平面与平面所成的角与二面角的区别

【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：了解线线、线面、面面所成交的概念能力目标：（1）会找出线线、线面、面面所成的角；（2）利用线线、线面、面面所成的角，解释生活空间的一些实例；（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）经历对线线、线面、面面所成的角及对应直观图形的认知，发展空间想象思维．（2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维．（3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．（4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】9.3.1题图在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察． 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做所示，在二面角α−l 为垂足，在面α与面β内分别作就是这个二面角的平面角．创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因．动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此图9−40CD（2）（1）平面角是直角的二面角叫做直二面角继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】第9章立体几何（教案）。

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(三)教学目的：1．两个平面垂直的定义、画法． 2．两个平面垂直的判定定理．3．两个平面垂直的性质定理．理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题 教学重点：两个平面垂直的判定和性质 教学难点：两个平面垂直的判定及应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2．公式：已知平面的斜线a 与内一直线b 相交成θ角，且a 与相交成1角，a 在上的射影c 与b 相交成2角，则有θϕϕcos cos cos 21=3 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示： 第一种是卧式法，也称为平卧式：ED CBAβα第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα4．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 二、讲解新课：1 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面2．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ， 求证：αβ⊥．（线面垂直⇒面面垂直） 证明：如图所示，令CD αβ=，则B CD ∈，在β内过B 作BE CD ⊥，∵,AB CD ββ⊥⊂，∴AB CD ⊥， ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，NMPCBA aγβαPOABC所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直 3．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥于点B ，求证：AB β⊥．（面面垂直⇒线面垂直）证明：在β内过B 作BE CD ⊥，则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角， ∵αβ⊥知AB BE ⊥，又∵AB CD ⊥， ∴AB β⊥． 三、讲解范例：例1 如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ． 分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，又∵PA 垂直于O 所在的平面，∴PA BC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中， 所以，平面PAC ⊥平面PBC ．说明：由于平面PAC 与平面PBC 相交于PC ，所以如果平面PAC ⊥平面PBC ，则在平面PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法例2．已知,,a αβαγβγ=⊥⊥，求证：a γ⊥．证明：设,AB AC αγβγ==，在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于点N ， ∵αγ⊥，∴PM α⊥， 又∵a αβ=，∴PM a ⊥，同理可得PN a ⊥，αHDCBADCBA∴a γ⊥．例3．已知在一个60的二面角的棱长有两点,A B ，,AC BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB ，又知4,6,8AB cm AC cm BD cm ===，求CD 的长解：由已知,,,18060120CA AB AB BD CA BD ⊥⊥<>=-=，∴22||()CD CA AB BD =++222||||||268cos120CA AB BD =+++⨯⨯⨯22216482682=++-⨯⨯⨯68=， ||217()CD cm =四、课堂练习：1．直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与平面α所成角的正弦值解：过点C 作CH α⊥于点H ，连接,,AH BH OH ，则30CAH ∠=，45CBH ∠=，CDH ∠为所求CD 与α所成角，记为θ， 令CHa =，则2,AC a BC ==，则在Rt ABC∆中，有3AC BC CD a AB ⋅== 在Rt CDH ∆中，sin 2CH CD θ== ∴CD 与平面αβαlP C B图1AE D'B'C'A'ODACB2．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,，求二面角的大小分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时，∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥而面PAC 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角在Rt APC ∆中，1s i n 2PA ACP PB ∠=== ∴30ACP ∠=在Rt BPC ∆中，sin 2PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠= 故304575ACB ∠=+=（图1）或453015ACB ∠=-=（图2） 即二面角l αβ--的大小为75或15说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角3．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=，求：（1）AO 与A C ''所成角；（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角 解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠ βαlPCB图2A∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）在Rt AOC ∆中， ,2OC AC ==∴30OAC ∠= （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角在Rt OAE ∆中，1,2OE AE === ∴tan 5OE OAE AE ∠== （3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角(0,]2π，直线和平面所成角[0,]2π，二面角[0,]π三种；求角度问题解题的一般步骤是：（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案五、小结 ：1．两个平面垂直的定义、画法2．两个平面垂直的判定方法（判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．） 3．应用两个平面垂直的判定定理的关键是将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题；4．两个平面垂直的性质. 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.答案：B例 2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3 B.22C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。

二面角的平面角及求法1、半平面的定义：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

3、二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

二面角大小的取值范围是［0，180°］。

4、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。

5、二面角的平面角具有下列性质：a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.6、求二面角的平面角的方法：(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。

论立体几何中的所成角问题所成角问题是立体几何中很重要的一部分，它包括了三种角：直线与直线所成角，直线与平面所成角以及平面和平面所成角。

讨论所成角问题主要是要讨论用什么方法去寻找这些角。

一、直线与直线所成角（就是指异面直线所成角）直线与直线所成角是立体几何的所成角问题中最简单的一种，只需要在固定一点之后把 两条直线都平移，使它们都过这一点就可以了。

