北京市丰台区2015届高三上学期期末数学试卷(文科)(Word版含解析)

2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣44．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=05．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=；b=．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；，S k成等比数列，求正整数k的值．（II）若a3，a k+116．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.0018．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k 1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴m=3，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．4．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故选：A．5．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sin2α﹣cos2α=1，化为=，∴=或，k∈Z．当k=0时，可得α=或．∴“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”必要不充分条件，7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1，不正确．B，y=3×（﹣1）=﹣3，C，y=3﹣1=，D，y==﹣．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（x+1）⇔a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值﹣1，当x=2时，函数取最大值1，故a∈[﹣1，1]，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=1；b=5．【解答】解：由题意可得S=acsinB=×a×4×=2，解得a=1，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2acsinB，=1+32﹣2×1×4×=25，解得b=5．故答案为：1；5．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S==6，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==4，故答案为：4．13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为64dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．【解答】解：可设A i纸张的长度为y i，i=0，1， (8)由A4纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为，可得y4=2，由题意可得y0=2•24=32，即有A0纸的面积为32×2=64dm2；由A0，A1，A2，…，A8纸9张纸的面积构成一个以64为首项，为公比的等比数列，可得这9张纸的面积之和为=dm2．故答案为：64，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若a3，a k，S k成等比数列，求正整数k的值．+1【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意知a2+a3=10，即2a1+3d=10，由a1=2，解得d=2．所以a n=2+2（n﹣1）=2n，即a n=2n，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．又a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），由已知可得，即（2k+2）2=6（k2+k），整理得k2﹣k﹣2=0，k∈N*．解得k=﹣1（舍去）或k=2．故k=2．…（13分）16．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期，所以．又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=．由sinx∈[﹣1，1]，所以当时，g（x）有最大值；当sinx=﹣1时，g（x）有最小值﹣3．…（13分）17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.00【解答】（共13分）（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．解：即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．…（13分）18．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣e x，f′（x）=1﹣e x．当x=0时，y=﹣1，又f′（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）由f（x）=x﹣ae x，得f′（x）=1﹣ae x．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；当x=a时，f（a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）≤0，当x=1时，f（1）=1﹣ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当a＞0时，令f'（x）=0，得x=﹣lna．f（x）与f'（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则有f（﹣lna）=0，即﹣lna﹣a e﹣lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；（Ⅲ）曲线f（x）=x﹣ae x与曲线g（x）=x3最多有3个交点．20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，则．又，故．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，．…（8分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．由消y ，得x 2+2mx +2m 2﹣4=0．当△=4m 2﹣8m 2+16＞0，即﹣2＜m ＜2时，直线与椭圆交于两点． 设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2m ，．又，，故=．又，，所以（y 1﹣1）（x 2﹣2）+（y 2﹣1）（x 1﹣2）==x 1x 2+（m ﹣2）（x 1+x 2）﹣4（m ﹣1）=2m 2﹣4+（m ﹣2）（﹣2m ）﹣4（m ﹣1）=0． 故k 1+k 2=0．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2015-2016学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1+ai）是实数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．（5分）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．（5分）已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤20174．（5分）若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A．B．C．D．25．（5分）函数在区间[0，π]上的零点之和是（）A． B． C． D．6．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c7．（5分）若F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B两点，线段AB的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（2x﹣1）7的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）10．（5分）若x，y的满足，则z=2x﹣y的最小值为．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=．12．