速度关联类问题求解速度的合成与分解

精心整理课题：速度关联类问题求解·速度的合成与分解典型例题问题点知识点：关联体1、关联体和关联体运动的感念：关联体一般是由两个（或两个以上）的物体由轻绳或者轻杆联系在一起，或直接挤压在一起，它们的运动简称关联运动。

2、关联速度分解的步骤：确定合运动的方向：物体运动的实际方向就是合运动的方向即合速度的方向。

确定合运动的效果：一是沿牵引力方向的平动效果，改变速度的大小，而是垂直牵引力方向的转动效果，改变速度的方向。

将合运动按转动，平动的分解，确定合速度与分速度的大小关系。

3、绳连接的物体的速度的关联问题分解时，首先要确定分解那个物体的速度（分解子运动的那个物体的速度）然后找准这个物体的合运动（实际运动）的方向。

最后按照产生的两个实际效果的方向（沿绳子方向和垂直绳子方向）分解。

4、等量关系的建立：（1）根据沿绳（或者杆）方向的分速度的大小相等建立等量关系（2）相互接触挤压物体的速度关联问题时，根据两物体沿弹力方向的速度相等（接触点处的相对速度为零所以速度相等）建立等量关系。

典例（1）只需分解一个物体的速度的绳的关联［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？（2）需要分解连个物体的绳的关联［例2］（★★★）如图5-1所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？（3）杆的关联问题［例3]（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小（4）相互接触挤压物体的关联问题［例4]（★★★★★）一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）完成时间完成质量家长确认抽查反馈图图精心整理。

关联速度的问题【专题概述】1、什么就是关联速度:用绳、杆相连的物体,在运动过程中,其两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即连个物体有关联的速度。

2、解此类题的思路:思路(1)明确合运动即物体的实际运动速度(2)明确分运动:一般情况下,分运动表现在:①沿绳方向的伸长或收缩运动;②垂直于绳方向的旋转运动。

解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则3、解题方法:把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)与平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。

常见的模型如图所示【典例精讲】1、绳关联物体速度的分解典例1(多选) 如图,一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平成60°角,则此时( )A.小车运动的速度为v0B.小车运动的速度为2v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动2、杆关联物体的速度的分解典例2如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A.另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过程中,两杆交点P的速度方向与大小分别为( )A. 水平向左,大小为vB. 竖直向上,大小为vtanθC. 沿A杆向上,大小为v/cosθD. 沿A杆向上,大小为vcosθ3、关联物体的动力学问题典例3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接,A放在倾角为 的光滑斜面上,绳的另一端与套在固定竖直杆上的物体B连接.现BC连线恰沿水平方向,从当前位置开始B以速度v0匀速下滑.设绳子的张力为F T,在此后的运动过程中,下列说法正确的就是( )A. 物体A做加速运动B. 物体A做匀速运动C. F T可能小于mgsinθD. F T一定大于mgsinθ【总结提升】有关联速度的问题,我们在处理的时候主要区分清楚那个就是合速度,那个就是分速度,我们只要把握住把没有沿绳子方向的速度向绳方向与垂直于绳的方向分解就可以了,最长见的的有下面几种情况情况一:从运动情况来瞧:A的运动就是沿绳子方向的,所以不需要分解A的速度,但就是B运动的方向没有沿绳子,所以就需要分解B的速度,然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。

运动的合成与分解——“关联”速度问题●问题概述：绳、杆等有长度的物体,在运动过程中,其两端点的速度通常是不一样的,但两端点的速度是有联系的,称之为“关联”速度。

关联速度的关系——沿杆(或绳)方向的速度分量大小相等。

●关键点：1.绳子末端运动速度的分解,应按运动的实际效果进行。

2.速度投影定理:不可伸长的杆(或绳),尽管各点速度不同,但各点速度沿绳方向的投影相同。

●例题：如图所示,人用绳子通过定滑轮拉物体A,当人以速度v0匀速前进时,物体A将做( )A.匀速运动B.加速运动B.C.匀加速运动 D.减速运动解题探究:①物体A的运动有两个运动效果,分别是什么?②将该物体的速度沿哪两个方向分解?●规律总结求解绳(杆)拉物体运动的合成与分解问题的思路和方法:①先明确合运动的方向：物体的实际运动方向②然后弄清运动的实际效果：沿绳或者杆的伸缩效果；使绳子或者杆转动的效果。

