广西普通高中2021届高三上学期高考精准备考原创模拟卷(一)数学(理)试题

绝密★启用前2021届广西名校高三上学期第一次高考模拟数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合A ＝()6|1ln x x y x ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭，集合B ＝()()28115|448x x y y x x ⎧⎫++=≤<⎨⎬⎩⎭，.则AR⋃B ＝（）A ．2564⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．63610⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．2764⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．R答案：D求定义域确定集合A ，根据函数的单调性得集合B ，再由集合的运算计算．解：由6010x x ->⎧⎨+≠⎩得6x >，所以(6,)A =+∞，2(2)(81)817211724424x x x x y x x x x ++++===++，1548x ≤<时，15224x ≤<， 2t x =，15[,)24t ∈，由勾形函数知1u t t=+在1[,1]2上递减，在5[1,)4上递增，1t =时，2u =，12t =时，52u =，54t =时，4120u =，所以5[2,]2u ∈，所以2527,44y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2527,44B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2527(,)(,)44R B =-∞+∞，所以()R A B R ⋃=． 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需要根据集合中代表元的属性进行求解．集合A 是求函数的定义域，集合B 求函数的值域，函数式化简后由单调性确定值域．2．警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲乙丙丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问.甲说：“是乙和丙其中一个干的.”乙说：“我和甲都没干.”丙说：“我和乙都没干.”丁说：“我没干.”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是（） A ．甲和乙 B ．乙和丙C ．丙和丁D ．丁和甲答案：C假设甲和乙同时说谎，则丙和丁没有说谎，然后从4个人说的话进行分析，可得到是甲干的；若假设乙和丙同时说谎，则甲和丁没有说谎，然后从4个人说的话进行分析，可能是乙干的；若假设丙和丁同时说谎，则甲和乙没有说谎，然后从4个人说的话进行分析，此时选不出是谁干的，所以丁和丙不可能同时说谎；若丁和甲同时说谎，则乙和丙没有说谎，然后从4个人说的话进行分析，可得到可能是丁干的解：解：对于A ，若甲和乙同时说谎，甲说谎：则意思是甲或丁干的，乙说谎：则意思是甲或乙干的，丙：丙和乙都没干，是丁或甲干的，丁：甲或乙或丙干的，此时可能是甲干的；对于B ，若乙和丙同时说谎，甲：丙或乙干的，乙说谎：甲或乙干的，丙说谎：则意思是乙或丙干的，丁：甲或乙或丙干的，此时选可能是乙干的对于C ，若丙和丁同时说谎，甲：丙或乙干的，乙：丙或丁干的，丙说谎：则意思是乙或丙干的，丁说谎：则意思是丁干的，此时选不出是谁干的，所以丁和丙不可能同时说谎；对于D ，若丁和甲同时说谎，甲说谎：则意思是甲或丁干的，乙：丙或丁干的，丙：丙和乙都没干，是丁或甲干的，丁说谎：则意思是丁干的，此时可能是丁干的 故选：C3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，平面1B AC 分别与1D M 、1D N 交于P 、Q 两点，则1B PQ S =△（）A ．105B ．55C ．25D 43答案：D以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出点1D 、M 到平面1AB C 的距离1d 、2d ，可计算出11112D P d D Md d =+，再利用线面平行的性质推导出//PQ MN ，利用共线向量的坐标运算可求得点P 、Q 的坐标，进而可计算出1B PQ S △.解：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()11,1,1B 、()10,0,1D 、11,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭、1,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1AB C 的法向量为(),,n x y z =，()1,1,0AC =-，()10,1,1AB =， 由10n AC x y n AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可得x y z y =⎧⎨=-⎩，取1y =，则1x =，1z =-，()1,1,1n ∴=-，()11,0,1D A =-，点1D 到平面1AB C 的距离为112333D A n d n⋅===，10,,02MA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点M 到平面1AB C 的距离为21323MA n d n ⋅=== 所以，1111223435233D P d D M d d ===++. M 、N 分别为AB 、BC 的中点，则//MN AC ，MN ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ，//MN ∴平面1AB C ，MN ⊂平面1D MN ，平面1D MN平面1AB C PQ =，//PQ MN ∴.设点()111,,P x y z 、()222,,Q x y z ，由1145D P D M =，可得()11141,,11,,152x y z ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则1114525415x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，解得111452515x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，点421,,555P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可得点241,,555Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 1134,,555B P ⎛⎫∴=--- ⎪⎝⎭，1314,,555B Q ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，11265B P B Q ==，1111111cos13B P B Q PBQ B P B Q⋅∠==⋅，则1sinPB Q ∠==， 因此，11111sin 2B PQ S B P B Q PB Q =⋅∠=△. 故选：D.点评：利用空间向量法计算立体几何中的三角形的面积，通过计算点1D 、M 到平面1AB C 的距离来确定点P 、Q 的位置是解决本题的关键，对于线面的交点问题，以后也可以采取类似的方法解决.4．在四面体ABCD 中，6AB =，3BC =，4BD =，若ABD ∠与ABC ∠互余，则()BA BC BD ⋅+的最大值为（）A ．20B ．30C ．40D ．50答案： B设ABD α∠=，可得2ABC πα∠=-，利用空间向量数量积的定义以及辅助角公式，结合正弦函数的有界性可求得()BA BC BD ⋅+的最大值. 解：设ABD α∠=，可得2ABC πα∠=-，则α为锐角，在四面体ABCD 中，6AB =，3BC =，4BD =， 则()cos cos 2BA BC BD BA BC BA BD BA BC BA BD παα⎛⎫⋅+=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭()18sin 24cos 30sin αααϕ=+=+，其中ϕ为锐角，且4tan 3ϕ=.02πα<<，则2πϕαϕϕ<+<+，所以，当2παϕ+=时，()BA BC BD ⋅+取得最大值30.故选：B.点评：在计算向量的数量积时，要确定好基底向量，作为基底向量的向量，长度以及向量间的夹角需已知.5．()()()()()234511111x x x x x -----的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（） A ．0 B ．55 C ．90 D ．120答案：C将()()()()()234511111x x x x x -----展开，利用题中信息可求得结果.解：()()()()()234511111x x x x x -----151413109876521x x x x x x x x x x x =--+++---++-，所以，()()()()()234511111x x x x x -----的展开式中各项的指数之和为15141310987652190++++++++++=，展开式中各项系数乘以各项指数之和为1514131098765210--+++---++=， 因此，所求结果为90090-=. 故选：C.点评：求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用二项式定理来求解.6．))5511--+＝（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2答案：D先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.解：∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴()()5521212i i -+=--，故选：D.7．执行如图所示的程序框图，结果是（）A ．11B ．12C ．13D ．无输出.答案：B根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出k 的值，模拟程序的运行过程，可得答案.解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下：17,0n k ==17不是偶数，3171=52n =⨯+，011k =+=，521≠；52是偶数，52262n ==，112k =+=，261≠； 26是偶数，26132n ==，213k =+=，131≠； 13不是偶数，3131=40n =⨯+，314k =+=，401≠；40是偶数，40202n ==，415k =+=，201≠； 20是偶数，20102n ==，516k =+=，101≠； 10是偶数，1052n ==，617k =+=，51≠； 5不是偶数，351=16n =⨯+，718k =+=，161≠； 16是偶数，1682n ==，819k =+=，81≠；8是偶数，842n ==，9110k =+=，41≠； 4是偶数，422n ==，10111k =+=，21≠；2是偶数，212n ==，11112k =+=，11=；故选：B点评：关键点睛：本题考查了求程序框图的运行结果得问题，解题的关键是要读懂程序框图，模拟程序框图的运行过程，得出结论，属于基础题.8．22sin 42cos 123cos361︒︒︒+＝（） A ．18B ．16C ．14D ．12答案：A先求出cos36︒，然后，利用2221s (in 42o cos 3123s c 311c s 66os )42o 31c 63︒︒︒=++︒︒+，代入cos36︒的值求解即可 解：sin 72cos72sin1441cos36sin18cos36cos722sin 364sin 364︒︒︒︒︒=︒︒===︒︒，1cos36sin18sin 54sin18sin(3618)sin(3618)2cos36sin182︒-︒=︒-︒=︒+︒-︒-︒=︒︒=令cos36x =︒，得1sin184x ︒=，1142x x ∴-=，14x ∴=，所以，1cos364∴︒=， 所以，()222sin 42cos12sin 42cos 123cos3613cos361︒︒︒︒︒=+︒+[]21sin(4212)sin(4212)43cos361︒+︒+︒-︒=︒+ ()1sin 54sin 3043cos361︒+︒=︒+2211111(cos36)()423cos3614︒++==︒+1(713218(74+==+故选：A点评：关键点睛：解题的关键在于，利用sin1441cos36sin184sin 364︒︒︒==︒和1cos36sin182︒-︒=，求出cos36︒，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题9．已知a＝5ln 36+-，b ＝22e ，c ＝1ln2-，则（）A ． a b c <<B ． b c a <<C ． b a c <<D ． c b a <<答案：B构造新函数，结合导数可得1ln 12⎛⎫+<⎪⎝⎭，进而可得()ln 31ln 20--->，即可得c a <，通过放缩可证明310b c <<，即可得解. 解：令()()2345ln 1,02345x x x x f x x x x =+-+-+->，则()523411011x f x x x x x x x-'=-+-+-=<++，所以()f x 单调递减，()()00f x f <=，所以()2345ln 12345x x x x x x +<-+-+，所以234511111139112222ln 12223459606⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<-+-+=<⎪⎝⎭，所以()513ln 31ln 2ln 0662+---=->，即c a <； 因为 2.718e ≈，所以22310e b =<， 又77102.72e >>，所以7102e >，7ln 2<10，所以31ln 2>10-，所以b c <； 所以b c a <<. 故选：B.点评：关键点点睛：解决本题的关键是构造新函数对代数式进行合理放缩. 10．已知数列21131322n n n a a a --=++，12a =，则()25log 1a +=（） A ．263log 331- B ．231log 315-C ．363log 231-D ．331log 215-答案：B令()2log 1n n b a =+，推导出数列23log 2n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得()25log 1a +的值.解：由21131322n n n a a a --=++可得()213112n n a a -+=+， 120a =>，根据递推公式可得出20a >，30a >，，进而可知，对任意的n *∈N ，0n a >， 在等式()213112n n a a -+=+两边取对数可得()()()222121233log 1log 12log 1log 22n n n a a a --⎡⎤+=+=++⎢⎥⎣⎦，令()2log 1n n b a =+，则0n b >，可得1232log 2n n b b -=+，则21233log 2log 22n n b b -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以，数列23log 2n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项为()122122339log log 1log log 222b a +=++=，公比为2， ()45222239log 2log 162log 3132log 31622b ∴+==-=-，即()252223log 132log 316log 31log 3152a +=--=-.故选：B.点评：刑如“+1n n a pa q =+”这种形式通常转化为()1n n a p a λλ++=+，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.11．已知椭圆22142x y +=上有相异的三点A ，B ，C ，则S △ABC 的最大值为（）A B ．C D ．答案：C 设椭圆22221x y a b+=上的三个不同的点112233(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b C a b θθθθθθ，作它们在直线y b =-上的射影111,,A B C ，用梯形面积表示出ABC 的面积，然后转换为求三角函数的最大值，由三角函数恒等变形及均值不等式可得最大值，从而得()maxABC S =△．由此可得正确选项．解：首先证明一个结论，设112233(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A a bB a bC a b θθθθθθ（12302θθθπ≤<<<）是椭圆22221x ya b+=上的三个不同的点，直线:l y b =-，111,,A B C 分别是,,A B C在直线l上的射影，则111213(cos ,),(cos ,),(cos ,)A a b B a b C a b θθθ---，ABCSS =梯形11AA B B S +梯形11BB C C S -梯形11AA C C111111*********()()()222AA BB A B BB CC B C AA CC AC =+++-+ 12121(sin sin )(cos cos )2b b b b a a θθθθ=+++- 23231(sin sin )(cos cos )2b b b b a a θθθθ++++- 13131(sin sin )(cos cos )2b b b b a a θθθθ-+++-， 2132311[sin()sin()sin()]2ab θθθθθθ=-+---， ∵12302θθθπ≤<<<，∴213231,,(0,2)θθθθθθπ---∈， 令2132,αθθβθθ=-=-，则31(0,2)αβθθπ+=-∈，1[sin sin sin()]2ABC S ab αβαβ=+-+△令sin sin sin()p αβαβ=+-+2sincos2sincos2222αβαβαβαβ+-++=-2sincos cos222αβαβαβ+-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin1cos 22αβαβ++⎛⎫≤- ⎪⎝⎭234sinsin 8sin cos2444αβαβαβαβ++++=⋅=，26264sin cos 22p αβαβ++≤22264sin sin 3cos 3444αβαβαβ+++=⋅⋅ 42222sin sin sin 3cos 64274444344αβαβαβαβ++++⎛⎫+++ ⎪≤⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴332p ≤，当且仅当22cos 12sin 3cos 22αβαβαβ-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即23παβ==时等号成立．∴()max33ABC S ab =△．本题中，2,2a b ==，∴()max 333622ABC S ==△ 故选：C ．点评：结论点睛：本题考查求椭圆内接三角形最大面积，记住结论：椭圆22221x y a b +=内接三角形的最大面积为334ab ．12．若a 、b 是小于180的正整数，且满足()()sin sin 2sin sin a b a b ab︒︒︒︒++=.则满足条件的数对().a b 共有（） A ．2对 B ．6对 C ．8对 D ．12对答案：A根据a 、b 是小于180的正整数，确定2360,a b a b N *≤+<+∈，32540,2a b a b N *≤+<+∈，结合正弦函数图像，分a b =和180a b +=两种情况讨论即可.解：解：1180,a a N *≤<∈、1180,b b N *≤<∈，所以2360,a b a b N *≤+<+∈，32540,2a b a b N *≤+<+∈，结合观察正弦函数的图像，满足()()sin sin 2sin sin a b a b ab︒︒︒︒++=的().a b 只可能以下两种情况：（1）a b =时，2902a b a b +++=或22702a b a b+++=，所以36a b ==或108a b ==. （2）902a b +=时，同样有sin sin a b ︒︒=，此时()0sin a b ︒+=，但0b ≠， 则()2sin 0a b ︒+≠，所以此时没有满足题意的整数对； 综合（1）（2），满足题意的().a b 有2对. 