--⨯=>.设,A B 对应的参数分别为12,t t则所以12t t +=，124t t =. 所以12AB t t =-===点睛: 本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题． 23.已知函数()f x x 23x a =-++．（1）当a 1=时，解不等式()f x 5≥；（2）若存在0x 满足()00f x 2x 23+-<，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{x |x 1≤-或x 1}≥；（2）93a -<<-【解析】【分析】（1）以1,23-为分界点分段讨论解不等式．（2）原不等式可化为003x 23x a 3-++<，由绝对值不等式求得003x 23x a -++的最小值小于3，解得参数a .【详解】()1当a 1=时，()f x x 23x 1=-++， ①当x 2≥时，不等式等价于x 23x 15-++≥，解得3x 2≥，即x 2≥； ②当1x 23-<<时，不等式等价于2x 3x 15-++≥，解得x 1≥，即1x 2≤<； ③当1x 3≤-时，不等式等价于2x 3x 15---≥，解得x 1≤-，即x 1≤-． 综上所述，原不等式的解集为{x |x 1≤-或x 1}≥． ()2由()00f x 2x 23+-<，即003x 23x a 3-++<，得003x 63x a 3-++<， 又()()00003x 63x a 3x 63x a 6a -++≥--+=+，()00min (f x 2x 2)3∴+-<，即a 63+<，解得9a 3-<<-．所以(9,3)a ∈--．【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算．。

四川省绵阳市2020届高三年级高考适应性考试（四诊）理科数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 等差数列中，，则（）A．5B．9C．11D．13(★★) 3. 在平面内，则（）A．B．C．2D．(★★) 4. 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（）A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量(★★★) 5. 已知直线和平面，下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则(★★★) 6. 函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于轴对称(★★★) 7. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则圆周合体而无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的的值为（）（参考数据：）A．6B．12C．24D．48(★★★) 8. 已知数列的前项和，则为等比数列的充要条件是（）A．B．C．D．(★★) 9. 已知曲线的焦点为，是上一点，以为圆心的圆过点且与直线相切，若圆的面积为，则圆的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知在上是减函数，若，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★)11. 定义在上的偶函数对任意实数都有，且当时，，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．(★★★★) 12. 我们把数列（其中）与叫做“互为隔项相消数列”，显然.已知数列的通项公式为，其中表示不超过实数的最大整数，则除以的余数为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 复数__________．(★★) 14. 某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为，则该模具的体积为_____(★★★) 15. 实数满足约束条件若目标函数的最大值为4，则的最大值为______(★★★) 16. 已知双曲线的左右焦点为，点是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线的离心率为______三、解答题(★★★) 17. 为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价（元/88.28.48.68.89件）销量（万908483807568件）（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程；（2）若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润?（参考公式：回归方程，其中）(★★★) 18. 已知向量（1）求的最小正周期和最大值；（2）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求.(★★★) 19. 在几何体中，如图，四边形为平行四边形，，平面平面，平面，，. Array（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.(★★★★)20. 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点．（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；（2）椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．(★★★★★) 21. 已知函数.（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；（2）当时，为函数在上的零点，求证：.(★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与交于两点，若，求的取值范围.(★★) 23. 已知函数（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围.。

四川省绵阳市高中2020届高考数学适应性考试（四诊）试题 理注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将答题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A {1,0,1,2,{|},}1,xB x e x R =≥∈-=则A∩B=.0,1,2}{A .{1,2}.{1}.{2}B C D -2.等差数列{a n }中35,3,7,a α==则a 7= A.5B.9C.11D.133.在平面内()(),1,3,3,1,AB AC ==-则BC =.23.22.2?.3A B C D4.5G 时代悄然来临,为了研究中国手机市场现状,中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况,得到如下统计图:根据该统计图,下列说法错误的是A.2019年全年手机市场出货量中,5月份出货量最多B.2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C.2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D.2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量5.已知直线a,b 和平面α,下列命题正确的是 A.若a ∥α,b ⊂a,则a ∥b B.若a ∥α,b ∥α,则a ∥b C.若a ⊥α,a ⊥b,则b ⊂α D.若,,a b αα⊥⊥则a ∥b6.函数()sin 1y x =-的图象A.关于点(1,0)对称B.关于直线1x =对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称7.公元263年,数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”, 提出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则圆周合体而无所失矣”.右图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图,则其输出的n 的值为(参考数据3 1.73,,tan 0.27,tan0.13)1224ππ≈≈≈A.6B.12C.24D.488.已知数列{a n }的前n 项和21,nn S p =⨯+则{a n }为等比数列的充要条件是A.p=-l .01B p << Cp=-2 D.p>19.