下载文档原格式
四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2对角线互相平分的四边形是平行四边形。
五、例习题分析例1（教材p96例3）已知：如图abcd的对角线ac、bd交于点o，e、f是ac上的两点，并且ae=cf．求证：四边形bfde是平行四边形．分析：欲证四边形bfde是平行四边形可以根据判定方法2来证明．（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．例2（补充）已知：如图，a′b′∥ba，b′c′∥cb，c′a′∥ac．求证：(1)∠abc＝∠b′，∠cab＝∠a′，∠bca＝∠c′；(2)△abc的顶点分别是△b′c′a′各边的中点．证明：(1)∵a′b′∥ba，c′b′∥bc，∴四边形abcb′是平行四边形．∴∠abc＝∠b′(平行四边形的对角相等)．同理∠cab＝∠a′，∠bca＝∠c′．(2)由(1)证得四边形abcb′是平行四边形．同理，四边形aba′c是平行四边形．∴ab＝b′c，ab＝a′c(平行四边形的对边相等)．∴b′c＝a′c．同理b′a＝c′a，a′b＝c′b．∴△abc的顶点a、b、c分别是△b′c′a′的边b′c′、c′a′、a′b′的中点．例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．解：有6个平行四边形，分别是abof，abco，bcdo，cdeo，defo，efao．理由是：因为正△abo≌正△aof，所以ab=bo，of=fa．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形abcd是平行四边形．其它五个同理．六、随堂练习1．如图，在四边形abcd中，ac、bd相交于点o，（1）若ad=8cm，ab=4cm，那么当bc=____cm，cd=____cm时，四边形abcd为平行四边形；（2）若ac=10cm，bd=8cm，那么当ao=___cm，do=___cm时，四边形abcd为平行四边形．2．已知：如图，abcd中，点e、f分别在cd、ab上，df∥be，ef交bd于点o。
18.1.1 平行四边形的性质（对角线的特征）教案概述本教案是针对2022-2023学年人教版八年级数学下册中的18.1.1节的内容编写的。
本节课主要介绍了平行四边形对角线的性质，包括对角线的长度和角度之间的关系。
教学目标•理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质；•掌握平行四边形的对角线长度相等的特征；•掌握平行四边形对角线之间角度关系的特征；•能够应用所学知识解决与平行四边形相关的问题。
教学步骤步骤一：导入新知•引导学生回顾平行四边形的定义，让学生讲解平行四边形的性质。
步骤二：对角线的特征1.第一性质：平行四边形的对角线长度相等。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线长度相等–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线长度相等。
2.第二性质：平行四边形的对角线互相平分。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线互相平分–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线互相平分。
3.第三性质：平行四边形的对角线互相垂直。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线互相垂直–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度和对角线夹角，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线互相垂直。
步骤三：应用训练•给学生提供一些平行四边形的例题，让他们应用所学知识解决问题。
步骤四：拓展延伸•引入更复杂的平行四边形相关问题，让学生思考和解决。
步骤五：课堂小结•总结本节课的重点内容，强调平行四边形对角线的特征。
课堂练习1.如下图，ABCD为平行四边形，AC和BD分别为对角线，求证：AC=BD。
练习12.如下图，ABCD为平行四边形，AC和BD分别为对角线，求证：对角线AC与对角线BD互相平分。
练习2总结通过本节课的学习，我们了解了平行四边形对角线的性质。
对角线长度相等、互相平分、互相垂直是平行四边形对角线的重要特征。
掌握了这些性质后，我们能够更好地解决与平行四边形相关的问题。
平行四边形的性质（第二课时）同步练习题一、单选题1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）A ．4和6B ．6和8C ．8和12D ．20和302．平行四边形的一组对角的平分线（ ）A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线 3．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是（ ）．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，已知90ODA =∠°，10cm AC =，6cm BD =，则AD 的长为（ ）第4题 第5题 第7题 第9题 A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是（ ）A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)6．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）A ．4cm ，6cmB ．6cm ，8cmC ．8cm ，12cmD ．20cm ，30cm7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB 3AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A 3B ．32C ．217D ．2178．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列各图中1∠与2∠一定不相等的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）A．18°B．36°C．72°D．144°10．如图，设M是ABCD边AB上任意一点，设AMD∆的面积为1S，BMC∆的面积为2S，CDM∆的面积为S，则（）第10题第12题第13题第14题A．12S S S=+B．12S S S>+C．12S S S<+D．不能确定二、填空题11．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于_____．12．如图，在中，．以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则____．13．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．14．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF 相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．15．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是________．三、解答题16、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长；(2)求▱ABCD的面积．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.ABCD50D∠=︒B AB BA BC PQ P Q12PQ ABC∠M BM AD E AEB∠=122100cmABDC(1)求证：OE＝OF；(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．。
