2.1.1平面及其表示方法

第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3

公理
文字语言
如果两个不重合的平
面有一个公共点,那么 公理3
它们有且只有一条过
该点的_公__共__直__线__
图形语言
符号语言
P∈α且P∈β⇒
_________ α∩β=l, ______ 且P∈l
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)一个平面能把空间分成几部分? 提示:因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分. (2)若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α? 提示:根据直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
(2)平面的画法.
常常把水平的平面画成一个_平__行__四__边__形__,并且 其锐角画成_4_5_°__,且横边长等于邻边长的_2_倍.
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体 感,被遮挡部分用_虚__线__画出来.
(3)平面的表示方法. ①用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.
【解题探究】典例中梯形ABCD的两腰分别是什么?其延长后的交点位 于什么地方? 提示:结合题意可知梯形ABCD的两腰分别是AB,CD,它们延长后的交点 既在平面α内又在平面β内.
【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰. 因为AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M. 又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β=l,所以M∈l. 即AB,CD,l共点(相交于一点).
【总结提升】 1.公理1、2、3的意义和作用 (1)公理1. 意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的 “平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”. 作用:既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：

A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
例4：根据下列条件作图：
(1) A∈，a，A∈a； (2) a ，b，c，且a∩b＝A， b∩c＝B，c∩a=C.
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？ c a d b
3. 平面的画法：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
图形语言：

符号语言：
A
B
l
公理1是判断直线是否在平面内的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
B A C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
文字语言：
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.

B A C
α A
B C
公理2.过不在一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理2.过不在一直线上的三点，有且只有一个平面. 2.
文字语言： 文字语言： 公理2. 过不在一直线上的三点， 公理2. 过不在一直线上的三点，有且只
有一个平面. 三点确定一个平面） 有一个平面.（三点确定一个平面）
图形语言： 图形语言：
b A α
D C B a
练习4：
下列命题正确的是（ ） A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平 面
小结
1.平面的概念； 1.平面的概念； 平面的概念 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 平面的画法、 平面的画法 法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言 图 点 直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 判断两个面的位置； 判断点在直线上） （①判断两个面的位置；②判断点在直线上）
图形语言： 图形语言：
β
α
P
L
符号语言： 符号语言：
P ∈ α α ∩ β = l ⇒ P ∈ β P ∈ l
例题分析
用符号表示下列图形中点、直线、平面 用符号表示下列图形中点、直线、 之间的关系. 之间的关系
a ⊂ α , A ∈ a, ⇒ A ∈ α
④经过三点确定一个平面； 经过三点确定一个平面； ⑤一个平面可以把空间分成两部分. 一个平面可以把空间分成两部分
⑥平面 α 与平面 β 相交，它们只有有限个公共点。 （ ） ⑦经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个 平面。 （ ） ⑧经过两条相交直线，有且只有一个平面。（ ） ⑨如果两个平面有三个不共线的公共点， 那么这两 个平面重合。（ ）

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8
平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面、镜面和黑板面等 都给我们以平面的印象。
几何中的“平面”是现实平面加以抽象的结果。
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9
立体几何中的平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄
不是凹凸不平 没有边界
无所谓面积 没有体积
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10
平面的表示方法
2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平 面内、点在直线上，则点在平面内。
3.表明平面是“平的”。
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17
直线与平面的位置关系
直线l在平面α内：记为：l∈α
直线l不在平面α上：记为：l α
l ll
α
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18
思 考
生活中，我们常看到用三脚架固定相机 等物品。这样做有什么原因吗？
示，如：平面ABCD,平面AC，平面BD。
D
A
C B
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13
点与平面的位置关系 点A在平面α内：记为：A∈α
点B不在平面α上：记为：B α
B αA
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14
考思
若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否 在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
把直尺和桌面分别Biblioteka 做一条直线和一个平面。 （1）若直尺上的一个点在桌面内，直线可能不在面 上。（2）若直尺上有两个点放在桌面上，整个直尺 就落在了桌面上。
几何画法：通常用平行四边形来表示平面。
D
A
C B
通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画 成邻边长的2倍。
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11

