2020年安徽省示范高中皖北协作区第22届高三联考数学(理科)试题含答案

2024届安徽省示范高中皖北协作区高三下学期数学联考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{|3B x x =<−或3}x >，则()A B =R （ ）A ．[]3,2−−B ．()(),32,−∞−−+∞ C ．[]2,3−D ．()(),23,−∞−⋃+∞2．已知复数12z i =+，则13i4i 1z −+−在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．41,1717⎛⎫⎪⎝⎭B ．41,1717⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．41,1717⎛⎫− ⎪⎝⎭D ．41,1717⎛⎫−− ⎪⎝⎭3．若0a >，0b >，则2”是“1a b +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知在单调递增的等差数列{}n a 中，3a 与7a 的等差中项为8，且2817a a ⋅=−，则{}n a 的公差d =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．25．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b 进制随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()104ln 6ln 2ln 2ln 5kn P n =−=+∑（*N k ∈，4k >），则k 的值为（ ）A ．11B ．15C ．19D ．216．已知()3tan 4αβ−=，()()sin 3cos αβαβ−=+，则tan tan αβ−=（ ） A ．12B ．35C ．65D ．537．设P ABCD −与Q ABCD −为两个正四棱锥，正方形ABCD90PCQ ∠=︒，点M 在线段AC 上，且3CM AM =，将异面直线PD ，QM 所成的角记为θ，则sin θ的最小值为（ ） AB ．23CD ．138．已知点M 是直线1:20l ax y a +−=和2:20l x ay −+=（a ∈R ）的交点，()1,0A −，(),0B m ，且点M 满足12MA MB =恒成立，若()2,2C ，则2MA MC +的最小值为（ ）A B ．C D ．二、多选题9．已知样本数据12345,,,,x x x x x （10x <，2345,,,0x x x x >）的方差为2s ，平均数0x >，则（ ）A ．数据132x −，232x −，332x −，432x −，532x −的方差为29sB ．数据132x −，232x −，332x −，432x −，532x −的平均数大于0C ．数据2345,,,x x x x 的方差大于2sD ．数据2345,,,x x x x 的平均数大于x10．如图，函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象与x 轴的其中两个交点为A ，B ，与y 轴交于点C ，D 为线段BC 的中点，OB =，2OA =，3AD =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为12πB ．()f x 的图象关于直线8x =对称C ．()f x 在[]5,7单调递减D ．()2f x −+为奇函数11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，以A ，1C 为焦点的椭圆，绕着轴1AC 旋转180°得到的旋转体称为椭球1AC ，椭圆的长轴就是椭球的长轴，若椭球1AC 的长轴长为2，则下列结论中正确的是（ ）A ．椭球1AC 的表面与正方体1111ABCD ABCD −的六个面都有交线B ．在正方体1111ABCD A BCD −的所有棱中，只有六条棱与椭球1AC 的表面相交 C ．若椭球1AC 的表面与正方体1111ABCD A B C D −的某条棱相交，则交点必是该棱的一个三等分点D ．椭球1AC 的表面与正方体1111ABCD A B C D −的一个面的交线是椭圆的一段三、填空题12．622x ⎫⎪⎭的展开式中7x −的系数是 ．13．已知数列{}n a 满足()()()()1*211311n nnn n a a n ++−+−=−+∈N ，若121a a ==，则{}n a 的前20项和20S = ．14．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点．过A 作C 的切线m 及平行于x 轴的直线m '，过F 作平行于m 的直线交m '于M ，过B 作C 的切线n 及平行于x 轴的直线n '，过F 作平行于n 的直线交n '于N ．若83AM BN −=，则点A的横坐标为 ．四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD 中，4AB AD ==，6BC =．(1)若2π3A =，π3C =，求sin BDC ∠的值； (2)若2CD =，cos 3cos A C =，求四边形ABCD 的面积．16．2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG CDEHF −是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD 是矩形，8AB =m ，4=AD m ，1ED CF ==m ，且ED ，CF 都垂直于平面ABCD ，5GA GB ==m ，HE HF =，平面ABG ⊥平面ABCD ．(1)求点H 到平面ABCD 的距离；(2)求平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值．17．已知双曲线2222:1x y E a b −=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，P 是E 的右支上一点，且12PF PF ⊥，12PF F △的面积为3． (1)求E 的方程；(2)若E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点2F 的直线l 与E 的右支交于M ，N 两点，直线AM 和BN 的斜率分别即为AM k 和BN k ，求223AMBN k k +的最小值． 18．某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为12，每次答题是否答对互不影响.(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．(2)记甲第i 次答题所得分数()*i X i ∈N 的数学期望为()i E X ．（ⅰ）求()1E X ，()2E X ，()3E X ，并猜想当2i ≥时，()i E X 与()1i E X −之间的关系式； （ⅱ）若()1320ni i E X =>∑，求n 的最小值．19．已知函数()()212e e 4x x f x x a b =−−的图象在点()()0,0f 处的切线方程为54y x =−−． (1)求()f x 的解析式；(2)证明：()0,x ∀∈+∞，()2ln 2f x x >−． 参考数据：45e 2.23≈．参考答案：1．D【分析】求出函数定义域化简集合A ，再利用补集、并集的定义求解即得.