探索勾股数

勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b ，那么a 2+b 2=c 2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有的数的规律，把b 、c 用a 的代数式表示出来，并写出①当a =2n （n 为大于等于1的整数）时，b 、c 的值；②当n =20时，b 、c观察得出表中已有数的规律为⎩⎨⎧+==+2222b c c b a 由①得（b +c ）（c -b ）=a 2 ③把②代入③得b =42a -1，c =42a +1 当a =2n 时，b =442n -1=n 2-1 c =442n +1=n 2+1 当a =20时，b =102-1=99，c =102+1=101规律：当a 是偶数2n （n 为大于等于1整数）时，b 为n 2-1，c 为n 2+1，不难看出c =b +2，即2n ，n 2-1，n 2+1为勾股数．下面我们再来探究为a 奇数2n +1（n 为大于1的整数）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为⎩⎨⎧+==+1222b c c b a 把②代入①得b =212-a ③ ① ②① ②把③代入②得c=212-a+1=212+a=21 )12(2++n当a=2n+1时，b=21 )12(2-+n，c=21 )12(2++n规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为21 )12(2-+n，c为21 )12(2++n，不难看出c=b+1，即2n+1，21 )12(2-+n，21 )12(2++n为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=21)18(2-+，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．。

勾股数的规律能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。

如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。

下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现由（3，4，5）有： 32=9=4+5由（5，12，13）有： 52=25=12+13由（7，24，25）有： 72=49=24+25由（9，40，41）有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。

其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。

其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为（m,,）。

对勾股数的相关探究摘要本篇论文是对勾股数及定理的相关探究，在探究的过程中我主要围绕以下这五个问题：1.谁发现了勾股定理？2.勾股定理的证明有多少？3.如何寻找勾股数？4.勾股数有哪些特征？5.勾股世界妙处何在？在整篇文章中其网络资源非常丰富，而且对这五个问题的解决起到非常重要的作用，接下来我就这五个问题做出详细的解答。

关键词：勾股数、勾股定理、特征1、看历史，谁发现了勾股定理？根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。

《周札》卷十《地官。

大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。

而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。

”两者何其相似。

曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。

至今河南登封县还有周代观景台遗址。

《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。

《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。

光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。

夫子之道，皆能知之。

”可见陈子也是精通天文历算的学者。

顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。

其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测2、再思考，勾股定理的证明有多少？勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。

1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。

勾股数的探索活动准备：计算器1只、火柴盒1只活动内容：能够构成直角三角形三条边的边长的3个正整数，称为勾股数，我国古老的数学和天文著作《周髀算经》中，记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）、（8，15，17）等也都是勾股数。

怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a,b,c）才能满足关系式a2+b2=c2?活动1：设（a,b,c）为一组勾股数1.填表：表1 表22.在表1中,a为奇数,正整数b和c之间的数量关系是c=b+1 ,b、c与a2之间的关系式是根据以上规律,当a=13时,b=84,c=85一般地,当a为奇数时,用a分别表示b、c，则b= , c= .3.表2中,a为大于4的偶数,正整数b、c之间的数量关系是 c =b+2 ，b、c与a2之间的数量关系是a2+b2=c2根据以上规律，当a=14时，b=48，c=50一般地，当a为大于4的偶数时，用a分别表示b、c,则b=____________,c=_____________4.正整数9、12、15是一组勾股数吗？这组数据满足上述规律吗？这说明了什么问题？活动2；计算与验证a=m2-n21．已知数据b=2mn ①c=m2+n2其中m>n,，m、n为正整数.a、b、c为勾股数吗？为什么？如果a、b、c是一组勾股数，写出你的证明；如果不是勾股数，请说明理由2.公元前580年～公元前500年。

古希腊人毕达哥拉斯给出勾股数的计算公式: 你能证明吗?a=2n+1b=2n2+2n （n为正整数）②c=2n2+2n+13.公元前427年～公元前347年.古希腊哲学家柏拉图又给出了勾股数计算公式:a=n2-1b=2n (n>1的正整数) ③c= n2+1请你给出证明利用以上3个勾股数的计算公式,我们可以求出无数组勾股数.但这里需要强调的是,用它们求出的勾股数不是所有的勾股数.如公式①不能求出勾股数(9,12,15),公式②不能求出勾股数(8,15,17),公式③不能求出(5,12,13).活动创新活动3:联想与拓展.1.如图1,已知四边形ABCD是长方形,AC为对角线,则有AB2+BC2=AC2,即AB、BC、AC满足勾股定理.DA1图1 图2如图2,ABCD-A1B1C1D1是长方体.图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1.若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用γβα、、表示,则是否有222γβα=+仍然成立?请说明理由.2.如图3,已知四边形ABCD为长方形,直线l分别截AB、CB于点E、F,则有BE2+BF2=EF2.DA1图3 图4如图4, ABCD-A1B1C1D1为长方体,一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、N 、G .图3 中的直线l 对应图4的平面MNG ,图3中直线截长方形的两边所得线段对应图4中平面MNG 截长方体所得三个面BMN 、面BMG 、面BNG .若面MNG 、面BMG 、面BNG 的面积分别用γβαδ、、、表示，请猜一猜2222δγβα=++是否成立？（不需要说明理由）3．是否存在这样的3个整数a 、b 、c ，使它们满足a 3+b 3=c 3呢？你能进行一番探索吗？试一试。

