2020年高中数学原创试题(9) 精品

7A.-B.C.12§12D.（全国II 卷）陕西省2020届高三数学九月联考试题 理注意事项:1本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分. 2. 本试卷满分150分，测试时间120分钟。

3.考试范围：必修 1〜5，选修2 — 1, 2— 2, 2 — 3。

第I 卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

1.已知集合 A {x x 2 4x 12 0}, B {yy J X 2}，则 AIB A.[0 , 6)B.[2 , 6)C.(-2, 0] D2.3 2i2 9iA.12 31 i B. 12 31.i C.12 31.iD.12 3185 8585 8585 8585 853. 已知a log 315,b lOg4 20, c lOg 6 30,则A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a4. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故。

故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事； “闭月”，是述说貂蝉拜月的故事； “羞花”，谈的 是杨贵妃醉酒观花时的故事。

她们分别是中国古代的四大美女。

某艺术团要以四大美女为主 题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵 “沉鱼”，讲的是西施浣纱的妃的概率为e x5.函数f （x ） 3 sinx 的图象大致为 x则上述正确结论的序号为9.已知正方体 ABCD- ABiGDi 的体积为16逅，点P 在正方形 ABiGD 上，且A , C 到P的距离6. (x7.已知 A （2，4），B （4，1），C （9，5），D （7， 8），现有如下四个结论:uuu ①ABuujrAC ；②四边形为平行四边形;uur③ACUULT BD 与夹角的余弦值为 7「29 ； ;145uuu uuur. _④AB AC 保;A.①③B. ②④C. ①④D.②③8•《九章算术》卷七一一盈不足中有如下问题:“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七,不足三。

