冀教版-数学-八年级上册-分式

④
3x 2k
⑤ z2
x
⑥ 1 ab 2 ac ⑦ x
23
2
【解析】判断一个代数式是否是分式，看分母中是否含有字
母，若分母含有字母是分式；若分母不含有字母则不是分
2 2x
3x
式． 3x, 5x y , 2k
z2
,x
中分母含有字母是分式， x
2
和
1 2
ab

2 3
ac
1
是整式，2
不是分式，因为π不是字母，而是常数．
b）b2）（a

b

0）
这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论 回答) 我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分. (1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式. 利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去, 叫做分式的约分.
3ac
2a2 a b 是最简分式.这种说法对吗?为什么?
x 2, x 3 ,5x2, x 3 , ab , 1 , 2
5
3x 2 x y 4 x
思考：1.含有分母的式子就是分式吗？ 2.分式和整式相除有什么关系？
解:
x 2, x 3 ,5x2, 1
5
4
都是整式;
因为
x 3 , ab , 2 3x 2 x y x
的分母中都含有字母,所以它们都是分式.
12.1 分式（第2课时）
问题思考
下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论
根据是什么?
(1)
6a2b3 8a3b2

3b ; 4a
(2) x2 xy x . x2 y2 x y

−+×
7
8
9


＝ .
10
11
9. 若 x － y ＝2 xy ，则
1
2
−−
＋−
3
4
5
6


＝
7
8
9
.
10
11
10. 【新视角·结论开放】[2023广州中考]已知 a ＞3，代
数式：
A ＝2 a2－8， B ＝3 a2＋6 a ， C ＝ a3－4 a2＋4 a .
3
4
5
6
7
8
9
10
11
知识点3
6.
分式的化简求值

(＋)−(＋)
[2024石家庄月考]已知 ＝3，则
的值为

+＋
(
B
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 无法确定
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7.

−
[2024徐州月考]若 ＝3，则
＝


1
2
3
4
5
6
7
8
5
.
⁠
9
10
11
−
C
可以进行约分化简，则该分式中的 A 不
)
A. 1
B. x
C. － x
D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 约分：

(1) ；

(−)
(2)

知2－导
如何解分式方程
1
600 x
1 600 5x
4？
4
方程两边同乘以最简公分母 5 x ，得2 000－1 600
＝5x，解这个整式方程，得x＝80.4
把x＝80代入上述分式方程检验：
所以x＝左80边是该1分8600式0 方51程608的00 解 4. 右边. 4
感悟新知
解分式方程的一般步骤：
感悟新知
例4 解方程： 2 2 x 3. x2 2 x
解：方程两边同乘x＋2，得 2－(2－x)＝3(x＋2). 解这个整式方程，得 x＝－3. 经检验，x＝－3是原分式方程的解.
知4－练
感悟新知
总结
知4－讲
在去分母时，方程两边同时乘最简公分母，必须 每一项都要乘，不能认为有分母的就要乘，没有 分母的就不用乘，而是有几项就要乘几项，不能 漏乘.
知2－讲
①去分母：给方程两边都乘各分式的最简公分
母，约去分母，化为整式方程；
②解这个整式方程，得到整式方程的根；
③验根：把整式方程的根代入分式方程（或最
简公分母），使分母的值不等于零的根是原分式方
程的根，当分母的值为零时，分式方程无解；
④写出分式方程的根．
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏乘不含分母
感悟新知
例1 判断下列方程是不是分式方程：
知1－练
(1) 2x 3 8;(2) 3 4 ;
2
4x x2
(3) x2 1;(4) 1 1 .
x
x2 y3
导引：(1)中的方程分母中不含有未知数，
(2)(3)(4)
中解的：方(1)程不分是母分中式含方有程未；知(2数)是．分式方程；(3)是分式

