高中数学3-4生活中的优化问题举例-同步课件新人教A

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[解 析 ] 如 图 所 示 ， 设 出 AD 的 长 ， 进 而 求 出 AB， 表 示 (biǎoshì)出面积S，然后利用导数求最值．
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设 AD＝2x(0<x<2)，则 A(x,0)， AB＝y＝4－x2， ∴矩形面积为 S＝2x(4－x2)(0<x<2)， 即 S＝8x－2x3， S′＝8－6x2，令 S′＝0， 解得 x1＝ 23，x2＝－ 23(舍去)．
第二十页，共43页。
令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 解得 x1＝16a，x2＝12a(舍去)． x1＝16a 在区间0，a2内，x1 可能是极值点．且 当 0<x<x1 时，V′(x)>0； 当 x1<x<a2时，V′(x)<0.
第二十一页，共43页。
因此 x1 是极大值点，且在区间0，a2内，x1 是唯一的极值 点，所以 x＝16a 是 V(x)的最大值点．
所以 BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402.
又设总的水管费用为 y 元，则
y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．
所以 y′＝－3a＋
5ax x2＋40 .
第三十六页，共43页。
令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)． 当x<30时，y′<0；当x>30时，y′>0. 所 以 当 x ＝ 30 时 ， 取 得 (qǔdé) 最 小 值 ， 此 时 AC ＝ 50 － x ＝ 20(km)， 即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最 省．
第九页，共43页。
牛刀小试
1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单

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2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应 怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. V 2 由V=πr h,得 h 2 ,则 pr V 2V 2 S ( r ) 2pr 2 2pr 2pr 2 . pr r V V V 2V · 3 令S ( r ) 2 4pr 0 ,解得 r ,从而h 2 pr 2p V 2 r 3 p( )
4 3 解：∵每个瓶的容积为: pr ( ml ) 3 4 3 ∴每瓶饮料的利润： y f ( r ) 0.2 pr 0.8pr 2 3 3 r = 0.8π( - r 2 ) (0 r 6) 3
令f ' (r ) = 0.8π (r - 2r ) 0，得r = 2
2
r f '( r) f (r)
课前探究学习
2 3 6 x
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例2、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传， 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的 宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm
列表讨论如下：
x S '(x) S (x) (0，16) 16 0 (16，+∞)
减函数↘
+
增函数↗
极小值
∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点 ∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm， 宽为8dm时，S(x)最小 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的 空白面积最小。

s ( x ) = ( x + 4 )( 128 x + 2 ) − 128
= 2 x +
求导数， 求导数，有
512 s'(x) = 2 - 2 , x 512 令s' ( x ) = 2 − 2 = 0, 解得，x=16 (x=-16舍去） 解得， 舍去） 舍去 x
128 128 = =8 x 16
x
x x
60
x
60
设箱底边长为x,则箱高 解:设箱底边长为 则箱高 设箱底边长为 则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 解得x=0(舍去 舍去),x=40.且V(40)= 令V ′( x) = 60x − x = 0 ,解得 解得 舍去 且 2 16000.
你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道 它的道理吗? 它的道理吗 是不是饮料瓶越小,饮料公司的利润越大 饮料公司的利润越大? 是不是饮料瓶越小 饮料公司的利润越大
例题: 例题
某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成 某制造商制造并出售球形瓶装饮料 瓶子制造成 已知每出售1ml的饮料 可获利 的饮料,可获利 本是0.8πr2分.已知每出售 已知每出售 的饮料 本是 0.2分,且瓶子的最大半径为 且瓶子的最大半径为6cm. 分 且瓶子的最大半径为 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为 所以每瓶饮料的利 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 4πr 3 润为： 润为： y = f ( r ) = 0.2 × − 0.8πr 2 0 < r ≤ 6 令 f ' ( r ) = 0.8π ( r 2 − 2r ) = 0 当r = 2时, f ' ( r ) = 0. 当r ∈ (0,2)时, f ' ( r ) < 0;

例2 (2010年高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季 供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层， 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每 年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：
【思路点拨】 首先利用C(0)＝8求出k的值， 从而可表示出f(x)，再利用导数求得最值．
方法感悟
解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上 把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出 发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模 型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究， 得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问 题中去，其思路如下：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条 件和结论，找出问题的主要关系；
用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤： (1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′； (3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处 是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求 实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义 确定取得最值时变量的取值．
例3 某商品每件成本9元，售价30元，每星 期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增 加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价 的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正 比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出 24件．
x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21]
f′(x) － 0
＋
0
－
f(x)
极小 值
极大 值
故x＝12时，f(x)取得极大值． 因为f(0)＝9072，f(12)＝11664， 所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品 销售利润最大．

当 x∈(0,20)时，V′>0； 当 x∈(20,30)时，V′<0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
解决面积、容积的最值问题的思路： 1．解决长度、面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示 为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方 程，以利于解决问题．
解析：设矩形场地的长为 x，则宽为 8－x，
面积为 S＝x(8－x)(0<x<8)，
令 S′＝8－2x＝0，得 x＝4.
此时 S 最大值＝42＝16(m2)．
答案：C
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为( )
3 A. 3 cm
10 3 B. 3 cm
16 C. 3 3 cm
l＝2x＋2y＋2( 22x)＝(32＋ 2)x＋1x6. 所以 l′＝32＋ 2－1x62.令 l′＝0，即32＋ 2－1x62＝0， 解得 x1＝8－4 2，x2＝4 2－8(舍去)． 当 0<x<8－4 2时，l′<0； 当 8－4 2<x<4 2时，l′>0. 所以当 x＝8－4 2时，l 取得最小值． 此时，x＝8－4 2≈2.343 (m)，y≈2.828 (m)． 即当 x 为 2.343 m，y 为 2.828 m 时，用料最省．
探究一 长度、面积、容积的最值问题
[典例 1] 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B， C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱 形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x cm.

A 版 数 学
当140＋0ππ<x<100 时 S′>0，
∴当 x＝41＋00ππ时 S′取极小值，这个极小值也就是函数
的最小值，
故当弯成圆的铁丝长为140＋0ππcm 时，面积之和最小．
第三章 导数及其应用
[点评] 该题中涉及的量较多，一定要通过建立各个
量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分
与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分
人 教
A
为a元．
版 数
学
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，
并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
第三章 导数及其应用
[误解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模
型．
人
解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审
教 A
版
清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设
数 学
定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题
时间为vs，全程运输成本为 y＝a·vs＋bv2·vs＝sav＋bv，所求
人
函数及其定义域为 y＝sav＋bv，v∈(0，c]．
教 A 版 数
学
(2)由题意知 s、a、b、v 均为正数，
由 y′＝sb－va2＝0 得 v＝± ab，又 0<v≤c，所以当