两平面的夹角和二面角的区别

两个面法向量的夹角与二面角的关系示例文章篇一：作为一名小学生，这题目对我来说可太难啦！不过我还是想试着说一说。

啥是面法向量呀？这就好像我们在操场上跑步，有个规定的方向，这个方向就是法向量。

那二面角呢，就像是打开的两扇门之间的那个夹角。

咱们想想，如果两个面法向量的夹角是锐角，那二面角会不会也是锐角呢？哎呀，这可不一定哟！比如说，两个面就像两个小朋友在面对面吵架，他们的姿势（法向量）可能看着很凶（锐角），但真正他们之间的那个空间（二面角）可能是钝角呢！那要是两个面法向量的夹角是钝角，二面角是不是也一定是钝角呢？哈哈，也不一定呀！就好像两个小伙伴，一个看起来很生气背对着（钝角），但其实他们之间的距离和角度（二面角）可能很小，是锐角呢！那到底两个面法向量的夹角和二面角有啥关系呢？其实啊，它们有时候一样，有时候又不一样。

这就像我们猜谜语，得好好琢磨琢磨才能找到答案。

所以说，不能简单地认为两个面法向量的夹角就是二面角，得仔细分析，认真思考，才能搞清楚它们之间真正的关系。

你们说是不是呀？示例文章篇二：哎呀，这“两个面法向量的夹角与二面角的关系”可真是个让人头疼的问题呢！就好像是走在一条弯弯绕绕的小路上，一不小心就会迷路。

咱先来说说啥是面的法向量。

法向量就像是每个面的“小保镖”，直直地站在面的正上方，守护着这个面。

那两个面的法向量呢，它们之间就会有个夹角。

这时候就有人要问啦，那这个夹角和二面角又有啥关系呢？这就好比是两个小伙伴在玩躲猫猫，法向量的夹角像是我们看到的表面现象，而二面角才是真正藏起来的那个“神秘宝贝”。

有时候，两个面法向量的夹角就直接等于二面角，这多简单直接呀！可有时候呢，它们又像是两个闹别扭的小朋友，法向量的夹角和二面角还得加上或者减去180 度才行。

你想想看，如果我们不搞清楚它们的关系，那在解题的时候不就像没头的苍蝇到处乱撞吗？所以说，弄明白这两者的关系可太重要啦！在学习的过程中，我就常常被它们绕得晕头转向。

1.2.4 平面与平面的夹角------二面角【课时目标】 1．掌握二面角和二面角的平面角的概念．2．会求简单的二面角的大小．【知识疏理】1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．注: （1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。

（4）二面角的取值范围一般规定为（0,π）。

3．二面角的画法（1）平卧式 （2）直立式4．二面角的记法（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：___________________; （2）以直线AB 为棱，以为半平面的二面角记为：___________________ 。

5．二面角的平面角的作法：注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。

（2）角的两边分别在两个面内。

（3）角的边都要垂直于二面角的棱。

【例题学习】例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 求①二面角A 1－AB －D 的大小；②二面角D 1－AB －D 的大小．归纳小结:求二面角大小的步骤。

简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．l βα,βα,例2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值．例3．如图所示AF，DE、分别是圆O、圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是圆O的直径，AB=AC=6，OE // AD。

定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即 可得平面角,解三角形求其大小.
在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D 的大小？
D1 C1 B1
A1
D
O
C B
A
⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂 直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角EBD-C的大小?
S E
A
D
C B

3
垂线法(三垂线 定理或逆定理)

l

cos

cos n1 , n2
cos

cos n1 , n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
ABCD A1 B1C1 D1 的边长为2， 例.已知正方体 z O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点 （1）求证： 直线 B1O 面MAC; D1 （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
求证:cos= cos 1 ×cos 2
A
O
B
M

例： 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C 所成的角.
A1 B1 C1
z
D1
A B
x
D
C
y
例1： 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
以 AD AA 设正方体棱长为1， AB， ， 1为单 0，， 0，， 位正交基底，可得 A(0，0) B1 (1，1)
这个二面角的大小是________________.

