在职工程硕士GCT_数学__第10章_平面解析几何共52页

甲x乙x图1.1.2x平面解析几何17世纪，法国数学家笛卡尔创始了解析几何.解析几何的产生,通常以笛卡尔《几何学》一文（发表于1637年的《方法论》的附录）为标志.平面解析几何是用代数方法研究平面几何问题的一门学科,它是在坐标系的基础上,用坐标表示点,用方程表示曲线(含直线),通过研究方程间接地研究曲线(含直线)的性质.在本部分内容中，我们将学习平面直角坐标系中直线和圆锥曲线方程的知识,一般曲线方程的概念,以及用坐标方法研究几何问题的初步知识.这些知识是进一步学习较复杂的平面解析几何、立体解析几何以及导数和微分等知识的基础.此外，还要学习线性规划的初步知识，它是直线方程的一个直接应用.平面解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程研究平面曲线的性质.第一章 直线1.1 直线的概念以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解.这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.一条直线向上的方向和x 轴的正方向所成最小的正角叫做这条直线的倾斜角.如图1.1的α.当直线和x 轴平行时，我们规定它的倾斜角是零.任意一条直线的倾斜角α的范围是0απ≤<.一条直线在平面内的方向，可以用它的倾斜角来表示.图1.1 .1我们用斜率来表示一条直线对于x 轴的倾斜程度.一条直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.斜率通常用k 来表示，就是tan k α=.当一条直线的倾斜角是090时，它的斜率不存在.例1.1.1如图所示，直线1l 的倾斜角0130α=，直线21l l ⊥，求12,l l 解：1l 的斜率011tan tan 30k α===因为2l 的倾斜角00029030120α=+=，所以2l 的斜率02tan120k ==.设已知直线上任意两点12,P P 的坐标是()()1122,,,x y x y ，那么直线12PP 是确定的.当直线12PP 的倾斜角不等于090时，则直线的斜率为()211221y y k x x x x -=≠-例1.1.2 求经过()()2,0,5,3--两点的直线的斜率和倾斜角. 解：斜率 03125k -==--+就是 ()()()4,,,.a b c b c a ++tan 1α=-0απ≤<∴ 倾斜角 0135α=习题1.11.倾斜角的大小有什么限制？斜率的大小有什么限制？是不是所有的直线都有倾斜角？是不是所有的直线都有斜率？2.求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：()()()13,5,4,12 -； ()()()210,8,4,4; - ()()113,,6,2;22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()()()41,0,0,1; ()()(50,0,; - ()((6,.3.已知,,a b c 是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角. ()()()1,,,;a c b c ()()()2,,,;a b a c ()()()3,,,;b b c a c a ++ ()()()4,,,.a b c b c a ++4.画出经过点()0,2，且斜率分别为2与2-的直线.5．已知直线PQ的斜率为P 顺时针旋转60所得直线的斜率是 6．已知直线过点(2,3),(2,1)A m B -，根据下列条件，求实数m 的值． （1）直线倾斜角为135；=k(x-x0) y-y0xx（2）直线倾斜角为90；（3）直线倾斜角为锐角；（4）点(3,)C m也在直线上．7．若过点(1,1),(3,2)P a a Q a-+的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．1.2直线方程的几种形式1.2.1 点斜式已知直线l经过点()000,P x y，并且它的斜率是k，求直线l的方程.设(),P x y是直线l上的任意一点（图2.1.1），那么直线l的斜率y ykx x-=-于是()00y y k x x-=-反过来，坐标适合于这个方程的点都在l上.因此l的方程是这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定，叫做直线的点斜式方程.当直线l的倾斜角为00时（图1.2.2），0t a n00=，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是y y-=或y y=.x当直线l 的倾斜角为090时（图1.2.3），直线没有斜率，这时直线l 与y 平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时直线上每一个点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=或0x x =.例1.2.1 一条直线经过点()2,1P -，倾斜角045α=解：这条直线经过点()2,1P -，斜率0tan 451k ==，代入点斜式，得12y x -=+ 即30x y -+= 这就是所求直线的方程. 其图形如图1.2.4所示. 1.2.2 斜截式已知直线l 的斜率是k ，与y 轴的交点是()0,P b ，代入直线方程的点斜式，得到直线l 的方程 ()0y b k x -=- 即y=kx+b我们称b 为直线l 在y 轴上的截距.这个方程是由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程.一次函数y kx b =+中，常数k 是直线的斜率，常数b 就是直线在y 轴上的截距（b 可以大于0也可以小于0）. 1.2.3两点式已知直线l 经过两点()()()11122212,,,P x y P x y x x ≠，求直线l 的方程.因为直线l 经过点()()()11122212,,,P x y P x y x x ≠，所以它的斜率 2121y y k x x -=-代入点斜式，得()211121y y y y x x x x --=--图1.2.5x即这个方程是由直线上两点确定，所以叫做直线的两点式方程. 1.2.4 截距式已知直线l 与x 轴的交点为(),0a ，与y 轴的交点为()0,b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程. 因为直线l 过(),0a 与()0,b 两点，代入两点式，得 000y x ab a--=-- 即称,a b 分别为直线l 在x 轴与y 轴上的截距，上式叫做直线的截距式方程.例 1.2.2 设三角形的三个顶点是()()()3,3,0,2,5,0A B C --,求这三角形三边所在的直线的方程（图1.2.5）.解：直线AB 在y 轴上的截距是2，斜率是325.303AB k --==-- 代入斜截式，得AB 的方程是523y x =-+.即536x y +=.直线BC 在x 轴与y 轴上的截距分别是5-和2，代入截距式，得BC 的方程是 152x y +=- 即25100x y -+=.直线CA 经过()5,0C -，()3,3A -两点，代入两点式，得CA 的方程是 003.553y x -+=+-- 即38150x y ++=.1.2.5一般式在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.当090α≠时.它们都有斜率，因此方程可以写成下面的形式y kx b =+ 当090α=时，它的方程可以写成 1x x =的形式.这个方程可以看作是关于,x y 的二元一次方程，其中y 的系数是0.这样，在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于,x y 的二元一次方程.下面证明，任何关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线. ,x y 的二元一次方程的一般形式是0Ax By C ++= （1） 其中,A B 不同时为0.现在我们分0B ≠和0B =两种情况加以研究. ()0i B ≠时，方程（1）可以化为A C y xB B=--. 这就是直线的斜截式方程.它表示斜率为A B -，在y 轴上的截距为CB-的直线.()0i i B =时，由于,A B 不同时为0，必有0A ≠.方程（1）可以化为 A x C=-. 它表示一条与y 轴平行或重合（与x 轴垂直）的直线. 因此，任何关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线. 我们把方程0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） 叫做直线的一般式方程.例1.2.3 把经过点()6,4-并且斜率等于43-的直线的点斜式方程化为一般式方程，在化为截距式. 