初中数学九年级培优教程整理全

2016年初二升初三暑期培优教材（数学）第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。

这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。

【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

九年级数学大培优第二十六章反比例函数第19讲反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y=a或x=a;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y=k x(k为常数,kʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数;2.解析式:y=k x(kʂ0)或x y=k(kʂ0)或y=k x-1(kʂ0).▶题型一根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ下列函数:①y=x2;②y=2x;③y=-2x;④y=12x;⑤y=1x+2;⑥y=1x-2;⑦x y=2;⑧y= 2x-1,⑨y=2x2.其中y是x的反比例函数的有(填序号).▶题型二根据定义确定k值或解析式ʌ例2ɔ(1)反比例函数y=-32x,化为y=k x的形式,相应的k=;(2)函数y=k x中,当x=2时,y=3,则函数的解析式为.362▶题型三根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ(1)如果函数y=x2m+1是关于x的反比例函数,则m的值为;(2)若函数y=(m+2)x m2-5(m为常数)是关于x的反比例函数,求m的值及函数的解析式.针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是()A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= 32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线;当k<0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点,,也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线,对称,关于点00成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ1818ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.▶题型四 反比例函数中k 的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.1212ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.148128针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.12|5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.k xk x k a k 2a43x 43a 8343a 83a 1243a 83a 43x 323x43x 323x九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一 反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后的直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.4ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.426x6642426m 43▶题型二 反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.33▶题型三 反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图1221221221221221212212ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 4269 .44=42-4242九年级数学 大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.23.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;6(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.666ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一 如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2k xn m n mC MD F D N CE ʑB C B D A D A C C D B D =C D A C性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.16O 16性质二 如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图112|A E C E B E D E A C A E B DB E九年级数学 大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.12ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.888128a k 88216性质三 如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.k a222性质四 如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.212212121313针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .2332334333九年级数学 大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.992339a2x 181212391323234.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2552212ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.44412,4a 4a针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.323221232123213412362134362134362ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现 几何问题坐标化 .▶题型一 反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 8 .ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x 在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.13881326263九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x(k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F的坐标.154154针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.333.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图3232九年级数学 大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.8828x 针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 21;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 465.65731-71x 4(6ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一 反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .6666166▶题型二 反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .22222222ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.10101052325232253222253232494324946712494九年级数学 大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M .(1)m的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.44224=2x 22.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.32663232x 3266666t 6t 66262121212t 12A 121242第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为()A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.22522511ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗为什么?1265651212x针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行 薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?23150231503.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害200200九年级数学 大培优第二十七章 相似第21讲 相似三角形的判定知识导航1.相似多边形;2.平行线分线段成比例定理;3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置;2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一 运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.A D FBC C E 35ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .AM MN B M DMAM MN M P AM▶题型二 平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .针对练习11.如图,直线l 1,l 2,l 3分别交直线l 4于A ,B ,C 三点,交直线l 5于点D ,E ,F ,且l 1ʊl 2ʊl 3,已知D E ʒD F =3ʒ8,A C =24.(1)求B C的长;(2)当A D =4,C F =20时,求B E 的长.3815258522.如图,A B 是☉O 的直径,C D 是弦,A E ʅC D ,B F ʅC D ,垂足分别为点E ,F .(1)求证:D E =C F ;(2)若B F =1,A E =2,E F =4,求A B 的长.223.如图,在正方形A B C D 中,点E 在D A 的延长线上,A E =A B ,点F 在C D 上,M 为A F 的中点,过点M 作MN ʅM C 交B E 于点N .求证:MN =M C .九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一 延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.1213ʑMN =32213131414B 132▶题型二 作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .1212▶题型三 作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.121▶题型四 利用角平分线+平行线构X 型相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C =5,B C =6,øA B C 的平分线交A C 于点D ,C E ʅB C 交B D 的延长线于点E ,求B D D E的值.265661148114011181183针对练习21.如图,在▱A B C D 中,M 为A B 的中点,DM ,D B 与A C 分别相交于点P ,Q .(1)求A P P Q的值;(2)若D B ʅB C ,B C =5,P Q =1.求P M 的长.121322D B 2+B C 221122121213DM 2162.如图,在әA B C 中,D 是B C 的中点,点F 在A C 上,F C =2A F ,B F 交A D 于点E .(1)求证:A E =E D ;(2)若A B =A D ,求B F A C的值.1212B F B M 23B F A C 233.如图,A D 为әA B C 的角平分线,点E 在A B 边上,C E 交A D 于点F ,C F =C D ,若A F =3F D ,E F =3,求C D 的长.34九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 作平行线构造A 型相似方法技巧1.求部分线段与整体线段的比的问题,往往构A 型相似求解;2.过线段端点或分点作平行线构双A (X )图或A X 型图;3.三条平行线构成X 型㊁A 型图中隐藏关系式:1a +1b =1c;4.等腰三角形中作腰的平行线构造新的等腰三角形.▶题型一 直接或间接作平行线构造A 型图求比值.ʌ例1ɔ 如图,在әA B C 中,点E 为线段B C 的中点,点D 在线段A C 上,B D 交A E 于点F .若B F =3F D ,求A F A E的值.12B 141212▶题型二 直接或间接作平行线构造A 型图转化比.ʌ例2ɔ 如图,在әA C B 中,点D 为边A C 的中点,点E 为B D 上任意一点,延长C E 交A B 于点M ,延长A E 交B C 于点N ,连接MN .求证:MN ʊA C .B NB C ▶题型三 直接或间接作平行线构造双A 型解题ʌ例3ɔ 如图,在R t әA B C 中,øA C B =90ʎ,C D ʅA B ,垂足为点D ,M 是C D 的中点,E F ʅA B ,垂足为点F .若E F =4,C E =3.2,求A E 的长.4432▶题型四1a+1b=1c型问题ʌ例4ɔ如图,A BʊC D,B D与A C交于点G,过点G作A B的平行线分别交B C,A D于点H,E.(1)求证:1A B+1C D=1G H;(2)过点H作H FʅA D,垂足为点F,若F G=2,A B=3,求C D的长.1111 A B 1C D1G H121 3112针对练习31.如图,点D是әA B C的边C B的延长线上一点,点F在A C上,D F交A B于点E,若B D=B E,C D=4A E,A C=5,求A F的长.152.如图,四边形A B C D中,A DʊB C,A FʊC D交B C于点F,E是A B上一点,A E=A D,E C交A F于点M.求证:C M㊃B F=A B㊃M E.3.如图,在әA B C中,点P是A B上一点,A P=4,B P=6,点M是P C的中点,øA C P=øP B M.(1)求A C 的长;(2)过点A作A DʊP C交B C的延长线于点D,B M的延长线交A D于点N.若N D=33,øC A D=30ʎ,求C D的长.1243336323F2+F D227九年级数学 大培优ʌ板块四ɔ 边边边法证明三角形相似方法技巧网格中或非网格中可计算出三边或算出三对对应边的比值,常用三边对应成比例证三角形相似.▶题型一 网格中的相似三角形ʌ例1ɔ 已知әA B C 中,A B =25,A C =45,B C =6.如图,是由100个边长为1的小正方形组成的10ˑ10的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.请在网格中画一个与әA B C 相似且对应边的比最大的格点三角形,并加以证明.0204102,1021022102100272+122329210111111102▶题型二 非网格相似三角形ʌ例2ɔ 已知正方形A B C D ,点E ,F 分别在边A D ,C D 上,且A E =E D ,C F =3D F .(1)求证:әA B E ʐәE B F ;(2)连接A C 与B E ,B F 分别相交于点M ,N ,求证:B C B N =AM MN.52AMMN 针对练习41.如图,是由81个边长为1的小正方形组成的9ˑ9的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.(1)请你计算出әA B C各边的长;(2)请在网格中画一个与әA B C 相似且与әA B C 三边对应垂直的对应边比值最大的格点三角形,并加以证明(A ,B ,C 的对应点分别为A 1,B 1,C 1).2256262=623262351111112.如图,在四边形A B C D 中,点E 在B D 上,且A B A E =B C E D =A C A D.B C =4,øB A E =30ʎ,求C D 的最小值.12ʌ板块五ɔ 边角边法证三角形相似方法技巧1.旋转型㊁子母型图常运用两边对应成比例,其夹角相等证相似;2.求形如a +n mb 的最值,常通过构 边角边 相似去求解.▶题型一 旋转型相似ʌ例1ɔ 如图1,在R t әA B C 中,øC =90ʎ,A B =15,B C =9,点P ,Q 分别在边B C ,A C 上,C P =3x ,C Q=4x (0<x <3),把әP C Q 绕点P 旋转,得到әP D E ,点C ,Q 的对应点分别为点D ,E .(1)如图1,若点D 落在线段P Q 上,且A D 平分øC A B ,求x 的值;(2)如图2,当点E 落在边A B 上且Q E ʊC B 时,求C D 的长.图1 图212412693535185▶题型二 将a 2=b c 型问题转化为 子母型 相似问题.ʌ例2ɔ 如图,在әP E F 中,P E =P F ,O 为E F 的中点,G 为P F 上一点,øP E G =27ʎ,N 为O G 的中点,P N ʅE G ,垂足为点M ,若øM O N =18ʎ,N G 2=NM ㊃N P .求øF 的度数.九年级数学大培优针对练习51.如图,P是正方形A B C D边B C上一点,点M在边C D上,B M与A P交于点Q,B P2=P Q㊃P A.(1)求证:C M=B P;(2)若P为B C中点,求øP Q C的度数.2.如图,在正方形A B C D中,点E,F分别在边B C,C D上,连接A F交B D于点H,E C=2DH.(1)求证:øE A F=45ʎ;(2)求证:AH=E H.23.如图,在等腰直角三角形A B C中,A C=B C,点E在边B C上,以A E为边作正方形A E MN,E M交A B于点F.(1)求证:B MʅA B;(2)若C E=2B E,求A E E F的值.2222221415E F A E15ʌ板块六ɔ 角角判定法证三角形相似方法技巧1.共角的两个三角形优先考虑用角角判定法证三角形相似;2.用反A 型相似证明a b =c d 型等式;3.善于发现或构造一线三等角型相似;4.共角且一对角互补的两个不相似三角形,构造等腰三角形转化为相似三角形.▶题型一 用角角判定法证明三角形相似ʌ例1ɔ 如图,D 是әA B C 边B C 的中点,点M 在A B 上,øA C M =øB .(1)求证:A C 2=AM ㊃A B ;(2)点O 在A D 边上,且A O =2O D ,过点O 作E F ʊM C ,分别交A B ,A C 于点E ,F ,若A E =6,E M =1,求A F ㊃A C 的值.▶题型二 构造等角,运用角角法证相似求边长ʌ例2ɔ 如图,点D 在A B 上,A B =3B D =12,点E 在B C 的延长线上,D E =2A C ,øA C B +øB D E =180ʎ,øB =60ʎ,求A C 的长.12123221213131▶题型三 一线三等角问题ʌ例3ɔ 如图,在әA B P 中,A P =A B ,O 为A B 上一点,O A =2,O B =1,A Q ʊB P ,且øQ O P =øB ,求A Q ㊃B P 的值.A Q O E232313x Q F O B1九年级数学 大培优针对练习61.如图,A B =A C ,øB A C =90ʎ,D 为边A B 上任意一点,A E ʊB C ,øC D E =45ʎ,求证:C D D E=2.222.如图,әA B C 中,A B =A C =15,B C =24,D ,E 分别是B C ,A B 上的点,øA D E =øB ,当әB D E 为直角三角形时,求B D 的长.1215125421162142143.如图,点E ,F 分别在线段A C ,B C 上,øF E C =øB ,øA C B =60ʎ,C H 平分øA C B 交E F 于点H .(1)求证:B C A C =E H H F;(2)若E C =43,H C =5,求B C A C的值.E H H F E M F N1212B C A C E C F C B C A C E H H F 12E 2312F =3x =3M -3x MH HN E M F N ,15-3x 23x03-1073C 754.如图,正方形A B C D 中,B C =4,对角线A C ,B D 交于点O ,P 是O B 的中点,N 在线段C D 上(不与C ,D 两点重合),P M ʅP N 交B C 于点M .求B M +13DN 的值.1213P E P D 1313D 12B 13ʌ板块七ɔ 作垂线构造三角形相似方法技巧作垂线构造直角三角形相似转化比或用比例式列方程求边.▶题型一 利用对顶角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例1ɔ 如图,B D 为әA B C 的高,点E 在A B 边上,øB E C =60ʎ,B E =2C D ,C E 与B D 相交于点F .求B FF C的值.32333▶题型二 利用同角或等角的补角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例2ɔ 如图,在R t әA B C 中,øB A C =90ʎ,A D ʅB C ,垂足为点D ,点O 是A C 边中点,连接B O 交A D 于点F ,O E ʅOB 交BC 边于点E .若A C A B =n ,求O F O E的值.▶题型三 利用角平分线作垂线构造直角三角形相似ʌ例3ɔ 如图,在әA B C 中,øB A C =60ʎ,A B =6,A C =4,A D 平分øB A C 交B C 于点D .求B D 的长.121233233323535322657▶题型四 面积问题作高构造直角三角形相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,øC =45ʎ,点D ,E ,F 分别在边B C ,A C ,A B 上,A B =B D =2A E ,连接E F交A D 于点G ,øA G F =45ʎ,若A D =4,F G =32,求әA F G 的面积.1234九年级数学 大培优针对练习71.如图,在әA B C 中,øA C B =90ʎ,点E 在A C 上,A C =2B C =4C E .C D ʅB E 交B E 于点F ,交A B 于点D .求B D A D的值.12122.如图,在R t әA B C 中,øA B C =90ʎ,A B =6,D 为A C 的中点,过点A 作A E ʊB C ,连接B E ,øE B D=øC B D ,B D =5,求B E 的长.2452543.如图,B ,C ,E 三点在一条直线上,әA B C 与әD C E 均为等边三角形,D B 与A C ,A E 分别相交于点H ,F ,连接F C .(1)求证:әAH B ʐәF H C ;(2)若B F =2F E ,求B C C E的值.M N B C E C32324.如图,在四边形A B C D 中,øA B C =øA D C =90ʎ,A B =A D =2B C =2C D ,E 为C D 上一点,B F ʅA E交A D 于点F .求B F A E的值.12535383858545ʌ板块八ɔ用相似法证明线段相等方法技巧1.证明a=b的方法技巧之一:若a c=b c,则a=b;2.证明a=b的方法技巧之二:若a c=b d,c=d,则a=b.▶题型一双A双X并排型ʌ例1ɔ如图,D,E分别是әA B C的边A B,A C上的点,D EʊB C,D C交B E于点O,直线A O分别交D E,B C于点M,N.求证:B N=N C.▶题型二普通型相似ʌ例2ɔ如图,D为R tәA C B斜边A B的中点,点M在A C上,点N在B C的延长线上,øMDN=90ʎ.(1)求证:øC A B=øMN D.(2)如图2,分别过点M,N作直线A B的垂线,垂足分别为点G,H.求证:A G=DH.针对练习81.如图,在等边әA B C中,点E在C A的延长线上,点D在B C的延长线上,A E=C D,延长D A交B E 于点F.(1)求证:øE A F=øA B E;(2)过点E作E GʊF C交A D于点G.求证:E F=A G.。

