除法里的巧算.pdf

除法中的巧算（一）学习方法指导我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。

一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=⨯÷⨯或 ()()()=÷÷÷≠a n b n n 0如：()()123122322464÷=⨯÷⨯=÷=或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷=例1. 用简便方法计算下列各题。

（1）82525÷ （2）47700900÷分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。

（1）82525÷ ()()=⨯÷⨯=÷=8254254330010033想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。

（2）47700900÷()()=÷÷÷=÷=47700100900100477953看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。

在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。

一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷()a b c a c b c -÷=÷-÷如：()126212262639+÷=÷+÷=+=()126212262633-÷=÷-÷=-=这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

例2. 用简便方法计算。

（1）()2501655+÷（2）()7022134143--÷分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。

乘除法中旳速算与巧算知识储藏整数乘除法旳速算与巧算,一条最基本旳原则就是“凑整”。

要达到“凑整”旳目旳，就要将某些数分解、变形,再运用乘法旳互换律、结合律、分派律以及四则运算中旳某些规则，把某些数组合到一起，使复杂旳计算过程简便化。

1、乘法旳运算定律乘法互换律：a×ｂ=b×ａ乘法结合律：(a×ｂ)×c=a×(ｂ×c）乘法分派律:(a+b）×c=ac＋bc2、除法旳运算性质（1)a÷b＝(a×c)÷(b×c)ﻩ（ｃ≠0)（2）ａ÷ｂ=(a÷c)÷（ｂ÷c)(c≠0)（3）ａ÷b÷c=a÷（b×ｃ)（4)ａ÷(ｂ÷ｃ）＝a÷ｂ×c3、乘除分派性质(1）(a+ｂ)×c=a×c＋ｂ×c（２）(a-b）×c=a×ｃ－b×c(3）（ａ+b)÷c＝a÷c+b÷ｃ(4)(a-b)÷c=ａ÷ｃ－b÷c注意:除数不能为零。

4、两数之和乘以这两数之差旳积等于这两个数旳平方差。

（a＋b)×(a-ｂ)=ａ2－b25、乘法凑整法：这是运用特殊数旳乘积特性进行速算,如5×2=10,25×4=100，125×8＝１00０,625×8=50０0，６25×16＝１000０等等。

大伙要记住这些成果。

思维引导例1、计算：ﻩ(１）9９9＋999×999 (2)1111×9９9９（3)125×２5×3２ﻩ(4)５76×4２２+５7６＋5７7×５76跟踪练习:计算:(1)9９99＋9９9９×9９99ﻩ（２)1４0×２９9（３）80８×1２5ﻩﻩ (4）46１＋５×46１0＋461×49例2、计算：３４×1７2-17×７１×2－３4跟踪练习：计算：4２×6８+61×2×3４－3×68例3、用简便措施计算:8700÷２５÷4跟踪练习：96０0÷２5÷4例4、用简便措施计算:625÷25跟踪练习：４２80０÷2５例５、简算：２9×3１跟踪练习:简算:6８×7２例６、计算：11111×11111跟踪练习:计算：２22２２×２2222例７、计算:６3×2７５÷7÷11跟踪练习:计算：123×456÷７89÷45６×７8９÷123例8、计算:１÷(2÷３)÷（３÷４)÷（4÷5）÷（5÷6)跟踪练习:计算：15÷(９÷1１）÷(１１÷３４）÷（3４÷63)例9、计算：99999×22222+3333３×3３334跟踪练习:计算：9９９9×7778+33３3×66６6例1０、计算:9８９8９8９8×99９99９9９÷10101010÷1１111１１1跟踪练习：计算：×22÷１8÷例１1、计算:19９81９9９×1999199８-19９819９8×１９991999跟踪练习:计算:1９97×199９－199６×例１2、 末尾有几种零？跟踪练习:计算:能力对接1、 将相应旳序号填入括号中。

第二讲速算与巧算（二）一、乘法中的巧算1. 两数的乘积是整十、整百、整千的，殊的等式：5X 2=1025 X 4=100125X 8=1000例 1 计算① 123X 4X 255X 4解：=123X( 4X 25)X(5X 2)=123 X 100 = 1230010=10000002. 分解因数，凑整先乘。

例 2 计算①24 X 25③125X 5X 32X 5=6 X(4X 25) =7X 5X 4X 8X 5=6 X 100 =7 ( 125X 8)X( 5X 5X 4)=600=1000X 100=100000 要先乘. 为此，要牢记下面这三个特②125 X 2X 8X 25X= ( 125X 8)X( 25X 4)=1000 X 100X②56 X 125X 8X 125=7X(8X125) =125X 1000 ==70003. 应用乘法分配律。

