人教版八年级数学下册18.1.2平行四边形对角线的性质练习题教学提纲

四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法2对角线互相平分的四边形是平行四边形。

五、例习题分析例1（教材p96例3）已知：如图abcd的对角线ac、bd交于点o，e、f是ac上的两点，并且ae=cf．求证：四边形bfde是平行四边形．分析：欲证四边形bfde是平行四边形可以根据判定方法2来证明．（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．例2（补充）已知：如图，a′b′∥ba，b′c′∥cb，c′a′∥ac．求证：(1)∠abc＝∠b′，∠cab＝∠a′，∠bca＝∠c′；(2)△abc的顶点分别是△b′c′a′各边的中点．证明：(1)∵a′b′∥ba，c′b′∥bc，∴四边形abcb′是平行四边形．∴∠abc＝∠b′(平行四边形的对角相等)．同理∠cab＝∠a′，∠bca＝∠c′．(2)由(1)证得四边形abcb′是平行四边形．同理，四边形aba′c是平行四边形．∴ab＝b′c，ab＝a′c(平行四边形的对边相等)．∴b′c＝a′c．同理b′a＝c′a，a′b＝c′b．∴△abc的顶点a、b、c分别是△b′c′a′的边b′c′、c′a′、a′b′的中点．例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．解：有6个平行四边形，分别是abof，abco，bcdo，cdeo，defo，efao．理由是：因为正△abo≌正△aof，所以ab=bo，of=fa．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形abcd是平行四边形．其它五个同理．六、随堂练习1．如图，在四边形abcd中，ac、bd相交于点o，（1）若ad=8cm，ab=4cm，那么当bc=____cm，cd=____cm时，四边形abcd为平行四边形；（2）若ac=10cm，bd=8cm，那么当ao=___cm，do=___cm时，四边形abcd为平行四边形．2．已知：如图，abcd中，点e、f分别在cd、ab上，df∥be，ef交bd于点o。

∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO. ∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
10．【2018·大连】如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， 点 E，F 在 AC 上，且 AF＝CE.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB. ∵AF＝CE，∴OE＝OF，
OB＝OD， 在△BEO 和△DFO 中，∠BOE＝∠DOF，
OE＝OF， ∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF.
11．【中考·本溪】如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F，连接 EC.
(2)连接 BF，若 BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求▱ABCD 的 面积．
解：∵∠BEA＝60°，BA＝BE， ∴△ABE 为等边三角形．∴AE＝AB＝4. ∵BF⊥AE，∴F 为 AE 的中点，∴AF＝EF＝2.
∠DAF＝∠E， 在△AFD 和△EFC 中，AF＝EF，
∠AFD＝∠EFC，
【答案】D
6．如图，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P 为 AB 边
上一动点，以 PA，PC 为边作平行四边形 PAQC，则对角线
PQ 长度的最小值为( )
A．6
B．8
C．2 2
D．4 2
【点拨】如图，∵四边形 CPAQ 是平行四边形， ∴AO＝CO，OP＝OQ，∴PQ 最短时，PO 最短， 过 O 作 OP′⊥AB 于 P′， ∵∠BAC＝45°，∴△AP′O 是等腰直角三角形． ∵AO＝12AC＝4，∴OP′＝2 2， ∴PQ 长度的最小值为 2OP′＝4 2.

18.1.1 平行四边形的性质（对角线的特征）教案概述本教案是针对2022-2023学年人教版八年级数学下册中的18.1.1节的内容编写的。

本节课主要介绍了平行四边形对角线的性质，包括对角线的长度和角度之间的关系。

教学目标•理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质；•掌握平行四边形的对角线长度相等的特征；•掌握平行四边形对角线之间角度关系的特征；•能够应用所学知识解决与平行四边形相关的问题。