九年级数学培优教程二次根式例1.当x+11x +在实数范围内有意义？例2.已知，求xy的值． 例3.已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。

例4.若│2012-a │+2013-a =a ，求a-20122的值．课堂练习题：1.求下列各式有意义的所有x 的取值范围。

（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x2.如图，数轴上A,B两点表示的数分别为1和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（）A．B．C ．D ．3.已知t<1，化简1212---+t t t 得( )A ．22-tB ．2tC ．2D ．04.若12x pp 224421x x x x -+++ ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -3 5.若a<0，b>03a b - ） A ．...ab B ab C ab D ab ---6.已知：5252a b ==-+227a b ++的值为（ ） A.5B.6 C ．3 D ．47.估算50232+的值（ ） A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间8.有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.cm 41B.cm 34C.cm 25D.cm 35 9.已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝ 10.如果0＜a ＜a ，那么a 的取值范围是________11.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是______ 12.设4-2的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为_______ 13.如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为___14.化简：2242242222-++++++a a a a a a 15.5710141521++++16.已知：7878+-=x ，7878-+=y ，求：yx xyy x +++2的值。

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）根式是（）A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④【例２】(黔东南)方程x-=，当y＞0480时，m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m ＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y2y-=，则xy(0的值是__________.3．（荆门）若2=+，则x－y的值为x y()（）A．－ 1 B．1C．2 D．3有意义的x的取值范围是4．（鄂州）使代数式4x-（）A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（怀化）2--=，则a－b－c＝a c2(4)0________.是同类二次根式的是（ ）AD【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A．=； B．不能化简；C.=；D==.故本题应选D.【变式题组】6．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A．和8．已知最简二次根式b和是同类二次根式，则a ＝_______，b ＝______.【例４】下列计算正确的是（ ） A-=4= C= D．(11+-=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b =≥≥；④0,0)b a =≥＞ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并.D.2(111+=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ） A ．= B =C3= D 3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a ） A ．a B ．－a C ．－1 D ．013．已知a ＞b ＞0，a ＋b ＝6，则的值为（ ）A ．2B ．2CD ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）AC ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0.故原式=选D.【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --+_______.15．观察下列分母有理化的计算：=，=，=，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006+++⋅=_________.16．已知，则0＜x ＜1，则=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a =b =⑵已知x =，y =，那么代数式值为________.【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++，当a =b =ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-.【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________. 【例７】已知实数x 、y满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0，且=，求的值.演练巩固·反馈提高 01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜5 02n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2,c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A．．09．（徐州）如果式子2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0 10．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a +--，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =,a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =-，a =，2a =-，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A3B ．3C 3D ．-08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>，则的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9-a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式. 经典·考题·赏板【例１】（河北竞赛）已知2=，那么__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形.解：两边平方得，124x x ++=，12x x += ，两边同乘以x得，212x x+= ，∵2315x x x++=，29111x x x++=，∴原式【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1=________2．=）A ．1a a-B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为0=，∴0=∵0>，∴0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0，且=，求的值.【例３】（四川）已知：1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=方，移项用含a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a=++，∴12x a a-=+，2221442x x a a -+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值. 5．（五羊杯竞赛）已知1m =，1n =，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ）A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C 都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则a ，CF，所以，点A 、C 的坐标为（a）、（2a ＋b,b ），所以2(2)a b =+=，a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，点D 的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一）36333232=⨯⨯=；（二）()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程） ②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程） （22n +++【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，有一个三角形的三边长分别为.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BFEF＝，BE =，从而知△BEF就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =，那么代数式__________02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ．24B ．25C ．10D ．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 满足1()2x y z =++，则2()x yz -=__________05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +-==__________06．（河南竞赛）若1x =，则32(2(15x x x -++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =，b =，c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =，化简 培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________047x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y xx y+=__________06．（武汉选拔赛）如果a b +=，a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001abc ++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（34947++（4）10．已知实数a 、b 满足条件1ba ba-=<，化简代数式11()(1)a b a b---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=> 12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 满足等式0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