已知曲线()2:20,0C y px y p =>>的焦点为F,P 是c 上一点,以P 为圆心的圆过点F 且与直线x=-1相切,若圆P 的面积为25π,则圆P 的方程为()()22.1125A x y -+-= ()()22.2425B x y -+== ()()22.4425C x y -+-= ()()22.4225D x y -+-=10.已知()(),f x -∞+∞在上是减函数,若()1ln 3,(2ln ),3,2a fb fc f ===则a,b,c的大小关系为.Aa c b << .B c a b << .C b a c << .D c b a <<11.定义在R 上的偶函数()f x 对任意实数x 都有()()22,f x f x -=+且当(]1,3x ∈-时,21,(1,1]()1|2|,13]x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩（，则函数()()5||g x f x x =-的零点个数为A.5B.6C.10D.1212.我们把数列()2nn a a b c=+(其中*),,a c N b ∈与()2nn b a b c=-叫做“互为隔项相消数列”,显然.n n a b Z +∈已知数列{c n }的通项公式为()21,n nc ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦其中[x]表示不超过实数x 的最大整数,则c 2020除以4的余数为 A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13.复数21ii-= ▲ 14.某工件模具的三视图如右图所示,已知俯视图中正方形的边长为2,则该模具的体积为 ▲15.实数x,y 满足约束条件020,10,,x x y y y ⎧⎪⎨⎪≥-≥--⎩≤若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为4,则ab 的最大值为 ▲16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为()()212,0,2,0,F F -点P 是双曲线上任意一点,若12·PF PF 的最小值是-2,则双曲线C 的离心率为 ▲ 三、解答题:共70分。

2020届四川省绵阳南山中学高三下学期四诊考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题（在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}03,A x x x N =<<∈,{B x y ==,则集合()R A C B =（ ）A. {1,2}B. {1,2,3}C. {0,1,2}D. （0,1） 【答案】A【解析】 先化简集合A ,B ,再利用补集的定义求得R C B ,然后利用交集的定义求解.【详解】因为集合{}{}03,1,2A x x x N =<<∈=,{{|3B x y x x ===≥或}3x ≤-, 所以{}|33R C B x x =-<<,所以(){}1,2R A C B =.故选：A 2.已知1:12p x ≥-,()2:1q x a -<,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为（ ） A. (-∞,3]B. [2,3]C. (2,3]D. （2,3）【答案】C【解析】 求出p 与q ,然后利用p 是q 的充分不必要条件,列出关系式求解即可． 【详解】解：由1:12p x -,所以23x <, 又()2:1q x a -<,11a x a -<<+,因为p 是q 的充分不必要条件,所以3112a a <+⎧⎨-⎩,解得23a <≤即(]2,3a ∈． 故选：C ．3.若当x ∈R 时,函数()x f x a =始终满足0|()|1f x <≤,则函数1log a y x=的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】当x ∈R 时,函数||()x f x a =满足0()1f x <≤,得01a <<,画出log ||a y x =,再根据对称性可得结果.【详解】当x ∈R 时,函数||()x f x a =满足0()1f x <≤,得01a <<,画出函数log ||a y x =的图象,如图中黑色的图象,函数1log log ||a a y x x==-与log ||a y x =的图象关于x 轴对称, 得到红色颜色的图象,故答案为B ．【点睛】两个函数图象的对称性：（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于x 轴对称；（2）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称；（3）函数()y f x =的图象与()y f x =--的图象关于原点对称.。

绵阳中学高级高考适应性检测数学（理科）试题一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确答案。

1、复数(1)z a a ai =-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.0B.1C.0或1D.1或22、直线310x -=的倾斜角α为（ ） A.3πB. 23πC.6π D.56π 3、函数ln(1)1y x =-+，(1)x >的反函数为（ ） A.11(1)x y ex -=+>B. 11()x y e x R -=+∈ C. 11(1)x y ex +=->D. 11()x y ex R +=-∈4、各项均为正数且公差为1的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则1lim nn n n S a a →∞+=⋅（ ）A.1B. 12C. 13D. 145、给出互不重合的直线m n l 、、和互不重合的平面αβ、，下列四个命题： ①若,,m lA A m αα⊂=∉，则l 与m 不共面；②若l 、m 是异面直线，//,//,l m αα且,n l n m ⊥⊥，则n α⊥； ③若,,,//,//l m lm A l m ααββ⊂⊂=，则//αβ；④若//,//,//l m αβαβ，则//l m . 其中真命题有：A.1个B.2个C.3个D.4个6、5位同学报名参加甲和乙两个课外小组，每位同学都要报名且限报1个，且甲小组至少有2名同学报名，乙小组至少有1名同学报名，则不同的报名方法有（ ）A.25B.50C.100D.1207、设抛物线28y x =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则弦AB 的长为（ ） A.5 B.8C.10D.128、为得到cos 2y x =的图像，可将sin y x =的图像（ ） A. 先将横坐标缩短为原来的一半，再向左平移4π个单位. B. 先将横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π个单位. C.先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半. D.先向右平移2π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半.9、设二元一次不等式组1,1,30x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为M ，若曲线22y px =经过区域M ，则实数p 的取值范围是（ ） A.(0,2]B. 1[,)4+∞C.1[,)2+∞D. 1[,2]410、设向量(,),(0,0),||1,(1,3),m x y x y m n a m n =≥≥===⋅，则222()2()T a a a a=-++的最大值为（ ）A.8B.7C.42D. 42111、已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x 都有()(4),(1)(3)f x f x f x f x =-+=-+，若[0,4]x ∈时，()||f x x a b =-+，则a b +的值为（ ）A.2B. 0C. 1D.无法确定12.已知直角FPA ∆,090,FPA ∠=060.PFA ∠=以F 为左焦点， A 为右顶点的椭圆经过点P ,则椭圆的离心率为（ ）A. 12B. 13C. 34D. 23二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分。

