§2.4函数的分布

= P {ξ + η ≤ z }
=
x + y≤ z
∫∫ f ( x , y )dxdy
z− x −∞
= ∫ dx ∫
−∞
+∞
f ( x , y )dy
f ζ ( z ) = Fζ′ ( z )
的公式。 下面导出直接用 f (x,y)计算 f ζ (z ) 的公式。 计算
Fζ ( z ) = ∫ dx ∫
一般方法及步骤： 一般方法及步骤： • 利用分布函数及公式计算 Fζ (z ) Fζ ( z ) = P{ζ ≤ z } = P { g (ξ ,η ) ≤ z }
=
g ( x , y )≤ z
∫∫ f ( x , y )dxdy
• 求导
f ζ ( z ) = Fζ′ ( z )
和的分布 （P.67） ） 设 (ξ ,η ) ∼ f ( x , y ), ζ = ξ + η , 求 f ζ ( z ) = ? 解 Fζ ( z ) = P{ζ ≤ z }
一、离散型随机变量函数的分布 1. 一元函数 η＝g(ξ) ξ ξ −1 0 1 例 （P.63例1） 例 ）
的分布律。 求 η＝2ξ－1 和 ζ＝ξ 2 的分布律。
2
3
P 0.2 0.1 0.2 0.4 0.1
解 “因变量”与“自变量”可能值的关系表； 因变量” 自变量”可能值的关系表； 因变量
ζ ξ － ξ P {ζ=1}= P {ξ=－1}+ P {ξ=1}
= 0.2 + 0.2 = 0.4
类似可得 : P {ζ = 4} = 0.4, P {ζ = 9} = 0.1
ζ
0
1
4
9
分布表： 分布表：
P 0.1 0.4 0.4 0.1
一般方法： 一般方法：
p 设 η = g (ξ )， i = P {ξ = x i }, y i = g ( x i ), i = 1,2,L . 互不相同， • 若 y1 , y 2 ,L 互不相同，则
b
,
y∈ R
（2）当b<0时， ） 时 y−a } Fη ( y ) = P{η ≤ y } = P{a + bξ ≤ y } = P{ξ ≥
y − a = 1 − Fξ ( y − a ) } = 1 − P {ξ < b b ( y − a − bµ ) 2 − 1 2σ 2 b 2 fη ( y ) = − e y∈ R 2π σb
b
综合起来， 综合起来，对于 η = a + bξ ( b ≠ 0), 有
fη ( y ) =
1 2π σ | b |
e
( y − a − bµ ) 2 − 2 σ 2b 2
, y∈ R
重要结果
ξ ~ N ( µ ,σ 2 )
⇒ • a + bξ (b ≠ 0) ~ N (a + bµ , | b |2 σ 2 ) •
推广： 推广： 且相互独立， 设 ξ i ∼ N ( µ i , σ i2 )( i = 1,2,L , n), 且相互独立，则
∑a ξ ∼
i i i =1
n
N ( ∑ ai µ i ,
i =1
n
∑a σ
2 i i =1
n
2 i
)
是不全为零的常数。 其中 a1 , a 2 ,L , a n 是不全为零的常数。
类似可得： 类似可得： P{ξ = 0} = 0.2,L见P .65 ( 2) η 的可能值： 2,−1,0,2,4. 的可能值： −
ξ － ξ － P {ξ=－1}=P {ξ1=－1, ξ2=0}
= 0.3 + 0.1 = 0.4
其余的概率及分布表见P.65 其余的概率及分布表见
二、连续型随机变量函数的分布 1. 一元函数
类似可得： 类似可得： P{η = 1} = 0.2, P{η = 3} = 0.4, P {η = 5} = 0.1
η − 3 −1
1
3
5
分布表： 分布表： P 0.2 0.1 0.2 0.4 0.1
不重复) （1）ζ 的可能值：0，1，4，9。(不重复 ） 的可能值： ， ， ， 。 不重复
P{ζ = 0} = 0.1,
（1）当b>0时， ） 时 y−a } Fη ( y ) = P{η ≤ y } = P{a + bξ ≤ y } = P{ξ ≤
y−a ) = Fξ ( b y−a 1 fη ( y ) = Fη′( y ) = f ξ ( )⋅ b b
− 1 e = 2π σb ( y − a − bµ ) 2 2σ 2 b 2
所以
1 fη ( y ) = Fη′( y ) 2 y [ f ξ ( y ) + f ξ ( − y )], = 0, y > 0; y ≤ 0.
e − y , = 0,
y > 0; y ≤ 0.
