河南省许昌市2021届新高考数学一模考试卷含解析

2021许昌一模理科数学答案1．A 【解析】()()()()231231*********i i i i z i i i i +++-+====-+-+-，则5221z i =--，则复数z 的虚部是52-，故A 正确. 2. B 【解析】因为{|22,}A x x x Z =-<≤∈，{|||1}{|11}B x x x x x =≥=≥≤-或，所以{1,1,2}AB =-，故B 正确.3. D 【解析】设庄台的建设高度为H ，则h a h H b =+，故()b a hH a-=，故D 正确. 4. D 【解析】由条件得()()cos(2)(sin(2))(2)2sin 2f x x x x x '=-'=---'=-，故D 正确.5. B 【解析】由条件可得，所求概率为21843122855C C P C ==，故B 正确.6. B 【解析】由条件得该双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，又因为点P 到双曲线C 的渐近线的距离为1，所以1=，解得224a b =，所以2e ===，故B 正确. 7．B 【解析】因为0>ω，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,34x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为()3sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值为3-，所以32ωππ-≤-，解得32ω≥，所以ω的最小值为32，故B 正确.8．D 【解析】52()b ax x +的二项展开式通项为55531525()()r r r r r r r r b T C ax C a b x x---+==， 令534r -=-，解得3r =，则3533520C a b -=，则232a b =，因为0,0a b >>，所以23a b +≥=D 正确. 9．C 【解析】5125sin 12cos 13(sin cos )13sin()1313y x x x x x ϕ=-=-=-， 其中5cos 13ϕ=，12sin 13ϕ=，依题意得()13sin 13θϕ-=±，即()sin 1θϕ-=±， 所以,2k k Z πθϕπ-=+∈，,2k k Z πθϕπ=++∈，所以sin()cos 52tan tan()tan()22sin 12cos()2k πϕππϕθϕπϕπϕϕ+=++=+===--+，故C 正确. 10．D 【解析】取AB 中点D ，连接,DC DP ，由3AC BC ==，得CD AB ⊥， 因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥， 因为PAAB A =，所以CD ⊥平面PAB ，故CPD ∠为PC 与平面PAB 所成的角，设ABC ∆的外接圆半径为r ，则222()2PA R r =+，解得94r =， 所以2sin 23AC ABC r ∠==，所以sin 2C CD BC AB ∠==，因为PC =sin CD CPD PC ∠===，故D 正确. 11. B 【解析】由条件得圆22:(1)2M x y ++=，圆心(1,0)M -，半径r =因为22222PM PA r PA =+=+，所以当PM 取得最小值时，切线长PA 有最小值，易知当PM ⊥直线l 时，PM有最小值为PM ==所以PA ，从而2MA PAAB PM⋅=⨯=B 正确.12. D 【解析】由条件可得33()2sin()cos ()2sin cos f x x x x x πππ+=++=，所以13()(2)()666b f f f ππππ==+=，733()()()444c f f f ππππ==+=， 因为516.226ππ+≈，516.753ππ+≈，所以33516.55623ππππ+<=<+， 所以335623πππ<-<，所以3333()(5)22a f f π==-，由题意得222()2cos (4cos 3)2cos (2cos f x x x x x x '=-=+，下面考察当(0,)x π∈时，函数()f x 的单调性：令()0f x '>，得cos 2x >或cos 2x <-，故(0,)6x π∈或5(,)6x ππ∈， 所以函数()f x 的增区间为(0,)6π和5(,)6ππ，令()0f x '<，得cos x <<，故5(,)66x ππ∈ 所以函数()f x 的减区间为5(,)66ππ，又因为(0)()()02f f f ππ===，所以max ()()6f x f π=，min 5()()6f x f π= 又因为35246πππ<<，335623πππ<-<，所以333()0(5)()426f f f πππ<<-<，即c a b <<，故D 正确. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．答案：31.14．答案：2-. 15．答案：44y x =-+【解析】因为右焦点为F，所以c =2241b c =-=，所以椭圆22:44x y Ω+=，且(2,0),(2,0)A B -， 直线MA 的方程为：2y x =+，设00(,)N x y ，联立22244y x x y =+⎧⎨+=⎩，得2516120x x ++=，由韦达定理得065x =-，故64(,)55N -， 所以直线NB 的方程为：45(2)625y x =---，所以得54100x y +-=.16．答案：3【解析】设ADB θ∠=，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BD BADθ=∠，即3sin sin B D B A A θ=⇒∠sin AB BAD θ⋅∠=，由余弦定理得222112cos 3AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=， ∵AB AC ⊥，∴2BAD DAC π∠=+∠，在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⋅∠212sin AB BAD=-+∠25cos 333θθ=--258sin()(tan 3θϕϕ=-+= ∴当sin()=1θϕ+时，min CD =三、解答题：共70分。

河南省许昌市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合3{|0}2x A x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2} 【答案】A【解析】【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集.【详解】 ∵集合3{|0}2x A x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}， B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故选：A ．【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.2．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ）A ．43πB ．4πC ．323πD ．【答案】A【解析】【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为1,AC BC AC BC ==⊥,所以AB ==设PB h =,则由2PA PB =,可得2h =,解得1h =,可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =, 所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.3．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32 B ．12 C ．78 D ．98【答案】C【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 4．设复数z 满足12z z z +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+B ．221y x =+C ．221x y =-D ．221y x =-【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-， ∵12z z z +=+，1x =+，解得221y x =+.故选：B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 5．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】 解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ， 由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 6．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>> D ．()223310,02x y x y +=>> 【答案】A【解析】【分析】设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA = ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+= ()223310,02x y x y ∴+=>> 故选：A【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.7．