绵阳市高中2017级高考适应性考试理科数学一、选择题1. 已知集合{}{1,0,1,2},|1,xA B x e x R =-=≥∈，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {1,2}C. {}1-D. {2}【★★答案★★】A 【解析】 【分析】首先解不等式1x e ≥，得到{}|0B x x =≥，再求AB 即可.【详解】因为010x x e e e x ≥⇒≥⇒≥，所以{}|0B x x =≥.{0,1,2}A B ⋂=.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了指数不等式的解法，属于简单题. 2. 等差数列{}n a 中，353,7a α==，则7a =（ ） A. 5B. 9C. 11D. 13【★★答案★★】C 【解析】 【分析】根据等差中项直接计算即可.【详解】因为5a 是37,a a 的等差中项， 所以5372a a a =+， 即7143a =+， 解得711a =， 故选：C【点睛】本题主要考查了等差中项，考查了运算能力，属于容易题. 3. 在平面内3),(3,1)AB AC →→==-，则||BC →=（ ）A. 23B. 22C. 2D. 3【★★答案★★】B【解析】【分析】根据向量减法可得BC AC AB→→→=-，直接计算向量的模即可. 【详解】(1,3),(3,1)AB AC→→∴==-∴(31,13)BC AC AB→→→=-=---22||(31)(13)22BC→∴=--+-=，故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的减法，向量的模，向量的坐标运算，属于容易题.4. 5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（）A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量【★★答案★★】D【解析】【分析】根据统计图，逐项分析即可.【详解】对于A，由柱状图可得五月出货量最高，故A正确;对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确;对于C,根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于2018年， 且明显总出货量低于2018年，故C 正确;对于D ，可计算的2018年12月出货量为()3044.4114.7%3569.05÷-=，8月出货量为()3087.51 5.3%3260.33569.05-÷=<，故12月更高，故D 错误,故选：D【点睛】本题主要考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于容易题. 5. 已知直线,a b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A. 若//a α，b α⊂，则//a b B. 若//a α，//b α，则//a b C. 若a α⊥，a b ⊥，则b α⊂ D. 若a α⊥，b α⊥，则//a b【★★答案★★】D 【解析】 【分析】A.根据直线与直线的位置关系判断；B.根据直线与直线的位置关系判断；C.根据直线与平面的位置关系判断；D.根据线面垂直的性质定理判断.【详解】A.若//a α，b α⊂，则//a b 或,a b 异面，故错误； B.若//a α，//b α，则//a b 或,a b 异面或相交，故错误； C.若a α⊥，a b ⊥，则b α⊂或//b α，故错误；D.若a α⊥，b α⊥，则//a b ，由线面垂直的性质定理知，正确. 故选：D【点睛】本题主要考查线与线，线与面的关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 6. 函数sin(1)y x =-的图象（ ） A. 关于点(1,0)对称 B. 关于直线1x =对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称【★★答案★★】A 【解析】 【分析】由已知利用正弦函数的图象和性质即可逐项判断求解.【详解】对于A ，由于f (1) =sin (1-1) =sin 0=0， 可得函数y=sin (x -1) 的图象关于点(1, 0)对称,故A 正确;对于B ，由于f (1) =sin (1-1) =sin 0=0≠士1,可得函数y=sin (x -1) 的图象不关于直线x =1对称，故B 错误;对于C,由于f (0) =sin (0-1) =-sin 1≠0,可得函数y =sin (x-1) 的图象不关于x 轴对称， 故C 错误;对于D ，由sin(1)sin(1)x x --≠-知sin(1)y x =-不是偶函数，图象不关于y 轴对称,D 错误. 故选：A【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题.7. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则圆周合体而无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的n 的值为（ ）3 1.73,tan 0.27,tan0.131224ππ≈≈≈）A. 6B. 12C. 24D. 48【★★答案★★】C 【解析】 【分析】列出循环过程中S 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环.【详解】模拟执行程序，可得:n =6，6tan3.466S π==≈，不满足条件S<3.2,执行循环体，n =12，12tan3.2412S π=≈不满足条件S<3.2,执行循环体，n =24, 24tan3.1224S π=≈此时，满足条件S<3.2,退出循环，输出n 的值为24 . 故选： C.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.8. 已知数列{}n a 的前n 项和21nn S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是（ ）A. 01p <<B. 1p =-C. 2p =-D. 1p >【★★答案★★】B 【解析】 【分析】由21nn S p =⨯+求通项，根据数列为等比数列即可求解. 【详解】21n n S p =⨯+,当1n =时，112+1a S p ==，当2n 时，()11121212nn n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+= 1p ∴=-当1p =-时，21nn S =-+， 可得12n n a -=-，由12(2)nn a n a -=≥知{}n a 为等比数列， 故{}n a 为等比数列的充要条件是1p =-， 故选：B【点睛】本题主要考查了由n S 求数列的通项公式，等比数列的通项公式、定义，充要条件，属于中档题.9. 已知曲线()2:20,0C y px y p =>>的焦点为F ，P 是C 上一点，以P 为圆心的圆过点F 且与直线1x =-相切，若圆P 的面积为25π，则圆P 的方程为（ ） A .()()221125x y -+-= B. ()()222425x y -+-= C. ()()224425x y -+-= D. ()()224225x y -+-=【★★答案★★】C 【解析】 【分析】根据以P 为圆心的圆过点F 且与直线1x =-相切，由抛物线的定义可知直线1x =-为抛物线的准线，则12p=，得到抛物线方程，根据圆P 的面积为25π，求得圆的半径，设()00,P x y ，由抛物线的定义和直线与圆的位置关系，由02px r +=，求得圆心坐标即可. 【详解】因为曲线()2:20,0C y px y p =>>的焦点为F ，P 是C 上一点，以P 为圆心的圆过点F 且与直线1x =-相切，由抛物线的定义得：直线1x =-为抛物线的准线， 则12p=， 所以2p =，所以抛物线方程为：24y x =， 因为圆P 的面积为25π， 所以圆的半径为5， 设()00,P x y ，因为圆与直线1x =-相切， 所以052px r +==， 解得04x =，则2044y =⨯， 又0y >，所以04y =，所以圆P 的方程为()()224425x y -+-=， 故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10. 已知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，若()ln3a f =，12ln2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. c a b <<C. b a c <<D.c b a <<【★★答案★★】B 【解析】 【分析】 先比较ln3，12ln2的大小关系，然后根据函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，即可判断,,a b c 的大小关系.