第一课时平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们师：生活中常见的如黑板动给予评价，点出主题. 培养学生感性探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个③有一个平面的长是50m，宽④平面是绝对的平，无厚度师：刚才大家所讲的一些下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无加深学生对平探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成们常把被遮挡的部分用垂线画出来（2）平面的表示法1：平面α，平面β.法2：平面ABCD，平面AC或（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成αα∈师：在平面几何中，怎样师：这位同学画的实质上生：画出平面的一部分，师：大家画一下.学生动手画平面，将有代加深学生对平探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一α使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只师：我们下面学习平面的在平面上，调整直线上另一点生：当直线上两点在一个师：这处结论就是我们要师：从集合的角度看，公直线是由无数个点组成的过直线l，记作lα⊂，否则就α下面请同学们用符号表示学生板书，教师点评并完大家回忆一下几点可以确生：两点可确定一条直线师：那么几点可以确定上学生思考，讨论然后回答生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要师投影公理2图示与符号师：下面请同学们观察教生：这两个平面的无穷多通过实验，培加强学生学生在观察、平面是有的，而且只有一个”，也“有且只有一个平面”也可以说（2）过A 、B 、C 三点的平面可记公理3：如果两个不重合的平（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：lP P lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）公理3作用：判断两个平面师：我们把这条直线称为3. 典例分析例1 如图，用符号表示下图分析：根据图形，先判断点、解：在（1）中，l αβ=，a α=aβ=在（2）中，l αβ=，a α⊂b β⊂a=b=学生先独立完成，让两个学生巩固所学随堂练习1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确C ．四边形确定一个平面学生独立完成 答案： 1．D2．（1）不共面的四点可巩固所学D ．两两相交且不共点的三条2．（1）不共面的四点可以确（2）共点的三条直线可以确3．判断下列命题是否正确，（1）平面α与平面β相交，（2）经过一条直线和这条直（ ）（3）经过两条相交直线，有（4）如果两个平面有三个不4．用符号表示下列语句，并（1）点A 在平面α内，但点α（2）直线a 经过平面α外的（3）直线a 既在平面α内，β（2）共点的三条直线可3．（1）×（2）√（34．（1）A α∈，B α∉. （2）M α∉，M α∈. （3）a α⊂，a β⊂.归纳总结1．平面的概念，画法及表示方法2．平面的性质及其作用 3．符号表示 4．注意事项学生归纳、总结教学、补回顾、反课后作业 2.1第一课时 习案 学生独立完成备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．αb adcG F EAa bcd α H K图1图2设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1C A 1C ⊂平面A 1C 又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O⇒O ∈平面BC 1D⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上.AC ∩BD = M ⇒M ∈平面BC 1D 且M ∈平面A 1C平面BC 1D ∩平面A 1C = C 1M⇒O ∈C 1M ，即O 、C 1、M 三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2⇒O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D CB A。

实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
Байду номын сангаас空间图形
文字叙述
符号表示
平
第二课时
面
复习巩固： 1.公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内 作用 ：判定直线是否在平面内 2：公理2： 经过不在同一条直线上的三点,有且 只有一个平面 经过一条直线和这条直线外一点（两 推论： 条相交直线，两条平行直线）,有且只 有一个平面 作用 确定平面的依据 如果两个不重合的平面有一个公共点，那 3.公理3： 么它们有且只有一条过该点的公共直线 作用 ①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上． ：
B C F E H G
A
D
E , E 点E在面与的交线上， 同理，G, H , F也在面与的交线上 点E, G, H , F四点共线。
4.已知：正方体ABCD ABCD, E是C1C的中点， F是B1C 的中点，
D
C
求证：DE, D1C1 , A1 F必交于一点 .A 证明： A1 D // EF , 且EF A1 D
小结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
A 4.三条公理 公理1. AB B
王新敞
奎屯
新疆
公理2. A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理3.P , P , l P l
C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面
3、在空间中，下列命题错误的是（

定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言 如果一条直线上的________ 两点 在一个平面内，那么这条直线在 此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内 作用 判断直线在平面内 用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证： 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交， 那么这四条 直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面． 证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确