五 分式方程
1 2 7 13.解方程： 2 . x 1 x 1 x 1
解： 方程两边乘以( x 1)( x -1), 得
( x 1) 2( x 1) 7,
x 1 2 x 2 7, x 2.
经检验,
x 2是原方程的解.
14.我校初二年级的学生到距学校15千米的风景区秋游,一部
1 A=_____, 2 B=____.
x2 m 1 8.若关于x的方程 产生增根， x 1 x 1
则m=______. 2
x 9.将公式 y 变形成用 x 1 y
y表示 x ,则
x ＝ 1 y
.
x 10.计算：
x y 2 . x x y x xy
2
y
2
解：
x y x y 2 x x y x xy 2 2 ( x y)( x y) x y x( x y ) x( x y ) x( x y ) 2 2 2 2 x y x y 0. 2 x xy
四 分式的化简求值
11.请将下面的代数式尽可能化简,再选择一个你喜欢的数代
入求值.
a2 1 2a (a 1) . a 1
2
解： 原式= 2 a ( a 1) ( a 1)( a 1) a 1 a 1 a 1 a 1

2 a 2 a ( a 1) ( a 1) a 1 2 a ( a 1) a 1 2 a.
2.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的
系数是正数：
1 a a 1 a a2
2
3

1 a a ; 2 1 a a

A
D
∠ABC＝∠DCB (已知)，
BC＝CB (公共边)，
∠ACB＝∠DBC (已知)， B
C
∴△ABC≌△DCB (ASA).
针对训练
2. 已知△ABC 和△DEF，下列条件中，不能保证
△ABC 和△DEF 全等的是 ( D
)
A. AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
B. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF
例质1 如图，已知△ACE≌△DBF，CE = BF，AE = DF， AD = 8，BC = 2. (1) 求 AC 的长度；(2) 求证： C(E1∥) B解F.：∵△ACE≌△DBF，
∴ AC = BD，则 AB = DC. ∵ BC = 2，∴ 2AB + 2 = 8， ∴ AB = 3. ∴ AC = 3 + 2 = 5. (2) 证明：∵△ACE≌△DBF，∴∠ECA =∠FBD. ∴ CE∥BF.
1 x
1 x
2a
1
3 ＝
a 2． 4a ．4
化 2a
简
：
ab ab ba
1
4．计算：
5.计算: ＝
x2 4y2
2 3xy3．
xy
x2 1
y
x2y ＝
3y2
1
．
6的.分最式简a公 1分, a2
a 1
a
2a 1
12
,
a 1
母是_______________.
三 分式的运算
7 Ax B 5x 3x 1 ， 则x 3 x 3 3 x
B D BD BD
BD
AC BD
AD BC BD BD
AD BC . BD
分式的混合运算法则

感悟新知
知3－讲
特别解读 对增根的理解： (1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解； (2)若分式方程有增根，则它使最简公分母的值
为0.
感悟新知
知3－练
例3
[母题
教材
P19
观察与思考]
解方程：
x +1 x－1
+1
4 －
x2=1.
解：方程两边同乘(x － 1)(x ＋ 1)，
得( x ＋ 1) 2 － 4=( x － 1)(x ＋ 1) .
方程两边同乘 x( x＋2)(x－2)，
得 4(x－2)+7x=6 ( x＋2) ，解得 x=4.
检验：当 x=4 时， x ( x＋2)(x－2)≠ 0.
所以原分式方程的解为 x=4.
感悟新知
知2－练
2-1. [ 中考·淮安 ]方程2xx－＋11=1 的解是__x_＝__－__2_ .
感悟新知
感悟新知
知1－练
1-1. [ 中考·台州 ]3 月12 日植树节期间，某校环保小卫 士组织植树活动．第一组植树12 棵；第二组比第 一组多 6 人，植树 36 棵；结果两组平均每人植树 的棵数相等，则第一组有 __3___人 .
课堂小结
分式方程的 应用
分式方程 的应用
一般步骤 常见类型
审、设、列、解、验、答
感悟新知
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1. 解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏
乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括 号括起来 . 2. 解分式方程一定要检验，对于使最简公分母 为0的解必须舍去.
感悟新知
3. 检验方程解的方法

