四川省绵阳市三台县2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(Word版含答案)

2016-2017学年度第二学期期中考高一年级数学试题卷考试时间：120分钟；满分：150分；命题人：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案．．．．．．填涂．．在答题．．．卷．上．）．1.设全集U=A ∪B={1，2，3，4，5}，A ∩（∁U B ）={1，2}，则集合B=（ ） A ．{2，4，5}B ．{3，4，5}C ．{4，5}D ．（2，4）2.过点M （﹣3，2），N （﹣2，3）的直线倾斜角是（ ） A．B．C． D．3.函数3()3f x x x =+-的零点落在的区间是（ ）[].0,1A [].1,2B [].2,3C [].3,4D4.计算sin105°=（ ） A．B．C．D．5.函数)32sin(π+=x y 的图像( )A.关于点)0,3(π对称， B.关于直线4π=x 对称， C.关于点)0,4(π对称， D.关于直线3π=x 对称6.要得到函数cos 23y x π=+（）的图像，只需将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度7.已知523cos sin =+x x ，则sin 2x =（ ） A ．1825 B ．725 C ．725- D ．1625-8.已知2sin α＋cos α＝102，则tan2α＝（ ） A ．34 B ．43 C ．－34 D ．－439.函数y ＝2cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 10.函数)2cos(62cos )(x x x f ++-=π的最小值为 （ ） A ．211-B ．27C ．5-D ．7 11.设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ； ②若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m ∥n 则α∥β； ③若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①④ 12.已知],1,1[-∈x 则方程x xπ2cos 2=-所有实根的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案．．．．．．写．在答题．．．卷．上．）． 13.已知,3tan =α则=+）（4tan πα14.经过点)0,1(-，且与直线y x +＝0垂直的直线方程是15.已知函数若对任意x 1≠x 2，都有成立，则a 的取值范围是16.设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= 。

高2016级第二学期3月月考数学试题满分为150分.考试用时120分钟.一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中正确的是（A ）若||||b a=，则b a = （B ）若||||b a>，则b a >（C ）b a =，则b a //（D ）c b b a//,//，则c a //2．下列向量中，能作为表示它们所在平面的内所有向量基底的是A. )2,1(),0,0(==B. )2,1(),7,5(-==C.)10,6(),5,3(==b aD.)43,21(),3,2(-=-=b a3.设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x 为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）π1254.已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a = ，||5b =，则2a b - 在a 方向上的投影为A ． 32 B ．2 C ．52D ．35.由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是 A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列6．已知向量()2,8a b +=- ，()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为A ．6365 B ． 6365- C ． 6365± D ． 5137．已知向量)8,(),,2(x b x a ==→→，若||||→→→→⋅=⋅b a b a ，则x 的值是 A.4-B.4C.0D.168.在∆ABC 中，B=450，c=22,b=334，则A 等于 A.600B.750C.150或750D.750或10509 .钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=或10．正方形ABCD 的边长为1，记→AB ＝→a ，→BC ＝→b ，→AC ＝→c ，则下列结论错误．．的是 A ．(→a －→b )·→c ＝0 B ．(→a ＋→b －→c )·→a ＝0C ．(|→a －→c |－|→b |)·→a ＝0 D ．|→a ＋→b ＋→c |＝22 11．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形. 上述命题正确的是A.①②B.①④C.②③D.②③④12．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e|≥|a －e |，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )二．填空题： 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．13．已知),5,0(),1,2(21P P -且点P 在线段21P P 的延长线上，且||2||221PP P P =, 则点P 的坐标是___________________。

四川省三台中学2016-2017学年高一下学期第三次月考（6月）地理试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷本卷共40小题。

每小题1.5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

中国农业区划委员会对我国各地的农业自然资源生产潜力进行了深入研究，计算出我国热带、中亚热带、北温带和青藏地区的最大可能人口密度数据.据此完成1～2题。

1. 表中代表中亚热带的最有可能是A.甲B.乙C.丙D.丁2. 影响丙、丁两地人口容量差异的最主要因素是A.热量B.光照C.面积D.水源读我国某村人口年龄结构金字塔，完成3～4题。

3. 图示反映该村A.位于浙江省沿海地区B.环境优美，迁入人口多C.医疗卫生水平高D.受经济因素影响人口迁移率高4. 该村人口现状可能给当地带来的问题有①养老服务难以保障②加重就业负担③劳动力短缺④土地养老杯水车薪⑤使环境人口容量降低A.①②③B.①③④C.②③④D.③④⑤读珠江三角洲主要城市的等级规模图，完成5～6题。

5. 与佛山市相比，中山市①城市规模小②城市级别高③服务种类少④服务范围大A．①② B．①③ C．②④ D．③④6. 广州市与北京市的传统建筑风格迥异，反映出两地具有不同的A．消费水平 B．地域文化 C．功能分区 D．资源条件下图为我国黄土高原某省会的城市功能分区示意图。

读图完成7～9题。

7. 图中甲、乙、丙、丁分别表示A．住宅区、行政区、工业区、文教区 B．商业区、住宅区、行政区、工业区C．工业区、商业区、住宅区、绿地 D．住宅区、商业区、工业区、绿地8. 图中最适宜建钢铁厂的是A．a B．b C．c D．d9. 图中农田区容易出现的环境问题有①水土流失②地下水漏斗③塑料薄膜污染④大气污染A．①③ B．②③ C．①④ D．②④下图为浙江某沿海港口城市规划示意图。

四川省绵阳市2016-2017学年高一3月月考数学试卷(第Ⅰ卷)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 000015sin 45cos 15cos 45sin -的值为( ) A.21 B. 21- C. 23 D.23-2. 在△ABC 中,3=a ，7=b ，2=c ，那么B 等于（ ）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°3.等比数列{}为则中已知153,9,1a a a a n ==( ) A.31 B.13- C.91 D.19-4. 函数22()cos sin f x x x =-是（ ）A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数 5.已知）（则A A A +=+-4tan ,5tan 1tan 1π的值为（ ） A.5- B.5 C.55-D.556.在等差数列{}n a 中，已知则该数列的前,1684=+a a 11项的和11S =（ ） A.58 B.88 C.143 D.1767.在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135° 8.已知等差数列5，247，437，…的前n 项和为n S ，当n S 取最大值时，n=（ ） A.6 B.6或7 C. 7 D. 7或8 9. 在ABC ∆中，cos cos a c A a C =+,则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 10. 函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为（ ）A.[—2 ,2]B.[] C.[—1,1] D.[]11.已知{}()n b n N *∈是单调递减数列,{}n a 是等差数列，{}n b 通项公式为27n b n a n λ=+⋅．若311,a a 是方程220x x --=的两根，则实数λ的取值范围是( ) A.1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭12.设ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则B CBA C Acostan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ） A. B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-215,215 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+215,0 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,215（第Ⅱ卷）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上.） 13.sin15cos15= ． 14.已知数列{}n a 满足()111111,4n n a n a a -=->=-,则2016a = . 15.钝角ABC ∆的面积是12，1,AB BC ==则AC = . 16. 如图所示，第n 行首尾两数均为n ，中间每个数等于上一行 “肩上”两个数的和，则第n 行（n>1）的第二个数是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．(本题满分10分) （I ）已知1sin cos sin 5ααα=—,求2的值 （II ）设数列{}n a 的前n n a n n S n ，求项和22-+=12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 …………18、（本题满分12分）（I ）化简：01sin10（II ）已知x x x 2sin ,1312)602cos(,10560求-=+<<O O O 的值。

