梁的强度与刚度

梁的强度和刚度计算强度是指梁抵抗外力的能力。

梁的强度计算一般包括了两个方面：弯曲强度和剪切强度。

其中，弯曲强度是指梁在受到弯曲作用时的承载能力，剪切强度是指梁在受到剪切力作用时的承载能力。

弯曲强度的计算通常基于弹性理论，其中最常用的方法是根据梁的截面形状和材料的弹性模量来计算梁的截面抵抗力矩。

弹性模量是材料的一种力学性质，它衡量了材料在受力后产生的应变程度。

根据梁的截面形状和边界条件，可以计算出梁在弯曲作用下的最大应力和最大应变。

将最大应力与材料的弯曲强度进行比较，就可以判断梁是否满足设计要求。

剪切强度的计算也是基于弹性理论。

梁在受到剪切力作用时，梁内部会发生剪切变形。

剪切强度的计算包括两个方面：剪切应力和剪切变形。

剪切应力是指剪切力对梁截面的作用，剪切变形是指梁截面产生的剪切位移。

剪切强度的计算要求同时满足两个条件：剪切应力小于材料的剪切强度，剪切变形小于允许的变形限制。

刚度是指梁在受到力作用后的变形程度。

梁的刚度决定了梁的承载能力和结构的稳定性。

刚度的计算通常考虑梁的弹性变形和塑性变形两个方面。

弹性变形是指梁在小荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的截面形状、材料的弹性模量和梁的长度等因素。

塑性变形是指梁在大荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的屈服强度、截面形状和材料的塑性性质等因素。

根据梁的受力情况，可以计算出梁的弯曲刚度和剪切刚度。

弯曲刚度表示梁在受到弯曲作用时的抵抗变形能力，剪切刚度表示梁在受到剪切力作用时的抵抗变形能力。

在梁的强度和刚度计算中，需要根据具体的工程要求和设计规范进行。

梁的截面形状、材料的性质和受力情况都会对强度和刚度的计算结果产生影响。

因此，工程师需要根据具体情况选择适当的计算方法和模型进行计算。

同时，还需要进行合理的验算和对比，确保梁的设计满足强度和刚度的要求。

强度与刚度的区别
强度和刚度是物理学中两个不同的概念。

强度是指材料或结构承受外力时的抗力能力，也就是所谓的承载能力。

而刚度则是指物体受到外力时不易变形的能力，也就是所谓的抗变形能力。

换言之，强度是描述材料或结构能够承受多大的负荷，例如一个钢材梁可以承受多少重物，一个混凝土柱可以承受多少压力等等；而刚度是描述材料或结构在承受力后的变形程度，例如一个弹簧在受到一定压力后能够发生多大的形变，一根棒材在受到弯曲力后弯曲的程度。

因此，强度和刚度都是物体的力学性质，但它们描述的是不同的方面，强度描述了材料或结构承受外力的抗力能力，刚度描述了物体在受到变形时的抗变形能力。

梁的刚度计算范文梁的刚度是指材料在受到外力作用时的抵抗变形的能力。

在工程中，刚度是一个非常重要的参数，它决定了梁的强度和稳定性。

梁的刚度计算可以通过不同的方法进行，下面将介绍两种常用的计算方法：简支梁的刚度计算和悬臂梁的刚度计算。

一、简支梁的刚度计算简支梁是指两个端点都可以转动的梁，它的刚度可以通过弯曲刚度来计算。

弯曲刚度是指单位长度下的梁的抵抗弯曲变形的能力。

1.简支梁的弯曲刚度公式简支梁的弯曲刚度可以通过以下公式进行计算：EI=(WL^3)/(48D)其中，EI为弯曲刚度，W为作用在梁上的力或负荷，L为梁的长度，D为梁的挠度。

2.弯曲刚度的单位和性质弯曲刚度的单位是N.m^2，它的数值越大，梁的刚度越高。

弯曲刚度与梁的材料属性有关，即与材料的弹性模量E和惯性矩I有关。

E表示材料的刚度，单位为N/m^2，I表示梁的惯性矩，单位为m^4、弯曲刚度EI 的数值越大，表示材料的刚度越高。

二、悬臂梁的刚度计算悬臂梁是指只有一个端点可以转动的梁，它的刚度可以通过挠度和力矩进行计算。

1.悬臂梁的挠度计算悬臂梁的挠度是指梁在受到外力作用时的弯曲变形。

悬臂梁的挠度可以通过以下公式进行计算：δ=(FL^3)/(3EI)其中，δ为悬臂梁的挠度，F为作用在梁上的力或负荷，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩。