2020年高考数学第九次模拟测试试卷一、选择题（共12小题）1．已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，集合N＝{x|log2x＞1}，则下列结论中成立的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M∩（∁U N）＝M D．（∁U M）∩N＝N 2．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．复数z＝（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知平面向量，满足，，且，则向量在方向上的投影是（）A．B．C．2D．15．若实数x，y满足2x+5y＝8，则xy的最大值是（）A．8B．C．16D．6．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.50≈0.1305）A．6B．12C．24D．488．“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的﹣个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）816357492 A．75B．65C．55D．459．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A．+B．+C．+D．+10．将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C．D．11．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．对于任意x1，x2∈[1，+∞），当x2＞x1时，恒有a1n＜2（x2﹣x1）成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]二、填空题（共4小题）13．（﹣x+2）6的展开式中的常数项为．14．若函数，则不等式f（a）＜a的解集是．15．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*），则a2019+a2020＝．16．在平面五边形ABCDE中，∠A＝60°，AB＝AE＝6，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC ＝DE＝6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且．（1）求角B的大小；（2）若，a+c＝4，求△ABC的面积．18．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E W型号手机销量6613811T型号手机销量1291364（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，PA＝PD＝AD＝2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．20．如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x﹣4）2+y2＝1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）做两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．21．已知函数f（x）＝ax2+bx+1在x＝3处的切线方程为y＝5x﹣8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝ke x恰有两个不同的实根，求实数k的值；（3）数列{a n}满足2a1＝f（2），a n+1＝f（a n），n∈N*，证明：①a n+1＞a n＞1②S＝＜2．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）在曲线C1上任取一点Q，连接OQ，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|＝4，求P点轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上任取一点M，在曲线C2．上任取一点N，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，已知正实数a，b，且，证明：k2m≥1．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，集合N＝{x|log2x＞1}，则下列结论中成立的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M∩（∁U N）＝M D．（∁U M）∩N＝N 【分析】可求出集合M，N，然后进行交集、并集和补集的运算即可．解：M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞2}；∴M∩N＝∅，M∪N＝{x|x＜0，或x＞2}≠N，∁U N＝{x|x≤2}，M∩（∁U N）＝M，∁U M＝{x|x≥0}，（∁U M）∩N＝N．故选：C．2．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若方程表示椭圆，则可得出﹣1＜m＜3或3＜m＜7，从而可得出“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的充分不必要条件．解：若方程表示椭圆，则，解得﹣1＜m＜3或3＜m＜7，故“﹣1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件．故选：A．3．复数z＝（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．解：由z＝＝＝﹣+i；∴z＝﹣+i，对应的点为（﹣，）在第二象限．故选：B．4．已知平面向量，满足，，且，则向量在方向上的投影是（）A．B．C．2D．1【分析】利用向量的数量积转化求解向量，在方向上的投影即可．解：设向量与的夹角是θ，则向量在方向上投影．故选：A．5．若实数x，y满足2x+5y＝8，则xy的最大值是（）A．8B．C．16D．【分析】结合已知，直接利用基本不等式即可求解最大值．解：因为，当且仅当2x＝5y时等号成立，又因为2x+5y＝8，所以10xy≤16，故xy的最大值是，故选：B．6．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.50≈0.1305）A．6B．12C．24D．48【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解：模拟执行程序，可得：n＝3，S＝sin120°＝，不满足条件S≥3.10，n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．8．“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的﹣个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）816357492 A．75B．65C．55D．45【分析】先理解“n阶幻方”的定义，再结合等差数列求和公式求解即可．解：由1，2，3，4…24，25的和为＝325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为＝65，故选：B．9．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A．+B．+C．+D．+【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知中的三视图，圆锥母线l＝＝2，圆锥的高h＝＝2，圆锥底面半径为r＝＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S＝πr2+r2sin120°＝π+，故几何体的体积为：V＝Sh＝×（π+）×2＝+，故选：D．10．将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C．D．【分析】利用辅助角公式先化简f（x），然后根据三角函数的图象平移关系求出g（x），结合函数的单调性进行求解即可．解：＝sin2x+＝sin（2x+）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[2（x+）+]+＝sin（2x+）+＝cos2x+，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z，则等k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣，0]，故选：A．11．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】记O为坐标原点．由题意可得F1（﹣c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：．联立，求出P的坐标，|PF1|＝b，|OP|＝a．推出PQ|＝2|PF1|，得到|PQ|＝2b，，通过余弦定理转化求解离心率即可．解：记O为坐标原点．由题意可得F1（﹣c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：．联立，解得，则，故|PF1|＝b，|OP|＝a．因为，所以|PQ|＝2|PF1|，所以|PQ|＝2b，，则．因为，所以，所以，整理得c4﹣4a2c2+3a4＝0，则e4﹣4e2+3＝0，解得．故选：B．12．对于任意x1，x2∈[1，+∞），当x2＞x1时，恒有a1n＜2（x2﹣x1）成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]【分析】对于任意x1，x2∈[1，+∞），当x2＞x1时，恒有a1n＜2（x2﹣x1）成立，可得alnx2﹣2x2＜alnx1﹣2x1成立，令f（x）＝alnx﹣2x，可知函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，求导，即可求出a的取值范围．解：对于任意x1，x2∈[1，+∞），当x2＞x1时，恒有a1n＜2（x2﹣x1）成立，即alnx2﹣2x2＜alnx1﹣2x1成立，令f（x）＝alnx﹣2x，∴f（x2）＜f（x1），∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴f′（x）＝﹣2≤0在[1，+∞）恒成立，∴a≤2x在[1，+∞）恒成立，∵当x≥1，2x≥2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（﹣x+2）6的展开式中的常数项为﹣76．【分析】解法一：由题意利用乘方的意义，二项展开式的通项公式，分类讨论求得（﹣x+2）6的展开式中的常数项．解法二：把﹣x看成一项，按照二项式定理展开，分析r的取值特征；再把展开，分析它的通项公式中k的取值特征，从而确定展开式中的常数项．解：解法一：（﹣x+2）6表示6个因式（﹣x+2）的乘积，故常数项的产生存在以下几种情况：①一个因式取，一个因式取﹣x，其余的4个因式都取2；②两个因式取，两个因式取﹣x，其余的2个因式都取2；③6个因式都取2；④有三个因式取，有三个因式取﹣x，故展开式中的常数项为﹣•••24+•••22+•26﹣•＝﹣480+360+64﹣20＝﹣76，故答案为：﹣76．解法二：（﹣x+2）6的展开式的通项公式为T r+1＝••2r，要使该项含有常数项，r必须为偶数，故r的取值为0，2，4，6．对于，它的通项公式为T k＝•（﹣1）k•x2k+r﹣6，要使该项为常数项，需2k+r﹣6＝0，故k的取值分别为3，2，1，0．故展开式的常数项为•20•（﹣）+•22•+•24•（﹣）+•26•1＝﹣20+360﹣480+64＝﹣76，故答案为：76．14．若函数，则不等式f（a）＜a的解集是（﹣1，+∞）．【分析】分类讨论分别求出a的值即可．解：由题意，得或，解得a≥0或﹣1＜a＜0，所以所求不等式的解集是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．15．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*），则a2019+a2020＝4041．【分析】依题意，可求得数列{a n﹣a n﹣1}是以3﹣2＝1为首项，1为公比的等比数列，继而可得数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求得答案．解：∵a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*）①，∴2a2＝2（a1+1）＝6，∴a2＝3．由①得：a n﹣1a n＝2（S n﹣1+1）（n≥2，n∈N*）②，①﹣②得：a1＝2，a n（a n+1﹣a n﹣1）＝2[（S n+1）﹣（S n﹣1+1）]＝2a n（n≥2，n∈N*），又a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣1＝2（n≥2，n∈N*）③，∴a n+2﹣a n＝2（n∈N*）④，④﹣③得：∴a n+2﹣a n+1＝a n﹣a n﹣1（n≥2，n∈N*），又a n≠a n﹣1（n≥2，n∈N*），∴数列{a n﹣a n﹣1}是以3﹣2＝1为首项，1为公比的等比数列，∴a n﹣a n﹣1＝1（n≥2，n∈N*），∴数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1．∴a2019+a2020＝2020+2021＝4041，故答案为：4041．16．