③再确定两个分运动的方向：沿着绳子（杆）、垂直于绳子（杆）●常见的模型●巩固练习1、如图所示，人以水平速度v跨过定滑轮匀速拉动绳子，当拉小车的绳子与水平地面的夹角为β时，小车沿水平地面运动的速度为( )A．V B.vcosβC.vsinβD．v cosβ2、如图所示，纤绳以恒定速率v1沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠向岸边，设小船速度为v2，则小船靠岸过程的运动情况是( )A．加速靠岸，v2＞v1 B．加速靠岸，v2＜v1C．减速靠岸，v2＞v1 D．匀速靠岸，v2＜v13、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起,上面分别穿有一个小球,小球a、b间用一细直棒相连,如图所示。

当细直棒与竖直杆夹角为θ时,两小球实际速度大小之比为( )A.sinθB.cosθC.tanθD.cotθ4、如图所示，物体A以速度v沿杆匀速下滑，A用细绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平夹角为θ时，B的速度为（）A．v cosθ B．v sinθC．v/cosθ D．v/sinθ5、（不定项）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻速度分别为1v 和2v ，绳子对物体的拉力为T ，物体所受重力为G ，则下面说法正确的是( )A ．物体做匀速运动，且v 1=v 2B ．B ．物体做加速运动，且v 1>v 2C ．物体做加速运动，且T>GD ．物体做匀速运动，且T ＝G6、如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连。

高中物理速度的合成与分解讲析运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点 ●难点磁场1.如图4-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？2.如图4-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？●案例探究［例1］如图4-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图4-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.解题方法与技巧：解法一:应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图4-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC =θcos BD① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物=tBCt s ∆=∆∆1 ② 人拉绳子的速度v =tBDt s ∆=∆∆2③由①②③解之：v 物=θcos v解法二:应用合运动与分运动的关系 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图4-6所示进行分解.其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动.所以v 物=θcos v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以 v 物=θcos v图4-1 图4-2 图4-3 图4-4图4-5图4-6图4-7［例2］一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图4-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）.命题意图：考查综合分析及推理能力.B级要求.错解分析：①不能恰当选取连结点B来分析，题目无法切入.②无法判断B点参与的分运动方向.解题方法与技巧：选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ.设此时OB长度为a，则a=h/sinθ.令棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h.故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h.●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性.2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.二、处理速度分解的思路1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.●歼灭难点训练一、选择题1.如图4-8所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v.2.如图4-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到图4-8如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.图4-9 图4-103.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑 1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图4-10所示.试求：（1）m 2在下滑过程中的最大速度.（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.如图4-11所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v为多大？5.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图4-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.6.如图4-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。

2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.二、处理速度分解的思路1.选取适宜的连结点〔该点必须能明显地表达出参与了某个分运动〕.2.确定该点合速度方向〔通常以物体的实际速度为合速度〕且速度方向始终不变.3.确定该点合速度〔实际速度〕的实际运动效果从而依据平行四边形定那么确定分速度方向.4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.●歼灭难点训练一、选择题1.〔★★★〕如图5-8所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v.2.〔★★★★★〕如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小.图5-9 图5—103.〔★★★★〕一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.定滑轮到杆的距离为m.物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图5-10所示.试求：〔1〕m2在下滑过程中的最大速度.〔2〕m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.〔★★★★〕如图5-11所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，SO=L，假设M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，那么转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？5.〔★★★★★〕一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图5-12所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v B.求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.6.〔★★★★★〕如图5-13所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中〔1〕斜劈的最大速度.〔2〕球触地后弹起的最大高度。