故选：A点评：思路点睛：一般情况下，满足a cb d=的a b c d ,,,有无数对，由于本题的特殊性，a c a cb d b d =⎧=⇔⎨=⎩，这是本题的难点.二、填空题13．已知恒正函数()()2f x x f x ='，()11ef =.若1230x x x <、、，且12332x x x ++=-.则222123111f ff x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值为_______. 答案：ln 212⎛⎫ ⎪⎝⎭由柯西不等式得()()22222123123+(111)+3ln 2x x x x x x +⨯++≥+=，构造函数1ln ()f x cx=-+，利用已知求出c ，再由2222123(ln 22)22123111x x x f f f e e x x x ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得答案.解：因为1232x x x ++=，所以()()22222123123+(111)+3ln 2x x x x x x +⨯++≥+=，所以2222123+ln 2x x x +≥，当且仅当12323x x x ===等号成立， 因为()21ln ()f x x '=，所以1ln ()f x c x=-+， 所以1()cx f x e -+=，由()11ef =得11(1)c f ee -+-==，所以0c ，1()xf x e -=， 所以2222123)ln 2(ln 222212311112x x x f f f e e x x x -++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：ln 212⎛⎫ ⎪⎝⎭.点评：利用柯西不等式求最值的关键是根据已知条件，构造符合柯西不等式的形式及特点，左边是平方和的积，右边是积的和的平方，然后求解最值，构造符合柯西不等式的形式时，可以有以下几种方法：巧乘常数；添项；改变式子的结构；重新安排各项的次序等.14．在平面直角坐标系中，A （2,0-），B （0,1），C 为221x y +=上的动点，则AC BC+的取值范围为_______.答案：⎭当,,A C B 共线或,C B 重合时，最小值易得，然后求得P 点坐标得AP ，BP ，设BPC α∠=，在两个相邻三角形中应用余弦定理表示出2AC 和2BC ，消去cos α，并代入AP ，BP ，得2222551311232663AC BC PC +=+≤+⨯=，然后用柯西不等式得AC BC +的最大值．解：如图，易知当C 与B 重合或者是线段AB 与圆的交点P时，min ()AC BC += 直线AB 方程是121x y+=-，即220x y ，由222201x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴355AP =，255BP =，设BPC α∠=，则2222cos BC PB CP BP CP α=+-，222222cos()2cos AC PA CP AP CP PA CP AP CP παα=+--=++，∴2222BC AC CPCPPB PA BPAPBPAP+=+++，代入355AP =，255BP =，并化简得：2222551311232663AC BC PC +=+≤+⨯=，PC 为直径时取等号． 由柯西不等式2226532(32)32332AC BC AC BC ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯≤ +⎪+≤ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，当且仅当32AC BC=时等成立，即265()3AC BC +≤，∴6519533AC BC +≤=， ∴AC BC +的取值范围是1955,⎡⎫⎪⎢⎪⎭． 故答案为：1955,⎡⎫⎪⎢⎪⎭．点评：关键点点睛：解题关键是找到,AC BC 的关系式，设BPC α∠=，则2222cos BC PB CP BP CP α=+-，2222cos()AC PA CP AP CP πα=+--，消去cos α，用CP 表示出2232AC BC +，得出不等关系2213323AC BC +≤，然后用柯西不等式得出结论． 15．已知△ABC 满足AB ＝1，AC ＝2，7cos 25A =.若E 为△ABC 内一点，满足2AE AB AC λ=+.（λ∈R ），且·0EB EC =，延长AE 至BC 交于点D ，则ADλ＝_______.答案：62215- 根据所给条件，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算进行求解.解：令2AF AB =，则2AF =，由7cos 25A =， 可得：27144442222525FC =+-⨯⨯⨯=，所以125FC =， 建立如图直角坐标系，6(,0)5F -，6(,0)5C所以22682()55AO =-=，所以A 点坐标为8(0,)5，所以B 点坐标为34(,)55-，D 点坐标为8(0,)15， 由2AE AB AC λ=+，则点E 在AO 上， 设E 点坐标为(0,)t ，有·0EB EC =可得2346184(,)0(,)55525·5t E t t t B EC =--⋅-+==--，解得25t =，所以826555AE =-=，所以1626AO AE λ===-，1615AD=511666151AD λ==，故答案为：615点评：本题考查了向量相关的计算以及解三形中的余弦定理，考查了转化思想，有一定的计算量，属于较难题.解本类问题关键点有：（1）建立直角坐标系，用向量的坐标表示来解决向量问题是一个重要的方法； （2）各个条件的整合，以结论为目标，把几何关系，转化为代数关系.16．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1n n n a b b ++=，114n n n a b a +++=.则20211008b a ＝_______. 答案：10142求出23b =，推导出数列{}12n n b b +-为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出1122n n n b b -+-=，进一步推导出数列22nn b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得{}n b 的通项公式，进一步求出1008a 和2021b ，由此可求得结果. 解：1n n n a b b ++=，114n n n a b a +++=，且12a =，11b =，则2113b a b =+=，由1n n n a b b +=-可得121n n n a b b +++=-，代入114n n n a b a +++=可得2144n n n b b b ++=-，()211222n n n n b b b b +++∴-=-，且2121b b -=，所以，数列{}12n n b b +-是以1为首项，以2为公比的等比数列，则1112122n n n n b b --+-=⨯=，在等式1122n n n b b -+-=两边同时除以12n -可得112122n nn n b b +---=， 所以，数列22n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为111222b b -==，公差为1， 所以，()221112nn b n n -=+-⨯=+，()212n n b n -∴=+⋅， 则()1007100610061006100810091008101021009220201009210112a b b =-=⨯-⨯=-⨯=⨯， 因此，2019101420211006100820222210112b a ⨯==⨯. 故答案为：10142.点评：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有： ①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 三、解答题 17．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4sin cos 4sin c b B C a B +=，且A 为钝角.（1）求角B 的大小； （2）若b =c =()sin 3cos3A B C -的值.答案：（1）12B π=或512π；（2. （1）利用正弦定理边角互化结合()sin sin A B C =+，化简得出1sin 22B =，结合角B 为锐角可求得角B 的值； （2）由题意可得出12B π=，利用正弦定理和同角三角函数的基本关系求出tan C 的值，进而求出tan3C 的值，再利用两角和的正弦公式以及诱导公式可计算出()sin 3cos3A B C-的值.解：（1）4sin cos 4sin c b B C a B +=，由正弦定理可得2sin 4sin cos 4sin sin C B C A B +=，所以，()22sin 4sin cos 4sin sin 4sin sin 4sin cos 4sin cos sin C B C A B B C B B C B B C+==+=+，即sin 4sin cos sin 2sin 2sin C B B C B C ==，在ABC 中，由于角A 为钝角，则B 、C 均为锐角，可得sin 0C >，1sin 22B ∴=， 02B π<<，可得02B π<<，26B π=∴或526B π=，因此，12B π=或512π；（2）6b =-，5c =b c <，B C ∴<，则04B π<<，12B π∴=，sin sinsin sin cos cos sin 123434344B πππππππ⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭， 由正弦定理可得sin sin b c B C=，所以，sin sin c B C b ===C为锐角，则cos 5C ==sin tan 2cos C C C ∴==， 则22tan 4tan 21tan 3C C C ==--，42tan 2tan 23tan 341tan 2tan 11123C C C C C -++===-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，()1182sin 3sin 3sin 3sin 3sin 31212333cos3cos3cos3cos3cos3C C C C A B C C C C Cππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦====1sin 3sin 3112322tan 3cos3cos32211222C C CC C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭===+=+=. 点评：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 18．某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共5个问题，提问时将从中抽取2个问题进行提问.某日，创城检查人员来到A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了5个问题中的2个，乙背了其中的3个，丙背了其中的4个.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到30分该学校为合格，达到50分时该学校为优秀. （1）求A 校优秀的概率（保留3位小数）；（2）求出A 校答对的问题总数X 的分布列，并求出A 校得分的数学期望； （3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.答案：（1）0.174；（2）分布列见解析，A 校得分的数学期望为36；（3）答案见解析. （1）记A 校答对的题目个数为X ，记事件:M A 校优秀，可得出()()()56P M P X P X ==+=，利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为1、2、3、4、5、6，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可计算得出()E X ，进而可得出A 校得分的数学期望为()10E X ，即可得解；（3）根据题中的问题可得出两条合理的建议.解：（1）记A 校答对的题目个数为X ，记事件:M A 校优秀，则()()()()1122211222122232342324234234325174560.1741000C C C C C C C C C C C C C C P M P X P X C +++==+====；（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为1、2、3、4、5、6，()()22132432512611000500C C C P X C ====，()()11212111222232433243243251145721000500C C C C C C C C C C C P X C ++====，()()2212211111111222112224334233242324332432532816431000500C C C C C C C C C C C C C C C C C C C P X C ++++====，()()2111112122222211112232423342243342323432537218641000500C C C C C C C C C C C C C C C C C C C P X C ++++====，()()11222112221323423242343251567851000500C C C C C C C C C C C P X C ++====，()()22223432518961000500C C C P X C ====，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：随机变量X的数学期望为()657164186789181234565005005005005005005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因此，A 校得分的数学期望为()181010365E X =⨯=； （3）建议：①强化公民道德教育，提高市民文明程度；②加强基础设施建设，营造优美人居环境.点评：方法点睛：求随机变量分布列的基本步骤： （1）理解随机变量X 的意义，写出X 的全部可能取值； （2）求出X 在不同取值下的概率； （3）写出X 的分布列；（4）利用分布列的性质对结果进行检验.还可以判断随机变量满足常见的分布列：两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布.19．已知椭圆C.22221x y a b+=（0a b >>）与抛物线22y px Γ=：（0p >）共焦点，以椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，经过F 2的直线交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D ，且满足22221111AF BFCF DF ⎫+=+⎪⎪⎭. （1）求出椭圆和抛物线的标准方程;（2）若点D 在第三象限，且点A 在点B 上方，点C 在点D 上方，当△BF 1D 面积取得最大值S 时，求212F F F B ⋅的值.答案：（1）22:184x y C +=；2:8y x Γ=；（2161-（1）利用已知条件，列出含,,a b c 的方程组，进而出,,a b c 的解即可；（2）设直线AB 的倾斜角为θ，利用椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到2224422;1cos 1cos22cos 1cos 2ep F D F B e θθθθ⨯====-+--⨯ 进而得到2241cos 2cos DB F D F B θθ=-=-+-，设1F 到BD 的距离为DB h ，列出面积的方程，进而利用导数的性质可求解 解：解：（1）先作如下计算，设过2F 的直线AB 的倾斜角为θ，设22,F D x F C y ==，由椭圆定义得112,2F D a x FC a y =-=-，由余弦定理得2222cos (2)(2)x c c x a x θ⋅⋅=+--， 整理可得2cos b x a c θ=-⋅，同理可求得2cos b y a c θ=+⋅，2112ax y b∴+=，∴222112a CF DF b +=； 所以，222cos 1cos b b a F D c a c aθθ==-⋅-⋅；过,A B 两点分别向x 轴作垂线1AA 、1BB ，1A 、1B 为垂足， 再设22,F A x F B y ==，可得，点A 的横坐标为cos 2p x θ+⋅，点B 横坐标为cos 2py θ-⋅， 由抛物线定义知cos 22p p x x θ+⋅+=，cos 22p py y θ-⋅+=，所以，1cos p x θ=-，1cos py θ=+，此时，112x y p +=，∴22112AF BF p+= 设椭圆C 的焦距为2c ，所以，2pc =，易知24y cx Γ=：， 又因为椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，得1482bc ⨯=，得4bc =，又21p c= 由2222111122AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭得，21222ac b =，得22ac b =， 联立方程得，222242bc ac b a b c =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得22842a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴22:184x y C +=，2:8y x Γ= （2）由（1）得，直线AB 的倾斜角为θ，且22ac b =，得，椭圆离心率22e =， 则222222cos cos 1cos 1cos pb ac c F D a c a c e e θθθθ====-⋅-⋅-⋅-⋅，得， 22242221cos 22cos 1cos 2p F D e θθθ===-⋅--⨯，又由（1）得241cos F B θ=+∴2241cos 2cos DB F D F B θθ=-=+-，设1F 到BD 的距离为DB h ，则12sin 4sin DB h F F θθ==，112sin 421cos 2cos DB BF D DB h θθθ⎫∆=⨯⨯=-⎪+-⎭ ()()()22sin 2cos 121cos 1cos 2cos 2cos f f θθθθθθθθ'-=⇒=-++-()(()2022cos 521cos 50f θθθ-'=⇔+=，根据cos θ的性质，只有()15211102cos 222θ-++=-符合题意，根据导数的性质，可知，()f θ在()15211102cos 222θ-++=-时，取得最大值，)212212161521110216cos cos 1cos 11102332F F F B F F F B θθθ-++∴•=⋅⋅==++--，点评：关键点睛：解题关键在于根据椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到，2224422;1cos 1cos 22cos 1cos 2ep F D F B e θθθθ⨯====-+--⨯，进而列出面积方程，再求导后求解，本题的运算量相当大，属于难题20．如图1，矩形ABCD 中，3AB BC =，将矩形ABCD 折起，使点A 与点C 重合，折痕为EF.连接AF 、CE ，以AF 和EF 为折痕，将四边形ABFE 折起，使点B 落在线段FC 上，将△CDE 向上折起，使平面DEC ⊥平面FEC ，如图2.（1）证明：平面ABE ⊥平面EFC;（2）连接BE 、BD ，求锐二面角A-BE-D 的正弦值. 答案：（1）详见解析；（2）1313（1）设3AB a =，则3BC a =，由平面几何的知识可得BC DE a ==，再由面面垂直的判定即可得证.（2）建立空间直角坐标系，求出两面的法向量，即可得解. 