【详解】根据对数函数的单调性可知：112ln ln ln 324=<，由39>>e e，所以3>，两边同时取对数可得ln ln 3>，即ln 3>，所以1ln 32ln2>>，因为()f x 在(),-∞+∞上是减函数，所以()1ln 32ln 2⎛⎫<< ⎪⎝⎭f f f ，所以c a b <<.故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性，解题的关键是会根据基本初等函数的单调性判断自变量的大小关系.11. 定义在R 上的偶函数()f x 对任意实数都有()()22f x f x -=+，且当(]1,3x ∈-时，()(](]1,112,1,3x f x x x ∈-=--∈⎪⎩，则函数()()5g x f x x =-的零点个数为（ ） A. 5B. 6C. 10D. 12【★★答案★★】C【解析】【分析】由题意判断出函数()f x为周期4T=的周期函数，将求()()5g x f x x=-的零点个数转化为求函数()()5g x f x x=-的零点个数，在平面直角坐标系里作出为函数()5=y f x与y x=图象，分析出其交点个数即可.【详解】由()()22f x f x-=+，所以()()4f x f x+=-，因为()f x为定义在R上的偶函数，所以()()f x f x-=，所以()()4f x f x+=，所以函数()f x的为周期4T=的周期函数，由()(](]21,1,112,1,3x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩可化为()(]()[]21,1,11,1,23,2,3x xf x x xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪-∈⎩，所以()(]()[]251,1,1555,1,2155,2,3x xf x x xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪-∈⎩，令()()50=-=g x f x x，所以()5=f x x，所以函数()()5g x f x x=-的零点个数即为函数()5=y f x与y x=图象交点的个数，作出()5=y f x与y x=图象如下：由函数图象可得，函数()5=y f x 与y x =图象交点的个数共10个，所以函数()()5g x f x x =-的零点个数有10个.故选：C【点睛】本题主要考查函数图像与零点，解题的关键是准确作出不含参数的函数图象，然后用数形结合的思想解题.12. 我们把数列()2nn a c=（其中*,,a b c N ∈）与()2nn b c=叫做“互为隔项相消数列”，显然n n a b Z +∈.已知数列{}n c 的通项公式为)1nn c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则2020c 除以4的余数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【★★答案★★】B 【解析】 【分析】由题意根据二项式定理先设)21nn n x y =+,n n x y N +∈，)21nn n x y =-，其中,n n x y N +∈，求出,n n x y 的关系等式，再由[]x 表示不超过实数x 的最大整数，求出2141n n n n x y x y ⎡⎤+=-=+⎣⎦，即可得出★★答案★★.【详解】根据二项式定理可设：)21nn n x y =+,n n x y N +∈，由题意可得：)21nn n x y =-，其中,n n x y N +∈，则))2222112nnn n x y =-，即()2222211nn n x y -=-=，所以有：2221n n y x =-，因为1n x >，所以()2222121n n n n x y x x -<=-<，所以21n n y x ⎡⎤⋅=-⎣⎦， 即有：221n n n x y x ⎡⎤+⋅=-⎣⎦，因为2221n n x y -= 即2221n n x y =+，所以有22141n n n n x y x y ⎡⎤+⋅=-=+⎣⎦因为()()20202101020201010101010102121241c x y y ⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以2020c 除以4的余数为1 故选：B【点睛】本题考查了二项式定理及根据新的定义求解，属于较难题. 二、填空题 13. 复数21ii=-__________． 【★★答案★★】1i -+; 【解析】【详解】()()()2122211112i i i i i i i i ⋅+-+===-+--⋅+ ，故★★答案★★为1i -+ 14. 某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为2，则该模具的体积为_____【★★答案★★】243π- 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为1的半球而形成，结合三视图中的数据可计算出该几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为1的半球而形成，且长方体的底面是边长为2的正方形，长方体的高为1， 因此，该几何体的体积为231422114233V ππ=⨯-⨯⨯=-. 故★★答案★★为：243π-. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是要结合三视图确定几何体的结构，考查计算能力，属于基础题.15. 实数,x y 满足约束条件20,10,0,x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，则ab 的最大值为______ 【★★答案★★】2 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用z 的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得ab 的最大值.【详解】作出不等式对应的平面区域,由(0,0)z ax bya b =+>>得a zy x b b=-+，则目标函数对应直线的斜率0a b -<，平移直线ay x b=-， 由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大. 由2010x y x y -=⎧⎨--=⎩解得(2,1)A此时z 的最大值为2422z a b ab =+=，当且仅当2,1b a ==时取等号.24ab ∴解2ab故★★答案★★为: 2.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点为12(2,0),(2,0)F F -，点P 是双曲线上任意一点，若12PF PF ⋅的最小值是2-，则双曲线C 的离心率为______【解析】 【分析】设()00,P x y ，先得12PF PF →→⋅的表达式，再由其最小值解出a ，即可求出离心率.【详解】设()00,P x y ，则22222200002221x y a x a y a b b-=⇒=+， 12(2,0),(2,0)F F -，2224c a b ==+()()22222220001200222444c x P x y x F y y a a bPF →→∴=+-+=+--⋅=+-，当00y =时等号成立，12PF PF →→⋅的最小值是2-，242a ∴-=-，解得a =又2c =，ce a∴==，【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，向量的运算，离心率的求法，属于中档题. 三、解答题17. 为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：（1）根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程；（2）若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润?（参考公式：回归方程y bx a =+，其中()()()121,niii nii x x y y a y bx x x b ==--==--∑∑）【★★答案★★】（1）20250y x =-+（2）8.25元 【解析】 【分析】(1)根据所给数据及参考公式求得b 与a 的值，可得线性回归方程；(2) 设工厂获得的利润为L 万元，则(4)(20250)L x x =--+ ，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）88.28.48.68.898.56x +++++==，908483807568806y +++++==.