高一数学必修二教案课题§2.1.1平面课型新课教学目标（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.教学过程教学内容备注一、自主学习二、质疑提问思考1:生活中有许多物体通常呈平面形，你能列举一些实例吗？思考2:将一条线段向两端无限伸展得到的图形是什么？将课桌面、平静的水面、田径场地面向四周无限伸展得到的图形是什么？三、问题探究思考1:直线是否有长短、粗细之分？平面是否有大小、厚薄之别？思考2:我们不可能把一条直线或一个平面全部画在纸上，在作图时通常用一条线段表示直线，你认为用一个什么图形表示平面比较合适？思考3:我们常常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的2倍.下列平行四边形表示的平面的大致位置如何？思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l上”,“点A 在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？思考6:如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，否则，就说直线l在平面α外. 那么“直线l在平面α内”，“直线l在平面α外”，用集合符号可怎样表示？思考1:如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内?思考2:如图，设直线l与平面α有一个公共点A，点B为直线l上另一个点，当点B逐渐与平面α靠近时，直线l上其余各点与平面α的位置关系如何变化？思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线l上其余各点与平面α的位置关系如何？由此可得什么结论？公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.思考4：公理1如何用符号语言表述？它有什么理论作用？且,,,A lB l A B l思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？经过三点、四点可以作多少个平面？思考2:照相机，测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？公理 2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.思考4:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”，它有什么理论作用？思考5:由公理2你能推出些什么结论？推论１：经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面.推论2：经过两条相交直线可以确定一个平面.推论3：经过两条平行直线可以确定一个平面.思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个.如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？思考3:根据上述分析可得什么结论？公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.思考4:若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.平面α与平面β相交于直线l ，可记作l ，那么公理3用符号语言可怎样表述?思考5:你能说一说公理3有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据.例1 ：如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）直线AC 1在平面A 1B 1C 1D 1内；（2）设正方体上、下底面中心分别为 O 、O1，则平面AA1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1；（3）由点A ，O ，C 可以确定一个平面；（4）平面AB 1C 1与平面AC1D 重合. ,,P l Pl且P 且例2: 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.四、课堂检测五、小结评价（1）平面的概念、画法、表示方法；（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关系，描述三个公理；（3）逐步培养空间想象能力.。

符号表示：P ∈α ∩β α ∩β = l，且 P ∈l。
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
精品课件
新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
精品课件
证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
精品课件
问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
精品课件
2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交

D1 A1
C1 B1
D A
C B
三、点、线、面的基本位置关系的符号表示
从运动的观点看，点动成线，线动成 面，从而可以把直线、平面看成是点的集 合，因此它们之间的关系亦可借用集合中 的符号来表示。
图形语言 符号语言 文字语言(读法)
·A
a A∈ a 点A在直线a上
·A a A a 点A不在直线a上
观察下图，你能得到什么结论？
B
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面. .C
图形表示：
α .A .B
说明：
①可以叙述为:不共线的三点确定一平面；
②这是确定一个平面的依据; ③“有且只有”和“确定”的含义包括两方 面,一是存在性,二是唯一性;
2.1.1 平面
一、平面的特征 “平面”是最基本的几何概念，对它只能 描述而不加定义。
特点：“平”,“无限伸展”,“无大小”,“无厚
薄【”练习】判断下列说法是否正确？
(1)平行四边形是一个平面. × (2)一个平面的面积是100cm2. × (3)两个平面叠在一起比一个平面厚×. (4)一个平面把空间分成了两部分. √
(7)直线a经过平面α外一点M；M a, M (8)直线l在平面α内，又在平面β内l 。 ,l
长方体是我们非常熟悉的空间几何 图形.你能发现图中的点、线、面之间 有哪些位置关系呢？
D1
C1

§2.1.1平面学习目标：1、了解平面的概念、特征；2、掌握平面的画法；3、了解平面的表示方法；4、掌握点、线、面间的位置关系；及其文字语言、图形语言、符号语言间的互化。

教具：三角板、长方体模型教学过程：教师--“平面”这个词我们非常熟悉，生活中有一些物体成平面形，【2PPT 】比如课桌面、白板面、平静的海平面都给我们以平面的形象，但是几何中的“平面”是从这些物体抽象出来的一个概念。

本节课要学习的就是《平面及点、线、面间的位置关系》。

看到“导学案”，学习目标是：1、平面的特征；2、平面的画法：水平、垂直；3、平面的表示方法；4、点、线、面间的位置关系；及其文字语言、图形语言、符号语言间的互化。

教师---平面的特征是无限延伸、无大小、无厚薄、无宽窄。

把这句话写在课本40页“观察”上面“平面是无限延伸”的后面。

【3PPT 】看到【概念辨析】下列说法正确的是？…选哪个？学生---（D ），并解释A 、B 、C 错的理由：A 平面是无限延伸、B 平面无大小宽度、C 平面无厚薄。