解：（1）证明：在平面ABCD 中，AF=FC ，3， 设3AB a =，则3BC a =，设BF=x ，在BAF △中，()22233x a a x +=-，解得x a =，则2AF FC a ==， 因为点B 落在线段FC 上，所以BC DE a ==，所以BE FC ⊥， 又AB BF ⊥即AB CF ⊥，AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以CF ⊥平面ABE ，由CF ⊂平面EFC 可得平面ABE ⊥平面EFC ；（2）以F 为原点,FC 为x 轴，过点F 平行BE 的方向作为作y 轴，过点F 垂直于平面EFC 的方向作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,0,0,3,0,,0,0C a F E a a B a ，()0,3,0BE a =， 易得平面ABE 的一个法向量为()2,0,0FC a =，作DG EC ⊥于G ，因为平面DEC ⊥平面FEC ，所以DG ⊥平面EFC ，则5334a G a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，53334a a D a ⎛ ⎝⎭，13334a a BD a ⎛= ⎝⎭，设平面DBE 的一个法向量为(),,n x y z =，则30133304n BE ay a an BD ax y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3z =(3n =-， 因为239cos ,13239n FC n FC a n FC⋅-===⋅⋅所以锐二面角A-BE-D 223913113⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭点评：关键点点睛：解决本题的关键是利用平面几何的知识证明垂直关系以及面面垂直的判定及空间向量的应用. 21．已知函数()1xf x x=()0x >.（1）求()f x 的单调区间; （2）证明：（i ）1ln x x x x <（ii ）19ln 2xx x >－.答案：（1）函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.（1）将函数()f x 的解析式变形为()ln xxf x e=，利用复合函数求导法则求出()f x '，然后利用导数法可求得函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）当1x >时，构造函数()ln g x x=，利用导数求得()min g x ，利用()()max min f x g x <可证得1ln x x x <01x <<时，由1ln 0x x x <<.综合可得出结论成立；（ii ）利用分析得出要证不等式19ln 2xx x >-，即证12ln 90x x x +>，设()()12ln 90xF x x x x =+>，利用导数证明出()min 0F x >即可证得结论成立.解：（1）()11ln ln xx x xx f x x ee===，该函数的定义域为()0,∞+，()ln 21ln xxxf x ex-'=⋅， 当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞；（2）（i ）当0x >且1x ≠时，设()g x =当1x >时，()g x '=，令()0g x '=，可得2x e =.当21x e <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减； 当2x e >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增. 故()()2min 2e g x g e==. 由（1）可知，()()()1max min 2eef x f e eg x ==<=，故()()f x g x <对任意的1x >恒成立；当01x <<时，ln 0x <，则1ln 0x x x <<.综上可知，1ln xx x <（ii ）要证19ln 2xx x >-，即证12ln 90x x x +>. 令()()12ln 90xF x x x x =+>，则()()ln ln ln 221ln 122ln 2ln 1ln xx x xxxxe F x ex e x x x xx x-'=⋅⋅+⋅=-+⎡⎤⎣⎦， 设()()1ln ln h x x x x =-+，则()12ln 2ln 11x x x h x x x x -+'=-+=，令()2ln 1x x x ϕ=-+，其中0x >，()221x x x xϕ-'=-=. 当02x <<时，()0x ϕ'<，此时函数()x ϕ单调递减； 当2x >时，()0x ϕ'>，此时函数()x ϕ单调递增.所以，()()min 232ln 20x ϕϕ==->，则对任意的0x >，()0h x '>， 所以，函数()h x 在()0,∞+上为增函数， 因为1120h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110h =>，由零点存在定理可知，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=，可得000ln 1ln 1x x x =-. 当00x x <<时，()0h x <，即()0F x '<，此时函数()F x 单调递减； 当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，此时函数()F x 单调递增.()()000ln 11ln 1ln 20000min 092ln 92ln 9ln 2ln x x x x F x F x ex ex x e x --⎛⎫∴==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，令()0ln ln 2,0t x =∈-，()1292t p t et-=+，()()11222901t p t e tt -'=--<-， 则函数()p t 在()ln 2,0t ∈-时单调递减， 所以，()()1ln 229ln 220ln 2p t p e-+<-=-<，所以，()()0min 0F x F x =>， 因此，对任意的0x >，19ln 2xx x >-. 点评：方法点睛：利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．平面直角坐标系xOy 中，已知F 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，且24a b +=，过F 作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A 、B 与C 、D ，以F 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求椭圆的极坐标方程与1AB的代数表达式； （2）求11AB CD+的取值范围.答案：（1）22cos ab ac c ρθ=+，其中c ==，22221cos 2a c AB ab θ-=；（2）1,)8+∞． （1）由右焦点F 为极点，x 轴正半轴为极轴得椭圆的极坐标方程，设A 点的极角为θ，可表示出1AB； （2）由（1）可计算出11AB CD+表示为a 的函数，然后求得其范围． 解：由已知24b a =-，（1）设(c,0)F ，2222a a cb pc c c c -=-===c e a ==，以右焦点F 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为1cos ep e ρθ=+，即22cos ab ac c ρθ=+，其中c =设(,)A A ρθ，则(,)B B ρθπ+所以2221cos 1cos()1cos 1cos 1cos A B ep ep ep ep epAB e e e e e ρρθπθθθθ=+=+=+=++++--，2211cos 2e AB ep θ-=，即22221cos 2a c AB ab θ-=， （2）由（1）得2222222222222222222cos 11cos cos sin 2222222a c a c a c a c a c AB CD ab ab ab ab ab πθθθθ⎛⎫-+ ⎪----⎝⎭+=+=+=2222422(4)a b a a ab a a +-+==-， 因为24a b +=，所以222240c a b a a =-=+->且4a <4a <<． 记24()2(4)a a f a a a -+=-，142a <<，22(4)(34)()2(4)a a f a a a +-'=-，当142a <<时，()0f a '>，()f a 是增函数，所以())f a ∈+∞．即11)AB CD +∈+∞． 点评：结论点睛：椭圆与双曲线的极坐标方程：以左焦点为极点，从左焦点指向右焦点的方程为极径方向，它们的极坐标方程为1cos epe ρθ=-，其中p 表示焦点到相应准线的距离，e 为离心率．如果极点改为右焦点，极径方向不变，则极坐标方程为1cos epe ρθ=+．利用极坐标方程易求得曲线上的点到极点（焦点）的距离． 23．已知0a b c >、、.且1a+b+c=.（1）求证：()22223332a b c a b c ab bc ca ++≥+++++； （2）设k 为整数，且()1114222ab bc ca k a b c +++++<+++恒成立，求k 的最小值.答案：（1）见详解；（2）3.（1）根据恒等式2222(2)()a b c a b c ab bc ac ++++++=-3332()()3()3a b c a b c a b c ab bc ac abc ⎡⎤++=++++-+++⎣⎦由+1a b c +=，记q ab bc ac =++，abc r =，转化为证明223q q r -≥即可；（2）令,,a b c p ab bc ac q abc r ++=++==，根据舒尔不等式3490p pq r -+≥， 求出()1114222ab bc ca a b c ++++++++的范围，即可得解. 解：（1）由恒等式：2222(2)()a b c a b c ab bc ac ++++++=-3332()()3()3a b c a b c a b c ab bc ac abc ⎡⎤++=++++-+++⎣⎦由+1a b c +=，记q ab bc ac =++，abc r =由均值不等式2()3()a b c ab bc ac ++≥++可得：103q <≤于是()22223332a b c a b c ab bc ca ++≥+++++ 2121332q q r q ⇔-≥-++223()q q r ⇔-≥*又因为ab bc ac ++≥233q r ≥，即r ≤故只要22q q -≥=2)q ⇔-≥⇔≤而103q <≤，故1+33+≤所以22q q -≥r ≤223q q r -≥，即()*式成立，得证.（2）令,,a b c p ab bc ac q abc r ++=++==()1111644222212q ab bc ca q a b c q r++++++=++++++ 根据舒尔不等式3490p pq r -+≥，可得941r q ≥-所以161644412122129q q q q q q r q +++≤+-++++ 91442205955442210722(22107)2221q q q q q +=+=++≤++ 当且仅当13q =时取等，此时13a b c === 故5521k ≥，又k 为整数，故k 的最小值为3. 点评：本题考查了不等式的证明以及求三元式的范围，考查了基本不等式和舒尔不等式的应用，考查了转化思想逻辑推理能力，要求较高的计算能力，属于难题. 本题解题的关键有：（1）三元恒等式和基本不等式的综合应用；（2）舒尔不等式的应用，舒尔不等式是解决三元不等式的重要方法.。

广西2021届名校高考模拟数 学(理科)本卷满分150分，考试时间150分钟第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项为最佳答案.1.设集合A ＝{x|y =ln (x−6)x+1}，集合B ＝{y|y =(x+2)(8x+1)4x ，14≤x <58}.则A ∪∁R B ＝（ ） A ：⎪⎭⎫ ⎝⎛4256， B ：⎥⎦⎤ ⎝⎛10636， C ：⎪⎭⎫ ⎝⎛4276， D ：⎪⎭⎫⎢⎣⎡427，1063 2.警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲乙丙丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问.甲说：“是乙和丙其中一个干的.”乙说：“我和甲都没干.”丙说：“我和乙都没干.”丁说：“我没干.”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是 （ ） A ：甲和乙 B ：乙和丙 C ：丙和丁 D ：丁和甲3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，M ,N 分别是AB 、BC 的中点，平面B 1AC 分别与D 1M 、D 1N 交于P 、Q 两点，则S △B 1PQ ＝ （ ）A ：510B ：552C ：52D ：254 4.在四面体ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，BD ＝4，若∠ABC 与∠ABD 互余，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 （ ） A ：20 B ：30 C ：40 D ：505.()()()()()111115432-----x x x x x 的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为 （ ） A ：0 B ：55 C ：90 D ：1206.()()551212+--i i ＝ （ ）A ：1B ：-1C ：2D ：-27.执行如图所示的程序框图，结果是 （ ） A ：162 B ：171C ：180D ：无输出.8.13cos3612cos 42sin 22+︒︒︒＝ （ ） A ：81 B ：61 C ：41 D ：21 9.已知a ＝36325ln -+，b ＝2e2，c ＝21ln -，则 （ ） A ： a <b <c B ： b <c <a C ： b <a <c D ： c <b <a 10.已知数列21323＝121++-n-n n a a a ，21＝a ，则()1log 52+a ＝ （ ） A ：31-363log 2 B ：15333log 2- C ：31263log 3- D ：15233log 3-11.已知椭圆＝12422y x +上有相异的三点A,B,C ，则S △ABC 的最大值为 （ ） A ：223 B ：23 C ：263 D ：63 12.若a 、b 是小于180的正整数，且满足()()︒︒︒︒++b b a a b a sin 2sin ＝sin sin .则满足条件的数对()b .a 共有 （ ） A ：4对 B ：6对 C ：8对 D ：12对第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13.已知恒正函数()()x f x x f '2＝，()e1＝1f .若x 1、x 2、x 3<0，且x 1+x 2+x 3=−√3ln2.则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232221111x f x f x f 的最大值为 . 14.在平面直角坐标系中，A （2,0-），B （0,1），C 为＝122y x +上的动点，则BC AC +的取值范围为 . 15.已知△ABC 满足AB ＝1，AC ＝2，257＝cos A .若E 为△ABC 内一点，满足λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .（∈λR ），且EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，延长AE 至BC 交于点D ，则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |λ＝ . 16.已知数列{}n a 和{}n b 满足21＝a ，11＝b ，1＝++n n n b b a ，n n n a b a 411＝+++.则10082021a b ＝ . 三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17-21为必考题，每个试题考生都必须作答。

广西省南宁市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1∙若集合A I X 2x|-X 1 0 ,B x| 1 X 2 ,贝U AI B =:()A •[ 2,2)B •(1,1]C •1,1 D. 1,2 【答案】C【解析】【分析】求出集合A, 然后与集合B取交集即可.【详解】由题意，A I X 2x|- 0 x| 2 X 1 , B {x| 1 x 2},则AI B {x| 1 X 1},故答案X 1为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题•2•执行如图所示的程序框图，若输入的t 3,则输出的i （）D. 63【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果【详解】执行程序框t 3, i 0 ；t 8, i 1 ；t 23, i 3 ；t 68, i 7 ；t 203, i 15 ；t 608, i 31，满足t 606 ,退出循环，因此输出i 31，故选:B.【点睛】3. “a 2”是直线ax 2y 1 0与X (a 1)y 2 0互相平行”的()A .充分不必要条件B•必要不充分条件 C •充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当a 2时，直线方程为2x 2y 1 0与x y 2 0 ,可得两直线平行；若直线ax2y10与X a 1 y 2 0互相平行，则a a 1 2 ,解得a1 2，a21,则“a 2”是直线ax 2y 1 0与X a 1 y 2 0互相平行”的充分不必要条件,【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题•4.冷是函数f X I ax 1 x在区间内单调递增”的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C .充分必要条件【答案】C【解析】I aX 1 X ∣ax2 X ,令ax2 X 0,解得X I 0, x2由上两图可知，是充要条件故选AD.既不充分也不必要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法5.已知定义在R上的可导函数f X满足1 X f X X f X 0 ,若y f(χ2) e3是奇函数，则不等式X f(x)X 12e0的解集是(, 2 ,1C.2,D.1,【答案】A【解析】【分析】构造函数g XfX,根据已知条件判断出g X的单调性根据y f X 2 e3是奇函数，求得f 2的值, 由此化简不等式X f (X) 2e x 10求得不等式的解集【详解】构造函数g XfX,依题意可知X—0 ,所以在R上递增.由于y 2 e3是奇函数，所以当0时, e30 ,所以f 2 所以3e~2-e2e.由X f (X)X 1 /口2e 0 得g2e g 2 ,所以X 2 ,故不等式的解集为,2.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式, 考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法, 属于中档题•6.已知双曲线2 2C : Xy =1(a>0 ,a bb>0)的右焦点为4F，过原点O作斜率为-的直线交C的右支于点A，若IoAFIoFI , 则双曲线的离心率为(D. 3+1【答案】B【解析】【分析】以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为2XC2,联立X2~2a2yy2b22C,可求出点1b 2∣~2 b 2b 2—4A a ^c------- ,—,则一=C2 三，整理计算可得离心率C C a j Cb 3C【详解】7.已知定义在 0, 上的函数f(x)满足f (X)22),且当 X 0,2 时，f (X) X 2x •设2n 9C l 牛卫，只需找到数列｛c n ｝的最大值即可•2n【详解】解：以0为圆心，以 OF 为半径的圆的方程为 2 2 2XyC ,2 X 联立 x 2 a 2 y 2y b 2 2 C ,取第一象限的解得 1 C b 2b 2b 2,则 ICb 2a ∖ C b整理得 9C 25a 25a 2(舍去)，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力, 是中档题 f(x)在2n 2,2n 上的最大值为a n ( n N ),且数列 a n 的前n 项的和为S n .