在平面五边形ABCDE中，∠A＝60°，AB＝AE＝6，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC ＝DE＝6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是252π．【分析】根据折叠后四棱锥的性质及球的性质定出球心，结合勾股定理求出球的半径，进而可求．解：设△ABE的中心为O1，∵BC⊥CD，DE⊥CD，故四边形BCDE为矩形，设矩形BCDE的中心为O2，过O1作垂直于平面ABE的直线l1，过O2作垂直于平面BCDE的直线l2，则由球的性质可知，直线l1与l2的交点O为几何体ABCDE外接球的球心，取BE的中点F，连接O1F，O2F，由条件得O1F＝O2F＝3，∠O1FO2＝120°，连接OF，△OFO1≌△OFO2，从而OO1＝3，连接OA，则OA为所得几何体外接球的半径，在直角△AOO1中，AO1＝6，OO1＝3，可得＝27+36＝63，即外接球的半径为R＝OA＝3，故所得几何体外接球的表面积为S＝4π×63＝252π三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且．（1）求角B的大小；（2）若，a+c＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由得，即2a cos B+c cos B+b cos C＝0，由正弦定理可得，2sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C＝0，即2sin A cos B+sin（B+C）＝2sin A cos B+sin A＝sin A（2cos B+1）＝0，所以2cos B+1＝0，即，从而求出B；（2）由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac（1+cos B），所以13＝16﹣ac，所以ac＝3，再利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积；解：（1）∵，∴，即2a cos B+c cos B+b cos C＝0，由正弦定理可得，2sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C＝0，即2sin A cos B+sin（B+C）＝2sin A cos B+sin A＝sin A（2cos B+1）＝0，∵A，B∈（0，π），∴sin A≠0，∴2cos B+1＝0，即，又∵B∈（0，π），∴；（2）由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac（1+cos B），∵，a+c＝4，∴13＝16﹣ac，∴ac＝3，则△ABC的面积；18．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E W型号手机销量6613811T型号手机销量1291364（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）【分析】（I）根据相互独立事件的概率公式计算；（II）根据超几何分布列的概率公式求出X的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望；（III）根据方差的性质和变量间的关系即可得出D（η）．解：（I）设事件M1为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，设事件M2为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，则事件M1，M2相互独立，且P（M1）＝＝，P（M2）＝＝，∴抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为P＝++＝．（II）由表格可知W型号手机销售量超过T型号手机的店有2个，故X的肯取值有0，1，2．且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝．∴X的分布列为：X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．（III）∵D（ξ）＝s02＝m，η＝3ξ+4，∴S2＝D（η）＝9D（ξ）＝9m．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，PA＝PD＝AD＝2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥BQ，AD⊥PQ，利用线面垂直的判定，可得AD⊥平面PQB．；（Ⅱ）利用PA∥平面MQB，可得MN∥PA，利用比例关系，即可得到结论；（Ⅲ）证明PQ⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面MQB的法向量＝，取平面ABCD的法向量＝（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求得二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD．因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．又Q为AD中点，所以AD⊥BQ．因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以AD⊥PQ．又BQ∩PQ＝Q，所以AD⊥平面PQB．（Ⅱ）解：当时，PA∥平面MQB．下面证明：连接AC交BQ于N，连接MN．因为AQ∥BC，所以．因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面MQB∩平面PAC＝MN，所以MN∥PA，所以，所以，即．（Ⅲ）解：因为PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，所以PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Q﹣xyz．由PA＝PD＝AD＝2，则有A（1，0，0），，．设平面MQB的法向量为＝（x，y，z），由，且，，可得令z＝1，得．所以＝为平面MQB的一个法向量．取平面ABCD的法向量＝（0，0，1），则＝，故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．20．如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x﹣4）2+y2＝1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）做两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【分析】（1）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k HE ＝﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2＝﹣2y H＝﹣4，从而可求直线EF的斜率；法二：求得直线HA的方程为y＝x﹣4+2，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；（2）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x＝0，可得t＝4y0﹣（y0≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m﹣（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．解：（1）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k HE＝﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴＝﹣，∴＝﹣，∴y1+y2＝﹣2y H＝﹣4．∴k EF＝＝＝＝﹣．法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB＝60°，可得kHA ＝，kHB＝﹣，∴直线HA的方程为y＝x﹣4+2，联立方程组，得y2﹣y﹣4+2＝0，∵y E+2＝，∴y E＝﹣2，x E＝．同理可得y F＝﹣﹣2，x F＝，∴k EF＝﹣．（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵k MA＝，∴k HA＝，∴直线HA的方程为（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15＝0，同理，直线HB的方程为（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15＝0，∴（4﹣x1）y02﹣y1y0+4x1﹣15＝0，（4﹣x2）y02﹣y2y0+4x2﹣15＝0，∴直线AB的方程为（4﹣x）y02﹣yy0+4x﹣15＝0，令x＝0，可得t＝4y0﹣，（y0≥1），∵t′＝4+＞0，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当y0＝1时，t min＝﹣11．法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2＝m4﹣7m2+16，HA2＝m4﹣7m2+15．以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x﹣m2）2+（y﹣m）2＝m4﹣7m2+15，①⊙M方程：（x﹣4）2+y2＝1．②①﹣②得：直线AB的方程为（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m＝m4﹣7m2+14．当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m﹣（m≥1），∵t′＝4+＞0，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当m＝1时，t min＝﹣11．21．已知函数f（x）＝ax2+bx+1在x＝3处的切线方程为y＝5x﹣8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝ke x恰有两个不同的实根，求实数k的值；（3）数列{a n}满足2a1＝f（2），a n+1＝f（a n），n∈N*，证明：①a n+1＞a n＞1②S＝＜2．【分析】（1）求出原函数的导函数，依题意，，得到关于a，b的不等式组，求得a，b的值，则函数解析式可求；（2）方程f（x）＝ke x，即x2﹣x+1＝ke x，得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，记F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，利用导数求其极值，可知当k＝或k＝时，它们有两个不同交点，因此方程f （x）＝ke x恰有两个不同的实根；（3）①2a1＝f（2）＝3，得＞1，又，作差证明a n+1＞a n＞1．②由，得a n+1﹣1＝a n（a n﹣1），可得，即．由裂项相消法证明S＝＜2．【解答】（1）解：f（x）＝ax2+bx+1，f′（x）＝2ax+b，依题意，，即，解得，∴f（x）＝x2﹣x+1；（2）解：方程f（x）＝ke x，即x2﹣x+1＝ke x，得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，记F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，则F′（x）＝（2x﹣1）e﹣x﹣（x2﹣x+1）e﹣x＝﹣（x2﹣3x+2）e﹣x＝﹣（x﹣1）（x﹣2）e﹣x．令F′（x）＝0，得x1＝1，x2＝2．∴当x＝﹣1时，F（x）取极小值，当x＝2时，F（x）取极大值．可知当k＝或k＝时，它们有两个不同交点，因此方程f（x）＝ke x恰有两个不同的实根；（3）证明：①2a1＝f（2）＝3，得＞1，又，∴＞0，∴a n+1＞a n＞1．②由，得a n+1﹣1＝a n（a n﹣1），，即．∴＝＝＝＜2．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）在曲线C1上任取一点Q，连接OQ，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|＝4，求P点轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上任取一点M，在曲线C2．上任取一点N，求|MN|的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（I）C1化为普通方程为，化为极坐标方程为．设Q（ρ1，θ0），P（ρ，θ），则，即，∵，∴，∴（II）C2化为直角坐标方程为．化为参数方程为（φ为参数），|MN|的最小值为椭圆C2上的点N到直线C1，距离的最小值．设N（2cosφ，sinφ），则，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，已知正实数a，b，且，证明：k2m≥1．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥2，从而得到m＝2，再由，得2k2≥1，进而证明不等式成立．解：（Ⅰ）由f（x）≥6，得不等式|2x﹣7|+|2x﹣5|≥6，当时，不等式可化为﹣（2x﹣7）﹣（2x﹣5）≥6，解得；当时，不等式可化为﹣（2x﹣7）+（2x﹣5）≥6，即2≥6，无解；当时，不等式可化为（2x﹣7）+（2x﹣5）≥6，解得．综上，不等式f（x）≥6的解集是．（Ⅱ）∵f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|≥|2x﹣7﹣（2x﹣5）|＝2，当且仅当（2x﹣7）（2x﹣5）≤0时取等号，∴m＝2．∵，∴．∵，∴，∴2k2≥1，即k2m≥1．。