的分子，B叫做分式的分母.
(1)分式与分数的相同点是：形式相同，都有分 子和分母；不同点是：分式的分母含有字母． (2)分式与整式的不同点是：整式的分母不含有
字母；分式的分母含有字母．
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式. x3 x 3 ab 1 2 2 x 2, ,5x , , , , . 5 3x 2 x y 4 x
由于x＋3是分式的分母，因此x＋3≠0.
所以x≠－3.
总 结
求分式有意义时字母的取值范围，一般是根据分 母不等于0构造不等式，求使分式的分母不等于零的 字母的取值范围，与分子的取值无关．
1 在什么情况下，下列各分式无意义？
2 x 3 ab , , . x 3x 2 x y
2 x 2 使分式 无意义的x满足的条件是( x2
x2 1 【中考· 温州】若分式 的值为0，则x的 x3
值是( A．－3 ) B．－2 C．0 D．2 x 1 2 当分式 的值为0时，x的值是( ) x2 A．0 B．1 C．－1 D．－2
知识点
3
分式的基本性质
分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的数， 其值不变.如
2 2 2 10 10 10 , . 3 3 2 100 100 10
B．1
C．－1
D．±1
导引：分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，
由此条件解出x即可．由x2－1＝0，得x＝±1.
当x＝1时，x－1＝0， 故x＝1不合题意；
当x＝－1时，x－1＝－2≠0，
所以x＝－1时分式的值为0.
总 结
分式的值为零必须同时满足两个条件：分子为零
且分母不为零，两者缺一不可．
1．在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义； 当分母的值为0时，分式无意义．

冀教版数学八年级上册12.1《分式》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册12.1《分式》是学生在掌握了实数、代数式等基础知识后的进一步学习，是对实数体系的拓展和深化。

本节内容主要介绍了分式的概念、分式的基本性质、分式的运算以及分式方程的解法等。

通过本节内容的学习，使学生能够理解和掌握分式的相关知识，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、代数式等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

但部分学生对于抽象的数学概念和运算规则的理解和运用还有一定的困难，因此，在教学过程中，需要针对这部分学生进行针对性的引导和帮助。

三. 教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2.学会分式的运算规则，提高运算能力。

3.掌握分式方程的解法，提高解决问题的能力。

4.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。

四. 教学重难点1.分式的概念和基本性质的理解。

2.分式运算的规则和运算能力的培养。

3.分式方程的解法的掌握。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究分式的相关知识。

2.运用实例讲解，让学生直观地理解分式的概念和运算规则。

3.采用分组讨论的方式，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。

4.运用练习题进行巩固和拓展，提高学生的运算能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示分式的相关知识和实例。

2.准备练习题，进行巩固和拓展。

3.准备黑板和粉笔，用于板书和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入分式的概念，让学生直观地理解分式的含义。

如：ab，其中a和b都是整数，且b≠0。

2.呈现（15分钟）讲解分式的基本性质，如：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个非零整数，分式的值不变。

同时，展示分式的运算规则，如：ab +cd=ad+bc bd ，ab⋅cd=acbd等。

3.操练（15分钟）让学生分组进行分式的运算练习，教师巡回指导，及时纠正错误，帮助学生掌握分式的运算规则。

1 x-5
=
10 x2-25
去分母后得到的整式方程的解却不
是原分式方程的解呢？我们来观察去分母的过程
= 100
20+V
2600-V当两v=边5时同,乘(2(02+0v+)v()2(02-0v-)v≠)0100(20-v)=60(20+v)
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的
解与分式方程的解相同.
1
方程两边同乘x－1 当x＝1时x－1＝0
x+1＝－(x－3)＋(x－1)
方程两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分 母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
解分式方程一般需要哪几个步骤?
①去分母，化为整式方程.
②解整式方程. ③检验.
必须检验！
把未知数的值代入最简公分母，看结果是
不是零，假设结果不是0，说明此根是原方程
(2)约去分母后，分子是多项式时，没有 注意添括号．(因分数线有括号的作用〕 (3)增根不舍掉。
布置作业
1.p20练习，p21A组2 ， B组〔必做〕
2.拓展与延伸：〔选做〕
※:
1 1 1
1 11
1 2 2 23 2 3
1 11 34 3 4
根据你发现的规律
〔１〕写出第ｎ个式子
，
〔２〕利用规律计算：
∴原分式方程无解。
解方程
(1) 38 2 2 1 9x x
x 1 x 3
(2)
1
x 1 1 x
我们来观察去分母的过程
38 9x
2
2 x
1
方程两边同乘 9x 当x＝ 6 时9x≠0
38－2＋9×2＝9x
方程两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的