若对于任意正整数 n 不等式k S n 1 2n 9恒成立，则实数 k 的取值范围为(A . 0, 1 32 ,3 C . 64 , 7D .64,【答案】C 【解析】 【分析】 由已知先求出f (X)max21 ,即 a n = n 12 -,进一步可得S n2n 1 ,再将所求问题转化为 k 2晋对2n丄f(X于任意正整数 n 恒成立，设当 2n 2 X 2n 时，则 O x 2 2 n 2, f(x 2 2n) (X 2 2n )(x 2n), 2n 1 (X 2 2n)(x 2n),显然当 X 2n 1 时,f (x)m aχ 2n 1,故a n = 2n-1, S n2n 1 ,若对于任意正整数n 不等式1 22n 9k S n 1 2n 9恒成立，即k2n 2n 9对于任意正整数n 恒成立，即k n 对于任2n2n 911 2n 人 11 2n 小 ” 口 11 意正整数n恒成立，设 C n 歹 ，C n 1 C n 尹厂，令—尹 O ,解得n 三， 人 11 2n C 11*r 1令一百O ,解得n,考虑到n N ,故有当n 5时，｛C n｝单调递增，2233 当n 6时，有｛C n ｝单调递减，故数列｛C n ｝的最大值为C 6 飞2643所以k —.64故选：C. 【点睛】是一道较为综合的数列题I 1 r √31 r 1 r b B.- b C . — b D .b I22 12【答案】D 【解析】 【分析】【详解】故选：D.【点睛】 本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题 9.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是(所以，f(x) 2n1f[x 2(n1)]本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、 等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识,&已知非零向量Ll * Ib ,右b 且2a b √3 b ,则向量 b 在向量a 方向上的投影为(设非零向量a 与b 的夹角为 在等式2a两边平方, 求出COS 的值，进而可求得向量 b 在向量a 方向上的投影为COS ,即可得解.r r r 2 b 得2a br23br 2,整理得2a 2ar 2 b「2rr2a 2 a 2 a COS 40 ,解得cos因此，向量b 在向量a 方向上的投影为A . 1. 1B . 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题 【详解】 初始值n O , S 111第一次循n 1 , S1 一2 2；第二次循环：n 2 , S 1 2 12 3 3第三次循环：n 3 , S 1 3 13 4 4第四次循环：n 4 , S — 4 —4 5 5第五次循环：n 5 , S 1 5 15 6 6第六次循环：n 6 , S 1 6 16 7 7第七次循环：n 7 , S — 7 —7 8 8 18 1第九次循环：n 8， S ———；8 9 9 1 9 1第十次循环：n 9， S — — —0.1；9 10 101 所以输出S 9 0.9. 10故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题110 .已知复数Z 满足—1 i ,则Z 的值为（）D . 2. 8ZC . -J2 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数Z进而求得其模【详解】12i，所以Z1 12 2故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题11. 一个陶瓷圆盘的半径为IOcm ,中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001)(1000粒米后，发）A. 3.132 B . 3.137C. 3.142D. 3.147【答案】B【解析】【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知:S H241025110003.137故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型, 属于基础题12 .设等差数列θn的前n项和为S n ,若a4 5, S9 81 ,则印。

广西桂林市2021届上学期高三年级第一次联合调研考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若()32(3)z i i =-+，则复数z 的实部与虚部之和为（ ）2已知集合{}2340A x x x =--<，{}0B x x m =<<，若{}04A B x x =<<，则m 可能的值为（ ）3七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，其历史可以追溯到公元前一世纪明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A516B1132C716D13324在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点()1,4P ，则其焦点到准线的距离为（ ） A18 B 145曲线2()e 11x f x x =-++在点()0,0处的切线的方程为（ ） A y x =-B 3y x =C 0y =D 4y x =6设0.43a =，12b π⎫⎛= ⎪⎝⎭，log c =，则（ ）A a b c >>B c b a >>C b a c >>D a c b >> 7函数sin ()()22x xxf x x ππ-=-≤≤+的图象可能为（ ） A BC D8已知a ，b 是非零向量且满足(2)b a a -⊥，2a =，则a b ⋅的值是（ ）AC -9在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程2240x y x +-=若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的值可以是（ ）10函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，()f x 在[0,2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是（ ） A 812,55⎫⎛ ⎪⎝⎭B 812,55⎫⎡⎪⎢⎣⎭C 1229,510⎫⎛⎪⎝⎭ D 1229,510⎫⎡⎪⎢⎣⎭11已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为（ ）正视图 俯视图 侧视图B23 C 56 D 1312已知定义在0,2π⎫⎛ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()f x '是()f x 的导函数，且恒有 cos ()sin ()0xf x xf x '+>成立，则（ ）①43f ππ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭②36f ππ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭③63f ππ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭64ππ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭其中所有正确结论的编号是 A ①③④ B ①②③ C ②③④ D ①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知实数x ，y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为______733x ⎛+ ⎝7x15在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，26AB AB BC +⋅=-，则边长a 的值为______16某市民广场有一批球形路障球（如图1所示）现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳（如图2所示）其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体经过测量，这批球形路障球每个直径为60cm，若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体表面积为______2cm三、解答题：共70分。

广西普通高中2021届高考精准备考模拟卷（一）文科数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2B x x =<，则A B ⋂=（ ） A ．{|14}x x -<< B ．{|04}x x << C ．{0,1,2,3} D ．{1,2,3} 2．若()1a bi i bi +=-，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则ab 等于（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．13．某小区从热爱跳广场舞的3对夫妻中随机抽取2人去参加社区组织的广场舞比赛，则抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．35 D ．234．已知0.8 2.13log 0.8,3,0.3a b c ===，则（ ）A ．a ab c <<B ．ac b c <<C ．ab a c <<D ．c ac b << 5．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．483π-B ．42π-C ．283π- D ．8π- 7．如图是一个计算：201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+的算法流程图，若输入2019n =，则由上到下的两个空白内分别应该填入（ ）A ．12(1),2n S S n n n -=--⋅=- B ．1(1),1n S S n n n -=--⋅=-C ．1(1),2n S S n n n -=+-⋅=- D ．1(1),1n S S n n n -=+-⋅=-8．将函数()cos2sin (0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．现在需要制作一个长和宽分别为m a 和m b 的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为10元/m 和20元/m ，在总制作费用不超过100元的条件下，可裱框相片的最大面积为（ ） A ．225m 3 B ．225m 4 C ．225m 8 D ．225m 1610．已知数列{}n a 中，15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，且1n n n a a b +=⋅，则1a =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4 11．已知圆D 关于y 轴对称，点(3,0),(0,2)B C --位于其上，则sin DBC ∠=（ ）A．13 B．4 C．13 D．412．已知函数22,0(),0,x x f x x bx c x +⎧=⎨++>⎩()210g x x =-，若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且(2)3f =-，则函数(())y g f x =零点的取值集合为（ ）A ．{3,4}B ．{2,4}C ．{4}D ．{0,3,4}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件2,220,20,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩则3x z y =-+的最大值为__________．14．已知抛物线2:(,0)C y mx m m =∈≠R 过点(1,4)P -，则抛物线C 的准线方程为____________． 15．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()(),(4)()0f x f x f x f x -=+-=，当(0,2]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f 等于_________．16．在三棱锥P ABC -中，若BC CA AB ===PA ⊥平面ABC ，4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为12cos bcB．（1）求sin cos A B 的值和cos sin A B 的取值范围； （2）若ABC 为钝角三角形，且1cos sin ,33A B c ==，分别求C 和22b a -的值． 18．（12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知O 为平行四边形11BDD B 的中心，E 为1CC 的中点．（1）求证：OE ∥平面ABCD ；（2）若平面11BDD B ⊥平面,ABCD OE BD ⊥．求证：1D E BE =． 19．（12分）在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）以每组数据所在区间中点的值作代表，求80名读书者年龄的平均数；（2）若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年．为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关．附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 临界值表供参考：3.841 20．（12分）设函数2()cos ,()sin af x x xg x x=+=． （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x 有解，求证：24a π．21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎭．（1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q ．（ⅰ）证明：直线PQ 与y 轴平行；（ⅱ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的直角坐标方程为2213y x +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是1ρ=，四边形ABCD 的顶点都在曲线2C 上，点A 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭，点A 与C 关于y 轴对称，点D 与C 关于直线6πθ=对称，点B 与D 关于x 轴对称．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线CD 的距离d 的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||2|f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．2021届高考精准备考原创模拟卷（一） 文科数学参考答案、提示及评分细则1．D ∵集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2{|04}B x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=． 2．B 因为()1a bi i bi +=-，所以1b ai bi -+=-，所以1,b a b -==-，所以1,1a b ==-．所以1ab =-． 3．A 设第1，2，3对夫妻分别为()11,A B ，()22,AB ，()33,A B ，从中随机抽取2人，所有等可能的结果为()11,A B ，()12,A A ，()12,A B ，()13,A A ，()13,A B ，()12,B A ，()12,B B ，()13,B A ，()13,B B ，()22,A B ，()23,A A ，()23,A B ，()23,B A ，()23,B B ，()33,A B ，共有15种，其中抽取的2人恰好为1对夫妻的情况有()11,A B ，()22,A B ，()33,A B ，共3种，所以抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为31155=． 4．C ∵0,1,01a b c <><<，∴ab a c <<．5．B 由题得()lncos()lncos ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数．所以图象关于y 轴对称，所以排除A ．C ．又,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以cos (0,1)x ∈，所以lncos (,0)x ∈-∞，所以D 错误，故答案为B ． 6．D 由题意可知几何体的直观图如图：几何体的底面面积为211221422ππ⨯-⋅⨯=-，所以几何体的体积为8π-，故选B ．7．A 将4个选择支分别代入检验得，由上到下的两个空白内依次填入12(1),2n S S n n n -=--⋅=-，才可以计算出201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+，所以选A ． 8．B函数()cos2sin 233(0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭1cos sin 233sin 3cos 2sin 23x x x x x ωπωωωω+⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左平移3πω个单位，得2sin 33y x ππωω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，∴函数()2sin y g x x ω==；又()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴44Tπ，即244ππω，解2ω，所以ω的最大值为2．故选B．9．C 由已知得，2040100a b +，所以25a b +，所以22(2)1(2)1525222228a b a b ab ⋅+⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当2a b =，25a b +=，即55,24a b ==时取等号，所以可裱框相片的最大面积为258平方米． 10．C 因为数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，所以有7123142b b b b ⋅⋅=，又1n n n a a b +=⋅，所以1n n na b a +=，于是有151421413114131a a a b b b a a a ⨯⨯⨯=⋅，所以71512a a =，故12a =，选C ． 11．A 因为圆D 关于y 轴对称，所以设圆心坐标为(0,)a ，半径为r ，因为点(3,0),(0,2)B C --位于其上，所以2223,2a r r a +==+，所以54a =，半径134r =，所以圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 到直线BC 的距离4d ==，所以sin 13d DBC r ∠== 12．C 由1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得12b -=，∴2b =-，又因为(2)3f =，∴423b c ++=-，∴3c =-，∴()f x 的解析式22,0,()23,0,x x f x x x x -⎧=⎨-->⎩由(())0g f x =，∴()5f x =，当0x 时，25x +=，∴3x =（舍），当0x >时，2235x x --=，∴4x =或2x =-，又∵0x >，∴4x =，故函数的零点为4x =． 13．43作出可行域为如图所示的三角形ABC 边界及其内部区域，易知(2,4)A -，(2,0)B -，(2,2)C ．