数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案教学目标1.了解勾股数的概念。

2.掌握如何判断勾股数。

3.能够熟练地运用勾股数求解实际问题。

教学准备1.教师准备宣传海报和宣传材料。

2.软件准备：麻将图、IPTV3.教师要提前准备讲台板书。

教学步骤第一步：自主学习引导将引导教材寄发给学生，让学生自主地观看、理解“直角三角形”、“勾股定理”的概念. 对一些看不懂的地方，要提出问题，以便后续了解。

第二步：自主学习活动主题活动：勾股数探寻活动活动方案我们的数学学科广泛应用于生活和社会中。

活动具体内容如下： 1. 请同学们自己组队，以探寻的方式来寻找“勾股数”。

2. 同学们在组队后就应该联系，确定了一个位于校园周围的合适区域，进行勾股数的探寻活动，这个区域最好是几何实物或者建筑物。

3. 在探寻的过程中，请同学们通过测量建筑物的各个边长来寻找勾股数，勾股数要求在探寻范围内。

4. 每个组要完成勾股数的探寻并转化为勾股定理的运用，然后再去勾股问题的求解。

5. 三个班的所有小组都必须结合自己探索的文字、图片、数据等完整呈现目标的勾股问题解。

活动效果这个挑战活动主要是让同学们在感受中掌握勾股数的概念和勾股定理的应用，这里还有一些效果、价值和意义： 1. 勾股问题谜团被破解，同学们的掌握程度逐步深化，以探索的方式活动反映了数学学科以掌握、应用的思维进阶。

2. 探索过程强调了团队协作和合作的学科精神，展现了经验跨越、多学科合作的教学策略，旨在促进同学们私底下交流和思考。

第三步：课堂讲解授课1.提出数学问题，基于“探索”活动的结果进行总结：用什么条件来判断直角三角形？2.勾股数的概念与判定。

–勾股数指的是a²+b²=c²这种形式的数值，其中a、b、c分别为三条边上的数值，其中一个角为直角。

3.推导勾股数的运用–演示如何使用勾股定理求解勾股数。

–引导同学们实际操作，并公布一些练习题，检验学生的掌握情况。

数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案一、教材分析本教案根据苏科版八年级数学上册的教学内容编写而成，教学内容顺序为：数列基本概念 -> 数列的通项公式 -> 数列求和 -> 勾股数。

其中，勾股数是数学中一个重要的概念，也是初中数学中的经典问题之一。

勾股数是指一个直角三角形的两条直角边的长度都是整数，斜边的长度也是整数。

例如，3、4、5就是一组勾股数，因为32+42=52。

二、教学目标1.了解数列基本概念。

2.掌握数列的通项公式和求和公式。

3.了解勾股数的概念和特点。

4.能够寻找勾股数并进行验证。

5.通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法。

三、教学内容和方法1. 数列基本概念学生通过对数列的定义和数列的表示方法的学习，掌握数列的基本概念。

通过课堂上的讨论，帮助学生理解数列的概念。

方法：课堂讨论。

2. 数列的通项公式和求和公式学生通过重点讲解数列的通项公式和求和公式的推导和运用，深入理解数列的数字规律及其推导方法。

方法：通过讲解和分组实践。

3. 勾股数的探索学生在学习勾股数前，先探究一下最小的勾股数构成的三角形是什么样子的，以此引导学生理解勾股数的基本概念。

方法：小组讨论，展示自己构造的勾股数三角形并进行验证。

4. 勾股数的性质学生通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法，并能发现勾股数之间的一些关系。