例 3 计算① 175 X 34+ 175X 66 35＋67X 52+6解：=175 X（34+66）=67 35+52+ 1）=175X 100=17500 ②67 X12+67XX（12+=67 X100 =6700例 4 计算① 123 X 101 99解：=123 X（100+1）=123X 100+ 123 （100-1 ）②123 X =123 X=12300+ 123 =12300-123=12423 =121774. 几种特殊因数的巧算。

例5 一个数X 10,数后添0;一个数X 100,数后添00；一个数X 1000,数后添000；以此类推。

女口：15X 10=15015X 100=150015X1000=15000例6 一个数X 9,数后添0,再减此数；一个数X 99,数后添00,再减此数;一个数x 999,数后添000,再减此数；以此类推。

如:12X 9= 120-12 = 10812X 99= 1200- 12= 118812X 999= 12000-12=11988例7 一个偶数乘以5,可以除以2添上0。

第2讲；乘除法巧算速算本讲，我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。

这些计算从表面上看似乎不能巧算，而如果把已知数适当分解或转化就可以使计算简便。

对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化。

实际进行乘法、除法以及乘除法混合运算时，可利用以下性质进行巧算：①乘法交换律：AXB=BXA②乘法结合律：AXBXUAX(BXC)③乘法分配律:(A+B)XC=AXC+BXC 由此可以推出：AXB+AXC=AX(B+C)(A-B) XC=AXC-BXC④除法的性质：A-rB-rC=A-rC-rB=A-r(BXC)利用乘法、除法的这些性质，先凑整得10、100、1000……会使计算更简便。

例1：计算236X37X27分析：在乘除法的计算过程屮，除了常常要将因数和除数“凑整”，有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数。

例如，可以将27变为“3X9”，将37乘3得口1,这是一个特殊的数，这样就便于计算了。

解：原式=236X (37X3X9)=236X (111X9) =236X999=236X (1000-1) =236000 — 236 =235764随堂小练：计算下面各题：(1) 132X37X27 (2) 315X77X13例2：计算333X334 + 999X222分析：表面上，这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算。

解：原式=333X334 + 333X (3X222)=333X (334 + 666)=333X1000=333000随堂小练：计算下面各题：(1) 9999X2222 + 3333X3334 例 3:计算 20012001X 2002 一 20022002 X 2001分析：仔细观察每一个数，找出它们的共同特点，20102010可分解成201010001 这是四 位数的复写如10001 XabcdNbcdabcd,三位数的复写1001Xabc=abcabc,二位数的复写101 Xab=abab o 这个规律在简便运算中经常用到。

二、除法中的速算与巧算1．利用商不变性质的简便运算我们已经学过，如果被除数和除数同时乘以或除以相同的数（这个数不等于零），所得的商不变。

这就是商不变的性质。

根据这个性质，可以使一些除法算式计算简便。

例11 计算：（1）12400÷25（2）374000÷125解：（1）原式＝（12400×4）÷（25×4）＝49600÷100＝496计算熟练后可直接列式为：原式＝124×4＝496（2）原式＝（374000×8）÷（125×8）＝2992000÷1000＝2992计算熟练后，可直接列式为：原式＝374×8＝29922．连除式题的巧算我们已经学过乘法交换律。

交换因数的位置积不变。

在连除式题中也同样可以交换除数的位置，商不变。

在连除运算中有这样的性质：一个数除以另一个数所得的商，再除以第三个数，等于第一个数除以第三个数所得的商，再除以第二个数。

用字母表示为：a÷b÷c＝a÷c÷b利用这个性质可以使连除运算简便。

例12 45000÷125÷15解：原式＝45000÷15÷125＝3000÷125＝3×8＝243．连除运算中利用添括号法则的巧算在连除算式中，一个数除以另一个数所得的商再除以第三个数，等于第一个数除以第二、三两个数的积。

即添上括号后，因为括号前面是除号，所以括号中的运算符号要变为乘号。

用字母表示为：a÷b÷c＝a÷（b×c）利用这个法则可以把两个除数相乘。

如果积是整十、整百、整千，可以使计算简便。

例13 计算：（1）4900÷4÷25（2）24024÷4÷6解：（1）原式＝4900÷（4×25）＝4900÷100＝49（2）原式＝24024÷（4×6）＝24024÷24＝10014．利用乘除混合运算性质的巧算在乘除混合运算中，可以把乘数、除数带符号“搬家”。