第一个学习目标完成。

第二个学习目标：掌握2、平面的画法。

4PPT ，平面常用平行四边形表示，有两种：水平放置和垂直。

先看水平放置的平面画法：画一个锐角为45°的平行四边形，且横边长度为邻边的2倍，如图。

垂直放置的平面其实就是将水平放置的平面旋转90°，大家动手画。

5PPT 相交平面，平面βα、相交，那么它就有部分被挡住，为增强立体感，被挡住部分用虚线表示如图。

第三个学习目标：3、平面的表示方法。

7PPT ，第一种表示方法，用希腊字母α写在平行四边形的一个角上，记为“平面α”；第二种方法，用平行四边形的4个顶点字母表示，记为“平行四边形ABCD ”；第三种方法，用对角线上的两个顶点表示，记为“平面AC ”或“平面BD ”。

假设画三角形表示一个平面，那么这个平面怎么表示？学生---“平面ABC ” 第四个学习目标：掌握点、线、面间的位置关系，及其符号表示。

（1）公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内。
图形的表示：如右图
符号表示：
aA B
作用：①判断直线是否在平面内
即要判定直线在平面内，只需确定直线上有两个点在平面内
②判断直线上的点是否在平面内
即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内
第八页，编辑于星期日：十点 十四分。
四、平面的基本性质
第九页，编辑于星期日：十点 十四分。
公理2相关推论
思考：1、经过一条直线和一个点能否确定一平面？
2、经过两条相交直线，能否确定一个平面？
过两条平行直线呢？
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面.
第十六页，编辑于星期日：十点 十四分。
【反馈检测】
×
√
√ √
4 1个或3个
第十七页，编辑于星期日：十点 十四分。
D
第十八页，编辑于星期日：十点 十四分。
5、 D
6、ABC在平面a外，它的三边所在直
线分别交平面a于P、Q、R三点，问此
三点是否共线？说明理由。
P、Q、R三点是平面
A
ABC和a的公共点，由公理
一、平面的引入
1、宁静的湖面，一望无垠的草原给
你什么样的感觉？ 平的
2、如来佛祖的手掌心大得令人咶舌，可以 向四周无限的延展，神通广大的孙悟空
使尽浑身解数也难以逃脱．
无限延展
第三页，编辑于星期日：十点 十四分。
一、平面的特征
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、
海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平

《平面》平面是最基本的几何概念，教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例，对它只是加以描述而不定义。

立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性。

为了更准确地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书中的三个公理，这也是本节的重点。

另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换。

【知识与能力目标】（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

【过程与方法目标】（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

【情感态度价值观目标】使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

【教学重点】掌握平面的基本性质及作用、三种数学语言的转换与翻译。

【教学难点】用三个公理证明共点、共线、共面问题。

多媒体课件。

（一）导入新课观察平静的水面、教师的地面等图片，它们都给我们怎样的形象？（二）推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念；②平面的画法与表示方法；③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示。

活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

讨论结果：①平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。

平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。

②平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2。

平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍。

A B
AB
B
A
作用:用于判定线在面内
小结：公理2及其推论 A,B,C不共线
A,B,C确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
aIb=Ｐ
a和b确定一平面.
ab
a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
A
B C
Aa
aＰ
b
a
b
公理3：若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中基本图形：点、线、面
一、平面的表示方法
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的.
（但常用平面的一部分表示平面）
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
D
D
C
C
A
B
A
3.记法:
B
①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）
②平面ABCD、平面AC或平面BD
巩固:判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 .
CA
C (G)
A
G
E
H
DB
HE F
D
B(F)
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看,可分为两类 :
(1) 有且仅有一个公共点相交直线
(
2)
没有公共点
平行直线 异面直线
若从有没有共面的角度来看,也可分为两类:
(1)
在同一个平面内
相交直线 平行直线
( 2)不同在任何一个平面内异面直线
A1
B1
(2) 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A

一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 答案:D
解析:两两相交不共点的三条直线,可确定一个平面;两两相 交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面;若三 条直线不在一个平面内,每两条可确定一个平面,共确定3个平
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
如图,已知△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平 面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,AB⊂平面ABC, ∴P∈平面ABC,P∈α.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证,点Q和R均在这条交线上.
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
【例2】 过直线l外一点P引两条直线PA,PB和直线l分别相 交于A,B两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.
思路分析:根据条件P,A,B确定一个平面,再证直线l,PA,PB在 这个平面内.
证明:如图,∵点P,A,B不共线,
∴点P,A,B确定一个平面α.
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
二、点线共面问题 解决点线共面问题的基本方法
一 二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
怎样证明多点或多线共面? 提示:要证明多点或多线共面,首先根据确定平面的条件找 到平面,再结合公理1证明其余的点或线也在这个平面内.
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
案例探究 误区警示 思悟升华
易错考点:共面问题判断中的解题误区 下列说法中正确的是( )
A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内