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．4 【答案】C【解析】【分析】计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.8．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌（块）银牌 （块） 铜牌 （块） 奖牌总数 245 11 12 28 2516 22 12 54 2616 22 12 50 2728 16 15 59 2832 17 14 63 2951 21 28 100 30 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目. 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 【答案】C【解析】【分析】 由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可 【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．10．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A【解析】【分析】由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论.【详解】由图可知1,A =T π=，2ω∴=， 又2()6k k πωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+∈z ， 又02πφ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， ∴为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位， 得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可. 故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A．12B．35C．710D．45【答案】C【解析】【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C=种情况，2张均没有奖的情况有233C=（种），故所求概率为37 11010 -=.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 12．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】【分析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A ，B 显然正确；对于C ，2.9 1.60.81.6->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省许昌市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x '-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()2f x g x x=， 所以 ()()()32xf x f x g xx'-'=，因为当0x >时，()()2'f x f x x>， 即()()20xf x f x x'->，所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠⎪⎝⎭C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠ ⎪⎝⎭B B ，即cos sin ∠>∠C B ，所以()()22cos sin s sin f C f B co CB>，即()()22cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．若2nx ⎛+ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数性质，()n a b +的展开式中所有二项式系数和为2n 计算． 【详解】2nx ⎛ ⎝的二项展开式中二项式系数和为2n，232,5n n ∴=∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键． 3．函数()cos 2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点 同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C 【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.4．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，1CC =1BC ==，∴1tan BAC ∠=160BAC ∠=︒. 故选C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】命题p ：函数()xxf x e e-=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性判断出真假． 【详解】解：命题p ：函数()xxf x e e-=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，因此是假命题．命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题．则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】 解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.7．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23C ．53D ．56【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53．故选C ．8．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．100【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 9．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】 解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.10．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C 【解析】 【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=,即能求出向量夹角. 【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-= 所以AB BC ⊥，则向量AB 与BC 的夹角为90︒. 故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅= 进行计算.11．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫==⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图根据三角函数图像的对称性可得522662T πππ=-⨯=，利用周期公式可得ω，再根据图像过(,0,6π⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出,A ϕ，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=， 所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23ϕπ=或53π，又()0g =所以sin A ϕ=，()0A >， 所以23ϕπ=，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到， 所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．()27,8 B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,7【答案】A 【解析】 【分析】由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决.【详解】由已知可得22a =，2ca=，所以221,2,3a c b c a ===-=，从而双曲线方程为 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =， 122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +27=；当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以121682PF PF =+=，又12F PF △为锐角三 角形，所以12PF PF +()27,8∈. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省许昌市2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．3C D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题. 2．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．3B ．3-C ．3±D ．13【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【详解】1cos 3α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin α∴===()sin sin παα∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．3．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断． 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．4．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc -=（ ）A ．32B ．12C ．14D ．18【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边整理可得结果. 【详解】由余弦定理得：222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D . 【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.5．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<【答案】D【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】 【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差【答案】D【解析】【分析】ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.10．下列不等式成立的是（）A．11sin cos22>B．11231122⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．112311log log32<D．11331123⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】对于A，124π<<，11sin cos22∴<，A错误；对于B，12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B错误；对于C，1221log log313=>，1331log log212=<，112311log log32∴>，C错误；对于D，13y x=在R上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D正确.故选：D.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.11．若x，y满足约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y=+的最大值为26a+，则a的取值范围是（）A．[1,)-+∞B．(,1]-∞-C．(1,)-+∞D．(,1)-∞-【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y=+的最大值为26a+，所以z ax y=+在点(2,6)A处取得最大值，则1a-≤，即1a≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．12．已知复数z，满足(34)5z i i-=，则z=（）A．1 B．5C3D．5【答案】A【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】 解：55(34)4334255i i i iz i +-+===-，1z ∴==，故选：A 【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年新高考Ⅰ卷数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}2.已知z=2-i，则(=A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.2C.4D.44.下列区间中，函数f(x)=7sin()单调递增的区间是A.(0,)B.( ,)C.(,)D.(,)5.已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在 C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13B.12C.9D.66.若tan=-2,则 =A.B.C.D.7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年10月河南省许昌市普通高中2022届高三上学期10月一模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ＝{x|lg(x －2)≤0},N ＝{x||x －1|<2},则M ∪N ＝A.∅B.(2,3)C.(－1,3]D.{0,1,2,3}2.已知复数z 满足|2＋1i|＝z(1＋i),其中i 为虚数单位,则复数z 在复平面内所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知命题p ：“∃x 0∈R,0x e ≤0”的否定是“∀x ∈R,e x >0”；命题q ：“x<2022”的一个充分不必要条件是“x<2021”,则下面命题为真命题的是A.p ∧qB.¬p ∧qC.p ∧¬qD.¬(p ∧q)4.若cos(α－4π)＝,则sin2α＝ A.23 B.－23 C.13 D.－135.意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每1对小兔子在它出生后的第三个月里,又能生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,从第1个月1对初生的小兔子开始,以后每个月的兔子总对数是：1,1,2,3,5,8,13,21,…,这就是著名的斐波那契数列,它的递推公式是a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3,n ∈N *),其中a 1＝1,a 2＝1。

若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为 A.13 B.6732021 C.12 D.67420216.若实数x,y 满足约束条件：4x y 12x y 5x 0+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则z ＝－3x ＋y 的最小值为A.－5B.－6C.－7D.17.将函数f(x)＝cos6x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将它的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到了一个奇函数的图象,则φ的最小值为 A.16π B.12π C.6π D.4π 8.北京时间2021年6月17日9时22分,搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭,在酒泉卫星发射中心点火发射成功此次航天飞行任务中,火箭起到了非常重要的作用。

2021许昌一模文科数学答案1.C 【解析】 由题意，集合{}{}140,1,2,3A x Z x =∈-<<=，()(){}{}13013B x x x x x =+-<=-<<，所以{}0,1,2A B =．2. A 【解析】()()()()231231*********i i i i z i i i i +++-+====-+-+-，则5221z i =--，则复数z 的虚部是52-. 3. B 【解析】根据题意，2R 越接近1，回归模型的拟合效果越好，因为20.992R =最大，所以B 项拟合效果最佳．4. D 【解析】设庄台的建设高度为H ，则h a h H b =+，整理可得()b a hH a-=，所以选项D 正确.5. D 【解析】由条件得()4sin f x x x '=-，()42f ππ'=-故选D. 6. D 【解析】因为 2.3939251log 2.5log log 6.10,0241.a b c ->==>==>>，， 所以1b a c <<<.7.B 【解析】假设2个文科班分别为1，2，高二的3个理科班分别为a ，b ，c ，则基本事件有(1,2)，(1,)a ，(1,)b ，(1,)c ，(2,)a ，(2,)b ，(2,)c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 共10个，其中恰好有恰有一个理科和一个文科班有(1,)a ，(1,)b ，(1,)c ，(2,)a ，(2,)b ，(2,)c 共6个，所以所求概率为63105=.8. B 【解析】由条件得该双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，又因为点P 到双曲线C 的渐近线的距离为1，所以1=224a b =，所以2e ===，所以选项B 正确. 9. B 【解析】依据程序框图的算法功能可知，11111223343536S =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯1111111122334353613513636=-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-=10．