【详解】由y =，得2x ≥−，因此[2,)A =−+∞，R(,2)A =−∞−，而(,3)(3,)B =−∞−+∞，所以()(,2)(3,)A B ∞∞⋃=−−⋃+R . 故选：D 2．B【分析】用复数的运算法则化简即可求得.【详解】由复数12z i =+，则12i z =−，13i 12i 13i 4i4i 14i 117z −+−−+−==−−， 故复数13i4i 1z −+−在复平面内的点的坐标为41,1717⎛⎫− ⎪⎝⎭.故选：B 3．B【分析】借助充分条件与必要条件的定义，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式验证必要性即可得.【详解】当1a b ==2≤成立，而1a b +≤不成立，故2≤”不是“1a b +≤”的充分条件；当1a b +≤时，有a b +≥a b =时等号成立，2==，故2≤”是“1a b +≤”的必要条件. 故选：B. 4．C【分析】根据题意，列出关于1,a d 方程组，求得d 的值，即可得到答案. 【详解】由等差数列{}n a 为单调递增数列，可得公差0d >，因为3a 与7a 的等差中项为8，可得375282a a a +==⨯，可得58a =，即148a d +=， 又因为2817a a ⋅=−，可得11()(7)17a d a d ++=−， 即264917d −=−，解得3d =或3d =−（舍去）.故选：C. 5．A【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.【详解】()1045671ln 6ln 2lg lg lg ...lg 456ln 2ln 5kn k P n k =+−=++++=+∑， 即1ln 3lglg34ln10k +==，则134k +=，得11k =. 故选：A 6．C【分析】由两角和与差的正弦，余弦，正切公式求解即可. 【详解】由于()()sin 3cos αβαβ−=+，所以()()sin 3cos αβαβ−=+，所以sin cos cos sin 3cos cos sin sin αβαβαβαβ−=−，所以tan tan 31tan tan αβαβ−=−，又()3tan 4αβ−=，所以tan tan 31tan tan 4αβαβ−=+， 所以()4tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβ−−=+−，由题设显然tan tan αβ≠，所以()41tan tan 1tan tan αβαβ−=+， 所以3tan tan 5αβ=， 所以()36tan tan 31tan tan 3155αβαβ⎛⎫−=−=−= ⎪⎝⎭.故选：C. 7．A【分析】建立适当空间站直角坐标系后，借助空间向量表示出θ的余弦值，结合基本不等式计算即可得解.【详解】连接BD 交AC 于点O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方形ABCD1OA OB OC OD ====， 因为3CM AM =，所以M 为OC 的中点，设OP h =，在直角PCQ △中，有21OP OQ OC ⋅==，故1OQ h=， 所以()()110,0,,1,0,0,0,0,,0,,02P h D Q M h ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()111,0,,0,,2PD h QM h ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭，所以cos PD QM PD QMh θ⋅===⋅ 因为()2222115159144444hh h h ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2214h h=，即h =cos θ的最大值为23，因此sin θ故选：A. 8．D【分析】根据题意，得到点M 的轨迹方程为224(2)x y x +=≠，结合12MA MB =恒成立，求得点(4,0)B −，再由2MA MC MC MB ++=，且直线BC 的方程为340x y −+=，得到在直线BC 上存在两个点,P Q 满足,,B P C 或,,B Q C 三点共线，进而求得其最小值.【详解】由直线1:20l ax y a +−=，可得化为(2)0a x y −+=，可得直线1l 恒过定点(2,0)， 同理可得直线2:20l x ay −+=恒过定点(2,0)−， 可得121,l l k a k a=−=，则121l l k k ⋅=−，所以12l l ⊥， 因为点M 是直线1l 和2l 的交点，所以点M 的轨迹方程为224(2)x y x +=≠， 又因为12MA MB =恒成立，可得22224(1)()x y x m y ++=−+恒成立， 即282024x mx m +=−++恒成立，所以4m =−，即(4,0)B −， 又由2MA MC MC MB ++=，且直线BC 的方程为340x y −+=，可得原点(0,0)O 到直线BC2=<， 所以在直线BC 上存在两个点,P Q 满足,,B P C 或,,B Q C 三点共线，如图所示，可得2MA MC MB MC BC +=+≥=所以2MA MC +的最小值为 故选：D.9．AD【分析】根据方差、平均数的定义和性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：数据132x −，232x −，332x −，432x −，532x −的方差为29s ，A 正确； 对B ：数据132x −，232x −，332x −，432x −，532x −的平均数为32x −， 当203x <≤时，320x −≤，故B 错误； 对C ：去掉一个最小(特异值)的数据，剩下的数据的方差有可能更小，故C 错误； 对D ：因为1234505x x x x x x ++++=>，数据2345,,,x x x x 的平均数234515444x x x x x x +++=−，因为10x <，故数据2345,,,x x x x 的平均数大于x ，故D 正确. 故选：AD. 10．CD【分析】结合题意计算可得()16ππsin 363f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的性质逐项判断即可得. 【详解】由题可()2,0A ，π2,0B ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()0,sin C A ϕ，则πsin 1,22A D ϕω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πsin2ϕω=+，()sin20ωϕ+=，23AD=，222πsin281243Aϕω⎛⎫∴−+=⎪⎝⎭，把πsin2Aϕω⎫=+⎪⎭代入上式，得2ππ2240ωω⎛⎫−⨯−=⎪⎝⎭，解得π6ω=(负值舍去)，π6ω∴=，πsin03ϕ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，由π2ϕ≤，解得π3ϕ=−，πsin83⎛⎫−=⎪⎝⎭，解得163A=，()16ππsin363f x x⎛⎫∴=−⎪⎝⎭，对A，()f x的最小正周期为2π12π6=，故A错误；对B：()16ππ8sin80363f⎛⎫=⨯−=⎪⎝⎭，故B错误；对C：当57x≤≤时，πππ5π2636x≤−≤，()f x∴在[]5,7单调递减，故C正确；对D：()()16ππ16π2sin2sin36336f x x x⎡⎤⎛⎫−+=−+−=− ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，为奇函数，故D正确.