()()61(88.5)(9080)(8.28.5)(8480)(8.48.5)(8380)iii x x yy =--=--+--+--+∑(8.68.5)(8080)(8.88.5)(7580)(98.5)(6880)--+--+--14=-，()622222221(88.5)(8.28.5)(8.48.5)(8.68.5)(8.88.5)(98.5)i i x x=-=-+-+-+-+-+-∑0.7=，()()()6162114200.7iii i i xxy y b x x==---∴===--∑∑. 80208.5250a y bx ∴=-=+⨯=，∴回归直线方程为20250y x =-+.（2）设工厂获得的利润为L 万元， 则(4)(20250)L x x =--+220(8.25)361.25x =--+，∴该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用二次函数求最值，考查了运算能力， 属于中档题.18. 已知向量2sin ,3,cos ,cos ,()222x x x a b f x a b ⎛⎫⎛⎫=-==⋅ ⎪ ⎪⎝⎝⎭ （1）求()f x 最小正周期和最大值；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()22f A b =-=，且ABC 的面积为a .【★★答案★★】（1）2π，最大值为12-；（2）【解析】【分析】(1)先利用向量的数量积运算和三角函数的二倍角公式对函数()f x 的解析式化简整理,可求得函数最小正周期T 和最大值. (2)根据3()2f A =-，求得sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,进而根据A 的范围求得A ，再由余弦定理和三角形的面积公式可求得值. 【详解】（1）由题意得2133()sin cos 3cos sin cos 2222x x x f x x x =-=--3sin 3x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为2π，当232x k πππ-=+，即526x k ππ=+，k Z ∈时，函数()f x 的最大值为31-. （2）3()2f A =-，即sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3A π∴=.由题意得ABC 的面积12sin 2323c π⨯⨯⨯=，解得4c =. 由余弦定理得2222cos 416224cos123a b c bc A π=+-=+-⨯⨯=，23a ∴=.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及余弦定理.考查了学生综合运用基础知识的能力，属于中档题.19. 在几何体EFG ABCD -中，如图，四边形ABCD 为平行四边形，////AF BG DE ，平面//EFG 平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2AF AB AD ==，⊥EF EG .（1）求证：CE AD ⊥；（2）求二面角A CE D --的余弦值.【★★答案★★】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）由////AF BG DE ，得到平面ADEF ，平面ABFG ，根据平面//EFG 平面ABCD ，由面面平行的性质定理得到//EF AD ，进而得到四边形ADEF 为平行四边形，再根据DF ⊥平面ABCD ，得到DFAD ⊥，由//DF GC ，得到AD GC ⊥，同理得到AD EG ⊥，由线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面EGC 得证.（2）由（1）可知，直线DF 、DB 、DA 两两垂直.以D 为坐标原点，以DA 、DB 、DF 为坐标轴建立的空间直角坐标系D xyz -，设1DA =，则DB =，DF =面ACE 和平面CED 的一个法向量12,n n ，代入121212cos ,n n n n n n ⋅=求解.【详解】（1）证明：由////AF BG DE ，可知E 、F 、A 、D 四点确定平面ADEF ，A 、B 、F 、G 四点确定平面ABFG . ∵平面//EFG 平面ABCD ，且平面EFG ⋂平面ADEF EF =， 平面ABCD平面ADEF AD =，∴//EF AD ，四边形ADEF 为平行四边形.同理可得，四边形ABGF 为平行四边形，四边形CDFG 为平行四边形. ∵DF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴DFAD ⊥，而//DF GC ，于是AD GC ⊥. 由⊥EF EG ，//EF AD ， 则AD EG ⊥.由GC EG G ⋂=，GC ⊂平面EGC ，GE 平面EGC .∴AD ⊥平面EGC ，而EG ⊂平面EGC ， ∴AD EC ⊥.（2）由（1）可知，直线DF 、DB 、DA 两两垂直.以D 为坐标原点，以DA 、DB 、DF 为坐标轴建立的空间直角坐标系D xyz -.不妨设1DA =，则3DB =，3DF =.∴()0,0,0D ，()1,0,0A ，()3,0B，(3E -，()3,0C -，则(0,3,3CE =-，()3,0AC =-，()3,0DC =-，设平面ACE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100CE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则1111330,230,z x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11y =，则11z =，132x =， ∴平面ACF 的一个法向量为13,1,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面CED 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200CE n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则2222330,30,z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 令21y =，则21z =，23x =， ∴平面CED 的一个法向量为()23,1,1n =.∴二面角A CE D --的余弦值为121212755cos ,55n n n n n n ⋅==. 【点睛】本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，线线垂直与线面垂直的转化以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.20. 已知椭圆22:12x C y +=，直线:l y x m =+交椭圆C 于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求AOB 的面积；（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由．【★★答案★★】（1）23（2）存在m = 【解析】 【分析】（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出113y =或21y =-，利用面积公式121||2S OF y y =-即可得解； （2）设AB 中点()00,Q x y ，联立直线与椭圆方程，根据四边形OAPB 为平行四边形，根据韦达定理求得()00,Q x y ，进而求得求出点P 的坐标，代入椭圆方程，可得m ，即可求得★★答案★★．【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ． 直线l 过椭圆C 的右焦点F ，则1m =， ∴直线l 的方程为1x y =+．联立2222,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩得23210y y +-=，解得113y =或21y =-． ∴AOB 的面积为1212S OF y y =-()11211233=⨯⨯--=．（2）设AB 中点()00,Q x y ．联立2222,,x y y x m ⎧+=⎨=+⎩得2234220x mx m ++-=，∴()()22412220m m =-->∆，解得m <<．由韦达定理得1243m x x +=-，212223m x x -=．∵1212223my y x x m +=++=， ∴2,33m m Q ⎛⎫-⎪⎝⎭． 假设椭圆C 上存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形， 则0m ≠，且422,33m m OP OA OB OQ ⎛⎫=+==-⎪⎝⎭， 即42,33m m P ⎛⎫-⎪⎝⎭．