下册七(沪科)数教用课件：第八章 整式乘法与因式分解67-68

例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值. 解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1； ③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1. 故 x 的值为 -1 或 2.
算一算： 10－2 = ____0_._0_1____；
10－4 = ___0_.0_0_0_1____；
10－8 = _0_._0_0_0_0_0_0_0_1_.
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 通过上面的探索，你发现了什么？
一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有__n___个 0.
想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？ 1 前面有几个零？
知识要点 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表 示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注 意：包括小数点前面那个零）.
a0 an a0n 1 an.
即 an 1（a 0，n 是正整数）. an
特别地，a1 1 (a 0). a
例4
若
a
=
2 3
-2
，b
=
(-1)-1，c
=
3 2
0
，则
a，b，
c 的大小关系是（ B ）
A．a＞b＝c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解 析32：0a==1，故23
a-n＝

【点拨】四月份营业额为 bc＝a(元)，五月份营业额为 3b×0.8c＝ 2.4bc＝2.4a(元)，所以五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加 2.4a－a＝1.4a(元)．
9．已知单项式 2a3y2 与－4a2y4 的积为 ma5yn，则 m＋n 的值为 __－__2____．
【点拨】2a3y2×(－4a2y4)＝－8a5y6＝ma5yn，故 m＝－8，n＝6， 则 m＋n＝－2.
1．[中考·柳州]计算：(2a)·(ab)＝( B ) A．2ab B．2a2b C．3ab D．3a2b
2．[中考·湖州]计算－3a·(2b)，正确的结果是( A )
A．－6ab B．6ab
C．－ab
D．ab
3．计算：(xn)n·36xn＝( C ) A．36xn B．36x3n C．36xn2＋n
10．计算： (1)[淮北期末]12x·2x3·(－3x2)；
解：原式＝－3x1＋3＋2＝－3x6.
(2)(－3a2b)2·－23abc·34ac2； 原式＝9a4b2·－23abc·34ac2＝－92a6b3c3.
(3)5a3b·(－3b)2＋(－ab)·(－6ab)2. 原式＝45a3b3－36a3b3＝9a3b3.
D．36x2＋n
4．计算：(－3xm＋2y2n)·(4x3－my)＝__－__1_2_x_5_y_2n_＋__1 __．
5．[六安裕安区期中]长方体的长是 2×104 厘米，宽是 1.5×103 厘 米，高是 3×103 厘米，那么它的体积是___9_×__1_0_10______立方 厘米．
6．若(xa＋1yb＋1)·(x2b－1y)＝x5y3，则 a＋b＝__4______.
11．已知(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝－24xqy10zp，求 mn＋pq 的值．

解: (1) (a－b)2 (a－b) = (a－b)2+1 = (a－b)3 .
(2) (x+y)3×(x+y)= (x+y) 3+1= (x+y)4 .
(3) (b－ a)2(a－ b)= (a－b)2 (a－b) = (a－b)2+1
= (a－b)3
(4) (x- y) 3 × (y-x)3 = - (y - x)3 × ( y – x ) 3 = - (y - x)6
通过学习，你有哪些收获？
1 乘方的意义:
an = a·a·… ·a n个a
2 同底数幂的乘法性质：
am ·an =am+n(m，n都是正整数）.
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数).
3 注意：同底数幂相乘时 底数 不变 ，指数 相加 .
通过学习，你有哪些收获？
1 乘方的意义:
(3) -a2 ·a6 = - a2+6 = - a8
(4) y2n ·yn+1 = y2n+n+1 = y3n+1
活动5 应用提高、拓展创新
计算 (1) (a－b)2 (a－b). (3) (b－ a)2(a－ b).
(2) (x+y) 3× (x+y). (4) (x- y) 3 × (y-x)3
计算：（1）3b3 5 b2 6
同学们,你们知道我们的教室有多大吗? 小明想要估算它的面积，你能帮助他解决问 题吗？
小明采用步长测量教室的面积，测量长 时走了13步，测量宽时走了9步，如果小 明的步长用a米表示, 你能用含a的代数式表 示教室的面积吗?
解:(13a) • (9a)

步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有 分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式 或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式： 整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？ （1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构 特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数 与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.