故选：CD.11．ABD【分析】对A：根据题意画图即可判断；对BC：假设存在椭球与棱相交的点，根据椭圆的定义，列方程求解，即可判断；对D：以正方形ABCD的中心建立空间直角坐标系，设出交点坐标，根据其在椭圆上，求得其轨迹方程，即可判断.【详解】对A：根据题意，画图易知A正确；对B，C：假设P是椭球1AC的表面与棱AB的交点，设AP x=，则12PA PC x+==，解得12x=，故棱AB上有一点P（AB的中点）满足条件；同理在111111,,,,AD AA C B C D CC上各有一点满足条件；设Q是椭球1AC的表面和棱1BB的交点，则12QA QC+=>，故棱1BB上不存在满足条件的点Q；同理在棱11111,,,,BC A D CD A B DD上也不存在满足条件的点，故B正确，C错误；对D ：连接,AC BD 交于点O ，连接1111,A C B D 交于点1O ，连接1OO ，以O 为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：则1,A C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在正方形ABCD 内（含边界），设(),,0M x y 是椭球1AC 的表面和正方体的表面的交点，则12MA MC +=2=，2=22411148x y ⎛− ⎝⎭+=， 显然点M 的轨迹为椭圆的一部分，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解决D 选项的关键是建立坐标系，根据交点M 满足的条件，求得M 的轨迹方程，进而进行判断. 12．240【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用赋值法，即可求得对应的系数.【详解】622x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式563216622C C 2,0,1,2,,6rrr rr r r T x r x −−+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令5372r −=−，解得4r =，又446C 2240⋅=，则该二项式展开式中7x −的系数是240.故答案为：240.13．250−【分析】根据给定条件，按奇偶讨论求出212,n n a a −，再分组求的即得. 【详解】数列{}n a 满足：12(1)(1)3(1)1n n n n n a a ++−+−=−+，当n 为正奇数时，22n n a a +−=−，即数列21{}n a −是以11a =为首项，2−为公差的等差数列， 于是211(1)(2)23n a n n −=+−⋅−=−+，当n 为正偶数时，24n n a a +−+=，即24n n a a +−=−，则数列2{}n a 是以21a =为首项，4−为公差的等差数列，于是21(1)(4)45n a n n =+−⋅−=−+， 所以{}n a 的前20项和201(17)1(35)101025022S +−+−=⨯+⨯=−. 故答案为：250− 14．3【分析】利用导数的几何意义，求切线,m n 的斜率，并利用直线的交点求点,M N 的坐标，再根据方程83AM BN −=，求点A 的坐标.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ，不妨设点A 在第一象限，点B 在第四象限，当y =y '=A所以过点()1,0F 且与直线m平行的直线为)1y x =−，当1y y =时，得1121x y x ==+，即()1121,M x y +当y =−时，y '=A所以过点()1,0F 且与直线n平行的直线为)1y x =−，当2y y =时，得2121x y x =−=+，即()2221,N x y +，所以111211AM x x x =+−=+，222211BN x x x =+−=+ 所以1283AM BN x x −=−=，（*）设直线():1AB y k x =−，联立24y x =，得()2222240k x k x k −++=，得121=x x ，211x x =，代入（*），得11183x x −=， 化简为2113830x x −−=，解得：13x =，或113x =−（舍）所以点A 的横坐标为3. 故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数求切线的斜率，以及利用韦达定理得到121=x x . 15．(1)34【分析】（1）ABD △中求出BD ，在BCD △中，由正弦定理求出sin BDC ∠的值； （2）ABD △和BCD △中，由余弦定理求出cos A 和cos C ，得sin A 和sin C ，进而可求四边形ABCD 的面积．【详解】（1）在ABD △中，4AB AD ==，2π3A =，则π6ADB ∠=，π2cos 24cos 6BD AD ADB =∠=⨯⨯=在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BDBDC C=∠，π6sinsin 3sin 4BC C BDC BD ∠===. （2）在ABD △和BCD △中，由余弦定理得222222cos 44244cos 3232cos BD AB AD AB AD A A A =+−⋅=+−⨯⨯⨯=−， 222222cos 62262cos 4024cos BD CB CD CB CD C C C =+−⋅=+−⨯⨯⨯=−，得4cos 3cos 1A C −=−，又cos 3cos A C =，得11cos ,cos 39A C =−=−，则sin A =sin C 四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCDS S SAB AD A CB CD C =+=⋅⋅+⋅⋅11446222=⨯⨯⨯⨯=. 16．(1)4 (2)413【分析】（1）取,AB CD 的中点,M N ，证得平面//ADE 平面MNHG ，得到//AE GH ，再由平面//ABG 平面CDEHG ，证得//AG EH ，得到平行四边形AGHE ，得到GH AE =，求得4HN =，结合⊥HN 平面ABCD ，即可求解；（2）以点N 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BFHG 和平面AGHE 的法向量(1,3,4)n =和(1,3,4)m =−，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，取,AB CD 的中点,M N ，连接,,GM MN HN ， 因为GA GB =，可得GM AB ⊥，又因为平面ABG ⊥平面ABCD ，且平面ABG ⋂平面ABCD AB =，GM ⊂平面ABG ， 所以GM ⊥平面ABCD ，同理可得：⊥HN 平面ABCD ， 因为ED ⊥平面ABCD ，所以//ED HN ，又因为ED ⊄平面MNHG ，HN ⊂平面MNHG ，所以//ED 平面MNHG ，因为//MN AD ，且AD ⊄平面MNHG ，MN ⊂平面MNHG ，所以//AD 平面MNHG ， 又因为AD DE D ⋂=，且,AD DE ⊂平面ADE ，所以平面//ADE 平面MNHG ， 因为平面AEHG 与平面ADE 和平面MNHG 于,AE GH ，可得//AE GH ， 又由//GM HN ，//AB CD ，且AB GM M =和CD HN N =， 所以平面//ABG 平面CDEHG ，因为平面AEHG 与平面ABG 和平面CDEHF 于,AG EH ，所以//AG EH ， 可得四边形AGHE 为平行四边形，所以GH AE =，因为AE ===GH =在直角AMG ，可得3GM ==，在直角梯形GMNH 中，可得34HN ==， 因为⊥HN 平面ABCD ，所以点H 到平面ABCD 的距离为4.