解：经过点()6,4-并且斜率等于43-的直线的点斜式方程为 ()446,3y x +=--化成一般式，得43120x y +-=.化为截距式，得134x y+=.习题1.21.写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点()2,5，斜率是34； （2）经过点()2,3-，倾斜角是4π； （3）经过点()1,4-，和斜率是25的直线l 平行；（4）经过点()1,4-，和斜率是25的直线l 垂直.2.写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是3-，y 轴上的截距是7-； （2）倾斜角是6π，y 轴上的截距是2. 3.先写出下列直线的两点式方程，再化为斜截式方程：（1）经过()()2,1,1,3--两点； （2）经过()()0,5,5,0两点； （3）经过()4,5--点和原点. 4.写出下列直线的截距式方程，根据截距式方程作出直线.（1）x 轴上的截距是2，y 轴上的截距是3； （2）x 轴上的截距是5-，y 轴上的截距是6； (3) x 轴上的截距是4-，y 轴上的截距是3-; (4) x 轴上的截距和y 轴上的截距都是12-. 5.由下列条件，写出直线的方程，并且化成0Ax By C ++=的形式：（1）斜率是12-，经过点()8,2-； （2）y 轴上的截距是5-，倾斜角是34π； （3）经过()()123,2,5,4P P --两点; (4) x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-. 6.一条直线和y 轴相交于()0,2P 点，它的倾斜角的正弦是45，求这条直线的方程.7.三角形的三个顶点是()()()2,1,0,7,4,1A B C --,求这个三角形三条中线所在直线的方程.y x1.3 两直线的位置关系1.3.1点与直线的位置关系点()000,P x y 与直线:0l Ax By C ++=的位置关系有两种：（1）点()000,P x y 在直线l 上； （2）点()000,P x y 不在直线l 上. 点()000,P x y 在直线l 上的充要条件是000Ax By C ++=点()000,P x y 不在直线l 上的充要条件是000Ax By C ++≠. 点()000,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d =.例1.3.1 已知点()()()1,3,3,1,1,0A B C -,求ABC ∆的面积. 解：如图1.3.1，设AB 边上的高为h ，则 12ABC S AB h ∆=.AB ==AB 边上的高为h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线的方程为311331y x --=--， 即40x y +-= 点C 到40x y +-=的距离h ==因此，152ABC S ∆=⨯=.例1.3.2 用解析法证明等腰三角形底边上一点到两腰距离的和等于腰上的高.证明：取底边所在的直线为x 轴，底的中垂线为y 轴，于是等腰三角形的三个顶点分别具有坐标()()(),0,,0,0,A a B a C c -，两腰的方程分别为1,1,x y x ya c a c+=+=- 底边上一点(),0P x 到腰AC 的距离为1d =点(),0P x 到腰BC 的距离为2d =因(),0P x 在底上，故有x a <，所以1d =2d =所以12211212tan A B A B A A B B θ-=+12d d +=再腰上的高即点(),0B a 到边1x ya c+=-的距离为12d d d ===+.1.3.2 两条直线的位置关系设已知两条直线12,l l 的方程分别为： 111:l y k x b =+或1110A x B y C ++=; 222:l y k x b =+或2220A x B y C ++=. 那么：（1）12,l l 两直线相交的充要条件是：12k k ≠或1122A B A B ≠. (2) 12,l l 两直线平行且不重合的充要条件是：1212k k b b =⎧⎨≠⎩或111222A B CA B C =≠.图1.3.2x(3) 12,l l 两直线重合的充要条件是：1212k k b b =⎧⎨=⎩或111222A B CA B C ==. （4）12l l ⊥的充要条件是：121k k =-或12120A A B B +=. (5) 若两直线12,l l 相交，设θ为1l 到2l 的夹角，则 2121tan 1k k k k θ-=+或12211212tan A B A B A A B B θ-=+.例1.3.3 已知两条直线12:250,:4230l x y l x y -+=+-=，求证：12l l ⊥. 证明：1l 的斜率112k =，2l 的斜率22k =-，所以 12.1k k =-所以12l l ⊥.例1.3.4 求过点()2,1A 且与直线2100x y +-=垂直的直线l 的方程.解：直线2100x y +-=的斜率是2-.因为直线l 与已知直线垂直，所以它的斜率1122k =-=- 根据点斜式，则直线l 的方程是()1122y x -=- 即20x y -=.例1.3.4 等腰三角形一腰所在直线1l 的方程是220x y --=，底边所在直线2l 的方程是10x y +-=，点()2,0-在另一腰上（见图1.3.2），求这条腰所在直线3l 的方程.解 设123,,l l l 的斜率分别为1231,,,k k k l 到2l 的角是1θ，2l 到3l 的角是θ，121,12k k ==-，所以()21121112tan 31111.2k k k k θ---===-++-因为123,,l l l 所围成的三角形是等腰三角形，所以12θθ=，即21tan tan 3θθ==-即323231k k k k -=-+将21k =-代入得32k =.因为3l 经过点()2,0-，斜率为2，则由点斜式方程得 ()22y x =--⎡⎤⎣⎦ 则直线3l 的方程为240x y -+=.例1.3.5 求经过3470,5380x y x y +-=+-=的交点和原点的直线方程. 解：经过1l 和2l 的交点的直线系方程是 ()3475380x y x y λ+-++-=. 因为所求直线经过原点()0,0，故把0,0x y ==代入上述的方程而求得78λ=-，故所求直线方程为 ()734753808x y x y +--+-= 即0x y -=例1.3.6 已知三角形各边所在的直线的方程是34190,43170,70x y x y x --=+-=+=，求它的各边的长，各内角的大小，面积以及外心和内心的坐标.解：解方程组()()()34190,43170;34190,70;43170,70.x y i x y x y ii x x y iii x --=⎧⎨+-=⎩--=⎧⎨+=⎩+-=⎧⎨+=⎩分别得到三个顶点()()()5,1,7,10,7,15A B C ----,于是各边的长是： 15,20,25AB AC BC === 由于222AB ACBC +=，故已知三角形是直角三角形，其中090BAC ∠=,而且153sin ,255204sin 255AB C BC AC B BC ∠===∠===查表得 0/0/3652,5308C B ∠=∠=.三角形面积120151502ABC S ∆=⨯⨯=.又外接圆圆心就是BC 的中点，因而它的坐标是57,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.为了求内心，必须先求出角平分线的方程，由于原点O 在ABC ∆内部，所以内心与原点在任何边的同侧，因而,B C ∠∠的平分线的方程是34197514317751x y x x y x --+=-+-+=- 即它们分别是 240,360x y x y -+=++= ()2,0-2,0x y ∴=-= 故知内心的坐标是()2,0-.习题1.31 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________2 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________；若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________；若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________； 3.