2016-2017学年四川省绵阳市三台中学高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）三角形ABC中，﹣＝（）A．2B．2C．D．2．（4分）已知a，b∈R，下列结论成立的是（）A．若a＜b，则ac＜bcB．若a＜b，c＜d，则ac＜bdC．若a＜b＜0，则＞D．若a＜b，则a n＜b n（n∈N*，n≥2）3．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝34，则a1＝（）A．1B．2C．3D．44．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（）A．60°B．45°C．30°D．90°5．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αD．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．157．（4分）在△ABC中，已知A＝30°，C＝45°，a＝2，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．8．（4分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏9．（4分）在锐角三角形ABC中，BC＝3，AB＝4，则AC的取值范围是（）A．B．C．D．10．（4分）如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为45°，则点C到平面C1AB的距离为（）A．1B．C．D．11．（4分）设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1D．412．（4分）在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2＝a n（S n﹣1），设b n＝log2，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n≥6的最小正整数n是（）A．10B．11C．12D．9二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）已知向量，，∥（+），则m＝．14．（3分）已知向量，，其中，，且，则＝．15．（3分）如图是正方形的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与面BEM平行；③BN与面ADNE所成角的正切值是；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是．16．（3分）在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝，cos ∠C＝，则AC+BC＝三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知，，函数．（Ⅰ）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若锐角A满足，求∠A的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＝7，且，求△ABC的面积．18．（10分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．19．（10分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．证明：（1）EE1∥平面FCC1．（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（n﹣1）（S n+2）﹣T n ＜t+对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年四川省绵阳市三台中学高一（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）三角形ABC中，﹣＝（）A．2B．2C．D．【解答】解：三角形ABC中，﹣＝．故选：C．2．（4分）已知a，b∈R，下列结论成立的是（）A．若a＜b，则ac＜bcB．若a＜b，c＜d，则ac＜bdC．若a＜b＜0，则＞D．若a＜b，则a n＜b n（n∈N*，n≥2）【解答】解：对于A，当c≤0时，不成立，对于B，当a＝﹣2，b＝1，c＝﹣3，d＝2，时，则不成立，对于C．根据不等式的性质，a＜b＜0，两边同时除以ab，即可得到＞，即则成立，对于D，当a＝﹣2，b＝1，n＝2时，则不成立，故选：C．3．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝34，则a1＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3＝a2+10a1，a5＝34，∴3a1+3d＝11a1+d，a1+4d＝34，则a1＝2．故选：B．4．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（）A．60°B．45°C．30°D．90°【解答】解：连接AB1∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，∴EF∥AB1∵AB∥CD∴∠B1AB为EF和CD所成的角，为45°故选：B．5．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αD．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α【解答】解：对于A，由n∥α可知存在直线a⊂α，使得a∥n，故当m为α内与a垂直的直线时，显然m⊥n，m⊂α，故A错误；对于B，设α∩β＝a，则当m为α内与a平行的直线时，m∥β，m⊂α，故B错误；对于C，设α∩β＝a，则当m为β内与与a平行的直线时，m∥α，故C错误；对于D，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，故m⊥α，故D正确．故选：D．6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．15【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，∴侧面为（4）×2＝8，底面为（2+1）×1＝，故几何体的表面积为8＝11，故选：B．7．（4分）在△ABC中，已知A＝30°，C＝45°，a＝2，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC中，已知A＝30°，C＝45°，所以B＝180°﹣30°﹣45°＝105°．因为a＝2，也由正弦定理，c＝＝＝2．所以△ABC的面积，S＝＝＝2＝2（）＝1+．故选：B．8．（4分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解答】解：设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选：B．9．（4分）在锐角三角形ABC中，BC＝3，AB＝4，则AC的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：BC＝3，AB＝4，由于A，B，C均为锐角，当AC为最大边时，cos B＝＝＞0，可得：AC＜5，当AB为最大边时，cos C＝＝＞0，可得：AC＞，∴AC∈（，5），故选：B．10．（4分）如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为45°，则点C到平面C1AB的距离为（）A．1B．C．D．【解答】解：不妨设AB＝2，取AB的中点O，连接CO，OC1．则OC⊥AB．∵CC1⊥平面ABC，∴AB⊥OC1．∴∠COC1是二面角C﹣AB﹣C1的平面角，大小为45°．则OC＝＝CC1．设点C到平面C1AB的距离为h，则＝＝，解得h＝＝．故选：D．11．（4分）设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1D．4【解答】解：∵＝ax+by，∴设z＝ax+by，则z的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝ax+by，得y＝，由图象可知当直线y＝，经过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最大（∵b＞0），由，解得，即A（8，10），代入z＝ax+by，得40＝8a+10b，即，∴＝（）（）＝1+，当且仅当，即4a2＝25b2，2a＝5b时取等号，∴的最小值为，故选：B．12．（4分）在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2＝a n（S n﹣1），设b n＝log2，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n≥6的最小正整数n是（）A．10B．11C．12D．9【解答】解：在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2＝a n（S n﹣1），∴S n2＝（S n﹣S n﹣1）（S n﹣1），化为：﹣＝1．∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴＝1+（n﹣1）＝n，解得：S n＝．∴b n＝log2＝，数列{b n}的前n项和为T n＝+++…++＝＝．由T n≥6，即≥6，解得（n+1）（n+2）≥27，令f（x）＝x2+3x﹣126＝﹣128﹣，可得：f（x）在[1，+∞）上单调递增．而f（9）＝﹣19＜0，f（10）＝4＞0，若x∈N*，则n≥10．则满足T n≥6的最小正整数n是10．故选：A．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）已知向量，，∥（+），则m＝3．【解答】解：＝（4，1+m），∵∥（+），∴1+m＝4，解得m＝3．故答案为：3．14．（3分）已知向量，，其中，，且，则＝．【解答】解：∵向量，，其中，，且，∴（+）•＝+＝0，∴＝﹣＝﹣1．∴（）2＝＝1﹣4×（﹣1）+4×4＝21．∴＝．故答案为：．15．（3分）如图是正方形的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与面BEM平行；③BN与面ADNE所成角的正切值是；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是①②③④．【解答】解：将展开图还原成立体图形，可得如图所示的正方体对于①，BM与ED是位于正方体的左、右侧面内的异面的面对角线，故正确；对于②，CN与面BEM内的直线BE平行，根据判定可得CN与面BEM平行，故正确对于③，∠BNA就是BN与面ADNE所成角，其正切值为＝，故正确对于④，DM⊥平面BCNE，所以DM与BN垂直，故正确；故答案为：①②③④．16．（3分）在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝，cos∠C＝，则AC+BC＝3【解答】解：∵BD＝2DC，∴设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，∵cos∠DAC＝，cos∠C＝，∴sin∠DAC＝，sin∠C＝，则由正弦定理得，即，即y＝，sin∠ADB＝sin（∠DAC+∠C）＝×+×＝，则∠ADB＝，，在△ABD中，，即2＝4x2+2x2﹣2×＝2x2，即x2＝1，解得x＝1，即BD＝2，CD＝1，AD＝在△ACD中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD cos＝2+1﹣2×＝5，即AC＝，则AC+BC＝3，故答案为：3三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知，，函数．（Ⅰ）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若锐角A满足，求∠A的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＝7，且，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）＝＝＝，由，又∵A为锐角，∴，（Ⅱ）由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc＝40．则．18．（10分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．【解答】解：设矩形休闲广场的长为x米，∵矩形休闲广场的占地面积为2400平方米故矩形休闲广场的宽为米由于道路的宽度均为2米故绿化区域的面积y＝（x﹣6）（﹣4）＝2424﹣（4x+）≤2424﹣2＝2424﹣480＝1944当且仅当4x＝，即x＝60时取等，此时＝40即矩形休闲广场的长和宽分别为60米和40米时，才能使绿化区域的总面积最大，最大面积为1944平方米．19．（10分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．证明：（1）EE1∥平面FCC1．（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．【解答】证明：（1）证法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1F1，因为平面FCC1F1即为平面C1CFF1，连接A1D，F1C，由于A1F1和D1C1和CD平行且相等．所以四边形A1DCF1为平行四边形，因为A1D∥F1C．又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1F1，F1C⊂平面FCC1F1，故EE1∥平面FCC1F1．证法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD∥AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1F1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1F1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．（2）证明：连接AC，连△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB，因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC．又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（n﹣1）（S n+2）﹣T n ＜t+对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，故数列{a n}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴T n＝b1+b2+…+b n＝（2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣（1+2+…+n）令，则，两式相减得＝，∴，故T n＝b1+b2+…+b n＝，又由（Ⅰ）得，，不等式即为（n﹣1）2n+1﹣（n﹣1）2n+1﹣2+，即为对任意n∈N*恒成立．设，则，∵n∈N*，∴，故实数t的取值范围是．。