（2）由x+4=0，
解得x=-4.
当x=-4时，分母2x-3=-8-3=-11 0.
因而，当x=-4时，分式
x4 2x 3
的值为零。
运用新知
练习2 下列分式中的x 满足什么条件时，分式的
值为零？
（1）2 x 1 ；（2）x2 1 ．
x3
x
解：（1）x 1 ；（2）x 1.
2
课堂小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）你能举例说明什么是分式吗？ （3）如何确定分式有意义的条件？
10
为 7 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应
S
为 a cm.
探索新知 问题4 填空：
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱
200
形容器中，水面高度为 33 cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度
V
为 S.
探索新知 追问1 上面问题中得到的式子 10 ，S ，200 ，V 哪
问题3 应怎样设未知数？如何根据等量关系列出 方程？
解：设江水的流速为v km/h. 依题意得： 90 60 .
30 v 30 v
追问
式子
90 30
v
，3060 v 与分数有什么相同点
和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？
探索新知 问题4 填空：
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应
（2）当x是什么数时， x 4 分式 的值为零？
2x 3
解：（1）当分母的值等于零时，分式没有意义，
除此以外，分式都有意义。
由x-2=0，
解得 x=2，因而，当x
2时，分式
x
4

D.
−
·＝
−
+

( −)
A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 化简分式



÷
＋
的最后结果是(
−
−+
+
−
A.
+
+
B.
−
C. 1
+−
D.
−
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
C
)
3. [2023唐山路北区模拟]试卷上一个正确的式子

＝2.
−
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)[2023娄底中考]

+
−

−
÷

2－3 x
，其中
x
满足
x
−
－4＝0.
解：原式＝
(−)
(+)
−
(+)(−)
(+)(−)
÷

＝
−
−−
·( x ＋1)( x －1)＝ x2－3 x －2，
+
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点2

解：(1) b a b b (a b)
2a 2a
2a
b a b a 2a 2a
1; 2
(2) a 2a 3a b1 b1 b1
a 2a 3a b 1
0.
提示 直接运用同分母分式的加减法则进行运算即可，还 要注意计算结果必须是最简分式或整式.
二 通分
问题 类比分数的通分你能把下列分式化为分母相同的分式吗？
异分母分式的加减
异分母分式相加减 ，先通分,变为同分母的分式,再加减.
a c ad bc ad bc ; a c ad bc ad bc . b d bd bd bd b d bd bd bd
第十二章 分式和分式方程
12.3 分式的加减
第2课时
学习目标
1.复习并巩固分式的运算法则. 2.能熟练地进行分式的混合运算.（难点）
x 1 x 1 x 1
x 1
x x23 x x 1.
x 1
x 1
2.计算：
72
(1)
x
x
； (2) ─
.
6x 2 y 3xy 2
x3 x2
解：
= (1)原式=
7y 6x2 y2
4x 6x2 y2
7y 4x 6x2 y2 ;
(2)原式=
x(x 2) (x 3)(x 2)
─
x(x 3) ; (x 3)(x 2)
同分母分式的加减
同分母分式相加（减） ，分母不变,把分子相加（减）.
AC AC. BB B
注意 （1）分子相加减应将各式的分子看成一个整体，不 能割裂，必要时（主要是相减时）可加上括号； （2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式.
典例精析
例1