速度关联类问题求解·速度的合成与分解运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点●难点磁场1.如图4-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？2.如图4-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？●案例探究［例1］如图4-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图4-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.解题方法与技巧：解法一:应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图4-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC =①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=②人拉绳子的速度v =③由①②③解之：v 物=解法二:应用合运动与分运动的关系绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图4-6所示进行分解.其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动.θcos BDtBCt s ∆=∆∆1t BDt s ∆=∆∆2θcos v 图4-1图4-2图4-3图4-4图4-5图4-6所以v 物=解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=图4-7［例2］一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图4-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.命题意图：考查综合分析及推理能力.B 级要求.错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方向.解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显）.因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ.令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h .故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h .●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰，即：独立性.2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.二、处理速度分解的思路1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.●歼灭难点训练θcos v θcos v一、选择题1.如图4-8所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A v .沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度2.如图4-9所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.图4-9 图4-103.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图4-10所示.试求：（1）m 2在下滑过程中的最大速度.（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.如图4-11所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？5.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图4-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.6.如图4-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。

速度关联类问题求解·速度的合成与分解●难点1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？●案例探究［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.解题方法与技巧：解法一:应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC =θcos BD①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=tBCt s ∆=∆∆1 ②人拉绳子的速度v =tBD t s ∆=∆∆2③由①②③解之：v 物=θcos v解法二:应用合运动与分运动的关系绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解.其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物=θcos v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=θcos v图5-1图5-2图5-3图5-4图5-5图5-6图5-7［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方向.解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显）.因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ.令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h . 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h . ●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰，即：独立性.2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性. 二、处理速度分解的思路1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系. ●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★）如图5-8所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v .2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.图5-9 图5—103.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另图5-8一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图5-10所示.试求：（1）m 2在下滑过程中的最大速度. （2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.（★★★★）如图5-11所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.6.（★★★★★）如图5-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。