通过平移就可以把求两条异面直线所成角的问题转变为求平面中两条相交直线所夹角的问题了。

要注意的是求直线与直线所成角的时候，我们找到的那个角是这两条直线的所成角或者它的补角。

它的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π。

二、 直线与平面所成角直线与平面所成角的找法就是在直线上找到一点，然后往那个平面内做垂线，得到直线在那个平面内的射影。

线面成角就是直线与它在那个平面内的射影所夹的角。

直线与平面所成角不存在补角的问题。

它的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π。

三、 平面与平面所成角（就是所谓的二面角）面面成角是立体几何中的所成角问题中的重点，一般来说考试测验都会把二面角作为重点考核的对象，也是学生最头痛的一类问题。

我们大概可以把找二面角平面角的方法归结为以下几类：1、 按照定义来找二面角的平面角从二面角的棱上一点在两个平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所夹的角就是二面角的平面角。

2、 利用三垂线定理来寻找二面角的平面角这个方法是寻找二面角的平面角最常用的。

首先要找到一条垂线，这条垂线指的是要垂直于其中的一个面。

垂线上有两点是我们要关注的，一点是垂足，另外一点是它与另一个面的交点。

其次我们可以过这两点中的任意一点在那个平面内做棱的垂线，再连接垂足和另外一点，得到一条我们连接的线段。

我们找到的二面角的平面角就是那条垂直于棱的线段和我们所连接的线段所夹的角。

这种方法不适用与两个互相垂直的面。

3、 二面角中的特殊情况有时候我们可以通过证明两个平面是垂直的以得到它们的二面角的平面角是90度。

直线和平面所成的角与二面角【高考导航】立体几何中的角大致可分为三种，即线线角，线面角，平面与平面所成的二面角.立体几何计算问题几乎都与三种空间角的计算有关，是高考立体几何检测的热点内容，题型上一般以解答题进行考查，难度适中，如1993全国理5分；1995全国文5分；1996全国4分；2002北京4分；1996上海12分；2002全国理12分；2002新课程12分；2002上海春12分；2003北京春5分；2004北京14分；2004广东12分等.【学法点拨】本节内容有斜线在平面上的射影，斜线与平面所成的角，公式cosθ=cosθ1·cosθ2，最小角定理，二面角的概念，二面角的平面角，两个平面垂直的判定定理及性质定理，对于本节知识的学习要了解线面角、半平面与半平面所成二面角以及异面直线所成角，在求法上一般都是转化为平面的角，具体地，通常应用“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平面角，利用向量抓法向量”而达到化归的目的.要注意对平面角的拼求和各种角的定义及取值范围.空间角的计算步骤是“一作，二证，三计算”.“作”即在图形中若无所求空间角的平面角，应先作出来；“证”指明自己所找或所作的角即为所求角；“计算”在平面几何图形内把角求出.在三种角的计算中要特别注意二面角的作法及求法，注意cosθ=cosθ1·cosθ2在线面角求值中的应用，注意利用射影面积公式S′=S·cosθ求二面角，对于平面与平面垂直的判定与性质的学习，可以与直线与直线垂直，直线与平面垂直的判定与性质联系起来，应用时注意三种垂直之间的相互转化.同时在学习中培养空间的想象能力、解决问题的能力以及逻辑推理能力和运算能力.【基础知识必备】一、必记知识精选平面的斜线和平面所成的角.(1)直线与平面所成角①范围：0°≤α≤90°当α=0°时，直线在平面内或直线平行于平面；当α=90°时，直线垂直于平面；当0°＜α＜90°时，直线与平面斜交.②最小角定理：直线与平面斜交，过斜足在平面内作直线，这些线与斜线所成角中射影与斜线所成角最小.③cosθ=cosθ1·cosθ2.④作法：作出直线和平面所成角，关键是作垂线，找射影.(2)二面角①定义：由一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角.②二面角的平面角：定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.对概念的理解要注意：平面角的两边分别在二面角的两个半平面内；平面角的二边都和二面角的棱垂直.③二面角平面角的求法：直接法：所谓直接法即先作出二面角的平面角，经过证明后再进行计算，常用的直接法有三：(a)利用平面角的定义；(b)利用三垂线定理；(c)过一点作棱的垂面.间接法：所谓间接法，就是不作出二面角的平面角，而利用公式cos θ=S S 射影.此方法也叫射影法.也可利用两半平面法向量的夹角求二面角.注意当直接作出二面角的平面角有一定难度时，一般才采用间接法求二面角大小. ④二面角的范围是0°≤θ≤180°，可从两个半平面“重合”、“相交”和“共面”各种情况考虑，重合时θ=0°；相交时，0°＜θ＜180°；共面时，θ=180°.（3）两个平面垂直的判定①定义：如果两相交平面所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直，它和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似.②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.即⎭⎬⎫⊂⊥βαl l ⇒β⊥α.简言之，“线面垂直⇒面面垂直”.(4)两个平面垂直的性质①如果两个平面互相垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角.②性质定理：如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.即⎭⎬⎫⊥⊂=⊥l a a l ,,ββαβα ⇒a ⊥α.简言之，“面面垂直⇒线面垂直”. ③如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点和另一个平面垂直的直线，必在此平面内.④如果一个平面和二个相交平面都垂直，那么它就和它们的交线垂直.