2019-2020学年山西省实验中学高三下学期3月摸底(理科)数学试卷 含解析

2019-2020学年高三第二学期3月摸底（理科）数学试卷一、选择题1．已知复数Z＝，则|z|＝（）A．B．C．1D．22．已知命题p：∃x∈R，x2+1＜2x；命题q：不等式x2﹣2x﹣1＞0恒成立．那么（）A．“￢p”是假命题B．q是真命题C．“p或q”是假命题D．“p且q”是真命题3．已知，，则＝（）A．B．C．﹣7D．74．如图为由三棱柱切割而得到的几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．25．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a2），（a＞0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．200B．300C．400D．6006．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？7．将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y种不同的方案，其中x+y的值为（）A．1269B．1206C．1719D．7568．ω＞0函数在上单调递增，则ω的范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）9．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．10．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C 的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 11．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a ＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）12．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A，B为其左右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，则m＝k1k2k3的取值范围为（）A．（0，3）B．（0，）C．（0，）D．（0，8）二、填空题（共4小题）13．若a＝，则二项式展开式中含x的项的系数是．14．若实数x，y满足如果目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m＝．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sin A，角A的平分线AD交BC于D，，，则b＝．16．如图，已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为中点，点D，E分别在半径OA，OB上若CD2+CE2+DE2＝，则OD+OE的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}为单调递增数列，S n为其前n项和，．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，T n为数列{b n}的前n项和，证明：．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且．（1）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN．（2）当λ＝1时，求平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值．19．2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]频数4369628324（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520．已知椭圆C：的焦点F1的坐标为（﹣c，0），F2的坐标为（c，0），且经过点，PF2⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数有两个极值点x1，x2（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x1）+f（x2）＞2．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．23．已知关于x的不等式|x﹣1|+|4﹣x|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求函数取得最小值时的m的值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数Z＝，则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z＝，由复数的模长公式可得答案．解：化简得Z＝＝＝•＝•＝•＝，故|z|＝＝，故选：B．2．已知命题p：∃x∈R，x2+1＜2x；命题q：不等式x2﹣2x﹣1＞0恒成立．那么（）A．“￢p”是假命题B．q是真命题C．“p或q”是假命题D．“p且q”是真命题【分析】根据基本不等式可知x2+1≥2x，而容易发现x＝0时，x2﹣2x﹣1＜0，也可通过判别式的取值说明不等式x2﹣2x﹣1＞0不恒成立，从而判断出p，q都是假命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找到正确选项．解：根据基本不等式，x2+1≥2x；∴命题p是假命题；x＝0时，x2﹣2x﹣1＝﹣1＜0；∴命题q是假命题；∴￢p是真命题，“p或q”是假命题，“p且q”是假命题；∴C正确．故选：C．3．已知，，则＝（）A．B．C．﹣7D．7【分析】先利用平方关系求得，进而求得，再利用正切的差角公式求解即可．解：∵，，∴，∴，∴．故选：A．4．如图为由三棱柱切割而得到的几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，画出直观图，求出它的体积．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，其直观图如图所示；且该三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，其高为2，∴该几何体的体积为V几何体＝×22×sin60°×2﹣××22×sin60°×2＝．故选：C．5．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a2），（a＞0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在70分到110分之间的人数概率，即可得成绩不低于110分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于110分的学生数．解：∵成绩ξ～N（90，a2），∴其正态曲线关于直线x＝90对称，又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的（1﹣）＝，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：．故选：A．6．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故选：A．7．将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y种不同的方案，其中x+y的值为（）A．1269B．1206C．1719D．756【分析】根据题意，易得6名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．解：6名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x＝36＝729种，当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（++）＝90种，再排列有＝6种，所以y＝90×6＝540种，所以x+y＝1269．