高一下学期期中考试数学试题一、选择题1．已知集合{}{|13},2,P x x Q x x =<<=，则P Q ⋂=（ ） A. ()1,3 B. ()2,3 C. ()1,2 D. ()2,+∞ 【答案】B【解析】因为{}{|13},2,P x x Q x x =<<=所以{}()x|2<x<32,3P Q ⋂==，故选B.2．已知1sin cos 5αα+=，则sin2α=（ ） A. 2425- B. 2425 C. 1225- D. 1225【答案】A【解析】1sin cos 5αα+= ，则两边平方得112sin cos 25αα+= ，即24sin225α=- ，故选A.3．已知向量()()1,,2,1a m b ==- ，且a b，则m =（ ）A. 12-B. 12 C. 2 D. 2- 【答案】A【解析】根据题意，向量()()1,,2,1a m b ==- ，若a b，则有()211m ⨯=⨯- ，解可得12m =- ，故选A.4．在数列{}n a 中， 1111,12n na a a +==-，则5a =（ ）A. 2B. 3C. 1-D. 12【答案】C 【解析】()234123*********,1112,1122a a a a a a =-=-=-=-=--==-=-= , 数列{}n a 是周期为3 的周期数列， 521a a ∴==- .故选C. 5．在下列区间中，函数()2ln f x x x=-的零点所在大致区间为（ ） A. ()1,2 B. ()2,3 C. （3,4） D. （,3e ） 【答案】B【解析】对于函数()2ln f x x x=-在()0,+∞ 上是连续函数，由于()()22ln210,3ln303f f =-=-，故()()230f f < ，故函数()2ln f x x x =-的零点所在的大致区间是()2,3 ，故选B.6．下列命题正确的是（ ）A. 若AC BC >，则a b >B. 若a b >， c d >，则ac bd >C. 若a b >，则11a b< D. 若22ac bc >，则a b >【答案】D【解析】因为AC BC >与a b > 没任何关系，所以A 错误；当0,0a b c d >>>> 时， ac bd < ，故B 错误；若0a b >>或0a b >> 则11a b < ，但0a b >> 时， 11a b > ，故C 错误；若22ac bc >，则2222,c a c b c c> ，则a b > ，即D 正确，故选D.7．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ．若2a =， c =cos 2A =，且b c <，则b =（ ）A. B. 2 C. D. 2或4【答案】B 【解析】在ABC∆ 中，由余弦定理得(2222222cos ,22?a b c bc A b b =+-∴=+-，2680,2b b b ∴-+=∴= 或4,,2b b c b =<∴= ，故选B.8．等差数列{}n a 中， 12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项的和20S =（ ）A. 160B. 180C. 20D. 220【答案】B 【解析】12318192024,78a a a a a a ++=-++= ， ()120219318120543a a a a a a a a ∴+++++==+，()1201202020181802a a a a S +∴+=∴== ，故选B.9．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列关于函数()y f x =的说法正确的是（ ） A. 奇函数 B. 周期是2π C. 关于直线12x π=对称 D. 关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到函数()sin 2sin 2cos2662y f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，可得函数()y f x =是偶函数且周期为π ，所以选项A 、B 错误，又04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选D.10．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,2cos b c A c b A ==，则ABC ∆的形状为（ ）A. 直角三角型B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】因为在ABC ∆ 中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,2cos b c A c b A == ,所以2cos 2cos b c A c b A= ，所以,b c = ，可得1cos ,602A A == ，所以三角形是正三角形，故选C. 【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、特殊角的三角函数以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 11．已知定义在R 上的函数()112x mf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m 为实数）为偶函数，记12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()()2log 5,2b f c f m ==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. b c a <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】A【解析】()f x 为偶函数； ()()11;1122x mx mf x f x ---∴-=∴-=- ；()()22;;0,0x m x m x m x m mx m ∴--=---=-∴== ；()()11;2xf x f x ∴=-∴在[)0,+∞ 上单调递减，并且()()()()0.522log 3log 3,log 5,0a f f b f c f ====；220log 3log 5;f c a b ∴ ，故选A.【 方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间， ()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.12．定义在()1,1-上的函数()f x 满足： ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，有()0f x >，且112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．设*2111,2,5111m f f f n n N n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++≥∈ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则实数m 与1-的大小关系为（ ）A. 1m <-B. 1m =-C. 1m >-D. 不确定 【答案】C【解析】 函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，令0x y == 得()00f = ；令0x = 得()()(),f y f y f x -=-∴ 在()1,1- 为奇函数，单调减函数且在()1,1- 时， ()0f x > ，则在()0,1时， ()0f x < ，又211111111,1121111n n f f f f f n n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-+⎝⎭，2111...5111m f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭][][111111=...23341f f f f n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111211f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-->- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1m >- ，故选C. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.二、填空题13．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足1734a a ⋅=，则4a =__________．【解析】各项均为正数的因为{}n a 是等比数列，所以2174434a a a a ⋅==⇒=，又因为{}n a各项均为正数，所以4a =,故答案为14．若0,022ππαβ<<<<，且13tan ,tan 74αβ==，则αβ+的值为__________．【答案】4π【解析】由13tan ,tan 74αβ== 得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-13257411325174+===-⨯ ，0,0,022ππαβαβπ<<<<∴<+< ，则4παβ+= ，故答案为4π.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m ．【答案】【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填【考点】正弦定理及运用．16．下列说法中，正确的有__________．（写出所有正确说法的序号） ①已知关于x 的不等式220mx mx ++>的角集为R ，则实数m 的取值范围是04m <<．②已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等比数列．③已知函数()()()21log 1,0{433,0a x x f x x a x a x ++≥=+-+<（其中0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则1334x ≤≤．④已知0,1a b >>-，且1a b +=，则2221a b a b +++． ⑤在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，()1,0,1,1OB OC OD OB OC OD A ===++=则AD OB ⋅ 的取值范围是1122⎡--+⎢⎣． 【答案】④⑤【解析】对于①，0m = 时关于x 的不等式220mx mx ++>的解集也为R ， 所以①错；对于②当1q =- ， n 为偶数时，结论错误，故②错，对于③，()f x 是R 上的单调递减函数， ()2433y x a x a ∴=+-+ 在(),0-∞ 上单调递减， ()log 11a y x =++ 在()0+∞， 上单调递减，且()f x (),0-∞ 上的最小值大于或等于()34020.{0131af a a -≥∴<<≥ ，解得1334a ≤≤ ，作出()y f x = 和23x y =-的函数如图所示： ()23xf x =- 恰有两个不相等的实数解， 32a ∴< ，即23a < ，综上， 1233a ≤< .故③错；对于④；()()222212241381222644a a b aaa b aaa a a a -++-++=+==≥=+--⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭ ，故④正确；对于⑤，0OB OC OD ++=可得，()22222?OB OC ODOC OD OC OD =+=++，再由1OB OC OD === 可得,OC OD 的夹角为120︒，同理,OB OC 的夹角、,OB OD 的夹角都是120︒，设()cos ,sin D θθ ，则()()()cos 120,sin 120B θθ︒︒-- ,则()()()()()()cos 1,sin 1?cos 120,sin 120cos120120sin 120AD OB cos θθθθθθ︒︒︒︒︒⋅=----=----=，所以AD OB ⋅的取值范围是1122⎡--⎢⎣，故⑤正确，故答案为1122⎡--+⎢⎣. