方程与算术方法

第1篇一、方程概述方程是数学中的一种基本概念，指的是含有未知数的等式。

在《九章算术》中，方程问题主要涉及线性方程组、非线性方程以及方程的解法等。

本文所构造的方程将基于《九章算术》中的线性方程组问题。

二、方程构造设有一道实际问题，某商店在销售A、B两种商品。

已知A商品每件售价100元，B 商品每件售价200元。

商店希望销售A、B两种商品各100件，以实现总销售额的最大化。

同时，由于库存限制，A商品最多只能销售50件，B商品最多只能销售30件。

设A商品销售量为x件，B商品销售量为y件，则有以下方程：（1）总销售额：100x + 200y = 总销售额（2）A商品销售量限制：x ≤ 50（3）B商品销售量限制：y ≤ 30由于题目中未给出总销售额的具体要求，因此我们假设总销售额为5000元。

代入方程（1）中，得到：100x + 200y = 5000整理后得到：x + 2y = 50三、方程解析（1）首先，我们需要确定方程的解集。

由于A商品和B商品的销售量都必须是非负整数，因此我们可以将方程的解集表示为：{(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 50, y ≤ 30}（2）接下来，我们需要在解集中找到满足条件的解。

由于方程中只包含一个未知数，我们可以通过枚举的方法来找到满足条件的解。

首先，我们可以将方程（4）中的x用y表示：x = 50 - 2y将x的表达式代入解集的条件中，得到：0 ≤ 50 - 2y ≤ 500 ≤ y ≤ 25因此，y的取值范围为0到25。