（5分）在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则的最大值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．（5分）设函数其中a＞﹣1．①当a=0时，若f（x）=0，则x=；②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，AB=12，，，点D在边BC上，且∠ADC=60°．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）求线段AD的长．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，F是PD的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．17．（14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；（Ⅲ）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1，P2，P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若存在实数x0∈（﹣1，0），且，使得，求实数a 的取值范围．19．（13分）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN 的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B 关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．20．（13分）已知数列{a n}的各项均为正数，满足a1=1，a k+1﹣a k=a i．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．2015-2016学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1+ai）是实数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：复数（1+i）（1+ai）=1﹣a+（1+a）i，因为复数是实数，所以1+a=0，解得a=﹣1．故选：D．2．（5分）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤2017【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A==，n=2+1=3，…当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．故选：B．4．（5分）若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A．B．C．D．2【解答】解：曲线的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线表示以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．∴曲线的圆心到原点得距离为，∴点P与坐标原点的最短距离为．故选：A．5．（5分）函数在区间[0，π]上的零点之和是（）A． B． C． D．【解答】解：由=0得sin2x=﹣cos2x，即tan2x=﹣，即2x=kπ﹣，即x=﹣，∵0≤x≤π，∴当k=1时，x=，当k=2时，x=，则函数f（x）的零点之和为+=，故选：C．6．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c【解答】解：分别作出函数y=2x，（红色曲线），y=x（绿色曲线），y=log2x（蓝色曲线）的图象，则由图象可知当1≤x≤2时，对应的函数2x＞x＞log2x，即对应的平面的面积依次减小，即c＜b＜a，故选：A．7．（5分）若F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B两点，线段AB的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B两点，∴A（a，0），B（0，b），∵线段AB的中点在直线x=c上，∴，∴椭圆的离心率e===．故选：B．8．（5分）在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①存在一个平面AB1D1与正方体的12条棱所成的角都相等，故①正确；②存在一个平面AB1D1与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；．．③存在一条直线AC1与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；④存在一条直线AC1与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（2x﹣1）7的展开式中，x2的系数等于﹣84．（用数字作答）【解答】解：（2x﹣1）7的展开式中，通项公式为T r+1=•（2x）7﹣r•（﹣1）r，令7﹣r=2，解得r=5；所以展开式中x2的系数为•22•（﹣1）5=﹣84．故答案为：﹣84．10．（5分）若x，y的满足，则z=2x﹣y的最小值为﹣2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，4），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z．由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=18．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=42，∴=42，解得a1+a7=12，∴2a1+6d=2（a1+3d）=12，即a1+3d=6，∴a2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1+6d=3（a1+3d）=3×6=18．故答案为：18．12．（5分）在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则的最大值为3．【解答】解：在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则=CM•CN•cos＜＞≤•=3，故答案为：3．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：如图，由三视圆得该几何体由直三棱柱ABC﹣A1B1C1与三棱锥B﹣B1C1D组合而成，其中A1B1DC1是边长为2的正方形，AA1=2，∴该几何体的体积为：V====．故答案为：．14．（5分）设函数其中a＞﹣1．①当a=0时，若f（x）=0，则x=1；②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围[e﹣1，+∞）．【解答】解：①当a=0时，f（x）=，由f（x）=0，可得lnx=0，解得x=1．②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，可得f（x）在x＜1为递增，在x≥1为递增函数，可得a＞﹣1；由增函数的定义可得e﹣a≤ln（1+a），即a+ln（1+a）≥e，由g（a）=a+ln（1+a）在a＞﹣1递增，且g（e﹣1）=e，解得a≥e﹣1．综上可得a的范围是[e﹣1，+∞）．故答案为：1，[e﹣1，+∞）．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，AB=12，，，点D在边BC上，且∠ADC=60°．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）求线段AD的长．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵AB=12，，，∴根据余弦定理：=．…（6分）（Ⅱ）∵0＜C＜π，∴sinC＞0，．∴根据正弦定理得：，即：=8．…（13分）16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，F是PD的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点M，连接MF，MB，因为M是AP中点，F是PD中点，所以，又因为，所以四边形BCFM是平行四边形，所以FC∥BM，又FC⊄面ABP，BM⊂面ABP所以FC∥面ABP…（5分）（Ⅱ）连接CE，因为在△ABP中，AB=AP=BP，点E是边AB在的中点，所以PE⊥AB且，在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以在△PEC中，，，，所以PE⊥EC又因为AB∩EC=E，AB⊂面ABCD，EC⊂面ABCD所以PE⊥面ABCD…（9分）解：（Ⅲ）取CD中点N，以EB，EN，EP分别为轴x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），，A（﹣1，0，0），因为：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，面ABP的法向量为设面ABC的法向量为，，，取x0=1，得，由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ，cosθ==，二面角B﹣PA﹣C余弦值为．