高中数学选修1-1知识点及配套练习(经典!!)

例题：描述：例题：3.复合命题的否定“且”的否定“或”的否定四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）写出下列命题的否定，并判断真假．　（1），；（2） 所有的正方形都是矩形；（3） 至少有一个实数 ，使得 ．解：（1），．因为 ， 恒成立，故不存在 ， 使得 成立，故 为假命题；（2） 至少存在一个正方形不是矩形．是假命题．（3），．因为当 时，，故 为假命题．p :∀x ∈R +2x +2>0x 2q :r :x 0+1=0x 30¬p :∃∈R x 0+2+2⩽0x 20x 0∀x ∈R +2x +2=(x +1+1⩾1>0x 2)2∈R x 0+2+2⩽0x 20x 0¬p ¬q :¬r :∀x ∈R +1≠0x 3x =−1+1=0x 3¬r ¬(p ∧q )=(¬p )∨(¬q )¬(p ∨q )=(¬p )∧(¬q )命题 " 且 " 的否定是______．解： 或 ．a ⩾5b ⩾2a <5b <2若 ， 是两个简单命题，且 " 或 " 的否定是真命题，则必有（ ）A． 真 真 B． 假 假 C． 真 假 D． 假 真解：B因为 " 或 " 的否定是真命题，则 " 或 "为假命题，故 ， 都为假命题．p q p q p q p q p q p q p q p q p q 若命题 ，则 为（ ）A． 且 B． 或 C． 且 D． 解：B因为命题 ，所以 且 ，故命题 或 ．p :x ∈A ∩B ¬p x ∉A x ∉B x ∉A x ∉B x ∈A x ∉B x ∉A ∪B p :x ∈A ∩B x ∈A x ∈B ¬p :x ∉A x ∉B 答案：1. 若命题 ：任意 ，，则该命题的否定是 A ．任意 B ．任意 C ．存在 D ．存在 Cp x ∈R 2−1>0x 2()x ∈R ,2−1<0x 2x ∈R ,2−1⩽0x 2x ∈R ,2−1⩽0x 2x ∈R ,2−1>0x 22. 已知命题 ，则 是 A ．B ． 或 p :x ∈A ∪B ¬p ()x ∉A ∩Bx ∉A x ∉B高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高二数学选修1－1知识点第一章1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．（1）充分必要条件（充要条件），即 p q ⇒且q p ⇒；（2）充分不必要条件，即p q ⇒且q p ⇒/；（3）必要不充分条件，即p q ⇒/且q p ⇒；（4）既不充分又不必要条件，即p q ⇒/且q p ⇒/．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．1．“非p ”形式的复合命题真假：当p 为真时，非p 为假； 当p 为假时，非p 为真．（真假相反） 2．“p 且q当p 、q 为真时，p 且q 为真； 当p 、q 中至少有一个为假时，p 且q 为假。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习椭圆的性质【学习目标】1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题. 【要点梳理】要点一、椭圆的简单几何性质我们根据椭圆12222=+by a x )0(>>b a 来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. 椭圆的对称性对于椭圆标准方程22221x y a b +=，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆22221x y a b+=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，―b ），B 2（0，b ）。

③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。

②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1。

e 越接近1，则c 就越接近a，从而b =因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。

要点诠释：椭圆12222=+by a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2122||||a PM PM c+=； （2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，21A B AB ==（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1； 要点二、椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2=b 2+c 2。