接下来，我们可以依次计算每个y值对应的x值，然后判断是否满足A商品和B商品的销售量限制。

当y = 0时，x = 50，满足条件。

当y = 1时，x = 48，满足条件。

...当y = 25时，x = 0，满足条件。

因此，方程的解集为{(50, 0), (48, 1), ..., (0, 25)}。

（3）最后，我们需要确定总销售额最大化的解。

九章算术中方程术的算法
《九章算术》是中国古代数学著作，其中“方程术”是其中的一部分。

方程术主要解决线性方程组问题，其算法主要包括以下几个步骤：
1.收集：将所有的项收集到一起，并按照方程的顺序排列。

2.加法消元：通过加法消元法，将多个方程中的某个未知数系数化为0，从而消除该未知
数。

3.移项：将方程中的某个未知数系数移到等号的另一边，从而得到该未知数的值。

4.除法：通过除法运算，将某个未知数的系数化为1，从而得到该未知数的值。

5.求解：通过上述步骤，可以得到所有未知数的值。

《算术法与方程法的区别》教学设计一、教学内容分析在本节课学生学习列方程解决实际问题，学会分析问题中的已知量、未知量，用字母表示合适的未知量（设未知数），根据背景问题中量的关系用未知数表示其他未知量，会找题中的等量关系，根据等量关系列方程. 在这个过程中体会数学建模思想，建立方程模型解决实际问题.首先以学生熟悉的行程类问题作为情境导入，要求学生用算术法和方程法两种方法求解并进行对比. 在解题过程对于一般学生来说，列算式会比较困难，而列方程比较容易，突出列方程的优点. 由于算式中每步运算都对应实际含义，使得学生理解起来较难，尤其是题目中给出的行驶速度为80km/h，所以180h表示客车行驶1 km所用的时间，在生活实际中很少这样表示，若学生缺少相应的认知或练习，就不会列算式；在列方程时初步应用列表法表示量，并且用两种设未知数方法列出方程，通过对比让学生体会列方程的简单、明确，式子中所含量之间的关系清楚明了. 实际上，对于一些简单问题，算术法会更直接、更简单，但对于复杂的实际问题则会变得困难，甚至对于二次问题，学生目前不能用算术式法解决. 本节练习题中的第3题、第4题就突出对比这种情况，两题情境类似，都是给出长方形的长与宽之间关系，第3题再给周长，两种方法都可求边长，第4题则给出面积，且结果超出学生已学数的范围，没法试出来，因此无法用算术法解决. 经过对比，让学生体会列方程的优点，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，认识到由算式到方程是代数学的一大进步，学习方程思想. 在下课前根据前面所列的等式，再次明确方程的定义，总结方程的分类，一元一次方程的定义.二、学生分析学生在小学习惯了用算术的方法解决实际问题，而对于用字母表示量很不习惯，甚至学生利用算术法思想列方程，写出x A=（A是算式）的形式的方程，虽然也设未知数，但未知数没有参与运算，只表示量. 这也是学生刚学习列方程常见的错误，特别是对于一些较简单的问题. 例如：某件商品售价为60元，获利10%，求进价. 列方程时有的学生设进价为x元，列出的方程是60120%x=+，实际是运用了小学学习百分数时记住的“知道百分数的‘单位1’用乘计算，不知道百分数对应的‘单位1’用除的计算”. 确实，在简单实际问题中算术法可以直接得出答案，但它使用的关系是量之间关系的变形. 前面例子中，量之间关系为进价+进价×获利百分数=售价，符号表示为20%60+=. 但在复杂问题中，由量关系的变形所得关系x x式难以理解，或者不符合生活实际的通常表示法，学生就会感到困难. 本节课的例题与练习选取的多是列算式较难的问题，以便促进学生建立列方程的思想.三、目标确定1.体会算术法与方程法解决实际问题的区别.2.尝试用列方程解决实际问题，学会分析已知量、未知量，设未知数，用未知数表示未知量，找等量关系列方程.3.建立方程思想和数学建模思想.四、重点难点重点：设未知数，找等量关系列方程.难点：用方程思想解决实际问题，建立简单的数学模型.五、评价设计“算术法与方程法的区别”学习评价量表六、活动设计度为80km/h，小轿车的速度为100 km/h，小轿车比客车早一小时到达B 城市，问A，B两城市之间的路程是多少？问题1：你会用算术的方法解决这个问题吗？问题2：此问题中有哪些量，它们之间的关系是什么？哪些量是已知的，哪些量是未知的？问题3：你会用字母表示哪个量？其他的量也可以用这个字母表示出来吗？问题4：根据问题3，你可以利用题中的等量关系列出方程吗？问题5：比较算术法和方程法之间的区别. 向行驶的问题，涉及的量有速度、时间、路程，它们之间的关系为速度×时间=路程；题中已知两车的速度，两车行驶完A，B两城市之间路程所用时间的关系，不知道路程和两车行驶的具体时间.问题3：引导学生列表表示.①可以设小轿车到B城市的行驶时间为t h，则②设A，B两城市之间路程为x km，则问题4：①两车都是由A城市行驶到B城市，路程相同，所以列方程：()801100t t+=；②两车由A城市行驶到B城市，客车比小轿车多用1 h，所以列方程：180100x x=+.问题5：列算式是直接使用已知数据通过运算得出未知量，未知量不参与运算；列方程是用字母表示未知量，根据题中量之间关系，表示其他未知量，再根据等量关系得到含未知量的等式，最后根据等式性质解得未知量的值，未知量参与运算.法的区别. 引导学生学会审题，找出题中等量关系，为接下来学习一元一次方程奠定基础.何？”这四句话的意思是有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚. 求笼中鸡和兔各有几只？答：笼中有鸡23只，兔子12只. 逐渐得出正确的答案；后面通过先假设兔子有两条腿，计算头数，现在可以设一个未知数来列方程解决. 学生对比同一问题在不同学习时间段，利用不同的方法解决，体会数学的进步与发展.七、板书设计从算式到方程 练习：问题： 算术法： 方程法：①可以设小轿车到B 城市的行驶时间 为t h ，则由题意得()801100t t +=.②设A ，B 两城市之间路程为x km ，则由题意得180100x x=+.① ()()1145x x x -+++=； ② ()()7745x x x -+++=；③ 11110024x x x x ++++=； ④ ()221668x x +-=； ⑤ ()22+1668x x +=； ⑥()1682=162x x -+； ⑦ 34x y +=； ⑧ +16=x y ； ⑨ ()+16120x x =. 一元一次方程： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次八、练习诊断1.（B）根据下列语句列等式表示，并判断所列是否是一元一次方程：（1）比a大5的数等于8；（2）b的三分之一与2的差等于9；（3）x的2倍与10的和等于18；（4）比a的3倍大5的数等于a的4倍；（5）比b的一半小7的数等于a与b的和.2.（C）根据下列问题，设未知数，列出方程：（1）某校七年级1班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的45多3人，这个班有男生多少人？（2）把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少人？（3）今年上半年某镇居民人均可支配收入为5109元，比去年同期增长了8.3%，去年同期居民人均可支配收入为多少元？（4）某校七年级1班全体学生为灾区共捐款428元，七年级2班平均每个学生捐款10元，七年级1班所捐款数比七年级2班少22元，两班学生人数相同，每班有多少学生？（5）一个梯形的下底比上底长2cm，高是5cm，梯形的面积是40 cm2，求它的上底长.九、反思与改进本节课的例题与练习在选取时都是选取学生小学时经历过的实际问题，在量关系上是明确的，但是还是有相当一部分学生非常习惯列算式解决问题，因此思考问题的方法一开始就是按照列算式的思路，导致没法列出方程，主要原因还是习惯具体数的计算，对用字母表示数还没理解、接纳. 一部分学生设出未知数（一般都是直接设，求什么量就设其为x ）后就不知道要做什么，不会用题中的量之间的关系来表示其他未知量. 例如情境问题中，知道客车速度为80 km/h ，设A ，B 两地之间路程为x km ，学生想不到客车的时间可以表示为80xh ，而是认为时间未知. 这些在我们教学时认为学生是应该会表示的，有时重点放在了找等量关系上. 导致学生误认为列方程解应用题的关键是找等量关系，等量关系找到了，方程就列出来了. 实际更为重要的是量的表示. 学生刚接触列方程解实际问题时，往往都不会用未知数来表示量，即使知道等量关系（用文字表述）后，也根本列不出方程. 很多不会列方程解实际问题的学生，都是在分析量关系时就已经遇到困难，不知道做什么，只有少数同学分析对量的关系后还把方程列错，这主要是因为关系转化为符号表示时加减表示反了. 因此在教学中要教给学生学会先分析量的关系，再找等量关系，利用好列表法表示量.在这章的教学中，对于实际问题分析，应该时刻记住利用列表法辅助分析，学会分析问题中有哪些量，量之间隐含的关系，并用未知数表示其他量.。