第Ｉ卷(选择题共30分)一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一顶符合题意，每小题3分，共30分）1. 4的算术平方根是A. 2B. －2C. ±2D. 162. 据统计部门报告，我市去年国民生产总值为238 770 000 000元，那么这个数据用科学记数法表示为A. 2. 3877×10 12元B. 2. 3877×10 11元C. 2 3877×10 7元D. 2387. 7×10 8元3．若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形4．把代数式322-+分解因式，结果正确的是x x y xy363A．(3)(3)+-B．22x x y x yx x xy y-+3(2)C．2x x y-3()-D．2(3)x x y5．已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为9 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是A．1 cm B．5 cm C．1 cm或5 cm D．0.5cm 或2.5cm6．若0(12=)3yx，则y+y+-+x-的值为A ．1B ．－1C ．7D ．－77．如图，是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是8．如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个9．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cmB ．35cm C ．8cmD ．53cm10. 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000m 的C 地去，先沿北偏东70︒方向到达B 地，然后再沿北偏西20︒方向走了500m 到达目••••ABCDyxO（第7题）（第8题）ABC北东（第10题）（第9题）剪去的地C ,此时小霞在营地A 的A. 北偏东20︒方向上B. 北偏东30︒方向上C. 北偏东40︒方向上D.北偏西30︒方向上☆绝密级 试卷类型A济宁市二○一一年高中阶段学校招生考试数 学 试 题第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共15分；只要求填写最后结果)11．在函数4y x =+中, 自变量x 的取值范围是 .12．若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是． 13. 如图，PQR ∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形.如果ABC ∆中任意一点M 的坐标为（a ，b ），那么它的对应点N 的坐标为.得分 评卷人(第13题)14．某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是.15．如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M（点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为.三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．（5分）计算：084sin 45(3)4-︒+-π+-17．（5分）上海世博会自2010年5月1日到10月31日，历时184天.预测参观人数达7000万人次.如图是此次盛会在5月中旬入园人数的统计情况.（1）请根据统计图完成下表．众数 中位数 极差 入园人数得分 评卷人得分 评卷人A BCD· ·MNα(第15题)/万（2）推算世博会期间参观总人数与预测人数相差多少？ 18．（6分）观察下面的变形规律：211⨯＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；……解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ； （2）证明你猜想的结论； （3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯. 19．（6分）如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .得分 评卷人得分 评卷人(1) 求证：BD CD =；(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.20．（7分）如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.得分 评卷人yABCEFD(第19题)得评卷21．（8分）分人某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.22．（8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.得分 评卷人(第22题)23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.得分 评卷人Axy B OCD数学试题参考答案及评分标准说明：解答题各小题只给出了一种解法及评分标准．其他解法，只要步骤合理，解答正确，均应给出相应的分数． 一、选择题题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B B D C C D B BC二、填空题11．4x ≥-； 12．5； 13．（a -，b -）； 14．16； 15．tan tan m n αα-⋅．三、解答题16．解：原式2224142=-⨯++ ··························································· 4分 5= ··············································································································· 5分 17．（1）24，24，16 ············································································ 3分 （2）解：17000184(2182232426293034)10-⨯⨯⨯++⨯++++ 700018.4249=-⨯70004581.62418.4=-=(万)答：世博会期间参观总人数与预测人数相差2418.4万 · 5分18．（1）111nn -+······················································································ 1分（2）证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n n n n +-+＝)1(1+n n . ···· 3分（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101＝12009120102010-=. ················································································· 5分 19．（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，∴BD CD =.∴BD CD =. ················································· 3分（2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. 4分理由：由（1）知：BD CD =，∴BAD CBD ∠=∠.∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =.······················································ 6分 由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ···· 7分20．解：（1）设A 点的坐标为（a ，b ），则k b a=.∴ab k =.∵112ab =,∴112k =.∴2k =.∴反比例函数的解析式为2y x=.······································· 3分(2) 由212y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2,1.x y =⎧⎨=⎩∴A 为（2，1）. ····························· 4分 设A 点关于x 轴的对称点为C ，则C 点的坐标为（2，1-）. 令直线BC 的解析式为y mx n =+. ∵B 为（1，2）∴2,12.m n m n =+⎧⎨-=+⎩∴3,5.m n =-⎧⎨=⎩∴BC 的解析式为35y x =-+. ·············································· 6分 当0y =时，53x =.∴P 点为（53，0）. ··························· 7分21.（1）解：设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设（20x -）米.根据题意得：35025020x x =-. ·············································· 2分 解得70x =.检验:70x =是原分式方程的解.答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米. ············· 4分 （2）解：设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队（1000y -）米.由题意，得10,70100010.50yy ⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩解得500700y ≤≤． ···················· 6分所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米； 方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米； 方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米． 8分22．（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EF EN EG=，12GF BC ==.∵DE EP =，∴DF FC =. ······················································ 2分∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=. ∴31155EM EF EN EG ===. ··························································· 4分（2）证明：作MH ∥BC 交AB 于点H ， ········································· 5分则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠，∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ································· 7分 ∴DP MN =. ····································································· 8分23．（1）解：设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =.∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. ……………………………3分(2) 答：l 与⊙C 相交.…………………………………………………………………4分证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）.∴223213AB =+=.设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=︒=∠. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BCOB AB =.∴62213CE -=.∴8213CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交.……………………………………………7分(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .(第22题)HBCDEMNA PAxyBOCD(第23题)EPQ可求出AC 的解析式为132y x =-+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）.…………………………………………10分。