人教版数学八年级下册18.1.1第2课时《平行四边形的对角线特征》教案一. 教材分析人教版数学八年级下册18.1.1第2课时《平行四边形的对角线特征》是在学生已经掌握了平行四边形的定义和性质的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生了解并掌握平行四边形的对角线性质，能够运用对角线性质解决一些几何问题。
教材通过引导学生观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行四边形的定义、性质和判定方法，具备了一定的几何知识基础。
但部分学生对平行四边形的对角线性质的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平行四边形的对角线性质，能够运用对角线性质解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：平行四边形的对角线性质。
2.难点：如何运用对角线性质解决几何问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。
通过设置问题，引导学生观察、思考、探究，激发学生的学习兴趣，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
六. 教学准备1.准备一些平行四边形的图片，用于导入和展示。
2.准备一些平行四边形的模型或纸片，用于学生操练和观察。
3.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些平行四边形的图片，引导学生回顾平行四边形的定义和性质。
然后提出问题：“平行四边形的对角线有什么特殊的性质吗？”让学生思考并发表自己的观点。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，介绍平行四边形的对角线性质。
利用模型或纸片，让学生直观地观察和理解对角线性质。
同时，引导学生发现对角线性质与平行四边形其他性质之间的联系。
人教版数学八年级下册18.1.2第1课时《平行四边形的判定》说课稿一. 教材分析《平行四边形的判定》是人教版数学八年级下册第18.1.2节的内容，属于几何学的范畴。
本节内容主要介绍了平行四边形的判定方法，是学生进一步理解几何图形，运用几何知识解决实际问题的基础。
教材通过具体的例题和练习，使学生掌握平行四边形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对图形的认知和判断能力有所提高。
但是，对于平行四边形的判定，学生可能还存在一定的困惑，需要通过实例和练习进一步巩固。
此外，学生可能对理论知识的记忆较为困难，需要通过反复练习和引导，使学生能够熟练掌握判定方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行四边形的判定方法，能够运用判定定理判断一个四边形是否为平行四边形。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：平行四边形的判定方法。
2.教学难点：对平行四边形判定定理的理解和运用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、问答法、示例法、练习法等教学方法，结合多媒体课件和几何画板等教学手段，使学生直观地理解平行四边形的判定方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾已学过的四边形的知识，引导学生思考：如何判断一个四边形是否为平行四边形？从而引出本节课的主题。
2.讲解与演示：讲解平行四边形的定义，并通过多媒体课件展示平行四边形的图形，使学生直观地认识平行四边形。
接着，引导学生观察、分析、总结平行四边形的判定方法，并通过几何画板进行动态演示，使学生更好地理解判定方法。
3.练习与交流：布置一些判断题，让学生运用所学知识进行判断，并及时给予反馈和讲解。
同时，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队合作意识。
18.1.2 平行四边形对角线的性质
1.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，下列说法正确的是( )
A．AC＝BD，OA＝OC
B．AC⊥BD，OB＝OD
C．OA＝OC，OB＝OD
D．OA＝OD，OB＝OC
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝10，AB ＝6，则△OAB的周长为( )
A．12
B．13
C．15
D．16
3．如图，在▱ABCD中，两条对角线AC，BD将▱ABCD分成四个小三角形：△AOB，△AOD，△DOC，△BOC，则这四个小三角形的面积( )
A．都不相等
B．不都相等
C．都相等
D．以上结论都有可能
4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10 cm，AD＝6 cm，则AO＝________．
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F.求证：OE＝OF.
6．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线长的和为36，△OCD的周长为23，则AB的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
7．若平行四边形的两条对角线长是8 cm和16 cm，则这个平行四边形的一边长可以是( )
A．3 cm B．4 cm
C．8 cm D．12 cm
8．如果平行四边形的一条边长为6 cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是( )
A．8 cm和3 cm B．8 cm和4 cm
C．8 cm和5 cm D．8 cm和20 cm
9．如图，平行四边形ABCD的周长为120 cm，AC，BD相交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长小10 cm，则这个平行四边形的一组邻边长分别是( )
A．20 cm，40 cm B．25 cm，35 cm
C．15 cm，45 cm D．10 cm，50 cm
10．如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为( )
A．10 B．9
C．8 D．7
11．请按要求，只用无刻度的直尺作图(请保留画图痕迹，不写作法)：如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，在图中画出∠AOB的平分线．
12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.求AC的长．
13．如图18－1－24，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：AE＝CF.
14．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：EB∥DF.
15．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点M，N.