教学步骤步骤一：导入新知•引导学生回顾平行四边形的定义，让学生讲解平行四边形的性质。

步骤二：对角线的特征1.第一性质：平行四边形的对角线长度相等。

–让学生观察图示，提出猜想。

对角线长度相等–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度，验证猜想。

–教师总结，平行四边形的对角线长度相等。

2.第二性质：平行四边形的对角线互相平分。

–让学生观察图示，提出猜想。

对角线互相平分–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度，验证猜想。

–教师总结，平行四边形的对角线互相平分。

3.第三性质：平行四边形的对角线互相垂直。

–让学生观察图示，提出猜想。

对角线互相垂直–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度和对角线夹角，验证猜想。

–教师总结，平行四边形的对角线互相垂直。

步骤三：应用训练•给学生提供一些平行四边形的例题，让他们应用所学知识解决问题。

步骤四：拓展延伸•引入更复杂的平行四边形相关问题，让学生思考和解决。

步骤五：课堂小结•总结本节课的重点内容，强调平行四边形对角线的特征。

课堂练习1.如下图，ABCD为平行四边形，AC和BD分别为对角线，求证：AC=BD。

练习12.如下图，ABCD为平行四边形，AC和BD分别为对角线，求证：对角线AC与对角线BD互相平分。

练习2总结通过本节课的学习，我们了解了平行四边形对角线的性质。

对角线长度相等、互相平分、互相垂直是平行四边形对角线的重要特征。

掌握了这些性质后，我们能够更好地解决与平行四边形相关的问题。

平行四边形的性质（第二课时）同步练习题一、单选题1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）A ．4和6B ．6和8C ．8和12D ．20和302．平行四边形的一组对角的平分线（ ）A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线 3．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是（ ）．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，已知90ODA =∠°，10cm AC =，6cm BD =，则AD 的长为（ ）第4题 第5题 第7题 第9题 A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是（ ）A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)6．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）A ．4cm ，6cmB ．6cm ，8cmC ．8cm ，12cmD ．20cm ，30cm7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB 3AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A 3B ．32C ．217D ．2178．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列各图中1∠与2∠一定不相等的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）A．18°B．36°C．72°D．144°10．如图，设M是ABCD边AB上任意一点，设AMD∆的面积为1S，BMC∆的面积为2S，CDM∆的面积为S，则（）第10题第12题第13题第14题A．12S S S=+B．12S S S>+C．12S S S<+D．不能确定二、填空题11．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于_____．12．如图，在中，．以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则____．13．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．14．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF 相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．15．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是________．三、解答题16、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长；(2)求▱ABCD的面积．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.ABCD50D∠=︒B AB BA BC PQ P Q12PQ ABC∠M BM AD E AEB∠=122100cmABDC(1)求证：OE＝OF；(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．。

人教版数学八年级下册18.1.1第2课时《平行四边形的对角线特征》教案一. 教材分析人教版数学八年级下册18.1.1第2课时《平行四边形的对角线特征》是在学生已经掌握了平行四边形的定义和性质的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是让学生了解并掌握平行四边形的对角线性质，能够运用对角线性质解决一些几何问题。

教材通过引导学生观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行四边形的定义、性质和判定方法，具备了一定的几何知识基础。

但部分学生对平行四边形的对角线性质的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平行四边形的对角线性质，能够运用对角线性质解决一些简单的几何问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：平行四边形的对角线性质。

2.难点：如何运用对角线性质解决几何问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。

通过设置问题，引导学生观察、思考、探究，激发学生的学习兴趣，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

六. 教学准备1.准备一些平行四边形的图片，用于导入和展示。

2.准备一些平行四边形的模型或纸片，用于学生操练和观察。

3.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些平行四边形的图片，引导学生回顾平行四边形的定义和性质。

然后提出问题：“平行四边形的对角线有什么特殊的性质吗？”让学生思考并发表自己的观点。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，介绍平行四边形的对角线性质。