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断综合考查不等式、数列、函数、向量、三角函数以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 中， 579,13a a ==．等比数列{}n b 的通项公式1*2,n n b n N -=∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．【答案】（1）*21,n a n n N =-∈（2）221n n S n =+-【解析】试题分析：（I ）根据579,13a a ==列出关于1a 与d 的方程组，求出1a 与d 的值进而可得数列{}n a 的通项公式；（II ）由（I ）知，()1212n n n a b n -+=-+，利用分组求和法，分别求出等差、等比数列列的和即可得结果.试题解析：（I ）由题知517149{613a a d a a d =+==+=，解得11{2a d ==，所以*21,n a n n N =-∈.（II ）由（I ）知， ()1212n n n a b n -+=-+，所以()()()()0121123252212n n s n -⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()()()0112135212222n n -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦ ()()112121212nn n ⨯-⎡⎤+-⎣⎦=+-， 从而221n n S n =+-．【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式及利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18．已知向量()()sin ,1,1,cos ,22a b ππθθθ==-<<．（I ）若a b ⊥，求tan θ的值．（II ）求a b +的最大值．【答案】（1）tan 1θ=-（2）max1a b+=【解析】试题分析：（I ）根据已知a b ⊥ ，可得sin cos 0a b θθ⋅=+= ，进而可得结果；（II）()()222sin 11cos a b θθ+=+++ ,()32sin cos 34πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，根据三角函数有界性可得结果.试题解析：（I ）由题a b ⊥ ，所以sin cos 0a b θθ⋅=+=，从而tan 1θ=-.（II ）因()sin 1,1cos a b θθ+=++，所以()()222sin 11cos a b θθ+=+++ ,()32sin cos 34πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为22ππθ-<<，所以3444πππθ-<+<，从而(22max31a b+=+= ，所以max1a b+=19．已知()350,0,cos ,cos 22513ππαβαβα<<<<=+=． （I ）求sin β的值；（II ）求2sin2cos cos2ααα+的值． 【答案】（1）1665（2）12【解析】试题分析：（I ）根据()()()sin sin sin cos cos sin ββααβααβαα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦可得结果；（II ）由30,cos 25παα<<=，得4sin 5α=，进而利用正弦、余弦的二倍角公式可得结果.试题解析：（I ）由题知()412sin ,513sin αβα=+=．所以()()()1235416sin sin sin cos cos sin 13513565ββααβααβαα⎡⎤=+-=+-+=⨯-⨯=⎣⎦．（II ）因为30,cos 25παα<<=，所以4sin 5α=．所以22222432sin22sin cos 5512cos cos22cos sin 34255ααααααα⨯⨯===+-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/ h ）与汽车的平均速度()/v km h 之间的函数关系式为2240(0)201600vy v v v =>++． （I ）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/ h ，则汽车在平均速度应在什么范围内？（II ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ 【答案】（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/ h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于20/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/ h ）． 【解析】试题分析：（I ）直接列出关于汽车的平均速度()/v km h 的不等式求解即可；（II ）2240240160020160020v y v v v v==++++，根据基本不等式求解即可. 试题解析：（I ）由条件得22402201600vv v >++， 整理得到210016000v v -+<，即()()20800v v --<，解得2080v <<． （II ）由题知，22402402402.4160020160010020v y v v v v==≤==++++. 当且仅当1600v v=即40v =时等号成成立． 所以max 2.4y =（千辆/ h ）．答：（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/ h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于20/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/ h ）．21．设()2sin cos cos ,4f x x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）在锐角ABC ∆中， A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）24+【解析】试题分析：（I ）函数()f x 可化为1sin22x -，根据正弦函数的单调性求解即可；（II ）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭可得cos 2A =，再由余弦定理可得221b c =+，根据基本不等式可求得bc 的最大值，结果进而可得. 试题解析：（I）由题意知()1cos 2sin2sin21sin212sin222222x x x x f x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=-=-=-. 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（II ）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得到1sin 2A =，由题知A为锐角，所以cos A =． 由余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-，可得221b c =+.2212b c bc =+≥，则2bc ≤b c =时等号成立．因此1sin 2S bc A ∆=≤，所以ABC ∆． 22．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，点(),n n a S 都在函数()21122f x x x =+的图像上． （I ）求数列{}n a 的首项1a 和通项公式n a ；（II ）若数列{}n b 满足()()*22log log 21n n b n a n N =+-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（III ）已知数列{}n c 满足()*14616n n n n n c n N T a a +-=-∈-．若对任意*n N ∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()12n c c c f x a ++⋯+≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）n a n =（2）()16232n n T n +=+-⨯（3）1980a ≤【解析】试题分析：（I ）由点(),n n a S 都在函数()21122f x x x =+的图像上，可得21122n n n S a a =+，进而得21111122n n n S a a +++=+，两式相减可得结论.；（II ）由（I ）知n a n =，所以()*212,n n b n n N =-⋅∈，利用错位相减法可得结果；（III ）()146111621n n n n n n c T a a n n +-=-=--+，利用分组求和及裂项相消法可得1112n n M n =-+，进而利用不等式恒成立解答即可. 试题解析：（I ）由题知，当1n =时， 21111122S a a =+，所以11a =．21122n n n S a a =+，所以21111122n n n S a a +++=+，两式相减得到 ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为正项数列{}n a ，所以11n n a a +-=，数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =． （II ）由（I ）知n a n =，所以()*212,n n b n n N =-⋅∈， 因此()121232212n n T n =⨯+⨯++-⨯ ①，()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ②，由①-②得到()232112222222212n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()2112122221212n n n -+-=+⨯--⨯-()16322n n +=-+-⨯ 所以()16232n n T n +=+-⨯．（III ）由（II ）知()16232n n T n +=+-⨯，所以()146111621n n n n n n c T a a n n +-=-=--+11121nn n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭．令n M 为{}n c 的前n 项和，易得1112n n M n =-+． 因为12340,0,0,0c c c c =>>>，当5n ≥时，()()11112n nn n c n n ⎡⎤+=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得到()()51515122nn n +⨯+≤<，所以当5n ≥时，0n c <，所以441111412516n M M ≤=-=-+． 又11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ()21122f x a x x a -=+-的最大值为38a -．因为对任意的*n N ∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()n M f x a ≤-成立．所以1135168a -≤-，由此1980a ≤．【易错点晴】本题主要考查分组求和、裂项求和、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。