用方程和用算术方法解应用题的比较（说课稿）我和大家探讨的题目是第八册第三单元中的《用方程和用算术方法解应用题的比较》。

用方程解应用题是小学数学教学的重要内容之一，它既是数学联系实际的一个重要方面，又是初中学习代数等初等数学的基础，通过它的教学既可以复习用字母表示数、简易方程等以前学过的基础知识，又可以培养学生分析问题、解决问题的能力，拓宽学生思维，发展学生的智力。

因此，这部分内容在中小学数学教学中起着十分明显的渗透、衔接、孕伏作用。

本节课是在掌握用方程解应用题的基础上，结合用算术方法解，进行数量关系解析等解题技巧的梳理、概括和提高，使学生知道用方程和用算术方法解应用题的区别，并能根据题目中“数量关系的特点”进行灵活选择解题方法，培养学生灵活、敏捷的思维能力，体现了大纲的培养目的。

教学中，我依据大纲、教材的要求，结合小学生的年龄、心理特点，遵循小学生的认知规律，采用“教学中，以教师为主导，学生为主体，训练为主线”的教学构思，通过对已有知识的深化，来巩固和发展学生的能力，抓住数量之间的内在联系，掌握好教师的“导”，导在问题上，导在知识的关键处，使学生有所思、有所得，同时以基本的数量关系为主线，进行发散与聚合的创造性思维训练，构建学生整体的认知结构，突破两种不同的解题思路相互干扰的难点，使学生积极主动地获取知识，并在获取知识、渗透“对立统一”唯物主义观点的过程中全面发展。

