平行四边形对角线性质课件

如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵在直角三角形ABE中，∠B＝30°，
∴AE＝
1 2
×AB＝
1 2
×4＝2.
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.
感悟新知
归纳
求平行四边形的面积时，根据平行四 边形的面积公式，要知道平行四边形的一 边长及这边上的高．
平行四边形的高不一定是过顶点的垂 线段，因为平行线间的距离处处相等．
结构导图
课堂小结
错解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，∵OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°，又∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
结构导图
课堂小结
诊断：错解误认为已知E，O，F三点共线，从而得到 ∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个． E，O，F三点共线需要在解题过程中加以推理， 否则就犯了逻辑错误．
结构导图
课堂小结
正解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵OE⊥AD，OF⊥BC， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF.
作业1 必做: 请完成教材课后练习 作业2 补充: 请完成本课时习题
课后作业
感悟新知
4. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，
垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( D )
A. 3 2
B. 3 2
21
2 21
C. 7 D. 7
感悟新知 5. 如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，
交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则 四边形EFCD的周长为( C ) A．14 B．13 C．12 D．10

F
A
B
∴∠FDO=∠EBO
又∵∠DOF=∠EOB
∴△DFO≌△BEO.
∴BE∥DF
∴OE=OF
3. 如图，在▱ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交 于点E、F，AB=4，AD=3，OF=1.3.求四边形BCFE的周长.
解：在▱ABCD中 易证得：△BEO≌△DFO ∴OE=OF，EB=DF， ∴lEB+lBC+lCF=lBC+lCD=4+3=7
B
C
因为对角线互相平分，所以有AO=CO，
OD=BO.
2.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC
，垂足分别为点E、F.求证：OE=OF. 分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在
D
C
OE
的两个三角形全等即可.
证明：在▱ABCD中 有OB=OD(平行四边形的对角线互相平分) ∵BE⊥AC，DF⊥AC
课堂小结
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
平行四边形 性质
根据平行四边形性质求面积与周长
∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，
∴2(AB+BC)=16
即AB+2=BC
即4AB+4=16
又∵▱ABCD的周长等于16
∴AB=3，BC=5
例4 如图，在▱ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为点E， 且BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之间的距离.
解：设AD，和BC之间的距离为x，则▱ABCD的
A
D
O
∴ AO +BO=15-6=9
B

活动探究
探究点一 问题2：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E F过点O且与AB、CD 分别相交于点E、F，求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AB∥CD. ∴∠ABO=∠CDO. 又∵∠BOE=∠DOF , ∴△BOE≌△DOF. ∴OE=OF.
活动探究
解：∵▱A BCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18， ∴AO＝12AC＝6，BO＝12 BD＝9. 又∵△AOB的周长l＝23， ∴AB＝l－(AO＋BO) ＝23－(6＋9)＝8.
课堂小结
平行四边形的性质 对称性：平行四边形是 中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心； 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补. 对角线：相互平分
探究点二 问题1：如图, □ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=90º,OA=6,0B=3. 求AD和AC的长度. 解：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ∴OD=OB=3 ∠ADB=90º 在Rt∆AOD中，
AD = OA2 - OD2 = 62 + 32 = 3 3， AC=2OA=2×6=12 所以，AD和AC的长度分别为 3 3 和12.
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 4.3013: 39:1113 :39Apr-2130-A pr-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。13:39: 1113:3 9:1113: 39Frida y, April 30, 2021
6.1 平行四边形的性质第源自课时八年级下册-学习目标 1 掌握平行四边形对角线互相平分的性质; 2 利用平行四边形对角线的性质解决有关问题.

(1)△AOD的周长= 21 cm；
(2)△DBC的周长是边BC + DC + BD ，△ABC的周
长是边 BC + AB + AC ，△DBC的周长比△ABC的
周长长了 6 cm.
A
D
O
B
C
1.我们学习了平行四边形的哪些性质？ 2.谈谈研究平行四边形性质的思想方法,解决了哪些问题？
平行四边形的对边相等；
2.如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若⊿AOB
的面积为3，则 ABCD的面积为（ C ） A
D
A.6 B.9 C.12 D.18
O
B
C
3.如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AD=8,BD+AC=18,则⊿BOC的周长为（ B ）
A.13 B.17 C.20 D.26
A
D
证明：∵ 四边形 ABCD是平行四边形，
D1
3C
∴ AB=CD，AB∥CD； ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4；A 4
O 2B
∴ △COD≌△AOB；
∴ OA=OC，OB=OD．
平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分.
活动二 前面问题中，老人的四个孩子分到的土
而AD+DC恰好是平行四边形周长的一半，
D
可以把这两边看作一个整体。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
O
∴AC=2AO=2×6=12.
B
又∵ 平行四边形ABCD的周长为50，
C
∴AD+DC=25，
∴△ACD的周长=12+25=37

创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2.已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O， △AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边 的长.
D
C 提示：平行四边形被对角线分成
四个小三角形，相邻两个三角形
O
的周长之差的绝对值等于邻边边
A
B
长之差的绝对值.
F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证
明你的结论.
D
C
解：BEDF，BE//DF.理由如下：
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
EO
∴OAOC，OBOD.
A
B
∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴ OEOF， 在△OFD和△OEB中， OEOF，∠DOF∠BOE，ODOB. ∴△OFD≌△OEB. ∴BEDF，∠DFO∠BEO. ∴BE//DF.
O B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
∴AB//CD，OAOC.
∵∠EAO∠FCO
F
在△AOE和△COF中，
C
∠AOE∠COF
改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？
OAOC ∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF.
∴OEOF.
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随堂练习
探究
如图，▱ABCD中，连接AC、
A
D
BD，并设它们相交于点O，OA与OC，
OB与OD有什么关系？
O
B
C
操作
1.任意画一个平行四边形，如上图； 2.尝试用自己的方法找OA与OC，OB与OD的关系.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业