若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________4点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________5 直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________6 已知直线Ax By C ++=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是x 轴；（5）设()P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=0007 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程8 经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程9过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为510.若方程()()2322250m m x m y m -++--+=表示直线,(1)求实数m 的值;(2)若该直线的斜率1k <,求实数m 的范围.11．已知直线l 14:=-+mym x （1）若直线的斜率是2，求m 的值；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，求此直线的方程.第二章 曲线方程与圆2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程之间的关系在平面直角坐标系中，曲线C 上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解之间建立了一一对应的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.如果满足上述两个条件，那么曲线C 叫做方程(),0f x y =的曲线，方程(),0f x y =叫做曲线C 的方程.在曲线和方程之间建立了这样的关系以后，研究曲线的几何问题就可以转化为研究方程的代数问题了.例2.1.1 下列各点是不是在方程2225x y +=所表示的曲线上？()()113,4;P - ()()222P-.解：（1）因为()223425+-=，所以1P 在方程2225x y +=所表示的曲线上；x图2.1.2x（2）因为(22225-+≠，所以2P 不在方程2225x y +=所表示的曲线上.关于曲线和方程有两个基本问题： （1）已知曲线，求它的方程； （2）已知方程，画出它的曲线. 2.1.2求曲线方程已知曲线求曲线方程，实际就是将曲线上的点满足的条件，用点的坐标,x y 表示出来. 已知曲线求方程的一般步骤为：（1）建立适当的直角坐标系，用(),x y 表示曲线上任意点P 的坐标；（2）写出适合曲线条件的点P 的坐标的集合； （3）用坐标表示点P 的集合，列出方程； （4）化简方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（如果方程化简过程为同解变形时，此步可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点）.例2.1.2 设,A B 两点的坐标是()1,1--和()3,7，求线段AB 的垂直平分线的方程. 解：设(),P x y 是这条垂直平分线上任意一点（如图2.1.1），那么有 PA PB =. 由两点间的距离公式，得=（1）化简后得270.x y +-=此方程即为线段AB 的垂直平分线的方程.2.1.3 由方程画曲线由方程画出曲线的基本方法是描点法.为了用较少的点画出比较准确的图形，要对方程进行讨论：（1）曲线与坐标轴的交点：在方程(),0f x y =中，令0y =，可求出曲线与x 轴的交点；在方程(),0f x y =中，令0x =，可求出曲线与y 轴的交点.（2）曲线的对称性：如果用y -代替方程(),0f x y =中的y ，方程(),0f x y =不变，则曲线关于x 轴对称；如果如果用()2226150,2,1x y x y +---=--x -代替方程(),0f x y =中的x ，方程(),0f x y =不变，则曲线关于y 轴对称；如果如果用x -，y -代替方程(),0f x y =中的x ，y 方程,0f x y =不变，则曲线关于原点轴对称.（3）曲线的范围：由方程(),0f x y =确定x ，y围.若能把方程(),0f x y =化为()y g x =，可讨论x 的取值范围；把方程(),0f x y =化为()x y φ=，可讨论y 的取值范围.例2.1.3 描绘方程224936x y +=的曲线.解：（1）曲线与坐标轴的交点：令0,y =得3x =±；令0x =，得2y =±. 所以曲线与坐标轴的交点为()()3,0,0,2±±.（2）曲线的对称性：以y -代替y ，或者以x -代替x ，或者以x -，y -代替x ，y .方程都不变，所以曲线关于x 轴、y 轴、原点对称. （3）曲线的范围：因为y =±3x ≤.又x =± 所以2y ≤.因此这曲线位于直线3,3,2,2x x y y ==-==-所围成的矩形内.（4）求x ，y 的对应值：根据关于曲线的对称性的讨论和范围的讨论，我们知道只要描出曲线在第一象限从0x =到3x =的一部分，就可以画出曲线的全部.（5）描点绘图（如图2.1.2），这方程的曲线是椭圆. 2.1.4 两曲线的交点 如果两条曲线有交点，那么交点的坐标就是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解.反过来，方程组的每一组实数解对应于这两条曲线的一个交点.因此，求曲线的交点的问题，就是求由它们的方程所组成飞方程组的实数解的问题.例2.1.4 求下面两个方程的曲线的公共点： 224850,x y x y +-+-= (1) 2226150x y x y +---=. (2) 解：解方程组2222485026150x y x y x y x y ⎧+-+-=⎪⎨+---=⎪⎩ 得 12125,2,0; 1.x x y y ==-⎧⎧ ⎨⎨==-⎩⎩ 所以两条曲线的公共点的坐标是()5,0 和()2,1--. 习题2.11. 下列哪一对方程表示相同的曲线A. 1112+-=-=x x y x y 与 B. x y x y lg 2lg 2==与C. 33x y x y ==与D. 2x y x y ==与2. 点()y x P ,的坐标满足关系式0lg lg =+y x ,则点P 的轨迹是 A. 一个点 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 直线3.方程x xy x =+2的曲线是A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线4.已知M （－2,0）,N （2,0）,则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是 A.222=+y x B.422=+y x C.()2222±≠=+x y x D.()2422±≠=+x y x5.动点P 到定点()4,0F 的距离比它到定直线05=+y 的距离小1,求动点P 的轨迹方程.6.已知两曲线1+=kx y 与082=--y x 的两个交点关于y 轴对称,求这两个交点的坐标.7.过点A （1,0）作直线交已知直线05=++y x 于点B,在线段AB 上取一点P,使得AP ：PB=1：3,求P 的轨迹方程8.设三角形的两个顶点分别是()()1,1,3,6B C ,已知这个三角形的面积等于3，求第三个顶点A 的轨迹方程.9.一条线段AB 的长等于2a ，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程.10.已知方程13y kx =+和2225x y +=，当k 是什么数时，它们的曲线有两个公共点，只有一个公共点或没有公共点？2.2 圆 2.2.1圆的标准方程已知一个圆的圆心是(),C a b ，半径是r ，求它的方程.如图2.2.1所示，设(),M x y 是圆上任意一点，根据定义，点M 到圆心C 的距离等于r ，所以所求圆就是集合{}P M MC r ==由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为r = （1）把（1）式两边平方，得()()222x a y b r -+-= （2）方程（2）就是圆心为(),C a b ，半径为r 的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程. 如果圆心在坐标原点，这时0,0a b ==，那么圆的方程就是 222x y r +=. 2.2.2 圆的一般方程把圆的标准方程()()222x a y b r -+-=展开，得22222220x y ax by a b r +--++-=. 可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式220x y Dx Ey F ++++= (3) 反过来，我们来研究形如（3）的方程的曲线是不是圆.