(5)从两个平面垂直的判定定理和性质定理中可看出，平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题，即从线面垂直可推出面面垂直，反过来，由面面垂直又可推出线面垂直，这说明线面垂直与面面垂直之间有密切关系，可以互相转化.二、重点难点突破本节的重点是斜线在平面上射影的概念，斜线与平面所成角的概念，二面角的概念，两个平而垂直的判定定理.对于斜线在平面上的射影可通过具体作图具体体验，要注意O 点选取的任意性及斜线在平面上的射影是直线不是线段，斜线与平面所成角要紧扣概念，了解范围.本节的难点是cos θ=cos θ1·cos θ2的灵活应用，二面角的平面角.对于二面角的平面角和平面中角的概念作类比，注意化归思想的应用，二面角的考查在1993至2004高考十一年间有十年都有涉及，是考试热点，应重视.三、易错点和易忽略点导析在求二面角时，忽略二面角的范围，用反三角函数表示角出现错误或确定平面角出现错误.【例】 已知∠AOB=90°，过O 点引∠A O B 所在平面的斜线O C ，与O A 、O B 分别成45°、60°角测以O C 为棱的二面角A-O C-B 大小为________.错解：如图9-7-1所示，在O C 上取一点C ，使O C=1.过C 分别作CA ⊥O C 交O A 于A ，CB ⊥O C 交O B 于B.则AC=1，O A=2，BC=3，O B=2.在Rt △A O B 中，AB 2=O A 2+O B 2=6.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB=-33.∴∠ACB=arccos 33，即二面角A-O C-B 为arccos 33.正确解法：如图9-7-1所示，在O C 上取一点C ，使O C=1，过C 分别作CA ⊥O C 交O A 于A ，CB ⊥O C 交O B 于B ，则AC=1，O A=2，BC=3，O B=2.在Rt △A O B 中，AB 2=O A 2+O B 2=6，得cos ∠ACB=-33.∴∠ACB=π-arccos 33.即二面角A-O C-B 为π-arccos 33.错解分析：混淆了二面角的范围[0，π]与异面直线所成角的范围(0，2π]，且对于反三角函数的表示不熟悉.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例1】 已知D 、E 分别是正三棱柱ABC 一A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.思维入门指导：在图9-7-2上，过D 、E 、C 1的面与棱柱底面只给出一个公共点C 1，而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点，进而再求二面角的大小.解：在平面M 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于F ，则F 是面DEF 与面A 1B 1C 1的公共点，C 1也是这两个面的公共点，连结C 1F ，C 1F 为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C 1F-A 1.∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ，∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点.∵A 1B 1=B 1F=B 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.又面AA 1C 1C ⊥面A 1B 1C 1，FC 1在面A 1B 1C 1内，∴FC 1⊥面AA 1C 1C.而DC 1在面AA 1C 1C 内，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角.由已知A 1D=B 1C=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π.故所求二面角的大小为4π.点拨：当所求的二面角没有给出它的棱时，可通过公理1和公理2，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小.需要注意的是，若利用cos θ=1111DEC C B A SS △△求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.【例2】 设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD ，∠ABC=∠DBC=120°.求：(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小；(2)异面直线AD 与BC 所成的角的大小；(3)二面角A-BD-C 的大小.思维入门指导：本题主要考查对空间三种角的“作一证一求”.在解题时要合理利用题中条件.解：(1)如图9-7-3所示，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，连结DH ，故∠ADH 为直线AD 与平面BCD 所成的角.由题设知，△AHB ≌△DHB ，则DH ⊥BH ，AH=DH.∴∠ADH=45°为所求.(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影，∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°.(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A-BD-C 的平面角的补角.设BC=a ，则由题设得AH=DH=23a ，BH=21a ，BD=BC=a.在△HDB 中，求得HR=43a.∴tan ∠ARH=HR AH =2.故二面角A-BD-C 的大小为π－arctan2.点拨：本题是一道中档难度的立体几何综合题.这种试题命题的目的是考查立体几何重点知识，并且使之能覆盖较多的知识点.