（2）解：以点N 为原点，以,,NM NC NH 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则(0,4,1),(0,4,1),(4,0,3),(0,0,4)E F G H −， 可得(0,4,3),(0,4,3),(4,0,1)HE HF HG =−−=−=−，设平面BFHG 的法向量为(,,)n x y z =，则40430n HG x z n HF y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取4z =，可得1,3x y ==，所以(1,3,4)n =，设平面AGHE 的法向量为(,,)m a b c =，则40430m HG a c m HE b c ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−−=⎪⎩，取4c =，可得1,3a b ==−，所以(1,3,4)m =−， 则4cos ,131m n m n m n⋅===+，即平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值413.17．(1)2213y x −=(2)1−【分析】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可；（2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得3BN AM k k =−，代入223AM BN k k +中化简即可得出最值.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c (0c >)，12121||||32PF F S PF PF ==△， 12|||| 6.PF PF ∴=由题可知2221212||||2,||||4PF PF a PF PF c −=+=，2221212||||2||||4PF PF PF PF a ∴+−=，即224124c a −=，2 3.b ∴= 又2ca=，2 1.a ∴= 故E 的方程为2213y x −=.（2）如图，由题可知()()()22,0,1,0,1,0F A B −，且直线MN 的斜率不为0， 设直线MN的方程为2x ty t ⎛=+<< ⎝⎭，()()1122,,,M x y N x y ， 将方程2x ty =+和2213y x −=联立，得()22311290t y ty −++=，121222129.3,131t y y y y t t ∴+=−=−−12121,1N AM B y yk k x x ==+−，()()()()22121212121211222231113191333331AMBNty y x y ty k ty y y t t k y x y ty ty y y y t −−−++−∴=====−++++−，3BN AM k k ∴=−，()222113AM BN AM k k k ∴+=−−,直线AM 与E的右支有交点，AM k <<∴当1,3AM BN k k ==−时，223AM BN k k +取得最小值，且最小值为1−.18．(1)14(2)（ⅰ）()()15,2i i E X E X i −=+≥；（ⅱ）10【分析】（1）由题意，得到前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），进而求得得分之和为70分的概率；（2）（ⅰ）根据题意，分别求得()115E X =，()220E X =，()325E X =，结合题意，得到()()15i i E X E X −=+，即可完成猜想；（ⅱ）由（i ）得到{}()i E X 为等差数列，求得21525()2ni i n nE X =+=∑，结合91()315i i E X ==∑和101()375ii E X ==∑，即可求解.【详解】（1）解：由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），所以甲前3次答题的得分之和为70分的概率为3112()24P =⨯=.（2）解：（ⅰ）甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为12，则()11120101522E X =⨯+⨯=， 甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为111,,442，则()211140201020442E X =⨯+⨯+⨯=，甲第3次答题得分80分，40分，20，10嗯分的概率分别为1111,,,8842，则()3111180402010258842E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，当2i ≥时，因为甲第1i −次答题所得分数1i X −的数学期望为()1i E X −，所以第i 次答对题所得分数为()12i E X −，答错题所的分数为10分，其概率为12， 所以()()()1111210522i i i E X E X E X −−=⨯+⨯=+，可猜想：()()15,2i i E X E X i −=+≥.（ⅱ）由（i ）知数列{}()i E X 是以15为首项，5为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式，可得21(1)525()15522ni i n n n nE X n =−+=+⨯=∑， 当9n =时，91()315320i i E X ==<∑，当10n =时，101()375320i i E X ==>∑，所以实数n 的最小值为10.【点睛】方法点睛：对于离散型随机变量的期望与方差的综合问题的求解策略： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得得全部数值； 2、根据题意，求得随机变量X 的每一个值对应的概率；3、列出随机变量X 的分布列，利用期望和方差的公式求得数学期望和方差；4、注意期望与方差的性质()()()()2,E aX b aE X b D ax b a D X +=++=的应用；19．(1)()()2121e e 4x x f x x =−− (2)证明见解析【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）原问题可转化为证明()()210,,21e e 2ln 204x x x x x ∞∀∈+−−−+>，构造函数()()2121e e 2ln 24x x F x x x =−−−+，借助导函数及零点的存在性定理虚设零点再代入求解即可得证.