C 【解析】5125sin 12cos 13(sin cos )13sin()1313y x x x x x ϕ=-=-=-， 其中5cos 13ϕ=，12sin 13ϕ=，依题意可得()13sin 13θϕ-=±，即()sin 1θϕ-=±， 所以,2k k Z πθϕπ-=+∈，,2k k Z πθϕπ=++∈，所以sin()cos 52tan tan()tan()22sin 12cos()2k πϕππϕθϕπϕπϕϕ+=++=+===--+，选项C 正确.11．D 【解析】取AB 中点D ，连接,DC DP ，因为3AC BC ==，所以CD AB ⊥， 因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥， 因为PAAB A =，所以CD ⊥平面PAB ，所以CPD ∠为PC 与平面PAB 所成的角，设ABC ∆的外接圆半径为r ，则222()2PA R r =+，解得94r =， 所以2sin 23AC ABC r ∠==，所以sin 2C CD BC AB ∠==，因为PC =sin 3CD CPD PC ∠===，选项D 正确. 12.B 【解析】令14t x x =+，则()223g t t mt =+-，因为13,22x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以51,3t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦由()2230g t t mt =+->，可得32m t t>-， 由于函数32y t t=-在区间[]1,3上单调递减，则max 1y =，可得1m >.二次函数()223g t t mt =+-的对称轴为直线14m t =-<，则函数()223g t t mt =+-在区间51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当51,3t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()()513g g t g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()235193m g t m -≤≤+. 由于以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段都可以围成三角形，所以，()2352193m m ->+，解得413m >.因此，实数m 的取值范围是413,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 二、填空题13.31. 14.9-15. 【解析】依题意得，椭圆22:1(1)1x y C m m m +=>-是焦点在x 轴上的椭圆，则2a m =，21b m =-，所以1c =．可得右焦点(1,0)F ，左焦点(1,0)F '-， 由椭圆的定义可得2||||a PF PF '=+，即||2||PF a PF =-'，可得||||32PA PF a '-=-， 由||||||||1PA PF AF ''-=，可得1321a -≤-≤，解得12a ≤≤，即214a ≤≤，所以14m <≤．又点(1,1)A -在椭圆C 内，所以1111m m +<-，解得m <2m >．所以m 的取值范围是． 16.1281【解析】依题意有2n n S n a =-，当1n =时，1a 为1，当2n ≥时，112n n n n n a S S a a --=-=-+，即1112n n a a -=+，也即()11222n n a a --=-，所以1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以26n n b n -=，=-+∴b n b n 126215n n n n --+-=217+-n n ∴当b n b n n >+<17时，,当b n b n n <+>17时，即∴ >>=<<<b b b b b 98721,128187==∴b n b n n 最大，此时时，或当. 三、解答题17.解：(1)积极参与“创文”工作的员工有26人，总人数为50人，概率为2613=5025；不太主动参“创文”工作且日常工作积极性一般的员工有18人，总人数为50人，概率为189=5025. ----------6分 (2)由表中数据可得22501918-67)150K =11.510.8282525242613⋅⨯⨯=≈>⨯⨯⨯（∴有99.9%的把握说日常工作的积极性与对待“创文”工作的态度有关系． ----------12分 18.（12分）解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ----------2分 ∵ABCD 是菱形，∴O 为BD 的中点∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ． EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC∴PB ∥平面AEC ； ----------5分 （Ⅱ）∵底面ABCD 为菱形, PA=AB=2, 120BAD ︒∠=．∴2ADC ∆为等边三角形且边长为，3ADC S ∆∴=．12333P ACD ADC PA ABCD V PA S -∆⊥∴=•=平面 ----------8分2222,272137332217PDC P ACD A PDC PC PD CD S A PDC hV V h h ∆--===∴==∴=∴=又易得，设到平面的距离为故A 到平面PDC 的距离为2217----------12分 19.解：（1）由2220a b c ab +--=及余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又(0,)C π∈，则3C π=. -------------2分因为511CA CB BA BC ⋅=⋅，所以，511bacoC cacoB =， 即5cos cos 11b Cc B =，---------------------4分 由正弦定理，得5sin cos sin cos 11B C C B =，---------------------------------------5分 所以，553tan tan 11B C ==.----------- ----------------------------------------6分 （2）由53tan ,B =则53sin B =，11cos 14B =，----------------------7分1sin sin()sin 32A B B B π=+==， ---------------------9分 由正弦定理::sin :sin :sin 8:5:7a b c A B C ==， 不妨设8,5,7a t b t c t ===，则1sin 102S ab C t ===------10分 解得1t =，----------------------------------------------------11分 故ABC ∆的周长为2020t =. ----------------------------12分 20. (12分）解:（1）由题意知，抛物线的准线方程为：2py =-根据抛物线的定义，132p AF =+=，所以4p =，故抛物线方程为28x y =， …………………3分点(0,2)F 当1y =时，0x =± ……………………5分 （2）由（1）知，直线l 的方程为324y x =+， 联立28324x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得26061x x -=-，解得12x =-，28x =. 所以12,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()8,8N . ……………………9分 设点Q 的坐标为()33,x y ，则OQ OM tON =+得()()3311,2,8,882,822x y t t t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，3382182x t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩， 又因为点Q 在抛物线28x y =上，所以()2182882t t ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.解得32t =或0t =（舍去）.总之32t =. ………………………12分 21. （12分） 解：（1）由题意知：21()(39)(2)2x g x x e a x =-+-.所以()3(2)(2)x g x x e a x '=-+-.即()()(2)3xg x x e a '=-+ ----------2分因为0a ≥，令()0g x '>，得2x >， 令()0g x '<，得2x <， ----------4分 所以()g x 的增区间为(2,)+∞，减区间为(,2)-∞. ---------- 5分 （2）设()27()()2622a a h x f x e x x =+++- 则()27()(3)6222xa a h x x e x x e =-++-+ 则()(2)(3)x h x x e a x '=-++. 令()()(2)(3)x m x h x x e a x '==-++.有()(1)x m x x e a '=-+.因为0,1a x ≥≥，有()0m x '≥， 此时函数()y m x =在[1,)+∞上单调递增，则()(1)4m x m a e ≥=-. ----------7分 （1）若40a e -≥即4ea ≥时， ()y h x =在[0,)+∞上单调递增，则min ()(1)0h x h ==恒成立； ----------9分（2）若40a e -<即04a e <时， 则在[1,)+∞存在()00h x '=.此时函数()y h x =在0(1,)x 上单调递减，()0,x x ∈+∞上单调递增且(1)0h =，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意； ----------11分综上所述：()217()2622a f x e a x x +≥-++在[1,)+∞恒成立，实数a 的取值范围为4ea ≥. ----------12分 （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