2.悬臂梁的刚度计算悬臂梁的刚度可以通过力矩和挠度的比值来计算：K=M/δ其中，K为悬臂梁的刚度，M为悬臂梁上的力矩，δ为悬臂梁的挠度。

总结：梁的刚度是指梁在受到外力作用时的抵抗变形的能力。

梁的刚度可以通过弯曲刚度和挠度进行计算。

简支梁的刚度可以通过弯曲刚度进行计算，悬臂梁的刚度可以通过力矩和挠度的比值进行计算。

两种方法都可以用来计算梁的刚度，根据具体的梁结构和受力情况选择适当的计算方法。

梁的刚度计算The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020梁的强度和刚度计算1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。

（1）梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时f W M nxx x≤=γσ（5-3）双向弯曲时f W M W M nyy y nx x x≤+=γγσ（5-4）式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）；W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到；f ——钢材的抗弯强度设计值。

为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。

需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。

（2）梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。

工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。

截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。

在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。

因此，设计的抗剪强度应按下式计算v wf It VS≤=τ（5-5）式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值。

第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学难点：平行移轴定理及其应用。

教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。

其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。

说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：３、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。

二、组合截面的二次矩平行移轴定理１、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。

I Z1=I Z+a2A２、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。

解：1、求T形截面的形心座标yc2、求截面对形心轴z轴的惯性矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。

第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学难点：平行移轴定理及其应用。

教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。

其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。

说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：３、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。

二、组合截面的二次矩平行移轴定理１、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。

I Z1=I Z+a2A２、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。

解：1、求T形截面的形心座标yc2、求截面对形心轴z轴的惯性矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。

第42卷第5期力学与实践2020年10月浅议梁的强度与刚度的关系0马杭心马永其* 丁伟东t 丁超t*(上海大学力学与工程科学学院，上海200444)t (上海樟祥电器成套有限公司，上海201400)摘要本文提出了梁的强刚比的定义，用无量纲的形式定量地表达了梁的强度与刚度之间的关系，以期充分发挥材料的潜力并促进材料力学的课堂教学。

强刚比与载荷大小无关，其数值可以通过有限元方法或者通过 梁的载荷试验来获得。

结合工程实际，从设计和试验两个方面对梁的强刚比及其影响因素进行了简要地探讨和分析。

关键词 梁，强度，刚度，强刚比，安全系数中图分类号：031文献标识码：A doi: 10.6052/0459-1879-20-020THE RELATION BETWEEN STRENGTH AND RIGIDITY OF BEAM *1)2020-01-14收到第1稿，2020-04-01收到修改稿。

1) 国家自然科学基金资助项目(11672173) =2) 马杭，教授，主要研究方向为计算固体力学。

E-mail: **************.cn引用格式：马杭，马永其，丁伟东等.浅议梁的强度与刚度的关系.力学与实践，2020, 42(5): 617-621Ma Hang, Ma Yongqi, Ding Weidong, et al. The relation between strength and rigidity of beam. Mechanics in Engineer ­ing, 2020, 42(5): 617-621MA Hang*，2)MA Yongqi* DING Weidongt DING Chao^* (School of Mechanics and Engineering Science, Shanghai University, Shanghai 200444, China)t (Shanghai Zhangxiang Electrical Appliance Co., Ltd, Shanghai 201400, China)Abs t ract In order to make a full use of the pete n tial of mat e rials as well as to prom o te the classroom teachingfor the course of mechanics of materials, the strength-stiffness ratio of beams is introduced in the paper. Theratio provides a quantitative relation between the strength and the stiffness of beams in the non-dimensional form. It is independent of the magnitude of load, its value can be obtained through the finite element methodor through the load test of beams. Combined with the engineering practice, the strength-stiffness ratio of beams are analyzed with its influence factors from the aspects of design and test.Key words beam, strength, stiffness, strength ・stiffness ratio, safety factor通常强度是指物体承受载荷而不破坏的能力，刚度是指物体抵抗变形的能力。