分与解求解·速度的合成速度关联类问题而寻找这种关系则运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点. 是考生普遍感觉的难点●难点磁场B、A跨两车通过细绳所示，接在1.如图4-1A车定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若v分向右匀速运动，角当绳与水平面的夹以速度图0B 车的速度是多少？βα和时，别为m于光滑4-2所示，质量为的物体置2.如图.定滑轮的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的v动，设向右匀速拉由地面上的人以恒定的速度0方向夹人从地面上的平台开始向右行至绳与水平图功为多45°处，在此过程中人对物体所做的角为少？案例探究●一4-3］如图所示，在一光滑水平面放上1［例体，使物个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物v当.动运体在水平面上运动，人以大小不变的速度是物体前进的瞬时角时，速度θ绳子与水平方向成图多大？. 级要B命题意图：考查分析综合及推理能力，求收将绳子弄不清合运动与分运动概念，错解分析：vvv.=缩的速度按图4-4所示分解，从而得出错解θ=cos1物应用微元法解题方法与技巧：解法一:ABCsBCCDt，4-5，如图所示.设经过时间Δ过，物体前进的位移Δ⊥=点作1tACDACADtBAC时间内，人拉绳中，可以认为，在=当ΔΔ→0时，∠极小，在△tsBD.Δ时间内绳子收缩的长度=，即为在Δ子的长度为2BD BC由图可知： = ?cos①s?BC v=物体移动的速度为由速度的定义：1?物t?t?图②s?BD v③人拉绳子的速度 = 2?t??tv v由①②③解之：=物?cos应用合运动与分运动的关系解法二:个这绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，v合运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度是图物v.所示进行分解按如图4-6速度，将物vv.:，使绳子收缩=θcos其中物vv.点转动=,sinθ使绳子绕定滑轮上的A物⊥v v=所以物?cos解法三：应用能量转化及守恒定律.由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功FvPF；绳子对物体的拉力，由定人对绳子的拉力为，则对绳子做功的功率为=1FvPF，因cos=θ滑轮的特点可知，拉力大小也为，则绳子对物体做功的功率为物2PP =为所以21．v v =物?cos图4-7LOAOA，靠2］一根长为，的杆端用铰链固定，另一端固定着一个小球［例Mh的物块上，如图4-7，高为在一个质量为所示，若物块与地面摩擦不计，试求vAv（此时杆与水平方向夹角为θ）向右运动时，小球的线速度. 当物块以速度A命题意图：考查综合分析及推理能力.B级要求.BB点来分析，题目无法切入.②无法判断错解分析：①不能恰当选取连结点参与的分运动方向.BAA点点，因为为连结点.解题方法与技巧：选取物与棒接触点（不直接选vB点在物块上，该点运动方向不变且与物块.与物块速度的因为的关系不明显）BvB点又在棒上，点的合速度（实际速度）也就是物块速度；运动方向一致，故AvOv.和绕参与沿棒向因此，将这个合速度沿棒点滑动的速度点转动的线速度21vv sinθ=及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：.2OBaah/sinθ长度为，则.设此时=2hvvOa. sinω=//=θ令棒绕ω点转动角速度为，则：22hLvvLA. /sin故θ的线速度=ω=A●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系vs、一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（1..分）互不干扰，即：独立性合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.分2.3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效.果可以相互替代，即：等效性．二、处理速度分解的思路. 选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）1.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不2..变确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定3..分速度方向. 作出速度分解的示意图，寻找速度关系4. 歼灭难点训练●一、选择题AA轮滑1.如图4-8所示，物体前固定置于水平面上，一CBD 点，再绕过，高台上有一定滑轮，一根轻绳一端固定在AD.BCvB、沿水段水平，当以速度面前拉绳子自由端时，平图0vAB.的运动速度时的两段绳子夹角为α进，求：当跨过BA、当杆滑到如，不计一切摩擦.所示，均匀直杆上连着两个小球2.如图4-9ABva球速度α图位置时，球水平速度为，杆与竖直夹角为，加速度为，求此时BB.和加速度大小4-10图图4-9m另一连接，3.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体1mm由静止连接.m.已知定滑轮到杆的距离为物体端和套在竖直光滑杆上的物体322mmAB .试求：从连线为水平位置开始下滑1 m时，、恰受力平衡如图4-10所示21m.）1在下滑过程中的最大速度（2m.（沿竖直杆能够向下滑动的最大距离2）2图SOSM.4-11所示，为一平面镜，光屏与平面镜平行放置为一点光源，4.如图OLMMSO点逆时针匀速转动，，若绕是垂直照射在以角速度上的光线，已知ω=vS则转过30°角时，光点为多大？′在屏上移动的瞬时速度mPQ量为5.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳提升井中质QP端拴端拴在车后的挂钩上，的物体，如图4-12所示.绳的量和尺在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质A左右两开始时，车在点，寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.图H车加速.左侧绳绳长为提升时，侧绳都已绷紧并且是竖直的，BABHABC.点时的速度到的距离也为设向左运动，沿水平方向从经，车过驶向QABv.移到求在车由端的拉力对物体做的功的过程中，绳为.B B着竖直墙如图4-13所示，斜劈30°，劈尖顶的倾角为6.r半径为壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、A不计一切的球并从图示位置由静止释放，放在墙面与斜劈之间，图摩擦，求此后运动中.1（）斜劈的最大速度（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）2（）球触地后弹起的最大高度。

速度的合成与分解—速度关联问题（牵连体的速度合成与分解）
【例1】 二直杆交角为θ，交点为A ，若两䩞各以垂直于自身的速度V 1、V 2沿纸面平动，则交点A 的运动速度的大小是多少？（图一）（本题为第二届全国中学生力学竞赛试题）
分析与解 解法一：
经过单位时间后，1l 的位移大小为
V 1，2l 的位移大小为V 2，如图2所示。

2
cos V A C θ
'=
1cot BC V θ=
则
2
V AA '=====
解法二：将1l 的移动速度向着1l 和2l （又称2l 的切向）方向分解，其中分速度21l t V 以叫做速度V 1在2l 方向（又叫做在另一条直线的切线方
向的分速度）。