利用模型或纸片，让学生直观地观察和理解对角线性质。

同时，引导学生发现对角线性质与平行四边形其他性质之间的联系。

没有图形时，分两种情况讨论（如图）
A
a
A
a
5 cm
B
b
C 2 cmc
AC=AB+BC=5+2=7
5cm C
c
2cm
B
b
AC=AB-BC=5-2=3
如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点， △ PAB 和△ QAB的面积有什么关系？为什么？
解：
MP Q N
A
B
收获
DHC
b
DH C b
a
AG B
两条直线平行，其中一条直线上任一点到另 一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。
平行线之间的距离处处相等。
aA
ED
直线a∥b，c∥d∥EF
Bb
c
FC d
四边形ABCD是平行四边形， AD=BC ,AB=CD=EF
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等
AE D a
直线a∥b AB=CD=EF
b
BF C
∵AB//EF ∴ ∠1=∠3
D
C ∴∠2 =∠3 ∴ AF=EF
∴ AF=BM
例7：已知：如图，□ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，
ＢＣ＝４，∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ交ＡＤ于Ｅ，交ＣＤ的延长线于Ｆ． ⑴△ＡＢＥ与△ＤＦＥ全等吗？
⑵求ＣＦ的长．
⑶若连结ＣＥ，则ＣＥ与ＢＥ有怎样的位置关系？
⑷能否求出ＣＥ的长？
例3：已知: □ ABCD的对角线AC、BD相交于点
O，AC =16㎝，BD =12㎝，BC =10㎝，
则□ABCD 的周长是___4_0_c_m____， □ ABCD的面积是___9_6_c_m__2__。

人教版数学八年级下册18.1.2第1课时《平行四边形的判定》说课稿一. 教材分析《平行四边形的判定》是人教版数学八年级下册第18.1.2节的内容，属于几何学的范畴。

本节内容主要介绍了平行四边形的判定方法，是学生进一步理解几何图形，运用几何知识解决实际问题的基础。

教材通过具体的例题和练习，使学生掌握平行四边形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对图形的认知和判断能力有所提高。

但是，对于平行四边形的判定，学生可能还存在一定的困惑，需要通过实例和练习进一步巩固。

此外，学生可能对理论知识的记忆较为困难，需要通过反复练习和引导，使学生能够熟练掌握判定方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行四边形的判定方法，能够运用判定定理判断一个四边形是否为平行四边形。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：平行四边形的判定方法。

2.教学难点：对平行四边形判定定理的理解和运用。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、问答法、示例法、练习法等教学方法，结合多媒体课件和几何画板等教学手段，使学生直观地理解平行四边形的判定方法。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾已学过的四边形的知识，引导学生思考：如何判断一个四边形是否为平行四边形？从而引出本节课的主题。

2.讲解与演示：讲解平行四边形的定义，并通过多媒体课件展示平行四边形的图形，使学生直观地认识平行四边形。

接着，引导学生观察、分析、总结平行四边形的判定方法，并通过几何画板进行动态演示，使学生更好地理解判定方法。

3.练习与交流：布置一些判断题，让学生运用所学知识进行判断，并及时给予反馈和讲解。

同时，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队合作意识。

作业要求：
1.作业书写要规范，保持字迹清晰，便于阅读。
2.解题过程要求简洁明了，逻辑清晰，体现出对平行四边形判定方法的掌握。
3.小组合作的作业要体现出每个成员的参与和贡献，提高合作效果。
4.课堂小结要认真撰写，反映出对本节课知识的理解和反思。
3.学生回顾已学的平行四边形性质，为新课的学习打下基础。
（二）讲授新知，500字
1.教师引导学生通过观察、猜想和证明，发现并掌握“一组对边平行且相等”的判定方法。
a.展示一个具有一组对边平行且相等的四边形，让学生观察并描述其特征。
b.学生通过实际操作，尝试证明这一判定方法。
c.教师点评学生的证明过程，总结并强调关键步骤。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生对数学问题的求解欲望。
3.培养学生的空间观念，使学生认识到数学在现实生活中的应用价值。
一、导入新课
1.引导学生回顾已学的平行四边形的性质，为新课的学习打下基础。
2.提问：“如何判断一个四边形是平行四边形？”引导学生思考，为新课的学习做好铺垫。
二、新课讲解
1.讲解“一组对边平行且相等”的判定方法，让学生通过实际操作、观察、猜想、证明等过程，理解并掌握这一判定方法。
5.拓展延伸，提高思维
在课堂小结阶段，对所学知识进行拓展延伸，提出更具挑战性的问题，引导学生深入思考，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
6.关注个体差异，因材施教
在教学过程中，关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，采用个性化的教学方法，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
7.反馈与评价，促进成长
3.教师挑选部分学生的解答进行展示，分析解题思路和技巧。
4.学生互相评价练习成果，总结经验教训。

