2）相同代数性质的代数系统
引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相 同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
例如 代数系统 V ＝ < S ， * > ， 其中 * 是一个可结合的二元运算 就代表了一类特殊的代数系统——半群．
许多具体的代数系统，如<Z，十，0>，<R，+，0>， <M(R)，*，E> ， <P(B)，∪，Φ>等都是同类型代数系统（半群）
5、有限集合上的运算 （可用一个表格来表示运算的过程和结果） 设 S={a1,a2,a3.a4,a5} , *为其上的二元运算 则该运算可用表来表示：中间是运算结果，运算次序为行标为先列标后 ＊ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 运算可以推广为n元运算（操作）
二、二元运算的一般性质（运算律） １、交换律 定义9．3 设＊为S上的二元运算． 如果对于任意的x，y∈S都有 x＊y = y＊x 则称运算＊在S上是可交换的，或者说运算＊在S上适合交换律。 2、结合律 定义9．4 设＊为S上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈S都有: (x＊y) ＊z = x＊(y ＊z) 则称运算 ＊在S上是可结合的，或者说运算 ＊在S上适合结合律． 3、等幂律 定义9．5 设 ＊为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S都有 x＊x＝x 则称该运算 ＊适合幂等律． 如果S中的某些x满足x＊x=x，则称x为运算＊的幂等元． 如果S上的二元运算＊适合幂等律，则S中的所有元素都是幂等元．
例1：对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出 它的单位元，零元和所有可逆元素的逆元． (1) Z＋（非负整数），∀x，y∈Z＋，x ＊y =lcm(x，y)， 即*为求x和y的最小公倍数． 解：＊可交换、可结合、幺元为1、任何元素是等幂元 无零元、无可逆元 例2：设A＝｛ a , b, c ｝, A上的三个二元运算 * o • 如表所示 * a b c o a b c • a b c
＊：满足交换律、结合律、消去律、幺元为a、无零元、每个元素可逆。 o ：满足交换律、结合律、等幂律、幺元为a、零元b、 a可逆 • ：满足结合律、等幂律、无零元、每个元素不可逆 注：用运算表给出的二元运算中各种特殊元素的特点： 交换律：关于主对角线对称 等幂律：主对角线元素与行列标相同 幺元：所在行列元素分别与列行标相同 零元：行列与行列标相同 可逆元：表中的幺元所对应的行列标元素互为可逆元
a a b c a a b c a b b c a b b b b b c c a b c c b c c 如何从运算表中得到运算的运算律及特殊元素
(1)说明 ＊ o
a a a
b b b
c c c
和•运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律． 和•运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元．
(2)求出关于＊ o
3、可逆元 1）定义: 设ㅇ为S上的二元运算，e∈S为ㅇ运算的单位元 对于x∈S，如果存在yl∈S (或yr∈S) 使得 ylㅇx = e (或xㅇyr = e) 则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)． 若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y是x的逆元． 如果x的逆元存在，则称x是可逆的． 2)实例： 3)可逆元的不唯一性 逆元和单位元、零元不同．如果单位元或零元存在，一定是惟 一的．换句话说，整个集合只有一个．而逆元能否存在，还与 元素有关．有的元素有逆元，有的元素没有逆元，不同的元素 对应着不同的逆元． （整数集合中对加法运算来说，每个整数均为可逆元） 4）可逆元的逆元唯一性 定理9．4 设＊为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元， 对于x∈S,如果存在左逆元yl和右逆元yr， 则有 yl = yr = y 且y是x的惟一的逆元．
4、分配律 定义9．6 设 ＊和 o 是S上的两个二元运算， 如果对任意的x，y，z∈S有 x＊(y o z)＝(x＊y) o(x＊z) (左分配律) (y o z) ＊ x = (y＊x) o(z＊x) (右分配律) 则称运算＊对 o 是可分配的，也称＊对 o 适合分配律．
5、吸收律 定义9．7 设 o 和＊是S上两个可交换的二元运算， 如果对于任意的x，y∈S都有 x＊(x o y)＝x x o(x＊y)= x 则称o和＊满足吸收律． 实例： 命题的析取和合取运算（集合的交、并运算） 三、二元运算中的特殊元素 1、单位元（幺元） 1）左、右单位元和幺元定义 定义9．8 设＊为S上的二元运算，如果存在el(或er)∈S使得 对任何x∈S都有: el＊ x = x (或x＊ er = x) 则称el(或er)是S中关于＊运算的一个左单位元(或右单位元)． 若e∈S关于运算＊既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于＊运算 的单位元． 单位元也可以叫做幺元． 幺元的实例：实数加法中的0，实数乘法中的1，实矩阵乘法中的单位矩阵 集合并运算中的空集，集合交运算中的全集， 可逆函数的复合运算中的恒等函数等均为幺元 2）单位元的唯一性 定理9．1 设 o 为S上的二元运算， el，er分别为运算 o的左单位元和右单位元 则有 el ＝ er ＝ e 且e为S上关于o运算的惟一的单位元．
