2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程练习：第二章 随机变量及其分布 单元质量测评

第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量[A级基础巩固]一、选择题1．下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①②B．③④C．①③D．②④解析：①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出．②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出．③是，1小时内网站的访问次数可一一列出；④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．答案：C2．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色的种数解析：A.小球滚出的最大距离不是一个离散型随机变量，因为不能明确滚动的范围；B.倒出小球所需的时间不是一个离散型随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C.三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量了；D.颜色的种数是一个离散型随机变量．答案：D3．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为()A．6B．5C．4D．2解析：由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.答案：B4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是() A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标D．第4次击中目标解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．答案：C5．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是()A．6 B．7 C．10 D．25解析：X的所有可能值为1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．答案：C二、填空题6．抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数记为(x，y)，且设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验的结果是________．解析：抛掷一枚骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，而X表示抛掷两枚骰子所得到的点数之和，X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2，所以X＝4表示的随机试验的结果是一枚是1点，另一枚是3点或者两枚都是2点，即(1，3)，(3，1)，(2，2)．答案：(1，3)，(3，1)，(2，2)7．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为______________．解析：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5.答案：{0，1，2，3，4，5}8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为ξ，则{ξ＜2}表示的试验结果是______________．解析：应分ξ＝0和ξ＝1两类．ξ＝0表示取到3件正品；ξ＝1表示取到1件次品、2件正品．故{ξ＜2}表示的试验结果为取到1件次品，2件正品或取到3件正品．答案：取到1件次品、2件正品或取到3件正品三、解答题9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值及其所表示的结果．解：ξ的可能取值为0，1，2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．B级能力提升1．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为()A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z解析：两次掷出点数均可取1～6所有整数，所以X∈[－5，5]，X∈Z.答案：D2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种．解析：{ξ＝6}表示前5局中胜3局的球队，第6局一定获胜，共有C12·C35＝20(种)．答案：203．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.解：因为x，y可能取的值为1，2，3，所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽到卡片号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)．ξ＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)．ξ＝2表示(1，2)，(3，2)．ξ＝3表示(1，3)，(3，1)．。

2.3.2 离散型随机变量的方差1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P 64～P 66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根错误!为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．1．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平；④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知．【答案】④2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为________．【解析】ξ的标准差错误!＝错误!＝错误!.【答案】1 33．已知随机变量ξ的分布列如下表：则ξ的均值为________【解析】均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝5 9 .【答案】－1359教材整理2离散型随机变量的方差的性质阅读教材P66第5自然段～P66探究，完成下列问题．1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 2．离散型随机变量方差的线性运算性质 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )＝________，E (X )＝________.【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25. 【答案】 0.25 0.52．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________.【导学号：29472071】【解析】 由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＝89.【答案】893．已知随机变量X ，D (10X )＝1009，则X 的标准差为________．【解析】 因为D (10X )＝100D (X )＝1009，所以D (X )＝19，所以错误!＝错误!.【答案】 13[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用(1)已知随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( )A.17B.16C.15D.14(2)已知η的分布列为：②设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．【精彩点拨】(1)利用二项分布的方差计算公式求解．(2)①利用方差、标准差定义求解；②利用方差的线性运算性质求解．【自主解答】(1)np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝67，∴p＝17.【答案】 A(2)①∵E(η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D(η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴错误!＝8错误!.②∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．2．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．[再练一题]1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知E (X )＝3，D (X )＝32，求n ，p 的值．【解】 由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )， 由E (X )＝np ＝3，D (X )＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，∴p ＝12，n ＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ)．