如何在教学中发挥好学生的主体作用呢？我拟设计以下三个阶段：第一个阶段：筑实基础，重视结构训练。

教育家布鲁纳提出的结构原则启发我们：“重视结构训练，才能打好解题基础”。

我用小黑板设计了两道复习题：（一）说出下面每组三个量之间的等量关系。

（1）单价、总价和数量。

（2）计划生产数、已经生产数和还要生产数。

（3）付出的钱、购物总价和找回的钱。

（二）用式子表示下面的数量关系。

商店运来500千克水果，其中有８筐苹果，剩下的是梨，梨有300千克，每筐苹果重多少千克？通过这样的数量关系结构训练，使学生清晰数量间的相互关系，回顾用方程解应用题的基本方法，沟通条件与问题之间的联系，理解其数量关系结构，促进学生解题思路的发展，为进一步的学习打下扎实的基础。

“用方程解决问题比算术方法更有优势”的教学案例【案例背景】教材是承载知识的载体，新教材为学生的学习生活提供了基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源。

半随着课程改革的持续推动，新教材与以往教材相比，所蕴涵的教育功能和课程理念方面都发生了较大的变化。

《小学数学课程标准》中对方程的说明是掌握用方程表示简单的数量关系、解简单方程的方法，新课标改变了小学阶段解方程的要求，采用等式的性质来教学解方程，增强了与中学方程教学的衔接。

所以，在小学阶段，特别小学高年级我们就应鼓励孩子多用方程的方法，培养他们使用方程的意识。

用方程解应用题，还可使问题解决化难为易，开拓解题思路，发展思维水平。

理解新教材，用好新教材，同样是我们在课堂教学中需要得以落实的基础。

本文结合教学现状，就如何用好“新教材”谈谈自己在实际教学中的一些做法和体会。

【案例描述】【片断一】1、课件出示：根据测定，成人体内的水分约占体重的2/3，而儿童体内的水分约占体重的4/5，学生小明的体内的水分为28千克，他体重有多少千克？2、合作探究（小组讨论）师：要解决这个问题，需要到哪些信息？数量间的关系是怎样的？先用线段图表示出等量关系，再列式解答。

3、引导分析师：我们能够用一条线段表示小明的体重，也就是把谁看作单位“1”？生：把小明的体重看作单位“1”。

师：把单位“1”平均分成几份？生：平均分成5份。

师：其中的几份就是小明体内的水分？也就是28kg。

生：其中的4份就是小明体内的水分，也就是28kg。

师：用线段图怎么表示？随着学生的回答，一步一步出示线段图。

师：你能结合线段图写出等量关系式吗？生：小明的体重×4/5 = 小明体内水分的质量师：小明的体重是已知的还是未知的？生：未知师：怎么表示这个未知的量？生：设小明的体重为xkg.4、根据数量关系列出方程：解：设小明的体重是xkg。