1.理解并掌握平行四边形对角线的性质，培养几何直观和空间想象能力；
2.能够运用平行四边形对角线性质解决实际问题，提升解决问题的能力；
3.通过探索平行四边形对角线性质，培养推理能力和数形结合思维；
4.增强合作交流意识，提高团队协作能力，培养数学表达和交流素养。
三定义及其性质的理解与应用；
-掌握平行四边形对角线互相平分的性质，并能运用此性质解决相关问题；
-理解并运用平行四边形对角线长度关系及判定方法。
举例解释：
-重点讲解如何从定义出发，推导出平行四边形对角线互相平分的性质，并通过具体图形演示这一性质；
-强调在解决实际问题时，如何运用对角线平分的性质简化计算，例如在给定对角线长度的情况下，确定平行四边形的面积；
人教版八年级下册数学（教案）18.2《平行四边形对角线的性质》
一、教学内容
人教版八年级下册数学第18.2节《平行四边形对角线的性质》：
1.平行四边形对角线的定义及表示方法；
2.平行四边形对角线互相平分的性质；
3.平行四边形对角线长度关系及判定方法；
4.利用平行四边形对角线性质解决实际问题。
二、核心素养目标
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形对角线的基本概念、重要性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行四边形对角线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了平行四边形对角线的性质。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。

求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
A
D
13
O
4 B
2 C
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
课本例2 如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．
练习
如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是 AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
已知: □ ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，AC =16cm， BD =12cm，BC =10cm，则□ABCD 的周长是_4_0_c_m_, □ABCD的面积是___9_6c_m__2 ___.
A.13 B.17
C.20 D.26
3.如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB， BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ▱ABCD的面积为( A )cm2. A．40 B．32 C．36 D．50
4. 如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A，E，F，
C在一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
O
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．
作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
A
D
E
O F
B