高中数学测试题及答案doc原创一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是实数集的子集？A. 有理数集B. 整数集C. 无理数集D. 复数集答案：D2. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 3D. -3答案：A3. 一个圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 25答案：B4. 等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么a5的值为：A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A5. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的值为：A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B6. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标是：A. (2,-1)B. (2,1)C. (-2,1)D. (-2,-1)答案：A7. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么它的周长是：A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C8. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，那么a3的值为：A. 7B. 5C. 3D. 1答案：A9. 函数y=1/x的图像关于：A. 原点对称B. y轴对称C. x轴对称D. 直线y=x对称答案：A10. 一个正方体的体积为27，那么它的表面积是：A. 54B. 108C. 216D. 486答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若sinα=3/5，且α为锐角，则cosα=______。

答案：4/52. 一个数列的前三项为1，2，4，从第四项开始，每一项是前三项的和，那么这个数列的第五项是______。

答案：73. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=______。

答案：3x^2-34. 一个圆的直径为10，那么它的周长是______。

答案：π*105. 一个等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第五项是______。

答案：486三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求函数的顶点坐标和对称轴。

2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1. 设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. {2，3，5}D. {1，2，3，5，7，8} 【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B =故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2. (12)(2)i i ++=（ ）A. 45i +B. 5iC. -5iD. 23i + 【答案】B【解析】【分析】直接计算出答案即可.【详解】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3. 在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A. 2CD CA +B. 2CD CA -C. 2CD CA -D. 2CD CA +【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%【答案】C【解析】【分析】 记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A. 2种B. 3种C. 6种D. 8种【答案】C【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7. 已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. [2,)+∞C. (5,)+∞D. [5,)+∞【答案】D【解析】【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <-所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8. 若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.10. 已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得m y x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， n y =±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +） B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +） D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】【分析】 首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12. 已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2212a b +≥ B. 122a b -> C. 22log log 2a b +≥-D. ≤【答案】ABD【解析】【分析】 根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为()21212a b ab a b +=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________【答案】13【解析】【分析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可.【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯= 故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.14. 3C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163 【解析】 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x == 所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15. 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【答案】232n n -【解析】 【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+ 【解析】 【分析】利用3tan 5ODC ∠=求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，25OQ r =，27DQ =， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以32522125=， 解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=； 扇形AOB 的面积(221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： 由sin 3sin AB可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析： 据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：sin A ==，此时：sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =， 与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, ()1??22sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,则32=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +-- 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列(){}111n n n a a -+-的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可.【详解】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， 整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >==，数列的通项公式为：1222n nn a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22⨯列联表；（3）计算出2K，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率为640.64100=；（2）由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80(]75,11510 10 20合计74 26 100（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bcKa b c d a c b d-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22⨯列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20. 如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB 2，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//AD l ，利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，从而得到l ⊥平面PDC ；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m ，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos ,n PB <>，即可得到直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥ 因为CDPD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-， 因为QB 2222(1)(01)(10)21m m -+-+-=⇒=设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，则2222226cos ,2310(1)111n PB n PB n PB⋅<>====⨯++-⋅++ 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6|cos ,|n PB <>=所以直线PB 与平面QCD 6【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22. 已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数()f x 得导函数()’f x 的单调递增，当a=1时由()’10f =得()()11min f x f ==,符合题意；当a>1时，可证1()(1)0f f a ''<，从而()'f x 存在零点00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1x ≥恒成立；当01a <<时，研究()f 1.即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围. 解法二：利用指数对数的运算可将()111lna x lnx f x elna x e lnx +-≥++-≥+转化为,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,注意到()g x 的单调性，进一步等价转化为1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,利用导数求得()max h x ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得a 的取值范围.【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --, ∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln xf x ae x a -=-+,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x -'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<, ∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).解法二：()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥, 显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.。

