专题五 高考中的圆锥曲线问题

高考数学圆锥曲线大题所有题型解法
高考数学圆锥曲线大题的题型多种多样，以下是常见的几种题型和解法：
1.求圆锥曲线的方程：通过给定的条件，根据圆锥曲线的定义和性质，可以求出圆锥曲线的方程。

例如，已知圆锥曲线的焦点、准线或者过定点的直线方程，可以根据定义和性质求出圆锥曲线的方程。

2.求圆锥曲线的性质：通过已知的条件，可以利用圆锥曲线的性质来求解问题。

例如，已知圆锥曲线的焦点和准线，可以求出其焦距、离心率等性质。

3.求直线与圆锥曲线的交点：通过已知的直线方程和圆锥曲线的方程，可以求出它们的交点。

可以将直线方程代入圆锥曲线方程，解方程得到交点的坐标。

4.求切线和法线：通过已知的条件，可以求出圆锥曲线上某点的切线和法线方程。

例如，已知圆锥曲线上一点的坐标，可以求出该点处的切线和法线方程。

5.求曲线的参数方程：对于给定的圆锥曲线方程，可以通过变量替换的方法，将其转化为参数方程。

例如，对于抛物线，可以令y=xt^2，将方程转化为参数方程。

这些只是一些常见的题型和解法，实际上高考数学圆锥曲线大
题的题型和解法还有很多，需要根据具体的题目来进行分析和解决。

掌握圆锥曲线的基本定义、性质和常见的解题方法，能够更好地应对这类题目。

圆锥曲线中关于定点定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题。

对满足一定条件的曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这又构成了过定点问题。

定值，定点问题是高考中每年常考内容。

对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。

解决定值问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。

例1、椭圆C ：12422=+x y 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB 分别交椭圆C 于另外两点A,B ，求证：直线AB 的斜率为定值。

例2：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+→→→a OB OA 与共线。

设M 为椭圆上任意一点，且),,(R OB OA OM ∈+=→→→μλμλ证明：22μλ+为定值。

例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为32。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N （M 、N 不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A 。

求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标。

例题4、如图，椭圆E ：12222=+b y a x ()0a b >>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形。

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线l ：y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q 。

【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1. 已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解得：－213 13 <m<213 13. 【点评】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生.例2、在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，-3）为OAB ∆的直角顶点，已知OA AB 2=，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围. 【解析】（1）设),(v u AB =→，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=→→→→2OA AB OAAB ，得⎩⎨⎧=-=+03410022v u v u .解得⎩⎨⎧==86v u ， 或⎩⎨⎧-=-=86v u .∵，∴，得，故.（3）设),(),,(2211y x Q y x P 为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则：， 整理得：，即21,x x 为方程0225222=-++aa x a x 的两个相异实根. 于是由02254422>-⋅-=∆aaa ，得23>a . 故当23>a 时，抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两点. 【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB 的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a 的取值范围.【变式演练1】在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+对称，求k 的取值范围．【变式演练2】求证：抛物线y =12x 2－1上不存在关于直线y =x 对称的两点。

题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。

2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。

圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。

下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。

一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。

解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。

二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。

解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。

三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。

解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。

以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。

在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。

多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。

圆锥曲线专题五：轨迹问题有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、 性质有着密切的关系。

在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和 具体方法。

探求曲线轨迹的基本方法主要有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法(代 入法)、参数法。

(1)已知A(2,3)且|PA|=7，则点P 的轨迹是 圆(2) 已知：ABC 的一边BC 的长为6,周长为16,则顶点A 的轨迹是什么？(椭圆，除去与 BC 边共线的两个顶点。

)若A( -1,0), B(5,0)且| MA | - | MB 4则点M 的轨迹是 双曲线右支(4) (5) 致是1 1b .0,因此--0,所以有：椭圆的焦点在 y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项.a -a(6) 已知圆C ： x 2 +y 2 +6x-91 =0及圆内一点P (3, 0),求过点P 且与已知圆内切的圆 的圆心M 的轨迹方程。

分析：(1 )圆C 的半径与圆心坐标可定。

(2) 两圆内切可得：外圆半径=内圆半径+连心距。

(3) 动点M 满足的等量关系：| MC| + | MP | = 10> | PC |(4) 由定义可确定动点 M 的轨迹为以P 、C 为焦点的椭圆。

(7) 已知动圆与圆 C 1 : (x 5)2 y^ 49和圆C 2： (x - 5)2 y 2 = 1都外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。