二、应用思维点拨【例3】 如图9-7-4所示，边长AC=3，BC=4，AB=5的三角形简易遮阳棚，其A ，B 是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角.试问：遮阳棚ABC 与地面成多大角度时，才能保证遮影面ABD 面积最大？思维入门指导：太阳影子实质可理解为射影面积，从而本题可转化为二面角的有关问题进行探讨，那么首先应作出纯数学图形，结合图形进行分析求解.解：易知△ABC 为直角三角形，由C 点引AB 的垂线，垂足为Q ，连结DQ ，则应有DQ 为CQ 在地面上的斜射影，且AB 垂直于平面CQD ，如图9-7-5.∵太阳光与地面成30°角，∴∠CDQ=30°.在△ABC 中，可算得CQ=512，在△CQD 中，由正弦定理，有︒30sin CQ =QCD QD ∠sin .即QD=524sin ∠QCD.为了使平面ABD 的面积最大，需QD 最大，这只有当∠QCD=90°时才可达到.从而∠CQD=60°.故当遮阳棚ABC 与地面成60°角时，才能保证遮影面ABD 面积最大.点拨：从研究中可看出只有当遮阳棚所在平面与太阳光线垂直时，才能挡住最多的光线，被遮阳的地面面积才能获得最大值.利用这个结论，也很容易得出所求值为60°，参看图9-7-6.三、创新思维点拨【例4】 如图9-7-7，在四面体ABCD 中，AB=AD=3，BC=CD=3，AC=10，BD=2.(1)平面ABD 与平面BCD 是否垂直，证明你的结论；(2)求二面角A-CD-B 的正切值；(3)求异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.思维入门指导：(1)判断垂直需要寻找符合面面垂直判定定理的条件.(2)(3)求空间的角要先转化为平面相交直线所成角，然后进行求解.解：(1)平面ABD ⊥平面BCD.证明如下：设BD 的中点为E ，连AE 、CE.∵AB=AD ，∴AE ⊥BD.同理CE ⊥BD.∴AE=22BE AB -=13-=2， CE=22BE BC -=19-=22. 又AC=10，∴AC 2=AF 2+CE 2.∴∠AEC=90°.∴AE ⊥EC.又AE ⊥BD ，∴AE ⊥平面BCD.又AE ⊂平面ABD ，∴平面ABD 上平面BCD.(2)作EF ⊥CD 于F ，连AF.∵AE ⊥平面BCD ，由三垂线定理得，AF ⊥CD ，∴∠AFE 就是二面角A-CD-B 的平面角，EF=ED ·sin ∠EDF=ED ·CD EC=1×322=322.∴tan ∠AFE=EF AE =3222=23.即二面角A-CD-B 的正切值为23.(3)解法一：取AB 的中点M ，AC 的中点N ，连MN 、ME 、NE.则ME ∥21AD ，MN ∥21BC. ∴∠NME 是异面直线BC 与AD 所成角或其补角.∵MN=21BC=23， ME=21AD=23， NE=21AC=210，由余弦定理，cos ∠NME=ME MN NE ME MN ∙-+2222=93＞0.∴∠NME 为锐角.∴∠NME 就是异面直线BC 与AD 所成角，其余弦值为93.解法二：在平面BCD 内作□BCGD(如图9-7-8)，连结AG ，则DG ∥BC ，∴∠ADG 是直线BC 与AD 所成角或者其补角.∵BD ∥CG ，EC ⊥BD ，∴EC ⊥CG.又∵AE ⊥平面BCD ，∴AC ⊥CG ，CG=BD=2，DG=BC=3.在Rt △ACG 中，AG=22CG AC +=14，cos ∠ADG=DG AD AG DG AD ∙-+2222=3321493∙-+=93.∴直线BC 与AD 所成角的余弦值为93.点拨：本题的(1)设问新颖，属开放式，增加了问题的灵活度，对空间想象能力、推理、判断能力要求更高，近年高考中像这样开放式设问题的试题较多，是高考命题的一个热点.本题的(3)求异面直线所成角，要化归为相交线所成角，解法一利用中位线性质将两异面直线所成角转化为相交直线所成角，解法二过一直线上一点作另一直线的平行线.应注意异面直线所成角一定是锐角或直角.四、高考思维点拨【例5】 (2002，河南、江苏)四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形PB ⊥面ABCD.(1)若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；(2)证明：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°. 思维入门指导：解答第(1)问，基本思路是寻找面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，进而求棱锥的高和体积；也可以通过侧面△PDA 在底面的射影面积与二面角的关系求解；还可以补形为正四棱柱求解，但此法较繁琐.解答第(2)问，首先要找出面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角，也即找出一个垂直于PD 的平面，转化为在平面上研究该平面角的大小.(1)解法一：∵PB ⊥面ABCD ，∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影.又DA ⊥AB ，∴PA ⊥DA.∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角.∴∠PAB=60°.而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tan60°=3a ，∴V 锥=31·3a ·a 2=33a 3.解法二：如图9-7-9，∵PB ⊥面ABCD ，连结BD ，则△ABD 是△APD 在面ABCD 上的射影， ∴APD ABDS S △△=cos60°.又S △ABD =21a 2，∴S △APD =21212a =a 2.由PB ⊥AD ，AD ⊥AB ，得AD ⊥面PAB.∴AD ⊥AP.∴PA=AD S APD 21△=a a 212=2a.在Rt △PAB 中，PB=22)2(a a -=3a ，∵PB 是四棱推P —ABCD 的高，∴V 锥＝31·3a ·a 2＝33a 3. (2)证法一：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形.