将（3）的左边配方，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)(1) 当2240D E F +->时，方程（4）表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭圆；（2）当2240D E F +-<时，方程（4）没有实数解，因而它不表示任何图形； （3）当2240D E F +-=时，方程（4）表示点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因此，当2240D E F +->，方程（4）表示一个圆.方程（3）叫做圆的一般方程.圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于0； （2）没有xy 这样的二次项. 以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件.例 2.2.1 已知一曲线是与两个定点()()0,0,2,1O A的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.解：设(),P x y 是曲线上的任意一点，由题意可得点P 的集合2OP M PAP⎧⎪==⎨⎪⎪⎩⎭所以2=两边平方并整理得()()222110x y +++= 这就是所求曲线方程，它是以()2,1C --.例2.2.2 一个圆经过()2,1P -,和直线1x y -=相切，且圆心在直线2y x =-上，求它的方程.解：设所求的圆的方程是()()222x a y b r -+-=.因为点()2,1P -在圆上，所以()()22221a b r -+--=，即222425a b a b r +-++= （1） 因为圆和直线1x y -=相切，所以圆心(),a b 到直线1x y -=的距离等于r ，即r = （2） 因为圆心(),a b 在直线2y x =-上，所以2b a =- （3） 由（1）、（2）、（3），得1,2,a b r ==-=或者9,18,a b r ==-= . 所以所求的圆的方程是()()22122;x y -++= 或者 ()()22918338.x y -++=例2.2.3 （1）一条直线和圆2229x y +=相切于一点()5,2P -,求这条切线的方程；（2）一条直线和圆222x y r +=相切于一点()11,P x y ，求证这条切线的方程是211x x y y r += 解：（1）因为所求切线经过()5,2P -且垂直于OP ,而202505OP k --==-- 故所求切线的方程是()5252y x +=- 即52290x y --=.（2）证明：由于()11,P x y 是切点，故11OP y k x =. 故所求切线是()1111x y y x x y -=--，即 2221111xx yy x y r +=+=.例2.2.4 设221111:0C x y D x E y F ++++=, (1) 222222:0C x y D x E y F ++++= (2)两圆相交于()()111222,,,P x y P x y 两点.证明：当1λ≠-时，方程 ()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++= （3）表示经过12,C C 两圆交点的圆. 证明：方程（3）可以写成()()()()22121212110x y D D x E E y F F λλλλλ+++++++++=.这个方程是一个,x y 的二次方程，其中2x 和2y 的系数相同并且不等于零()1λ≠-，不含xy 项，图2.2.1x y x所以表示一个圆.又因为()()111222,,,P x y P x y 的坐标适合于方程（1）和（2），也就适合于（3），所以方程（3）表示经过12,C C 两圆交点的圆.2.2.3 圆的参数方程设圆O 的圆心在原点、半径为r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点是0P (见图2.2.1). 设点P 是圆上任意一点，0POP θ∠=.如果P 点的坐标是(),x y ， 根据三角函数的定义，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是θ的函数， 即cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （1） 并且对于θ的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点P (),x y 都在圆O 上.把方程组（1）叫做以圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程，θ是参数.圆心为(),O a b ，半径r 的圆的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） 例2.2.5 如图2.2.2所示，已知点P 是圆2236x y +=上一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为()18,0.当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 解：设点M 的坐标是(),x y ，因为2236x y += 6c o s 6s i n x y θθ=⎧⎨=⎩所以可设点P 的坐标为()6cos ,6sin θθ.由线段中点坐标公式得 点M 的轨迹的参数方程 93cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩所以，线段PA 的中点M 的轨迹是以点()9,0为圆心、3为半径的圆. 习题2.21. 已知实数x ，y 满足关系：2224200x y x y +-+-=，则22x y +的最小值2. 已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ ___3. 圆1C ：422=+y x 和2C ：0248622=-+-+y x y x 的位置关系是_______ ___4. 求过点P （6，－4）且被圆2220x y +=截得长为的弦所在的直线方程．5. 如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，求yx的最大值. 6. 求与圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程.7. 已知直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，求b 的取值范围.8. 已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l ，()R m ∈（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．9. 已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．10. 已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，（O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．11.求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=，22x y +2280x y ++-= 交点的圆的方程．12.已知圆ab 和直线()10,0x ya b a b+=>>相切，求ab 的最小值.图3.1.1x图3.1.2x第三章 圆锥曲线3.1 椭圆3.1.1椭圆及其标准方程在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，焦距的一半叫半焦距.根据椭圆的定义，我们来求椭圆的方程.如图3.1.1所示，建立直角坐标系，使x 轴经过点12,F F ,并且点O 与12F F 的中点重合.设(),M x y 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c ()0c >，那么 焦点12,F F 的坐标分别为()(),0,,0c c -.又设点M 与12,F F 的距离之和 等于常数2a ，由定义可知，椭圆就是集合{}122MMF MF a +=即方程整理后，得()()22222222ac x a y a a c -+=-由椭圆的定义知，22a c >，即a c >，所以2a 222a c b -=()0b >，代入上式得222222b x a y a b += 也就是()222210x y a b a b+=>>这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x 轴上.如果使焦点12,F F 在y 轴上，点12,F F 的坐标分别为()()120,,0,F c F c - （见图3.1.2），,a b 的意义同上，那么所得方程变为()222210y x a b a b+=>>x图3.1.4y x这个方程也是椭圆的标准方程.例3.1.1 求两个焦点的坐标分别是()()4,0,4,0-，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10的椭圆的标准方程.