河南省许昌市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得minPM ，由PQ 取得最小值为min1PM -，求得结果.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562pd =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =，设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 11=， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.3．设点(,0)A t ，P 为曲线x y e =上动点，若点A ，P ，则实数t 的值为（ ）A B ．52C ．ln 222+D ．ln 322+【答案】C 【解析】 【分析】设(,)xP x e ，求2AP ，作为x 的函数，其最小值是6，利用导数知识求2AP 的最小值．【详解】设(,)xP x e ，则222()x AP x t e =-+，记22()()xg x ex t =+-，2()22()x g x e x t '=+-，易知2()22()x g x e x t '=+-是增函数，且()g x '的值域是R ，∴()0g x '=的唯一解0x ，且0x x <时，()0g x '<，0x x >时，()0g x '>，即min 0()()g x g x =， 由题意02200()()6x g x ex t =+-=，而0200()22()0x g x e x t '=+-=，020x x t e -=-，∴00246x x e e +=，解得022x e =，0ln 22x =． ∴020ln 222x t ex =+=+． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对0x 和t 的关系的处理是解题关键．4．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．13±B ．C ．±1D ．±【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则212y y =， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得m =， 因此，直线l的斜率为13m =±. 故选：B. 【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.5．下列不等式正确的是（ ） A ．3sin130sin 40log 4>> B ．tan 226ln 0.4tan 48<< C ．()cos 20sin 65lg11-<<D ．5tan 410sin 80log 2>>【答案】D 【解析】 【分析】根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>，利用排除法，即可求解． 【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>， 可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log log 22=>>>=>，所以5tan 410sin 80log 2>>． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x+=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.7．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C 23D 3【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于11=，所以223a b ，c e a ====故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.8．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinb B ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性逐项判断即可 【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误； 对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确 对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误； 对D, 因为1c y x 在()0,∞+为减函数，故11c c b a，错误 故选B ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题． 9．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+ B ．-1i -C ．1i +D ．1i -【答案】D 【解析】利用复数的除法运算，化简复数1i1i i+=-，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()1i (i)1i 1i i i (i)+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值， 则需有145a ≤+=，③联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质. 11．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值. 【详解】根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC【答案】B 【解析】 【分析】连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，可证四边形1A OCF 为平行四边形，可得1//A O CF ，利用线面平行的判定定理即可得解． 【详解】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，则O 为AC 的中点，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11A C AC =，O 、F 分别为AC 、11A C 的中点，1//A F OC ∴且1A F OC =，所以，四边形1A OCF 为平行四边形，则1//CF A O ，CF ⊄平面1A BD ，1AO ⊂平面1A BD ，因此，//CF 平面1A BD . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届河南省许昌、济源、平顶山高三上学期三市联考第一次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|20A x R x =∈->，集合{}2230B x x x =--<，则AB =（ ）A ．()(),13,-∞-+∞B ．()3,+∞C ．2,D ．()2,3答案：D首先化简集合A 和集合B ，最后求出交集即可.解：因为{}|20A x R x =∈->，即{}|2A x R x =∈>，因为{}2230B x x x =--<，即{}13B x x =-<<，所以{}23A B x x ⋂=<<， 故选：D 2．复数21iz i i=-+（i 为虚数单位）的虚部为 A ．32 B ．32-C ．32i -D ．32i 答案：B先化简复数z ，再根据虚数概念求解. 解：因为(1)13221222i i i z i i i i -=-=-=-+，所以虚部为32- 故选B【点睛】本题考查复数运算以及虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3．甲、乙、丙三人参加某公司举行的“学习强国”笔试考试，最终只有一人能够被该公司录用，得到考试结果后，乙说:丙被录用了；丙说:甲被录用了；甲说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．甲被录用 B ．乙被录用C ．丙被录用D ．无法确定谁被录用答案：C分别讨论甲、乙、丙被录取,判断甲、乙、丙说法说法正确即可.解：若甲被录取,则乙说法错误,甲说法错误,丙说法正确,则不满足条件； 若乙被录取,则乙说法错误,甲说法正确,丙说法错误,则不满足条件； 若丙被录取,则乙说法正确,甲说法正确,丙说法错误,则满足条件.故丙被录取. 故选：C【点睛】合情推理中的逻辑推理，利用命题的真假进行推理，只要找到题干中的矛盾项就能够顺利解题，矛盾项必然一真一假，利用其它给定条件就能够快速解题。