把3x z y =-+变形为3x y z =+，当且仅当动直线3x y z =+过点(2,2)C 时，z 取得最大值为43．14．116y =-将点(1,4)P -带入抛物线可得4m =，即有24y x =，所以214x y =，则抛物线的准线方程为116y =-． 15． 2 由(4)()f x f x +=，得(7)(3)(1)f f f ==-，又()f x 为偶函数，∴2(1)(1),(1)212f f f -==⨯=．∴(7)2f =．16． 设ABC 的外接圆的圆心为D ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，O 到平面ABC 的距离为h ，连接PO ．因为PA ⊥平面ABC ，所以四边形PADO 为直角梯形，且OP OA =，所以2h PA =，所以2h =，所以三棱锥P ABC -=17．解：（1）由题设得，1sin 212cos bc bc A B =，所以1sin cos 6A B =； 1分 因为1sin()sin cos cos sin cos sin ,0sin()16A B A B A B A B A B +=+=+<+， 所以15cos sin 66A B -<． 3分 又因为1sin()sin cos cos sin cos sin ,1sin()16A B A B A B A B A B -=-=---， 所以57cos sin 66A B -． 5分 综上，15cos sin 66A B -<． 6分 （2）因为11sin cos ,cos sin 63A B A B ==， 所以1sin()sin cos cos sin 2A B A B A B +=+=， 所以6A B π+=或56A B π+=， 所以6C π=或56C π=． 9分 因为sin cos 0,cos sin 0A B A B >>，所以A ，B 都为锐角，又因为ABC 为钝角三角形，所以56C π=． 10分 因为11sin cos ,cos sin 63A B A B ==， 所以sin cos 1cos sin 2A B A B =，所以2222222122a a c b bc b ac b c a +-⋅⋅=+-， 所以()2223b a c -=，所以223b a -=． 12分 18．证明：（1）连结11,,AC BD AC ． 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，因为1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11,AC BD 相互平分， 2分 因为O 为平行四边形11BDD B 的中心，所以O 为1BD 的中点，所以O 为1AC 的中点， 因为E 为1CC 的中点，所以//OE AC ， 4分 因为OE ⊄平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以//OE 平面ABCD ； 6分 （2）因为,//OE BD OE AC ⊥，所以AC BD ⊥，因为平面11BDD B ⊥平面ABCD ，平面11BDD B ⋂平面,ABCD BD AC =⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面11BDD B ， 9分 所以1AC BD ⊥，所以1OE BD ⊥，因为1OB OD =，所以1D E BE =． 12分 19．解：（1）80名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 4分（2）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=， 老年人数为(0.030.0250.01)108052++⨯⨯=， 6分 由此可得22⨯列联表如图，9分由题意2280(15391313)320 6.5312852285249K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关． 12分20．解：（1）()2sin f x x x =-'， 2分令()2sin h x x x =-，当[0,]x π∈时，()2cos 0h x x =->'， 4分所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增； 5分 所以当[0,]x π∈时，()2sin 0f x x x -'=，所以当[0,]x π∈时，2()cos f x x x =+单调递增． 6分（2）因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x 有解， 所以当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin ()a x f x ⋅有解， 7分 令()sin ()k x x f x =⋅，所以()cos ()sin ()k x x f x x f x ''=⋅+⋅， 8分 因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x '>>>>， 所以()0k x '>，所以()k x 单调递增， 10分所以2()24k x k ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以24a π． 12分 21．解：（1）由题意可得2224,211,2a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得224,1a b ==， 2分所以椭圆的方程为：2214x y +=； 3分 （2）设直线l 的方程为：12y x t =+，设()()1122,,,A x y B x y ， 联立直线l 与椭圆的方程221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得：222220x tx t ++-=， 则()2244220t t ∆=-->，即22t <，且212122,22x x t x x t +=-=-． 5分（ⅰ）因为((122112112222PA PB x t x x t x y y k k ⎛⎛+-++-- -+=+=()121222(0x x t x x t +-+--===， 所以APB ∠的角平分线平行于y 轴． 7分（ⅱ）如图所示，当AP BP ⊥时，则45APQ BPQ ∠=∠=，所以直线AP的方程为2yx =，即2y x =-，8分 代入椭圆的方程可得22440x x ⎛+--=⎝⎭，即2520x --=， 可得A x =A 到直线PQ的距离1d ==； 9分 直线BP的方程为：(y x x =-+=-+， 代入椭圆的方程224402x x ⎛+-+-=⎝⎭，即25140x-+=，可得B x =B 到直线PQ的距离255d ==，10分 而由上可得||QP =所以()12 118||22555APQ BPQ APBQ S S S PQ d d ⎛=+=⋅+=+= ⎝⎭四边形， 所以四边形APBQ 的面积为85． 12分22．解：（1）由题知点A ，C ，D ，B 的极坐标分别为531,,1,,1,,1,6622ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2分 所以点A ，C ，D ，B 的直角坐标分别为11,,(0,1),(0,1)22⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4分 （2）设()00,P x y 是曲线1C 上的任意一点，则00cos ,xy ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），5分因为C ，D的直角坐标分别为1,,(0,1)22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以直线CD 的直角坐标方程为1y =-10y ++=， 6分所以d===， 8分 因为16sin 1614πϕ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以6102d+． 10分 23．解：（1）函数3,2,1()|21||2|31,2,213,.2x x f x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=--+=---⎨⎪⎪->⎪⎩ 3分 令()0f x =，求得13x =-，或3x =，故不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． 5分 （2）若存在0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解， 7分 由（1）可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭， 8分 故25422m m -<-，解得1522m -<<．10分。

广西2021年高考数学模拟试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·杭州期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·长沙月考) 已知复数，则复数对应的点在复平面内位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2019高三上·湖南月考) 已知函数，则“ ”是“ ，使”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）对于下列四个命题,；,；,．其中的真命题是（）A . p1 ， p3B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p2 ， p45. （2分）(2017·南海模拟) 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17×33”之值，则判断框内不能填入（）A . k≤33B . k≤38C . k≤50D . k≤656. （2分） (2019高一上·北京月考) 已知命题“ ，使得”，若命题是假命题，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）A . 6π+12B . 10π+36C . 5π+36D . 6π+188. （2分）若角α的终边在直线y=﹣3x上，则cos2α=（）A .B . ﹣C . ±D . ±9. （2分）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式中x2的系数是（）A . ﹣3B . ﹣6C . 0D . 310. （2分） (2019高一下·涟水月考) 已知两点，，点是圆上任意一点，则的面积最小值是（）A .B .C . 3-D .11. （2分） (2018高一上·洛阳月考) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·鞍山模拟) 定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数f'（x）满足x3f'（x）+8＞0，且f（2）=2，则不等式的解集为（）A . （﹣∞，2）B . （﹣∞，ln2）C . （0，2）D . （0，ln2）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·天水开学考) 在边长为4的等边△ABC中，D为BC的中点，则• =________．14. （1分） (2016高二上·宜春期中) 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，且，则cosB的值为________．15. （1分） (2020高二上·峨山期中) 若满足约束条件，则的最大值为________16. （1分） (2020高二上·成都月考) 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题： (共7题；共60分)17. （15分）(2017·湖南模拟) 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn ，且an2+an=2Sn ，n∈N* ．（1）求a1及an；（2）求满足Sn＞210时n的最小值；（3）令bn=4 ，证明：对一切正整数n，都有 + + ++ ＜．18. （10分） (2018高二上·遵义月考) 如图1是图2的三视图，在三棱锥B-ACD中，E,F分别是棱AB,AC的中点.（1）求证：BC//平面DEF；（2）求三棱锥A-DEF的体积.19. （10分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.（参考数据：；；.）20. （5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，求椭圆的方程．21. （5分）(2020·茂名模拟) 设函数，曲线在点处的切线方程为 .（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）当时，若为整数，且，求的最大值.22. （10分） (2020高三上·成都月考) 在直角坐标系中，直线的方程为： ( 为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）设，的交点为，，求的面积.23. （5分）(2020·厦门模拟) 已知函数 .（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，，求a的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题： (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：第21 页共21 页。

2021届广西钦州市、崇左市高三上学期一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)注意事项：1. 本卷共 150 分,考试时间120 分钟．答卷前,考生务必将自己的 姓名 、考生号等填写在答题 卡和试卷指定位置上．2. 回答选择题时选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上 ,写在本试卷上无效．3. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的．1. 已知全集 U = R , 集合A = {x | x (x -1) >0}, 那么集合C U A（）A. (-∞,0] U [l , +∞) B.(-∞,0) U(1,+∞)C.(0,1)D.[0,1]2. 在复平面内,复数z = ( i -2 ) (1 + i) 对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知a , b ∈R , 则“a >｜b ｜”是“a ｜ a ｜> b ｜ b ｜”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（）A.2B.1C.116 D. 125. 若,||1OA AB OA ⊥=,则()OA OA OB ⋅+＝A. 2B. 1C. -1D.06.图 1 所示是某年第一季度五省 GDP 情况图,则下列说法中不正确．．．的是A.该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省B.该年第一季度浙江省的 GDP 总量最低C.该年第一季度 GDP 总量讯和增速由高到低排位均居同一位次的省份有 2 个D.与去年同期相比,该年第一季度的 GDP 总量实现了增长7.某四棱锥的三视图如图 2 所示,则该四棱锥的体积为A.2B.2 2C.2 3D.48.已知实数x, y满足不等式组11,3260,530,x yx yx y++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数x- 2y的最小值为（A.-4B.145-C.-6D.-79.设113332,log2,3a b c===,则A. c> b > aB. a > c > bC.c > a > bD.a>b>c10.如图 3 是求数列123457,,,,,,234568…前 6 项和的程序框图,则①处应。

钦州一中2021届高三摸底考试试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≤*N ，{(,)|4}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．62．复数1013i-的虚部是（） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．33.若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（）A ．4 B．C．D ．24．已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若46a =，2a ，4，5a 成等比数列，则6S =（） A ．36B ．32C ．28D ．305.已知向量()1,2a =，(),3b m =，若()2a a b ⊥-，则a 与b 夹角的余弦值为（）AB10C5D6.已知cos 4θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ的值是（）A ．79- B ．29-C ．29D ．797.已知等比数列{}n a 满足0n a >，且12a ，312a ，2a 成等差数列，则35468722a a a a a a +-+-的值为（）A ．18B ．8C ．2D ．128.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（） A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====9.射线测厚技术原理公式为7.60tI I eμ-=,其中0I I ,分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度,μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度,若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将射线强度减弱为一半的某种物质厚度,ln20.693≈,结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11610.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为205，则该几何体的外接球的表面积为（） A ．36π B ．64π C ．81π D ．100π11．设椭圆C ：22221x y a b+=（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（） A ．1B ．2C ．4D ．812．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则（） A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 13．24()a x x+的展开式中含5x 的项的系数为8，则a =__________．14．若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，，则32z x y =-的最大值为_________．15，若圆锥内某正方体的底面在圆锥的底面上，则该正方体的最大体积为______． 16．关于函数f （x ）=1cos cos x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x=2π对称．④f （x ）的图像关于点(,0)2π对称． 其中所有真命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程）。