作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，如图9-7-10，则△ADE ≌△CDE ，∴AE=CE ，∠CED=90°.故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.设AC 与DB 相交于点O ，连结E O ，则E O ⊥AC ，22a=O A ＜AE ＜AD=a ，且AD=2O A.在△AEC 中，cos ∠AEC=EC AE OA EC AE ∙∙-+2)2(222=2)2)(2(AE OA AE OA AE -+＜0.所以，面PAD 与PCD所成的二面角恒大于90°.证法二：如图9-7-10，同证法一，得∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.设PB=h ，则PA 2=h 2+a 2，PD 2＝h 2+2a 2.在Rt △PAD 中，AE=PD ADPA ∙=22222a h a h a ++. 在△AEC 中，∵AE=EC ，∴cos ∠AEC=EC AE AC EC AE ∙-+2222=222AE a AE -=1-22AE a =1-22222a h a h ++=-222a h a +＜0.∴∠AEC 是钝角.即面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°.点拨：本题以《立体几何》课本的一道复习题为基础，通过题中某个元素的变动，导出某个“恒定”的结论，创设出一个新的问题，与课本的习题一气呵成，构成一个完美的题组，给人以完整、清新、自然的感觉，是一道颇具创意的试题.本题的第(1)题，出自于课本复习参考题九B 组第6组，它只改变问题的表述，并不改变问题的本质，考查线面、线线垂直关系的逻辑推理和解直角三角形、求棱锥体积的运算，是对考生的基本要求.五、经典类型题思维点拨【例6】 如图9-7-11，三棱柱O AB －O 1A 1B 1，平面O BB 1O 1⊥平面O AB ，∠O 1O B=60°，∠A O B=90°，且O B=OO 1=2， O A=3.求：二面角O 1-AB-O 的大小；思维入门指导：根据题意利用二面角的定义，找出二面角的平面角，运用解三角形的知识求出.解：取O B 的中点D ，连结O 1D ，则O 1D ⊥O B.∵平面O BB 1O 1⊥平面O AB ，∴O 1D ⊥平面O AB.过点D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结O 1E ，则O 1E ⊥AB.∴∠DE O 1为二面角O 1-AB-O 的平面角.由题设得O 1D=3，sin ∠O BA=22OB OA OA +=721. ∴DE=DB ·sin ∠O BA=721.∵在Rt △O 1DE 中，tan ∠DE O 1=DE DO 1=7.∴∠DE O 1=arctan 7.即二面角O 1-AB-O 的大小为arctan 7.六、探究性学习点拨【例7】 在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=21AB=a(如图9-7-12(1))，将△ADC 沿AC 折起，使D 到D ′，记面ACD ′为α，面ABC 为β，面BCD ′为λ.(1)若二面角α-AC-β为直二面角(如图9-7-12(2))，求二面角β-BC-λ的大小；(2)若二面角α-AC-β为60°(如图9-7-12(3))，求三棱锥D ′一ABC 的体积.思维入门指导：本题是一道由平面图形折叠形成的立体几何问题.主要考查空间想象力和图形对应关系，也考查了立体几何的常规计算——二面角计算和体积计算.解：(1)在直角梯形ABCD 中，由已知△DAC 为等腰直角三角形，∴AC=2a ，∠CAB=45°. 由AB=2a ，可推得BC=AC=2a ，∴AC ⊥BC.取AC 的中点E ，连结D ′E ，如图9-7-13，则D ′E ⊥AC.∵二面角α-AC-β为直二面角，∴D ′E ⊥β.又∵BC ⊂平面β，∴BC ⊥D ′E.∴BC ⊥α.而D ′C ⊂α，∴BC ⊥D ′C.∴∠D ′CA 为二面角β-BC-λ的平面角.由于∠D ′CA=45°，∴二面角β-BC-λ为45°.(2)如图9-7-14，取AC 的中点E ，连结D ′E ，再过D ′作D ′O ⊥β，垂足为O ，连结O E.∵AC ⊥D ′E ，∴AC ⊥O E.∴∠D ′E O 为二面角α-AC-β的平面角.∴∠D ′E O =60°.在Rt △D ′OE 中，D ′E=21AC=22a ，D ′O =D ′E ·sin60°=22a ·23=46a.∴V D ′-ABC =31S △ABC ·D ′O =31×21AC ·BC ·D ′O =61×2a ×2a ×46a=126a 3.点拨：本题立意简明，考查了空间图形的基本推理和运算，对于折叠问题，空间图形中大多数数据靠平面图形计算去赋值，这是解决这类问题的通常思考方法，题目难度中档，有一定的区分度.【强化练习题】A 卷：教材跟踪练习题 （60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1；则AB 1与C 1B 所成角的大小为（ ）A.60°B.90°C.105°D.75°2.直线l 与平面α斜交成n °角，则l 与α内任意直线所成角中，最小与最大的角分别是( )A.n °与90°B.180°-n °与n °C.n °与180°-n °D.以上都不是3.PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A.21 B.22C.33D.364.二面角α-AB-β的平面角是锐角，C 是面α内的一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，那么（ ）A.∠CEB=∠DEBB.∠CEB ＞∠DEBC.∠CEB ＜∠DEBD.∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定5.