4．执行如图所示的程序框图，如果输入的[]0,4t ∈，则输出s 的属于（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)0,4D ．[]0,4答案：D先由程序框图分析得：23141tt s t t t <⎧=⎨-+≥⎩， 再对函数求值域即可.解：由程序框图分析得：23141tt s t t t <⎧=⎨-+≥⎩， 所以输入的[]0,4t ∈， 当01t ≤<时，03s ≤<；当14t ≤<时，2=4s t t -+在[]1,2t ∈上单增，在(]2,4t ∈上单减，所以04s ≤≤. 故s 的范围为[]0,4 故选：D【点睛】框图类问题的解题策略： (1) 模拟程序框图的运行过程；(2)循环结构的题目要注意循环终止的条件．5．已知向量()(),1,3,2a m b m →→==-，则“a b →→⊥”是“2m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B首先求出当a b →→⊥时，1m =或者2m =，然后根据小范围能推出大范围，大范围推不出小范围判断是什么条件即可.解：因为()(),1,3,2a m b m →→==-， 若a b →→⊥，则0a b →→⋅=即(3)20-+=m m ， 解得1m =或者2m =， 所以a b →→⊥推不出2m =； 反之2m =能推出a b →→⊥，所以“a b →→⊥”是“2m =”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查充分必要性，在求解过程中始终利用小范围能推出大范围，大范围推不出小范围的原则判断即可.6．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+(股-勾)24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1:3,若向弦图内随机抛掷500颗图钉(大小忽略不计)，则落在朱色图形内的图钉数大约为（ ）A ．67B ．134C ．433D ．866答案：C计算出朱色图形的面积和正方形的面积之比后可求图钉落在朱色图形内的概率，从而可求图钉数的大约值．解：因为勾股形中勾股比为故可得两条直角边的边长分别为a ， 故正方形的边长为2a ，故朱色图形的面积为2142a ⨯⨯=，故图钉落在朱色图形内的概率为2242a =，故500颗图钉中落在朱色图形内的图钉数约为250 1.732433≈⨯≈， 故选：C ．7．要得到函数224y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只而将函数2cos y x =的图像上所有的点的（ ） A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度答案：B先把2cos y x =化成2sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，与2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭比较后可得变换的途径.解：2cos y x =可化为2sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 把曲线2sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的上的点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变， 则可得到2sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再将该图象向右平移8π个单位， 则可得2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故B 正确. 故选：B. \8．已知函数()33()xf x x x =-⋅，则它的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A根据函数的奇偶性可排除C ，再根据函数在()0,1上函数值的符号排除BD ，从而可得正确的选项. 解：()f x 的定义域为R ，因为()()3()3xf x x x f x -=+⋅=--，故()f x 为R 上的奇函数，故排除C.又当01x <<时，30,30x x x -<>，故此时()0f x <，排除BD ． 故选：A ．9．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若满足()()0xf x f x '+>对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()f f e eππ< B ．()()f f e eππ> C ．()()fef e ππ<D ．()()fef e ππ>答案：D令()()g x xf x =，根据题设条件可得()g x 的单调性，从而可得正确的选项. 解：令()()g x xf x =，则()()()0g xxf x f x ''=+>，故()g x 为(0,)+∞上的增函数，故()()g g e π>即()()f ef e ππ>，故选：D.10．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B ∠=（ ）A ．150B ．60C ．30D ．120答案：C先利用正弦定理和三角函数恒等换公式对1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=化简，可求得1sin 2B =，从而可求出角B 解：解：因为1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=， 所以由正弦定理得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 因为sin 0B ≠，所以1sin cos sin cos 2A C C A +=， 所以1sin()2A C +=，所以1sin()2B π-=，所以1sin 2B =，因为a b >，所以角B 为锐角， 所以30B =︒， 故选：C11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M N 、两点，直线4x =-与,MO NO 的延长线分别交于,P Q 两点，则:POQMONSS=（ ）A ．16B ．12C ．9D ．8答案：A首先联立直线MN 方程与抛物线方程得到124y y =-，再分别表示,POQMONS S，最后计算比值即可.解：设直线MN 方程为1x my =+，联立抛物线方程24y x =得：2440y my --=，设点1122(,)(,)M x y N x y 、，由韦达定理可知：12124,4y y m y y +==-， 由图可知1212MONSy y =⨯-， 直线MO 方程为：11y y x x =，令4x =-得114p y y x =-， 直线NO 方程为：22y y x x =，令4x =-得224Q y y x =-， 12121212221212121212441114883232244POQy y y y y y y y Sy y x x x x y y y y -=⨯⨯-=-=-=-=，又因为124y y =-，所以128POQ S y y ∆=-，所以:16POQMONS S=.故选:A.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12．已知函数()()2344,0log ,0x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．[)79,1-B ．[)77,3-C ．[)10,2-D ．[)8,4-答案：B画出分段函数()f x 的图像，设123x x x <<，由题意可得123811,4x x x -≤<-+=，进而可得123x x x ++的取值范围解：解：当0x <时，3()log ()f x x =-为减函数，当0x ≥时，22()44(2)f x x x x =-+=-， 所以画出函数图像如图所示， 设123x x x <<，则234x x +=，由3log ()4x -=，得81x =-，所以1811x -≤<-，所以12381414x x x -+≤++<-+，即123773x x x -≤++<， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意画出函数图像，利用图像求解，考查数形结合的思想，属于中档题 二、填空题13．若变量,x y 满足约束条件220,20,220,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则31z x y =-+的最大值为________________________． 答案：7画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解． 解：作出可行域如图所示：由31z x y =-+设直线l ：3y x t =+，当直线l 经过可行域中()2,0A 时，纵截距最小，z 最大. 