人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)教案【教学目标】1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【教学重点】经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.【教学难点】掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究知识点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形例1如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF ＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC ＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．知识点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形例2如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB ＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D ＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．知识点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形例3如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ；(2)四边形AFBE 是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 即可．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎨⎧∠C ＝∠D ，∠COA ＝∠DOB ，AO ＝BO ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．知识点四：平行四边形的判定定理(1)的应用【类型一】 利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等例4如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，点E ，点F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段DE ，BF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE 是平行四边形，从而得出DE ＝BF ，DE ∥BF .解：DE ＝BF ，DE ∥BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ＝BF ，DE ∥BF .方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．【类型二】 平行四边形的判定定理(1)的综合运用例5如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)连接BF 、DE ，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS ”可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先根据△ABE ≌△CDF 得出AE ＝FC ，BE ＝DF .再利用已知得出△ADE ≌△CBF ，进而得出DE ＝BF ，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA .∵BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠DFC ＝∠BEA ，∠FCD ＝∠EAB ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF (AAS)；(2)解：四边形BFDE 是平行四边形．理由如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝FC ，BE ＝DF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAC＝∠BCA .在△ADE 和△CBF 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝FC ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，∴DE ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．三、教学小结本节课我们主要学习了平行四边形的判定方法:平行四边形的定义文字语言:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.符号语言:∵AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理1文字语言:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB =CD ,AD =BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理2文字语言:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠A =∠C ,∠B =∠D ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理3文字语言:对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.四、学习检测1..如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.(1)若AD=8 cm,AB=4 cm,那么当BC=cm,CD=cm时,四边形ABCD为平行四边形;(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO=cm,DO=cm时,四边形ABCD为平行四边形.解析:(1)此题主要考查了平行四边形的判定定理的应用.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,即可确定BC,CD的长.(2)此题主要考查了平行四边形的判定定理的应用.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可确定AO,DO的长.答案:(1)84(2)4 52.如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件: (只添加一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.解析:答案不唯一.所填条件能使△AOB≌△COD,或者△AOD≌△COB即可.可填:①AB∥CD,②AD∥BC,③∠BAO=∠DCO,④∠ABO=∠CDO,⑤∠ADO=∠CBO,⑥∠DAO=∠BCO等.故可填AB∥CD.3.如图所示的是由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察、分析发现:①第4个图形中平行四边形的个数为.②第8个图形中平行四边形的个数为.解析:根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可以判断图中的平行四边形的个数.通过观察、分析,寻找规律,即可解决问题.答案:①6②204.如图所示,在▱ABCD中,点E,F是对角线AC上两点,且AE=CF.求证∠EBF=∠FDE.解析:要证明∠EBF=∠FDE,根据平行四边形的性质,只要证明四边形BEDF是平行四边形即可.由AE,CF在▱ABCD的对角线上,可考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,证明EF与BD互相平分即可.证明:连接BD交AC于点O,如图所示,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形,∴∠EBF=∠FDE.【板书设计】18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)征1．平行四边形的判定定理(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形．2．平行四边形的判定定理(1)的应用【教学反思】在本节数学课的教学中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)学案【学习目标】1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【学习重点】经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.【学习难点】掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【自主学习】一、知识回顾1.平平行四边形的定义是什么？有什么作用？2.除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？3.平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？二、自主探究知识点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形猜一猜将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?证一证已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：连接AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD ，AC=CA，∴△ABC_____△CDA(________).BC=DA，∴∠1____∠4 , ∠ 2_____∠3，∴AB_____CD , AD_____BC，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对边分别_________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是_________________.【典例探究】例1如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．例2 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．【跟踪练习】如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.知识点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形猜一猜对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?证一证已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°，又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴___∠A+___∠B=_______°，即∠A+∠B=______°，∴ AD_____BC.同理得 AB_____CD，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=______，∠B=______,∴四边形ABCD是_______________.【典例探究】例3如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．【跟踪练习】1.判断下列四边形是否为平行四边形：2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（）A. 1:2:3:4B. 1:4:2:3C. 1:2:2:1D. 3:2:3:2知识点3：对角线互相平分的四边形是平行四边形猜一猜如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？证一证已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和△COD中,OA=OC，∠AOB=∠COD，∴△AOB______△COD(________).OB=OD，∴∠BAO_____∠OCD , ∠ ABO_____∠CDO,∴AB_____CD , AD_____BC，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AO_____CO,DO_____BO,∴四边形ABCD是______________.【典例探究】例4(教材P46例3变式题)如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC 于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由.例5昨天林莉同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,她想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是她想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？(请用多种方法)【跟踪练习】1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是（）A.两组对边分别相等B.两条对角线互相平分C.两条对角线相等D.两组对边分别平行2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形( )(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形（）(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形( )(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形( ）2.下列命题中,正确的是()A.两组角相等的四边形是平行四边形B.一组对边相等,两条对角线相等的四边形是平行四边形C.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.四边形ABCD中,AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:①如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;③如果再加上条件“OA=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.其中正确的说法是()A.①②B.①③④C.②③D.②③④4.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形（）A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=COC．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD5.如图，在四边形ABCD中，(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 __________.(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是___ _______.(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.6.如图所示,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,求证四边形AECF是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D,∵E,F分别为AB,CD的中点,∴AE=BE=AB,CF=DF=CD.∴AE=CF,BE=DF,在△ADF和△CBE 中,AD=BC,∠B=∠D,BE=DF,∴△ADF≌△CBE(SAS).∴AF=CE,∴四边形AECF 是平行四边形.7.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．求证：四边形AB PE是平行四边形．第4题图第5题图8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是OA,OC的中点,求证BM∥DN,且BM=DN.证明:连接DM,BN,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵M,N分别是OA,OC的中点,∴OM=OA,ON=OC,∴OM=ON.∴四边形BMDN是平行四边形,∴BM∥DN,且BM=DN.9.如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．10.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．11.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？12.如图,在▱ABCD中,E,F,G,H分别是四条边上的点,且满足AE=CF,BG=DH,连接EF,GH.(1)猜想EF与GH的关系;(2)证明你的猜想.(1)解:EF与GH互相平分.(2)证明:连接EG,GF,FH,HE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C.又∵DH=BG,∴AD-DH=BC-BG,即AH=CG.又∵AE=CF,∴△AEH≌△CFG.∴EH=FG,同理可证明HF=GE.∴四边形EGFH是平行四边形.∴EF与GH互相平分.。