3 或 4 4
练习
3 、 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角αa-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一点P到平 面α与平面β的距离之比为

如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角
π
的范围是 0, ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与
2
其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?
提示 设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其
知识点2 直线与平面所成的角 指直线和它在平面内的投影所成角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α
所成的角θ∈
π
0, 2
,且
π
θ= -<l,n>(如图
2
π
θ=<l,n>- (如图
2
2),
sin θ=sin < , >
π
-2
1)或
故sin θ=|cos<l,n>|.
π
π
3.若<l,n>是一个锐角,则θ= -<l,n>;若<l,n>是一个钝角,则θ=<l,n>- .
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余
角.( × )
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.( × )
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=则l与α所成的角为( A )
目录索引
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重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用

平面与平面所成的角与二面角的区别
1.平面与平面所成的角：平面与平面所成的角是指两个平面之间的夹角。

两个平面可以通过它们的法向量来确定夹角的大小。

当两个平面相交时，它们所成的角是两个平面的法向量之间的夹角。

平面与平面所成的角的度量范围是0°到180°之间。

2.二面角：二面角是指由四个不在同一平面上的点所确定的空间角。

四个点分别位于两个平面上，两个平面相交于一条直线。

二面角可以通过这条直线和两个平面的法向量来确定。

二面角的度量范围是0°到360°之间。

总结来说，平面与平面所成的角是在二维平面上的角度，而二面角是在三维空间中的角度。

平面与平面所成的角是由两个平面的法向量决定，而二面角是由四个点和两个平面的法向量决定。

此外，平面与平面所成的角度范围为0°到180°，而二面角的度量范围为0°到360°。

面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A

高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。

下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。

一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。

具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。

二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。

2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。

3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。

4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。

三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。

2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。

3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。

四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。

2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。

3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。

在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。

总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。

通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。

二平面法向量的夹角一定等于二面角吗关键词：平面法向量二面角摘要：二平面法向量的夹角与二面角的关系用向量法求二面角的方法向量是数形结合的典范，具有几何与代数的二重性，是一个解决问题的重要的数学工具。

在中学数学中向量最重要的应用领域就是用它解决立体几何的问题，这样就把抽象的空间思维转化为较机械的代数运算，为解决立体几何中的夹角与距离问题提供了极大的方便．但是在运用向量法求角时，一定要注意所取向量的夹角与所求的犄角之间的关系，否则常会导致误解．下面我们先看一个误解的例子：在《未来导报·高考周刊》2005——2006学年度第32期(总第111期)中，利用空间向量求二面角一文中的例1：图1 在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，求面VAD与面VDB所成二面角的大小。

解：建立如图1所示的空间直角坐标系，并设正方形边长为1．依据题意，得AB=(o，1，o)是面VAD的法向量，设n=(1，y，z)是面VDB的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅0VB n 0VD n ⇒ ⎩⎨⎧-=-=1y 33z ⇒ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=33,1,1721nAB n ,AB cos -=>=<∴ . 所以面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为：721arccos -π . 误解分析：如图2 ，在二面角βια--中，点P 为平面α、β外一点，点A 、B 分别在平面α、β内，且P ⊥α，PB ⊥β，AC 、BC 分别为平面PAB 与平面α、β的交线．显然有ACB ∠为二面角βια--的平面角；π=∠+∠ACB APB (圆的内接四边形的对角互补)。

则ACB PB ,PA BP ,AB ∠->=>=<<πACB APB BP ,PA PB ,AP ∠=∠->=>=<<π结论：1、当所取平面的法向量的方向，同时指向二面角内或二面角外时，平面法向量的夹角与二面角互补；2、当所取平面法向量的方向一个指向二面角内另一个指向二面角外时，法向量的夹角与二面角相等。

题型一
题型二
题型三
题型四
用定义法求直线与平面所成的角
【例 1】 已知∠BOC 在平面 α 内,OA 是平面 α 的一条斜线,若
∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC= 2, 求与平面所成
角的大小.
分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后
解三角形求出线面角.
所有直线所成角中最小的角.
【做一做2】 已知一条直线与平面的夹角为30°,则它和这个平面
内所有直线所成角中最小的角为(
)
A.30° B.60° C.90° D.150°
答案:A
3.二面角的定义及表示方法
(1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做
半平面.
(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条
A. B. C. D.
2 3
3
2
解析:如图,设 BC 的中点为 E,底面正三角形 BCD 的中心为 O,连接
AE,DE,则∠AEO 就是二面角 A - BC - D 的平面角.在 Rt△AOE
中,AE=
答案:B
3
,
2
=
3

, 则cos∠AEO=
6

1
3
= .
1
2
3
4
5
5.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α l - β的大小是(
∵A1B⊥B1C,
∴ 1 ·1 = 0, ∴ = 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
设 n=(x,y,z)是平面 A1ABB1 的一个法向量,
则 n·1 1 = −4 + 2 = 0.