【当堂检测】
5.计算：(1)(2a＋5b)(a－3b)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)； (3)(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y)．
解：(1)原式=2a2-6ab+5ab-15b2 =2a2-ab-15b2.
(2)原式=x3-x2+x+x2-x+1 =x3+1.
(3)原式=(-9x2+9xy-2y2)-(6x2-xy-y2) =-15x2+10xy－y2.
典型例题
例6.如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. b
(1)图①中阴影部分的面积为___a_2-_b_2___， a
图②中阴影部分的面积为_(_a_+_b_)_(_a_-_b_)；
(2)通过视察比较两图的阴影部分面积， 可以得到乘法公式为__(_a_+_b_)_(_a_-_b_)_=_a_2_-_b_2 ___(用式子表达)；
2
分析：本题是一个含有整式的乘方、乘法、加减的混合运算，根据式子的 特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键． 解：原式=a2－4ab＋4b2＋a2－b2－2(a2－4ab＋3b2)
=2a2－4ab＋3b2－2a2＋8ab－6b2＝4ab－3b2.
当a=
1 2
，b=-3时，原式=4×
1 2
×(-3)-3×(－3)2=-6-27=-33.
C. a4 ·a3=a7
D. a2·a4=a8
解析：a2·a4=a2+4=a6，故D选项错误.
2.(1)若∣p+3∣=(-202X)0，则p＝ -4或-2 ；
(2)若(x-2)0＝1，则x应满足的条件是 x≠2 ．
解析：任何不等于0的数的0次幂都等于1,；故(1)中∣p+3∣=1，(2)中x-2≠0.

知识点 二次三项式x2+px+q的因式分解
数学课上,老师展示了一道题:试把多项式2x2+5x+3分解因式.
阿静是这样分析的:先把二次项系数2写成a1×a2,将其可能的一组数 分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再把常数项3写成c1×c2,将 其可能的一组数分别写在十字交叉线的右上角和右下角,把每条线
(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖.孩
子们第三天得到的糖块总数(a+b)2表示a,b两个数的和的平方,利
用多项式乘多项式法则,可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2.
知识点 完全平方公式
完全平方公式可以简单概括为:“首平方,尾平方,积的 2倍夹中央”.
法
一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,
科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此细菌.要将
1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂1012÷109滴,而
1012÷109= 1012 =
=10×10×10=1000(滴).
也可以这样算1:1009 12÷109=(109×103)÷109==103=1000(滴).
的面积差时,尤进利用了平方差公式对两个
式子进行了因式分解,从而计算出结果.
思齐的手帕 思齐的手帕
亚男的手帕 亚男的手帕
知识点 分组分解法
在一节数学活动课上,老师给出了一道这样的题:把多项式3x36x2-x+2分解因式,佳伊和晓杰两位同学有两种不同的解法:
从上面的解题过程来看,佳伊和晓杰都是把四项式分解成两组 整式乘积的形式,这种方法就是分组分解法因式分解.