【详解】（1）由题可知，切点为50,4⎛⎫− ⎪⎝⎭，切线的斜率为1−，()21e e 2x xa f x xb −⎛⎫=+− ⎪⎝⎭'，所以544112a b ab ⎧−−=−⎪⎪⎨−⎪−=−⎪⎩，解得1,1a b ==， 所以()()2121e e 4x x f x x =−−； （2）要证明()()0,,2ln 2x f x x ∞∀∈+>−， 即证明()()210,,21e e 2ln 204x x x x x ∞∀∈+−−−+>， 令函数()()2121e e 2ln 24x x F x x x =−−−+， 则()()222e e e e 1,0x xx xF x x x x x x ⎛⎫=−−=−+> ⎪⎝⎭'， 当0x >时，e 10x x +>，设函数()2e (0)xg x x x=−>，则()22e 0xg x x =+>'，故()g x 在()0,∞+单调递增， 又4545e 052g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，()1e 20g =−>，所以存在唯一的04,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即2e 0x x −=，所以0000ln2ln ,ln ln2x x x x =−=−， 当()00,x x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减， 当()0,x x ∞∈+时，()()0,F x F x '>单调递增， 所以()()()002000121e e 2ln 24x x F x F x x x ≥=−−−+ ()()0002200000142212212ln222ln2224x x x x x x x x =−−−−+=−−−++ 020122ln22x x =−+−+， 设函数()2122ln22h t t t =−+−+， 则当415t <<时，()()3220,h t h t t =+>'在4,15⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()425832ln2222ln20516580h t h ⎛⎫>=−+−+=+−> ⎪⎝⎭，原不等式得证.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对函数()2e xg x x =−的零点不可求时，借助零点存在性定理，虚设零点，即令()00g x =，从而可得函数单调性并可代入后续计算中求解.。

绝密★启用前2020年“安徽省示范高中皖北协作区”第22届高三联考数学（文科）考生注意：1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1，已知复数z 满足i i z +=2，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=<+-=110342x x B x x x A ，，则A ∩B=（ ） A. {}3<x x B.{}1>x x C.{}31<<x x D.{}31><x x x 或 3．设函数⎩⎨⎧>≤+-=,0,2,0,1)(x x x x f x 则))2((-f f =（ ）， A ．8- B ．6- C ．6 D ．84．函数x e e x f x x cos 11)(+-=在[ -π，π]上的图像大致为（ ）5．双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的倾斜角为60°，则C 的离心率为（ ） A ．23 B ．2 C ．3 D ．32 6巳知角a 的顶点与原点O 重合，始边与x 物的非负半轴重合，它的终边过点)4,3(-P ，则)4tan(απ+=（ ） A ．71- B ．71 C ．7- D ．7 7．如图是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时绘制的“赵爽弦图”，该图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，这是我国对勾股定理的最早证明.记直角三角形中较小的锐角为θ，且2572cos =θ.若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形的概率是（ ）A.251B.254C.51D.53 8．已知非零向量b a ,满足b a 3=，且)3()(b a b a +⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）A.65πB.32π c.3π D.6π 9．已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，A ，B 为抛物线C 上两点，且6=+BF AF ．则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．3B ．2C ．25 D ．23 10．已知212ln 21sin π===c b a ，，，则（ ） A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>a>b D ．c>b>a11．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.322B.938 C.38 D.412．关于曲线12121=+y x C ：，有下述四个结论：①曲线C 是轴对称图形；成曲线C 关于点)41,41(P 中心对称： ③曲线C 上的点到坐标原点的距离最小值是22： ④曲线C 与坐标轴围成的图形的面积不大于21， 其中所有正确结论的编号是 A ．①③ B ．①④ C ．①③④ D ．②③④二、填空题：本题共4小題，每小题5分，共20分13．已知数据5,4,2,a 的平均数是3，则该组数据的方差为 .14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ．已知b c B a -=2cos 2，则A= .15．已知正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点都在球O 的球面上，4,21==AA AB ，则求O 的表面积为 ．16．函数])2,0[(cos sin 23sin )(2π∈-=x x x x x f 的最大值为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．巳知351253==S S ，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=．求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（12分）为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作．某教育机构为了了解人们对其数学网课授课方式的满意度，从经济不发达的A 城市和经济发达的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下：若评分不低于80分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对此教育机构授课方式“不认可”.（Ⅰ）请根据此样本完成下列2x2列联表，并据此列联表分析，能否有95%的把握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关？（Ⅱ）在样本A ，B 两个城市对此教育机构授课方式“认可”的用户中按分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中任选2人参加数学竞赛，求A 城市中至少有1人参加的概率. 参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=. 参考数据：I9．（12分）图1是矩形ABCD ，AB =2， BC =1，M 为CD 的中点，将△AMD 沿AM 翻折，得到四梭锥D 一ABCM ，如图2．（Ⅰ）若点N 为BD 的中点，求证：CN//平面DAM ；（Ⅱ）若AD ⊥BM ．求点A 到平面BCD 的距离．图1 图220．