二平面法向量的夹角一定等于二面角吗关键词：平面法向量二面角摘要：二平面法向量的夹角与二面角的关系用向量法求二面角的方法向量是数形结合的典范，具有几何与代数的二重性，是一个解决问题的重要的数学工具。

在中学数学中向量最重要的应用领域就是用它解决立体几何的问题，这样就把抽象的空间思维转化为较机械的代数运算，为解决立体几何中的夹角与距离问题提供了极大的方便．但是在运用向量法求角时，一定要注意所取向量的夹角与所求的犄角之间的关系，否则常会导致误解．下面我们先看一个误解的例子：在《未来导报〃高考周刊》2005——2006学年度第32期(总第111期)中，利用空间向量求二面角一文中的例1：图1 在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，求面VAD与面VDB所成二面角的大小。

解：建立如图1所示的空间直角坐标系，并设正方形边长为1．依据题意，得=(o，1，o)是面VAD的法向量，设=(1，y，z)是面VDB的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅0VB n 0VD n ⇒ ⎩⎨⎧-=-=1y 33z ⇒ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=33,1,1721n AB ,cos -=>=<∴ . 所以面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为：721arccos-π . 误解分析：如图2 ，在二面角βια--中，点P 为平面α、β外一点，点A 、B 分别在平面α、β内，且P ⊥α，PB ⊥β，AC 、BC 分别为平面PAB与平面α、β的交线．显然有ACB ∠为二面角βια--的平面角；π=∠+∠ACB APB (圆的内接四边形的对角互补)。

则ACB PB ,PA BP ,AB ∠->=>=<<πACB APB BP ,PA PB ,AP ∠=∠->=>=<<π结论：1、当所取平面的法向量的方向，同时指向二面角内或二面角外时，平面法向量的夹角与二面角互补；2、当所取平面法向量的方向一个指向二面角内另一个指向二面角外时，法向量的夹角与二面角相等。