【精彩点拨】 首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E (ξ)和D (ξ)的值． 【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A33＝13； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C13A33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝1A33＝16.所以，ξ的分布列为E(ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，(1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[再练一题]2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ).【导学号：29472072】【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝C38C310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝C28C12C310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝C18C22C310＝115.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.[探究共研型]均值、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：试求E(X12【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2 在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能．因为E(X1)＝E(X2)．探究3 在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[再练一题]3．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：【解】 因为E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， 即E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )【解析】 随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． 【答案】 D 2．已知X 的分布列为则D(X)等于( )A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0【解析】E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.【答案】 B3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1 )>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．【解析】因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．【答案】乙4．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.【解析】由E(X)＝30，D(X)＝20，可得错误!解得p＝错误!.【答案】1 35．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若E(X)＝0，D(X)＝1【导学号：29472073】【解】由题意，错误!解得a＝512，b＝c＝14.。

2.2.2 事件的相互独立性[A 基础达标]1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立的事件解析：选D ．因为P (A 1)＝35，若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，所以A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，所以A 1与A 2不是相互独立事件．2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )A ．0.2B ．0.8C ．0.4D ．0.3解析：选D ．由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P ＝0.6×0.5＝0.3，故选D ．3．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A ．12B ．13C ．23D ．34解析：选B ．因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B ．4．(2019·重庆高二检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A ．13B ．29C ．49D ．827解析：选A ．由已知得逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13，则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.5．有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( ) A ．1 B ．624 C ．1124D ．1724解析：选C ．一道数学难题，恰有一人解出，包括： ①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14；②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18；③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112.所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124.6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案：0.267．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析：设“开关a ，b ，c 闭合”分别为事件A ，B ，C ，则灯亮这一事件为ABC ∪AB C —∪A B —C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C —，A B —C 相互独立， ABC ，AB C —，A B — C 互斥，所以 P ＝P (ABC )＋P (AB C —)＋P (A B —C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C —)＋P (A )P (B —)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.答案：388．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________． 解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A ，B ，C ， 则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次为事件(A —BC )∪(A B —C )∪(AB C —)，故其概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：7189．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两互相独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A — B — C —表示，P (A — B — C —)＝P (A —)P (B —)P (C —)＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85) ＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 (A —BC )∪(A B —C )∪(AB C —)表示． 由于事件A —BC ，A B —C 和AB C —两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A —BC )＋P (A B —C )＋P (AB C —) ＝P (A —)P (B )P (C )＋P (A )P (B —)P (C )＋P (A )P (B )P (C —)＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)， (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A — B — C —)＝P (A —)·P (B —)·P (C —)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C —)＋P (A B —C )＋P (A —BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)(3)可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．[B 能力提升]11．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A ．