高中原创试题出处及答案试题一：数学-几何题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C为直角，已知AB=5，AC=3，求BC的长度。

解题思路：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

即AB² = AC² + BC²。

答案：首先计算AC² = 3² = 9，然后将AB² - AC² = 5² - 9 = 25 - 9 = 16，得到BC² = 16。

因此，BC = √16 = 4。

试题二：物理-力学题题目：一个质量为2千克的物体，从静止开始自由下落，忽略空气阻力，求物体在下落2秒时的速度。

解题思路：根据自由落体运动的公式，v = gt，其中v是速度，g是重力加速度（取9.8 m/s²），t是时间。

答案：将已知数值代入公式，v = 9.8 m/s² × 2 s = 19.6 m/s。

物体在下落2秒时的速度为19.6米每秒。

试题三：化学-物质的量题题目：在标准状况下，1摩尔的氧气（O₂）的体积是多少？解题思路：根据摩尔体积的定义，在标准状况下（0℃，1大气压），1摩尔任何气体的体积都是22.4升。

答案：1摩尔氧气（O₂）的体积是22.4升。

试题四：生物-遗传题题目：如果一个生物体的基因型为AaBb，其中A和B是两对独立遗传的基因，求其后代出现aaBB的概率。

解题思路：根据孟德尔的分离定律和独立分配定律，Aa与Aa的后代出现aa的概率是1/4，Bb与Bb的后代出现BB的概率也是1/4。

答案：后代出现aaBB的概率是1/4 × 1/4 = 1/16。

试题五：历史-年代题题目：请列举中国历史上的“文景之治”时期，并简述其主要特点。

解题思路：文景之治是中国西汉时期的一个历史时期，由汉文帝和汉景帝统治。

答案：文景之治时期指的是公元前180年至公元前141年，主要特点是政治清明、经济繁荣、社会稳定，是中国封建社会早期的一个黄金时期。

一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知函数f(x)=2x²-3x+1，则f(-1)的值为（）A. -4B. -2C. 2D. 42. 若log₂(x-1)+log₂(x+1)=3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S₂=5，S₄=14，则a₁₀的值为（）A. 11B. 12C. 13D. 144. 在△ABC中，若sinA=3/5，cosB=1/2，则sinC的值为（）A. 1/10B. 1/5C. 3/10D. 2/55. 已知集合A={x|0<x<1}，B={x|-1<x<0}，则A∪B=（）A. {x|-1<x<0}B. {x|0<x<1}C. {x|-1<x<1}D. {x|x<-1或x>1}6. 若(1+i)²=a+bi，则a+b的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f(x)=x³-2x²-5x+6，则方程f(x)=0的三个根之和为（）A. -2B. -1C. 1D. 28. 若(cosθ+isinθ)⁴=a+bi，则a的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 29. 在平面直角坐标系中，点P(-1,2)关于直线y=x的对称点坐标为（）A. (1,-2)B. (2,-1)C. (-2,1)D. (-1,2)10. 已知双曲线C: x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为F₁(-c,0)，F₂(c,0)，若|F₁F₂|=8，则双曲线C的方程为（）A. x²/16-y²/12=1B. x²/12-y²/16=1C. x²/16+y²/12=1D. x²/12+y²/16=111. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-3)的值为（）A. -6B. -2C. 2D. 612. 已知椭圆C: x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点为F₁，F₂，若|F₁F₂|=6，且C的右顶点坐标为(5,0)，则椭圆C的方程为（）A. x²/25+y²/16=1B. x²/16+y²/25=1C. x²/25+y²/9=1D. x²/9+y²/25=1二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知log₂8=3，则log₄32=________。