立体几何中二面角的平面角的定位【摘要】立体几何中的二面角是一个重要的概念，而平面角的定位在二面角中有着特殊的作用。

本文首先介绍了二面角和平面角的基本概念，然后探讨了二面角的特性和分类。

接着重点讨论了二面角的平面角的定位问题，并探讨了平面角与二面角之间的关系。

我们详细阐述了平面角的测量方法。

通过深入理解平面角的定位，我们可以更好地解决立体几何中的问题，提高解题效率。

掌握平面角的定位对于学习立体几何具有重要意义，可以帮助我们更好地理解立体几何中的概念和定理，解决相关问题。

【关键词】二面角、平面角、定位、立体几何、特性、分类、关系、测量方法、重要意义、解决问题、提高效率。

1. 引言1.1 二面角的概念二面角是立体几何中一个重要的概念，指的是由两个相邻平面夹角所确定的角。

在几何中，我们通常将两个相邻平面的交线称为边线，而边线延伸至无穷远处，形成一个平面角。

这个平面角就是二面角。

二面角可以用来描述空间中两个平面的夹角大小和方向，是立体几何中的基本概念之一。

二面角的大小可以通过其所包含的两个平面的夹角来确定，通常用度数来表示。

二面角的方向则取决于两个相邻平面的相对位置。

在立体几何中，我们经常需要根据二面角的平面角来确定点、线、面等的位置关系，从而推导出更复杂的结论。

掌握二面角的概念和特性对于解决立体几何中的问题至关重要。

通过深入理解二面角的平面角的定位，我们可以更好地理解空间中的几何关系，提高解题效率，解决更为复杂的几何问题。

1.2 平面角的定义平面角是指在几何中由两条射线或直线段围成的角，这两条射线或直线段共同形成了一个平面。

平面角的大小可以通过角度来度量，常用的单位包括度、弧度等。

在平面几何中，平面角的概念是非常基础和重要的，它帮助我们描述和理解不同几何对象之间的位置关系和相互作用。

平面角的定义可以用于描述各种几何形状之间的相对位置关系，比如直线和直线、直线和平面、平面和平面等。

平面角的大小取决于形成该角的两条射线或直线段之间的夹角大小，这个夹角可以通过工具如量角器或通过数学方法进行测量和计算。

β
B l O l
β
B O
α
A
α
A
我们约定， 我们约定，二面角 α 的大小范围是 0°≤ α ≤180° ． ° ° 平面角是直角的二面角叫做直二面角． 平面角是直角的二面角叫做直二面角．
例 已知正方体 ABCD－A′B′C′D′ ( 如图 ) ， － 求二面角 D′－AB－D 的大小 ． － 解：在正方体 ABCD-A′B′C′D′ 中， AB⊥平面 ADD′A′， ⊥ 所以 AB⊥AD′，AB⊥AD， ⊥ ⊥ ， 所以 ∠D′AD 即为 二面角D 的平面角． 二面角 ′-AB-D 的平面角． A 由于△ 是等腰直角三角形， 由于△D′AD是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形 因此 ∠D′AD＝45 ° ， ＝ 所以二面角 D′-AB-D 的大小为 45°． ° D B A′ D′ B′ C′
β
A
C• l D• B
棱
α
二．二面角的平面角
射线 OA 和 OB 构成的 ∠AOB 叫做二面角的平面角 二面角的平面角． 二面角的平面角
β
B l O
α
A
二面角的大小可以用它的平面角来度量， 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
立体几何 立 立体几何 体 立体几何 几 何 9.3.3平面与平面所成的角 平面与平面所成的角
两个平面成一定夹角的实例： 两个平面成一定夹角的实例： 打开的笔记本电脑； 打开的笔记本电脑； 打开的课本等等． 打开的课本等等．
一．二面角 平ห้องสมุดไป่ตู้内的一条直线把这个平面分成两个部分， 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分， 其中的每一部分都分别叫做一个半平面． 其中的每一部分都分别叫做一个半平面． 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角． 叫做二面角． 记作： 记作： 二面角 α-AB-β 二面角 C-AB-D 二面角 α-l-β 二面角 C-l-D 面 面

两平面的夹角范围-回复【两平面的夹角范围】平面是几何学中的基本概念之一，它由无数个位于同一平面上的点所组成。

当我们涉及到两个平面的关系时，其中一个重要的概念就是夹角。

夹角是指两个平面之间的角度，它可以用来描述平面之间的相对位置和方向。

在本文中，我们将深入探讨两平面的夹角范围。

为了更好地理解两平面夹角的概念，让我们从最简单的情况开始，即两个平面之间的夹角为零度。

这意味着两个平面是重合在一起的，它们完全相同，并且没有任何交叉或分离的部分。

换句话说，两个平面的方向完全相同，它们没有任何相对的旋转或倾斜。

在这种情况下，两平面的夹角范围是简单而明确的，只能为零度。

然而，当我们考虑两平面之间的夹角大于零度时，情况就变得更加复杂了。

夹角的大小取决于两个平面之间的相对位置和方向。

让我们进一步探讨夹角的一些属性和特点。

首先，两个平面之间的夹角可以是锐角、直角或钝角。

锐角是指夹角小于90度的情况，直角是指夹角等于90度的情况，而钝角是指夹角大于90度的情况。

这意味着两个平面可以相互靠近、垂直或分离，形成不同的夹角类型。

其次，两个平面的相对位置和方向决定了它们的夹角范围。

如果两个平面是平行的，它们永远不会相交，因此它们之间的夹角为零度或180度。

另一方面，如果两个平面是相交的，它们的夹角将大于零度且小于180度。

具体的夹角范围取决于平面的具体相对位置和倾斜程度。

此外，两个平面之间的夹角还可能会受到一些限制或约束。

例如，在三维空间中，两个平面的夹角范围可以受到它们与第三个平面的关系的影响。

如果两个平面和第三个平面都是平行的，它们之间的夹角将保持一致。

另外，如果两个平面分别与第三个平面垂直，则它们之间的夹角将是90度。

最后，两个平面之间的夹角还可以通过几何学中的一些方法进行计算。

例如，可以使用向量的数学运算来确定两个平面之间的夹角大小。

也可以使用各种几何学的定理和公式来求解夹角的具体数值。

总而言之，两个平面之间的夹角范围是一个复杂而多样的概念。

βB ιO
P α
A
二面角
例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在
底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜
边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，
求二面2角P-AB-C的正切值。
P
P
A
E
B
E
O
O
C
二面角
已知：A为二面角α– CD –β的棱CD 上 一 点 ， AB 在 平 面 α 内 且 与 棱 CD 成 45º角，又AB与平面β成30º，求二面
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
二面角
例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一 点，过P分别在α、β内引射线PM、PN,且 ∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二 面角的度数。
C
P
O
a
C Mα
AP O
B
D Nβ
二面角
例 2 ． 如 图 P 为 二 面 角 α–ι–β 内 一 点 ， PA⊥α,PB⊥β, 且 PA=5 ， PB=8 ， AB=7，求这二面角的度数。
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
O
α
ι
A
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
二面角