316B ．34C ．1316D ．14解析：选C ．记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C —)P (D —)[1－P (AB )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：3413．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×(1－23)＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×(1－56)×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为(1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.14．(选做题)某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C 用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．解：(1)两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图．通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，C A 2表示事件“A 地区用户的满意度等级为非常满意”，C B 1表示事件“B 地区用户的满意度等级为不满意”，C B 2表示事件“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2，P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)．由所给数据，得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.。

选修第二章一、选择题．①某电话亭内的一部电话小时内使用的次数记为；②某人射击次，击中目标的环数之和记为；③测量一批电阻，阻值在Ω～Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为.其中是离散型随机变量的是( )．①②．①③．①④．①②④[答案][解析]①②中变量所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．．件产品有件次品，从中任取一件，则下列是随机变量的为( )．取到产品的个数．取到正品的个数．取到正品的概率．取到次品的个数[答案][解析]取到正品的个数不是固定值为，其余都是固定值．．某人射击的命中率为(<<)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )．，…，．，…，，…．，…，．，…，，…[答案][解析]由随机变量的定义知取值可以从开始，并且有可能每次都未中目标．．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>”表示的试验结果是( )．第一枚点，第二枚点．第一枚点，第二枚点．第一枚点，第二枚点．第一枚点，第二枚点[答案][解析]只有中的点数差为－＝>，其余均不是，应选．．下列变量中，不是离散型随机变量的是( )．从张已编号的卡片(从号到号)中任取一张，被取出的号数ξ．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η．某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ．从张已编号的卡片(从号到号)中任取张，被取出的卡片的号数之和η[答案][解析]离散型随机变量的取值能够一一列出，故，，都是离散型随机变量，而不是离散型随机变量，所以答案选．．给出下列四个命题：①秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．其中正确命题的个数是( )．．．．[答案][解析]由随机变量的概念知三个命题都正确，故选．二、填空题．一木箱中装有个同样大小的篮球，编号为、、、、、、、，现从中随机取出个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝表示的试验结果有种[答案][解析]从个球中选出个球，其中一个的号码为，另两个球是从、、、、、、中任取两个球．∴共有＝种．．同时抛掷枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为[答案]{}．在件产品中含有件次品，从中任意抽取件，ξ表示其中次品的件数，则ξ＝的含义是[答案]ξ＝表示取出的件产品都是正品三、解答题．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答个问题，组委会为每位选手都备有道不同的题目可供选择，其中有道文史类题目，道科技类题目，道体育类题目，测试时，每位选手从给定的道题目中不放回地随机抽取次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答．某选手抽到科技类题目的道数为()试求出随机变量的可能取值；(){＝}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？[解析]()由题意得的可能取值为.(){＝}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．从三类题目中各抽取一道有···＝种不同的结果．抽取道科技类题目，道文史类题目有··＝种不同的结果．。

选修第二章一、选择题．已知一次考试共有名同学参加，考生的成绩～()，据此估计，大约应有人的分数在下列哪个区间内( )．(] ．(]．(] ．(][答案][解析]由于～()，∴μ＝，σ＝.因此考试成绩在区间(]，(]，(]上的概率分别应是.由于一共有人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：×≈人，×≈人，×≈人．故选．．(·武汉高二检测)某班有名学生，一次考试后数学成绩ξ～()，若(≤ξ≤)＝，则估计该班学生数学成绩在分以上的人数为( )．．．．[答案][解析]∵考试的成绩ξ服从正态分布()，∴考试成绩ξ的概率分布关于ξ＝对称，∵(≤ξ≤)＝，∴(ξ≥)＝(ξ≤)＝(－×)＝，∴该班数学成绩在分以上的人数为×＝.故选．．如图是当σ取三个不同值σ，σ，σ时的三种正态曲线，那么σ，σ，σ的大小关系是( )．<σ<σ<<σ．σ>>σ>σ>．σ>σ>σ>．<σ<σ＝<σ[答案][解析]由正态曲线的特点知σ越大，其最大值越小，所以σ<σ<σ，又＝，∴σ＝.故选．．某厂生产的零件外直径～()，单位，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为( )．上、下午生产情况均为正常．上、下午生产情况均为异常．上午生产情况正常，下午生产情况异常．上午生产情况异常，下午生产情况正常[答案] [解析]根据σ原则，在(－×＋×]即(]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为分，分以下的人数占，则数学成绩在分至分之间的考生人数所占百分比约为( )．．．．[答案][解析]由条件知μ＝，(ξ<)＝，∴(ξ>)＝，∴(≤ξ<)＝[－(ξ<)]＝×(－)＝，故选．．以Φ()表示标准正态总体在区间(－∞，)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ)，则概率(ξ－μ<σ)等于( )．Φ()－Φ(－)．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)．Φ．Φ(μ＋σ)[答案][解析]设η＝，则(ξ－μ<σ)＝(η<)＝(－<η<)＝Φ()－Φ(－)．故选．二、填空题．正态变量的概率密度函数()＝－，∈的图象关于直线对称，()的最大值为[答案]＝．设随机变量～(μ，σ)，且(<)＝，(>)＝，则(<<)＝[答案]－[解析]∵随机变量～(μ，σ)，∴＝μ是图象的对称轴，∵(<)＝，∴μ＝.∵(>)＝，∴(<)＝，则(<<)＝－.。

第二章 2.3 2.3.1A 级 基础巩固一、选择题1．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( B ) A ．无法求 B ．0 C ．E (X )D ．2E (X )[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解． ∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数， ∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0．2．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( B )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2600元[解析] 出海的期望效益E (X )＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)． 3．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到次品数的数学期望值是( C )A ．nB ．(n －1)MNC ．nM ND ．(n ＋1)MN[解析] 设抽到的次品数为X ，∵共有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽取n 件产品，∴抽到的次品数X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布，∴抽到次品数的数学期望值E (X )＝nM N．4．