2021届广西柳州市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()212i z i -=+（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．5 B ．1 C ．i D ．i -【答案】B【分析】先求出复数z ，再求其模即可【详解】解：由()212i z i -=+，得2212(12)(2)24252(2)(2)45i i i i i i iz i i i i i ++++++=====--+-， 所以z =1， 故选：B2．设集合{}220A x x x =+-≤，{}B x x m =≤，若{}22A B x x ⋃=-≤≤，则实数m =（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】A【分析】首先求出集合A ，再根据并集的结果判断0m >，从而解出集合B ，即可得出m ； 【详解】解：因为220x x +-≤，即()()210x x +-≤，解得21x -≤≤，所以{}{}220|21A x x x x x =+-≤=-≤≤，因为{}22A B x x ⋃=-≤≤，{}B x x m =≤所以0m >，所以{}B x m x m =-≤≤，所以2m = 故选：A3．已知x 、y 满足约束条件20202x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】A【分析】先画出可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，作出直线2y x =-，向上平移过点C 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，求出点C 的坐标代入目标函数中可得答案【详解】解：不等式组表示的可行域如图所示，由2z x y =+得2y x z =-+，作出直线2y x =-，向上平移过点C 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，由220y x y =⎧⎨+-=⎩，得02x y =⎧⎨=⎩，即(0,2)C ，所以2z x y =+的最小值为2022⨯+=， 故选：A4．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺 C ．3.5尺 D ．4.5尺【答案】D【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组求解即可. 【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ， 根据题意9131115= 1.510.49.593649.5365.5110S a a a a a d d a d +==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩+=⎩⎩，∴立秋的晷长为4 1.53 4.5a =+=. 故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题.5．下图为四组样本数据的条形图，则对应样本的标准差最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据标准差公式计算各样本的标准差，再比较其大小 【详解】解：对于A ，由于各个数据相同，所以标准差为0， 对于B ，0.0560.270.580.290.05108x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则222221[(68)(78)(88)(98)(108)]25s =-+-+-+-+-= 对于C ，0.160.270.480.290.1108x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则222221[(68)(78)(88)(98)(108)]25s =-+-+-+-+-= 对于D ，0.3560.1570.180.1590.35108.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则222221[(68.8)(78.8)(88.8)(98.8)(108.8)] 2.645s =-+-+-+-+-= 所以样本D 的标准差最大， 故选：D6．已知22cos 3sin αα=，则cos2=α（ ）A ．19-B ．19C ．12D ．12-【答案】C【分析】首先利用同角三角函数的基本关系及一元二次方程求出sin α，再利用二倍角公式计算可得；【详解】解：因为22cos 3sin αα=，所以()221sin 3sin αα-=，即22sin 3sin 20αα+-=，解得1sin 2α=或sin 2α=-（舍去）所以2211cos 212sin 1222αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭故选：C 7．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．8．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤【答案】C【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（ ）A ．24πB ．16πC ．12πD ．6π【答案】D【分析】依题意画出几何体的直观图，将三棱锥补成长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，而长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积； 【详解】解：由三视图知：几何体为三棱锥A BCD -，把三棱锥补成长方体如下图所示：则长方体的长宽高分别为2,1,1,∴长方体的外接球就是三棱锥的外接球， ∴外接球的直径24116R ++6R ∴=∴外接球的表面积264464S R πππ==⨯=． 故选：D ．10．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．在22ππ⎛⎫⎪⎝⎭-,上单调递增C ．关于直线3x π=对称 D ．在6x π=处取最大值【答案】A【分析】由最小正周期为π得出2ω=，由()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数得出3πϕ=，进而得出()2sin(2)3f x x π=+，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进行判断即可得出答案.【详解】解：函数()f x 的最小正周期为π，可得2ω=，()f x 向右平移6π个单位后得到的函数为 2sin 2()2sin(2)63y x x ππϕϕ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦，因为此函数为奇函数，又2πϕ<，所以3πϕ=.故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于选项A ：2()sin()0,333f A πππ=+=∴正确；对于选项B ：当24(),2(,)22333-,x x πππππ∈+∈-， ()f x 不具有单调性，故B 错； 对于选项C ：2,,32x k k Z πππ+=+∈,122k x k Z ππ=+∈，故C 错；对于选项D ：2()2sin 63f ππ==，故D 错.故选：A.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.11．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >> D ．(2020)(0)(2019)f f f >>【答案】B【分析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小. 【详解】(1)f x +是偶函数,得()(1)1f x f x +=-+，即()()2f x f x =-+，(1)f x -是奇函数，得()(1)1f x f x -=---，即()()2f x f x =---，()(2)2f x f x ---=-+，得8T =由(1)f x -是奇函数，得()(01)10f f -=-=， 因为()f x 在[1,1]-上单调递增，所以(0)0f >()()()2019310f f f ==-=，()()()2020400f f f ==-<所以(0)(2019)(2020)f f f >>， 故选：B【点睛】()()2a bf a x f b x x ++=-⇒=是函数()f x 的对称轴， ()(),02a b f a x f b x +⎛⎫+=--⇒ ⎪⎝⎭是函数 ()f x 的对称中心.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x -'=+-(e 是自然对数的底数)，且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[),0e -B ．)2,0e ⎡-⎣C ．(],0e -D ．(2,0e ⎤-⎦【答案】C【分析】由题意得()()23x e f x f x x '+=+⎡⎤⎣⎦即()23x e f x x '⎡⎤=+⎣⎦求出()f x 解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解. 【详解】()()23xx f x f x e+'=-即()()23x e f x f x x '+=+⎡⎤⎣⎦， 所以()23xe f x x '⎡⎤=+⎣⎦，则()23x e f x x x c =++，所以()23x x x c f x e++=， 因为()01f =，所以()001cf c e ===， 所以()231xx x f x e ++=，()()()()()()2222331221x x xxxx e e x x x x x x f x e e e +-++-+--+-'===，由()0f x '>得21x -<<，此时()f x 单调递增， 由()0f x '<得2x <-或1x >，此时()f x 单调递减， 所以1x =时，()f x 取得极大值为()51f e=，当2x =-时，()f x 取得极小值()220f e -=-<，又因为()10f e -=-<，()010f =>，()330f e -=>，且1x >时，()0f x >，()0f x m -<的解集中恰有两个整数等价于()231xx x f x e ++=在y m=下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得： 则()10f m -<≤，解得0e m -<≤，所以0e m -<≤时，()0f x m -<的解集中恰有两个整数1,2--， 故实数m 的取值范围是(],0e - 故选：C【点睛】关键点点睛：()0f x m -<的解集中恰有两个整数，需求出()f x 解析式，所以对已知条件()()()23x f x e x f x -'=+-变形可得()23xe f x x '⎡⎤=+⎣⎦即()23x e f x x x c =++结合()01f =可求出()231x x x f x e ++=，()0f x m -<的解集中恰有两个整数等价于()231xx x f x e ++=在y m =下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对()f x 求导数形结合即可求出实数m 的取值范围，属于难题.二、填空题13．已知向量()2,1a =-，()1,b m =，若向量a b +与a 垂直，则m =______. 【答案】7【分析】利用平面向量坐标运算法则求出a b +，再由向量a b +与a 垂直，能求出m . 【详解】解：∵向量()2,1a =-，()1,b m =，∴()3,1a b m +=-+， ∵向量a b +与a 垂直，∴()()()23110a b a m +⋅=⨯+-⨯-+=，解得7m =. 故答案为：7.【点睛】本题考查向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题． 14．在递增等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则4S =_________.【答案】152【分析】根据等比数列下标和性质得到244a a ⋅=，从而解出2a 、4a ，即可求出公比q ，从而求出1a ，3a ，即可得解；【详解】解：因为154a a ⋅=，所以244a a ⋅=，因为245a a +=，所以2a 、4a 为方程2540x x -+=的两根，所以2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增的等比数列，所以2414a a =⎧⎨=⎩，所以2424a q a ==所以2q 或2q =-（舍去），所以112a =，32a =，所以411512422S =+++= 故答案为：15215．在()()5121x x --展开式中，2x 的系数为_________.（结果用数字作答） 【答案】50【分析】首先将式子变形为()()552121x x x ---，再写出()521x -展开式的通项，从而可求2x 的系数；【详解】解：()()()()5551212121x x x x x --=---，其中()521x -展开式的通项为()()()5551552121rrr r r r r r T C x C x ---+=-=-，所以2x 项的系数为()()4343255212150C C ---=故答案为：5016．已知()()12,0,0F c F c -、是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，1F 关于双曲线的一条渐近线的对称点为P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则双曲线的离心率为______.【分析】先写出双曲线的渐近线方程by x a=±，根据双曲线的对称性，不妨令点P 为1F 关于直线b y x a =的对称点，设()11,P x y ，求出222,b a ab P cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入24y cx =，化简整理，即可得出结果.【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为：b y x a =±，根据双曲线的对称性，不妨令点P 为1F 关于直线by x a=的对称点，设()11,P x y ，因为()1,0F c -，所以111122y a x c b y x c b a ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，解得22112b a x cab y c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又点P 在抛物线24y cx =上，所以2222244a b b a c c c-=⋅，即()222222a b c c a =-，即()()2222222a c a c c a -=-，整理得：422430c a c a -+=，所以42310e e -+=，解得2352e ±=，因双曲线的离心率1e >，所以223562551242e ⎛⎫+++=== ⎪⎝⎭，因此512e +=. 故答案为：512+. 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos b c b a c abc C --+=.（1）求角A 的大小. （2）若3ABC π∠=，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 的面积是532，求BDC ∠的大小. 【答案】（1）3A π=；（2）56π. 【分析】（1）根据已知等式，利用余弦定理边化角得到()2cos cos b c A a C -=，进而利用正弦定理边化角，利用两角和差三角函数公式化简，求得cos A ,进而得解； （2）由余弦定理求得254cos BC D =-，利用面积公式求得533ABC S D =△， =sin BDCSD ，利用532ABDC S =四边形得到关于D 的方程，求解即得.【详解】解：（1）()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=，sin 0B ≠，∴1cos2A =由()0,A π∈，则3A π=.（2）如图，在BCD 中，2BD =，1CD =， 由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴2153sin 323ABC S BC D △π=⨯⨯=，1=sin sin2BDC S BD DC D D ⨯⨯⨯=，∴5353sin 32sin 5332ABDC S D D D 四边形π⎛⎫==-= ⎪⎭⎝， ∴sin()13D π-=，(0,)D π∈，即56D π=. 【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合运用，属中档题，关键是熟练利用正余弦定理进行边角互化，结合两角和差的三角函数进行运算求解. 18．某试验小组得到6组某植物每日的光照时间x （单位：h ）和每日平均增长高度y （单位：mm ）的数据，现分别用模型①y bx a =+和模型②mx n y e +=对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如下表：（模型①和模型②的残差分别为1e 和2e ，残差i i i e y y =-）x5678910（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来刻画该植物每日的光照时间与每日平均增长高度的关系较为合适，简要说明理由；（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据(),x y 剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测光照时间为11h 时，该植物的平均增长高度.（剔除数据前的参考数据：7.5x =， 5.9y =，61299.8i i i x y ==∑，621355i i x ==∑，ln z y =， 1.41z ≈，6173.10i ii x z=≈∑，n10.7l 2.37≈， 4.03456.49e≈.）参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）应选择模型①，理由见解析；（2）12.34mm . 【分析】（1）直接利用每组数据对应的残差绝对值的大小得结论； （2）利用最小二乘法求线性回归方程，取11x =求得y 值即可． 【详解】解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（言之有理即可） （2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表则上表的数据中，7.56585x ⨯-==， 5.960.475y ⨯-==，5280x y =，25320x =，51299.850.4297.8i ii x y==-⨯=∑，52135525330i i x ==-=∑，所以5152215297.828017.81.78330320105i ii ii x y x yb xx ==--====--∑∑，ˆ7 1.7887.24ay bx =-=-⨯=-，得模型①的回归方程为 1.787.24y x =-， 则11x =时， 1.78117.2412.34mm y =⨯-=，当光照时间为11h 时，该植物的平均增长高度为12.34mm ．19．如图，在以P 为顶点的圆锥中，母线长为2，底面圆的直径AB 长为2，O 为圆心.C 是圆O 所在平面上一点，且AC 与圆O 相切.连接BC 交圆于点D ，连接PD ，PC ，E 是PC 的中点，连接OE ，ED .（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若二面角B PO D --的大小为23π，求面PAC 与面DOE 所成锐．二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（226 【分析】（1）由AC AB ⊥，得AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥，再得PA PB ⊥，从而可得线面垂直，于是有面面垂直；（2）二面角B PO D --的平面角为BOD ∠，大小为23π，这样以,OB OP 为.y z 轴，在底面上作x 轴建立如图的空间直角坐标系，用向量法求二面角． 