1、关于x 的一元二次方程kx 2-(2k-1)x+k=0有两个不相等的实根，求k 的取值范围 。

2、关于x 的方程0122
=--x k x 有实根，求k 的取值范
围： 。

3、关于x 的方程kx 2-4x+3=0有实根，那么k 的非负整数值是 。

4、方程012
=--x x 的两根为 。

5、解方程
0322
2=-+a x a x
6、设a ，b ，c 是△AB
C 三边的长，且关于x 的方程)
0(02)()(22>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证△ABC 是直角三角形。

7、关于x 的方程〔m-2〕x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何非负整数时，
〔1〕方程只有一个实数根〔2〕方程有两个相等的实根〔3〕方程有两个不相等的实根
8、求证：k 为何实数，方程〔k 2+1〕x 2-2(k-1)x-1=0一定有两个不相等的实根。

9、m ，n 为整数，关于x 的三个方程：x 2-(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实根；x 2+(4+m)x+n+6=0
有两个相等的实根；x 2-(m-4)x+n+1=0没有实根；求m ，n 的值。

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）简二次根式是（）A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④【例２】(黔东南)方程x-=，当y＞4800时，m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y满足2y=，则xy的值是__________.(032=+，则x－y的值x y()为（）A．－ 1 B．1C．2 D．34．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范4x-围是（）A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（怀化）2a c--=，则a－b－c＝2(4)0________.是同类二次根【例３】下列二次根式中，与式的是（）AD=；B．不能化简；C.=；D．=，而=.故本题应选D.【变式题组】是同类二6．如果最简二次根式次根式，则a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）和B．和C．和A．8．已知最简二次根式b和是同类二次根式，则a＝_______，b＝______.【例４】下列计算正确的是（）A=．4=C= D．(11 +=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥；④0,0)b a=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D.2(111+=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（）A．= B=C3= D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________ 11．22-=_____________ 12．(济宁)已知a）A．a B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝6的值为（ ）A ．2 B ．2C D ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）AC ．D ． 【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D.【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.15．观察下列分母有理化的计算：=，=，=-，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006+++⋅=_________.16．已知，则0＜x ＜1，则=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a =b =⑵已知x =，y =，那么代数式值为________.【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值. 【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =，b =ab ＝1，a ＋b . ⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 原式＝10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =-2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________. 【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =， ∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y . ∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0，且=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2,c =, 11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A．．09．（徐州）如果式子2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-.那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a +--，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设12a =，则5432322a a a a a a a +---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =a 是x 的小数部分,b是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =，a =，2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A3B ．3C 3D 08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛）等于（ ）A ．5-．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>，则的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34 11．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏板 【例１】（河北竞赛）已知2=，那么的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式511- 【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1=________2．= ）A ．1a a -B ．1a a -C ．1a a+D ．不能确定 【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为0=，∴0= ∵0>，∴0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B .【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0，且=的值. 【例３】（四川）已知：1)a=<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷--. 【解法指导】视x －2，x 2-4x 为整体，把=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a -=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a ++-+-=++-- 【变式题组】4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5．（五羊杯竞赛）已知1m =，1n =-22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ）A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C都在函数0)y x x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则AE=a ，CFb ，所以，点A 、C 的坐标为（aa ）、（2a ＋b,b ），所以2(2)a b =+=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D 的坐标为（,0）【变式题组】 6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=；（二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四） （1）请你用不同的方法化简352+； ①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程） （2）化简：2n +++【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a＜b ，c ＜d ，bc ＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE =，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad ) 【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U 演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =，那么代数式值为__________02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ．24B ．25C ．10D ．12 03．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 满足1()2x y z =++，则2()x yz -=__________ 05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +-=，则=__________ 06．（河南竞赛）若1x =+，则32(2(15x x x -+++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =，b =，c =a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x = 培优升级·奥赛检测 01．（信利杯竞赛）已知1x =+，那么2111242x x x +-=+--__________ 02．已知5=，则=__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y +=，则2234x xy y --6658x y --+=__________047x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y x x y+=__________ 06．（武汉选拔赛）如果a b +=，a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当12x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=成立，则29991001abc ++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（34947++ （4）10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b ---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x aa +=> 12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 满足0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

九年级数学培优讲义第一讲几何动点问题与一元二次方程1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2（2）当t为何值时，PQ的长度等于8cm？（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？3．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．4．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（）A．线段BH B．线段DN C．线段CN D．线段NH5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C 点出发沿CD边向点D以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD 面积的？6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B 开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动．（1）是否存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．（2）几秒后，△PQD是以DP为斜边的直角三角形．7．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为ts．（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为7cm2？（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C 运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．9．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有DC2＝AE2+BC2．九年级数学培优讲义第一讲几何动点问题与一元二次方程（参考答案）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得：（6﹣x）•2x＝8，x＝2或x＝4，当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；（2）不存在．理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：（6﹣y）•2y＝××6×8y2﹣6y+12＝0．△＝36﹣4×12＜0．方程无解，所以不存在．2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？（2）当t为何值时，PQ的长度等于8cm？（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？【解答】解：根据题意知BP＝AB﹣AP＝12﹣t，BQ＝2t．（1）根据三角形的面积公式，得PB•BQ＝35，t（12﹣t）＝35，t2﹣12t+35＝0，解得t1＝5，t2＝7．故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．（2）设t秒后，PQ的长度等于8cm，根据勾股定理，得PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，5t2﹣24t+16＝0，解得t1＝，t2＝4．故当t为或4时，PQ的长度等于8cm．（3）当0＜t≤8时，PB•BQ＝32，即×2t×（12﹣t）＝32，则t2﹣12t+32＝0，解得t1＝4，t2＝8．则CQ＝2t﹣16，BQ＝BC﹣CQ＝16﹣（2t﹣16）＝32﹣2t，PB＝12﹣t，则△PBQ的面积＝PB•BQ＝×（12﹣t）×（32﹣2t）＝32，解得：t＝20或8（均舍去）；当12＜t≤16时，PB•BQ＝32，（16﹣t）（t﹣12）＝32，t2﹣28t+224＝0，△＝282﹣4×1×224＝﹣112＜0，故方程无实数根．综上所述，当t为4或8时，△PBQ的面积等于32cm2．3．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．4．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x ﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（）A．线段BH B．线段DNC．线段CN D．线段NH【解答】解：设DN＝m，则NC＝1﹣m．由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点，∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+S ANH，∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，∴m＝．∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝﹣±，∴取正值为x＝．∴这条线段是线段DN．故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C 点出发沿CD边向点D以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的？积的，【解答】解：设x秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面∵点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点B以1cm/s的速度移动，∴CP＝BC﹣BP＝（8﹣2x）cm，CQ＝xcm，∴S△CPQ＝CP•CQ＝（8﹣2x）•x，∴五边形ABPQD面积＝6×8﹣（8﹣2x）•x，由题意可得：6×8﹣（8﹣2x）•x＝（8﹣2x）•x×11，解得：x＝2，∴2秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B 开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动．（1）是否存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．（2）几秒后，△PQD是以DP为斜边的直角三角形．【解答】解：（1）不存在．设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm2．∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ＝S△DPQ，∴6×12﹣×12×x﹣×（6﹣x）•2x﹣（12﹣2x）×6＝8，∴x2﹣6x+28＝0，∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×28＝﹣76＜0，∴原方程无实数根，即不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2．（2）∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∵△PQD是以DP为斜边的直角三角形，∴PD2＝PQ2+QD2，即t2+122＝（6﹣t）2+（2t）2+（12﹣2t）2+62，整理得2t2﹣15t+18＝0，解之得t1＝6，t2＝，即当t为秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形．7．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C 运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．的．【解答】解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12．则有（t+6﹣2t）×2＝2×6×，解得t＝；（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为．①当0＜t≤3时，如图1，则有（6﹣2t﹣t）2+4＝5，解得t＝或；②当3＜t≤4时，如图2，则有（8﹣2t）2+t2＝5，得方程5t2﹣32t+59＝0，此时△＜0，此方程无解．综上所述，当t＝或时，点P与点Q之间的距离．8．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为ts．（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为7cm2？（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当P在BC上时如图：根据题意，得AB＝BC＝CD＝AD＝4AQ＝t，QB＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t，S△PQD＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S DPC＝7，16﹣＝7整理，得t2﹣2t+1＝0，解得t1＝t2＝1．当P在CD上时，此时2＜t≤4DP＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t∴S△PQD＝（8﹣2t）×4＝7 ∴t＝答：当t为1秒或秒时，△PQD的面积为7cm2．（2）①当PD＝DQ时，根据勾股定理，得16+（4﹣2t）2＝16+t2，解得t1＝，t2＝4（不符合题意，舍去）．②当PD＝PQ时，根据勾股定理，得16+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2+（2t）2，整理得：t2+8t﹣16＝0解得t1＝4﹣4，t2＝﹣4﹣4（不符合题意，舍去）．答：存在这样的t＝秒或（4﹣4）秒，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．9．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．【解答】解：如图，连接CD，设AE＝x米，∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，∴AC＝12米，∴EC＝（12﹣x）米，∵正方形DEFH的边长为2米，即DE＝2米，∴DC2＝DE2+EC2＝4+（12﹣x）2，AE2+BC2＝x2+36，∵DC2＝AE2+BC2，∴4+（12﹣x）2＝x2+36，解得：x＝米．故答案为：．。

