(完整版)平行四边形性质定理

平行四边形的性质与定理平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

在数学中，平行四边形具有一些特殊的性质与定理，下面将逐一介绍。

1. 平行四边形定义平行四边形是一种特殊的四边形，其两组对边分别平行。

如果将平行四边形的对边延长，它们将永不相交。

2. 平行四边形的性质2.1 对边性质平行四边形的对边长度相等。

即，对边AB与CD长度相等，对边AD与BC长度相等。

2.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。

即，对角线AC和BD相交于O点，且AO = OC，BO = OD。

2.3 到任意点的距离性质平行四边形上的任意一点到相邻两边的距离之差相等。

即，从点P到AB的距离减去从点P到CD的距离等于从点P到BC的距离减去从点P到AD的距离。

2.4 内角和性质平行四边形的内角和为360°。

即，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

3. 平行四边形的定理3.1 对边定理如果一个四边形的对边分别平行且长度相等，那么这个四边形是平行四边形。

对边定理可以用于判断一个四边形是否为平行四边形。

3.2 邻补角定理在平行四边形中，相邻的内角互补，即相邻的内角之和为180°。

例如，∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，以此类推。

3.3 余补角定理在平行四边形中，对角互补，即对角之和为180°。

例如，∠A +∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

3.4 对顶角定理在平行四边形中，对顶角相等。

即，∠A = ∠C，∠B = ∠D。

4. 平行四边形的应用平行四边形的性质与定理在几何应用中有广泛的应用。

4.1 建筑设计平行四边形的性质可用于建筑设计中的墙体、天花板、地板等结构的布置。

设计师可以利用平行四边形的特性来构建更美观、稳定的建筑。

4.2 求解几何问题在解题过程中，利用平行四边形的性质可以简化许多几何问题。

例如，通过对边性质可以判断两条线段是否平行，通过对角线性质可以判断四边形是否为平行四边形。

平行四边形的性质与定理平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和定理。

在本文中，我们将探讨这些性质和定理，从而更好地理解平行四边形。

一、性质：1. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

换句话说，对角线的交点将对角线分成两个相等的部分。

2. 对角线互相等长：在平行四边形中，对角线相等长。

这是因为平行四边形的两对边都是平行的，从而使得对角线相等。

3. 两对边相互平行：平行四边形的两对边是平行的。

这意味着对立边是平行的，以及相邻边是平行的。

4. 两个相邻角和为180度：在平行四边形中，两个相邻角的和始终为180度。

也就是说，如果我们将平行四边形的一个内角称为x度，那么相邻的内角将为(180 - x)度。

二、定理：1. 相反角相等：在平行四边形中，对立的内角是相等的。

也就是说，如果一个内角为x度，那么它的对立内角也是x度。

2. 同位角相等：在平行四边形中，同位角是相等的。

同位角是指两个内角分别位于平行四边形的对角线之间的角。

3. 内角和为360度：平行四边形的内角和始终为360度。

也就是说，四个内角加起来总是等于360度。

4. 对角线的交点连线平分相邻角：在平行四边形中，对角线的交点将相邻内角平分。

换句话说，对角线所形成的线段将相邻内角分成两个相等的角。

5. 对角线长度关系：在平行四边形中，对角线所形成的线段之间存在一定的比例关系。

具体来说，如果对角线的长度分别为d1和d2，那么d1与d2的比值等于平行四边形两对边长度的比值。

综上所述，平行四边形具有以上的性质和定理。

这些性质和定理帮助我们理解了平行四边形的特点和关系，为解决与平行四边形相关的问题提供了重要的指导。

对于数学学习者来说，掌握这些性质和定理将有助于提高解题能力和准确性。

总而言之，平行四边形是一个重要的几何概念，具有丰富的性质和定理。

通过深入理解它们，我们可以更好地应用于实际问题的推理和证明中，同时也能够更好地理解几何学的其他概念和定理。

四边形判定定理以及性质定理一'平行四边形：判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

性质：（1）平行四边形两组对边分别平行。

（2）平行四边形的对边相等。

（3）平行四边形的对角相等。

（4）平行四边形的两条对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

二、矩形：判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个内角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等平行四边形是矩形。

性质：（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的两条对角线相等。

三、菱形：判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）四条边都相等的四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

性质：（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

四、正方形：判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）有一个内角是直角的菱形是正方形。

性质：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形的两条对角线相等，井且互相垂直，每条对角线平分一组对角。

五、梯形：判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。

)word(2)在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

(3)对角线相等的四边形是等腰梯形。

性质：(1)等腰梯形在同一底边上的两个内角相等。

(2)等腰梯形的两条对角线相等。

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平行四边形
定义：
在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

性质：
（1）平行四边形对边平行且相等。

（2）平行四边形两条对角线互相平分。

（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补
判定：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

性质
矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可归结为从三个方面来看：
（1）平行四边形与矩形共有的性质：
①从边看，矩形对边平行且相等。