再将2l 的移动速
度V 2向着1l 和2l 的方向分解，其中V 2在1l 方向的分速度12l t V 叫做V 2在1l 切向方向的分速度。

再将11l t V 和21l t V 合成起来，则它们的合速度就是A 点移动的速度。

（如图4） 由图3得：
21
1cos l t V V θ= 122cos l t
V V θ
= 由图4，根据余弦定理：
结论：线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和． 方法三：令杆1l 不动，杆2l 以速度V 2垂直杆2l 运动，交点在杆1l 上滑行的速度：
22sin A
v
v θ
=； 令杆2l 不动，杆1
l 以速度V 1垂直杆1l 运动，交点在杆2l 上滑行滑行的速度：1
1sin A v v θ
=
V ===
A 点对纸面的速度V 1A 与V 2A 的合速度，根据图5，其大小为：
2A v ==。

速度的合成与分解问题分析ʏ何 为速度的合成与分解是高中物理的一个重要知识点,既可以单独考查对运动关系的理解,也可以和能量与动量综合在一起进行考查,在这两类问题中速度关系通常都会作为一个易错点出现,导致很多考生出错㊂如果学生能够将速度合成与分解的典型模型弄清楚,那么在遇到与速度关联的问题时,就能够触类旁通,举一反三,顺利求解㊂一㊁典型模型图1如图1所示,人在岸边通过绳子跨过定滑轮牵引湖中的小船,若人以速度v 向左匀速运动,当绳子与水面呈θ角时,船靠岸的速度为多大?(设绳子一直是拉紧的)常见错误分析:很多学生会由于受到书本上飞机起飞模型的误导,而认为这两个模型是一样的,直接将绳子连接船的速度分解 图2到水平和竖直方向上,如图2所示㊂如图2所示的分解方式错误的原因在于分速度v y 的出现与实际严重不符㊂这样的分解方式意味着船将会慢慢地飞到空中,成为 飞船 ,这与实际观察到的船一直在水面上运动且逐渐靠近河岸相矛盾㊂出现这种错误的根源在于没有分清楚哪个是合运动,哪个是分运动㊂合运动:物体相对于选定的参考系真实运动的速度㊂分运动:物体同时参与的几个相互独立的运动㊂显然,依据合运动的定义可知,我们直接看到的运动应该是合运动,即船靠岸的速度u 是合速度,因此我们应该分解船的速度,而不是绳子的速度㊂正确分析:根据合运动的定义找出合运动后,再找出两个分运动的方向,这样对合速度的分解就可以唯一地确定了㊂要找到两个分运动的方向,我们要从合运动的效果上来确定㊂因为船靠岸,导致拉船的绳子缩短,所以一定有一个沿绳方向的分速度来缩短绳子;同时因为随着船的靠岸,绳子与水面间的夹角θ会逐渐变大,相当于绳子在绕定滑轮转动,所以船一定还有一个垂直于绳子的转动线速度㊂正确的分 图3解如图3所示㊂因为船沿绳子方向的分速度等于人拉动绳子的速度v (绳子不可伸长),所以船前进的速度u =vc o s θ㊂二㊁补充解法解法一:微元法㊂考虑在一极短时间t 内,将绳的运动和船的运动在图4甲中标出来,O A 是绳子的初始位置,O B 是绳子的末位置,小船从A 点运动到B 点,在O A 上取一点C 满足O B =O C ,并连接B C ㊂显然A B 是船在时间t 内的位移,A C 是绳子在时间t 内缩短的长度㊂因为时间极短,等腰三角形O B C 的顶角øO ң0,所以底角øO C B ң90ʎ,即øA C B 趋于直角三角形㊂将此图放大为图4乙,则可以得出s 1=s 2c o s θ㊂因为时间极短,绳子的运动和船的运动都可以认为是匀速运动,所以有s 1=vΔt ,s 2=u Δt ,解得u =vc o s θ㊂图476基础物理 障碍分析 自主招生 2020年7 8月解法二:能量分析法㊂ 图5如图5所示,假设在岸上用力F 牵引小船,绳子拉船的力也等于F ,定滑轮并不消耗能量,只起能量传递的作用,因此绳子两端应具有相同的功率,即P 入=P 出,由P 入=F v 得绳子另一端的功率P 出=F u c o s θ,解得u =vc