分析：(1 )从已知条件可以确定圆C 、G 的圆心与半径。

(2) 两圆外切可得：两圆半径和=圆心距 (3) 动圆半径r,依题意有r 1 + r = | P C 1 | , r 2 + r = | P C 2 |两式相减得：| PC 1 | -- | PC 2 | = r 1 -r 2 < | C 1 C 2|(3) b答案：D过点(2，3)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？(抛物线) a(a . b . 0)的曲线大=1, y^ -- x .因为b1(4)由双曲线定义得：点P的轨迹是C1、G以为焦点的双曲线的右支。

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。

适用条件需要注意。

例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。

PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。

例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。

例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。

题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。

在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。

例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。

题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。

例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。

例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。

题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念，也是高中数学中的重要内容之一。

在高考中，圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。

圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容，这些问题在高考中的常见题型有很多，下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。

一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型，考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。

二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法，避免盲目求解导致错误。

2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，可以利用几何的方法来辅助求解，比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标，利用图形的对称性质来求解切线方程等。

3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂，但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换，可能会使问题更易于求解。

将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。

4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来进行求解，将问题转化成参数方程的形式，有时会使问题变得更加简单。

5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中，可以利用数学软件来辅助求解，比如利用计算机绘制图形、求解方程等，可以帮助理清思路、验证结果，并避免繁琐的计算错误。

三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析：已知椭圆的方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。

高考数学必做61道圆锥曲线问题——圆锥曲线性质大全.doc
高考数学必做 61 道圆锥曲线问题——圆
锥曲线性质大全
一、神奇曲线，定义统一
01. 距离和差，轨迹椭双
02. 距离定比，三线统一
二、过焦半径，相关问题
03．切线焦径，准线作法
04. 焦点切线，射影是圆
05. 焦半径圆，切于大圆
06. 焦点弦圆，准线定位
07. 焦三角形，内心轨迹
三、焦点之弦，相关问题
08．焦点半径，倒和定值
09．正交焦弦，倒和定值
10. 焦弦中垂，焦交定长
11. 焦弦投影，连线截中
12. 焦弦长轴，三点共线
13. 对焦连线，互相垂直
14. 相交焦弦，轨迹准线
15. 相交焦弦，角分垂直
16. 定点交弦，轨迹直线
17. 焦弦直线，中轴分比。