空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:（2020·北京市八一中学高三三模）在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD ∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.1．（2020·安徽省高三二模）如图，在四面体ABCD 中，E 是线段AD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，AB BD =，BC DC EC ==.（1）证明：BD EC ⊥；（2）求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值.2．（2020·梅河口市第五中学高三三模）如图在四棱锥S ABCD -中底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，侧面SAB 为正三角形且平面SAB ⊥底面ABCD ，12AB BC AD ==，,E F 分别为,SD SB 的中点.（1）证明：//EC 平面SAB ；（2）求EC 与平面FCD 所成角θ的正弦值.3．（2020·新疆维吾尔自治区高三三模）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===．（Ⅰ）证明：平面ABF ⊥平面CDF ； （Ⅰ）求直线AF 与平面CDE 所成角的大小．4．（2020·陕西省榆林中学高三三模）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为155若存在，确定点C 的位置；若不存在，请说明理由.5．（2020·四川省新津中学高三二模）如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC ，ⅠABC ＝45o ，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1．（1）求PD 与BC 所成角的大小； （2）求证：BCⅠ平面PAC ； （3）求二面角A -PC -D 的大小．6．（2020·陕西省安康中学高三三模）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，ⅠCBB 1=3π，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形； （2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．7．（2020·上海高三二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小（结果用反三角函数值表示）8．（2020·湖南省高三三模）在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90,2DBC BC DE ︒∠==，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点.（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值.9．（2020·山东省高三二模）在四边形ABCP 中，2,3AB BC P π==∠=，2PA PC ==；如图，将PAC 沿AC 边折起，连结PB ，使PB PA =，求证：（1）平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为34，求二面角F PC A --的大小.10．（2020·北京八中高三二模）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅰ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅰ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:（2020·北京市八一中学高三三模）在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD ∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥.因为2,2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ， 因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥， 所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角， 因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()1313110,0,0,0,0,3,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0MN =.设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即300y z x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取3y =，则1z =，所以()0,3,1m =.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即3030v w u w ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取1w =，则3,3u v ==， 故()3,3,1n =，所以427cos ,=747m n m n m n⋅==⨯，因为二面角A NP M --的平面角为锐角，故二面角A NP M --的余弦值为277.1．（2020·安徽省高三二模）如图，在四面体ABCD 中，E 是线段AD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，AB BD =，BC DC EC ==.（1）证明：BD EC ⊥；（2）求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）取线段BD 的中点F ，连接EF 、CF .因为E 是线段AD 的中点，所以EF AB ∥.又AB BD ⊥，所以EF BD ⊥. 因为BC DC =，F 是BD 的中点，所以CF BD ⊥. 因为EF ⊂平面ECF ，CF ⊂平面ECF ，EFCF F =，所以BD ⊥平面ECF ，而CE ⊂平面ECF ，所以BD EC ⊥.（2）解法一：令BC DC EC a ===，则2AB BD a ==，那么1222EF AB a ==，1222CF BD a ==， 所以2222EF CF a EC +==，所以EF CF ⊥.又EF BD ⊥，CF BD ⊥，故可以以点F 为原点，射线FC 、FD 、FE 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则20,,02B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,0,02C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,,02D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22,,022BC a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022DC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，22,0,22EC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面BEC 、平面DEC 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =，由00m BC m EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11112202222022ax ay ax az ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则()1,1,1m =-. 由00n DC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222202222022ax ay ax az ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取111111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则()1,1,1n =. 所以2221111111cos ,1113m n m n m n ⋅⨯-⨯+⨯===++. 故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13. 解法二：令BC DC EC a ===，由已知及（1）可得：BE ED a ==，所以BCE ，CDE △均为棱长为a 的正三角形.取CE 中点G ，则BG CE ⊥，DG CE ，故BGD ∠为二面角B CE D --的平面角，在BEG 中，32BG DG a ==，2BD a =， 由余弦定理可得：2221cos 23BG DG BD BGD BG DG +-∠==-⨯，故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13. 2．（2020·梅河口市第五中学高三三模）如图在四棱锥S ABCD -中底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，侧面SAB 为正三角形且平面SAB ⊥底面ABCD ，12AB BC AD ==，,E F 分别为,SD SB 的中点.（1）证明：//EC 平面SAB ；（2）求EC 与平面FCD 所成角θ的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3131【解析】（1）如图所示：取AD 中点M ，连接EM CM ，，因为EM 为SAD 中位线，平面SAB= EM平面SAB EM M //所以平面EMC平面SAB⊂平面EMC，EC平面SAB.AB中点O，连接=，所以SA因为平面SAB⊥底面设122AB BC AD ===，(1,0,0)B ，(0,0,3)S ，13(,0,)22F ， (1,4,0)D -，13(,2,)22E -，(1,2,0)C . 所以13(,2,)22FC =-，(2,2,0)CD =-，33(,0,)22EC =-， 设平面FCD 的一个法向量为(),,m x y z =，则00FC m CD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即132022220x y z x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩， 可取3x =，解得3y =，5z =.则(3,3,5)m =，331sin 31331EC mEC m θ-===. 3．（2020·新疆维吾尔自治区高三三模）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===．（Ⅰ）证明：平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅰ）求直线AF 与平面CDE 所成角的大小．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ）π3． 【解析】（Ⅰ）证明：Ⅰ梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且梯形ADEF底面ABCD AD =， 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ADEF ，AB DF ∴⊥，在梯形ADEF 中，过F 作FG AD ⊥，垂足为G ，设2AD =，可得112AF EF DE AD ====， 则12AG =，32GF =， 2222233322FD FG GD ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222AF FD AD +=，即AF FD ⊥，又AB AF A =，且,AB AF ⊂平面ABF ，FD ∴⊥平面ABF ，而FD ⊂平面CDF ，Ⅰ平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅰ）解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，330,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，130,,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0DC =，130,,22DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，130,,22AF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，由2013022n DC x n DE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取1z =，得()0,3,1n =． 设直线AF 与平面CDE 所成角的大小为θ，则33sin cos ,122AF nAF n AF n θ⋅====⨯， 3πθ∴=，即直线AF 与平面CDE 所成角的大小为π3．4．（2020·陕西省榆林中学高三三模）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为155若存在，确定点C 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）证明：ⅠAB BC =，E 为AC 的中点，ⅠBE AC ⊥又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，ⅠPA BE ⊥ⅠPA AC A ⋂=ⅠBE ⊥平面PACⅠBE ⊂平面BEFⅠ平面BEF ⊥平面PAC （2）解：如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为,AC PC 的中点，Ⅰ//EF PA ，ⅠEF BE ⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，Ⅰ,,EB EC EF 两两垂直，分别以,,EB EC EF 方向为,,x y z 轴建立坐标系.则()0,2,0A -，()0,2,2P -，()23,0,0B ，()0,2,0C ，设()23,2,2BG BP λλλλ==--，[]0,1λ∈所以()()()231,21,2AG AB BG λλλ=+=-- ()23,2,0BC =-，()0,4,2PC =-，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，则 ·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩，2320420x y y z ⎧-+=⎪⇒⎨-=⎪⎩，令1x =，则3y =，23z =， Ⅰ()1,3,23n = 由已知15?5·AG n AG n = ()221543541614λλ⇒=-+ 12λ⇒=或1110（舍去） 故12λ=故线段PB上存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为155，此时G为线段PB的中点.5．（2020·四川省新津中学高三二模）如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，ⅠABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．（1）求PD与BC所成角的大小；（2）求证：BCⅠ平面PAC；（3）求二面角A-PC-D的大小．【答案】（1）60o（2）见解析．（3）60o【解析】（1）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD="CD"所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH所以ⅠPDH为PD与BC所成角因为四边形，ABCD为直角梯形，且ⅠABC=45o，所以ⅠDAⅠAB又因为AB=2DC=2，所以AD=1，因为RtⅠPAD、RtⅠDAH、RtⅠPAH都为等腰直角三角形所以PD=DH=PH=2，故ⅠPDH=60o（2）连接CH，则四边形ADCH为矩形，ⅠAH=DC 又AB=2，ⅠBH=1在RtⅠBHC中，ⅠABC=45o ，ⅠCH=BH=1，CB=2ⅠAD=CH=1，AC=2ⅠAC 2+BC 2=AB 2ⅠBCⅠAC,又PA 平面ABCDⅠPAⅠBCⅠPA∩AC=AⅠBCⅠ平面PAC（3）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，ⅠAP =(0，0，1)，PC =(1，1，-1)设m=(a ，b ，c)为平面PAC 的一个法向量， 则0{0m AP m PC ⋅=⋅=，即0{0c a b c =+-= 设1a =，则1b =-，Ⅰm=(1，-1，0)同理设n=(x ，y ，z) 为平面PCD 的一个法向量，求得n=(1，1，1)Ⅰ1110011cos ,222m n m n m n ⋅⨯-⨯+⨯〈〉===⋅⨯所以二面角A -PC -D 为60o6．（2020·陕西省安康中学高三三模）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，ⅠCBB 1=3π，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形；（2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）217- 【解析】（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥，又因为1112BE BB ==，2BC =，3EBC π∠=，所以3CE =， 因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，又四边形11ACC A 为平行四边形，则四边形11ACC A 为矩形；（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),(3,0,0)A A B C ，平面1EB C 的法向量(0,0,1)m =，设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =，由1(,,)(3,1,0)03n CB x y z y x ⊥⇒⋅-=⇒=，由11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥⇒⋅=⇒+=， 令13,3x y z =⇒==-，即(1,3,3)n =-，所以，321cos ,717m n -<>==-⨯， 所以，所求二面角的余弦值是217-.7．（2020·上海高三二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）证明见解析 （2）2arccos 3【解析】（1）Ⅰ底面ABC 是等腰直角三角形，且AC BC =，1CC C =⊥平面ACC ）以C 为原点，直线(0,2,0CB =()10,2,2CB =，(2,0,1CD =设平面1B CD 的一个法向量(,,n x y z =则122020n CB y z n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，1=，得(1,2,2n =-，设二面角11B CD C --的平面角为423CB nCB n ⋅=⨯⋅由图形知二面角1B CD -11CD C --的大小为8．（2020·湖南省高三三模）在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90,2DBC BC DE ︒∠==，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点.（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）306. 【解析】（1）证明：取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，如图所示因为//GF BC ，且12GF BC =， 又因为//DE BC ，且12DE BC =，故//GF DE ，且GF DE =，即四边形GFDE 为平行四边形，故//GE DF ，CE AE =，G 为AC 中点，GE AC ∴⊥；又//GE DF ，DF AC ∴⊥.（2）平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED 平面ABC BC DB AC =⊥，，DB ∴⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，DB AC ∴⊥.由（1）知,DF AC BD DF D ⊥⋂=，,BD DF ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面ABD ，而AB 平面ABD ，AC AB ∴⊥，2AB AC ==，22,2BC DE ∴==.取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则//OE DB ，DB ⊥平面ABC ，OE ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，故OE BC OE OA ⊥⊥，，,AB AC OA BC =∴⊥，∴分别以OA 、OB 、OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图所示3,1CE AE OE ==∴=，则(0,2,1)D ，(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C -，故(2,2,1)AD =-，(2,0,1)AE =-，(2,2,0)CA =，易知平面ABD 的一个法向量为(2,2,0)CA =，设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令2,1,0z x y =∴==， (1,0,2)n ∴=.设二面角B AD E --的为θ，则6|cos ||cos ,|6||||n CAn CA n CA θ⋅=〈〉==， 2630sin 166θ. ∴二面角B AD E --的正弦值为306. 9．（2020·山东省高三二模）在四边形ABCP 中，2,3AB BC P π==∠=，2PA PC ==；如图，将PAC沿AC 边折起，连结PB ，使PB PA =，求证：（1）平面ABC ⊥平面PAC ；ABC中，∴为等腰直角三角形，且ABC取AC的中点O∴⊥OB AC OP,=OB OP1,2∴=PB OBOP OB∴⊥=，OP AC O∴⊥平面PACOBOB⊂平面ABC..平面ABC⊥平面（2）以OA-(0,1,0),(0,1,3),(0,2,0)CP CA =-=-设(01)AF mAB m =<<.则(,CF CA AF m =+=设平面PFC 的一个法向量为(,,)x y z =n .则00n CF n CP ⋅=⋅= (3mx y m y z +-+=AP 与平面||||2n AP n AP ⋅∴=整理得234m m +2又OB 为平面PAC 的一个法向量3cos ,2n OBn OB n OB ⋅∴〈〉== ,6n OB π∴〈〉=，二面角F PA C --的大小为6π.10．（2020·北京八中高三二模）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅰ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅰ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅰ）π3（Ⅰ）不存在，见解析【解析】（Ⅰ）证明:因为ⅠPAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅰ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,2,3),(1,0,3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=-，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 令1z =，则 (3,01)m =，，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，(m nm n ⋅=EFG 与平面ABCD ）假设线段PA 上存在点m 所成的角为PM PA λ=，λ∈,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以()()2,4,231GM λλ=-- 所以2cos cos ,324GM m πκ==220λλ=，，方程无解，所以，不存在这样的点。