故选：A．8．ω＞0函数在上单调递增，则ω的范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）【分析】利用三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．解：＝sin cos＝sin（ωx），由上单调递增，∴ω≤，得0＜ω≤，故选：B．9．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，球的半径r＝OC＝CH＝．在RT△SHO中，OH＝OC＝OS，∴∠HSO＝30°，求得SH＝OS cos30°＝1，所以体积V＝Sh＝＝故选：D．10．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C 的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN＝OM，则θ1＝∠SEN，θ2＝∠SEO，θ3＝∠SMO．显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．∵tanθ1＝＝，tanθ3＝，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3＝，sinθ2＝，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故选：D．11．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a ＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【分析】利用f（x）的奇偶性和周期性，作出f（x）的函数图象，根据交点个数列不等式组，即可得出a的范围．解：∵f（x）＝f（x+4），∴f（x）周期为4，利用f（x）的奇偶性和周期性作出f（x）的函数图象如下：∵关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a＞1）在区间（﹣2，6]内恰有三个不同的实数根，∴，解得＜a＜2．故选：D．12．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A，B为其左右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，则m＝k1k2k3的取值范围为（）A．（0，3）B．（0，）C．（0，）D．（0，8）【分析】由已知条件推导出b＝，k1k2＝＝＝＝3，0＜k3＜，由此能求出m＝k1k2k3的取值范围．解：∵双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e＝，∴b＝＝，设P（x，y），∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点，∴，∵A，B为双曲线C的左右顶点，点O为坐标原点，PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，∴k1k2＝＝＝＝3，又∵双曲线渐近线为y＝，∴0＜k3＜，∴0＜m＝k1k2k3＜3，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若a＝，则二项式展开式中含x的项的系数是240．【分析】由定积分的运算可得a＝2，代入由二项式定理可得的通项T k+1＝x3﹣k，令3﹣k＝1，可得k＝2，可得含x的项系数为：＝240解：由题意可得，a＝＝﹣cos x＝2，故＝，其二项展开式的通项T k+1＝＝x3﹣k，令3﹣k＝1，可得k＝2，故可得含x的项系数为：＝240故答案为：24014．若实数x，y满足如果目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m＝5．【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y＝2x﹣1与直线x+y＝m的交点使目标函数z＝x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y＝﹣1得∴m＝5故答案为：515．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sin A，角A的平分线AD交BC于D，，，则b＝1．【分析】根据三角形的面积公式可得c＝2b，由角分线定理可知，，，分别根据余弦定理，列出方程，即可求出b的值．解：，可知c＝2b，即．由角分线定理可知，，，在△ABC中，，在△ABD中，，即，解得b＝1．故答案为：116．如图，已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为中点，点D，E分别在半径OA，OB上若CD2+CE2+DE2＝，则OD+OE的取值范围是．【分析】如图所示，连接OC．在△COD与△COE、△ODE中，由余弦定理可得：CD2＝OD2+1﹣2OD cos60°＝OD2+1﹣OD，CE2＝OE2+1﹣2OE cos60°＝OE2+1﹣OE．DE2＝OD2+OE2﹣2OD•OE cos120°＝OD2+OE2+OD•OE，利用CD2+CE2+DE2＝，可得＝2（OD+OE）2﹣（OD+OE）﹣3OD•OE+2，利用0≤，化简解出即可．解：如图所示，连接OC．∵C为中点，圆心角为120°的扇形AOB，∴∠COD＝∠COE＝60°．在△COD与△COE中，由余弦定理可得：CD2＝OD2+1﹣2OD cos60°＝OD2+1﹣OD，CE2＝OE2+1﹣2OE cos60°＝OE2+1﹣OE．DE2＝OD2+OE2﹣2OD•OE cos120°＝OD2+OE2+OD•OE∵CD2+CE2+DE2＝，∴＝2OD2﹣OD+2OE2﹣OE+2+OD•OE＝2（OD+OE）2﹣（OD+OE）﹣3OD•OE+2，∵0≤，设OD+OE＝x，化为2x2﹣x，解得≤．∴OD+OE的取值范围是．故答案为：．．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}为单调递增数列，S n为其前n项和，．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，T n为数列{b n}的前n项和，证明：．【分析】（1）根据数列的递推公式可得{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求出通项公式，（2）根据裂项求和和放缩法即可证明．解：（1）当n＝1时，2S1＝2a1＝a12+1，所以（a1﹣1）2＝0，即a1＝1，又{a n}为单调递增数列，所以a n≥1．由2S n＝a n2+n得2S n+1＝a n+12+n+1，所以2S n+1﹣2S n＝a n+12﹣a n2+1，整理得2a n+1＝a n+12﹣a n2+1，所以a n2＝（a n+1﹣1）2．所以a n＝a n+1﹣1，即a n+1﹣a n＝1，所以{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n＝n．证明：（2）＝＝﹣，所以T n＝（﹣）+（﹣）+…+[﹣]＝﹣＜．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且．（1）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN．（2）当λ＝1时，求平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值．【分析】（1）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出的坐标，由可得AM⊥PN；（2）当λ＝1时，分别求出面ABC的法向量与平面PMN的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0），，，．