o s θ㊂解法三:导数求解法㊂ 图6如图6所示,假设河岸高h ,任意时刻船到河岸的水平距离为x ,绳长为l ,三者一定满足h 2+x 2=l 2㊂在方程两边同时对时间求导,可得2hd h d t +2x d xd t=2l d t d l ㊂因为河岸高度固定,是常量,所以有d h d t =0㊂又有d xd t =u为船靠岸的速度,d ld t=v 代表绳子收缩的速度,因此有2x u =2l v ,即u =l v x =vc o s θ㊂评析:绳拉船模型的解法有很多种,思想各异㊂能量分析法在学生学习了功率之后作为补充练习,既让学生巩固了功率的基础知识,又拓展了学生对合成与分解的视野㊂导数分析法在学生学习了导数之后作为补充拓展,既让学生熟悉了导数的应用,又可以让学生感受到物理和数学的紧密联系㊂三㊁拓展应用图7例1 如图7所示,一长度为L 的轻杆一端固定小球A ,另一端通过转轴固定在O 点,一高为h 的木块B 夹在水平面和细杆之间,当细杆与水平面成θ角时,木块向右的速度为v B ,小球A 此时的速度v A 为多大分析:小球A 只能绕O 点做圆周运动,小球A 的速度为线速度,因此只要找到细杆转动的角速度即可㊂细杆与木块的联系是接触点C ,C 点的速度与木块的速度相等㊂木块B 的右移带来的效果是接触点C 沿细杆外移,有沿杆方向的分速度,同时木块B 的右移有让细杆绕O 点转动的效果㊂解:将木块B 的速度v B 分解到沿杆方向的v 1和垂直于杆方向的v 2,如图8所示,图8则v 2=v B s i n θ=r O C ω,r O C =hs i n θ㊂小球A 的线速度v A =L ω=L v B s i n 2θh㊂ 图9例2 如图9所示,两根轻绳跨过定滑轮与物块A 相连,两根轻绳另一端分别连接两个物块B ㊁C ㊂当两轻绳间的夹角为2θ时,物块B ㊁C 以速度v 下降,求物块A 上升的速度v A㊂图10错误分析:如图10所示,直接按照速度的合成得到物块A 的速度㊂错误的原因是这个解法认为物块A 分别有沿两绳方向的分速度,这样的话物块A 最终将会分裂成两份,这显然是不符合实际的㊂出现这种错误的根源在于没有按照合运动和分运动的关系来分析问题,而是想当然地和之前所学的力的合成与分解相类比导致出错㊂正确分析:我们实际看到的是物块A 竖直上升,带来的效果是绳子缩短和角度θ的变大,因此应该将物块A 的速度分解到沿绳 图11和垂直与绳子的方向,如图11所示,则v 1=v A c o s θ=v ,解得v A =vc o s θ㊂小结:速度的合成与分解问题在很多地方必须按照运动的实际效果来处理,因此抓住合运动和分运动的特点是解决这一问题的突破口,正确的理解模型是解决深层次问题的关键㊂作者单位:湖北省十堰市东风高级中学86 基础物理 障碍分析 自主招生 2020年7 8月。

14 关联速度的问题关联速度问题是指在绳或杆相连的物体运动中，两个物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等，即连个物体有关联的速度。

解此类题的思路是明确合运动即物体的实际运动速度和分运动，其中分运动表现在沿绳方向的伸长或收缩运动，以及垂直于绳方向的旋转运动。

解题的原则是速度的合成遵循平行四边形定则。

解题方法是把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。

常见的模型如图所示。

在绳关联物体速度的分解中，典例1如图，一人以恒定速度v通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动，当运动到如图位置时，细绳与水平成60°角，则此时小车运动的速度为v。

在杆关联物体的速度的分解中，典例2如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为沿A杆向上，大小为v/cosθ。