【关键字】知识高中数学选修1-1知识点总结第一章简单逻辑用语●命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句．●“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论．●原命题：“若，则” 逆命题：“若，则”否命题：“若，则” 逆否命题：“若，则”●四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．●若，则是的充分条件，是的必要条件．若，则是的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；●逻辑联结词：⑴且：命题形式；⑵或：命题形式；⑶非：命题形式．●⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示．全称命题p：；全称命题p的否定p：．⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示．特称命题p：；特称命题p的否定p：．第二章圆锥曲线●平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．即：．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．●椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<●平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：． 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距● 双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程 b y x a=±a y x b=±● 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．●平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．●抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤● 过抛物线的焦点作笔直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即． ●焦半径公式：若点在抛物线上，焦点为，则； 若点在抛物线上，焦点为，则；第三章 导数及其应用● 函数从到的平均变化率：●导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000．● 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．●常见函数的导数公式：①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a ax x ln )('=； ⑥x x e e =')(；⑦ax x a ln 1)(log '=； ⑧x x 1)(ln '=●导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．●在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．●求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．●求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【要点梳理】 要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题例1．若直线y kx =与曲线3232y x x x =-+相切，试求k 的值． 【思路点拨】当切点未知时，应先设出切点．【解析】 设y kx =与3232y x x x =-+相切于00(,)P x y则00y kx =①3200032y x x x =-+，②又2'362y x x =-+ ∴0200'|362x x k y x x ===-+，③由①②③得：（200362x x -+）0x ＝3200032x x x -+， 即200(23)0x x -=∴00302x x ==或，∴124k k ==-或. 【总结升华】当切点未知时，要先设切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.举一反三：【变式】 已知曲线3)(23+++=x x x x f 在1-=x 处的切线恰好与抛物线px y 22=)0(>p 相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．【答案】,2)1(=-f ∴曲线)(x f y =上的切点为A(－1,2).123)(2++='x x x f ,∴2)1(=-'f ，∴切线方程为)1(22+=-x y ，即42+=x y .设抛物线上的切点为),(00y x B ,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支， 抛物线上半支的方程为px y 2=,则xp y 22=', ∴2220=='=x py x x ,得08x p = （1）又∵点Ｂ在切线上，∴42200+=x px （2） 由(1)(2)求得2,160==x p ，∴80=y . 故抛物线方程为x y 322=,切点为(2,8).类型二： 利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题 例2. 已知定义在R 上的函数 a x a x a x x f +-+-+=)2(2)4(2131)(23，]1,1[-∈a ，问：是否存在这样的区间，对任意的a 的可能取值，函数)(x f 在该区间上都是单调递增的？若存在，求出这样的区间；若不存在，请说明理由.【思路点拨】求出()f x '后，要根据题意把它视为关于a 的函数.【解析】令44)2()(2+-+-=x x a x a g ，则()g a 为a 的一次（型）函数， ∴0)(>'x f 对任意]1,1[-∈a 恒成立⇔不等式0)(>a g 对任意]1,1[-∈a 恒成立，∴⎩⎨⎧>->0)1(0)1(g g 即⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-06502322x x x x ，解得1x <或3x >∴当)1,(-∞∈x 或),3(+∞∈x 时0)(>'x f 对任意]1,1[-∈a 恒成立 ∴对任意]1,1[-∈a ，)(x f 在)1,(-∞或),3(+∞上都是单调递增的∴存在区间)1,(-∞和),3(+∞，对任意的]1,1[-∈a ，函数)(x f 在该区间内均是单调递增函数. 【总结升华】①函数单调的等价含义即函数的导数恒正（或恒负）； ②一次函数的图象多为线段，所以其恒正问题，即线段的两端点值均正. 举一反三：【变式1】 若x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间. 【答案】13)(2+='ax x f（1）当0>a 时，则()10f x '≥>()x R ∈，此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞，与题设矛盾； （2）当0=a 时，则()10f x '=>，此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞，与题设矛盾； （3）当0<a 时，则21()3()3(3f x a x a x x a '=+=+- 由0)(<'x f 得a x a x 3131->--<或，由0)(>'x f ，得ax a3131-<<--∴综上可知，当0<a 时，)(x f 恰有三个单调区间：减区间),31(),31,(+∞----∞aa；增区间)31,31(aa---【导数的应用综合 370878 例题1】 【变式2】函数()2sin 2=-xf x x 的图象大致是（ ）A B C D 【答案】C首先易判断函数为奇函数，排除A ，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B 、D,故选C. 例3. 已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+， （1）求f(x)的单调区间，（2）证明：当0≤x ≤1时，f(x)+ 2a -＞0.【思路点拨】（1）求导后对参数进行分类讨论，由导函数的正负号求出原函数的单调区间；（2）首先要考虑去掉绝对值，显然要分类讨论，其次是要证明高次函数在所给区间恒大于零，构造函数，利用导函数的知识解决.【解析】（1）由题意得2()122f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时，()12(f x x x '=+，此时函数()f x 的单调递增区间为⎡⎢⎣. (2)由于01x ≤≤，当2a ≤时，33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时，333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626(33g x x x x '=-=-+. 则有所以min ()10g x g ==->. 当01x ≤≤时，32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.【总结升华】导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点. 