九年级数学培优知识点总结在九年级数学学习过程中，我们接触到了许多重要的知识点，这些知识点对我们今后的学习和生活都有着重要的帮助。

下面，我将对九年级数学培优的知识点进行总结。

一、整式与分式整式是由常数项和各种代数项相加、相减而得到的代数和，如3x²+5xy-2y³。

分式是整式的比，由分子和分母组成，如（2x+3y）/（4x-5y）。

二、方程与不等式方程是用字母表示的等式，解方程就是求出使方程成立的未知数的值。

不等式是用不等号连接的式子，解不等式就是求出使不等式成立的未知数的值。

三、图形的表示与性质我们学习了各种图形的表示方法，如平面直角坐标系、数轴等。

并了解了平面图形的性质，如线段的长度、角的度量等。

四、函数与图像函数是一种特殊关系，它以一组确定的规则将自变量和因变量相对应。

我们学习了函数的表示方法、性质以及函数图像的绘制方法。

五、平面与立体几何我们学习了平面几何中的各种基本概念和性质，如相交线、平行线、三角形的分类等；同时也学习了立体几何中的一些基本概念和性质，如平行四边形、正方体等。

六、数据统计与概率我们学习了如何对一组数据进行整理、分析和呈现，如频数表、频率表、直方图等；同时也学习了概率的基本概念和计算方法。

七、三角函数与相似我们学习了三角函数的定义、性质及其应用，如正弦、余弦、正切函数等；同时也学习了相似的概念和判定方法。

八、平面向量与坐标变换我们学习了平面向量的定义、运算及其性质，如向量的加法、减法、数量积、向量积等；同时也学习了坐标变换的方法和应用。

九、数列与数列的应用我们学习了数列的概念和常见的数列类型，如等差数列、等比数列等；同时也学习了数列的求和公式和应用。

以上便是九年级数学培优的知识点总结。

通过对这些知识点的深入学习和理解，我们能够更好地应对数学学习中的各种问题和挑战。

希望大家能够将这些知识点牢固掌握，并能灵活运用到实际生活与学习中。

让我们一起努力，取得更好的数学成绩！。

第1讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。

经典·考题·赏析【例１】下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A .(m -2)x 2-2x -1=0B .k 2x +5k +3=0C 21203x --= D .22340x x+-= 【解法指导】A 、B 选项中的二次系数可以为0，不是；D 的分母中含字母，不符合.故选C .【变式题组】1．（威海）若关于x 的一元二次方程x 2+(k +3)x +k =0的一个根是-2，则另一个根是___________.【例2】如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足m 2-2m =1，n 2-2n =1，那么代数式2m 2+4n 2-4n +1998=___________. 【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.解：由题意，2m 2=4m +2，4n 2=8n +2，则原式=(4m +2)+(8n +2)-4n +1998=(4m +4n )+4+1998，又由根与系数关系得m +n =2，∴原式=2010.【变式题组】2．（南昌）若3a 2-a -2=0，则5+2a -6a 2=___________.3．（烟台）设a 、b 是方程x 2+x -2009=0的两个实数根，则a 2+2a +b 的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009【例3】关于x 的一元二次方程(m -3)x 2+4x +m 2-9=0有一个根为0，m 的值为___________. 【解法指导】方法1：将x =0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.解：依题意m 2-9=0，∴m =±3，根据方程是一元二次方程得m ≠3，综合知m =-3. 【变式题组】4．（庆阳）若关于x 的方程x 2+2x +k -1=0的一个根是0，则k =___________.5．（东营）若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x +m 2-3m +2=0的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【例4】（连云港）解方程：x 2+4x -1=0. 【解法指导】解：解法一：∵a =1，b =4,c =-1，∴x .即x =-2∴原方程的根为1222x x =-=-解法二：配方，得(x +2)2=5，直接开平方，得2x -=,∴原方程的根为1222x x =-=-【变式题组】6．（清远）方程x 2=16的解是（ ）A ．x =±4B ．x =4C ．x =-4D ．x =16 7.（南充）方程(x -3)(x +1)=x -3的解是（ ）A .x =0B .x =3C .x =3或x =-1D .x =3或x =0 8.（咸宁）方程3x (x +1)=3x +3的解为（ ）A ．x =1B ．x =-1C ．x 1=0，x 2=-1D ．x 1=1，x 2=-19.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程. ①x 2-3x +1=0；②(x -1)2=3；③x 2-3x =0；④x 2-2x =4.【例5】（山西）解方程：6x 2-x -12=0 【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x 2-16x =2，配方得x 2-16x +(-112)2=2+(-112)2,(x -112)2=289144=(1712)2，即x -112=±1712，∴x 1=32,x 2=43-. 【变式题组】10．（仙桃）解方程：x 2+4x +2=0.11．（武汉）解方程：x 2-3x -1=0.12．（山西）解方程：x 2-2x -3=0.演练巩固·反馈提高01．（宁德）方程x 2-4x =0的解是___________. 02．（十堰）方程(x +2)(x -1)=0的解为___________. 03．（大兴安岭）方程(x -5)(x -6)=x -5的解是（ ）A ．x =5B ．x =或x =6C ．x =7D ．x =5或x =704．（太原）用配方法解方程x 2-2x -5=0时，原方程应变形为（ ）A ．(x +1)2=6B ．(x -1)2=6C ．(x +2)2=9D ．(x -2)2=905．（云南）一元二次方程5x 2-2x =0的解是（ ）A ．1220,5x x ==B ．1250,2x x ==- C ．1250,2x x == D ．1220,5x x ==-06．（黄石）已知a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2+nx -1=0的两实数根，则式子b aa b+的值是（ ）A ．n 2+2B ．-n 2+2C ．n 2-2D ．-n 2-2 07．（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人08．（台州）用配方法解一元二次方程x 2-4x =5的过程中，配方正确的是（ ）A ．(x +2)2=1B ．(x -2)2=1C ．(x +2)2=9D ．(x -2)2=909．（义乌）解方程x 2-2x -2=0.10．（兰州）用配方法解一元二次方程：2x 2+1=3x .11．（新疆）解方程：(x -3)2+4x (x -3)=0.12．（梧州）解方程：(x -3)2+2x (x -3)=0.13．（长春）解方程：x 2-6x +9=(5-2x )2.14．（上海）解方程：21220y x x xy -=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②培优升级·奥赛检测01．（鄂州）已知α、β为方程x 2+4x +2=0的两个实根，则α3+14β+50=___________. 02．已知x 是一元二次方程x 2+3x -1=0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为___________.03．（苏州）若x 2-x -2=0）.ABCD04．（全国联赛）已知三个关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0，恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．3 05．（全国联赛）已知实数x 、y 满足：42423x x-=，y 4+y 2=3，则444y x +的值为（ ）.A ．7BCD ．506．（全国联赛）已知m ，n ，且(7m 2-14m +a )(3n 2-6n -7)=8，则a 的值等于（ ）.A ．-5B ．5C ．-9D ．907．（毕节）三角形的每条边的长都是方程x 2-6x +8=0的根，则三角形的周长是___________. 08．（滨州）观察下列方程及其解的特征：⑴12x x +=的解为x 1=x 2=1；⑵152x x +=的解为x 1=2，x 2=12；⑶1103x x +=的解为x 1=3，x 2=13；…… 解答下列问题： ⑴请猜想：方程1265x x +=的解为________；⑵请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为x 1=a ，x 2=1a （a ≠0）；⑶下面以解方程1265x x +=为例，验证⑴中猜想结论的正确性.解：原方程可化为5x 2-26x =-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）09．（泸州）如图，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数4y x=（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…△P n A n -1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3、…A n -1A n 都在x 轴上.⑴求P 1的坐标；⑵求y 1+y 2+y 3+…+y 10的值.第2讲根的判别式及根与系数的关系考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.经典·考题·赏板【例１】（成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-1 B. C.k<1 D.【解法指导】由题意得【变式题组】1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A． B. C. D.2．(潍坊)关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（）A．6 B.7 C.8 D.9【例２】（荆州）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2【解法指导】本题考查方程的有关知识，关于x的方程只有一解，有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时a=0；②该方程是一元二次方程，方程有两个相等的实数根，,解得a=2.故选D.【变式题组】3．(成都)设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________.4．(南通)设是一元二次方程的两个实数根，则,则a=______【例３】（包头）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,则的值是（）A．1 B.12 C.13 D.25【解法指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足.由题意知：又∵,而当m=5时，原方程的判别式,此时方程无解，不合题意舍去.,故选C.【变式题组】5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是,则k的值是（）A．8 B.-7 C.6 D.56．（鄂州）设是关于x的一元二次方程的两实根，当a为何值时，有最小值？最小值是多少？【例４】（兰州）已知关于x的一元二次方程.(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(2)如果此方程的两个实数根为,且满足,求a的值.【解法指导】 解：（1）.∵方程有两个不相等的实数根，.(2)由题意得：【变式题组】7．(绵阳)已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【例５】 （中山）已知关于x 的方程.（1）求证:方程有两个不相等的实数根.（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把化为完全平方加正常数的形式.（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m 所以无论m 取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x【变式题组】8．(中山)已知一元二次方程.(1)若方程有两个实数根，求m 的值；（2）若方程的两个实数根为，且+,求m 的值.【例６】 设实数s ,t 分别满足,并且st ≠1，求的值.【解法指导】 本题要观察s,t 的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值. 解：∵s ≠0，∴第一个等式可以变形为：,又∵st ≠1，∴t 是一元二次方程x 2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有,即st + 1 =－99s ，t = 19s ．∴演练巩固·反馈提高01．(东营)若n （n ≠0）是关于x 的方程的根，则m+n 的值为A.1B.2C.-1D.-202．(株洲)定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==03．（崇左）一元二次方程的一个根为-1，则另一个根为 ．04．(贺州)已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．05．（上海）如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．1、 06．（泰安）关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 .07．（淄博）已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x ． （1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；（3）若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy =的图象上，求满足条件的m 的最小值．08．已知关于x 的一元二次方程(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （2）若方程的两个实数根之积等于,求的值.02=--m x x09．（孝感）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．10．（鄂州）关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 11．（北京）已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．12．（淄博）已知12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=- (1)求12,x x 及a 的值； (2)求32111232x x x x -++的值．培优升级·奥赛检测01．（全国联赛）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ）A 5. B7. C 9. D.11.02．（延边预赛）已知m 是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）A ．2016 B.2017 C.2018 D.201903．如果a 、b 都是质数，且,那么的值为（ ）A ． B. C. D 或204．（全国竞赛）已知实数，且满足的值为（ ）A ．23 B.-23 C.-2 D.-1305.(全国竞赛)设是关于x 的方程的两个实数根，则的最大值为___________06．已知是方程的两个实数根，则07．（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程的两个根记作,则__08．已知关于x的方程：.(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为，满足,求m的值及相应的.09．（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)若,求m的值；（2）求的最大值.第3讲 一元二次方程的应用考点方法破译1．能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程； 2．会建立一元二次方程模型解实际应用题． 经典考题赏析【例l 】 (南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人【解法指导】 构建一元二次方程模型求解．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为x ，患流感人数为x+l ；第二轮被传染人数为x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9．应选B ． 【变式题组】 1．(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x ，则关于x 的方程为 ．2．(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m 2。