…（14分）17．（14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；（Ⅲ）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1，P2，P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．【解答】解：（Ⅰ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为．（Ⅱ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116．（Ⅲ）由于A团队中，每个人是志愿者的概率为，P3 =•=0.4116，P1＞P3=P2 ．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若存在实数x0∈（﹣1，0），且，使得，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ax2+2x，令f′（x）=0得x2=0，．∴函数y=f（x）的极大值为；极小值为f（0）=0．…（8分）（Ⅱ）若存在，使得，则由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）（图1），（图2），于是可得．…（13分）19．（13分）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN 的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B 关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．设R的轨迹方程为：y2=2px，，p=2所以R的轨迹方程为：y2=4x．…（5分）（Ⅱ证明：由条件可知，则．联立，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2），，．因为，所以k AP=k AQ，所以A，P，Q三点共线．…（13分）20．（13分）已知数列{a n}的各项均为正数，满足a1=1，a k+1﹣a k=a i．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．﹣a k=a i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），【解答】（Ⅰ）证明：∵a k+1∴数列{a n}是递增数列，即1＜a2＜a3＜…＜a n．﹣a k=a i≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），又∵a k+1﹣a k≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．∴a k+1（Ⅱ）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；∵{a n}是等比数列，∴数列{a n}的公比为2．∵a k﹣a k=a i（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴当i=k时有a k+1=2a k．+1这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．∴．（Ⅲ）证明：∵1=a1=1，2=a2=2，，，…，，由上面n个式子相加，得到：，化简得，∴．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A B =（ ）.A. {}32x x -<<B. {}52x x -<<C. {}33x x -<<D. {}53x x -<<2．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）. A. ()()22111x y -+-= B. ()()22111x y +++=C. ()()22112x y +++= D. ()()22112x y -+-=3．下列函数中为偶函数的是（ ）.A.2sin y x x = B. 2cos y x x = C. ln y x = D. 2xy -=4．某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）.A.90B. 100C. 180D. 3005．执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（ ）. A.3 B. 4 C. 5 D. 66．设a ，b 是非零向量，“a b =a b ”是“//a b ”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）.A.1B.C. D. 2俯视图侧（左）视图正（主）视图118．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ).A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．复数()i1i+的实部为.10．32-，123，2log5三个数中最大数的是.11．在ABC△中，3a=，b=2π3A∠=，B∠=. 12．已知()2,0是双曲线()22210yx bb-=>的一个焦点，则b=. 13．如图，ABC△及其内部的点组成的集合记为D，(),P x y为D中任意一点，则23z x y=+的最大值为.14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.总成绩年级名次267总成绩年级名次从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数()2sin 2xf x x =- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.16．（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =；问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？17．（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（本小题14分）如图所示，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC BC ⊥，且AC BC =O ，M 分别为AB ，VA 的中点.（1） 求证：//VB 平面MOC . （2） 求证：平面MOC ⊥平面 VAB . （3） 求三棱锥V ABC -的体积.19．（本小题13分）设函数()2ln ,02x f x k x k =->. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x在区间(上仅有一个零点.OMBAV20．(本小题14分)已知椭圆22:33C x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于两点M . （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试答案（北京文）一、选择题 1.【答案】A【解析】在数轴上将集合A 、B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B ⋂为图中阴影部分，即{}32x x -<< 2.【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=3.【答案】B【解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 4.【答案】C【解析】：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =. 5.【答案】B 【解析】初值为a=3,k=0，进入循环体后，3333,1;,2;,3;,4;24816a k a k a k a k ======== 此时，a<14，退出循环，故k=4 6.【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b =<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b =-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.7.【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，SA ===8.