此时32017z=⨯-+=.故答案为：7【点睛】简单线性规划问题的解题步骤：(1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．14．曲线()3ln x x f x x =-在点()()1,1f 处的切线方程为________________________．答案：210x y +-=．求出原函数的导函数，得到函数在1x =处的导数，再求出f （1）的值，利用直线方程的点斜式得答案．解：由3()f x xlnx x =-，得2()13f x lnx x '=+-， f ∴'（1）132=-=-，又f （1）1=-，∴曲线3()f x xlnx x =-在点(1，f （1）)处的切线方程为12(1)y x +=--，即210x y +-=． 故答案为：210x y +-=．【点睛】方法点睛：在函数()f x 上的点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，在解题时注意灵活运用.15．设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点.О是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为_______________________．首先求出1OPF 和2OPF 各个边的长度，然后利用21cos cos POF POF ∠=-∠找出关于,,a b c 的等量关系，最后求出离心率即可.解：由题意知：15PF a =，由于2PF 等于点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=的距离， 即222PF b a b==+，所以OP a =，在1OPF 中利用余弦定理有：22222222111154cos 222OP OF PF a c a c a POF OP OF ac ac+-+--∠===⨯⨯，在2OPF 中，2cos aPOF c∠=， 因为21cos cos POF POF ∠=-∠，所以2242c a a ac c--=，整理化简得222c a =， 所以C 的离心率为2ce a==2【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．16．在三棱锥A BCD -中，底面BCD 为直角三角形，且,BC CD ⊥斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径为AB .若该外接球的表面积为16,π则当三棱锥A BCD -的体积最大时，BCD △的外接圆半径为_______________________． 答案：2根据题设条件可得AD ⊥平面BCD ，设AD x =，则可用x 表示三棱锥A BCD -的体积，利用基本不等式可求x 为何值时体积取最大值，从而得到相应的BD 的长，故可求BCD △的外接圆半径．解：设AD x =，过C 作CE BD ⊥交BD 于E ，则1CE =．因为外接球的表面积为16,π故外接球的半径为2，故4AB =．因为AB 为球的直径，故,ADB BCA ∠∠均为直角，故AD BD ⊥，BC AC ⊥， 而,BC CD AC CD C ⊥⋂=，故BC ⊥平面ACD ， 而AD ⊂平面ACD ，故BC AD ⊥，而BD BC B ⋂=， 故AD ⊥平面BCD ，故13A BCD BCD V AD S -=⨯⨯， 又211162BCDSx =⨯-，故2111641632123A BCD V x x -=⨯-=， 当且仅当22x =22BD =BCD △2 2 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差30,5d a ≠=，且125,,a a a 成等比数列，数列{}n b 满足1n n n b b a ++= （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前10项和10S . 答案：（1）21n a n =-；（2）45.（1）由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得1211125()(4)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩，即可得112a d =⎧⎨=⎩，再由等差数列的通项公式即可得解；（2）由题意132n n b b n ++=-，结合并项求和法、等差数列的前n 项和公式即可得解. 解：（1）因为等差数列{}n a 满足35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，所以1211125()(4)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ ，因为0d ≠，所以112a d =⎧⎨=⎩， 所以()1121n a a n d n =+-=-； （2）由（1）得121n n b b n ++=-， 所以101234910()()()S b b b b b b =++++++(211)(231)(291)=⨯-+⨯-++⨯-1591317=++++45=．18．国家深化教育改革，培养学生的关键能力就是其中改革之一.关键能力是指学生所学知识的运用能力，独立思考、分析问题和解决问题、交流与合作等学生适应未来不断变化发展的能力.为培养学生的关键能力，A 校大胆进行全新的教学改革，B 校在原来的教学模式上进行了完善.近期某教育部门对AB 、两所学校的高三学生的关键能力落实进行调研，两校共抽取200名学生，通过试卷考查的形式进行，等级分为1至10分.得到样本数据如下:（1）估计两校学生的等级分数的均值和方差；（2）已知所抽取的学生中A 校有80人，其中得分合格的(得分大于或等于6分)占合格总人数的613，问是否有99%的把握认为“关键能力的提升”与“学校教学模式的改革”有关? 附()20P K k ≥ 0.1500.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++答案：（1）均值为6，方差为1.5；（2）没有99%的把握认为“关键能力的提升”与“学校教学模式的改革”有关.（1）根据公式可求样本数据的均值与方差.（2）根据统计表得到二联表，再根据公式计算2K ，最后根据临界值表可得是否有99%的把握认为“关键能力的提升”与“学校教学模式的改革”有关. 解：（1）两校学生的等级分数的均值为40.150.2560.3570.2080.0590.056⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，两校学生的等级分数的方差为：222222240.150.2560.3570.2080.0590.056 1.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=.（2）两校合格总人数为()0.350.200.1200130++⨯=，故不合格人数为70.A 学校合格人数为：61306013⨯=. 故可得如下二联表：故()222005060207016006 6.6358012013070273K ⨯⨯-⨯==<<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为“关键能力的提升”与“学校教学模式的改革”有关.19．如图，在直角梯形ABCD 中，//,22,90AB CD AB BC CD DAB ===∠=︒，将它沿对角线AC 折起，折后使得BD AB =.（1）证明:平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若BM AD ⊥于M 点，求点M 到平面BCD 的距离. 答案：（1）证明见解析；（2）15.（1）取AC 的中点E ，连结BE,DE.，先证明BE AC ⊥，BE ED ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证明BE⊥面ADC ，即可证明平面ABC ⊥平面ACD ；（2）由B ADC A BCD V V --=用等体积法求点M 到平面BCD 的距离.解：（1）取AC 的中点E ，连结BE,DE. 因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BEAC ⊥.因为三角形ADC 为直角三角形，所以AE CE DE ==.在BEA △和BED 中，由AE DE AB DB BE BE ===，，，所以BEA BED ≅, 所以=BEA BED ∠∠，即BE ED ⊥. 又因为DEAC E =,所以BE ⊥面ADC ；因为BE ⊆面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD ；（2）因为BD AB =，BM AD ⊥于M 点，所以M 为AD 中点； 在直角梯形ABCD 中，//,22,90AB CD AB BC CD DAB ===∠=︒， 所以AC =2,AD 3在三棱锥B ADC -中，2,3,1,90AB BC BD AC AD CD DAB =====∠=︒,所以1122BE S ADC ===，112S BDC =⨯=. 设点A 到平面BCD 的距离为h ，由B ADC A BCD V V --=得：1133S ADC BE S BDC h ⨯⨯=⨯⨯，即24h =，解得：5h = 又因为M 为AD 中点，所以点M 到平面BCD 的距离为2h =. 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法. 20．已知函数()22,0f x x ax a lnx a =+-≥.