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）简二次根式是（）A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④【例２】(黔东南)方程x-=，当y480＞0时，m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y满足2y=，则xy的值是__________.(03．（荆门）若2()=+，则x－y的x y值为（）A．－ 1 B．1C．2 D．34．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（怀化）2--=，则a－b－c＝a c2(4)0________.是同类二次【例３】下列二次根式中，与根式的是（）A【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A=；B．C.=；D．=，而=.故本题应选D.【变式题组】与是同类二6．如果最简二次根式次根式，则a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）和B．和C．和A．8．已知最简二次根式b次根式，则a ＝_______，b ＝______.【例４】下列计算正确的是（ ）A-=4= C= D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b =≥≥；④0,0)b a =≥＞ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并.D.2(111-=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ）A．= B=C3= D．3=- 10．计算：200720074)(4⋅-=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A ．aB ．－aC ．－1D ．013．已知a ＞b ＞0，a ＋b ＝6的值为（ ）A ．2 B ．2C D ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）AC ．D ． 【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D.【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --+_______.15．观察下列分母有理化的计算：=，=，=，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006++⋅=_________.16．已知，则0＜x ＜1，则=_________. 【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中12a =，12b =.⑵已知x =，y =，那么代数式值为________.【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值. 【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =，b =时，ab ＝1，a ＋b ＝,原式＝⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 原式＝10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =-2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________. 【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =， ∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y . ∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0，且=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2,c =, 11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A．c＜a＜d＜b B．b＜d＜a＜c C．a＜c＜d＜b D．b＜c＜a＜d07．（十堰）下列运算正确的是（）A==C．2=-D．531)31=-08．如果把式子(1a-根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）．．Ax-化简的结果2为2x－3，则x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x＞0 10．（怀化）函数y=中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算a※b＝=.那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a +--，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设12a =，则5432322a a a a a a a +---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =,a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =，a =，2a =-，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A3B ．3C 3D ．-08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛）等于（ ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>，则的值为（ ） A ．13B ．12C ．23 D ．34 11．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏板 【例１】（河北竞赛）已知2=，那么的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x +表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x += ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式-【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1=________2．= ）A ．1a a -B ．1a a -C ．1a a+D ．不能确定 【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为0=， ∴0= ∵0>，∴0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B .【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0，且=的值. 【例３】（四川）已知：1)a=<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x 为整体，把=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a -=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++-- 【变式题组】4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值. 5．（五羊杯竞赛）已知1m =+1n =22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ）A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C 都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则AE=a ，CF=b ，所以，点A 、C 的坐标为（a）、（2a ＋b,b ），所以2(2)a b =+=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=；（二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()131********313131322-=+-+=+-=+-=+； （四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程） （2）化简：2n +++【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，有一个三角形的三边长分，求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE =，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad ) 【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =，那么代数式__________02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ．24B ．25C ．10D ．12 03．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 满足1()2x y z =++，则2()x yz -=__________ 05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +-=，则=__________ 06．（河南竞赛）若1x =+，则32(2(15x x x -++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =，b =，c =a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b 09．已知1x =，化简培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+，那么2111242x x x +-=+--__________ 02．已知5=，则=__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．（全国联赛）7x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y x x y+=__________ 06．（武汉选拔赛）如果a b +=，a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当12x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001abc ++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（3）4947+++ （4）10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a-=<，化简代数式11()(1)a b a b ---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x aa +=> 12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 满0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

第一章：有理数的运算本章主要介绍有理数的概念和运算。

包括正数、负数、零、绝对值等基本概念的引入，有理数加减乘除的四则运算规则等内容。

通过本章学习，学生能够掌握有理数的基本性质和运算规则，为后续章节的学习打下坚实的基础。

第二章：代数式及其运算本章主要介绍代数式及其运算。

包括代数式的定义，同类项的合并与分解，多项式的加减乘除等内容。

通过本章学习，学生能够掌握代数式的基本概念和运算规则，能够进行代数式的加减乘除运算，并能够应用代数式解决实际问题。

第三章：方程与不等式本章主要介绍方程与不等式。

包括一元一次方程与一元一次不等式的解法，二元一次方程组的解法，二次方程与一元二次不等式的解法等内容。

通过本章学习，学生能够掌握解一元一次方程、不等式和二元一次方程组的方法，能够应用这些知识解决实际问题。

第四章：函数本章主要介绍函数的概念与性质。

包括函数的定义，函数的图像与性质，函数的表示和函数的运算等内容。

通过本章学习，学生能够掌握函数的基本概念和性质，能够进行函数的图像描绘和函数的运算，能够应用函数解决实际问题。

第五章：图形的初步认识本章主要介绍平面图形的初步认识。

包括点、线、面的性质和分类，三角形、四边形、多边形等常见图形的性质和分类等内容。

通过本章学习，学生能够掌握平面图形的基本概念和性质，能够进行平面图形的分类和判断，能够应用图形的知识解决实际问题。

第六章：相似与全等本章主要介绍相似与全等的概念与性质。

包括相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等内容。

通过本章学习，学生能够掌握相似和全等的基本概念和性质，能够应用这些知识解决实际问题。

第七章：三角形的性质本章主要介绍三角形的性质与判定。

包括三角形内角和的性质，三角形外角和的性质，三角形边长关系等内容。

通过本章学习，学生能够掌握三角形的基本性质和判定方法，能够应用这些知识解决实际问题。

第八章：数列本章主要介绍数列的概念和性质。

包括等差数列和等比数列的定义与性质，数列的通项公式和部分和的计算等内容。

第1讲 二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）A.【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.A ．①,②B ．③,④C ．①,③D ．①,④【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜1B ．m ≥2C ．m ＜2D ．m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x 、y 2(0y =，则xy 的值是__________.3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－ 1B ．1C ．2D ．34．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠45.（怀化）22(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.【例３是同类二次根式的是（ ）A BCD 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A = B 不能化简；=D ==.故本题应选D.【变式题组】6a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）ABCD8．已知最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】下列计算正确的是（）A=B4=C=D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥；0,0)b a=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. 2(111+-=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（）A．=B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A．a B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝的值为（）A．2B．2 CD．12【例５】已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（）ABC．D．【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0知x＜0.故原式=.选D.【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.15===中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006++⋅=_________.16．已知，则0＜x ＜1=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a =b =⑵已知x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A.04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A.05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A =B =C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A ．B C ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a-+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a -+--，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3D08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏板【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1）=________2=- ） A ．1a a -B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=的值.【例３】1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a aa a++-+-=++--【变式题组】 4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x xx -÷----的值.5．（五羊杯竞赛）已知1m =+1n =-且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ） A．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C 都在函数(0)y x x=>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a，BF=b ，则a ，CF，所以，点A 、C的坐标为（a）、（2a＋b ），所以2(2)a b =+=a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩因此，点D 的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（22n ++++【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE ，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =值为__________ 02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ． 24B ．25C ．10D ．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 1()2x y z =++，则2()x yz -=__________05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +--==__________06．（河南竞赛）若1x =，则32(2(15x x x -+++-的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ） A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =c =a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉选拔赛）如果a b +=a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．B ．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当12x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=成立，则29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（34947+++（410．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=>12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x、y、z0=，求x＋y＋z的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

