07-08高数A2答案(A卷)

姓名 班级 学号

装 订 线

安徽工业大学高等数学A2期末试卷(A卷)

参考答案与评分标准

一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

题号 1 2 3 4 5 6 7

8

答案 C C D B

A A C

B

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

9.7 10. 4 11. 4 12．8

13.

2e 14. 1

三、判断题（本题共5小题，每小题２分, 共10分）

题 号 15 16 17 18

19

答 案 × √ × × √

注：19题。

22222(1)(1)((1))(1)((1))((1))(1)((1))11(1)11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

四、解答题(本题共６小题，满分48分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

20. (本题满分8分)

解：设 cos,sinxryr , ------------------------------------ 2分

2202222)0,0(),(lnlim)ln()(limrryxyxryx---------------------------------------------5分

由洛必达法则

原式

022lim1ln2lim3020rrrrrr------------------------------------- 8分

说明：本题解法较多，可参照上述标准给分，如令22rxy代换与洛必达法则结合使用。

21. (本题满分8分)

解：解法一：由题意得

121/212000xyxVdxdydz -----------------------------------２分

1/21200(12)xdxxydy -----------------------------------４分

dxyxyyx2102102)212( ----------------------------------６分

2102)2122(dxxx 121)2132(21023xxx--------------- -------------------8分

解：解法二：由题意得

xdyyxdxV2102/10)21（ -----------------------------------3分

dxyxyyx2102102)212( ----------------------------------６分

2102)2122(dxxx

121)2132(21023xxx--------------- -------------------8分

说明：其它形式的二重三重积分表达式也对。本题如用初等方法求四面体的体积，给4分

22. (本题满分10分)

解：由31)1(3limlim1nnaannnn

因此幂级数13nnnnx的收敛半径为3- ------------------------------------ 3分

当3x时，11133nnnnnn发散;

当3x时，nnnnnnn1)1(3)3(11收敛----------------------------- 4分

因此 13nnnnx的收敛区间为)3,3[------ --------------------- 5分

设 3)(1nnnnxxS

则

-31 3)(01xxxSnnn------ --------------------- 7分

dttdttSSxSxSxx0031)(')0()()(------------------9 分

所以 3ln)3ln()(xxS [3,3)x------------------10 分

注：教材中收敛区间指开区间，如果学生回答收敛区间为（-3，3）亦可。

23。(本题满分8分)

解: 由题设有0()0.05(1000),|100.tdxtxxxdt---------------- 4分

分离变量积分得

1000exp(50)().1exp(50)CtxtCt -------------------------------------------------- 6分

由初始条件得特解 姓名 班级 学号

装 订 线

}50exp{9}50exp{1000)(tttx---------------------------------------------------------8分

24.(本题满分８分)

解: 因为f与lnf的最大值相同，且

])()[(21ln2ln222byaxyyf---------------------------1分

故

).(1])()[(12ln),(1ln22232byybyaxyyyfaxyxf-------------4分

令0ln0ln),(),(),(),(0000yxyxyxyxyfxf

解之 ,21,00byax00,,xayb -----------------------------6分

易知 点(,)ab不是极值点．

对于点(,1/2)ab

0)](4)(3[1ln0)(2ln01ln00202040),(),(220030),(),(2020),(),(220000000byybyyyyfCaxyyxfByxfAyxyxyxyxyxyx故02000BCA，因此),(yxf在)2,(ba达到极大值，也是),(yxf在平面xOy上达到的惟一极大值，从而)2,(ba也是),(yxf的最大值点。 -----------7分

且相应的ebyxf204),(0. ------------------------------8分

注：本题如没有取对数而直接求偏导数亦可．

25.(本题满分6分)

(1) 证明：级数1nna与1nnb的收敛性之间的关系是：

当级数1nna发散时，1nnb必发散； ------------------------------2分

当级数1nnb收敛时，1nna必收敛。 ------------------------------3分

下面来证明上述结论。

由 ),2,1(11nbbaannnn得 1322113221nnnnbbbbbbaaaaaa

即

1111nnbbaa. ------------------------------5分

因而

),2,1()(1111naabbnn

根据二正项级数收敛性的比较判别法，上面的结论必成立。- ------6分

(2) For Example:

2222(1)(1),.(1)nnnnnnnnnabnn --------------3分

(1)limlim1,nnnnnanbn

222(1)(1)11(1)nnnnnnnnann是发散级数------ 5分

22(1).nnnnbn是收敛级数----------------------------------------- 6分

Or: 1111)1(,1)1(nnnnnnnnnbnna

注：此题举其它符合条件的例子也可