2016-2017学年四川省绵阳市三台中学高一（下）3月月考数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的一组基底的是（）A．B．C．D．3．设，且，则锐角α为（）A．B．C．D．4．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（）A．B．2 C．D．35．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列6．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．已知向量=（2，x），=（x，8），若•=||•||，则x的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．4或﹣48．在△ABC中，B=45°，c=，b=，则A等于（）A．60°B．75°C．15°或75°D．75°或105°9．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．110．正方形ABCD的边长为1，记，，=，则下列结论错误的是（）A．（﹣）•=0 B．（+﹣）•=0 C．（|﹣|﹣||）=D．|++|=11．在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④12．已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）二．填空题：每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．13．已知P1（2，﹣1），P2（0，5），且点P在线段P1P2的延长线上，且，则点P的坐标是．=，则a2017=．14．数列{a n}中，a1=2，a n+115．在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是．16．平面内有，且，则△P1P2P3的形状是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为．18．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），=（2，5），=（3，1），=（x ，3）．（1）若A 、B 、C 共线，求x 的值；（2）当x=6时，直线OC 上存在点M ，且⊥，求点M 的坐标．19．已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A （3，4），B （0，0），C （c ，0 ） （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围．20．△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若=x+y，则x +y 等于 ．21．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=2csinA ．（Ⅰ）确定角C 的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC 的面积为，求a +b 的值．22．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处（﹣1）海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．2016-2017学年四川省绵阳市三台中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A、由向量相等的定义判断出A不正确；B、根据向量不能比较大小推断出B不正确；C、由向量相等的定义判断出C正确；D、举特例，时，不正确【解答】解：A、由，得到大小相等，方向相同或相反，故A不正确；B、向量不能比较大小，B不正确；C、若，则大小相等且方向相同，则，C正确；D、时，不正确．故答案为C2．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的一组基底的是（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题考查平面向量基本定理，由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项【解答】解：A选项不正确，由于是零向量，选项中的两个向量一定共线，故不对；B选项正确，由于2×5+7=17≠0，故两向量不共线，可以作为平面内所有向量的一组基底；C选项不正确，由于，故两向量共线，不能作为基底；D选项不正确，由于，故两向量共线，不能作为基底综上，B选项正确故选B3．设，且，则锐角α为（）A．B．C．D．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量共线的充要条件列出关于角x的方程，利用三角函数的二倍角公式化简求出值．【解答】解：∵∴sin2x=1∵x是锐角∴x=故选B．4．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（）A．B．2 C．D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且||=2，||=5，∴（2﹣）•=2﹣•=2×22﹣5×2×cos60°=3，∴向量2﹣在方向上的投影为=．故选：A．5．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}的首项及公差，表示出新数列的通项公式b n，再求出b n﹣b n=2d，即判断出新数列是公差为2d的等差数列．+1【解答】解：设新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…的第n项是b n，则b n=a n+a n+3=2a1+（n﹣1）d+（n+2）d=2a1+（2n+1）d，﹣b n=2d，∴b n+1∴此新数列是以2d为公差的等差数列，故选B．6．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．7．已知向量=（2，x），=（x，8），若•=||•||，则x的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．4或﹣4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件，利用向量的数量积的坐标标运算和向量的模的计算公式能求出x的值．【解答】解：∵•=||•||=||•||cos＜，＞=||•||，∴cos＜，＞=1，即＜，＞=π，即向量=（2，x），=（x，8）共线且方向相反，即设=m，m＜0，则，解得，故选：A8．在△ABC中，B=45°，c=，b=，则A等于（）A．60°B．75°C．15°或75°D．75°或105°【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求sinC，结合范围C∈（0°，180°），可求C的值，利用三角形内角和定理可求A的值．【解答】解：∵B=45°，c=，b=，∴sinC===，∵C∈（0°，180°），∴C=60°或120°，∴A=180°﹣B﹣C=15°或75°．故选：C．9．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B． C．2 D．1【考点】HR：余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．10．正方形ABCD的边长为1，记，，=，则下列结论错误的是（）A．（﹣）•=0 B．（+﹣）•=0 C．（|﹣|﹣||）=D．|++|=【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】画出正方形ABCD，结合题意，逐一验证选项的正误，选出错误的选项．【解答】解：由题意画出正方形ABCD，（﹣）•=0显然正确；（+﹣）•=﹣=0，正确；（|﹣|﹣||）=0=，正确；|++|=2≠，错误．故选D．11．在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④【考点】9R：平面向量数量积的运算；94：零向量；9B：向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的运算法则；锐角三角形需要三个角全为锐角．【解答】解：由向量的运算法则知；故①错②对又∵∴即AB=AC∴△ABC为等腰三角形故③对∵∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形故选项为C12．已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）【考点】93：向量的模．【分析】对|﹣t|≥|﹣|两边平方可得关于t的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．【解答】解：已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|即|﹣t|2≥|﹣|2∴即故选C．二．填空题：每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．13．已知P1（2，﹣1），P2（0，5），且点P在线段P1P2的延长线上，且，则点P的坐标是（﹣1，8）．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，设P的坐标为（x，y），分析可得=2，由向量的坐标运算公式可得（﹣2，6）=2（x，y﹣5），解可得x、y的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（x，y），点P在线段P1P2的延长线上，且，则有=2，则有（﹣2，6）=2（x，y﹣5），解可得x=﹣1，y=8；即点P的坐标是（﹣1，8）；故答案为：（﹣1，8）．14．数列{a n}中，a1=2，a n=，则a2017=．+1【考点】8H：数列递推式．【分析】求关系式的倒数，得到新数列是等差数列，然后求解通项公式，求解即可．【解答】解：数列{a n}中，a1=2，a n+1=，可得，所以{}是以为首项，1为公差的等差数列，所以，可得a n=，则a2017=．故答案为：．15．在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是﹣2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，【解答】解：以OB和OC做平行四边形OBNC．则因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，（0≤x≤2）OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x（0≤x≤2）其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣216．平面内有，且，则△P1P2P3的形状是等边三角形．【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】设出坐标，根据坐标运算得到P1P2=P1P3=P2P3，即可判断三角形的形状．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），∵，∴，∵，∴，∴，∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=x32+y32，∴2x1 x2+2y1 y2=﹣1，∴p1p2==，P1P3=P2P3=，∴P1P2=P1P3=P2P3，∴△P1P2P3是等边三角形．故答案为：等边三角形．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为27．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】法一：由等差数列的性质可得a4=13，a5=11，进而可得a6，而a3+a6+a9=3a6代入可得答案；法二：由{a n}为等差数列可知，a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9也成等差数列，由等差中项可求．【解答】解：法一：因为a1，a4，a7成等差数列，所以a1+a7=2a4，得a4=13．同理a2+a8=2a5，得a5=11，从而a6=a5+（a5﹣a4）=9，故a3+a6+a9=3a6=27．法二：由{a n}为等差数列可知，三个数a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9也成等差数列，且公差d=33﹣39=﹣6，因而a3+a6+a9=33+（﹣6）=27．故答案为：2718．已知在直角坐标系中（O为坐标原点），=（2，5），=（3，1），=（x，3）．（1）若A、B、C共线，求x的值；（2）当x=6时，直线OC上存在点M，且⊥，求点M的坐标．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1）由A、B、C共线，即与共线，利用向量共线定理即可得出．（2）与共线，故设=λ=（6λ，3λ）．又⊥，可得•=0．即45λ2﹣48λ+11=0，解得或．即可得出．【解答】解：（1）∵A、B、C共线，即与共线，而=（1，﹣4），=（x﹣3，2），则有1×2+4×（x﹣3）=0．即x的值是x=．（2）∵与共线，故设=λ=（6λ，3λ）．又∵⊥，∴•=0．即45λ2﹣48λ+11=0，解得或．∴=（2，1）或=（）．∴点M坐标为（2，1）或（）．19．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．【解答】解：（1）根据题意，，，若c=5，则，∴，∴sin∠A=；（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；20．△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若=x+y，则x+y等于．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，由点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，可得G为△ABC的重心．因此=．即可得出．【解答】解：如图所示，∵点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，∴G为△ABC的重心．∴=．∴x+y=．故答案为：．21．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．（2）先利用面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理求得a2+b2﹣ab，最后联立变形求得a+b的值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，∵sinA≠0，∴在锐角△ABC中，．（2）∵，，由面积公式得，即ab=6①由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．22．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在△ABC 中利用余弦定理求得BC，进而在△BCD中，根据正弦定理可求得sin∠BCD的值，进而求得∠BDC=∠BCD=30°进而求得BD，进而利用BD=10t求得t．【解答】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，则有CD=，BD=10t．在△ABC中，∵AB=﹣1，AC=2，∠BAC=45°+75°=120°．根据余弦定理可求得BC=．∠CBD=90°+30°=120°．在△BCD中，根据正弦定理可得sin∠BCD=，∵∠CBD=120°，∴∠BCD=30°，∠BDC=30°，∴BD=BC=，则有10t=，t==0.245（小时）=14.7（分钟）．所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．2017年5月26日。