5．如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O， 过点 O 的任意一条直线与边 AD 相交于点 E，与边 BC 相交于点 F.求证：OE＝OF. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC. ∴∠EAO＝∠FCO， ∠AEO＝∠CFO.
在△AOE 和△COF 中， ∠EAO ∠FCO， ∠AEO ∠CFO， OA OC，
3．如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O.如果 AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么 x 的取值范 围是 3＜x＜11 .
4．如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 M，N.若△CON 的面积为 2，△DOM 的面积为 4，则▱ ABCD 的面 积为 24 .
方法点拨：本题考查了平行四边形的性质、勾 股定理和平行四边形面积的计算方法．利用倒 推法求出 AB 的长是解题的关键．
1．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相 交于点 O，则下列说法一定正确的是( C ) A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
2．如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O， 且 AB＝9，△OCD 的周长为 27，则平行四边形 ABCD 的两条对角线的和是 36 .
例 (教材 P44 例 2 变式)如图，▱ ABCD 的两条对角 线 AC 与 BD 相交于点 ，且 AC⊥AB.已知 AC＝10， BD＝26，求▱ ABCD 的面积．
分析：
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC＝12AC＝5， OB＝OD＝12BD＝13. 在 Rt△AOB 中， ∴AB＝ OB2－OA2＝12. ∴S▱ ABCD＝AB·AC＝12×10＝120.

新知基本功 【点拨】如图，过点E作EF⊥BC，垂足为点F. ∵∠EBC＝30°，BE＝10，∴EF＝1BE＝5.
2 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DEC＝∠BCE.
∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC. ∴BC＝BE＝10.
∴S▱ABCD＝BC·EF＝10×5＝50. 【答案】50
解：由题意得OB＝OD， ∴S△AOD＝S△AOB＝12AO×AB＝45 5.
精彩一题 14．如图①，已知▱ABCD. (1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的
两部分(保留作图痕迹，不写作法)；
① 解：作图如图①(作法不唯一)．
①
精彩一题
(2)由上述方法，你能得到什么样的结论？ 解：过对角线交点的任意一条直线都能将平行四边 形分成面积相等的两部分．
新知基本功
1．平行四边形的对角线_互__相__平__分__，并将平行四边形分成 __4____对全等的三角形，___1_2__对面积相等的三角形．
新知基本功
2．【2021·宜宾】下列说法正确的是( D ) A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
素质一练通
(2)若直线l分别交BA和DC的延长线于点M，N，OM与ON相
等吗？试说明理由． 解：OM＝ON.理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥CD，∴∠OBM＝∠ODN.
在△OBM和△ODN中， ∠OBM＝∠ODN， OB＝OD， ∠BOM＝∠DON， ∴△OBM≌△ODN(ASA)，∴OM＝ON.
∵AH⊥BD，∴12OB·AH＝12AB·OA，即12× 6·AH＝12×2× 2，