梁的强度和刚度计算1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力,设计时要求在荷载设计值作用下,均不超过规范规定的相应的强度设计值;1梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段,以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算：单向弯曲时f W M nx x x ≤=γσ 5-3双向弯曲时f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ 5-4式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩对工字形和H 形截面,x 轴为强轴,y 轴为弱轴；W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；y x γγ,——截面塑性发展系数,对工字形截面,20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面,05.1==y x γγ；对其他截面,可查表得到；f ——钢材的抗弯强度设计值;为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳,当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ,但不超过y f /23515时,应取0.1=x γ;需要计算疲劳的梁,按弹性工作阶段进行计算,宜取0.1==y x γγ;2梁的抗剪强度一般情况下,梁同时承受弯矩和剪力的共同作用;工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示;截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处;在主平面受弯的实腹式梁,以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态;因此,设计的抗剪强度应按下式计算v w f It ≤=τ 5-5式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩；I ——毛截面惯性矩；t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值;图5-3 腹板剪应力当梁的抗剪强度不满足设计要求时,最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度;型钢由于腹板较厚,一般均能满足上式要求,因此只在剪力最大截面处有较大削弱时,才需进行剪应力的计算;3梁的局部承压强度 图5-4局部压应力当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋,或受有移动的集中荷载时,应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度;在集中荷载作用下,翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁;腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示;假定集中荷载从作用处以1∶在h y 高度范围和1∶1在h R 高度范围扩散,均匀分布于腹板计算高度边缘;梁的局部承压强度可按下式计算f l t z w c ≤=σ 5-6式中：F ——集中荷载,对动力荷载应考虑动力系数；ψ——集中荷载增大系数：对重级工作制吊车轮压,ψ＝；对其他荷载,ψ＝；z l ——集中荷载在腹板计算高度边缘的假定分布长度,其计算方法如下 跨中集中荷载 z l ＝a +5h y +2h R梁端支反力 z l ＝a ++a 1a ——集中荷载沿梁跨度方向的支承长度,对吊车轮压可取为50mm ； h y ——自梁承载的边缘到腹板计算高度边缘的距离；h R ——轨道的高度,计算处无轨道时h R ＝0；a 1——梁端到支座板外边缘的距离,按实际取,但不得大于;腹板的计算高度h 0按下列规定采用：轧制型钢梁为腹板在与上、下翼缘相交接处两内弧起点间的距离；焊接组合梁,为腹板高度；铆接或高强度螺栓连接组合梁,为上、下翼缘与腹板连接的铆钉或高强度螺栓线间最近距离;当计算不能满足式5-6时,在固定集中荷载处,应设置支承加劲肋予以加强,并对支承加劲肋进行计算;对移动集中荷载,则应加大腹板厚度;4折算应力在组合梁的腹板计算高度边缘处,当同时受有较大的正应力σ、剪应力τ和局部压应力σc 时,或同时受有较大的正应力σ和剪应力τ时如连续梁的支座处或梁的翼缘截面改变处等,应按下式验算该处的折算应力f c c 12223βτσσσσ≤+-+ 5-7式中： c στσ,,——腹板计算高度边缘同一点上的弯曲正应力、剪应力和局部压应力;τ按式5-5计算,c σ按式5-6计算, σ按下式计算nx I My =σ 5-8nx I ——净截面惯性矩；y ——计算点至中和轴的距离；c σσ,均以拉应力为正值,压应力为负值；1β——折算应力的强度设计值增大系数;当c σσ,异号时,取1β＝；当c σσ,同号或c σ＝0取1β＝;实际工程中只是梁的某一截面处腹板边缘的折算应力达到承载力极限,几种应力皆以较大值在同一处出现的概率很小,故将强度设计值乘以1β予以提高;当c σσ、异号时,其塑性变形能力比c σσ、同号时大,因此1β值可取得更大些;2．梁的刚度梁的刚度验算即为梁的挠度验算;按下式验算梁的刚度][v v ≤ 5-9 式中：v ——荷载标准值作用下梁的最大挠度；v ——梁的容许挠度值,规范根据实践经验规定的容许挠度值;梁的强度和刚度验算1．如图1所示一根简支梁长l m,梁的自重为1q ；钢材的等级与规格f ,v f ,x I ,nx W ,x x S I /,w t 均为已知;梁上作用恒荷载,荷载密度为2q ,荷载分项系数为,截面塑性发展系数为05.1=x γ,20.1=y γ;试验算此梁的正应力及支座处剪应力;图1解：1计算作用在梁上的总弯矩计算梁自重产生的弯矩为：21181l q M y γ= 外荷载在跨中产生的最大弯矩为：22281l q M y γ= 总弯矩为：21M M M x +=2验算弯曲正应力：f W M nxx x <=γσ 3验算支座处最大剪应力： 支座处最大剪力： )(5.021q q l V y +⨯⨯⨯=γ剪应力：w It VS =τ＜v f。