方法：教师提出问题，学生通过小组合作解决，然后在课堂上进行讨论。

四、教学流程1. 数列基本概念•通过例题引出数列的概念。

•介绍等差数列、等比数列等常见数列。

•提出数列的表示方式。

2. 数列的通项公式和求和公式•以等差数列为例，引出通项公式、求和公式的定义和公式表达。

•通过推导过程介绍通项公式、求和公式的使用方法。

•分组实践中让学生自己尝试推导一些简单的数列通项公式和求和公式。

3. 勾股数的探索•提出勾股数的概念，并引出最小的勾股数。

•学生通过小组讨论，构造出最小勾股数组成的三角形。

勾股定理-探索勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．补充：平方数例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．例2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个举一反三：1.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．2．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算 3.在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是c b a ,,，若3=a ，4=b ，则 2c =要点二、勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等注：勾股数的任意正数倍仍然满足勾股定理例1: 在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________要点三、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．例1、阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．要点四、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边例1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9．求AB与BC的长．例2．如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6C．8D．10举一反三：1．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=8，BC=5，DB=3．（1）求DC的长；（2）求AB的长．2.如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长2.与勾股定理有关的面积计算例1．我们已经知道，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作正方形，那么S1+S2=S3．如图，如果以直角三角形三条边为直径向外作半圆，是否也存在S1+S2=S3？如果以三条边向外作等边三角形呢？例2．求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm2）．例3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和．变式练习：1．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30，S2=40，则S3等于（）2.如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．643.如图，带阴影的长方形面积是（）A．9cm2B．24cm2 C．45cm2 D．51cm24．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=100，S=64，则中间的正方形的面积S3为（）2A.36B.60C.24D.485.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S =8，S4=10，则S=（）3A.25B.31C.32D.403.勾股定理在实际生活中的应用．例1.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根1 2米处．大树在折断之前高多少？例2.台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？例3．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．举一反三：1.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．2.如图，两根直立的竹竿相距6m，高分别为4m和7m．求两竹竿顶端间的距离AD．3.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断以前有多少米？。

一、教案设计概述1.1 教学目标（1）理解勾股定理的概念及含义；（2）掌握勾股定理的证明方法；（3）探索勾股数的性质及应用；（4）培养学生的逻辑思维能力、创新能力和团队协作能力。

1.2 教学内容（1）勾股定理的定义及历史背景；（2）勾股定理的证明方法；（3）勾股数的定义及性质；（4）勾股数在实际问题中的应用。

1.3 教学策略采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作探讨的方式，深入理解勾股定理及其应用。

利用数学软件和互联网资源，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。

二、教学过程2.1 导入新课（1）利用数学软件展示勾股定理的动画效果，引导学生关注勾股定理；（2）提问：什么是勾股定理？它有什么含义？2.2 自主学习（1）让学生自主探究勾股定理的证明方法，鼓励学生发挥创意，尝试不同的证明思路；（2）学生展示证明成果，教师点评并总结。

2.3 合作探讨（1）引导学生探讨勾股数的定义及性质；（2）举例说明勾股数在实际问题中的应用；（3）学生分组讨论，分享讨论成果。

2.4 练习巩固（1）设计相关练习题，让学生巩固所学知识；（2）教师批改练习题，及时反馈错误，引导学生纠正。

三、教学评价3.1 过程性评价（1）观察学生在自主学习和合作探讨过程中的表现，评价其学习态度、创新能力和团队协作能力；（2）评价学生在练习巩固中的表现，关注其知识掌握程度。

3.2 总结性评价（1）期末考试中关于勾股定理的试题；四、教学资源4.1 教材《数学与应用》、《数学分析》等教材。

4.2 网络资源（1）数学课件、动画、视频等教学素材；（2）相关学术文章、研究报告。

五、教学进度安排5.1 第一课时（1）导入新课；（2）自主学习：探究勾股定理的证明方法；（3）合作探讨：探讨勾股数的定义及性质。

5.2 第二课时（1）合作探讨：举例说明勾股数在实际问题中的应用；（2）练习巩固：设计相关练习题，让学生巩固所学知识。

5.3 第三课时（1）总结本章内容；（2）布置课后作业；（3）开展课后辅导，解答学生疑问。

课题：探索“勾股数” 学习目标1. 进一步理解勾股定理及其逆定理.2. 通过探究活动，寻找勾股数的通用公式. 学习重难点理解通用公式的来源；换元思想. 预习导航1.勾股定理及其逆定理的内容.2.什么是勾股数？3.乘法公式 探究活动 活动一试构造5组勾股数构造勾股数，3个正整数应满足“两个数的平方和（差）等于第三个数的平方” 自学活动1，填表(活动二)mn22n m -mn 222n m +6 5 11 60 61… …………活动三 1.常见的勾股数①3、4、5 ②5、12、13 ③8、15、17 ④9、40、41 注意：⑴.一组勾股数中各数的相同的整数倍的一组新数也是勾股数。

如：6、8、10；9、12、15。

⑵.记住常用的勾股数可以提高作题速度。

有趣的勾股数a b c第一组：3=2 ×1+1 4=2 ×1 ×（1+1）5=2 ×1 ×（1+1）+1第二组：5=2 ×2+1 12=2 ×2 ×（2+1）13=2 ×2 ×（2+1）+1第三组：7=2 ×3+1 24=2 ×3 ×（3+1）25=2 ×3 ×（3+1）+1第四组：9=2 ×4+1 40=2 ×4 ×（4+1）41=2 ×2 ×（4+1）+1 · · ·观察以上各组勾股数的特点，你能求出第七组勾股数的a、b、c各应是多少吗？第n组呢？第n组：a=2n+1 b=2n(n+1) c=2n(n+1)+1回顾反思1.你有什么收获？2.勾股数还有其他的通用公式吗？请查阅相关资料。