【详解】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ， 所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O ⋂=， 所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥， 又因为，在三角形P AB 中，2PA PB AB PA PB ==⇒⊥ PAAC A =，所以PB ⊥面P AC ，PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面P AC ； （2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥，BOD ∴∠为二面角B PO D --的平面角，23BOD π∴∠=，如图建立坐标系，易知1OB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，31,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 23,1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，311,,322E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）知()0,1,1BP =-为平面P AC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =， 311311,,0322322OE x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 3131,,002222OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：()3,3,1n =，26cos 13n BP n BPθ⋅==.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查用向量法二面角．面面垂直，线面垂直，线线垂直，在立体几何证明垂直问题时常常相互转换，要灵活运用． 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>32.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=， 求证：点(,)m k 在定圆上.【答案】（1）椭圆C 的标准方程为2214x y += （2）证明见解析【详解】试题分析：（1）由已知可得3c e a =，221b b ==，2a = ⇒椭圆C 为2214x y +=；（2）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒()222418440k x kmx m +++-=⇒2241m k <+①，且12x x +21222844,4141km m x x k k -=-=++ ⇒ ()22121212y y k x x km x x m =+++，又12121212554544OM ON y y k k y y x x x x ⋅===⇒()221212124445k x x km x x m x x +++=⇒()()22451km ---()22228410k m m k ++=⇒2254m k +=② ，由①②得226150,5204m k ≤<<≤ ⇒点(),m k 在定圆2254x y +=上. 试题解析：（1）设焦距为2c，由已知c e a =，22b =，∴1b =，2a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418440k x kmx m +++-=， 依题意，()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =， ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭， 即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，② 由①②得226150,5204m k ≤<<≤.∴点(),m k 在定圆2254x y +=上.（没有求k 范围不扣分） 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为2214x y +=；（2）设而不求法求得2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒()222418440k x kmx m +++-=⇒2241m k <+①，再利用韦达定理转化得()22228410k m m k ++=⇒2254m k +=② ，由①②得226150,5204m k ≤<<≤ ⇒点(),m k 在定圆2254x y +=上. 21．已知函数()ln 1f x x mx =++，()()1xg x x e =⋅-.（1）若()f x 的最大值是0，求函数()f x 的图象在x e =处的切线方程； （2）若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）111y x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）(],0-∞.【分析】（1）根据某点上的切线斜率即为函数在该点的导数，列出点斜式方程即可得出答案.（2）构造函数，对函数求导后，讨论函数单调性，求出m 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域()0,∞+，()1f x m x'=+， 若0m ≥，()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值； 若0m <，10,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减； 所以1x m =-时()f x 取得最大值1ln 0m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1m =-. ()11f e e'=-，()2f e e =-.函数()f x 的图象在x e =处的切线方程111y x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）原式子恒成立，即ln 11xx m e x ++≤-在()0,∞+恒成立，设()ln 1xx x e x ϕ+=-，()22ln x x e xx x ϕ+'=，设()2ln x Q x x e x =+，()()2120xQ x x x e x'=++>， 所以()Q x 在其定义域内单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10Q >，所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x e x ⋅+=，所以0000ln x x x e x -⋅=， 两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-，易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =， 所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000000ln 1111x x x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-=， 于是m 的取值范围是(],0-∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值与最值，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为83432x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos a ρρθ+=，其中0a >.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.若点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，求a 的值.【答案】（Ⅰ）40x y -+=；2260x y x a ++-=；（Ⅱ）4a =.【分析】（Ⅰ）利用消参法消去参数t ，即可将直线l 的参数方程转化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得出关于t 的一元二次方程，根据韦达定理得出12t t +和12t t ，再利用直线参数方程中的参数t 的几何意义，即可求出a 的值.【详解】解：（Ⅰ）由于直线l的参数方程为8343x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y -+=， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x a ++-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理，得26409t a +--=，(*) 设1t ，2t 是方程(*)的两个根，则有0∆>，得12t t +=12649t t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，所以不妨设122t t =-，∴223250929a t =+=， 解得：4a =，符合条件0a >和0∆>， .∴a 的值为4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求参数值，考查化简运算能力.23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()f x x <的解集；（2）函数()f x 的最大值为M ，若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求111a b c ++的最小值.【答案】（1）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（2）36.【分析】（1）根据绝对值的性质利用分区间讨论求解不等式；（2）利用绝对值不等式的性质求得M ,利用柯西不等式求得111a b c++的最小值.【详解】解：（1）不等式()f x x <即12x x x --+<. ①当1≥x 时，化简得3x -<.解得1≥x ；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ；③当2x -≤时，化简得3x <,此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭;（2）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立. ∴3M =，即491a b c ++=. 又∵,,0a b c >，∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥()212336=++=.当且仅当11149a b c a b c ==，即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴111a b c++的最小值为36. 【点睛】利用柯西不等式求最值时要注意取等号的条件的探求验证.。

2021届广西名校高三（上）第一次摸底数学（理）试题一、选择题1．已知全集{}123456U =，，，，，，若{}12345A B =，，，，，{}345A B =，，，则UA 不可能是（ ）A ．{}126，，B ．{}26，C ．{}6D ．∅ 【答案】D【解析】试题分析：由已知得A 可能为{}3,4,5，故选D ． 【考点】集合的元素及交并补运算．2=（ ）A ．iB ．i -C ．i -D ．i - 【答案】B 【解析】试题分析：i ii i ii -=++-=+-21)21(212，故选B ．【考点】复数的运算．3．在等差数列{}n a 中，()()1479112324a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S =（ ） A ．13 B ．26 C ．52 D ．156【答案】B【解析】试题分析：由1479112()3()24a a a a a ++++=，得4104a a +=，于是1134101313()13()2622a a a a S ++===，故选B ．【考点】等差数列的性质，等差数列求和．4．已知()162a b a b a ==-=，，，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】试题分析：由条件得22a b a ⋅-=，所以223cos 16cos a b a a b αα⋅=+==⋅=⨯⨯，所以1cos 2α=，即3πα=． 【考点】向量的数量积运算．5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48817+B ．32817+C ．48D ．80 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为244424⨯+⨯=，其余四面的面积为(24)424172248172+⨯⨯+⨯⨯=+，所以几何体的表面积为48817+，故选A ．【考点】空间几何体四棱台的特征．6．动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．221x y += B ．()2210x y x +=≠ C ．()2211x y x +=≠± D ．21y x =-【答案】C【解析】试题分析：设(,)P x y ,则01PA y k x -=+，01PB y k x -=-，动点P 与定点(1,0),(1,0)A B -的连线的斜率之积为1-,1PA PBk k ∴⨯=-，2211y x ∴=--，即221x y +=，又1x =±时,必有一个斜率不存在,故1x ≠±，综上:点P 的轨迹方程为221(1)x y x +=≠±，故应选C ．【考点】直接法求轨迹．【思路点晴】本题主要考察直接法求轨迹的方法，根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程了．设出点(,)P x y ,表示出两线的斜率,利用其乘积为1-建立方程化简即可得到点P 的轨迹方程．7．某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内应填写（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k > 【答案】A【解析】试题分析：当2,4;3,11;4,26;5,57.k S k S k S k S ========即当5k =退出循环，所以判断框内应填“4?k >”．故本题正确答案为A ． 【考点】算法的含义和程序框图．8．已知cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13-C ．43D ．34-【答案】D【解析】试题分析：由cot()33πα+=-，得tan()36πα-=，所以3tan(2)tan 2()364ππαα-=-=-,故选D ．【考点】诱导公式；二倍角的正切公式．9．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]23x ∈，时，()f x x =，则当()20x ∈-，时，()f x =（ ）A ．21x ++B ．31x -+C ．2x -D ．4x + 【答案】B【解析】试题分析：由已知有函数()f x 是周期为2，当(0,1)x ∈时，有2(2,3)x +∈，故()()22f x f x x =+=+，同理，当[2,1]x ∈--时，有()(4)4f x f x x =+=+，又知()f x 是偶函数，故(0,1)x ∈时，有()01x -∈，，故()()2f x f x x =-=-，即(2,0)x ∈-时，有()31f x x =-+，故选B ．【考点】函数的奇偶性；周期性；求函数的解析式． 10．在ABC △中，已知1310tan cos 2A B ==，，若ABC △最长边为10，则最短边长为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．22 【答案】A【解析】试题分析：由1tan 02A =>，得cos ,sin 55A A ==，由cos 100B =>，cos 010B =>，得sin 10B =，于是cos cos()cos cos sin sin 02C A B A B A B =-+=-+=-<，即C ∠为最大角，故有10c =，又sin sin ,B A b a <∴<，最短边为b ，于是由正弦定理sin sin b cB C=，求得2b =，故选A ．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【方法点晴】根据cos B 的值及B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值，由tan A 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin ,cos A A 的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出cos C ， 由cos C 的值为负数及C 的范围得到C 为钝角即最大角，即10c =，又sin sin ,B A b a <∴<，∴b 为最小边，根据正弦定理，由sin ,sin B C 及c 的值即可求出b 的值．11．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．64种D ．72种 【答案】D【解析】试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点S A B 、、的涂色方法，有432⨯⨯种方法，若C 点与A 不同色，则C 、D 点只有1种涂色的方法，有24种涂法，若C 点与A 同色，则D 点有2种涂色的方法，共48种涂法，所以不同的涂法共有72种．法二：用3种颜色涂色时，即AC BD 、同色，共有3424A =种涂色的方法，用4种颜色时，有AD 和BC 同色2种情况，共有44248A =，故共有72种,故选D ．【考点】分类计数原理，排列组合．【方法点晴】排列组合中的涂色问题是高考的一个难点，解决这类问题大致有两种方法：一是直接法，一个区域一个区域的来解决，但要考虑先从哪个区域入手，往往是与其他区域都相邻的区域首先考虑，同时要注意这类题往往要求相邻区域不同色，所以在涂色的过程需要分类讨论；二是从颜色入手，条件中的颜色种数可能大于区域块数，也可能小于区域块数，但是不是所有颜色都用上，因此可以从颜色入手，分类讨论．二、填空题12．计算：()()sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒= ． 【答案】3-【解析】试题分析：2330cos )15cos 15)(sin 15cos 15(sin -=-=-+ ． 【考点】二倍角公式．13．已知变量x y ，满足约束条件22221010x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨--≤⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】35+【解析】试题分析：如图，作出可行域，有圆心(1,1)到切线的距离等于半径1，可求得的最大值为35+．【考点】线性规划，数形结合．14．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球的表面积为 ． 【答案】283π 【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为33r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==． 【考点】棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．15．已知函数()322sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为 ．【答案】3【解析】试题分析：()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即函数()f x 的值域为[]1,2-，故答案为3． 【考点】二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．【方法点晴】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，进而利用02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的范围得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即为换元思想，把26x π+看作一个整体，利用sin y x =的单调性即可得出最值，这是解决sin sin y a x b x =+的常用做法．