解 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的方程为()222210x y a b a b+=>>因为210,28,a c ==所以5,4a c ==.所以22222549b a c =-=-=所以所求椭圆的标准方程为221259x y +=. 例3.1.2 已知,B C 是两个定点，8BC =，且ABC ∆的周长等于18，求顶点A 的轨迹方程.解 如图 3.1.3所示，建立坐标系，使x 轴经过点,B C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知18,8AB AC BC BC ++==,所以10AB AC += 即点A 的轨迹是椭圆，且28,210c a ==，所以222224,5,549c a b a c ===-=-= 但当点A 在直线BC 上，即0y =时，,,A B C 三点不能构成三角形， 所以点A 的轨迹方程是()2210259x y y +=≠ 3.1.2椭圆的性质我们利用椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>>来研究椭圆的几何性质.1.范围椭圆上讨论方程中,x y 的取值范围，的点的坐标(),x y 都适合不等式：22221,1x y a b≤ ≤ 所以22,x a y b ≤≤即,x a ≤ y b ≤这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形里（见图3.1.4）.2.对称性在椭圆的标准方程里，以x -代替x ，或以y -代替y ，或以,x y --代替,x y ，方程都不变，所以椭圆关于y 轴、x 轴和原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.顶点在椭圆的标准方程里，令0x =，得y b =±.这说明()()120,,0,B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点.同理，令0y =，得x a =±，即()()12,0,,0A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点.因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.线段1212,A A B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 4.离心率椭圆的半焦距与长半轴长的比c e a=，叫做椭圆的离心率.222x y a +=因为0a c >>，所以01e <<.e 越接近1，则c 越接近a ，从而b =反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a b =时，0c =，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=.例3.1.3 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标. 解 把已知方程化为标准方程，得2212516x y +=.所以()()3,0,3,0-5,4,3a b c ===.因此椭圆的长轴和短轴的长分别是210a =和28b =，离心率0.6ce a==，两个焦点坐标分别为()()3,0,3,0-.图3.1.6x例3.1.4一动圆过定点A （2，0），且与定圆032422=-++y x x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解：将圆的方程化为标准形式2226)2(=++y x ，这时，已知圆的圆心坐标为B （－2，0），半径为6，如图，设动圆圆心M 的坐标为（x ，y ），由于动圆与已知圆内切，设切点为C ，所以已知圆（大圆）半径与动圆（小圆）半径之差等于两圆心的距离，即||||||BM MC BC =-，而6||=BC ，所以，6||||=+BM MC ，又||||AM CM =，所以6||||=+BM AM ， 图3.1.5 根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点（－2，0）和点A （2，0）为焦点，线段AB 的中点（0，0）为中心的椭圆，所以a ＝3，c ＝1，522=-=c a b ，所以所求圆心的轨迹方程为.15922=+y x 例3.1.5点P 是椭圆192522=+y x 上一点，以点P 以及焦点21,F F 为顶点的三角形面积为8，求P 的坐标.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由椭圆192522=+y x ，可知： c ＝4，所以82||21==c F F ，所以2121=∆F PF S 8||||21=⋅y F F ，所以2||=y ，即2±=y ，又点P 在椭圆上192522=+y x ，解得：355±=x ，所以点P 的坐标为).2,355(±± 例 3.1.6 点(),M x y 与点(),0F c 的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数ca()0a c >>，求点M 的轨迹. 解：设d 是点M 到l 的距离，由题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭由此得ca=将上式两边平方，并化简，得()()22222222ac x a y a a c -+=-设222a cb -=，就可以化为()222210x y a b a b+=>> 这就是椭圆的标准方程. 点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为2,2a b 的椭圆.例3.1.7 直线:10l x y -+=与椭圆223412x y +=相交于,A B 两点，求弦AB 的长. 解：设已知直线与椭圆的交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ,于是有AB =因为,A B 在直线:10l x y -+=上，所以112211y x y x =+⎧⎨=+⎩于是1212y y x x -=-所以AB ==由方程组22341210x y x y ⎧+=⎨-+=⎩消去y ，整理得：27880x x +-=所以1212878.7x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩于是247AB =.习题3.11．椭圆1204522=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于B A ,若2ABF ∆的面积是图3.2.1x20，直线AB 的方程是 .2．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b ，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为3. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围.4. 已知21,F F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，过2F 作椭圆的弦AB ，若B AF 1∆的周长为16，椭圆离心率23=e ，求椭圆的方程. 5. 已知两椭圆822=+y ax 与10025922=+y x 的焦距相等，求的值.6. 已知21,F F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率.7. 已知动圆P 过定点),0,3(-A 并且在定圆64)3(:22=+-y x B 内部与定圆相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程.8. 已知椭圆14:22=+y x C 及直线m x y l +=:.（1）当实数m 取何值时，直线l 与椭圆C 有公共点？ （2）当直线l 被椭圆C 截得的弦最长时，求直线l 的方程.3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这个定点叫做叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程.如图3.2.1所示，建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过点12,F F ， 并且点O 与线段12F F 的中点重合.设(),M x y 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c ()0c >， 那么焦点12,F F 的坐标分别为()(),0,,0c c -.又设点M 与1F 、2F。