九年级数学 大培优知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y =a 或x =a ;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ 反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y =k x(k 为常数,k ʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式:y =k x(k ʂ0)或x y =k (k ʂ0)或y =k x -1(k ʂ0).▶题型一 根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ 下列函数:①y =x 2;②y =2x ;③y =-2x ;④y =12x ;⑤y =1x +2;⑥y =1x-2;⑦x y =2;⑧y =2x -1,⑨y =2x2.其中y 是x的反比例函数的有 (填序号).ʌ解析ɔ ②③④⑦⑧.▶题型二 根据定义确定k 值或解析式ʌ例2ɔ (1)反比例函数y =-32x ,化为y =k x的形式,相应的k =;(2)函数y =k x中,当x =2时,y =3,则函数的解析式为 .ʌ解析ɔ (1)-32;(2)y =6x.▶题型三 根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ (1)如果函数y =x 2m +1是关于x 的反比例函数,则m 的值为;(2)若函数y =(m +2)x m2-5(m 为常数)是关于x 的反比例函数,求m 的值及函数的解析式.ʌ解析ɔ (1)-1;(2)m =2,y =4x -1.第19讲反比例函数第二十六章反比例函数(官方版教学资料精品）针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是(B)A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= -32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.解:3.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y同号(同号或异号),函数图象为第一㊁三象限的两支曲线;当k<0时,x,y异号(同号或异号),函数图象为第二㊁四象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点(b,a),(-b,-a),(-a,-b)也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线y=x,y=-x对称,关于点(0,0)成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ18ʌ解析ɔA.根据条件x1<0<x2,y1<y2,可判断其图象位于二㊁四象限,ʑ1-8m<0,ʑm>18.ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.ʌ解析ɔ(1)图略;(2)1ɤy<3;(3)-2ɤx<0或0<xɤ2.九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.ʌ解析ɔ 联立y =a x ,y =k x{,得a x 2-k =0,ʑx A +x B =0,过A ,B 两点分别作x 轴的垂线,由全等即可得O A =O B ,ʑA ,B 两点关于原点对称.▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.ʌ解析ɔ k 3<k 4<k 1<k 2.|k |越大,其图象离坐标原点越远.▶题型四 反比例函数中k的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.ʌ解析ɔ 延长A B 交y 轴于点C ,则S әO A B =S әO A C -S әO B C =12k 1-12k 2=2,ʑk 1-k 2=4.ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.ʌ解析ɔ (1)A (-4,2),k =-8;(2)易知四边形A P B Q 是平行四边形,ʑS әA P O =14S 四边形A P B Q =6,过点A 作A D ʅx 轴于点D ,过点P 作P E ʅx 轴于点E ,S 四边形A D O P =S әA D O +S әA P O =S 四边形A D E P +S әP E O ,ȵS әA D O =S әP E O ,ʑS әA P O =S 四边形A D E P ,设P (a ,-8a ),则12㊃(2-8a)㊃(a +4)=6,ʑa 1=8,a 2=-2,ȵ点P 在第二象限,ʑa <0,ʑa =-2,ʑP (-2,4).针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( D )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( B )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.解:连接A O ,ȵA B ʊy 轴,ʑS әA B P =S әA B O =1,ʑ12|k |=1,ʑk =-2.5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.解:(1)ȵA ,B 是反比例函数y =k x(k >0)图象上的两点,ʑa ʂ0,当a >0时,点A ,B 在第一象限,由a <2a 可知,y 1>y 2,同理,a <0时,y 1<y2;(2)ȵA (a ,y 1),B (2a ,y2)在反比例函数y =k x (k >0)的图象上,ʑA C =y 1=k a ,B D =y 2=k 2a,ʑy 1=2y 2.又ȵ点A (a ,y 1),B (2a ,y 2)在一次函数y =-43x +b 的图象上,ʑy 1=-43a +b ,y2=-83a +b ,ʑ-43a +b =2(-83a +b ),ʑb =4a ,ȵS әA O C +S 梯形A C D B =S әA O B +S әB O D ,又ȵS әA O C =S әB O D ,ʑS 梯形A C D B =S әA O B ,ʑ12[(-43a +b )+(-83a +b )]×a =8,ʑa 2=4,ȵa >0,ʑa =2;(3)由(2)得,一次函数的解析式为y =-43x +8,反比例函数的解析式为y =323x,A ,B 两点的横坐标分别为2,4,且m =-43x +8,n =323x,因此使得m >n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围,从图象可以看出或x <0.九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一 反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.ʌ解析ɔ (1)A (1,4),B (4,1);(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度后其解析式为y =-(x +n )+5,联立y =4x,y =-(x +n )+5{,得x 2+(n -5)x +4=0,依题意,Δ=(n -5)2-4ˑ1ˑ4=0,解得n =1或9.ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.ʌ解析ɔ ȵ点M 在直线A B 上,ʑM (m -42,m ),ȵ点N 在反比例函数y =6x的图象上,所以N (6m ,m ),MN =x N -x M =6m -m -42=4或MN =x M -x N =m -42-6m =4,ȵm>0,ʑm =2或m =6+43.▶题型二 反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.ʌ解析ɔ 当x =1时,y =3,ʑA (1,3)代入y =m x ,得m =3,y =3x,联立y =4-xy =3{x,得B (3,1),ʑ原不等式的解集为0<x <1或x >3.▶题型三 反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ解析ɔ (1)A (-3,-2),B (1,6);(2)-3ɤx <0或x ȡ1.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图ʌ解析ɔ (1)A (2,3),B (6,1);(2)当x 1>0时,y0<y 1+y 22;当x 1<0时,y0>y 1+y 22.(3)设线段MN 的中点为Q ,则点Q 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22),过点Q 作Q R ʊy 轴交双曲线于点R ,则点R 的坐标为(x 1+x 22,12x 1+x 2),观察图象可知y 1+y 22>12x 1+x 2,ʑs >t .ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 b =42或6<b ɤ9 .ʌ解析ɔ ①当直线y =-2x +b 过点(1,4)时,-2+b =4,b =6;②当直线y =-2x +b 过点(4,1)时,-8+b =1,b =9;③当直线y =-2x +b 与y =4x 相切时,联立4x =-2x +b ,得2x 2-b x +4=0,Δ=b 2-4ˑ2ˑ4=0,ʑb 1=42,b 2=-42(舍),由图象可知,b =42或6<b ɤ9.九年级数学 大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.解:(1)B (-5,-2);(2)x >2或-5<x <0;(3)y2<0或y 2>5.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.解:(1)将A (m ,2)代入y 1=x +1得m =1,ʑA (1,2),将A (1,2)代入y 2=k x ,得k =2,ʑy 2=2x ;(2)当0<x <1时,y 1<y2;当x =1时,y 1=y 2;当x >1,y 1>y 2;(3)-2ɤx <2或x ȡ3.3.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;解:ȵ当x >1时,y 1>y 2;当0<x <1时,y 1<y2,ʑA 点的横坐标是1,纵坐标为y =1+5=6,ʑA (1,6),代入y 2=k x ,可得k =x y =6,ʑy 2=6x;(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.解:当P Q =3P D 时,直线P Q 在点A 的右侧,ȵ直线P Q 分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点,ʑP (t ,6t ),Q (t ,t +5),ȵP Q =3P D ,ʑt +5-6t =3ˑ6t ,解得t 1=3,t 2=-8(舍去),ʑt 的值为3.ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一 如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2证明:证法一:(利用根系关系得全等)过点C 作C E ʅx 轴于点E ,过点D 作D F ʅy 于点F ,联立y =m x +n ,y =k x{,得m x 2+n x -k =0,则有x C +x D =-n m .易知A (-n m,0),ʑx C +x D =O A ,可得D F =A E ,ʑәA C E ɸәD B F ,ʑA C =B D .证法二:(利用k 的意义得相似)过点C 作C E ʅx 轴于点E ,C M ʅy 轴于点M ,过点D 作D F ʅy 轴于点F ,D N ʅx 轴于点N ,ȵx D ㊃y D =x C ㊃yC =k ,ʑD F ㊃D N =C M ㊃CE ,ʑC M DF =D N C E ,ʑB C B D =A D A C ,等式两边同时减1,得C D B D =C D A C,ʑA C =B D .性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.ʌ解析ɔ -5.过点C 作C E ʅx 轴于点E ,由性质可得A C =B D ,ȵC D =2(A C +B D ),ʑC D =4A C ,ʑA B =6A C ,ʑC E =16O B =16ˑ6=1,同理A E =1,ʑO E =5,ʑC (-5,1),ʑk =-5ˑ1=-5.性质二 如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图1证明:证法一:(面积法)连接A D ,B C ,则S әA C D =S әB C D =12|k |,ʑ①A B ʊC D ;②A C A E =B DB E.证法二:(相似法)利用x A y A =x B y B =k ,可得A C ㊃D E =B D ㊃C E ,进而得A E C E =B E D E ,ʑәA B E ~әC D E ,ʑ①A B ʊC D ;②A C A E =B DB E.