(1)若四边形ABNM的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为________；
(2)若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为________．
16．如图，在平行四边形ABCD中，PQ，MN分别平行于DC，AD，PQ，MN交于点O，其中S四边形AMOP＝3，S四边形MBQO＝4，S四边形NCQO＝10，则△DMQ的面积＝________．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
(1)若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，求平行四边形ABCD的面积；
(2)若AE＝3，AF＝4，∠EAF＝60°，求平行四边形ABCD的面积；
(3)若∠EAF＝45°，且AE＋AF＝5，AB∶AD＝2∶3，求平行四边形ABCD的面积．
18．如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE.
(1)若∠D＝105°，∠DAF＝35°，求∠FAE的度数；
(2)求证：AF＝CD＋CF.
答案
1．C 2.C 3.C 4.4 cm
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.
6．A 7．C 8．C 9．B
10．A
11．解：如图所示，射线OP即为所求．
12．解：∵AC ⊥AB ， ∴∠BAO ＝90°.
∵AC ∶BD ＝2∶3，∴设AC ＝2a ，BD ＝3a . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝12AC ＝a ，BO ＝1
2
BD ＝1.5a .
在Rt △BAO 中，由勾股定理得：22＋a 2＝(1.5a )2
，解得a ＝45 5，
∴AC ＝2a ＝8
5
5.
13．证明：连接BD ，交AC 于点O ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ，OA ＝OC . ∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠BEO ＝∠DFO . 又∵∠BOE ＝∠DOF ，∴△BEO ≌△DFO ， ∴OE ＝OF ，∴OA －OE ＝OC －OF ，即AE ＝CF .
14．证明：连接BD ，交AC 于点O .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO ，BO ＝DO .
∵AE ＝CF ，∴EO ＝FO .∵∠EOB ＝∠FOD ， ∴△EOB ≌△FOD ，∴∠OEB ＝∠OFD ， ∴EB ∥DF .
15．(1)8 (2)24 16.172
17．解：(1)∵平行四边形ABCD 的周长为40，∴BC ＋CD ＝20.设BC ＝x ，则4x ＝(20－x )×6，解得x ＝12，∴平行四边形ABCD 的面积为12×4＝48.
(2)∵AE ⊥BE ，AF ⊥CD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°.∵∠EAF ＝60°，∴∠C ＝120°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝60°，
∴∠BAE ＝30°，∴AB ＝2BE ，∴AB 2－14AB 2＝32，∴AB ＝2 3(负值已舍去)，∴CD ＝2 3.
∵AF ＝4，∴平行四边形ABCD 的面积是4×2 3＝8 3. (3)设AE ＝x ，则AF ＝5－x . ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，
∴∠AEC ＝∠AEB ＝∠AFD ＝∠AFC ＝90°. ∵∠EAF ＝45°，∴∠C ＝135°. ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，∴∠B ＝∠D ＝180°－135°＝45°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝45°，即
∠B＝∠BAE，∠D＝∠DAF，∴BE＝AE＝x，AF＝DF＝5－x.在△ABE和△ADF中，根据勾股定理得：AB＝2x，AD＝2(5－x)．
∵AB∶AD＝2∶3，∴2x∶2(5－x)＝2∶3，解得x＝2，∴AE＝2，AF＝3，AB＝CD＝2 2，
∴平行四边形ABCD的面积是2 2×3＝6 2.
18．解：(1)∵∠D＝105°，∠DAF＝35°，∴∠DFA＝180°－∠D－∠DAF＝40°(三角形内角和定理)．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD(平行四边形的对边平行)，
∴∠DFA＝∠FAB＝40°(两直线平行，内错角相等)．
∵∠DFA＝2∠BAE(已知)，
∴∠FAB＝2∠BAE(等量代换)，即∠FAE＋∠BAE＝2∠BAE，∴∠FAE＝∠BAE，
∴2∠FAE＝40°，∴∠FAE＝20°.
(2)证明：在AF上截取AG＝AB，连接EG，CG.
又∵∠FAE＝∠BAE，
AE＝AE，∴△AEG≌△AEB，∴EG＝BE，∠B＝∠AGE.
又∵E为BC的中点，∴CE＝BE，∴EG＝CE，
∴∠EGC＝∠ECG.
∵AB∥CD，∴∠B＋∠BCD＝180°.
又∵∠AGE＋∠EGF＝180°，∠AGE＝∠B，
∴∠EGF＝∠BCD.
又∵∠EGC＝∠ECG，
∴∠FGC＝∠FCG，∴FG＝CF.
又∵AG＝AB，AB＝CD，
∴AF＝AG＋FG＝AB＋CF＝CD＋CF.。