平面解析几何初步解析几何是几何学和代数学的交叉领域，它研究平面内的点、线、圆等形状及其相互关系，利用代数方法进行分析和计算。

在平面解析几何中，我们将重点讨论直线、圆和二次曲线及其性质。

本文将介绍平面解析几何的基本概念和常见问题，以及一些解题技巧。

一、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。

一条直线可以由其上的两个点确定，我们可以通过计算斜率和截距来表示直线的方程。

直线的方程有多种形式，常见的有点斜式和截距式。

1. 点斜式方程点斜式方程形如 y-y₁ = k(x-x₁)，其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。

通过给定一点和斜率，我们可以轻松写出直线的方程。

例如，已知直线上的点 A(2,3) 和斜率 k=2，我们可以得到直线的点斜式方程为 y-3=2(x-2)。

点斜式方程的优点在于直接给出了直线的一般形式，但不适用于垂直于 x 轴的直线。

对于垂直于 x 轴的直线，我们可以使用斜截式。

2. 截距式方程斜截式方程形如 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。

斜截式方程适用于所有类型的直线，包括垂直于 x 轴的直线。

例如，有一条直线经过点 B(3,4) 且斜率为 1/2，我们可以得到直线的斜截式方程为 y=(1/2)x+2。

二、圆的方程圆是解析几何中的另一个重要概念，它由平面上与固定点的距离等于常数的点构成。

在平面解析几何中，圆的方程一般形式为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a,b) 是圆的圆心坐标，r 是圆的半径。

根据圆的方程，我们可以计算圆心和半径，以及圆上的点。

例如，对于方程 (x-2)² + (y+3)² = 9，我们可以得到圆的圆心坐标为 (2,-3)，半径为 3。

利用这些信息，我们可以描绘出圆的几何形状。

三、二次曲线的方程除了直线和圆，二次曲线也是平面解析几何中的重要对象。

平面解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，它通过使用代数和几何的方法来研究图形在平面上的性质和关系。