2016—2017学年高一（下）期中考试（数学）参考答案一、选择题（5*12=60分）1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A 10.C 11.D 12.D二、填空题（4*5=20分）13. 14.y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 15.;,k ∈Z 16. 三、解答题（70分）17.（10分）(1)因为0＜α＜，sin α＝， 故cos α＝，所以tan α＝． -------5分(2)cos 2α＋sin (＋α)＝1－2sin 2α ＋cos α＝1－＋＝．-----------5分18.（12分）解：（1）∵，的夹角为， ∴ ＝||•||•cos ＝， ……1分∴|-|2＝（-）2 ……2分＝2＋2 -2＝1＋3－3＝1， ……3分 ∴ ……4分（2）由得 ……6分由得 ……7分（3），．……8分又||＝1，||＝，．……9分． ……10分 ……没有此说明扣1分 ． ……12分19．（12分）解：（1）因为f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f （x ）＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12． 由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1．-------------------4 （2）由（1）知f （x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 所以g （x ）＝f （2x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12．当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1．因此1≤g （x ）≤1＋22． 故g （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1．-----------------------620．（12分）解:过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.设∠OAD=θ，则∠BAH=-θ，--------------------------2OA=2cos θ，--------------------------------------------------3BH=sin=cos θ， ---------------------------------------4AH=cos=sin θ，-----------------------------------------5所以B(2cos θ+sin θ，cos θ)，---------------------------7OB 2=(2cos θ+sin θ)2+cos 2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.------------------------------9由0<θ<，知<2θ+<，所以当θ=时，OB 2取得最大值7+4.---------------------------------------1221.（12分）解：(1)f(x)=m ·n =4sinxcosx+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.----3(2)由(1)，知f(x)=4sin ，x ∈[-π，π]，所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x ≤，所以函数f(x)的单调递增区间为.------------------------------7(3)当x ∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k 的零点讨论如下：当k>4或k<-4时，h(x)无零点，a=0；----------------------------------8 当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，a=1；-------------------------------10 当-4<k<-2或-2<k<4时，h(x)有两个零点，a=2；---------------------------11 当k=-2时，h(x)有三个零点，a=3.--------------------------------------1222.（12分）解：(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圆N与圆M外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.--------------------------------------------4(2)由题意得OA=2,k OA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离d=,则BC=2=2,BC=2,即2=2⇒b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-15.------------8(3)因为,所以,⇒,,根据||≤10,即≤10⇒t∈[2-2,2+2],所以t的取值范围为[2-2,2+2].对于任意t∈[2-2,2+2],欲使,此时||≤10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P,Q两点,此时,即,因此对于任意t∈[2-2,2+2],均满足题意,综上t∈[2-2,2+2].------------------------------------------12。