三、解答题16．点P 是椭圆221259y x +=上一点，F 是椭圆的右焦点，()142OQ OP OF OQ =+=，，则点P 到抛物线215y x =的准线的距离为（ ）A ．154 B ．152 C ．15 D ．10 【答案】B【解析】试题分析：设(5cos ,3sin )P αα，由1(),||42OQ OP OF OQ =+=，得2245cos 3cos ()()1622αα++=，即216cos 40cos 390αα+-=，解得3cos 4α=或13cos 4α=-（舍去），即点P 的横坐标为154，故点P 到抛物线215y x =的距离为152．故选B ．【考点】抛物线的定义；椭圆的参数方程． 17．数列{}n a 满足下列条件：()*11221122n n n a a a a a n +++===∈N ，，，． （1）设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若2log n n n c b b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）n n n q b b )21(11-==-；（2）212121[1()]()9232n n n S +=--+⋅-． 【解析】试题分析：（1）利用递推关系，可以得出{}n b 是等比数列；（2）错位相减求和．试题解析：（1）由已知有12112112)(2)2(-++++++=-=--=-=n n n n n n n n n b a a a a a a a b ，又21121-=-=a a b ，∴{}n b 是首项为21-，公比为21-的等比数列，即n n n q b b )21(11-==-．（2）由已知有nn n n n b b c )21(log 2--=⋅=， 即nn n n n S )21()21()1()21(3)21(2)21(11321-⋅--⋅----⋅--⋅--⋅-=- …① 于是1432)21()21()1()21(3)21(2)21(121+-⋅--⋅----⋅--⋅--⋅-=-n n n n n S …②-①②得1321)21()21()21()21()21(23+-+---------=n n n 1)21()21(1])21(1)[21-(+-⋅+----=n n n12)21(32])21(1[92+-⋅+--=∴n n n S ．【考点】数列递推求通项公式；数列求和．18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：()()()1122211nni iiii i nniii i x yn x y xxyyb a y bx xn xxx====---===---∑∑∑∑，）【答案】（Ⅰ）53；（Ⅱ）325-=∧x y ；（Ⅲ）可靠．【解析】试题分析：（1）先确定基本事件总数1025=C ，事件的反面比较简单，即相邻两组数据的情况有4种；（2）利用数据代入公式得回归方程的系数，即得回归方程；（3）利用回归方程算出数据的估计值，判断误差即可．试题解析：（Ⅰ）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以53104-1)(==A P ，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是53．（Ⅱ）由数据，求得9723,27)262025(31,12)121311(31=⋅=++==++=y x y x ．∑==⨯+⨯+⨯=31977261230132511i ii yx ，∑==++31222434121311i ， 43232=x ，由公式求得3,254324349729773312231-=-==--=-=∧∧==∧∑∑x b y a xx yx b i i i i i ．所以y 关于x 的线性回归方程为325-=∧x y ．（Ⅲ）当10=x 时，22322,22325<-=-=∧x y ，同样地，当8=x 时，21617,173825<-=-⨯=∧y ，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．【考点】回归分析的初步应用；等可能事件的概率．【方法点晴】（1）考察了等可能事件的概率，根据组合的思想，从5组数据中选取2组数据共有10种情况，用正难则反的思想找到4种相邻的情况，根据等可能事件的概率得出结果；（2）利用题中所给出的回归方程系数的公式，用第一个（第二个也可以）得到回归方程系数，写出线性回归方程；（3）根据题意，用检验数据利用回归方程算出估计值，判断误差即可． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知2122AB CD PA AB AD DC AD AB PD PB ====⊥==∥，，，，，点M 是PB 的中点．（Ⅰ）证明：CM PAD ∥平面；（Ⅱ）求直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1010． 【解析】试题分析：（I ）由M ,N 分别是,PB PA 的中点，由中位线定理可得MN 平行且等于12AB ，进而可得出//CM 平面PAD ；（II ）运用空间直角坐标系的坐标解决，求出平面PDC 的法向量(1,0,1)n =，运用向量的夹角公式，即可得到直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值试题解析：（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有MN 平行且等于AB21，于是MN 平行且等于DC ，所以四边形MNCD 是平行四边形， 即DN CM //，又⊆DN 平面PAD ，故//CM 平面PAD ．（Ⅱ）依题意知：222PD AB PA =+，所以AD PA AB PA ⊥⊥,，即⊥PA 平面ABCD ，建立如图所示空间坐标系xyz O -，)2,0,0()0,0,2(),1,1,0(),0,1,2(P D M C ， 于是有)2,0,2(),0,1,0(),1,0,2(-==-=DP DC CM ， 设平面PDC 的法向量为),,(c b a n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DP n n ，有⎩⎨⎧=+-=0220c a b ，得)1,0,1(=n ，所以1010,cos -=⋅>=<CMn CM n，故直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值为1010．【考点】线面平行的判定，直线和平面所成角．20．如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值． 【答案】（I ）421-=+y y ；（Ⅱ）9616． 【解析】试题分析：（I ）设出PA ，PB 的点坐标，根据PA PB k k =-，得到12122211y y x x --=--，进而根据点在抛物线上，把x 换成y ，即可得出结果；（II ）由211221124()AB y y k x x x x y y -==≠-+，得出1241AB k y y ==-+，设直线AB 的方程为y x b =-+，与抛物线联立可得21212()441AB x x x x b =+-=+，又点P 到直线AB 的距离为32b d -=，所以2311412(1)(3)222ABC b S AB d b b b ∆-=⋅=⋅+⋅=+-，构造关于b 的函数，求导利用单调性求最值即可．试题解析：解（Ⅰ）由抛物线)0(22>=p px y 过点)2,1(P ，得2=p ， 设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由PA 、PB 倾斜角互补可知PB PA k k -=，即12122211--=--x y x y ，将2221214,4x y x y ==，代入得421-=+y y ．（Ⅱ）设直线AB 的斜率为AB k ，由2221214,4x y x y ==，得)(421211212x x y y x x y y k AB ≠+=--=，由（Ⅰ）得421-=+y y ，将其代入上式得1421-=+=y y k AB ．因此，设直线AB 的方程为b x y +-=，由⎩⎨⎧+-==b x y x y 42，消去y 得0)42(22=++-b x b x ， 由04)42(22≥-+=∆b b ，得1-≥b ，这时，22121,42b x x b x x =+=+，144)(21221+=-+=b x x x x AB ，又点P 到直线AB 的距离为23b d -=，所以2)3)(1(223142121b b b b d AB S ABC -+=-⋅+⋅=⋅=∆，令()()])3,1[(31)(2-∈-+=x x x x f ，则由3103)(2'+-=x x x f ，令0)('=x f ，得31=x 或3=x ． 当)31,1(-∈x 时，0)('>x f ，所以)(x f 单调递增，当)3,31(∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 单调递减，故)(x f 的最大值为27256)31(=f ，故ABP ∆面积ABP S ∆的最大值为9616)312=f ． （附：332)38(3)3()3(1(2)3)(1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++≤-+b b b b b ），当且仅当31=b 时取等号，此求解方法亦得分）【考点】直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值．21．已知函数()2ln R f x x ax x a =+-∈，．（Ⅰ）若函数()f x 在[]12，上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令()()2g x f x x =-，当(0]x e ∈，（e 是自然数）时，函数()g x 的最小值是3，求出a 的值； （Ⅲ）当(0]x e ∈，时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+． 【答案】（Ⅰ）72a ≤-；（Ⅱ）2a e =；（Ⅲ）证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）求导，根据函数单减得2'121()20x ax f x x a x x+-=+-=≤在[]1,2上恒成立，再结合二次函数的性质可求出a 的范围；（II ）由'11()ax g x a x x-=-=，对a 分情况讨论，由()g x 在(0,]e 的单调性求最值符合题意；（III ）构造函数，利用单调性证明不等式．试题解析：解：（Ⅰ）01212)(2'≤-+=-+=x ax x x a x x f 在[]2,1上恒成立， 令12)(2'-+=ax x x h ，有{0)2(0)1(≤≤h h ，得⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤271a a ， 得27-≤a ．（Ⅱ）由],0(,ln )(e x x ax x g ∈-=，得x ax x a x g 11)('-=-=，①当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e a 4=（舍去）， ②当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增， ∴3ln 1)1()(min =+==a a g x g ,2e a =，满足条件． ③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ,e a 4=（舍去），综上，有2e a =．（Ⅲ）令x x e x F ln )(2-=，由（Ⅱ）知， 3)(min =x F ，令2'ln 1)(,25ln )(x x x x x x -=+=ϕϕ，当e x ≤<0时，0)('≥x ϕ,)(x h 在],0(e 上单调递增， ∴32521251)()(max =+<+==e e x ϕϕ， ∴25ln ln 2+>-x x x x e ，即x x x x e ln )1(2522+>-．【考点】利用导函数研究函数的单调性，求函数的最值，利用单调性证明不等式．【方法点晴】本题是函数导数的一个综合考察，既有函数的单调性，也考察了分情况讨论在区间上找最值，也用到了构造函数证明不等式，第一问中给出函数单调减，转成'()0f x ≤在区间[]1,2上恒成立，等号是一个易错点，进而转成二次函数的恒成立，本题中二次函数开口向上，在闭区间恒小于等于0，故只需保证两个端点即可；第二问中常规的讨论，需讨论在(0,]e 单调性研究最值即可；第三问中先分析不等式结构，发现同时除以x 后，左右两个函数有max 1515()()3222x e e φφ==+<+=，易得结果． 22．选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线M 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线N 的极方程为sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程；（Ⅱ）若点A M B N ∈∈，，求AB 的最小值．【答案】（Ⅰ）曲线M 的普通方程为22(2)4x y +-=，曲线N 160y +-=（Ⅱ）5．【解析】试题分析：（I ）消参得M 的普通方程为22(2)4x y +-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得N 的普通方程为160y +-=；（II ）利用直线和圆的位置关系即可得出AB 的最小值为d r -．试题解析：解：（Ⅰ）曲线M 的普通方程为4)2(22=-+y x ， 由8)3sin(=+πθρ有83sin cos 3cos sin =+πθρπθρ，又⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ， ∴曲线N 的普通方程为0163=-+y x ．（Ⅱ）圆M 的圆心)2,0(M ，半径2=r ．点M 到直线N 的距离为713162=+-=d ， 故AB 的最小值为527=-=-r d ．【考点】参数方程，极坐标方程，普通方程的互化；直线与圆的位置关系．23．选修4-5：不等式选讲．已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）当1a =时，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2=a ；（Ⅱ）5m ≤．【解析】试题分析：（I ）由()3f x ≤得3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，可得出2a =；（II ）对23,4()|1||4|5,4123,1x x g x x x x x x --≤⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，分段解不等式即可．试题解析：解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3≤-a x ，解得33+≤≤-a x a ，又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=+-=-5313a a ，解得2=a ． （Ⅱ）当1=a 时，1)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ，于是，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-≤--=++-=1,3214,54,32|4||1|)(x x x x x x x x g ，故当1-<x 时，5)(>x g ，当14≤≤-x 时，5)(=x g ，当1>x 时，5)(>x g ，所以实数m 的取值范围为5m ≤．【考点】绝对值不等式的解法．。

绝密★启用前广西自治区普通高中2021届高三毕业班下学期4月高考模拟考试数学(理)试题2021年4月一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2+2i D．2﹣2i2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2b sin A cos B，则a＝（）A．1B．2C．3D．64．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1B．C．D．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1B．2C．3D．48．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14]B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42B．﹣38C．38D．4210．函数f（x）＝ln|x|+cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP 与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城,号称“桂林山水甲天下”,每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩,准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位,“象山景区”的门票为35元/位,其他2个景点的门票均为95元/位,则甲同学所需支付的门票费的期望值为元．16．已知双曲线＝1（a＞0,b＞0）的左,右焦点分别为F1,F2,点P（x0,y0）为双曲线右支上任意一点,且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为,双曲线的离心率为3,则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量,随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客,每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25,100]之间,根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25,40）[40,55）[55,70）[70,85）[85,100]男性顾客人数46103050女性顾客人数610244020（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分,则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分,则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据,完成下列2×2列联表,并根据列联表,判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 18．已知数列{a n}满足a1＝1,a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和S n．19．如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB＝2,AA1＝4,底面ABCD是菱形,∠BAD＝,平面CC1D1D⊥平面ABCD,BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为,且C经过点P（2,）．（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点,A为C的左顶点,过点F的直线l与C交于M,N两点（异于点A）,若△AMN的面积的范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0,+∞）上恒成立,求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*,e n（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M,N是C1与C2的公共点,点P的直角坐标为（0,1）,求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M,且正数a,b,c满足a2+b2+c2＝M,求a+2b+c的最大值．。