（1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.答案：（1）()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1．（2）342e a >（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性；（2）就0,0a a =>分类讨论，后者可结合导数求出函数的最小值，根据函数有两个不同的零点得到最值的符号，从而得到a 的取值范围，注意利用零点存在定理检验． 解：（1）若2a =，则()224ln f x x x x =+-，故()()()221422x x f x x x x+-'=+-=， 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 故()f x 在()1,+∞上为增函数，在()0,1上为减函数， 即()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1．（2）()()()222x a x a a f x x a x x-+'=+-=， 当0a =时，()2f x x =，此时()f x 在()0,∞+无零点，不合题意．当0a >时，当02ax <<时，则()0f x '<；当2a x >时，()0f x '>，故()f x 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，故()22min 3ln 422a a f a a x f ⎛⎫==⎪⎝⎭-， 因为函数()f x 有两个不同的零点，则223ln 042a a a -<即342e a >． 又当342e a >时，()110f a =+>，而12a <，结合函数的单调性可得()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点； 而()()2432222ln 2ln f a a a a a a a a a =+-=+-，令()22ln g a a a a =+-，342e a >，则()2210g a a a'=+->， 故()g a 在342,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故()33333733244244247422ln 2422ln 4202g a e e e e e e e e ⎛⎫>+->+-=+-> ⎪⎝⎭，故()20f a>，结合函数的单调性可得()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点， 故a 的取值范围为342e a >．【点睛】方法点睛：导数背景下函数的零点问题，需利用导数讨论函数的单调性，从而得到函数的最值，结合最值的符号得到参数的取值范围，注意需利用零点存在定理检验前者是否满足要求．21．已知Р点坐标为()0,2，点,A B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右顶点，直线AP交E 于点,Q ABP 是等腰直角三角形，且32PQ QA →→=.（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0M 的直线l 交椭圆E 于,C D 两点，其中点C 在x 轴上方.设直线AD 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，探究12k k 是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.答案：（1）椭圆E 的方程为：2214x y +=；（2）12k k 是定值为13． （1）根据题意可知2a =，(2,0)A -，设0(Q x ，0)y ，由向量等式可得Q 的坐标，代入椭圆方程求出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；（2）设出CD 方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即斜率公式即可求得12k k 为定值．解：（1）ABP 是等腰直角三角形，2a ∴=，(2,0)A -，已知(0,2)P ，设0(Q x ，0)y ，由32PQ QA →→=，得0(x ，00032)(2,)2y x y -=---，则006545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆方程得21b =， ∴椭圆E 的方程为：2214x y +=；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=． 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+， 2122=+y k x ，1212=-y k x ，则121211221212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)22k y x k x x x x x x k y x x x x x x x -----+===+-++-- 212121*********()2241()3261233x x x x x k x x x x x x k x -+++--+===-++---+． 当直线l 的斜率不存在时，C 、D 分别与A 、B 重合，不符合C 在x 轴上方，舍去．∴12k k 是定值为13．【点睛】方法点睛：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()2,1M ，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MB MA+的值. 答案：（1）直线l 的普通方程的普通方程为10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=；（2（1）消去t 后可得直线l 的普通方程，利用两角差的余弦结合cos ,sin x y ρθρθ==可得曲线C 的直角坐标方程.（2）利用直线参数方程中参数的几何意义可求11MB MA+的值. 解：（1）因为直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故消去t 后可得10x y --=，故直线l 的普通方程为10x y --=.因为曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭即2cos 2sin =+， 故22cos 2sin =+ρρθρθ即22220x y x y +--=. 故曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=. （2）因为()2,1M ，故M 在直线l 上，设11222,1,2,1A B ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l的参数方程为21x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将其代入曲线C 的直角坐标方程，故222212201t t t t ⎛⎛+++⎛⎛+--= ⎝⎭+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得到：210t -=，故12,t t为方程210t -=的两个根且12t t +=121t t =-，故1212121111t t MB MA t t t t -+=+===.【点睛】方法点睛：直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．23．已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>的最小值为1. （1）求a b +的值；（2）若40a b mab +-≥恒成立，求实数m 的最大值. 答案：（1）1a b +=；（2）9；（1）首先将函数()f x 写成分段函数，分析函数的单调性得到函数()f x 的最小值为a b +，最后根据题意求解即可；（2）由（1）知1a b +=，将不等式40a b mab +-≥转化为2()31m a a a -≤+在01a <<上恒成立，参变分离求最值获得实数m 的取值范围，进而得到实数m 的最大值. 解：（1）由题意得：0,0a b >-<，所以()32,22,32,x a b x bf x x a x b x a b b x a x a b x a -+-<-⎧⎪=-++=++-≤≤⎨⎪-+>⎩，则当x b =-时，函数()f x 取得最小值a b +， 所以1a b +=；（2）因为40a b mab +-≥由（1）知，1a b +=，0,0a b >>，所以01a <<，所以41(1)0a a ma a +---≥即2()31m a a a -≤+在01a <<上恒成立， 由于20a a ->，参变分离得：不等式231a m a a +≤-在01a <<上恒成立，令231()a h a a a +=-，求导得()'22(1)(31)()a a h a a a +-=-， 所以当103a <<时，'()0h a <，()h a 在1(0,)3上单调递减，当113a <<时，'()0h a >，()h a 在1(,1)3上单调递增，所以()h a 在13a =时取得最小值，所以实数1()93m h ，所以实数m 的最大值为9.【点睛】本题是含参数的函数最值问题，分析函数单调性得到最值即可；不等式恒成立问题，一般使用参变分离，将问题转化为最值问题，最后利用函数的思想求得函数的最值，求得参数的取值范围即可.。