举一反三：【导数的应用综合 370878 例题4】 【变式】 已知函数f(x)=ax 3+x 2+1，x ∈(0，1]（1）若f(x)在（0，1）上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）求f(x)在（0，1）上的最大值. 【答案】（1）f ′(x)=3ax 2+2x ， ∵f(x)在（0，1）上是增函数，∴ x ∈（0，1）时，f ′(x)=3ax 2+2x>0恒成立， 即23a x>-对x ∈（0，1）恒成立， ∵23x-在（0，1）上单调增， ∴x=1时，22,33x --取最大值∴222(),333a a a >-=-≥-时也符合题意则即为所求.（2）①max 2()()(1) 2.3a f x f x f a >-∴==+当时,在(0,1)上单调增,②222'()320,0,.33≤-=+=≠=-当时,令由得a f x ax x x x a220'()0;1'()0,33x f x x f x a a <<->-<<<当时,当时, ∴224()1327x f x a a=-+时,取得极大值 24(1)2 1.27f a a=+≤+又 ∴24() 1.27f x a +在(0,1)上的最大值为例4. 设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值. 【解析】（Ⅰ）当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图象法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚. 举一反三：【导数的应用综合 370878 例题2】 【变式1】设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = （ ） A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点.B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C. 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点.D. 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.【答案】D由题得xx x x f 33131)`(-=-=， 令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数， 在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D. 【变式2】求函数y a x x=-21在x ∈(]01，上的最大值（其中a R ∈）. 【答案】 令t x =，则求f t at t ()=-212在（0，1］上的最大值 当a ≥0时，显然f t ()在（0，1］上为增函数，所以f t f a max ()()==-121当a <0时，令f t a t '()=+=2203 得：t a=-13， 易知t a ∈-⎛⎝⎤⎦⎥013，时，f t f t '()()>0，为增函数 t a∈-+∞⎡⎣⎢⎫⎭⎪13，时，f t f t '()()<0，为减函数.于是若-≤<10a （此时-≥113a），则f t ()在（0，1］上为增函数，此时f t f a max ()()==-121. 若a <-1（此时-<113a ）， 则f t ()在013，-⎛⎝ ⎤⎦⎥a 上为增函数，在-⎡⎣⎢⎤⎦⎥113a ，上为减函数. 所以f t f aa max ()=-⎛⎝⎫⎭⎪=-13323由以上讨论知当a ≥-1时， f t f a m a x ()()==-121； 当a <-1时， f t a max ()=-323.类型三：利用导数解决优化问题例5. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12－x)2万件．（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x （元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）．【解析】（1）分公司一年的利润L （万元）与售价x （元）的函数关系式为： L=(x －3－a)(12－x)2，x ∈[9，11]．（2）L ＇=(12－x)2－2(x －3－0)(12－x)=(12－x)·(18+2a －3x)．令L ＇=0得263x a =+或x=12（不合题意，舍去）． ∵3≤a≤5，∴2288633a ≤+≤． 在263x a =+两侧L ＇的值由正变负． ∴①当28693a ≤+<，即932a ≤<时， L max =(9－3－0)(12－9)2=9(6－a)．②当2289633a ≤+≤，即952a ≤≤时， 23max 2216312643333L a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴399(6), 32()1943, 532a a Q a a a ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩． 综上，若932a ≤<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6－a)（万元）；若92≤a≤5，则当每件售价为（263a +）元时，分分司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=431()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）． 【总结升华】 在第（2）问中，务必注意实际意义对定义域的影响；在第（2）问中，因263x a =+的大小不确定，故182'3(12)3a L x x +⎛⎫=--⎪⎝⎭的符号不确定，故必须对a 进行分类讨论． 举一反三：【变式】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用建筑总面积） 【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为()f x ，则21601000010800()(56048)56048(10,)2000f x x x x x N x x⨯=++=++≥∈．210800'()48f x x =-，令'()0f x =，得x=15． 当x ＞>15时，'()0f x >，当10≤x ＜15时，'()0f x <． 因此，当x=15时，()f x 取得最小值(15)2000f =．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非p，则非q”，或“若⌝p，则⌝q”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非q，则非p”，或“若⌝q，则⌝p”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原命题若p则q 互互互逆为逆否逆命题若q则p互否否命题互为逆否否逆否命题若⌝p则⌝q 四种命题之间的真值关系原命题真真假假逆命题真假真假互逆否命题真假真假若⌝q则⌝p逆否命题真真假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.要点五、反证法：1.反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.2.反证法的步骤：（1）假设结论不成立.（2）从假设出发推理论证得到矛盾（3）判定假设错误，肯定结论正确.3.互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明. 原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.要点诠释：反证法是间接证明的重要方法之一.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1) x > 1 ；(2)当 x = 0 时, x > 1 ； (3) 你是男生吗？ (4) 求证： π 是无理数.【思路点拨】依据命题的定义判断。

高中数学选修1-1知识点总结第一章：逻辑语 1．四种命题的形式原命题：若 p 则 q 逆命题：若 q 则 p 否命题：若 ¬p 则 ¬q 逆否命题：若¬q 则¬p 结论：互为逆否的两个命题是等价的（1）原命题与逆否命题同真假（2）原命题的逆命题与否命题同真假 2．充分条件与必要条件:若 ，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 3. 充要条件：(3)若 且 ，则称p 是q 的必要不充分条件。

判别步骤：①找出p 和q ② 考察 p 能否推出q 和 q 能否推出 p判别技巧：推不出的一定能举反例 4．含逻辑联结词“且”“或”的命题真假的判断:确定形式→判断真假①判断p 且q 的真假：一假必假 ②判断p 或q 的真假：一真必真 ③p 与﹁q 的真假相反 5．全称命题 的否定是 特称命题 的否定是 第二章：圆锥曲线方程（一）、椭圆(1)定义：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．22,y x 项中哪个分母大，焦点就在哪一条轴上。

焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴的长=2a 短轴的长=2b焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距()222122F F c c a b ==-p q ⇒q p ⇒p q ⇒q p ⇒q p ⇒(1)若 且，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。