2016-2017学年高一（下）期中数学试卷文科注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|x 2+2x −3<0}则A ∩B =( )A. (−1，3)B. (−1，1)C. (−1，+∞)D. (−3，1)2. 若a >b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. 1a <1bC. a 3>b 3D. a 2>b 23. 已知{a n }是等差数列，且a 2+a 5+a 8+a 11=48，则a 6+a 7=( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 244. 设x ，y ∈R ，且x +4y =40，则lgx +lgy 的最大值是( ) A. 40 B. 10 C. 4 D. 25.某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为x 米和3千米，测得灯塔A 在观察站C 的正西方向，灯塔B 在观察站C 西偏南30∘，若两灯塔A 、B 之间的距离恰好为√3千米，则x 的值为( ) A. 3 B. √3 C. 2√3 D. √3或2√36.已知{a n }是等比数列，其中a 1，a 8是关于x 的方程x 2−2xsinα−√3sinα=0的两根，且(a 1+a 8)2=2a 3a 6+6，则锐角α的值为( )A. π6B. π4C. π3D. 5π127. 已知数列{a n }的首项为−1，a n+1=2a n +2，则数列{a n }的通项公式为a n =( )A. 2n−1−2B. 2n −2C. 2n −1−2nD. −2n−1 8. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. −14 B. 14C. −13D. 139.在△ABC中，A=30∘，AB=2，且△ABC的面积为√3，则△ABC外接圆的半径为( )A. 2√33B. 4√33C. 2D. 410.不等式(m+1)x2−mx+m−1<0的解集为⌀，则m的取值范围( )A. m<−1B. m≥2√33C. m≤−2√33D. m≥2√33或m≤−2√3311.数列{a n}的通项公式a n=ncos nπ2，其前项和为S n，则S2013等于( )A. 1006B. 2012C. 503D. 012.若不等式n2−n(λ+1)+7≥λ，对一切n∈N∗恒成立，则实数λ的取值范围( )A. λ≤3B. λ≤4C. 2≤λ≤3D. 3≤λ≤4请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(m，1)，b⃗ =(1，2)，且|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2，则m=______ ．14.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1<x<13}，则ab的值是______ ．15.若正实数{a n}满足a+2b=1，则1a +2b的最小值为______ ．16.已知数列{a n}中，a1=0，a2=p(p是不等于0的常数)，S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=na n2，则数列{a n}通项为______ ..三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.(1)已知实数x，y均为正数，求证：(x+y)(4x +9y)≥25；(2)解关于x的不等式x2−2ax+a2−1<0(a∈R)．18.已知数列{a n}中，a1=1，a3=4．(Ⅰ)若数列{a n}是等差数列，求a11的值；(Ⅱ)若数列{11+a n}是等差数列，求数列{a n}的通项公式．19.如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4．(Ⅰ)求∠ACP；(Ⅱ)若△APB的面积是3√3，求sin∠BAP．220.某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获+1)元.得的利润是50(5x−3x(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．(Ⅰ)求sinB的值；(Ⅱ)若b=4，求△ABC的面积．22.已知递增数列{a n}，a1=2，其前n项和为S n，且满足a n2+2=3(S n+S n−1)(n≥2)．(1)求a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；=n，求其前n项和T n．(3)若数列{b n}满足log2b na n答案和解析【答案】 1. B 2. C 3. D 4. D 5. D6. C7. A8. A9. C 10. B 11. A 12. A13. −2 14. 6 15. 916. a n =p(n −1)17. (1)证明：(x +y)(4x +9y )=4+9+4y x+9x y=13+(4y x+9x y)，又因为x >0，y >0，所以4yx >0，9x y>0，由基本不等式得，4y x+9x y≥2√4y x⋅9x y=12，当且仅当4yx =9x y时，取等号，即2y =3x 时取等号， 所以(x +y)(4x +9y )≥25；(2) 解：原不等式可化为[x −(a +1)]⋅[x −(a −1)]<0， 令[x −(a +1)]⋅[x −(a −1)]=0， 得x 1=a +1，x 2=a −1， 又因为a +1>a −1，所以原不等式的解集为(a −1，a +1)．18. 解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差d ，则a n =a 1+(n −1)d ， 由题设，2d =4−1=3， 所以d =32．所以a n =1+32(n −1)=−12+3n 2，所以a 11=16；(Ⅱ)设b n =11+a n，则数列{b n }是等差数列，b 1=12，b 3=15，b n =12−320(n −1)=13−3n 20，即11+a n=13−3n 20，所以a n =7+3n13−3n ．19. 解：(Ⅰ)在△APC 中，因为∠PAC =60∘，PC =2，AP +AC =4，由余弦定理得PC 2=AP 2+AC 2−2⋅AP ⋅AC ⋅cos∠PAC ， 所以22=AP 2+(4−AP)2−2⋅AP ⋅(4−AP)⋅cos60∘，整理得AP 2−4AP +4=0， 解得AP =2． 所以AC =2．所以△APC 是等边三角形． 所以∠ACP =60∘．(Ⅱ) 法1：由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB =120∘． 因为△APB 的面积是3√32，所以12⋅AP ⋅PB ⋅sin∠APB =3√32． 所以PB =3．在△APB 中，AB 2=AP 2+PB 2−2⋅AP ⋅PB ⋅cos∠APB =22+32−2×2×3×cos120∘=19，所以AB =√19．在△APB 中，由正弦定理得ABsin∠APB =PBsin∠BAP ， 所以sin∠BAP =3sin120∘√19=3√5738． 法2：作AD ⊥BC ，垂足为D ，因为△APC 是边长为2的等边三角形， 所以PD =1，AD =√3，∠PAD =30∘． 因为△APB 的面积是3√32，所以12⋅AD ⋅PB =3√32． 所以PB =3． 所以BD =4．在Rt △ADB 中，AB =√BD 2+AD 2=√19， 所以sin∠BAD =BDAB=4√19，cos∠BAD =ADAB =√3√19． 所以sin∠BAP =sin(∠BAD −30∘)=sin∠BADcos30∘−cos∠BADsin30∘ =4√19×√32−√3√19×12=3√5738．20. 解：(1)根据题意，有100(5x −3x +1)≥1500，得5x 2−14x −3≥0，得x ≥3或x ≤−15， 又1≤x ≤10，得3≤x ≤10．(2)生产480千克该产品获得的利润为u =24000(5+1x −3x 2)，1≤x ≤10， 记f(x)=−3x 2+1x +5，1≤x ≤10， 则f(x)=−3(1x −16)2+112+5 当且仅当x =6时取得最大值6112，则获得的最大利润为u =24000×6112=122000(元)故该厂以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为122000元． 21. 解：(Ⅰ)由3b =4c 及正弦定理得3sinB =4sinC ， ∵B =2C ，∴3sin2C =4sinC ，即6sinCcosC =4sinC ， ∵C ∈(0，π)， ∴sinC ≠0， ∴cosC =23，sinC =√53， ∴sinB =43sinC =4√59．(Ⅱ)解法一：由3b =4c ，b =4，得c =3且cosB =cos2C =2cos 2C −1=−19， ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =4√59×23+(−19)×√53=7√527， ∴S △ABC =12bcsinA =12×4×3×7√527=14√59． 解法二：由3b =4c ，b =4，得c =3，由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，得32=a 2+42−2a ×4×23， 解得a =3或a =73，当a =3时，则△ABC 为等腰三角形A =C ，又A +B +C =180∘，得C =45∘，与cosC =23矛盾，舍去， ∴a =73，∴S △ABC =12absinC =12×73×4×√53=14√59． 22. 解：(1)当n =2时，a 22+2=3(S 2+S 1)，所以a 22+2=3(a 2+2a 1)，即a 22−3a 2−10=0，依题意得，a 2=5或a 2=−2(舍去)；(2)由a n 2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2)得，a n+12+2=3(S n+1+S n ) 可得a n+12−a n 2=3(S n+1−S n−1)，即a n+12−a n 2=3(a n+1+a n )由递增数列{a n }，a 1=2，可得a n+1−a n =3(n ≥2).又因为a 2−a 1=3所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，即a n =2+3(n −1)=3n −1． 上式对n =1也成立，故数列{a n }的通项公式为a n =3n −1．(3)数列{b n }满足log 2b n a n=n ，可得bna n=2n ，即b n =(3n −1)⋅2n ，前n 项和T n =2⋅21+5⋅22+8⋅23+⋯+(3n −4)⋅2n−1+(3n −1)⋅2n ， 2T n =2×22+5×23+⋯+(3n −4)⋅2n +(3n −1)⋅2n+1．两式相减可得，−T n =2⋅21+(3⋅22+3⋅23+⋯+3⋅2n )−(3n −1)⋅2n+1−T n=4+12(1−2n−1)1−2−(3n−1)⋅2n+1=3⋅2n+1−(3n−1)⋅2n+1−8，化简可得，T n=8+(3n−4)⋅2n+1【解析】1. 解：根据题意，x2+2x−3<0⇒−3<x<1，则B={x|x2+2x−3<0}=(−3，1)，又由A={x|x>−1}=(−1，+∞)，则A∩B=(−1，1)；故选：B．根据题意，解x2+2x−3<0可以求出集合B，进而结合集合A由集合交集的定义计算可得答案．本题考查集合交集的计算，关键是掌握集合的表示方法．2. 