本文将介绍平面解析几何的基本概念和原理，并探讨一些相关的应用。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系是平面解析几何的基础，它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常称为$x$轴和$y$轴，它们的交点称为原点$O$。

平面上的任意一点$P$可以通过它相对于原点的横纵坐标来确定，记作$(x,y)$，其中$x$称为横坐标，$y$称为纵坐标。

二、向量向量是平面解析几何中的另一个重要概念，它表示平面上的一条有方向的线段。

向量$\overrightarrow{AB}$由起点$A$和终点$B$唯一确定，记作$\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{AB}$。

向量的长度称为模，记作$|\overrightarrow{AB}|$。

向量的方向可以用一个有向角来表示，有向角的起边是$x$轴正半轴，终边是向量$\overrightarrow{AB}$。

如果一个向量的终点与另一个向量的起点重合，这两个向量可以相加，称为向量的加法。

三、直线方程在平面解析几何中，直线方程的表达形式有多种，常见的有一般式、点斜式和截距式。

一般式方程$Ax+By+C=0$表示一条直线的所有点$(x,y)$满足这个方程。

点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$表示一条直线通过点$(x_1,y_1)$且斜率为$m$。

截距式方程$y=mx+b$表示一条直线在$y$轴和$x$轴上的截距分别为$b$和$m$。

四、圆的方程圆是平面解析几何中的一个重要几何图形，它由到圆心距离相等的所有点构成。

圆的方程有多种形式，常见的有标准方程和一般方程。

标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$表示圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$的圆。

一般方程$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$表示一个圆。

五、距离公式平面解析几何中经常涉及到线段或两点之间的距离，距离公式可以用来计算它们之间的距离。

领程教育一对一个性化辅导教案
1．空间直角坐标系
从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同的单
位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系xyz O -.点O 叫做坐标原点， x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和zOx 平面．
2．空间右手直角坐标系的画法
通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135o ，而z 轴垂直于y 轴．y 轴和z 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的单位长度的一半 ．
3. 空间点的坐标表示
对于空间任意一点A ，作点A 在三条坐标轴上的射影，即经过点A 作三个平面分别垂直于x 轴与y 轴与z 轴，它们与x 轴与y 轴和z 轴分别交与R Q P ,,．点R Q P ,,在相应数轴上的坐标依次为x ，y ，z ，我们把有序实数对(,,)x y z 叫做点A 的坐标，记为(,,)A x y z ．
如右下图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为5,8,12='==A A AD AB ．以这个长方体的顶点A 为坐标原
点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
业
布
置。

专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ．A B ．2 C ．4D ．【答案】C 【解析】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C.3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( ) A． BC．3-D．3【答案】D 【解析】点(为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，∴只有当过点(的直线与过点(和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小，过点()2,3和圆心()3,0的直线斜率为303k -==- ∴过点()2,3的直线斜率为133k -=故选：D4．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）过点()1,2P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．43【答案】C【解析】当0a =时，直线10ax y +-=，即直线1y =，此时过点()1,2P 且与直线1y =垂直的直线为1x =，而1x =是与圆相交，不满足题意，所以0a =不成立，当0a ≠时，过点()1,2P 且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a ，可设该直线方程为()121y x a-=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得，22111a a -=+，解得43a =.故本题正确答案为C. 5．（2020届山东省高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF ，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a ，即2232MF MF a ，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ，ab cMH，即M 点纵坐标为ab c ，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b c x b ，解得2b cx，2,b ab ccM， 将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c ，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3c ae，故选D 。

汇报人：日期:•平面解析几何概述•平面解析几何的基本概念•平面解析几何的进阶概念目•平面解析几何的解题方法与技巧•平面解析几何的实际应用案例录平面解析几何概述01平面解析几何是一门研究平面图形与点的数学学科。

它通过使用代数和三角学工具来解决问题。

平面解析几何提供了几何问题的一种系统化方法。

平面解析几何的定义早期的平面解析几何主要用于解决与距离、面积、体积等问题。

随着数学的发展，平面解析几何逐渐成为数学的一个重要分支，并被广泛应用于其他领域。

平面解析几何起源于17世纪，由法国数学家费马和笛卡尔等人发展。

平面解析几何的历史与发展平面解析几何在物理学、工程学、经济学等许多领域都有广泛的应用。

在工程学中，平面解析几何用于解决机械、电子、建筑等领域的问题。

平面解析几何的应用在物理学中，平面解析几何用于解决力学、光学、电磁学等问题。

在经济学中，平面解析几何用于解决计量经济学、金融学等问题。

平面解析几何的基本概念02向量与坐标向量的定义向量是一个有方向和大小的量，通常用一条有向线段来表示。

在平面解析几何中，向量通常用箭头、箭尾和方向角来表示。

向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用有序实数对(x,y)来表示一个向量，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

向量的运算包括加法、减法、数乘和数量积等。

直线是一条连续的点集合，可以用两点式、斜截式、一般式等来表示。

直线的定义根据直线上任意两点的坐标，可以建立直线方程。

直线方程的建立直线方程可以用来解决与直线相关的各种问题，如求交点、截距、斜率等。

直线方程的应用直线与方程1 2 3圆是一个平面上的点集合，所有到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点都在圆上。

圆的定义在平面直角坐标系中，以点(x0,y0)为圆心，以r 为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2。

圆的标准方程包括圆心角、弦长、弓形高等。

圆的相关性质圆与方程椭圆的定义在平面直角坐标系中，以点(x0,y0)和(x1,y1)为焦点，长轴长为a，短轴长为b的椭圆的方程为(x -x 0)2+(y -y0)2=a2-(x-x1)2+(y-y1)2=b2。