专练55 高考大题专练(五) 圆锥曲线的综合运用1．[2021·全国乙卷]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB的最大值．2．[2022·全国甲卷(理)，20]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．3．[2022·全国乙卷(理)，20]已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT →＝TH →.证明：直线HN 过定点．4．[2022·江西省高三联考]已知曲线C 上任意一点到点F (2，0)的距离比它到y 轴的距离大2，过点F (2，0)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 在A ，B 处的切线交于点M ，求△MAB 面积的最小值．5．[2022·江西省宜春模拟]已知点T 是圆A ：(x －1)2＋y 2－8＝0上的动点，点B (－1，0)，线段BT 的垂直平分线交线段AT 于点S ，记点S 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过B (－1，0)作曲线C 的两条弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE →·MN →＝0，求△BPQ 面积的最大值．专练55 高考大题专练(五) 圆锥曲线的综合运用1．解析：(1)由题意知M (0，－4)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p2＋4－1＝4，解得p ＝2.(技巧点拨：F 与圆M 上点的距离的最小值为|MF |－r ，最大值为|MF |＋r )(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 21 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 22 4，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，则Δ＝16k 2＋16b >0 (※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝41＋k 2·k 2＋b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x 12，在点A 处的切线方程为y －x 21 4＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214，(技巧点拔：因为抛物线方程为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以想到利用导数的几何意义求切线方程)同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214y ＝x22x －x 224，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22＝2k y ＝x 1x 24＝－b ，即P (2k ，－b ).因为点P 在圆M 上，所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①，且－1≤2k ≤1，－5≤－b ≤－3，即－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※).(易错警示：由点P 在圆M 上，只得到了4k 2＋(4－b )2＝1，而忽视k ，b 的取值范围，导致得到错误答案)设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2k 2＋2b |1＋k 2， 所以S △PAB ＝12|AB |·d ＝4（k 2＋b ）3.由①得，k 2＝1－（4－b ）24＝－b 2＋8b －154，令t ＝k 2＋b ，则t ＝－b 2＋12b －154，且3≤b ≤5.因为t ＝－b 2＋12b －154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max ＝5，此时k ＝0，所以△PAB 面积的最大值为20 5.2．解析：(1)(方法一)由题意可知，当x ＝p 时，y 2＝2p 2.设M 点位于第一象限，则点M 的纵坐标为2p ，|MD |＝2p ，|FD |＝p2.在Rt△MFD 中，|FD |2＋|MD |2＝|FM |2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋(2p )2＝9，解得p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(方法二)抛物线的准线方程为x ＝－p2.当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p . 此时|MF |＝p ＋p2＝3，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1＝tan α，k 2＝tan β.由题意可得k 1≠0，k 2≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＜0，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，y 3＜0，y 4＞0. 设直线AB 的方程为y ＝k 2(x －m )，m 为直线AB 与x 轴交点的横坐标，直线MN 的方程为y ＝k 1(x －1)，直线MD 的方程为y ＝k 3(x －2)，直线ND 的方程为y ＝k 4(x －2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，所以k 21 x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21 ＝0，则x 1x 2＝1. 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2（x －m ），y 2＝4x ，所以k 22 x 2－(2mk 22 ＋4)x ＋k 22 m 2＝0，则x 3x 4＝m 2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 3（x －2），y 2＝4x ，所以k 23 x 2－(4k 23 ＋4)x ＋4k 23 ＝0，则x 1x 3＝4.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 4（x －2），y 2＝4x ，所以k 24 x 2－(4k 24 ＋4)x ＋4k 24 ＝0，则x 2x 4＝4.所以M (x 1，2x 1)，N (1x 1，－2x 1)，A (4x 1，－4x 1)，B (4x 1，4x 1).所以k 1＝2x 1x 1－1，k 2＝x 1x 1－1，k 1＝2k 2， 所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝k 1－k 21＋k 1k 2＝k 21＋2k 22 ＝11k 2＋2k 2. 因为k 1＝2k 2，所以k 1与k 2同号，所以α与β同为锐角或钝角．当α－β取最大值时，tan (α－β)取得最大值．所以k 2＞0，且当1k 2＝2k 2，即k 2＝22时，α－β取得最大值．易得x 3x 4＝16x 1x 2＝m 2，又易知m ＞0，所以m ＝4.所以直线AB 的方程为x －2y －4＝0.3．解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ). 将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，94m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝14．所以椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1.(2)证明：(方法一)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t （y ＋2），x 23＋y 24＝1.消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0， 所以y 1＋y 2＝－16t 2＋8t 4t 2＋3，y 1y 2＝16t 2＋16t －84t 2＋3. 设T (x 0，y 1).由A ，B ，T 三点共线，得y 1＋2x 0＝y 1＋1x 0－32，得x 0＝32y 1＋3. 设H (x ′，y ′).由MT →＝TH →，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1， 所以直线HN 的斜率k ＝y 2－y ′x 2－x ′＝y 2－y 1x 2＋x 1－（3y 1＋6）＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(x －x 2).令x ＝0，得y ＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(－x 2)＋y 2＝（y 1－y 2）（ty 2＋2t ＋1）t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＋y 2＝（2t －3）y 1y 2＋（2t －5）（y 1＋y 2）＋6y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＝（2t －3）·16t 2＋16t －84t 2＋3＋（5－2t ）·16t 2＋8t4t 2＋3＋6y 1－t （16t 2＋8t ）4t 2＋3－3y 1＋4t －4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2).(方法二)由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2.a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1. 将直线方程x ＝1代入x 23＋y 24＝1，可得N (1，263)，M (1，－263).将y ＝－263代入y ＝23x －2，可得T (3－6，－263).由MT →＝TH →，得H (5－26，－263).此时直线HN 的方程为y ＝(2＋263)(x －1)＋263，则直线HN 过定点(0，－2).b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y －（k ＋2）＝0，x 23＋y 24＝1.消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6k （2＋k ）3k 2＋4，x 1x 2＝3k （4＋k ）3k 2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－8（2＋k ）3k 2＋4，y 1y 2＝4（4＋4k －2k 2）3k 2＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝－24k3k 2＋4.①联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1，y ＝23x －2，可得T (3y 12＋3，y 1).由MT →＝TH →，得H (3y 1＋6－x 1，y 1). 则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1－y 23y 1＋6－x 1－x 2(x －x 2).将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.② 将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立． 综上可得，直线HN 过定点(0，－2).4．解析：(1)设曲线C 上任意一点P 的坐标为(x ，y )，则有：（x －2）2＋y 2＝|x |＋2， 当x ≥0时，有y 2＝8x ；当x ＜0时，有y ＝0， 所以曲线的方程为y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0).(2)由题意设l 的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x ⇒y 2－8my －16＝0，∴Δ＞0⇒m ∈R ，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16， ∴|AB |＝1＋m2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝8(1＋m 2)，设切线MA 的方程为y －y 1＝k (x －x 1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k （x －x 1），y 2＝8x ⇒y 2－8k y ＋8y 1k －8x 1＝0，∴Δ＝0⇒ky 1＝4，∴切线MA 的方程为y －y 1＝4y 1(x －x 1)，化简得yy 1＝4(x ＋x 1)＝4x ＋y 212， ①同理可得切线MB 的方程为yy 2＝4(x ＋x 2)＝4x ＋y 222， ②由①②得点M 的坐标为M (－2，4m )，∴点M 到直线l 的距离d ＝|－2－4m 2－2|1＋m2＝41＋m 2， ∴S △MAB ＝12|AB |·d ＝16(1＋m 2)32≥16，当且仅当m ＝0时等号成立，故△MAB 面积的最小值为16.5．解析：(1)圆A ：(x －1)2＋y 2＝8的圆心A (1，0)，半径r ＝22，依题意，|SB |＝|ST |，|SB |＋|SA |＝|ST |＋|SA |＝|AT |＝22＞2＝|AB |，即点S 的轨迹是以B ，A 为左右焦点，长轴长为22的椭圆，短半轴长b ＝（2）2－12＝1， 所以曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由DE →·MN →＝0知，DE ⊥MN ，直线DE ，MN 不垂直坐标轴，否则点P ，Q 之一与点B 重合，不能构成三角形，即直线DE 的斜率存在且不为0，设直线DE 方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2消去y 并整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，DE 中点P (x P ，y P )，则有x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x P ＝－2k 22k 2＋1，y P ＝k2k 2＋1，因此，|BP |＝（1－2k 22k 2＋1）2＋（k 2k 2＋1）2＝k 2＋12k 2＋1，直线MN 的斜率为－1k ，同理可得|BQ |＝|k |k 2＋1k 2＋2，△BPQ 面积S △BPQ ＝12|BP ||BQ |＝12·k 2＋12k 2＋1·|k |k 2＋1k 2＋2＝|k |＋1|k |4（|k |＋1|k |）2＋2，令t ＝|k |＋1|k |≥2，当且仅当|k |＝1时取“＝”，则S △BPQ ＝t 4t 2＋2＝14t ＋2t，函数y ＝4t ＋2t 在[2，＋∞)上单调递增，即当t ＝2时，(4t ＋2t)min ＝9，所以当t ＝2，即k ＝±1时，(S △BPQ )max ＝19，所以△BPQ 面积的最大值是19.。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。