D、16cm
老三 5、如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是
第2课时 平行四边形的对角线的特征
_________.
（1）在口ABCD中，AC交BD于O，则
∴ OA=OC，OB=OD.
（） ∵ AB=CD BC=BC
你觉得他这样分公平吗？说说你的理由.
4.判断对错
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）在口ABCD中，AC交BD于O，则
AO=OB=OC=OD．
（ ×）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对
边的距离相等．
（√）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等.
（√）
（4）平行四边形是轴对称图形． （ ×）
5、如图，在 平行四边形的对边相等， ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，
晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于 点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.
点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他 ∴ l△AOD＝ AD+OA+OD＝10+4+7＝21
A、都是等腰三角形 B、都是全等三角形
在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转
180°，你发现了什么?
AA
D
O
O
●
B
CC
有上面的操作演示：
你能证明上述猜想吗？
结论： ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重 B、都是全等三角形
平行四边形的对边相等， （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对

引申拓展
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老二
老三
老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
叙述平行四边形的性质
性质
平行四边形的对边平行;对边相等;对角相等; 对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,AD∥BC AB=CD,AD= BC ∠A=∠C,∠B=∠DOA=OC,OB=OD
ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点 O与 AB 、CD分别相交于E 、F.求证:OE=OF
x
Y
C
O (0,0)
B(5,0)
D(2,3)
A. (3,7) B. (5,3)C. (7,3) D. (8,2)
C
O
D
B
A
C
如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______.
5
说一说
如图，在 ABCD中， BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm, （1）△ BOC的周长是多少？ 说明理由？（ 2） △ ABC与△ DBC的周长哪个长， 长多少？
符号语言：
O
O
●
老大
老四
老三
老二
M
老人分地合理吗？
比一比,谁最棒?
如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 _________.
1＜AD＜9
选择：平行四边形具有而一般四边形不具有 的特征是（ ） A、不稳定性 B、对角线互相平分C、内角的为360度 D、外角和为360度

【 ∵四边形 是平行四边形，∴OD=OB， 证明】 ABCD 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，并且 AO=CO，BO=DO。
将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起,做成一个四边形,使等长的木条成为对边.
OA=OC，AB∥CD （2010·怀化中考）如图，平行四边形ABCD的对角线
E，F. 于点 ∴AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)． AECF . 上两的组两 对点角，分求并别且相证等A：E的=四C四F边。形边是平形行四边形。是平行四边形
从实验结果得出什么结论？ ∵ AO=OC，BO=OD 判定一个四边形是平行四边形应具备几个条件？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 你认为下面四个条件中可选择的是（ ） 证明：连结BD，交AC于点O ∵AB CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 求证：四边形BFDE是平行四边形 ∴四边形ABCD是平行四边形
A B
证明：∵四边形ABCD是
E
D
平行四边形
∴AD∥BC AD=BC
∵ DE=1/2AD
BF=1/2BC
∴DE∥BF DE=BF
F
C
∴四边形EBFD是平
行四边形
∴EB=DF
如图，在 ABCD中，已知AE、CF分别是
∠DAB、∠BCD的角平分线，
求证：四边形AECF是平行四边形。
A
F
D
256
1
34
8 7
∵AB ﹦∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形
A
通过了本节课学习,
你有哪些收获?
B
D
O
C
1、两组对边分别平行的 ∵AB∥CD，AD∥BC

当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的 地少，同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么?
沪科版八年级数学下册课件：19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质
沪科版八年级数学下册课件：19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质
获取新知
如图，已知 ABCD中，连接AC，BD，并设 它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？ 你能证明发现的结论吗？
沪科版八年级数学下册课件：19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质
沪科版八年级数学下册课件：19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质
课堂小结
沪科版八年级数学下册课件：19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质
补充结论
1. △ABO≌ △CDO， △AOD ≌ △COB，
A
D
O
△ ABD ≌ △CDB，
△ ABC ≌ △CDA ；
B
C
2. △AOB、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，
且都等于平行四边形面积的四分之一.
沪科版八年级数学下册课 平件 行： 四1边9.形2对 角第线2课的时性质平行 PPT四优边秀形课对件角线的性质
6. 如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A，E，F，
C在一条直线上，求证：AE＝CF. 证明：如图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)． ∵四边形EBFD是平行四边形， ∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)， ∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．
沪科版八年级数学下册课件：19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质
第19章 四边形
19.2 第2课时 平行四边形的对角线性质

【思路分析】 平行四边形对边相等 运用勾股定理
BC，CD 的长
AC 的长
B
A
D
O C
面积公式
□ ABCD 的面积
例 2 如图，在 □ ABCD 中， AB = 10，AD = 8，AC⊥BC.
求 BC，CD，AC，OA 的长，以及□ ABCD 的面积. [选自教材P44]
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
OF C
边形的面积和周长.
1. 如图， □ ABCD 中，AD = 5，BD = 6，解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AC = a，则 a 的取值范围是（ D ）
A．2<a<8
B．2<a<10
∴
OD
=
1 2
BD
=
3，
AC
=
2OA
.
在△AOD中，有三角形的三边关系得：
C．4<a<10
D．4<a<16
O A4
3C 2B
发现：任意相邻两个小三角形组成的大三角形的面积也相等.
周长探索
[选自教材P44 练习]
如图，在 □ ABCD 中，BC = 10，AC = 8，BD = 14，△AOD
的周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
A
D
∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4，
点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F . 求证 OE = OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC （平行四边形的性质）
A
D
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）