性质能对分式如何变形？
当堂训练
1.下列各式：
①
2
3
m＋n
x＋2
;② 2 ; ③
;④
，
5x
5
a＋1
x＋3
其中是分式的是
①②④
（填序号）.
当堂训练
x
2.当x取什么值时，分式
无意义（ A ）
2x−1
1
A. x =
2
1
B. x =﹣
2
C. x = 0
D. x = 1
第十二章
分式和分式方程
12.1 分式
第1课时 分式及其基本性质
单元内容结构图
学习目标
1．经历分式概念的建立过程，发展符号感。
2．理解分式有意义的条件及分式值为零的条件.
3．经历由类比、猜想获得分式的基本性质的过程，发展
学生的合情推理能力。
导入新课
1.一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的
探究新知
学生活动一 【大家谈谈】
由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式：
1 3 1 b n
m
, ; , ; ,
5 5 a a m n＋
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样
的两类？
探究新知
A
定义：一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，
B
其中，A，B都是整式，且B含有字母 . A叫做分式
的分子，B叫做分式的分母.
巩固练习
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式 .
x＋3
x−3
ab 1 2
2
x－2，
，5x ，
，
， ， .
5
3x＋2 x−y 4 x

(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
∴x = ±2 又x+2≠０
即 x ≠ -2
∴x = 2
当x是什么数时，分式 x 1 的值为零？
x1
解：当分子等于零而分母不为零时,分式值为零.
即 x10x1
又 x 10 x-1 x 1
已知，当x=5时，分式 2 x k 的值等于零，求k 3x 2
x23x2
当A=0而 B≠0时，分式 A 0 B
已知分式 x 2 4 x2
(1)当x为何值时，分式无意义?
(2)当x为何值时，分式有意义?
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
解：(1)当分母等于零时,分式无意义.
解：(３)当分子等于零而分母不为零时,分式值为零.
即x+2=0
则x2 - 4=0
∴ x = -2
2、分式有/无意义的条件(分母的限制条件)（对议） 3、分式 A 0 的条件（组议）
B
4、订正提纲答案，解决疑难问题。（组议）
要求：组长负责，全员参与！
1、下列各式是分式的有哪些？（C层）
5x 1
3
2
x
5x3
2x y 3x y
x 1
2x y

5x3 2x2
2 (m n)(m n)
3
2、在什么情况下，下列各分式无意义？（C层）
2
x3
ab
x 3x 2 x y
3、当x取何值时，分式 x 有意义？ x1
当x取何值时，分式 x 值为0？（B层）
x1
4、若分式 x 2 1 的值为0，则x的值等于
x1
（A/B层）
5、已知 x2时，分式
x x

分式的乘方就是分子、分母分别乘方.
(a)n an . b bn
典例精析
例3
计算：
2a2b 3c
2
.
解：
2a2b 2
3c
=
2a2b 2 3c 2
4a4b2 9c2
.
当堂练习
1.计算：
x+1 2x
∙
4x2 x2-1
.
解：
x+1 4x2
2x ∙ x2-1
=
(x+1) ∙4x2 2x ∙ (x2-1)
知2－练
2 王老师家在商场与学校之间，离学校1 km，离 商场2 km．一天王老师骑车到商场买奖品后再 到学校，结果比平常步行直接到校晚20 min． 已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间 为10 min．求骑车的速度．
知识点 3 列分式方程解应用题的常见类型
知3－讲
分式方程的应用题主要涉及的类型：
=
(x+1)∙ 4x2 2x ∙ (x+1)(x-1)
=
2x x-1
2.计算：
1
2b a
2
;
2
2x2 y4 5z3
3
.
解：
1
2b a
2
2b a
2b 2b 2b 4b2 ; a a a a2
2
2x2 y4 5z3
3
2x2 y4 5z3
2x2 y4 5z3
(1)利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝
利润 进价
×100%；
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；
(3)行程问题：路程＝速度×时间．
注意：列分式方程解应用题，往往与实数的运算或不等