在关联物体的动力学问题中，典例3如图所示，轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。

现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v匀速下滑。

设绳子的张力为FT，在此后的运动过程中，正确的说法是物体A做加速运动，FT可能小于mgsinθ。

总之，在处理关联速度问题时，需要区分清楚合速度和分速度，将没有沿绳子方向的速度向绳方向和垂直于绳的方向分解。

最常见的情况是从运动情况来看，A的运动是沿绳子方向的，所以不需要分解A的速度，但是B运动的方向没有沿绳子，所以需要分解B的速度，然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。

连接体运动的速度分解总结集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）课题：速度关联类问题求解·速度的合成与分解典型例题问题点知识点：关联体1、关联体和关联体运动的感念：关联体一般是由两个（或两个以上）的物体由轻绳或者轻杆联系在一起，或直接挤压在一起，它们的运动简称关联运动。

2、关联速度分解的步骤：○1确定合运动的方向：物体运动的实际方向就是合运动的方向即合速度的方向。

○2确定合运动的效果：一是沿牵引力方向的平动效果，改变速度的大小，而是垂直牵引力方向的转动效果，改变速度的方向。

○3将合运动按转动，平动的分解，确定合速度与分速度的大小关系。

3、绳连接的物体的速度的关联问题分解时，首先要确定分解那个物体的速度（分解○不○沿○绳子运动的那个物体的速度）然后找准这个物体的合运动（实际运动）的方向。

最后按照产生的两个实际效果的方向（沿绳子方向和垂直绳子方向）分解。

4、等量关系的建立：（1）根据沿绳（或者杆）方向的分速度的大小相等建立等量关系（2）相互接触挤压物体的速度关联问题时，根据两物体沿弹力方向的速度相等（接触点处的相对速度为零所以速度相等）建立等量关系。

典例（1）只需分解一个物体的速度的绳的关联［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？（2）需要分解连个物体的绳的关联［例2］（★★★）如图5-1所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？（3）杆的关联问题［例3 ]（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小（4）相互接触挤压物体的关联问题［例4 ]（★★★★★）一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）完成时间完成质量家长确认抽查反馈图图。

微专题17 关联体速度的合成与分解【核心要点提示】(1)如果物体是通过杆或者绳子关联，由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解．(2)若两物体是通过接触面接触的，则将物体的实际速度沿平行与垂直接触面方向进行分解，在垂直接触面方向上速度相等。