05 总结与展望
两平面夹角的总结
01
02
03
04
定义理解
总结了两平面夹角的定义，即 两个平面之间的最小锐角。
性质探讨
探讨了两平面夹角的性质，包 括夹角的大小与两平面的位置 关系、夹角的取值范围等。
计算方法
总结了几种常用的计算两平面 夹角的方法，如三角函数法、
向量法等。
应用实例
列举了一些实际应用中两平面 夹角的计算问题，如工程测量
平面夹角的大小和方向可以影响空间 几何体的形状和性质，例如在三维建 模中，两个平面的夹角决定了模型的 外观和结构。
平面夹角在空间几何中的应用
在建筑设计、工程制图、计算机图形学等领域中，平面夹角 的概念被广泛应用。
在建筑设计方面，平面夹角的大小和方向可以影响建筑物的 外观和结构稳定性；在工程制图方面，平面夹角的概念是描 述三维物体的重要参数；在计算机图形学中，平面夹角用于 描述三维场景中的光照和阴影效果。
详细描述
首先，通过向量的点积和叉积运算，计算出两个平面的法向 量；然后，利用法向量间的夹角来计算两平面的夹角。向量 法具有较高的通用性和灵活性，适用于各种类型的平面方程 。
几何法计算平面夹角
总结词
几何法是通过几何图形和空间关系来直观地计算两平面的夹角。
详细描述
首先，根据平面方程绘制出对应的几何图形；然后，利用三角尺或量角器等工具 测量两平面间的夹角。几何法虽然直观易懂，但受限于绘图精度和测量误差，可 能存在一定的误差。
• 平面夹角的取值范围：两平面的夹角取值范围是[0°, 90°]。当 两个平面平行时，夹角为0°；当两个平面垂直时，夹角为90°。
平面夹角的性质
• 平面夹角的性质：两平面的夹角是固定的，不会因 为观察角度的变化而改变。此外，两个平面之间的 夹角与它们的法线向量有关，法线向量与二面角的 平面角是垂直的。

0， 2
2、知识应用 如图，已知ΑΒ为平面α的一条斜线， 为斜足， ΑΒ为平面 例1 如图，已知ΑΒ为平面α的一条斜线，Β为斜足， ΑΟ⊥α ⊥α， 为垂足， 内的一条直线， ABC＝60° ΑΟ⊥α，Ο为垂足，ΒC为α内的一条直线，∠ABC＝60°， OBC＝45° 求斜线AB和平面所成的角。 AB和平面所成的角 ∠OBC＝45°，求斜线AB和平面所成的角。
分析：要证结论成立， 分析：要证结论成立，只要证
P
∠PBD＜90° -∠BPC ∠PBD＜90° 90° ∠BPC与 PBC的关系 探索90° -∠BPC与∠PBC的关系
D
C
Α
Β
如图，在正方体ABCD ABCD－ 例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B 和平面A1B1CD所成的角。 和平面A CD所成的角。 所成的角 分析：找出A 分析：找出A1B D1 C1 在平面A1B1CD内的射影。 在平面A CD内的射影。 内的射影
那么θ 之间有什么关系？ 那么θ、θ1、θ2之间有什么关系？ 设ΑΟ为单位长，则 ΑΟ为单位长， 为单位长 ｜ΑΒ｜＝｜ΑΟ｜cos θ1 ΑΒ｜＝｜ΑΟ｜ ｜＝｜ΑΟ ＝cos θ1 ｜ΑC｜＝｜AB｜cos θ2 ｜＝｜AB｜ AB cosθ cosθ ＝cosθ1cosθ2 但｜ΑC｜＝｜ΑΟ｜cosθ ｜＝｜ΑΟ｜cosθ ΑΟ 所以
α
A
C
B
cosθ cosθ cosθ cosθ＝cosθ1cosθ2
cosθ cosθ cosθ cosθ＝cosθ1cosθ2
问题： 之间大小关系如何？ 问题：θ、θ1之间大小关系如何？
O
结论： 结论：θ1＜θ
α
A
C