（12分） 已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x C ：经过点)23,1(A ，且离心率为21，过其右焦点F 的直线l 交椭圆C 于M ．N 两点，交y 轴于E 点．若1EM MF λ=u u u u r u u u r 2,EN NF λ=u u u r u u u r（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）试判断21λλ+是否是定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21．（12分）已知函数)(ln )(2R a x a x x f ∈-=．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性：（Ⅱ）若a>0，直线y=g （x ）为函数f （x ）图像的一条切线，求证：g （1）≤1．（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，22.[选修4-4；坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=λλλλ121131y x (λ为参数，且1-≠λ).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为032cos 122=++θρρ.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P 的极坐标为)4,22(π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）) 已知函数)0(5)(>+--=m m x x x f 的最大值为8.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若实数a 满足0)()1(>+-a f a f ，求a 的取值范围.。

2023年安徽省示范高中皖北协作区高考数学联考试卷（3月份）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则( )A. B. C. D.3. 已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C上的一点，且，则点P到坐标原点O的距离是( )A. 2B.C.D. 44. 宿州市三角洲生态公园是多功能的综合性公园，其标志性雕塑“生命之源”为水滴形状，寓意水是生命之源，此雕塑顶部可视为一个圆锥.已知此圆锥的高为3m，其母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面展开图的面积为( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致是( )A. B.C. D.6. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值不为的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是( )A. B. C. D.7. 已知，，其中…是自然对数的底数，则下列大小关系正确的是( )A. B. C. D.8. 许多建筑物的地板是用正多边形的地砖铺设而成的可以使用多种正多边形的地砖用正多边形地砖可以铺出很多精美的图案，如图.若用边长相等的正多边形地砖铺满地面，且保持每块地砖完整不受损坏，则至少使拼接在同一顶点处的所有正多边形地砖的内角和恰为2元.现用正多边形地砖给一个地面面积较大的客厅铺设地板所有类型地砖边长均相等，要求每块地砖完整不受损坏，铺设地砖后无空余地面不考虑客厅墙角和周边地带，每个顶点周围只有3块正多边形地砖拼接在一起，则在某一顶点处的拼法不考虑排列顺序最多有( )A. 16种B. 15种C. 4种D. 5种9. 下列说法正确的是( )A. 数据5，7，8，11，10，15，20的中位数为11B. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为C. 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成直角三角形三边长的概率为D. 设随机事件A和B，已知，，，则10. 设数列的前n项和为，，，则下列结论正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C.若，，则 D. 若，，则11. 已知函数，则下列结论正确的是( )A. 的图象关于点对称B. 在区间上单调递增C. 在区间内有7个零点D. 的最大值为12. 定义在R上的函数满足，，若，则( )A. 是周期函数B.C. 的图象关于对称D.13. 已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量的坐标为______ .14. 的展开式中的系数为______ 用数字作答15. 已知正四棱台内接于半径为1的球O，且球心O是四边形ABCD 的中心，若该棱台的侧棱与底面ABCD所成的角是，则该棱台的体积为______ .16. 已知F为双曲线的一个焦点，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为M，直线l与另一条渐近线交于点N，若，则双曲线C的离心率为______ .17. 已知数列各项都为正数，且求的通项公式；若，数列的前n项和为，证明：18. 为贯彻落实《健康中国行动年》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.求这200名学生体重的平均数和方差同一组数据用该区间的中点值作代表；由频率分布直方图可知，该校学生的体重Z服从正态分布，其中近似为平均数，近似为方差①利用该正态分布，求；②若从该校随机抽取50名学生，记X表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用①的结果，求参考数据：若，则，，19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角C；若为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围.20. 如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，E，F分别是棱PC，PB的中点，G是棱AB上的动点，且若，证明：平面求平面BDE与平面PDG夹角余弦值的最大值.21. 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，若椭圆C的短轴长等于焦距，且该椭圆经过点求椭圆C的标准方程；过椭圆C的右焦点F作一条直线交椭圆C于M，异于A，B两点两点，连接AM，AN并延长，分别交直线于不同的两点P，证明：直线MQ与直线NP相交于点22. 已知函数，其中，…是自然对数的底数.若，证明：当时，；当时，；设函数，若是的极大值点，求实数a的取值范围.参考数据：答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得，，则，，故故选：根据对数不等式、一元一次不等式的解法求出集合A、B，结合交集的概念和运算即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：设，则，整理得，从而解得，，故故选：写出复数通式，代入上述式子化简，根据相等复数的要求，可列式求出复数实部和虚部，继而求出复数的模．