4/5x = 28x = 28 ÷ 4/5x = 35答：小明的体重是35kg。

九章算术关于方程的论述
九章算术是中国古代数学的经典著作之一，其涵盖了许多数学领域的知识，包括方程。

在九章算术中，方程被称为“方程术”，并被广泛应用于商业、土地测量和其他实际问题的解决。

九章算术中的方程术主要涉及到一元二次方程和一元三次方程的解法。

其中，一元二次方程的一般形式为ax²+bx=c，而一元三次方程的一般形式为ax³+bx²=cx+d。

在解这些方程时，九章算术提供了多种方法，如“正平方解法”、“方程合并解法”、“方程正负解法”等。

在“正平方解法”中，九章算术通过将一元二次方程转化为完全平方形式来求解。

例如，对于方程x²+10x=39，可以将其转化为(x+5)²=64，然后求出x的值。

这种方法在解决商业问题和土地测量问题时特别有用。

在“方程合并解法”中，九章算术将方程中的同类项合并，然后通过移项来求解。

例如，对于方程3x²-5x+2=0，可以将其转化为3x²=5x-2，然后通过移项得到x的值。

这种方法在解决一些实际问题时特别有用，如计算利息等。

在“方程正负解法”中，九章算术通过判断方程的根的正负性来求解。

例如，对于方程x²-5x+6=0，可以通过判断其根的正负性来得到解x=2或x=3。

这种方法在解决一些实际问题时也特别有用，如计算两个数之间的差等。

总的来说，九章算术对方程的解法进行了深入的研究和总结，为后世的数学发展奠定了坚实的基础。

算数法和方程法解应用题简单的应用题，各量的数值关系简单，比较容易列出算式，算数法较合适；对比较复杂的应用题很难迅速列出算式，算式也比较难以理解，不如用列方程解。

列方程解应用题的要点是找到等量关系，用算数法解应用题则是用已知的数量列式把所求量表示出来。

例：水果店有苹果500公斤，比梨子的2倍多40公斤，梨子有多少公斤？算术方法：苹果500公斤比梨子的2倍多40公斤，那么假如从500公斤中减去40公斤，这就正好是梨子的2倍，已知一个数的2倍是多少，求这个数，用2除，所以得到：（500-40）÷2=230（公斤），比较两种解法，可以发现它们的区别。

方程解法：先设梨子x公斤，再根据“梨子的2倍多40公斤”翻译成“2x+40”，然后根据题中等量关系列出方程2x+40=500求解。

算术解法特点：（1）算式中是已知数，未知数（所求量）始终不会出现在算式中（2）思路是用已知数表示所求的未知数方程解法特点：（1）方程中含有未知数，未知数始终与已知数处于平等地位，直接参加列式与运算（2）思路是寻求符合题意的等式下面，列举一些比较典型的应用题。

1、我有10块糖，吃了几块后，又买来4块，现在我有11块糖，我吃了几块？解一(算数法)：消耗的量=收入的量－剩下的量我吃了几块：10＋4－11=3(块)解二(方程法)：本题的等量关系：剩下的量＋消耗的量＝收入的量设我吃了X块糖，列出方程:11＋X＝10＋42、食堂买来360千克白面，原计划每天食用30千克，实际比原计划多食用了3天，这批白面实际每天食用多少千克？解一(算数法)：实际需要食用的天数：360÷30＋3 = 15(天)实际每天食用多少千克：360÷15 = 24(千克)解二(方程法)：由题意知道，(原计划食用的天数＋3天)×实际每天食用量＝360千克。

设实际每天食用量X千克，则有：(360÷30＋3)X＝360 。

3、姐姐去买水果，她用3.5元买了2.5千克梨，还想3千克的橙子，橙子的单价是梨的1.6倍，买橙子用去多少元？解一(算数法)：要想知道买橙子用去多少元，已知买的数量3千克，需要先算出橙子的单价，梨的单价是3.5÷2.5，橙子的单价是梨的1.6倍，因此橙子的单价：3.5÷2.5×1.6 = 2.24(元)买橙子用去多少元：2.24×3 = 6.72(元)解二(方程法)：由橙子的单价是梨的1.6倍，列出等量关系：橙子的单价=梨的单价×1.6 设买橙子用去X元， X÷3 = 3.5÷2.5×1.64、妈妈借了一本杂志，有120页，需要8天看完。

“算术式”、“方程式”的概念
有关“算术式”、“方程式”概念在小学教学中应注意的问题。

1、算术式:用运算符号连接数字组成的式子。

算式是算术式的简称。

等式也属于算术式。

“2+3”,满分。

写成“2+3=”
1）如写出2加3的算式。

或“2+3=5”，“=”、“=5”是多此一举”，也算对，但不圆满；若写成“2+3=4”全错，不得分。

“3×4”，满分。

写成“3×4= 2）如写出3乘4的算式。

或“3×4=12”，“=”、“=12”是多此一举，也算对，但不圆满；若写成“3×4=9”全错，不得分。

3）减法和除法要求写算式与上述同。

2、方程式：含有未知数的等式，简称方程。

1)写出有关5乘Χ的方程。

写作 5Χ=20，或把等号右端写成任意一个数字，满分；如写作“5Χ” 或”5Χ=”都不得分。

2）写出有关5加Χ的方程。

写作5+Χ=12，或把
等
号右端写成任意一个数字，满分；若写作“5+Χ”或“5+Χ=”都不得分。

3）减法和除法要求写出方程与上述同。