九年级数学 大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2证明:证法同上.变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.证明:证法同上.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.ʌ解析ɔ 过点E 作E H ʅx 轴于点H ,ȵ点F 为A B 中点,则点E 为B C 边的中点,可得S 四边形O E B F =12S 矩形O A B C =S 矩形O C E H =k ,ʑk =2.ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.ʌ解析ɔ 设点P (a ,8a ),则点C (a ,k a ),D (a k 8,8a ),ʑS әP C D =12ˑ8-k a ˑ(a -a k 8)=(8-k )216=1,ʑk 1=4,k 2=12(舍),ʑk =4.性质三 如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.证明:(解析法)过点A 作AH ʅx 轴于点H ,设点A a ,k ()a ,L A B :y =m (x -a )+k a.联立y =k x y =m (x -a )+k ìîíïïïïa得m x 2+k a -()a m x -k =0,依题意Δ=k a -()a m2+4m k=ka+()a m2=0,ʑm =-k a 2,ʑy =-k a2x +2k a ,ʑB (2a ,0),ʑO H =B H =a ,ʑO A =A B .性质四 如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .证明:(解析法)设点A a ,k ()a ,B -a ,-k ()a ,P b ,k ()b,由待定系数法可得l P A :y =-k a b x +(a +b )k a b ,l P B :y =k a b x +(a -b )k a b ,ʑx M =b +a ,x N =b -a ,ʑx M +x N =2x P ,可得P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.ʌ解析ɔ (解析法)过点A ,C分别作y 轴的垂线,垂足分别为点E ,F ,设点A (a ,-a ),则B (-a ,a ),D (0,a ),由待定系数法得l D A :y =-2x +a ,联立y =-2x +a y =k{x得2x 2-a x +k =0,ʑx A +x C =a 2,ȵx A =a ,ʑx C =-12a =x B +x D2,ʑ点C 在B D 的垂直平分线上,ʑC B =C D ,由面积法可得C D A D =C F A E =12aa =12,ʑC B =C D =13C A ,ʑC B C A =C D C A =13.针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .解:方法一:利用k的几何意义 面积法求.延长A B 交x 轴于点E ,过点A 作y 轴的垂线,垂足为F .A B ㊃B C =S 矩形A B C F =S 矩形A E O F -S 矩形B E O C =4-2=2.方法二:设点A 坐标,分别表示出点B ,C 坐标,运用参数进行计算.2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .解:方法提示:斜化直,线段转坐标.设直线A B 交x 轴于点D ,则由性质可得A B =C D ,ʑA C =B D ,由条件知øO A D =30ʎ,ʑA B =2x B ,A C =B D =233y B ,ʑA B ㊃A C =2x B ㊃233y B =433x B ㊃y B =4,ʑk =x B ㊃y B =3.九年级数学 大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.解:设A (a ,9a ),O A 解析式为y =9a 2x ,可得B (a 3,3a ).易得直线A C 解析式为y =-9a2x +18a .可得A O =A C ,ȵS әO B CS әO A C =12O C ㊃y A12O C ㊃y B =3a 9a=13,ʑS әA B C =23S әA O C =23ˑ9=6.4.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2解:(1)ʑC (-1,8),D (4,-2),C D =55;(2)联立y =-2x +6y =k{x得2x 2-6x +k =0,x C +x D =3,ʑy C +y D =-2x C +6-2x D +6=-2ˑ3+12=6,C E =y C ,D F =-y D ,ʑC E -D F =y C +yD =6;(3)-2k 2.(提示:MN =12G H ).ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.ʌ解析ɔ (1)m =4,n =2;(2)在y =2x +2中,令y =0,则x =-1,ʑA (-1,0),ȵD (a ,0),l ʊy 轴,ʑP (a ,2a +2),Q a ,4()a .ȵP Q =2Q D ,ʑ2a +2-4a =2ˑ4a,解得:a =2,a =-3.ȵP ,Q 在第一象限,ʑa =2,ʑP Q =4,又ȵA D =3,ʑS әA P Q =12ˑ4ˑ3=6;(3)过点C 作C M ʅP Q 于点M ,ȵC P =C Q ,ʑP M =M Q ,设P (a ,2a +2),Q a ,4()a ,M (a ,4).则2a +2+4a=8解得a =2或a =1(舍),针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.解:(1)ȵ点A (a ,6)在直线y =32x +3上,ʑ32a +3=6,ʑa =2,ʑA (2,6),又A 在双曲线y =k x 上,ʑk 2=6,ʑk =12,即双曲线的解析式为y =12x.(2)t =4.理由如下:设C t ,32t ()+3,D t ,12()t ,则A C 2=(t -2)2+32t ()+3-62=134(t -2)2,A D 2=(t -2)2+12t ()-62=1+36t()2(t -2)2,由A C =A D ,有A C 2=A D 2,ʑ134(t -2)2=1+36t ()2(t -2)2,ȵt ʂ2,ʑ134=1+36t2,ʑt =4或t =-4(舍),ʑt =4.ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现 几何问题坐标化 .▶题型一 反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 y =-8x(x <0).ʌ解析ɔ 连接O C ,过点A ,C 分别作x 轴的垂线构造三垂直全等.ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.ʌ解析ɔ 过点A 作A D ʅO A 交O B 延长线于点D ,作A E ʅy 轴于点E ,D F ʅA E 于点F ,则әA D F ɸәO A E ,ʑA F =O E =4,D F =A E =2,ʑD (6,2),ʑl O D ʒy =13x ,ȵA (2,4),ʑy =8x,联立y =8x ,y =13x ìîíïïïï,得B (26,263).九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E 折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x (k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F 的坐标.ʌ解析ɔ 由题意知,A D =A B =10,A O =8,由勾股定理可求O D =6,则C D =4,设C E =x ,则D E =B E =8-x ,在R t әD C E 中,C D 2+C E 2=D E 2,即x 2+42=(8-x )2,解得x =3,ʑE (10,3),设F (a ,8),则10ˑ3=8a ,ʑa =154,ʑF (154,8).针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.解:设P (t ,0),过点A 作AM ʅx 轴于点M ,过B 作B N ʅx 轴于点N ,则әA P M ɸәP B N ,ʑP N =AM =3,B N =P M =t -2,ʑB (t +3,t -2),又ȵ点A ,B 在y =k x上,ʑ(t +3)(t -2)=6,ʑt 1=-4,t 2=3,ȵt >0,ʑt =3,ʑP (3,0).2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.解:当点A ᶄ恰好落在反比例函数y =-3x (x <0)的图象上时,过点A ᶄ作A ᶄD ʅy 轴于点D ,过点A 作A B ʅy 轴于点B ,则әA ᶄP D ɸәP A B ,ʑA ᶄD =P B =2-a ,P D =A B =2,O D =2+a ,ʑA ᶄ(a -2,a +2),ʑ(a -2)(a +2)=-3,ʑa =ʃ1,ʑ点A ᶄ的横坐标为-1或-3,均符合题意,ȵ线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x (x <0)的图象有公共点,ʑ-1ɤa ɤ1.3.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.解:过点B 作B E ʊA C ,交x 轴于点E ,则øE B A =øB A C =øE A B ,ʑE A =E B ,易求O A =1,O B =3,设E A =E B =x ,则x 2=(x -1)2+32,解得x =5,由题意,A C =A O =1,ȵC D =4A C ,ʑA D =5A C =5,ʑA D =E B ,ʑ将线段E B 向右平移5个单位得线段A D ,ʑD (5,-3),ʑk =5ˑ(-3)=-15.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图ʌ解析ɔ (1)略;(2)设P (m ,n ),则C (2+2m ,2n ),D (2m ,2n -3).ȵ点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x 的图象上,ʑ2n (2+2m )=2m (2n -3),得2n =-3m ,设直线B C 的解析式为y =t x +3,将C (2+2m ,-3m )代入y =t x +3中,得(2+2m )t +3=-3m ,解得t =-32,ʑy =-32x +3;(3)由三垂直得,E (m -n ,m +n +2),F (m +3-n ,n +m ),ʑ(m -n )(m +n +2)=(m +3-n )(n +m ),整理得m =-5n .九年级数学 大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.ʌ解析ɔ (1)将x A =-2代入y =8x 中得:y A =8-2=-4,ʑA (-2,-4),B (-2,0),①ȵt =1,ʑP (1,0),B P =1-(-2)=3,ȵ将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C ,ʑx C =x P =1,P C =B P =3,ʑC (1,3);②ȵB (-2,0),P (t ,0),当t >-2时,由题意知C 的坐标为(t ,t +2),ȵC 在y =8x 上,ʑt (t +2)=8,解得t =2或-4.ȵt>-2,ʑt =2;当t <-2时,c (t ,t +2),t (t +2)=8,t =-4或t =2(舍),ʑt =2或-4;(2)过点D 作DH ʅy 轴于点H ,ʑO A =O D ,a 2+m 2=d 2+n 2,a m =8,d n =-8,(a +m )2=(d -n )2,(a -m )2=(d +n )2,又a <0,m <0,d <0,n >0,ʑa +m =d -n ,a -m =d +n 或a -m =-d -n ,a -d =-m -n a -d =m +{n 或a -d =-n -m a +d =m -{nʑm +n =0,或a =-nd ={m又a m =8,ʑ-m n =8,m n =-8,故m +n =0或m n =-8.针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 (-2,1) ;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 -4或65.解:(1)N ᶄ(-2,1).提示:取点B (3,1),则B N ʅx 轴,M ㊁A ,B 三点在同一条直线上;(2)由A N ,A N ᶄ垂直且相等,可构建三垂直全等得N ᶄ(a -4,a -3),ʑk =(a -4)(a -3)=a 2-7a +12.ȵMN =MN ᶄ,由勾股定理得(a -5)2+(a -2)2=13,ʑa 2-7a +8=0,ʑ12-k =8,ʑk =4;(3)-4或65.