本题主要考查了复数的四则运算及复数模长公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设，由题意可得，解得，则，故选：设，由已知可得，进而可求点P到坐标原点O的距离．本题考查抛物线的性质，考查两点间的距离，属基础题．4.【答案】B【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为，母线长为l，由题意得，则，从而，所以，圆锥的侧面展开图的面积故选：由已知求得圆锥底面半径，进而确定母线长，应用圆锥侧面积的求法求侧面展开图面积．本题考查圆锥侧面积的求法，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：因为，所以，且定义域为R，所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A、B，当时，，排除故选：利用奇函数的定义可判断函数为奇函数，结合上函数符号，应用排除法即可得答案．本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设点P的坐标为，因为，则，即，所以点P的轨迹方程为，因为P点的轨迹关于直线对称，所以圆心在此直线上，即，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：设P的坐标为，由题意计算得P的轨迹方程为，根据对称性，则圆心在直线方程上，得到，利用乘“1”法即可得到最值．本题考查动点的轨迹方程以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由题意可得，，，设，则，当时，，所以在上单调递增，则，从而，即，故，即，设，则，当时，，所以在上单调递减，则，即，即，从而，即，故，即，设，则，当时，，所以在上单调递增，则，即，从而，即，故，即故选：由题意可得，，，构造函数，，，利用导数判断函数的单调性，从而可得出结论．本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，构造函数，，是解决本题的关键，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：一个正边形各内角的和是，则每个内角为，设在顶点处有k块砖拼凑在一起，它们的边数分别为，，，⋅⋅⋅，，则有，所以，，由式可得，当时，，，设式的一组解为，首先求出式的全部整数解，①当时，由式可解得，这组解给出的正多边形可以铺设地板，如图所示：故这时只有一种拼法，②当，，中恰有两个相等，不妨设，由式得，即，易知式的全部解为，，，依题设可知用正五边形和正十边形铺设地面，一定会出现两个正十边形有一条边重合的情况，这时，要铺满地面，另一个角是，而正五边形的1个内角是，则，不合要求．而对于解，，给出的拼接方法符合要求，如图2和图3：故这时有两种拼法，③当，，两两不相等，不妨设，由式得，即，类似②对于解不能铺设地面的讨论可知，必须是偶数，同理可得，，都是偶数，由知，，代入式得，，则，解得故可推出，则，从而，，两两不相等的解为能铺设地面，它们对应一种拼法，如图：综上，满足条件的拼法最多有4种．故选：通过多边形的内角和计算多边形的内角大小，再由拼接的几种正多边形铺满地面需要满足每个正多边形取一个内角，内角和为，找出正多边形各边数的关系求解即可．本题主要考查简单的计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A，选项中的数据从小到大排列为5，7，8，10，11，15，20，中位数是10，故A错误；对于B，选项中的数据共有10个数，，即第8个数与第9个数的平均数为，则这组数据的第80百分位数是，故B正确；对于C，只有3，4，5这3个数符合，则，故C正确；对于D，由全概率公式，故D正确．故选：根据中位数及百分数的定义即可判断AB；根据古典概型公式即可判断C；根据全概率公式即可判断本题考查中位数、百分数、古典概型公式、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：当，时，，所以，因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则，故A正确；当，时，，即因为，所以，则，故B错误；当，时，，因为，所以，，所以是周期为2的周期数列，则，故C错误；当，时，，则，即因为，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，故D正确．故选：将选项中的a、b值代入题中式子，判断数列类型，根据数列类型求解即可．本题主要考查了等比数列的性质，考查了数列的递推式，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：，所以函数的图象不关于点对称，故A错误．因为，所以当时，故B正确．由，则在内共有6个零点，故C错误．由题意可得，令，则，从而，当，，或，故在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减．因为，，所以的最大值为，故D正确．故选：根据函数对称性的性质、二倍角公式，结合导数的性质、函数零点的定义、换元法逐一判断即可．本题主要考查了三角函数的对称性，单调性及最值和函数，零点个数的判断，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为，，所以，所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确；在中，令，得，则，因为，所以的图象关于直线对称，则C正确；因为，所以，所以，则B错误；由函数的对称性与周期性可得，因为，即，所以，则，则D正确．故选：根据，可得，进而可得，从而可得函数的周期性，即可判断A；结合，可得函数的对称性，即可判断C；根据函数的周期性及对称性计算即可判断本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由，得在上的投影向量为故答案为：根据投影向量的计算公式计算即可．本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：的展开式中有两项：，，则系数为故答案：展开式中的系数是由两部分组成，求得系数相加即可得出结果．本题主要考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意球心O是四边形ABCD的中心可知，侧棱与底面ABCD所成的角是，则，所以是等边三角形，则棱台的侧棱长为1，棱台的高为，上底面边长，下底面边长为，所以该棱台的体积是故答案为：根据正四棱台的几何特征应用线面角分别求出上下底面边长及高，再应用棱台的体积公式计算即可．本题考查棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】或【解析】解：当直线l与双曲线C的一支交于两点时，不妨设，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为M，直线l与另一条渐近线交于点N，则，，因为，所以，设渐近线的倾斜角为，则，解得或舍去，即，故双曲线C的离心率当直线l与双曲线C的两支各交于一点时，不妨设，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为M，直线l与另一条渐近线交于点N，则，，因为，所以，设渐近线的倾斜角为，则，解得或舍去，即，故双曲线C的离心率，综上，双曲线C的离心率是或故答案为：或由题意计算点F到渐近线的距离，从而得，，再由，计算，设，分类讨论可计算得，即得，从而得离心率．