在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且AD=4，BC=6，MN=19，则AD 与BC 所成角的余弦值和所成角分别为（ ） A.-21，32π B.-21，3π C.21，3π D.21，32π6.已知a 、b 是异面直线，A ，B ∈α，A 1，B 1∈b ，AA 1⊥α，AA 1⊥b ，BB 1⊥b ，且AB=2，A1B1=1，则α与b所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题（每小题4分，共16分）7.在正方体ABCD－－A1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为________.8.AB∥平面α，AC⊥α于C，BD是α的斜线，D是斜足，若AC=9，BD=63，则BD与α所成的角为________.9.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有________.10.一条长为a的线段夹在互相垂直的两平面之间，它和这两个平面所成角分别为45°和30°，由这线段的两个端点向两个平面引垂线，那么垂足间的距离是________.三、解答题（每小题7分，共14分）11.如图9-7-15，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°.E是BD的中点.求证：平面AEC⊥平面ABD，平面AEC⊥平面BDC.12.设E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值.B卷：综合应用创新练习题（90分 90分钟）一、学科内综合题（10分）1.如图9-7-16，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O一xyz，其中O x∥BC，O y∥AB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.(1)求cos<BE，DE>；(2)记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED.二、应用题（10分）2.一个气象探测气球以14m／min的垂直分速度由地面上升，经过10min后，由观察点D测得气球在D的正东，仰角为45°；又过10min后，测得气球在D的北偏东60°，仰角为60°.若气球是直线运动，求风向与风速.三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3.（P46习题9.7第4题变型）山坡与水平面成30°角，坡面上有一条与山底水平线成30°角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为________.（二）一题多解（15分）4.如图9-7-17，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB之中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小.（三）一题多变(15分)5.如图9-7-18，过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB=a. ①求二面角B-PC-D 的大小；②求平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小.（1）一变：四边形ABCD 是菱形，且∠ABC=60°，其他条件不变，求二面角B-PC-D 的大小.（四）新解法题(1O 分)6.△ABC 的边BC 在平面α内，A 在平面α上的射影为A ′，当∠BAC=60°，AB 、AC 与平面α所成角分别为30°和45°时，求cos ∠BA ′C 的值.（五）新情境题(10分)7.如图9-7-19，在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21.(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值. 四、高考题(10分)8.(2001，京、蒙、皖春)已知VC 是△ABC 所在平面外的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，如图9-7-20，且在△ABC 的高CD 上，AB=a ，VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈VC.(1)求证：∠MDC 是二面角M-AB-C 的平面角； (2)当∠MDE=∠CVN 时，求证：VC ⊥平面AMB ；(3)若∠MDC=∠CVN=θ(0＜θ＜2π)，求四面体MABC 的体积.加试题：竞赛趣味题(10分)已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，在AC 上取一点P ，过P 、A ′，B ′三点作的平面与底面所成二面角为α，过P 、B ′、C ′三点作的平面与底面所成的二面角为β，求α+β的最小值.【课外阅读】巧用向量法求空间角众所周知，解决立体几何问题，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中：两向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决垂直、两向量所成角及线段的长度等问题.一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，应该说不仅会降低学习的难度，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理，更有利于新课改、新理念、新教材的教学实验.本文主要是谈利用向量法求解空间角的问题.角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可以进一步转化为向量的夹角求解.1.