由øN ᶄMN =90ʎ,构建三垂直全等得N ᶄ(4,1)或N ᶄ(-2,-3),ȵ直线A M 过N N ᶄ的中点C ,且点C 的坐标为(7,-3)或(1,-7),ʑ直线A M 的解析式为y =-1x -4或y =5x -6,令y =0,分别求得A (-4,0)或A (6,0).ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一 反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .ʌ解析ɔ O F -O E =5.理由如下:设点T m ,6()m,由D (1,6)得直线T D 的解析式:y =-6m x +6m +6,ʑO F =6m +6.由C (6,1)得直线T C 的解析式:y =-1m x +6m +1.ʑO E =6m+1,ʑO F -O E =5.▶题型二 反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .ʌ解析ɔ 方法1:设点P m ,2()m,则P A =(m +2)2+2m()+22=m +2m+2,同理P B =m +2m-2,ʑP A -P B =4.方法2:特殊位置法.ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.ʌ解析ɔ (1)y 1=x +3,y2=10x;(2)y2<0或y 2>5;(3)作E I ʅy 轴于点I ,F J ʅy 轴于点J ,F H ʅE I 于点H ,设E (t ,t +3),易得B (-5,-2),由t <-5,F (m ,10m ),E H =H F ,则t +3-10m =m -t ,得t =5m +m 2-32,E 5m +m 2-32,m 2+5m +3()2,E F ㊃F G =2H E ㊃2H I =2(x F-x E)(-x F)=2(-x 2F+x E ㊃x F)=-2m 2+2m m 2+5m -3()2=-m 2-3m +10=-m +3()22+494,当m =-32时,E F ㊃F G 最大=494,此时t =-6712<-5,(E F ㊃F G )最大=494.九年级数学 大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M.(1)m 的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.解:(1)设y =-x +m 代入y =4x 中,-x +m =4x ,整理得x 2-m x +4=0,ʑm >0Δ=m 2-16>{,解得m >4;(2)过点E ,F 分别作y 轴的垂线,垂足分别为G ,H .由y =-x +m 可知øM E G =øM F H =45ʎ,ʑM E =2G E ,M F =2H F .由y =-x +m =4x,得x 2-m x +4=0,ʑx E ㊃x F =4,ʑM E ㊃M F =2x E ㊃2x F =2x E ㊃x F =8.2.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.解:(1)将P (-2,m )代入y =32x +6得m =3,ʑP (-2,3),代入y =k x 得k =-2ˑ3=-6.ʑy =-6x.(2)①当l ʊx 轴时,直线l 为y =3;②当l ʊy 轴时,直线l 为x =-2;③当直线l 与坐标轴不平行时,ȵ过P (-2,3),ʑ可设解析式为y =a x +2a +3,由y =a x +2a +3y =-6{x得a x 2+(2a +3)x +6=0,依题意Δ=(2a +3)2-24a =(2a -3)2=0,ʑa =32,ʑy =32x +6.综上,直线l 为的解析式为y =3或x =-2或y =32x +6.(3)设Q t ,-6()t ,l C D :y =p x -t p -6t .由y =p x -t p -6t y =-6ìîíïïïïx得p x 2-t p +6()t x +6=0,ʑΔ=t p +6()t 2-24p =t p -6()t2=0,ʑp =6t 2,ʑl C D :y =6t2x -12t ,ʑD 0,-12()t ,C (2t ,0),ʑA C =2t +4,B D =6+12t .ʑS 四边形A B C D =12A C ㊃B C =12(2t +4)6+12()t =6t +4()t +24=6t -2æèçöø÷t 2+48,当t =2时,S m i n =48.第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ解析ɔ C.ʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()ʌ解析ɔ A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为(C)A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.ʌ解析ɔ (1)①y =-200x 2+400x =-200(x -1)2+200,ʑ喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升);②ȵ当x =5时,y =45,y =k x,ʑk =x y =45ˑ5=225;(2)不能驾车上班.理由:ȵ晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,ʑ将x =11代入y =225x ,则y =22511>20.ʑ第二天早上7:00不能驾车去上班.ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗?为什么?ʌ解析ɔ (1)①由题意x y =12,ʑy =12x x ȡ6()5;②y ȡ4时,65ɤx ɤ3;(2)当2x +12x =9.5时,整理得:4x 2-19x +24=0,ә<0,方程无实数解.当2x +12x =10.5时,整理得:4x 2-21x +24=0,ә=57>0,符合题意;ʑ小凯的说法错误,洋洋的说法正确.针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( C )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行 薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?解:(1)y =23x (0ɤx ɤ15),150x(x >15ìîíïïïï);(2)将y =2代入y =23x 得x =3;将y =2代入y =150x 得x =75;75-3=72.答:从消毒开始,师生至少在72分钟内不能进入教室.3.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?解:(1)y =2x +10(0ɤx <5),20(5ɤx <10),200x(10ɤx ɤ24ìîíïïïï);(2)由(1)得恒温系统设定恒温为20ħ;(3)把y =10代入y =200x 中,解得x =20,ʑ20-10=10.答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.九年级数学 大培优第二十七章 相似第21讲 相似三角形的判定知识导航1.相似多边形.2.平行线分线段成比例定理.3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置.2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一 运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.ʌ解析ɔ 由A B ʊC D ʊE F ,得B C C E =A D D F .又A D =A G +G D =2+1=3,D F =5,ʑB C C E =35.ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .ʌ解析ɔ ȵA B ʊD N ,ʑәAM B ʐәNMD ,ʑAM MN =B M DM,又ȵA D ʊB P ,ʑәB M P ʐәDM A ,ʑM P AM =B M DM ,ʑAM MN =M P AM,ʑAM 2=MN ㊃M P .▶题型二 平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .ʌ解析ɔ 延长D F ,B C 交于点H ,易证øC D F =45ʎ=øD C A ,ʑDH ʊA C ,又A D ʊC H ,ʑ四边形A C HD 为平行四边形.ʑA D =C H =D C =B C ,DH =A C =B D .ȵAC //DH ,B C =AD =C H ,ʑB M =M F ,又B C =C H .ʑF H =2C M .又DH =B D ,BE =BF ,ʑDH -D F =B D -B E ,即D E =F H .ʑD E =2C M .针对练习11.如图,直线l1,l2,l3分别交直线l4于A,B,C三点,交直线l5于点D,E,F,且l1ʊl2ʊl3,已知D EʒD F =3ʒ8,A C=24.(1)求B C的长;(2)当A D=4,C F=20时,求B E的长.解:(1)B C=15;(2)连接C D交E B于点H,易得E H=38F C=152;H B=58A D=52;ʑB E=E H+H B=10.2.如图,A B是☉O的直径,C D是弦,A EʅC D,B FʅC D,垂足分别为点E,F.(1)求证:D E=C F;(2)若B F=1,A E=2,E F=4,求A B的长.解:(1)过点O作O NʅC D,垂足为点N,易证A EʊO NʊB F,ʑE N N F=A O O B=1.ʑE N=N F.ȵO NʅC D,ʑD N=N C.ʑD N-E N=N C-N F,ʑD E=C F;(2)延长A E交☉O于点M,连接B M.易证四边形E M B F为矩形.ʑE M=B F=1,B M=E F=4,ʑA B=AM2+B M2=5.3.如图,在正方形A B C D中,点E在D A的延长线上,A E=A B,点F在C D上,M为A F的中点,过点M作MNʅM C交B E于点N.求证:MN=M C.解:过点M作M PʅB C,垂足为点P,易证A BʊM PʊD C,ʑB P P C=AM M F=1.ʑB P=P C.ȵM PʅB C,ʑM B=M C.设øNM B=2x,易证øB M P=øP M C=45ʎ-x,øM B P=45ʎ+x,øA B M=45ʎ-x,øM B E=90ʎ-x,ʑøMN B=180ʎ-øNM B-øM B E=90ʎ-x.ʑøM B E=øMN B.ʑMN=M B=M C.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一 延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.ʌ解析ɔ (1)延长B F ,A D 交于点M ,易得B E =12A B =1,B C =A D =3,E C =2,由A D ʊB C 得DM B C =D F F C =1,E P P D =B E DM .ʑDM =B C =3,E P P D =B E DM =13;(2)过点M 作MN ʅB C 交B C 的延长线于点N .易证四边形A E NM 为矩形,ʑMN =A E =3,E N =AM =6,B M =B N 2+MN 2=213.ȵA D ʊB C ,ʑB P P M =E P P D =13.ʑB P B M =14,B P =14B M =132.▶题型二 作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .ʌ解析ɔ (1)ȵA E =E F =12B E ,ʑB E =A F ,ȵøB E D =øB AC ,ʑøA B E =øC A F ,ʑәA B E ɸәC A F (S A S ),ʑA E =F C ;(2)过点C 作C M ʊB E 交A D 的延长线于点M .ȵәA B E ɸәC A F ,ʑøB E A =øA F C ,ȵøB E A +øB E D =180ʎ,øA F C +øD F C =180ʎ,ʑøB E D =øD F C .ȵB E ʊC M ,ʑøM =øB E D =øD F C .ʑF C =C M .ȵA E =F C ,A E =12B E ,ʑB E =2C M .ȵB E ʊC M ,ʑәB ED ʐәC MD .ʑB D D C =B EC M=2.ʑB D =2D C .▶题型三 作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.ʌ解析ɔ 过点B 作B H ʊA C 交A F 的延长线于点H .易证әA C G ɸәB A E ,ʑA G =B E .易证C F =B F ,ȵB H ʊA C ,ʑB H A C =B F C F=1,ʑB H =A C ,又D 为A C 的中点,ʑB H =A C =2A D .ȵB H ʊA C ,ʑE B D E =B H A D =2.ʑE B =2D E .又A G =B E ,ʑA G =2D E ,ʑD E A G =12.ʌ另解ɔ 导角可知,әA D E ʐәB A G ,ʑD E A G =A D A B =1.。