【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B.二、填空题 9.【答案】-1【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为-1. 10.【答案】log 25【解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>2log 5最大. 11.【答案】4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =，所以4B π∠=.12.【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =13.【答案】7【解析】由题图可知，目标函数b=233z b x =-+， 因此当x=2，y=1，即在点A 出时z 取得最大值为7.14.【答案】①乙 ②按照全年级排名答案为语文靠前，按照班级排名答案为数学靠前 【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.三、解答题 15.【解析】 （1）1cos ()sin 2sin 2sin()3xf x x x x x π-=-==+ 故周期为2π（2）因为203x π≤≤，所以33x πππ≤+≤ 所以f(x)的最小值为2()3f π=16. 【解析】根据124310,2a a a a +=-=得到1210a d +=且d=2 于是14,a =所以1(1)22n a a n d n =+-=+ （2）23378,16b a b a ==== 从而4622,.128q b b q === 令22128n a n =+=得到63n =17. 【解析】（1）从表格可以得到同时购买乙和丙的人数为200人，由于总人数为1000人， 所以概率为200110005P == （2）顾客可能同时购买甲、乙、丙或者同时购买甲、乙、丁或者甲、丙、丁或者乙、丙、丁，从而概率300110003P == （3）同时购买乙的人数为200人，同时购买丙的人数为600人，同时购买丁的人数为100人，从而丙的可能性更大。

丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习 2016.01高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】若是实数，则【答案】D2.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【考点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为由解得：x>0或x<0. 所以“x>0或x<0”是“”的必要而不充分条件。

【答案】B3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下 面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤ 【考点】集合的运算 【试题解析】该数列的第2016项，即n=2015，是，否。

所以判断框内的条件是。

【答案】C 4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A ）21- （B ）2+1 （C ）2 （D ）2 【考点】曲线参数方程 【试题解析】 |OP|所以的最小值为：，即|OP|的最小值为：？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始【答案】A5.函数()=sin 2+3cos 2f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是（A ）23π （B ）712π （C ） 76π （D ）43π【考点】三角函数的图像与性质 【试题解析】，， 令f(x)=0，得：或，即或，所以零点之和是【答案】C 6. 若212xa dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c << 【考点】集合的运算 【试题解析】所以b<a,排除C,D 。

2015年高三上学期期末名校联考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 复数224(1)i i ++的共轭复数是（ ） A. 2i + B. 2i -+ C. 2i - D. 2i --2. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A. 112 B. 110 C. 15 D. 3103. 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A. 4B. 14-C. 2D. 12- 4. 已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）A. []2,1--B. []2,1-C. []1,2-D. []1,25. 设,x y 是两个实数，则“,x y 中至少有一个数大于1”是“222x y +>”成立的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件6.设在△ABC 中，3AB BC ==，30ABC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，则AD AC 的值等于（ ）A. 0B. 94C. 4D. 94- 7. 设集合{}2|230A x x x =+->，集合{}2|210,0B x x ax a =--≤>。

若A B 中恰含有一个整数u ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. ()1,+∞8. 等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足150S >，160S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A. 66S a B. 77S a C. 99S a D. 88S a 9. 三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是（ ） A. 202π B. 12526π C. 12523π D. 50π 10. 已知双曲线的两个焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 是双曲线上的一点，12PFPF ⊥且122PF PF =，则双曲线方程是（ ）A. 22123x y -=B. 2214x y -=C. 22132x y -= D. 2214y x -= 11. 在如图所示的程序框图中，当*(1)n N n ∈>时，函数()n f x 等于函数1()n f x -的导函数，若输入函数1()sin cos f x x x =+，则输出的函数()n f x可化为（ ） A. 2sin()4x π+ B. 2sin()4x π- C. 2sin()4x π-- D. 2sin()4x π-+12. 已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()1f x ax ≥-，则a 的取值范围是（ ）A. []2,0-B. []2,1-C. []4,0-D. []4,1-二、填空题（每小题5分，共20分）13. 方程210xx =-的根(,1),x k k k Z ∈+∈，则k=_____。

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习 高三数学（文科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， {5，7}，则实数a的值为 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是 (A) (B) (C) 4 (D) 8 3．“”是“”的 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 (A) (B) (C) (D) 5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是 (A) (B) (C) (D) 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为. (A)3 (B)6 (C) 7(D) 10 7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(),B(0,1)，点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是 (A) ，1 (B) 1， (C) ，1 (D) 1， 8．已知函数f(x)=,且，则 (A) 都有f(x)>0 (B) 都有f(x)0 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______． 10．不等式组表示的平面区域的面积是___________. 11．设 . 12．圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是 ． 13．已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______. 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本题共13分 ）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B． （）求集合A，B； （）若集合A，B满足,求实数a的取值范围． 16．（本题共13分 ）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点． （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （） 若AB=, 求的值. 17．（本题共13分 ） 如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点. ()求证：MN平面 BCC1B1; ()求证：平面A1BC平面A1ABB1． 18．（本题共14分 ） 已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间； （）若的极小值为-1，求的极大值. 19．（本题共13分 ） 曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴．直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）． （）当m=， 时，求椭圆的方程； （）若，求m的值． 20．（本题共14分 ） 已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形. （）求、的坐标； （）求数列的通项公式； （）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由. 丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习 高三数学（文科）参考答案 一、选择题 题号12345678答案BACCBDAB二、填空题： 9．20； 10.； 11. 3； 12．- （写给3分）； 13．2； 14． (第一个空2分,第二个空3分) 三．解答题 15．（本题共13分）设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B. （）求集合A，B； （）若集合A，B满足,求实数a的取值范围. 解：（）A=, ==， ….…………………..……4分 B. ..……………………………………………….…...7分 （），．..….…………………………………………… 9分 或， 实数a的取值范围是{a|或}．….………………..…………………..13分 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于，两点． （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （） 若AB=, 求的值. 解：（）根据三角函数的定义得， ， ，……………………………………………………2分 的终边在第一象限，． ……………………………………3分 的终边在第二象限， ． ………………………………4分==+=．………7分 （）方法（1）AB=||=||，……………………………9分 又， …………11分 ． ． ……………………………………………………………13分 方法（2），………………10分=．…………………………………13分 17．（本题共13分）如图三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点. ()求证：MN平面 BCC1B1; ()求证：平面A1BC平面A1ABB1. 解：()连结BC1 点M , N分别为A1C1与A1B的中点， ∥BC1．........................................................4分 ， MN∥平面BCC1B1．.................................... ....6分 ()∵， 平面， ．...................................................................................................... 9分 又ABBC， ， ．....................................................................................... 12分 ∵， 平面A1BC平面A1ABB1．............................................................................... 13分 18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间； （）若的极小值为-1，求的极大值. 解：（）．…2分 令， ， 的零点就是的零点，且与符号相同． 又， 当时，>0,即， 当时，<0,即， ………………………………………6分 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （）由（）知，=0是的极小值点，所以有 解得． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为． 又由（）知，的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数的极大值为． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）． （）当m=， 时，求椭圆的方程； （）若，求m的值． 解：设C1的方程为,C2的方程为（）． …..2分 C1 ,C2的离心率相同， ,∴，………………………………..……………………3分 C2的方程为． 当m=时，A,C．………………………………….……5分 又, ∴，解得a=2或a=(舍)， ……………………………...………..6分 C1 ,C2的方程分别为，． …………………………..7分 （）由（）知A(-,m),C(,m) ．……………….……………9分 OC⊥AN， （）． ……………………………............................................…10分=（,m），=（,-1-m)， 代入（）并整理得2m2+m-1=0， ………………………………………………12分 ∴m=或m=-1(舍负) ， m=． ……………………………………………………………………13分 20．（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形. （）求、的坐标； （）求数列的通项公式； （）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由. 解：（）?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形， 直线B0A1的方程为y=x． 由 得，，得A1（2，2），． ….…….…….…......3分 （）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得， ，即 ．（*）…….………………………..5分 和均在曲线上， ， ，代入（*）式得， ()．………………… …………………………..…..….…..7分 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 故其通项公式为() ． …………....…………………………...……..8分 （）由（）可知，， ….……………………………………………9分 ，……………………..……………………………….…10分 ，， ==，…………….……..11分 ． …………………….……12分 欲使，只需3? n=n+1 输出S S=0, n=0 结 束 开 始。