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的分布列如表，则m 的值为( A )X 1 2 3 4 P14mn112A ．13B ．14C ．16D ．18[解析] 由Y ＝12X ＋7得E (Y )＝12E (X )＋7＝34，从而E (X )＝94，所以1×14＋2m ＋3n ＋4×112＝94． 又因为14＋m ＋n ＋112＝1，联立上面两式，解得m ＝13．5．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( A )A ．7.8B ．8C ．16D ．15.6[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115．E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8．6．如果a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6的期望为3，那么2(a 1－3)，2(a 2－3)，2(a 3－3)，2(a 4－3)，2(a 5－3)，2(a 6－3)的期望是( A )A ．0B ．3C ．6D ．12[解析] 由E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝2×3－6＝0． 二、填空题7．某射手射击所得环数X 的分布列如下：已知X 的期望E (X )＝8.9__0.4__[解析] ∵x ＋y ＝0.6,7x ＋10y ＝8.9－0.8－2.7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.2y ＝0.4．8．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是__8.5__． [解析] 从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E (X )＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5．9．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝__53__．[解析] ∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋2×13×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53． 三、解答题10．(2019·衡水中学高二检测)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数X 稳定在7环，8环，9环，10环，他们比赛成绩的统计结果如下：(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；(2)若从甲、乙运动员中只能任选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？[解析] (1)记甲运动员击中n 环为事件A n ；乙运动员击中n 环为事件B n (n ＝1,2,3，…，10)，甲运动员击中的环数不少于9环的事件A 9∪A 10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B 9∪B 10.由题意可知事件A 9与事件A 10互斥，事件B 9与事件B 10互斥，事件A 9∪A 10与事件B 9∪B 10独立．∴P (A 9∪A 10)＝P (A 9)＋P (A 10)＝1－0.2－0.15＝0.65， P (B 9∪B 10)＝P (B 9)＋P (B 10)＝0.2＋0.35＝0.55．∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.3575． (2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X 、Y ，由题意知X 、Y 的可能取值为：7、8、9、10．甲运动员射击环数X 的概率分布列为：甲运动员射击环数X E (X )＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8． 乙运动员射击环数Y 的概率分布列为：乙运动员射击环数Y E (Y )＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7． ∵E (X )>E (Y )，∴从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适．B 级 素养提升一、选择题1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)为( A )A ．89B ．35C ．25D ．13[解析] ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴－b 2a <0，即ba >0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89．2．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( A ) A ．3 B ．4 C ．5D ．2 [解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0、1、2，P (ξ＝0)＝C 27－x C 27＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－x C 27＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42， ∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3． 二、填空题3．设离散型随机变量X 可能取的值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝__110__．[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )×1＋(2a ＋b )×2＋(3a ＋b )×3＋(4a ＋b )×4＝3，(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧30a ＋10b ＝3，10a ＋4b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝110b ＝0，∴a ＋b ＝110．4．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为__13__. ξ 1 2 3 4 P14mn112[解析] η＝4ξ－2⇒E (η)＝4E (ξ)－2⇒7＝4·E (ξ)－2⇒E (ξ)＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112，又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得n ＝13． 三、解答题5．(2018·南安高二检测)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值； (2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．[解析] (1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列， ∴由频率分布直方图得⎩⎪⎨⎪⎧(0.015＋a ＋b ＋0.015＋0.010)×10＝1，2b ＝a ＋0.015. 解得a ＝0.035，b ＝0.025．(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的有(a ＋b )×10×10＝6人，属于潜在消费人群的有10－6＝4人． 从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150,200,250,300．P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34C 310＝130，∴X 的分布列为：E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×130＝210．6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116．(1)求乙投球的命中率p ；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望． [解析] (1)设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得(1－P (B ))2＝(1－p )2＝116， 解得p ＝34或p ＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34．(2)由题设和(1)知P (A )＝12，P (A )＝12，P (B )＝34，P (B )＝14．ξ可能的取值为0、1、2、3，故P (ξ＝0)＝P (A )P (B ·B )＝12×(14)2＝132，P (ξ＝1)＝P (A )P (B ·B )＋C 12P (B )P (B )·P (A ) ＝12×(14)2＋2×34×14×12＝732，P (ξ＝3)＝P (A )P (B ·B )＝12×(34)2＝932，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝1532．ξ的分布列为：ξ的数学期望E (ξ)＝0×132＋1×732＋2×1532＋3×932＝2．由Ruize收集整理。