在高考中，经常出现各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。

本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。

常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。

同学们需要掌握二次型的知识，使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。

其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；2. 求曲线方程通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。

此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。

例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向，进而确定方程。

（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。

例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准式求解方程。

3. 定位点通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。

此类问题有多种方法，例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。

4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。

需要掌握各种定理的证明方法，例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。

5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。

需要灵活运用面积公式、积分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。

解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提，可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。

要注意选择坐标系的方向和起点，以便于计算和简化计算公式。

2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件，同学们需要认真理解并灵活运用。

常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，经常出现在高中数学的教学中，也是高考数学中的一个热点考点。

掌握圆锥曲线的相关知识和解题技巧对于学生来说非常重要。

本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望能够帮助广大学生更好地应对高考数学考试。

一、圆锥曲线问题的常见题型1. 椭圆的方程与特征：椭圆的标准方程为\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

在高考中，通常会出现给定椭圆的焦点、顶点等信息求椭圆的方程，或者反过来给定椭圆的方程求椭圆的相关信息的题目。

2. 抛物线的方程与性质：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a不等于0。

高考中常见的题型包括给定抛物线的焦点、直径和顶点求抛物线的方程，或者求解抛物线与直线的交点等。

圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

高考中常见的题型包括求解圆与直线、圆与圆的交点、圆心坐标等。

1. 熟练掌握圆锥曲线的标准方程在解题时，首先要掌握圆锥曲线的标准方程，根据题目中给出的相关信息将其代入方程中，从而求出所需的未知数。

熟练掌握标准方程对于解题是非常重要的。

2. 注意利用圆锥曲线的性质在解题时，要善于利用圆锥曲线的性质，例如椭圆和双曲线的焦点、顶点等特征，抛物线的焦点、直径等特征，以及圆的半径、圆心坐标等特征。

通过这些性质，可以更快速地解题。

3. 结合几何思维进行分析在解题过程中，可以结合几何思维进行分析，画出相应的图形来辅助解题。

通过直观的几何图形，有时可以更好地理解题目要求，并且更容易找到解题的思路。

4. 熟练掌握相关公式和定理在解题过程中，要熟练掌握相关的公式和定理，例如椭圆和双曲线的离心率公式，抛物线的焦点、准线和方程性质，以及圆的切线和法线方程等。

熟练掌握这些公式和定理可以为解题提供更多的思路和方法。