解：令a=0，b=−1，显然A、B、D不成立，故选：C．通过特殊值代入各个选项，从而求出正确答案．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3. 解：由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，因为a2+a5+a8+a11=48，所以2(a6+a7)=48，故a6+a7=24，故选D由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，代入已知可得答案．本题考查等差数列的性质，属基础题．4. 解：∵x>0，y>0，x+4y=40，∴40≥2√4xy，化为xy≤100，当且仅当x=4y=12×40，即x=20，y=5时取等号，∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2．故选D．利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出．熟练掌握基本不等式的性质和对数的运算性质是解题的关键．5. 解：如图所示，在△ABC中，由余弦定理可得：(√3)2=32+x2−2×3×x×cos30∘，化为x2−3√3x+6=0，解得x=√3或2√3．故选：D．在△ABC中，利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：∵a1，a8是关于x的方程x2−2xsinα−√3sinα=0的两根，∴a1⋅a8=−√3sinα，a1+a8=2sinα，∵(a1+a8)2=2a3a6+6，∴(a1+a8)2=2a1a8+6，∴4sin2α=2×(−√3sinα)+6，即2sin2α+√3sinα−3=0，α为锐角．∴sinα=√32，α=π3．故选：C ．利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值即可得出．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 解：由a n+1=2a n +2，则a n+1+2=2(a n +2)， a 1+2=1，∴数列{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列， 则a n +2=1×2n−1， ∴a n =2n−1−2，∴数列{a n }的通项公式a n =2n−1−2， 故选：A ．由题意可知a n+1+2=2(a n +2)，根据等比数列的通项公式，即可求得数列{a n }的通项公式a n =2n−1−2．本题考查数列的递推式的应用，考查等比数列的前n 项和公式，考查计算能力，属于中档题． 8. 解：∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−14，故选：A ．通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出．本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 解：在△ABC 中，由A =30∘，c =AB =2，得到S △ABC =12bcsinA =12b ×2×12=√3，解得b =2√3，根据余弦定理得：a 2=12+4−2×2√3×2×√32=4，解得a =2，根据正弦定理得：asinA=2R(R 为外接圆半径)，则R =22×12=2．故选：C ．由已知利用三角形面积公式可求b ，进而利用余弦定理解得a ，根据正弦定理即可求得外接圆半径R 的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10. 解：∵关于x 的不等式(m +1)x 2−mx +m −1<0的解集为⌀， ∴不等式(m +1)x 2−mx +m −1≥0恒成立，①当m +1=0，即m =−1时，不等式化为x −2≥0，解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立；②当m +1≠0时，即m ≠−1时，∀x ∈R ，使(m +1)x 2−mx +m −1≥0， 即m +1>0且△=(−m)2−4(m +1)(m −1)≤0， 化简得：3m 2≥4，解得m ≥2√33或m ≤−2√33， ∴应取m ≥2√33；综上，实数m的取值范围是m≥2√33．故选：B．关于x的不等式(m+1)x2−mx+m−1<0的解集为⌀，可转化成不等式(m+1)x2−mx+ m−1≥0恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，是基础题．11. 解：数列{a n}的通项公式a n=ncos nπ2，所以当n为奇数时，a n=0，当n为偶数时，a2=−2，a4=4，a6=−6，a8=8，所以S2013=a2+a4+a6+a8+⋯+a2012=−2+4−6+8+⋯−2010+2012=(−2+4)+(−6+8)+⋯+(−2010+2012)=2+2+⋯+2=503×2=1006．故选A．利用数列的通项公式，研究数列前n项和的规律．本题主要考查数列的前n项和，利用数列项的特点发现规律是解决本题的关键，考查学生分析问题的能力，综合性较强．12. 解：∵不等式n2−n(λ+1)+7≥λ，对一切n∈N∗恒成立，∴n2−n+7≥λ(n+1)，∵n∈N∗，∴λ≤n2−n+7n+1对一切n∈N∗恒成立．而n2−n+7n+1=(n+1)2−3(n+1)+9n+1=(n+1)+9n+1−3≥2√(n+1)⋅9n+1−3=3，当且仅当n+1=9n+1，即=2时等号成立，∴n≤3．故选：A．推导出n2−n+7≥λ(n+1)，从而λ≤n2−n+7n+1对一切n∈N∗恒成立.由此利用基本不等式能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，涉及到数列、均值不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13. 解：|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2，可得a⃗⋅b⃗ =0．向量a⃗=(m，1)，b⃗ =(1，2)，可得m+2=0，解得m=−2．故答案为：−2．利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14. 解：∵不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1<x<13}，∴a<0，∴原不等式等价于−ax2−bx−1<0，由根与系数的关系，得−1+13=−ba，−1×3=1a，∴a=−3，b=−2，∴ab=6．故答案为：6．对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可得出ab的值．本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．15. 解：1a +2b=(a+2b)(1a+2b)=1+4+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=5+4=9，当且仅当a=b=13，故1a +2b的最小值为9．故答案为：9．1 a +2b=(a+2b)(1a+2b)，展开后利用基本不等式求最值．本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．16. 解：∵S n=na n2，∴S n+1=n+12a n+1，两式相减得：a n+1=n+12a n+1−n2a n，∴n−12a n+1=n2a n，∴当n≥2时，a n+1n =a nn−1=⋯=a21=p，∴a n=p(n−1)．显然n=1时，上式也成立．∴对一切n∈N+，a n=p(n−1)．故答案为：a n=p(n−1)．由条件得S n+1=n+12a n+1，与条件式相减得出递推式，从而得出{a n+1n}是常数列，得出通项，再验证n=1的情况即可．本题考查了数列通项公式的求法，属于中档题．17. (1)化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；(2)原不等式可化为[x−(a+1)]⋅[x−(a−1)]<0，求出不等式对应方程的根，再写出不等式的解集．本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题，是中档题．18. (Ⅰ)根据等差数列的通项公式求得公差d，然后代入通项公式求得a11的值；(Ⅱ)设b n=11+a n ，则数列{b n}是等差数列，根据等差数列的定义求得b n=13−3n20，易得数列{a n }的通项公式．本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查运算与推理的能力，属于中档题． 19. (Ⅰ) 在△APC 中，由余弦定理得AP 2−4AP +4=0，解得AP =2，可得△APC 是等边三角形，即可得解．(Ⅱ) 法1：由已知可求∠APB =120∘.利用三角形面积公式可求PB =3.进而利用余弦定理可求AB ，在△APB 中，由正弦定理可求sin∠BAP =∘√19的值．法2：作AD ⊥BC ，垂足为D ，可求：PD =1，AD =√3，∠PAD =30∘，利用三角形面积公式可求PB ，进而可求BD ，AB ，利用三角函数的定义可求sin∠BAD =BD AB =√19cos∠BAD =AD AB =√3√19.sin∠BAP =sin(∠BAD −30∘)的值．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，属于中档题．20. (1)利用已知条件列出不等式求解即可．(2)利用二次函数的性质，通过配方求解函数的最值即可．本题考查函数的实际应用，二次函数的性质，考查计算能力．21. (Ⅰ)由已知及二倍角的正弦函数公式，正弦定理得6sinCcosC =4sinC ，由于sinC ≠0，可求cosC ，进而可求sinC ，sinB 的值．(Ⅱ)解法一：由已知可求c ，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB ，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA ，进而利用三角形面积公式即可得解；解法二：由已知可求c ，由余弦定理解得a ，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解． 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．22. (1)由a 1=2，且满足a n2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2).n =2时，即可得出． (2)由a n 2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2)得，a n+12+2=3(S n+1+S n )，可得a n+12−a n 2=3(S n+1−S n−1)，即a n+12−a n 2=3(a n+1+a n )，化为a n+1−a n =3(n ≥2).再利用等差数列的通项公式即可得出．(3)数列{b n }满足log 2b n a n =n ，可得bn a n =2n ，即b n =(3n −1)⋅2n ，再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

四川省三台县2016-2017学年高一数学下学期半期教学质量调研测试试
题(扫描版，无答案）
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