一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”和“方程与不等式”主题中的“分式和分式方程”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,学生将认识负数、无理数,学习它们的四则运算,还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.本章学生将学习分式和分式过程,了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算,能解可化为一元一次方程的分式方程,能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.分式和分式方程的教学要通过探索分式方程的解法,体会化归思想;通过探究增根产生的过程,培养逻辑分析能力;用列方程解决实际问题,体会模型思想,建立符号意识,感受生活数学化过程,增强学生学数学、用数学意识;通过课堂活动,培养合作意识和探究精神,形成数学思维,实现数学核心素养要求.2.本单元教学内容分析冀教版教材八年级上册第十二章“分式和分式方程”,本章包括五个小节:12.1分式;12.2分式的乘除;12.3分式的加减;12.4分式方程;12.5分式方程的应用.义务教育阶段的数学学习,学生要能:(1)获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本生活经验.(2)体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,在探索真实情境所蕴含的关系中,发现问题和提出问题,运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题.(3)对数学具有好奇心和求知欲,了解数学价值,欣赏数学美,提高学习数学的兴趣,建立学好数学的信心,养成良好的学习习惯形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神.本章与分数的相关知识类似,重点在于探索分式的有关概念和运算法则,对分式的概念、分式的基本性质及分式的运算的学习,都要注意通过与分数的有关知识进行类比,让学生真正的去探索,去发现知识之间的内在联系,加深对基础知识的理解,使基本技能的训练更加扎实,对数学思想的认识更加充实,有效地积累基本活动经验.同时经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题和解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用数学意识,进一步引导学生借助分式方程来解决实际问题,了解现实世界中事物的相互联系.通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识、逻辑思维能力和计算能力,在活动中培养学生乐于自主探究,合作交流的学习习惯,体会数学源于实际、用于实际的学科价值与文化价值.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十二章“分式和分式方程”,在小学学生已学习了“分数”,初步了解了分数的基本性质和定义,在此基础上,类比分数的基本性质,探索分式的概念和基本性质,可以加深学生的理解和应用,学生小学学习的关于分数的加、减、乘、除以及通分、约分等知识,都可以作为学习分式的基础.在学习了整式方程即“一元一次方程”“二元一次方程组”后,学生对整式方程的解法和基本思路(使方程逐步化为x=a的形式)已经比较熟悉,而分式方程的未知数在分母,解法步骤稍显复杂,但化为整式方程后的解法体现了解方程的统一性.在后续“二元一次方程”的学习中,会感受到方程求解的一般路径,这也是方程思想有益积累和传承.八年级学生独立思考和探索交流的能力有所提高,并能在探索的过程中形成自己的观点,能在交流中倾听别人的意见,丰富自己的想法观点,具有一定的思维独立性和批判性.但由于年龄特征,数学思维不够完善,方程运算能力和方程建模能力尚在发展中,需要教师引导其从感性认知向理性认知发展.四、单元学习目标1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步培养符号意识.2.经历由观察、类比、猜想获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式恒等变形能力,积累类比的活动经验.3.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的根的合理性,发展运算能力.4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力,增强应用意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和建模思想.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

解： (2)
x2
x2 9 6x
9

(
x
3)( x ( x 3)2
或分母若 是多项式，能分解则必 须先进行因式分解.再找 出分子和分母的公因式 进行约分
约分
x2 1 (1) x2 2x 1
m2 3m (2) 9 m2
练习
x2 4x 3 x (3) 2 x 6
分子等于零且分母不等于零
例3 对于分式 x2 4 .
x2
⑴当x等于何值时，分式无意义？ ⑵当x等于何值时，分式的值为零？
解（1）由x-2=0，得x=2. ∴当x=2时，分式无意义.
（2）由x²-4=0，得x=2或-2； 由x-2≠0，得x≠2. ∴x=-2时，分式的值为零.
随堂练习
1.若分式
x2 7x
(4)
49 x2
12.2 分式的乘除
分式的乘法法则：两个分式相乘， 把
分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的 分母. 分式的除法法则：两个分式相除， 把 除式的分子分母颠倒位置后 ， 再与被除式相乘.
例1: 计算
(1)
4
3
x y

y 2x
3
（2） ab 3 5a2b2 2c2 4cd
（7） x2 xy y2 2 x1
（8）m
(
n 7
p
)
整式：⑴⑵⑶⑻
分式：⑷⑸⑹⑺
二、分式的求值
a 1
例2 当a=1，2时，分别求分式 2a 的 值.
解：当a=1时，a2a1 =
11 21
=1
当a=2时，
a 1 2a
= 21 = 3
22 4