北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，2，4} C．{﹣1，0，2，4} D．{﹣1，0，1，2，4}2．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=lnx B．y=x3C．y=3x D．y=sinx3．（5分）若x∈R，则“x＞1”，则“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．305．（5分）已知cosα=，α∈（﹣，0），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④7．（5分）已知=（1，3），=（m，2m﹣3），平面上任意向量都可以唯一地表示为=λ+μ（λ，μ∈R），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）D．[﹣3，3）8．（5分）已知两点M（﹣1，0），N（1，0），若直线y=k（x﹣2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，0）∪（0，]B．[﹣，0）∪（0，]C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知抛物线的方程为y2=4x，则其焦点到准线的距离为．10．（5分）若=1+mi（m∈R），则m=．11．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为cm．12．（5分）已知x，y满足则z=2x+y的最大值为．13．（5分）设函数f（x）=则f（f（））=；若函数g（x）=f（x）﹣k存在两个零点，则实数k的取值范围是．14．（5分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，若丙一次性购买A，B两件商品，则应付款元．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）设α∈（0，），且f（）=1，求α的值．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a bn，求数列{c n}的前n项和S n．17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBC；（Ⅱ）求证：CM∥平面BEF；（Ⅲ）若PB=BC=CA=2，求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（13分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．19．（13分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有相同的离心率，且过椭圆C1的长轴端点．（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，若=2，求直线AB的方程．20．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在[，e]上的最大值；（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，求a的取值范围．北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，2，4} C．{﹣1，0，2，4} D．{﹣1，0，1，2，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集运算进行求解．解答：解：集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B={0，2}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=lnx B．y=x3C．y=3x D．y=sinx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．解答：解：y=lnx的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，即函数为非奇非偶函数．y=x3是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数，满足条件．y=3X在区间（0，+∞）上为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y=sinx是奇函数，但在（0，+∞）上不是单调函数，故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．3．（5分）若x∈R，则“x＞1”，则“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．解答：解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力．4．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．30考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）已知cosα=，α∈（﹣，0），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数的关系式可先求sinα的值，从而有倍角公式即可代入求值．解答：解：∵cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了同角三角函数的关系式，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．解答：解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．对于④测量a，b，B，，sinA=，b＜a，此时A不唯一故选：A．点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．7．（5分）已知=（1，3），=（m，2m﹣3），平面上任意向量都可以唯一地表示为=λ+μ（λ，μ∈R），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）D．[﹣3，3）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先，根据题意，得向量，不共线，然后，根据坐标运算求解实数m的取值范围．解答：解：根据平面向量基本定理，得向量，不共线，∵=（1，3），=（m，2m﹣3），∴2m﹣3﹣3m≠0，∴m≠﹣3．故选：C．点评：本题重点考查了向量的共线的条件、坐标运算等知识，属于中档题．8．（5分）已知两点M（﹣1，0），N（1，0），若直线y=k（x﹣2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，0）∪（0，]B．[﹣，0）∪（0，]C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k≠0．△MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k 的取值范围．解答：解：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，∴k≠0，如图所示，△MNP是直角三角形，有三种情况：当M是直角顶点时，直线上有唯一点P1点满足条件；当N是直角顶点时，直线上有唯一点P3满足条件；当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，则，解得﹣≤k≤，且k≠0．∴实数k的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查运用方程思想求解能力，考查数形结合思想的灵活运用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知抛物线的方程为y2=4x，则其焦点到准线的距离为2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣，可得抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=﹣1，再由点到直线的距离公式计算即可得到．解答：解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣，则抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=﹣1，则焦点到准线的距离为2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程，同时考查点到直线的距离的求法，属于基础题．10．（5分）若=1+mi（m∈R），则m=﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：∵1+mi===1﹣2i，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．11．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为cm．考点：由三视图还原实物图．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案．解答：解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA⊥平面ABCD，∴PA=3，AB=3，AD=4，∴PB=3，PC==，PD=5．该几何体最长棱的棱长为：．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键．12．（5分）已知x，y满足则z=2x+y的最大值为7．