2、零元 1)定义9．9 设 o 为S上的二元运算， 若存在元素θl(或θr)∈S使得对于任意的x∈S有： θl o x = θl (或x o θr ＝θr) 则称θl(或θr)是S上关于 o 运算的左零元(或右零元)． 若θ∈S关于 o 运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于 o 运算的零元． 2)零元实例 3）性质: 零元的唯一性 定理：设o为S上的二元运算，θl和θr分别为ㅇ运算的左零元和右零元， 则有 ：θl ＝ θr ＝ θ 定理：设 ㅇ为S上的二元运算，e和θ分别为ㅇ运算的单位元和零元． 如果S至少有两个元素，则e ≠θ
3、一元运算 定义9．2 设S为集合 函数f：S → S称为S上的一个一元运算，简称为一元运算．
一元运算实例
4、用算符来表示一元运算．若f：S → S为S上的一元运算， 则f(x)＝y可以用算符 ＊ 记为 ＊(x) ＝y 或 ＊x ＝ y 其中x是参加运算的元素，y为运算的结果． 例如上面的相反数 -x 、集合A的绝对补集～A ，¬ p 都是上述表示形式， 其中的 - 、～ 、 ¬ 都是算符．
定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值叫做运算的元数。 3． 载体的特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等
代数通常用由载体、运算和特殊元素组成的n重组表示
9、2
代数系统
1、定义9．12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组成的系 统称为一个代数系统，简称代数，记作： < S ，f1，f2，…，fk > ．
注：同类型的代数系统并不是说它们的代数性质相同，仅说明它们的代数成分相 同。 如上面的VI与V2的代数性质是不相同的，而V2与V3的代数性质是相同的。 通常我们不去研究单个具体的代数，而是一个种类一个种类地去研究代数 什么样的两个代数算是同一种类的？ 1：要有相同的构成成分 如果两个代数包含有同样个数的运算和常数且对应运算的元数相同，则称 两个代数有相同的构成成分 两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系 2：要有一组相同的称为公理的性质(运算律） 每一公理是用载体元素和代数运算的符号写成的方程（前面关于运算律的表 示方法） 具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数称为同种类的 对同一种类的代数，根据它的公理集合推出的一切定理对该种类的一切代数 都成立
例如 <N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， 其中+和· 分别表示普通加法和乘法． < M(R)，+， * > 是代数系统， 其中 + 和 * 分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法
< Zn ，+ ，* > 是代数系统， 其中Zn ＝ { 0，1， 2 ，… n-1 }， + 和 * 分别表示模n的加法和乘法， 对于∀x，y∈Zn ，x + y = ( x+y) mod n x * y = ( x y ) mod n <P(S)，∪，∩，～ > 也是代数系统， 其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算～ 2、代数系统中的特殊元 在某些代数系统中存在着一些特定的元素，它对该系统的一元或二元运算 起着重要的作用。例如二元运算的单位元和零元． 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常 数列到系统的表达式中 3、同类型的代数系统 定义9．13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代 数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它 们是同类型的代数系统． 如：代数系统 V2 ＝ < P(S)，∪，∩，一，ø ，S > V1 ＝ < R ，＋ ，＊，一，0 ，1 > V3 ＝ < 命题公式集合，∧，∨，┓，F ，T > 均为同类型的代数系统
4、消去律 1) 定义9．11 设＊为S上的二元运算， 如果对于任意的x，y，z∈S满足以下条件： (1) 若x * y = x * z 且x ≠ 0，则 y = z ； (2) 若y * x =z * x 且x ≠ 0 ，则 y = z ； 那么称 * 运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作右消去律． 注: 被消去的x不能是运算的零元0 ． 2) 例：整数集合上的加法和乘法都满足消去律． 幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律． ∀A，B，C∈P(S)，由A∪B＝A∪ C B与C有什么关系 不一定能得到B＝C． 对称差运算满足消去律．⊕ 运算不存在零元， ∀A，B，C∈P(S)，都有 A ⊕ B＝ A ⊕ C ＝> B＝C B ⊕ A ＝ C ⊕ A => B＝C
代数或叫代数系统。研究代数的科学常称为“近世代数”或“抽象代数”。 它应用抽象的方法，研究我们将要处理的数学对象集合上的关系或运算(也是一种关 系)。事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称：代数结构。