第二讲速算与巧算（二）一、乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：5×2=1025×4=100125×8=1000例1计算①123×4×25 ②125×2×8×25×5×4解：=123×（4×25）=（125×8）×（25×4）×（5×2）=123×100＝12300 =1000×100×10=10000002.分解因数，凑整先乘。

例2计算①24×25 ②56×125 ③125×5×32×5=6×（4×25）=7×8×125=7×（8×125）=125×5×4×8×5=6×100 =7×1000 =（125×8）×（5×5×4）=600 =7000 =1000×100=1000003.应用乘法分配律。

例3计算①175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+6解：=175×（34+66）=67×（12＋35＋52＋1）=175×100 ＝67×100=17500 ＝6700例4计算①123×101 ②123×99解：=123×（100＋1）=123×100＋123 =123×（100-1）＝12300＋123 =12300-123 =12423 =121774.几种特殊因数的巧算。

乘除法中的巧算（一）、典型例题（乘法）例1. 用简便方法计算。

（乘法结合率）（1）16425⨯⨯ （3）12528⨯（2）()125178⨯⨯ （4）2532125⨯⨯例2. 用简便方法计算下面各题。

（乘法分配率）（1）()125108⨯+（3）400425⨯（2）()20425-⨯（4）125798⨯例3. 巧算一个数乘以10，100，1000……分析：一个数乘以10，就是在这个数后添0，如：4310430⨯=520105200⨯=当一个数乘以100时，就是在这个数后添00，如：431004300⨯=52010052000⨯=当一个数乘以1000时，就是在这个数后添000，如43100043000⨯=5201000520000⨯=例4. 巧算一个数与99相乘。

分析：先填空，再观察一个数与99相乘的规律。

()()9919910019921982002⨯==-⨯==-()995495500⨯==- ()()99879289913130013⨯==-⨯==- 观察发现：“一个数与99相乘，先在这个数后添00，再减去此数”即可。

如果是一个数与999相乘，是否也具有这样的规律呢？请你先填空，再总结规律。

()()()()()()()999199910001999219982000299933000999449995⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-例5 巧算两位数与11相乘。

分析：1211132⨯=3411374⨯=5311583⨯=4911539⨯=观察上面一组数，发现两位数与11相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，个位数字与十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进 例6. 巧算三位数与11相乘。

432114752⨯=４ ３ ２４ ７ ５ ２练一练：13411529112345116811⨯=⨯=⨯=⨯=。

例9. 根据373111⨯=，简算下面各题（1）37×6 （5）37×30（2）37×9 （6）37×24（3）37×12 （7）37×33（4）37×15 （8）37×27（二）、典型例题（除法）例1. 用简便方法计算下列各题。

第六讲简算与巧算(3)除法里的巧算在整数除法中，有许多题目我们可以利用除法的意义及各部分间的关系进行简便运算，提高计算的速度与正确率，这儿给同学们介绍几种常见的速算方法。

一、除变连除。

当除数可以拆成两个因数相乘的形式时，可以变除法为连除，达到口算的目的。

如：560÷35＝560÷7÷5＝80÷5＝161476÷18＝1476÷2÷9＝738÷9＝8213156÷26＝13156÷13÷2＝1012÷2＝506二、带号移动。

没有括号的连除或乘除混合运算，可以通过带符号移动，改变运算顺序，实现速算的目的。

如：7500÷4÷15＝7500÷15÷4＝500÷4＝1252107×12÷7＝2107÷7×12＝301×12＝3612三、添去号变号。

有括号的乘除混合运算，如果括号前面是除号，添、去括号，括号里的符号都要改变，从而达到局部凑整进行速算的目的。

如：4500÷25÷4＝4500÷(25×4)＝4500÷100＝45(添括号)4500÷(9×4)＝4500÷9÷4＝500÷4＝125(去括号)需要说明的是，这种乘除混合运算，如果括号前是乘号，添括号或者去括号都不需要改变运算符号。

如：324×36÷9＝324×(36÷9)＝324×4＝1296(添括号)48×(2700÷12)＝48×2700÷12＝48÷12×2700＝4×2700＝10800四、双扩或双缩。

也就是利用商不变的性质，当除数是15、25、35、45、125等数时，我们把被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的倍数，达到速算的效果。