又点P 在椭圆上，将其代入椭圆方程22422233m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m =，满足>0∆，且0m ≠．综上所述，存在m =，使得四边形OAPM 为平行四边形． 【点睛】圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决，考查了分析能力和计算能力，属于难题． 21. 已知函数()()cos xf x aex a R -=+∈.（1）若函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，0x 为函数()f x 在()0,π上的零点，求证：()000012sin cos x x e x x π-<-.【★★答案★★】（1）42a π-≥或0a ≤.（2）见解析【解析】 【分析】（1）先求导()sin xf x aex -'=--，根据函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调函数，转化为()0f x '≤在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即sin x a e x ≥-，()0f x '≥在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即sin x a e x ≤-，令()sin xg x e x =-，用导数法求导其最值即可.（2）由,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos 0x f x e x -=-+<，则00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易得 ()cos xf x e x-''=--在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由()0f x ''<，得到()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，结合()00f =，4042f e ππ-⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，202f e ππ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，进一步确定0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将证明()00012sin cos x x ex x π-<-，转化为证()0000sin cos cos 02x x x x π⎛⎫---<⎪⎝⎭，令()()sin cos cos 2h x x x x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，用导数法证()0h x <即可.【详解】（1）()sin xf x ae x -'=--，当函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()0f x '≤在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即sin x a e x ≥-，设()sin xg x e x =-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()sin cos sin 4xx g x ex x x π⎛⎫'=-+=+ ⎪⎝⎭.因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以444x πππ-<+<.当,24x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 所以()4max42g x g ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故4a π-≥.当函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增时， 则()0f x '≥在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即sin x a e x ≤-， 由上可知()()min 00g x g ==，故0a ≤.综上所述，实数a的取值范围为42a e π-≥或0a ≤. （2）当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos 0x f x e x -=-+<，故00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()sin x f x e x -'=-，由于x y e -=-和cos y x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()cos x f x e x -''=--在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()202f x f e ππ-⎛⎫''''<=-< ⎪⎝⎭，故()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 又()010f '=>，4042f e ππ-⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭， ∴存在唯一的10,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=， ∴()f x 在()10,x 单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. 又()00f =，404f e ππ-⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，202f e ππ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ∴函数()cos x f x ex -=-+在()0,π上的零点0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即001cos x x e =. 要证()000012sin cos x x e x x π-<-，即证()0000sin cos cos 02x x x x π⎛⎫---< ⎪⎝⎭.设()()sin cos cos 2h x x x x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()()()cos sin sin cos sin cos sin cos 22h x x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫'=+---+=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然()0h x '>在,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以()h x 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. ∴()02h x h π⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故原不等式得证. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明以及零点存在定理，还考查了转化化归，分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 与2C 交于,A B两点，若(2,P ，求||||PA PB +的取值范围.【★★答案★★】（1）220x y ++=；（2）(2,4]【解析】【分析】（1）由曲线2C 的极坐标方程,结合cos ,sin x y ρθρθ==运算即可;（2）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义求解即可.【详解】解：（1）cos ,sin x y ρθρθ==，由ρθ=-，∴曲线2C的直角坐标方程为220x y ++=.（2）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程，化简得24cos 10t t α++=，由>0∆，得21cos 4α>. 