2. 二元函数
设 (ξ ,η )
∼ f ( x , y ), ζ
= g (ξ ,η ), 求 f ζ ( z ) = ?
§2.4 随机变量函数的分布
设ξ是一个随机变量，η＝g(ξ)是ξ的一个函数， 是一个随机变量， ξ 是 的一个函数， 一般地， 也是一个随机变量。 一般地，η也是一个随机变量。 实际中， 自变量”的分布往往容易测定， 实际中，“自变量”的分布往往容易测定，而 因变量”的分布不容易测定。 “因变量”的分布不容易测定。 本节就一元和二元的情形，介绍如何利用“ 本节就一元和二元的情形，介绍如何利用“自 变量”的分布（已知）来推出“因变量” 变量”的分布（已知）来推出“因变量”的分 顺序是： 布。 顺序是： 1. 一元 1. 一元 一、离散型 二、连续型 2.二元 二元 2.二元 二元
ξ −µ 特别： 特别： ~ N (0, 1) σ
标准化
a − µ ξ − µ b − µ • P {a < ξ ≤ b} = P < ≤ σ σ σ b− µ a− µ = Φ − Φ σ σ
一致。 与P.51 (2.37)一致。 一致
2 xe , x > 0; 例 （P.66例4）设 ξ ∼ f ξ ( x ) = 例 ） x ≤ 0. 0, 2 的概率密度。 求 η = ξ 的概率密度。
另外 泊松分布的可加性，二项分布的可加性， 泊松分布的可加性，二项分布的可加性，见 P.83的23题和 题。 题和24题 的 题和 极大、极小的分布见 极大、极小的分布见P.83的20题。 的 题
− x2
解
设η的分布函数 Fη ( y ).
2
Fη ( y ) = P{η ≤ y } = P{ξ ≤ y } 当 y < 0时，Fη ( y ) = 0,
当 y > 0时，Fη ( y ) = P{− y ≤ ξ ≤
y}
= P{− y < ξ ≤
y } + P{ξ = − y }
= Fξ ( y ) − Fξ ( − y )
已知 ξ ~ f ξ ( x ) ( Fξ ( x )),η = g (ξ ), 求 η ~ fη ( y ) = ?
方法及步骤： 方法及步骤：
• 建立 Fη ( y )与Fξ ( x )之联系， 之联系， • 利用 fη ( y ) = Fη′( y )
ξ ~ N ( µ , σ 2 ),η = a + bξ (b ≠ 0).求 fη ( y ). 例（P.65）设 ） ( x − µ )2 − 1 解 2σ 2 fξ ( x ) = e , x∈ R 2π σ 设η的分布函数 Fη ( y ).
ζ＝ξ + η，求 f ζ (z ).
0, 其它。 其它。
解法1（一般方法） 解法 （一般方法）
Fζ ( z ) = P{ζ ≤ z } = P {ξ + η ≤ z }
=
x + y≤ z
∫∫ f ( x , y )dxdy
当z ≤ 0时，f ( x , y ) = 0, 因此Fζ ( z ) = 0;
−∞
+∞
当ξ与η独立时，有卷积公式： 独立时，有卷积公式：
f ζ ( z ) = ∫ f ξ ( x ) fη ( z − x )dx
−∞ +∞
或
f ζ ( z ) = ∫ f ξ ( z − y ) fη ( y )dy
−∞
+∞
例 (P.68例5) 例 −( x + 2 y ) , x > 0, y > 0; 2 e 设 (ξ ,η ) ∼ f ( x , y ) =
P 0.2 ξ −1 2ξ − 1 − 3 ξ2 1 0.1 0 −1 0 0.2 0.4 0.1 1 2 3 1 3 5 1 4 9
（1）η 的可能值：－ ，－1，1，3，5。 ） 的可能值：－3，－ ， ， ， 。 ：－ ，－ η － ξ － P {η=－3}= P {ξ=－1} = 0.2
P {η = −1} = P {ξ = 0} = 0.1
z
= 2(e − e
−z
0 −2 z
பைடு நூலகம்
)
正态分布的可加性（ 正态分布的可加性（P.83 22题） 题
且相互独立， 设 ξ ∼ N ( µ1 , σ 12 ),η ∼ N ( µ 2 , σ 22 ), 且相互独立，则 aξ + bη N (aµ1 + bµ 2 , a 2σ 12 + b 2σ 22 ) ∼
−∞
+∞
z− x
−∞
f ( x , y )dy
令 y=u-x, 则
Fζ ( z ) = ∫ dx ∫ f ( x , u − x )du =