新
计算(jì(1su)àn) (a－b)2 (a－b).
(2) (x+y) 3× (x+y).
(3) (b－ a)2(a－ b).
(4) (x- y) 3 × (y-x)3
解: (1) (a－b)2 (a－b) = (a－b)2+1 = (a－b)3 .
(2) (x+y)3×(x+y)= (x+y) 3+1= (x+y)4 .
教学课件。数学 七年级下册 沪科版。回顾 思考。(-3)4 表示 ____ 个 ____ 相乘
(xiānɡ chénɡ),等于_______。25×22 = (
) ×(
)。a × a × a × a × a。
No am ·an =。(3) a ·a6 =。解:(1) b5 × b =。(3) -a2 ·a6 =
第七页，共十四页。
活动(huó
3 例1 计算下列(xiàliè)各式,结果用乘方的形式表示.
dòng)
(1) 54 × 53
(2)(1/2)2 × (1/2)3
(3) a ·a6 ； (4) x 2 ·(- x )5 ； (5) 2× 24× 23 ； (6) xm ·x3m+1 ；
a = a1
解: (1) 54 × 53 =53+4=57 (2)(1/2)2 × (1/2)3 = (1/2)2+3 = (1/2)5
于 - 8_______;
(-3)4 表示 ___4_ 个 ____-3相乘,等于______8_1;
12/11/2021
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活动 1 (huó dòng)
问题(wèntí)：一种电子计算机每秒可进行1014 次运

（3） x4 –1
完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
因式分解—公式法
把乘法公式反过来用,可以把 符合公式特点的多项式因式分解, 这种方法叫公式法.
乘法公式反过来
(1) 平方差公式：
a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
平方差公式反过来就是说：两个数的平方 差，等于这两个数的和与这两个数的差的 积
a²- b²= (a+b)(a-b)
将下面的多项式分解因式
1) m²- 16
2) 4x²- 9y²
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4)
a² - b²= ( a + b)( a - b )
4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
例1.把下列各式分解因式 ( 1 ) 4x²- m²n² （2) –9x²+ 4
首2 2首尾尾2
现在我们把这个公式反过来

很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了。
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
把下列各式分解因式

解： x3 y x2 y2 xy3 y4
y(x3 x2 y xy2 y3)
y[( x3 x2 y) (xy2 y3)] y[x2 (x y) y2 (x y)] y(x y)( x2 y2 ) y(x y)(x y)(x y)
y(x y)2(x y)
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
针对训练 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
有公因式要先 提公因式
(2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
8.4 因式分解
3.分组分解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
回顾与思考
因式分解：
ma mb m(a b)
m(a b) 2(a b) (a b)(m 2)
思考： 四项式ma mb 2a 2b又如何分解？
讲授新课
一 利用分组法因式分解
合作探究
因式分解： ma mb 2a 2b
(x y)(x y) a(x y) (x y)(x y a)
小结：分组后再用公式法
例2 分解因式（2）a2 2ab b2 c2
解： a2 2ab b2 c2 (a2 2ab b2) c2
(a b)2 c2
[(a b) c][(a b) c]
(a b c)(a b c)
解：根据题意，得 6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2 ＝6.82－3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2) 答：剩余部分的面积为36 cm2.

待定系数法
待定系数法：就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数 可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒 等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
例 待定系数法分解因式：x3－1 设 x3－1 =((xx－+a1)) (x2+bx+1c) x3－1 = x3+(b－1)x2 +(1－b)x －1
a1c2y＋a2c1y＝by
口诀: 首尾分解，交叉相乘，求和凑中
例 把x2＋7x＋10分解因式．
常数项
二次项系数为1
分解
x2＋7x＋10
一次项系数7
10＝1×10 10＝(－1)×(－10) 10＝2×5 7＝2＋5 10＝(－2)×(－5)
x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
解析 二次三项式：x2＋7x＋10
分解二次项系数
分解常数
1
p
1
q
1×q＋1×p ＝p＋q
二次项系数不为1型
ax2＋bx＋c ＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
分解二次项系数
分解常数
a1
c1
a2
c2
a1c2＋a2c1＝b
两个字母型
ax2＋bxy＋cy2 ＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)
分解二次项系数
分解常数
a1
c1y
a2
c2y
＝x(x2－3x－4)＋4(x＋1)
＝x(x－4)(x＋1)＋4(x＋1)
＝(x＋1)(x2－4x＋4)＝(x＋1)(x－2)2
例 分解因式：x3－3x2＋4． x3－3x2＋4
拆二次项