第四讲整数乘除法中的巧算与简算知识结构：这一讲我们主要研究乘除法中的一些简便运算方法。

要达到运算简便，关键是要学会运用乘除法的运算定律，能根据某些算式的规律，创造条件，进行分组、分类计算，使复杂的乘、除法运算变得简便。

解题技巧：运用乘法运算定律：1乘法交换律；2乘法结合律；3乘法分配律；4除法的性质；5分拆；6商不变的性质方法探究：例1.你能很快算出下面各题的结果吗？（1）240÷5 （2）1600÷25 （3）42000÷125例2.用简便方法计算下面各题。

（1）925÷25 （2）38700÷900例3.简算下列各题。

（1）4900÷25÷4 （2）210÷42×6 （3）5400÷（25×9）例4.简算下面各题。

（1）（350＋25）÷5 （2）525÷7÷5 （3）2424÷8÷3例5.巧算下面各题。

（1）560÷（28÷6）（2）364÷24×6 （3）7128÷54随堂训练：1.用简便方法计算下面各题。

（1）720÷5 （2）480÷5 （3）1320÷5 （4）2360÷5（5）425÷25 （6）825÷25 （7）3640÷70 （8）775÷252.巧算下面各题。

（1）9000÷125 （2）2200÷125 （3）4600÷25 （4）48000÷1253.用简便方法计算下面各题。

（1）（182＋325）÷13 （2）（2046－1059）÷3 （3）2275÷13÷5 （4）3400÷25 （5）4800÷12÷404.你会简算吗？（1）8500÷25÷4 （2）372÷162×54 （3）243×729÷（81×81）（4）27500÷4÷25 （5）4032÷（8×9）（6）100000÷125÷8培优作业：（1）720÷（36×5）（2）78×38÷19 （3）125×（80÷50）。

乘除法中的巧算乘除法中的巧算;如何灵活运用乘，除法的运算定律和运算性质进行巧算的方法与策略。

乘法交换律;a × b = b × a乘法结合律;(a × b ) × c = a ×(b ×c)乘法分配律;(a ? b) × c = a × c ? b × c乘法性质;1( 两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘, 再把所得的积相减。

(a - b)× c=a × c - b × c2(一个数与两个数商相乘，可以用这个数先与商里的被除数相乘，再除以商里的的除数;或用这个数先除以商里的除数，再与商里的被除数相乘。

a ×(b ? c)=a × b ?c =a? c× b特殊数字的乘积;5 ×2=10 25 × 4=100 125 × 8 =1000 37 × 3 =111 625 × 16 =10000 75 × 4 =300 375 × 8 =30001例;125 ×(98 × 8)利用乘法结合律，先交换8与98的位置，使125和8结合得出1000。

125 ×(98 × 8)=(125 × 8)× 98=1000 × 98=98000例;48 × 625 × 37利用数的分解，把48转化成3 6的形式，再把16与625，3与37结合。

48 ×625 ×37=3 ×16 ×625 × 37=(16 × 625) ×(3 ×37)=10000 × 111=1110000例;43 ×76+76 × 57运用乘法分配律，先提出两个乘法算式中的公因数76，再使43和57结合，然后与76相乘。

•第六讲简算与巧算(3)除法里的巧算在整数除法中，有许多题目我们可以利用除法的意义及各部分间的关系进行简便运算，提高计算的速度与正确率，这儿给同学们介绍几种常见的速算方法。

一、除变连除。

当除数可以拆成两个因数相乘的形式时，可以变除法为连除，达到口算的目的。

如：560÷35＝560÷7÷5＝80÷5＝161476÷18＝1476÷2÷9＝738÷9＝8213156÷26＝13156÷13÷2＝1012÷2＝506二、带号移动。

没有括号的连除或乘除混合运算，可以通过带符号移动，改变运算顺序，实现速算的目的。

如：7500÷4÷15＝7500÷15÷4＝500÷4＝1252107×12÷7＝2107÷7×12＝301×12＝3612三、添去号变号。

有括号的乘除混合运算，如果括号前面是除号，添、去括号，括号里的符号都要改变，从而达到局部凑整进行速算的目的。

如：4500÷25÷4＝4500÷(25×4)＝4500÷100＝45(添括号)4500÷(9×4)＝4500÷9÷4＝500÷4＝125(去括号)需要说明的是，这种乘除混合运算，如果括号前是乘号，添括号或者去括号都不需要改变运算符号。

如：324×36÷9＝324×(36÷9)＝324×4＝1296(添括号)48×(2700÷12)＝48×2700÷12＝48÷12×2700＝4×2700＝10800四、双扩或双缩。

也就是利用商不变的性质，当除数是15、25、35、45、125等数时，我们把被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的倍数，达到速算的效果。