2022-2023学年届全国名校高三数学模拟试题分类汇编(上) 06 不等式 一、选择题1、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B k=1 C ．k ≤ 1 D ．k＜1 答案：D2、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件； 命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A “p 或q ”为假B “p 且q ”为真C p 真q 假D p假q 真 答案：D3、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)函数∑=-=20071)(n n x x f 的最小值为（ ）A. 1003×1004B. 1004×1005C. 2006×2007D. 2005×2006答案：A4、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)若实数z y x ,,满足1222=++z y x ，则zx yz xy ++的取值范围是（ ）（A ）]1,1[- （B ）]21,21[- （C ）]21,1[- （D ）]1,21[- 答案：D5、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a 答案：D6、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)设a 、b 、c 都是正数，那么三个数ba 1+、c b 1+、ac 1+（ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案：D7、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)已知d c b a 、、、均为正数,bd c da d c c db a bc b a a s +++++++++++=,则有（ ）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s 答案：B8、(2022-2023学年年重庆一中高2022-2023学年级第一次月考)若()sin f x x x λ=+是区间[1,1]-上的减函数，且2()1f x t t λ≤++在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围（ ）A ．12t <-B ．1t ≤-C ．1t >-D ．2t ≥- 答案：B9、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)已知120a a >>，则使得2(1)1i a x -<(1,2)i =都成立的x 范围的充要条件是A ．2222(,)a a - B ．12(0,)a C ．1122(,)a a -D.22(0,)a答案：B10、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)设函数lg ||(0)()21(0)xx x f x x <⎧=⎨-≥⎩ ，若0()0f x >，则0x 的取值范围是A.(,1)(1,)-∞-+∞B.(,1)(0,)-∞-+∞C.(1,0)(0,1)-D.(1,0)(0,)-+∞答案：B11、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)关于x 的不等式22cos lg(9)cos lg(9)x xx x +-<+-的解集为A．(- B ．(3,3)- C．(3,(22,3)--D ．()(,22)22ππ--答案：D12、(安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考)不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．)2,2(-B ．]2,2(-C ．]2,(-∞D ．)2,(--∞答案：B13、(安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考)设奇函数()f x 在（0，+∞）上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 ( ) A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,0)(0,1)- 答案：D14、(甘肃省兰州一中2022-2023学年—2022-2023学年高三上学期第三次月考)设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为 （ ） A ．),3()2,1(+∞⋃ B ．),10(+∞C ．),10()2,1(+∞⋃D ．（1，2）答案：C15、(甘肃省兰州一中2022-2023学年—2022-2023学年高三上学期第三次月考)对于满足40≤≤p 的所有实数p ，使不等式x p x px x 都成立的342-+>+的取值范围（ ）A ．13-<>x x 或B ．13-≤≥x x 或C ．31<<-xD ．31≤≤-x答案：A16、(广东省深圳中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度高三第一学段考试)设a>1，若对于任意的]2,[a a x ∈，都有],[2a a y ∈满足方程,3log log =+y x a a 这时a 的取值集合为（）A ．}21|{≤<a aB ．}2|{≥a aC ．}32|{≤≤a aD ．}3,2{答案：B17、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)设b ,a 是两个实数，且b a ≠在①2223b ab a >+；②322355b a b a b a +>+；③)1(222--≥+b a b a ；④2>+abb a 这四个式子中，恒成立的有A.1个B.2个C.3个 D 4.个 答案：A18、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)已知函数)0(18),20(cos 4cos ),0(42321>+=<<+=≠+=x x xy x x x y x x x y π)20)(tan 221)(cot 1(4π<<++=x x x y ，其中以4为最小值的函数个数是A.0B.1C.2D.3 答案：A19、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)若不等式0lg ])1[(<--x x t x 对任意的正整数t 恒成立，则实数x 的取值范围是A.}1|{>x xB.}210|{<<x x C.}1210|{><<x x x 或 D.}1310|{><<x x x 或 答案：C20、(四川省成都市高2022-2023学年届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个命题中正确的是A 、若a 、b ∈R ，则|a |－|b |＜|a ＋b |B 、若a 、b ∈R ，则|a －b |＜|a |＋|b |C 、若实数a 、b 满足|a －b |＝|a |＋|b |，则ab ≤0D 、若实数a 、b 满足|a |－|b |＜|a ＋b |，则ab ＜0 答案：C21、(湖南省衡阳市八中2022-2023学年届高三第三次月考试题)设函数()sin ,[,]22f x x x x ππ=∈-，若12()()f x f x >，则下列不等式必定成立的是( ). A ．120x x +>B ．2212x x >C ．12x x >D ． 12x x <答案：B22、(江西省崇仁一中2022-2023学年届高三第四次月考)若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab答案：B23、(江西省崇仁一中2022-2023学年届高三第四次月考)已知函数f (x )满足条件①f (x )＞0；②对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )；③x ＞0时，0＜f (x )＜1．则不等式f －1(x 2－4x ＋3)＞f－1(3)的解集为（）A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(0，4)C ．(0，1)∪(3，4)D ．(－∞，0)∪(3，4)答案：C24、(揭阳市云路中学2022-2023学年届高三数学第六次测试)不等式3112x x-≥-的解集是（ ）A ．324x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x <答案：B ．原不等式等价于(43)(2)020x x x --≤-≠且25、(山东省平邑第一中学2022-2023学年届高三元旦竞赛试题)“0,0x y ><”是“222x y xy+≤-”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A26、(山东省平邑第一中学2022-2023学年届高三元旦竞赛试题)已知p>0,q>0,p,q 的等差中项是12，x=p+,1,1q q y p +=则x+y 的最小值为（ ）A. 6B. 5 C 4 D 3 答案：B27、(山东省德州市宁津高中2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第一次月考)若011<<ba ，则下列结论不正确．．．的是 A ．||||||b a b a -=-B ．22b a < C ．2>+baa b D ．2b ab < 答案：A28、(山东省德州市宁津高中2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第一次月考)已知函数11()()12x f x xa =-+（a >0）,若()f x ≤0恒成立,则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞） 答案：D29、(陕西省西安铁一中2022-2023学年届高三12月月考)若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)23,2[-B ．]23,2(-C ．)23,3[-D ．)23,3(-答案：A30、(上海市张堰中学高2022-2023学年届第一学期期中考试)设z y x >>，N n ∈，且zx nz y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5答案：C31、(西南师大附中高2022-2023学年级第三次月考)已知4a b ab +=，a 、b 均为正数，则使a b m +>恒成立的m 的取值范围是（ ）A ．m < 9B ．9m ≤C ．m < 8D ．8m ≤答案：A32、(福建省福州三中高三年级第二次月考)设|13|)(-=x x f ，a b c <<且)()()(b f a f c f >>，则下列关系中一定成立的是（ ）A ．b c 33>B ．a b 33>C ．233>+a cD ．233<+a c答案：D33、(福建省福州三中高三年级第二次月考)已知()()()1f x x a x b =--+，n m ,是方程0)(=x f 的两根，且a ＜b ，m ＜n ，则a ．b ．m ．n 的大小关系是（ ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b答案：B34、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)给出以下4个结论，其中正确的个数为（ ） A ．0 B ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ①函数2log (sin cos )y x x =-不是周期函数； ②函数5sin(3)2y x π=+既不是奇函数也不是偶函数； ③已知4个数a 、b 、c 、d ，满足ad bc =，则a 、b 、c 、d 成等比数列； ④1023101(12)1222212⋅-+++++=-．答案：A35、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)关于210,x ax ax x R -+>∈的不等式对恒成立的充要条件是（ ）A ．0＜a ＜4B ．a ＝0或4 Ｃ．0≤a ≤4 Ｄ．0≤a ＜4 答案：D36、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)已知实数对2222(,)326(,)2346x y x y x f x y x y x y +==+--满足，则的取值范围是（ ） A ．55[22-+ B ．[5,10] Ｃ．1,1]Ｄ．[7-+答案：A37、(广东省高明一中2022-2023学年届高三上学期第四次月考)同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意,[0,1]a b ∈，若b a ≠，有)2(2)()(ba fb f a f +<+的函数是（ ） A ．||log x y a = B ．x y 2cos =C ．)3tan(π-=x yD ．3x y =答案：C天天向上独家原创11 / 11 38、(黑龙江省双鸭山一中2022-2023学年-2022-2023学年学年上学期期中考试)-1()f x 是函数+1()=2x f x 的反函数，若-1-1()+()=0f a f b ，则a+b 的最小值是（ ）A.1B. 2C.答案：D。