2.1.1 《平面》 导学案一、课前自主学习 知识自我探究（一）：平面的概念及画法（预习课本40---41页）问题一：生活中的的平面有大小之分吗？其“平”是相对的还是绝对的？ 问题二：几何中的“平面”是怎样的？新知自解【思考1】：如何理解平面概念？【思考2】：水平放置的平面画法步骤是什么？如何表示一个平面？【思考3】：描述点、直线、平面的位置关系常用有哪几种语言？你能用集合描述点与直线、平面的位置关系吗？知识自我探究（二）：平面的基本性质（预习课本41---43页）新知自解:【思考1】：请同学们拿出一只笔，把笔的任意两点放在桌面上，那么你发现了什么现象？这个现象反映了什么样的道理？公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上________点都在这个平面内（即直线在平面内，或者平面经过直线）.图形语言：如图所示 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 公理1作用：判断直线是否在平面内.【思考2】：请观察教室里的门，为什么只用两个合页和一把锁就能把门固定呢？你知道其中的道理吗？公理2：过不在同一条直线上的三点，_____________一个平面.图形语言：如图所示：符号语言：,,A B C 三点不共线⇒_______一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈.智慧改变命运 勤奋创造奇迹第 2 页共 4 页 公理2推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面.如图所示：公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据；③用来证明点共面.【思考3】：两个平面有一个公共点，那么的它们有多少条公共直线呢？这点与线又有什么关系呢？公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们___ ___一条过该点的公共直线.图形语言：如图所示：符号语言：,P l P l αβαβ∈⇒=∈ .公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.二、课堂合作探究例1．判断对错:(1)经过三点确定一个平面( )(2)经过一条直线和一个平面确定一个平面( )(3)四边形确定一个平面( )(4)梯形可以确定一个平面( )(4)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面( )(5)两个平面相交,它们只有有限个公共点( )(6)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合( )例2.将下列符号语言转化为图形语言：⑴,,,A B A l B l αβ∈∈∈∈； ⑵,,a b a αβ⊂⊂∥,,c b c P c αβ== .例3.证明两两相交且不过同一点的三条直线共面.∆三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证P、Q、R三例4.已知ABC点共线.例5.三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.三、巩固检测1.下列说法正确的是（）A.平面的形状是平行四边形B.任何一个平面图形都是平面C.圆和平面多边形都可以表示平面D.因为平行四边形ABCD的面积大于平行四边形EFGH的面积，所以平面ABCD大于平面EFGH2.下列命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有( )A.0B.2C.3D.43.若M在直线a上，a在平面a内，则( )A.M∈a∈αB.M∈a⊂αC. M⊂a⊂αD.M⊂a∈α智慧改变命运 勤奋创造奇迹第 4 页 共 4 页 4.若直线上有两个点在平面外，则 （ ）A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内5.两个不重合的平面α、β，若α∩β＝A ，α∩β＝B,则平面α与β（ ）A.有且仅有两个公共点B.有有穷个公共点C.有无穷个公共点D.无法确定6.如图2.1 ,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误的是( )A. A 、M 、O 三点共线B. M 、O 、A 1.A 四点共面C. A 、O 、C 、M 四点共面D. B 、B 1.O 、M 四点共面7. 三条直线两两相交，可以确定平面的个数为（ ）A 、 1B 、 1或2C 、 1或3D 、 38.空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中（ ）A 、 必有三点共线B 、 必有三点不共线C 、 至少三点共线D 、 不可能有三点共线9.已知直线a 上两点A 、B 在平面内，则下列四个结论中不正确的是（ ）A 、 直线a 在平面内B 、 平面经过直线aC 、 直线a 上只有两点在平面内D 、 直线a 上所有点都在平面内10.两两平行的三条直线可以确定 个平面.（自助餐）O 1是正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1的上底面的中心，过D 1.B 1.A 作一个截面， 求证：此截面与对角线A 1C 的交点P 一定在AO 1上.课堂练习：课本P43—练习1、2、3、4反思与总结： ___________________________________________________________________________.。