【微专题训练】如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为()A.vsin θB．v sin θ C.vcos θD．v cos θ【解析】将直杆端点A的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得：v0＝vcos θ，选项C正确，选项A、B、D错误．【答案】C自行车转弯时，可近似看成自行车绕某个定点O(图中未画出)做圆周运动，如图所示为自行车转弯时的俯视图，自行车前、后两轮轴A、B相距L，虚线表示两轮转弯的轨迹，OB距离为3L，前轮所在平面与车身夹角θ＝30°，此时轮轴B的速度大小v2＝3 m/s.则轮轴A的速度v1大小为()A.332m/s B ．2 3 m/s C. 3 m/s D ．3 3 m/s【解析】绳(或杆)端速度的分解法此时轮轴A 的速度产生两个效果，一是与轮轴B 同向运动，二是以B 为圆心向右转，分解如图(a)所示，因此v 1cos θ＝v 2，θ＝30°，解得v 1＝2 3 m/s ，B 项正确．【答案】B一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h ，探照灯以恒定角速度ω在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点的移动速度是( )A ．hω B.hωcos θ C.hωcos 2θD ．hωtan θ 【解析】当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点转动的线速度为hωcos θ.设云层底面上光点的移动速度为v ，则有v cos θ＝hωcos θ，解得云层底面上光点的移动速度v ＝hωcos 2θ，选项C 正确．【答案】C(多选)如图所示，A 、B 两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A 球以速度v 向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是( )A ．此时B 球的速度为cos αcos βv B ．此时B 球的速度为sin αsin βv C ．在β增大到90°的过程中，B 球做匀速运动D ．在β增大到90°的过程中，B 球做加速运动【解析】由于绳连接体沿绳方向的速度大小一定，因此v cos α＝v B cos β，解得v B ＝cos αcos βv ，A 项正确，B 项错误；在β增大到90°的过程中，α在减小，因此B 球的速度在增大，B 球在做加速运动，C 项错误，D 项正确．【答案】AD(多选)如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R 的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )A ．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动B ．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动C ．半圆柱体以速度v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为v tan θD ．半圆柱体以速度v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为v sin θ【解析】O 点向右运动，O 点的运动使杆OA 绕A 点(定点)逆时针转动的同时，沿杆OA 方向向上推动A 点；竖直杆的实际速度(A 点的速度)方向竖直向上，使A 点绕O 点(重新定义定点)逆时针转动的同时，沿OA 方向(弹力方向)与OA 具有相同速度．速度分解如图乙所示，对于O 点，v 1＝v sin θ，对于A 点，v A ＝v 1cos θ，解得v A ＝v tan θ.O 点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，v A 减小，但杆不做匀减速直线运动，A 错误，B 正确；由v A ＝v tan θ可知C 正确，D 错误．【答案】BC(2016·河南郑州高三月考) (多选)如图9所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m ，水的阻力恒为F f ，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v ，此时人的拉力大小为F ，则此时( )A ．人拉绳行走的速度为v cos θB ．人拉绳行走的速度为v cos θC ．船的加速度为F cos θ－F f mD ．船的加速度为F －F f m【解析】船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v 人＝v cos θ，A 对，B 错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos θ－F f ＝ma ，得a ＝F cos θ－F f m，C 对，D 错．【答案】AC如图所示，顶角θ＝60°、光滑V 字形轨道AOB 固定在竖直平面内，且AO 竖直．一水平杆与轨道交于M 、N 两点，已知杆自由下落且始终保持水平，经时间t 速度由6 m/s 增大到14 m/s(杆未触地)，则在0.5t 时，触点N 沿倾斜轨道运动的速度大小为(g 取10 m/s 2)( )A ．10 m/sB ．17 m/sC ．20 m/sD ．28 m/s【解析】杆自由下落，由运动学公式，v ＝v 0＋gt ，则t ＝v －v 0g ＝14－610s ＝0.8 s ；则在0.5t时，杆的下落速度为v ′＝v 0＋g ·t 2＝(6＋10×0.4) m/s ＝10 m/s ；根据运动的分解，杆下落的速度可分解成如图所示的两分运动：则有：触点N 沿倾斜轨道运动的速度大小v ″＝v ′cos 60°＝1012m/s ＝20 m/s ，故C 正确，A 、B 、D 错误．【答案】C(多选)如图4所示，不可伸缩、质量不计的细线跨过同一高度处的两个光滑定滑轮连接着质量相同的物体A 和B ，A 套在固定的光滑水平杆上，物体、细线、滑轮和杆都在同一竖直平面内，水平细线与杆的距离h ＝0.2 m ．当倾斜细线与杆的夹角α＝53°时，同时无初速度释放A 、B .关于此后的运动过程，下列判断正确的是(cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A ．当53°＜α＜90°时，A 、B 的速率之比v A ∶v B ＝1∶cos αB ．当53°＜α＜90°时，A 、B 的速率之比v A ∶v B ＝cos α∶1C ．A 能获得的最大速度为1 m/sD ．A 能获得的最大速度为22m/s 【解析】将A 的速度沿细线方向和垂直于细线方向分解，沿细线方向上的分速度大小等于B 的速度大小，有v A cos α＝v B ，则v A ∶v B ＝1∶cos α，A 正确，B 错误；A 、B 组成的系统机械能守恒，有mv 2A 2＋mv 2B 2＝mg (h sin 53°－h sin α)，得v 2A ＝5－4sin α2－sin 2 αm 2/s 2，sin α最大时，v A 最大，当α＝90°时，A 的速率最大，此时B 的速率为零，解得v A m ＝1 m/s ，故C 正确，D 错误． 【答案】AC。