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12124cos ,10t t t t α+=-=>，12||||4|cos |PA PB t t α∴+=+=， 又1cos 12α<≤，24|cos |4α∴<≤， ||||PA PB ∴+的取值范围为(2,4].【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,重点考查了直线参数方程中参数的几何意义,属基础题.23. 已知函数()||f x x a a =-+（1）若不等式()3f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()(4)f x f x m ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.【★★答案★★】（1）1；（2）6m ≤【解析】【分析】（1）先解不等式()3f x ≤,然后利用待定系数法求解即可;（2）原不等式等价于|1||3|2x x m -++≥-恒成立,然后结合绝对值三角不等式的性质求解即可.【详解】解：（1）由()3f x ≤，得||3x a a -+≤，即||3x a a -≤-，得33a x a a -≤-≤-，解得233a x -≤≤.又不等式()3f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤，231a ∴-=-，1a. （2）()(4)|1|1|3|1f x f x x x m ++=-++++≥恒成立，|1||3|2x x m ∴-++≥-恒成立.|1||3||1||3||13|4x x x x x x -++=-++≥-++=，24m ∴-≤，6m ∴≤.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了绝对值三角不等式的性质，属基础题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020年四川省绵阳市高考数学四诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1}，B={x|x−x2=0}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. (0,1)D. {0,1}2.在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=()A. 5B. 8C. 10D. 143.设向量a⃗=(−1,4)，b⃗ =(x,8)，若|a⃗·b⃗ |=|a⃗||b⃗ |，则|a⃗−b⃗ |=()A. 5B. √13C. √17D. √1454.CPI是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月−7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是()A. 2018年1月−7月CPI有涨有跌B. 2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳C. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI涨幅最大D. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI有涨有跌5.下列命题正确的是()A. 若直线a//平面α，直线b//平面α，则直线a//直线bB. 若直线a//平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C. 若直线a//平面α，直线a//直线b，则直线b//平面αD. 若直线a//平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点6.已知函数y=sin3x，则下列说法正确的是()A. 函数图象关于y轴对称B. 函数图象关于原点对称C. 函数在(−π6,π3)上是减函数 D. 函数在(−π6,π3)上是增函数7.公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为(参考数据：√3≈1.732，sin15°≈0.2500，sin7.5°≈0.2588)()A. 48B. 36C. 24D. 128.已知数列{a n}的前n项和S n=2⋅3n+9，则()A. {a n}是等比数列B. {a n}是递增数列C. a1、a6，a11成等比D. S10−S5、S15−S10、S20−S15成等比9.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆心的圆过点F且与直线x=−1相切，若圆P的面积为25π，则圆P的方程为()A. (x−1)2+(y−1)2=25B. (x−2)2+(y−4)2=25C. (x−4)2+(y−4)2=25D. (x−4)2+(y−2)2=2510.已知函数y=f(x)是定义上的偶函数，当x∈(−∞,0]时，f(x)为减函数，若a=f(20.3)，b=f(log124)，c=f(log25)，则a,b,c的大小关系是()A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. a>c>b11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足①对任意的x都有f(x+4)=f(x)成立；②当x∈[0,2]时，f(x)=2−2|x−1|，则f(x)=1|x|在[−4,4]上根的个数是()A. 3B. 4C. 5D. 612.已知(x+1)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则a1+a2+⋯+a7=()A. 256B. 257C. 254D. 255二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 复数5i2+i = ______ ．14. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为______．15. 设x,y 满足约束条件{x −2y +4⩾03x −y −3⩽0x ⩾0,y ⩾0，若目标函数z =mx +ny(m >0,n >0)的最大值为3，则3m +2n 的最小值为_____. 16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，点B(0,b)，且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线C 的离心率为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：x(万元) 2 4 5 6 8 y(万元)2030505070(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂； 其中：参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−n⋅x−2，a ̂=y −−b ̂x ，参考数据：∑x i 25i=1=145，∑x i 5i=1y i =1270(2)据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =35，△ABC 的面积为4．(Ⅰ)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (Ⅱ)若b =2，求a 的值．19. 如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，∠ABE =60∘，G 为BE 的中点．(1)求证：AG ⊥平面ADF ；(2)若AB =√3BC ，求二面角D −CA −G 的余弦值．20. 已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0),c =1，直线x −y +1=0与椭圆交于C,D 两点，弦CD 的中点E(−47,37)(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，过F 2作直线l 交椭圆于A 、B 两点.是否在x 轴上存在点M(m,0)，使得x 轴平分∠AMB ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=e x −x −a(a ∈R)．(1)当a =0时，求证：f(x)>x ； (2)讨论函数f(x)零点的个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t (t 为参数)，以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P(−1,2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f(x)=|x−a|+a．