求两条异面直线所成的角异面直线所成的角α利用与它们平行的向量，转化为向量的夹角θ问题，但θ∈[0，π]，α∈(0，2π]，所以cos α=|cos θ|=ba ba ∙.【例1】 (2002，上海春季)如图9-7-21，三校柱O AB —O 1A 1B I ，平面O B 1⊥平面O AB ，∠O 1O B=60°，∠A O B=90°，且O B=OO 1=2，O A=3，求异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小.思维入门指导：用平移A 1B 或A O 1的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向量法求解.充分利用∠A O B=90°，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何问题转化为代数问题计算.解：建立如图9-7-21所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，O 1(0，1，3)，A(3，0，0)，A 1(3，13)，B （0，2，0）.∴B A 1=OB -1OA =(-3，1，-3)，1OA =OA -1OO =(3，-1，3).设异面直线所成的角为α，则cos α=71.故异面直线A 1B 与A O 1所成的角的大小为arccos 71.点拨：(1)以向量为工具，利用空间向量的坐标表示，空间向量的数量积计算公式，异面直线所成角问题思路自然，解法灵活简便；(2)也可以直接用自由向量OA =a ，OB =b ，1OO =c 表示1OA 与A 1，然后再来解.2.求直线与平面所成的角在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，如图9-7-22，一种是按定义得∠P O H=<OP ，OH >；另一种方法是利用法向量知识，如图9-7-22，平面α的法向量为n ，先求OP 与n 的夹角，注意P O 与α所成角θ与<OP ，n >的关系，于是就有sin θ=|cos<OP ，n>|.【例2】 (2002，天津、山西、江西)如图9-7-23，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求直线AC 1与侧面AB 1所成的角的大小.思维入门指导：利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，求角时有两种思路，一是由定义找出线面角，取A 1B 1中点M ，连结C 1M ，证明∠C 1AM 是AC 1与面A 1B 所成的角；另一种是利用平面AB 1的法向量n =（λ，x ，y ），求解.解法一：建立如图9-7-23所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(0，0，2a)，C 1(-23a ，2a ，2a)，取A 1B 1中点M ，则M(0，2a ，2a)，连结AM ，MC 1，有1MC =(-23a ，0，0)，=(0，a ，0)，1AA =(0，0，2a).由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，∴MC 1⊥面AB 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面AB 1所成的角θ.∵1AC =(-23a ，2a ，2a)，AM =(0，2a ，2a)，∴1AC ·AM =0+42a +2a 2=492a .而|1AC |=2222443a a a ++=3a ，||=2224a a +=23a ，∴cos<1AC ，AM >=233492a a a ∙=23.∴<1AC ，>=30°，即AC 1与侧面AB 1所成的角为30°.解法二(法向量法)：(接法一)1AA =（0，0，2a ）.设侧面A 1B 的法向量n =(λ，x ，y).所以n ·AB =0，且n ·1AA =0，∴ax=0，且2ay=0.∴x=y=0，故n =(λ，0，0).∵1AC =(-23a ，2a ，2a)，∴cos<1AC ，n >=1=a a 3||23∙∙-λλ=-||2λλ.∴sin θ=|cos<1AC ，n >|=21.∴θ=30°.点拨：充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系.再用向量有关知识求解线面角.解法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.3.求二面角利用向量法求二面角的平面角有两种途径，一是根据二面角的平面角的定义，如图9-7-24，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ⊂α，CD ⊂β，则二面角α- l -β的大小为<AB ，CD >.另一种方法是利用两平面的法向量的夹角求解，但应注意法向量n 1、n 2的夹角与二面角的大小是相等或互补的.【例3】 (2001，全国)如图9-7-25，在底面是一直角梯形的四棱锥S 一ABCD 中，AD∥BC ，∠ABC=90°，SA ⊥平面AC ，SA=AB=BC=1，AD=21，求面SCD 与面SBA 所成的角.思维入门指导：本题是“无棱”的二面角，利用向量法求二面角大小更显示了向量工具的魅力.抓住AD 、AB 、AS 两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出面SAB 、面SCD 的法向量，再求其夹角.解：如图9-7-25，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(21，0，0)，S(0，1，0)，得DC =(21，1，0)，SD =(21，0，-1)，SC =(1，1，-1).设平面SDC 的法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1).∵n 1⊥面SDC ，∴n 1⊥DC ，n 1⊥SD ，n 1⊥SC .设平面SAB 的法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2)，则 SA ＝（0，0，-1），SB ＝（0，-1，1）.