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故答案为：7点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．13．（5分）设函数f（x）=则f（f（））=；若函数g（x）=f（x）﹣k 存在两个零点，则实数k的取值范围是（0.1]．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数求解第一个空，利用函数的图象求解第二问．解答：解：函数f（x）=则f（f（））=f（﹣1）=；函数g（x）=f（x）﹣k存在两个零点，即f（x）=k存在两个解，如图：可得a∈（0，1]．故答案为：；（0，1]．点评：本题考查函数的零点以及分段函数的应用，考查数形结合以及计算能力．14．（5分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，若丙一次性购买A，B两件商品，则应付款520元．考点：分段函数的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：单独购买A，B分别付款100元与450元，而450元是优惠后的付款价格，实际标价为450÷0.9=500元，若丙一次性购买A，B两件商品，即价值100+500=600元的商品，按规定（3）进行优惠计算即可．解答：解：甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，由于商场的优惠规定，100元的商品未优惠，而450元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为450÷0.9=500元，若丙一次性购买A，B两件商品，即价值100+500=600元的商品时，应付款为：500×0.9+（600﹣500）×0.7=450+70=520（元）．故答案为：520．点评：本题考查了应用函数解答实际问题的知识，解题关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的解题途径，从而解答问题，是基础题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）设α∈（0，），且f（）=1，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由最大值为2可求A的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T，根据周期公式即可求ω，从而得解；（Ⅱ）由得，由，得，从而可解得α的值．解答：（共13分）解：（Ⅰ）因为函数f（x）的最大值为2，所以A=2．由图象相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T=π．所以ω=2．故函数的解析式为．…（6分）（Ⅱ），由得．因为，所以．所以，故．…（13分）点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了周期公式的应用，属于基本知识的考查．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a bn，求数列{c n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由a1=2，a3=8，得8=2+2d，解得d=3．∴a n=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，n∈N*．由b1=2，b3=8，得8=2q2，又q＞0，解得q=2．∴，n∈N*；（Ⅱ）∵，∴=3×2n+1﹣n﹣6．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBC；（Ⅱ）求证：CM∥平面BEF；（Ⅲ）若PB=BC=CA=2，求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由PB⊥底面ABC，可证AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可证明AC⊥平面PBC．（Ⅱ）取AF的中点G，连结CG，GM．可得EF∥CG．又CG⊄平面BEF，有EF⊂平面BEF，有CG∥平面BEF，同理证明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可证明CM∥平面BEF．（Ⅲ）取BC中点D，连结ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱锥E﹣ABC的体积．解答：（共14分）证明：（Ⅰ）因为PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，所以AC⊥PB．由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，所以AC⊥平面PBC．…（5分）（Ⅱ）取AF的中点G，连结CG，GM．因为AF=2FP，G为AF中点，所以F为PG中点．在△PCG中，E，F分别为PC，PG中点，所以EF∥CG．又CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以CG∥平面BEF．同理可证GM∥平面BEF．又CG∩GM=G，所以平面CMG∥平面BEF．又CM⊂平面CMG，所以CM∥平面BEF．…（11分）（Ⅲ）取BC中点D，连结ED．在△PBC中，E，D分别为中点，所以ED∥PB．因为PB⊥底面ABC，所以ED⊥底面ABC．由PB=BC=CA=2，可得．…（14分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，三棱锥体积公式的应用，正确做出相应的辅助线是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题．18．（13分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．点评：本题考查列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．19．（13分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有相同的离心率，且过椭圆C1的长轴端点．（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，若=2，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过设椭圆C2的方程为：，由C1方程可得，计算即得结论；（Ⅱ）通过及（Ⅰ）知可设直线AB的方程为y=kx，并分别代入两椭圆中、利用，计算即可．解答：解：（Ⅰ）由C1方程可得，依题意可设椭圆C2的方程为：，由已知C1的离心率为，则有，解得a2=16，故椭圆C2的方程为；（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx，将y=kx代入中，解得；将y=kx代入中，解得．又由，得，即，解得k=±1．故直线AB的方程为y=x或y=﹣x．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在[，e]上的最大值；（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由题意可得f（1）=﹣，f′（1）=0，即可解得a，b的值；（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得单调区间，即可得到最大值；（Ⅲ）由题意可得alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]恒成立，即对x∈（e，e2]恒成立，求得右边函数的最大值即可．解答：解：（Ⅰ）．由函数f（x）在x=1处与直线相切，得即解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为（0，+∞）．此时=．令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1．所以f（x）在（，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以f（x）在上的最大值为；（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]恒成立．即对x∈（e，e2]恒成立，即a大于或等于在区间（e，e2]上的最大值．令，则，当x∈（e，e2]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以，x∈（e，e2]的最大值为．即．所以a的取值范围是．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题注意运用参数分离和转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．。