平面解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的表示和性质。

其中平面解析几何是解析几何的一个重要分支，主要研究平面上的几何图形和相关函数方程。

一、坐标系和向量在平面解析几何中，我们首先需要建立一个坐标系，通常采用笛卡尔坐标系，也可以使用极坐标系等其他坐标系。

在笛卡尔坐标系中，我们可以利用二维平面上的两个坐标轴$x$轴和$y$轴来表示平面上的点$P$的坐标$(x, y)$。

其中$x$轴和$y$轴的交点称为坐标原点$O$。

另外，在平面解析几何中，还引入了向量的概念。

向量由方向和大小组成，可以表示平面上的位移、速度等概念。

向量的表示通常采用箭头标记，例如$\vec{AB}$表示从点$A$到点$B$的向量。

向量的加法和减法可以利用平行四边形法则进行计算。

二、直线和曲线在平面解析几何中，直线是最简单的几何图形之一。

直线可以通过两点确定，也可以通过点斜式、一般式等方程来表示。

例如，点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$表示通过$(x_1, y_1)$点且斜率为$m$的直线。

除了直线，平面解析几何还研究了曲线的性质。

常见的曲线包括圆、椭圆、双曲线等。

这些曲线可以通过方程进行表示，例如圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是圆心的坐标，$r$是半径。

三、距离和角度在平面解析几何中，距离和角度是两个重要的概念。

距离可以用来衡量两点之间的远近，而角度可以用来衡量两条直线或向量之间的夹角。

对于两点$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$之间的距离，可以利用勾股定理进行计算，即$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。

而对于两条直线或向量之间的夹角，可以利用向量的内积公式进行计算，即$\cos\theta=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{BC}}{|\vec{AB}||\vec{BC}|}$，其中$\theta$为夹角。

⎪⎪⎪平面解析几何 第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k 的直线方程 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb ＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线 解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D 正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数， 故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k ＞0时，α为锐角．又k PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b 的值． 解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－AB .考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．(2)过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3x ＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)， 即3x －y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：(1)3x －y ＋6＝0 (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )． ∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0. ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)， 即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4， 当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可知斜率k ＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B.2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2 解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx ＋y＋a＝0的图象可能是()解析：选B当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0，选项B符合．4．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)解析：选C令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b2|－b|＝14b2，且b≠0，因为14b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则1m＋1n的最小值为()A．2 B．4C．8 D．1解析：选B∵函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn＞0)．∴1m＋1n＝⎝⎛⎭⎫1m＋1n(m＋n)＝2＋nm＋mn≥2＋2nm·mn＝4(当且仅当m＝n＝12时取等号)，∴1m＋1n的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝07．若直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.答案：2x ＋3y ＋12＝08．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________．解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0， ∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号．故1a ＋3b 的最小值是163.答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x ＋1ex＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号． 此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式1．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上．所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0，解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三 对称问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)， 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝0 角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)． 2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C. 2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a－2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上， ∵|P Q |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________．解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝⎛⎭⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC ＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤－5，－27. 答案：⎣⎡⎦⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．。

10 平面解析几何A . 4B . 5C . 6D . 7【答案】A【解析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.A . 经过点OB . 经过点PC . 平行于直线OPD . 垂直于直线OP【答案】B【解析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】在双曲线C中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近线方程为2y x=±，即0x ±=， 所以，双曲线C=故答案为：()3,0【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：P Q PB yPQ y =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+， 故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． A . 2 B . 3C . 6D . 9【答案】C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，minMP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．【答案】2【解析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y += .（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y --=.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. A. 4 B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c =值不等式，即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限.联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩故(,)D a b ,联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩,故(,)E a b -,∴||2ED b = ∴ODE 面积为：1282ODES a b ab =⨯==△,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>∴其焦距为28c =≥==,当且仅当a b ==取等号 ∴C 的焦距的最小值：8,故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =.【解析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【详解】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c=⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=， 43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=， 01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =.因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =.【点睛】本题考查椭圆离心率求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题. A. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (1,0)D. (2,0)【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，的代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=， ()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C m m+=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=， 设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d ===， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ 面积为：52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 【答案】32【解析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215xy a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为yx =，即2b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.【答案】【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形P AB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS 取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标． 【答案】（1）6；（2）－4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=,∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥ ∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭,∵准线方程为4x =,∴()4,Q Q y , ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+,∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S = ∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅,∴95d =,∴113439x y -+=① ∵2211143x y +=②,∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键.A . 若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B . 若m ＝n ＞0，则CC . 若mn ＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D . 若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：AC D. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F∴直线AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意得到关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.的【详解】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k 1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭, ,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 3=）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=【答案】D【解析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．【答案】5【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 的将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-， 所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0， 所以，直线CP 的斜率为222303216261121CP k k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+， 整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. A.2B.5C.D.【答案】D【解析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==D . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．【答案】 (1).(2). 3-【解析】由直线与圆12,C C 相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，12,C C 1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==. 【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；（Ⅱ【解析】【详解】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm m p λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222m x p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p的最大值为40，此时(,55A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=， 所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p取到最大值为40. 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.【答案】10x y +-=（1）若A x =b ； （2）若b =2C 与x 轴交点记为12F F 、,P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求∠12F PF ；（3）过点2(0,2)2b S +且斜率为2b -的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表示OM ON ⋅，并求出OM ON ⋅的取值范围。