本题考查双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．17.【答案】解：由，得，，所以，则，又，故，整理得，首项符合通项，故证明：由得：，所以，由于故故【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．18.【答案】解：由题意得，，，所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；①由可知，，则；②由①可知1名学生的体重位于的概率为，则，所以【解析】根据频率分布直方图平均数的求法即可求出，利用方差公式计算即可求解；由可知，，结合题意给的参照数据即可求出，进而得，利用二项分布求数学期望公式计算即可求解．本题主要考查了平均数和方差的估计，考查了正态分布曲线的对称性，以及二项分布的期望公式，属于中档题．19.【答案】解：，由正弦定理，得，即，因为，所以，由，得，即，因为，所以；因为D为AB边的中点，所以，所以，在中，由正弦定理，得，因为为锐角三角形，且，所以，则，故，所以，即线段CD长的取值范围为【解析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得，即可求解；由向量的线性运算可得，等式两边同时平方可得，由正弦定理可得，结合角B的范围可得，即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了向量数量积的性质及正切函数的性质，属于中档题．20.【答案】证明：连接AC，记，连接OE，四边形ABCD是正方形，是AC的中点，是PC的中点，，，F分别是棱AB，PB的中点，，，平面BDE，平面BDE，平面BDE，解：易证OB，OC，OP两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，从而，，，，，，则，设平面BDE的一个法向量为，则，令，则，设平面PDG的一个法向量为，则，令，得，设平面BDE与平面PDG的夹角为，则，，，，，则当时，平面BDE与平面PDG夹角余弦值的最大值为【解析】连接AC，记，连接OE，可得，进而可得，可证平面易证OB，OC，OP两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可得，可求最大值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，属中档题．21.【答案】解：由题意可得，解得故所求椭圆C的标准方程为证明：由题意可设直线MN的方程为，，，联立，消元得因为焦点在椭圆内部，则直线MN与椭圆必有两交点，所以，①，而，，直线AM的方程为，与直线联立，可得点P 的纵坐标，其横坐标为，直线AN 的方程为与直线联立，可得点Q 的纵坐标，其横坐标为，则，，故②，把①代入②，可得，所以直线MQ 与x 轴相交于右顶点同理可得直线NP 与x 轴相交于右顶点故直线MQ 与直线NP 相交于点【解析】直接由题得到关于a ，b ，c 的方程组，解出即可；设直线MN 的方程为，，，联立直线与椭圆得到韦达定理式，写出直线AM ，AN 的方程，得到点P ，Q 的纵坐标，计算证明本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，解题的关键在于设出直线MN的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，然后得到直线AM ，AN 的方程，得到和，计算的表达式，最后将韦达定理式直接代入即可，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：当时，，则，令，则，令得，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，所以当时，，即，则在上单调递减，因为，所以当时，，当时，解：由题意可得，则，且，令，则，令，则，当时，，，所以，即，所以在上是增函数，则，①当，即时，在上恒成立，即在上是增函数，因为，所以，所以在上单调递增，与是极大值点矛盾，即不符合题意，所以当，即时，因为在上是增函数，且，，所以，，则当时，，即在上是减函数，从而，故在上单调递减，当时，对，，，即，，所以，则当时，，故在上是增函数，因为，即当时，在上是减函数，所以，则在上单调递增，符合是极大值点．故所求实数a的取值范围为【解析】先求出函数的导函数，再由导函数的导数的单调性和最值判断出的符号，从而得到函数的单调性与最值，可证命题；本题需对进行多次求导，从而确定函数的单调性与极值，求得实数a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2020届安徽省高三数学联考试题（理）及答案一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）AB C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

参考答案一、选择题1、C2、D3、B4、C5、C6、A7、C8、D9、D 10、A二、填空题11、 12、 13、968 14、 15、①③④⑤三、解答题16．解：(1)由正弦定理得，33.cosA cosC sinC sinA cosB sinB--= 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此＝. -------------------------------------- 6分(2)由＝得c ＝3a .由余弦定理及cos B ＝得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋9a 2－6a 2×＝9a 2.所以b ＝3a .又a ＋b ＋c ＝14.从而a ＝2，因此b ＝6. ------------------------ 12分17．解：（1）p=33311334444444⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭= ------------- 5分 （2）赢取大物件的概率:p=22211223333333⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭= ------------- 7分 的分布列为：------- 10分 或-------------- 10分 35189100540()0160054007000864864864864E X =⨯+⨯+⨯+⨯ =350+625+4375=5350（元） ----------------------12分另注：若第一轮答题获得的物品价值记为（单位：元），若第二轮答题获得的物品价值 记为（单位：元）。

则： = +122720()()()160054003227E X E Y E Y =+=⨯+⨯=1350+4000=5350（元） 18．解 ：（1）当时 221()ln ln 22f x x x e =-++,,切线方程为：即 --------------------------------5分（2）由已知可得 ，即 2(1)(1)()()x m x m x x m f x x x-++--'== ----------------7分 ①当时，函数的递增区间为：（0，1） ，（，＋∞） ，递减区间为：（，）. ②当时，函数的递增区间为：（，＋∞） .③当时，函数的递增区间为：（0，） ，（，＋∞） ，递减区间为：（，）.④当时，函数的递增区间为：（，＋∞）， 递减区间为：（0，1）. ---------12分注：每对一种情况给1分。