(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m−f(−n)成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查交集的求法，是基础题．解方程求出集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A={−1,0，1}，B={x|x2=x}={0,1}，∴A∩B={0,1}．故选D．2.答案：B解析：本题主要考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题．解题的关键利用等差数列的性质a1+a7=a3+a5求解即可．解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a1+a7=a3+a5=10,所以a7=10−a1=8．故选B3.答案：C解析：本题主要考查向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，属于基础题．根据题意，可得|−x+32|=√17·2+64，解得x=−2，则a⃗−b⃗ =(1,−4)，则|a⃗−b⃗ |=√1+16=√17．解：∵a⃗=(−1,4),b⃗ =(x,8)，∴a⃗·b⃗ =−x+32，|a⃗|=√1+16=√17，|b⃗ |=√x2+64，∵|a⃗·b⃗ |=|a⃗||b⃗ |，∴|−x+32|=√17·√x2+64，解得x=−2，∴b⃗ =(−2,8)，∴a⃗−b⃗ =(1,−4)，∴|a⃗−b⃗ |=√1+16=√17．故选C．4.答案：D解析：解：对于A：2018年1月−7月CPI有4，7月涨有2，3，5，6，跌，故A正确；对于B：2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳，涨跌幅均在±0.1，0.2，故B正确；对于C：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月涨幅2.5，其值最大，故C正确；对于D：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI全部上涨，故D错误．故选：D．根据同比和环比的概念逐项分析可得．本题考查统计图的应用，属中档题．5.答案：D解析：本题考查空间中的线面位置关系，逐个选项验证即可．解：A.若直线a//平面α，直线b//平面α，则直线a//直线b或ab相交或异面，错误；B.若直线a//平面α，直线a与直线b相交，则直线b//α或b与α相交，错误；C.若直线a//平面α，直线a//直线b，则直线b//平面α或b在平面α内，错误；D.若直线a//平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点，正确．故选D．6.答案：B解析：根据三角函数的奇偶性和单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，比较基础．解：函数y=sin3x为奇函数，图象关于原点对称，则B正确，A错误，当−π6<x<π3时，−π2<3x<π，此时函数y=sin3x先增再减，不是单调函数，则C，D错误，故选：B．7.答案：C解析：列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=3√3，2不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．8.答案：D解析：解：由S n=2⋅3n+9，则a1=S1=15．n≥2时，a n=S n−S n−1=2⋅3n+9−(2⋅3n−1+9)=4×3n−1，a2=12，a6=4×35，a11= 4×310．由于n=1时不成立，因此此数列不是等比数列，也不是递增数列．由a62−a1a11=(4×35)2−15×4×310=−44×310≠0，因此a1，a6，a11不是等比数列．(S15−S10)2−(S10−S5)(S20−S15)=(2×315+9−2×310−9)2−(2×310+9−2×35−9)×(2×320+9−2×315−9)=4×320×(35−1)2−4×320×(35−1)2=0，∴S10−S5，S15−S10，S20−S15成等比，因此正确．故选：D．由S n=2⋅3n+9，可得a1=S1=15.n≥2时，a n=S n−S n−1，进而判断出正误．本题考查了等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：C。

绵阳南山中学2020年第四次高考适应性考试模拟数学试题（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}A 03,N x x x =<<∈，{B x y ==，则集合()R A B ⋂ð=（ ）A.{1，2}B.{1，2，3}C.{0，1，2}D.（0，1）2.已知1:12p x ≥-，()2:1q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A.(-∞，3]B.[2，3]C.(2，3]D.（2，3）3.若当R x ∈时，函数()xf x a =始终满足()01f x <≤，则函数1log ay x=的图象大致为（ ） A.B. C. D.4.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为（ ） A.120B.160C.200D.2405.用电脑每次可以自动生成一个属于区间（0，1）内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A.127B.23C.827D.496.下列说法正确的是（ ）A.命题“R x ∀∈，0x e >”的否定是“0R x ∃∈，00x e>”B.命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题 C.“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“()()2max min2x xax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”D.命题“已知x ，R y ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题 7.如图，在平行四边形ABCD 中，BAD 3π∠=，AB 2=，AD 1=，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NCBC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A.[0，3]B.[1，4]C.[2，5]D.[1，7]8.已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A.3B.2C.-2D.-39.若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b<+<+ C.()21log 2a b a a b b +<+<D.()21log 2a ba b a b +<+<10.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，*n N ∈，若()()122121n nn a n aa b +=--，*n N ∀∈恒成立，则n k T >的最小值是（ ） A.17B.149C.49D.844111.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF被球面所截得的线段长为 ）A.12πB.24πC.36πD.48π12.若函数()ln f x x a x =在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.（0，+∞）D.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二.填空题13.已知a 是实数，i 是虚数单位，若()211z a a i =-++是纯虚数，则a =______.14.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >，260S <，则数列(),25n n S n N n a +⎧⎫∈≤⎨⎬⎩⎭中的最大项是第______项.15.若函数()f x 对任意的x R ∈，都有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则127888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______。