∵，∴∴无论λ取何值，AM⊥PN；（2）解：λ＝1时，P（1，0，2）∴，而面ABC的法向量，设平面PMN的法向量为，则，可取．设α为平面PMN与平面ABC所成二面角．∴．∴平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值是．19．2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]频数4369628324（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成2×2列联表，求出K2≈12.210＞6.635，从而有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表，得到设备改造前产品为合格品的概率和设备改造后产品为合格品的概率，从而求出设备改造后性能更优．（3）由表1知从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，三等品的频率为，由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的2×2列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将2×2列联表中的数据代入公式计算得：＝≈12.210．∵12.210＞6.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为．由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480．P（X＝240）＝，P（X＝300）＝，P（X＝360）＝，P（X＝420）＝，P（X＝480）＝．∴随机变量X的分布列为：X240300360420480P∴．20．已知椭圆C：的焦点F1的坐标为（﹣c，0），F2的坐标为（c，0），且经过点，PF2⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）由PF2⊥x轴，P（1，），可得c＝1，+＝1，a2﹣b2＝c2＝1，解得即可（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），设直线l的方程为x＝my﹣1，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互垂直的性质可得点M的坐标，代入椭圆方程若有解即可．解：（1）∵PF2⊥x轴，P（1，），∴c＝1，+＝1，a2﹣b2＝c2＝1，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为+＝1．（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），设直线l的方程为x＝my﹣1，由得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，△＝36m2+36（3m2+4）＞0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴x1+x2＝my1﹣1+my2﹣1＝m（y1+y2）﹣2＝﹣2＝﹣，∴AB的中点坐标为（﹣，），∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：∴x0＝，y0＝代入椭圆C的方程得：27m4﹣24m2﹣80＝0解得m2＝，∴存在符合条件的直线l的方程为：y＝±（x+1）．21．已知函数有两个极值点x1，x2（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x1）+f（x2）＞2．【分析】（Ⅰ）求出导函数f'（x）＝e x﹣x﹣a．设g（x）＝e x﹣x﹣a，通过导函数判断函数的单调性，转化求解函数最小值，当函数f（x）有两个极值点时，求解a的取值范围．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1，x2为g（x）＝0的两个实数根，x1＜0＜x2，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．下面先证x1＜﹣x2＜0，只需证g（﹣x2）＜g（x1）＝0．设h（x）＝e﹣x﹣e x+2x，x＞0，利用导函数判断函数的单调性，要证f（x1）+f（x2）＞2，只需证．设函数k（x）＝e x+e﹣x﹣x2﹣2，x∈（0，+∞），利用导函数判断函数的单调性转化求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵，∴f'（x）＝e x﹣x﹣a．设g（x）＝e x﹣x﹣a，则g'（x）＝e x﹣1．令g'（x）＝e x﹣1＝0，解得x＝0．∴当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．∴g（x）min＝g（0）＝1﹣a．当a≤1时，g（x）＝f'（x）≥0，∴函数f（x）单调递增，没有极值点；当a＞1时，g（0）＝1﹣a＜0，且当x→﹣∞时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→+∞．∴当a＞1时，g（x）＝f'（x）＝e x﹣x﹣a有两个零点x1，x2．不妨设x1＜x2，则x1＜0＜x2．∴当函数f（x）有两个极值点时，a的取值范围为（1，+∞）．…………………（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1，x2为g（x）＝0的两个实数根，x1＜0＜x2，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．下面先证x1＜﹣x2＜0，只需证g（﹣x2）＜g（x1）＝0．∵，得，∴．设h（x）＝e﹣x﹣e x+2x，x＞0，则，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）＝0，∴h（x2）＝g（﹣x2）＜0，∴x1＜﹣x2＜0．∵函数f（x）在（x1，0）上也单调递减，∴f（x1）＞f（﹣x2）．∴要证f（x1）+f（x2）＞2，只需证f（﹣x2）+f（x2）＞2，即证．设函数k（x）＝e x+e﹣x﹣x2﹣2，x∈（0，+∞），则k'（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x．设φ（x）＝k'（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，则φ'（x）＝e x+e﹣x﹣2＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）＝0，即k'（x）＞0．∴k（x）在（0，+∞）上单调递增，∴k（x）＞k（0）＝0．∴当x∈（0，+∞）时，e x+e﹣x﹣x2﹣2＞0，则，∴f（﹣x2）+f（x2）＞2，∴f（x1）+f（x2）＞2．………………………请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7＝0直线C2的方程为y＝，极坐标方程为tanθ＝；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7＝0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝2+2，ρ1ρ2＝7，∴+＝＝．23．已知关于x的不等式|x﹣1|+|4﹣x|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求函数取得最小值时的m的值．【分析】（Ⅰ）依题意，m＞（|x﹣1|+|4﹣x|）min，在由绝对值三角形不等式的性质可得答案；（Ⅱ）由基本不等式的取等条件即可求得m的值．解：（Ⅰ）∵关于x的不等式|x﹣1|+|4﹣x|＜m的解集不是空集．∴m＞（|x﹣1|+|4﹣x|）min根据绝对值三角形不等式，有|x﹣1|+|4﹣x|≥|x﹣1|+|（4﹣x）|＝3．当且仅当|x﹣1|+|4﹣x|≥0，即1≤x≤4时取等号，故实数m的取值范围为m＞3．（Ⅱ）由①得m﹣3＞0，则＝，∴当且仅当，即m＝5＞3时取等号，所以函数取得最小值时m的值为5．。