∴⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙.0,022SA n n ∴⎩⎨⎧=+-=-.0,0222z y z∴x 2=y 2=0.∴n 2=(x 2，0，0). ∴cos<n 1，n 2>=||||2121n n n n ∙=||414100221212121x x x x x x ∙++++=||322121x x x x =±36.∵面SAB 与面SCD 所成角的二面角为锐角θ，∴cos θ=|cos<n 1，n 2>|=32=36. ∴θ=arccos 36.故面SCD 与面SBA 所成的角大小为arccos 36.点拨：本题考查了空间向量的坐标表示，空间向量的数量积，空间向量垂直的充要条件，空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定，考查了学生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力.参考答案A 卷一、1.B 点拨：如答图9-7-1建立空间直角坐标系O 一xyz.设高为h ，则AB=2h ，可得A(0，-22h ，h)，B(0，22h ，h)，B 1(0，22h ，0)，C 1(26h ，0，0).则1AB =(0，2h ，-h)，1BC =(26h ，-22h ，-h). ∵1AB ·1BC =O ×26h+2h ·(-22h)+h 2=0，∴1AB ⊥1BC .2.A 点拨：直线与平面斜交时，斜线和面所成角是斜线与面内所有直线所成角中最小的，且最大角为直角.3.C 点拨：构造正方体如答图9-7-2所示，过点C 作C O ⊥平面PAB ，垂足为O ，则O 是正△ABP 的中心，于是∠CP O 为PC 与平面PAB 所成的角.设PC=a ，则P O =32PD=33a.故cos ∠CP O =PC PO=33.4.B 点拨：结合图形，可先比较tan ∠CEB 与tan ∠DEB 的大小，即可得到答案.5.C 点拨：取BD 的中点P ，连PM 、PN ，则PM=2，PN=3，然后用余弦定理可求得.6.C二、7.22点拨：如答图9-7-3，连结B 1D 1，则∠B 1D 1B 为BD 1与面A 1B 1C 1D 1所成角，tan∠B 1DB=111D B BB =22.8.3π点拨：过B 作BE ⊥α，垂足为E ，如答图9-7-4，连结DE ，则∠BDE 为直线BD 与α所成角.在Rt △BED 中易知∠BDE=60°.9.无数个 点拨：由直线和平面垂直的判定定理可知满足条件有无数个.10.2a三、11.证明：∵AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC.∴BC=CD. 又∵E 为BD 的中点，∴CE ⊥BD.又AB=AD ，且E 为BD 的中点，∴AE ⊥BD ，则BD ⊥平面ACE.又BD ⊂平面ABD ，BD ⊂平面BCD ，∴平面ABD ⊥平面AEC ，平面BDC ⊥平面AEC. 点拨：本题关键证明BD ⊥面ACE.12.解：如答图9-7-5，设正方体的棱长为a ，在△AB 1E 中，AB 1=2a ，B 1E=25a ，AE=23a.∴cos ∠AB 1E=E B AB AE E B AB 11221212∙∙-+=aa a a a 252249452222∙∙-+=1010.∴sin ∠AB 1E=10103.∴S E AB 1△=21·AB 1·B 1E ·sin ∠AB 1E=21×2a ·25a ×10103=43a 2.又S 111C B A △=21·a ·a=21a 2，∴cos θ=E AB C B A S S 1111△△=224321a a =32. 即平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1所成角的余弦值为32.B 卷一、1.解：(1)依题意，B(a ，a ，0)，C(-a ，a ，0)，D(-a ，-a ，0)，E(-2a ，2a ，2h)，∴=(-23a ，-2a ，2h )，=(2a ，23a ，2h).∴BE ·DE =(-23a ·2a )+(-2a ·23a )+2h ·2h =-232a +42h ，||=222)2()2()23(h a a +-+-=221021h a +，|DE |=222)2()2()23(h a a ++=221021h a +.由向量的数量积公式，有cos<BE ，DE >==22222210211021423h a h a h a +∙++-=2222106h a h a ++-.(2)∵∠BED 是二面角α-VC-β的平面角， ∴BE ⊥CV ，即有BE ·CV =0.又由C （-a ，a ，0），V （0，0，h ），得CV =(a ，-a ，h)，且=(-23a ，-2a ，2h)， ∴BE ·=-23a +22a +22h =0.即h=a 2，此时有cos<BE ·DE >=2222106h a h a ++-=2222)2(10)2(6a a a a ++-=-31，∴∠BED=<，>=arccos(-31)=π-arccos 31.点拨：应用空间向量注意坐标系的建立及点的坐标的确定. 二、2.解：以水平放置的平面α的地面，根据题意画出空间图形如答图9-7-6所示.10min 后气球位置为A ，又10min 后气球位置为B ，A 、B 在平面α的射影分别为A 1、B 1，且AA 1＝14×10＝140(m)，BB 1=14×20=280(m)，∠A 1DB 1=30°，∠A 1DA=45°，∠B 1DB=60°，于是，得A 1D=A 1A=140m ，B 1D=B 1Bcot60°=3280(m). 在△A 1DB 1中，A 1B 21=1402+(3280)2-2·140·3280·23=31402(m). 因此，风速为1011B A =3314(m/min).∵B 1D 2=A 1D 2+A 1B 21，∴∠DA 1B 1=90°. 故风向为正北. 点拨：要使问题得以解决，其关键在于能否建立起一个能表示观察点D 与该气球的相对位置之间关系的几何模型，因为有了几何模型我们就能根据其立体图形进行相关的计算，求。