（2）矩形特有的性质：
②从角看，矩形四个角都是直角。

③从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。

④矩形的代表：正方形——具有菱形和平行四边形的一切性质。

判定
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形性质定理2
直角三角形斜边中线等于斜边一半
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等。

1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。

⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。

平行四边形的性质与定理平行四边形是几何学中常见的一种四边形，具有一些特殊的性质与定理。

本文将介绍平行四边形的基本性质，并探讨一些与平行四边形相关的定理。

一、平行四边形的定义与性质1. 定义：如果一个四边形的对边都是平行的，则该四边形称为平行四边形。

2. 性质：a) 两对对边分别相等：在平行四边形中，对边是两两平行的，因此对边的长度也相等。

b) 两对对角线分别相等：平行四边形的两对对角线分别相等。

c) 两对内角互补：平行四边形的两对内角互补，即相邻的内角之和为180度。

二、平行四边形的定理1. 定理1：平行四边形的对边平等定理在平行四边形中，对边相等。

即AB = CD，BC = AD。

2. 定理2：平行四边形的同名角对应角相等定理如果一对同名角是平行四边形的对应角，则它们相等。

即∠A = ∠C，∠B = ∠D。

3. 定理3：平行四边形的同位角互补定理如果一对同位角是平行四边形的内角，则它们互补。

即∠A + ∠B = 180度，∠C + ∠D = 180度。

4. 定理4：平行四边形的对角线互相平分定理平行四边形的对角线互相平分。

即对角线AC平分∠B，对角线BD平分∠A。

5. 定理5：平行四边形的对角线定理平行四边形的对角线互相等分。

即AC = BD。

三、应用示例下面通过一个具体的应用示例来展示平行四边形性质与定理的应用。

示例：已知四边形ABCD是平行四边形，AB = 8cm，BC = 6cm，∠A = 120度。

求解该平行四边形的其他角度和对边的长度。

解答：由于ABCD是平行四边形，根据定理1，对边相等，即AB = CD，BC = AD。

所以CD = 8cm，AD = 6cm。

根据定理3，同位角互补，可得∠B = 180度 - ∠A = 180度 - 120度= 60度。

又根据定理2，同名角对应角相等，可知∠C = ∠B = 60度。

由于∠C + ∠D = 180度，带入已知数据，可得∠D = 180度 - ∠C = 180度 - 60度 = 120度。

判定定理以及性质定理四边形判定定理四边形一、平行四边形：一、平行四边形：判定：判定：）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

性质：性质：）平行四边形两组对边分别平行。

（1）平行四边形两组对边分别平行。

（2）平行四边形的对变相等。

）平行四边形的对变相等。

）平行四边形的对角相等。

（3）平行四边形的对角相等。

）平行四边形的两条对角线互相平分。

（4）平行四边形的两条对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

二、矩形：二、矩形：判定：判定：）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

）有三个内角是直角的四边形是矩形。

（2）有三个内角是直角的四边形是矩形。

）对角线相等平行四边形是矩形。

（3）对角线相等平行四边形是矩形。

性质：性质：）矩形的四个角都是直角。

（1）矩形的四个角都是直角。

）矩形的两条对角线相等。

（2）矩形的两条对角线相等。

三、菱形：三、菱形：判定：判定：）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

）四条边都相等的四边形是菱形。

（2）四条边都相等的四边形是菱形。

）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

性质：性质：）菱形的四条边都相等。

（1）菱形的四条边都相等。

）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

平行四边形性质定理证明过程设有平行四边形ABCD，我们需要证明以下几个性质：性质1：对角线互相平分证明：连接AC和BD，我们需要证明AC平分BD，即证明线段AC与BD的中点重合。

首先，通过平行四边形的性质可知∠CAB=∠BDC（同旁内角）和∠ACB=∠BDA（同旁外角）。

由于同旁内角相等，可以得到三角形ABC与三角形CBD之间的相似关系。

同理，由于同旁外角相等，可以得到三角形ACB与三角形ADB之间的相似关系。

进一步，由于∠CAB=∠BDC和∠ACB=∠BDA，以及∠ABC=∠BDC和∠CBA=∠ADB，根据AA相似判定可以得知三角形ABC与三角形CBD全等。

所以，线段AC与BD的中点重合，即对角线互相平分。

性质2：平行四边形内角互补证明：证明∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°和∠D+∠A=180°。

由于平行四边形ABCD，我们可以得到则∠A=∠C和∠B=∠D，根据数学基本性质可知∠A+∠B=∠C+∠D，即所证明的第一个等式成立。

进一步，我们将平行四边形ABCD旋转180°，得到的平行四边形为A'B'C'D'。

此时，线段AD'与BC平行且相交于点E，线段AB'与CD平行且相交于点F。

由于平行四边形ABCD可以看作平行四边形A'B'C'D'的镜像，所以∠A'=∠C'和∠B'=∠D'。

同样地，我们可得到∠A'+∠B'=∠C'+∠D'。

根据平行线性质可知∠A'+∠B'=180°和∠C'+∠D'=180°。

由于∠A'=∠C'和∠B'=∠D'，所以∠A+∠B=180°和∠C+∠D=180°。