2019届高考数学理总复习微专题5 高考中的圆锥曲线问题

2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。

（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。

已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。

P为C上一点，且PF⊥x轴。

过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。

若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。

微专题5 高考中的圆锥曲线问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C 的标准方程是 ( )A .x 212-y 2=1B .x 2-y 23=1 C .x 29-y 23=1D .x 223-y 232=12.设F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,若∠F 1PF 2=90°,c=2,S △PF 2F 1=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为 ( )A.π5 B.π4 C.π6 D.π33.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的中心为O ,一个焦点为F ,若以O 为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A.[√22,1) B .(0,√32] C.[√32,1) D .(0,√22]4.已知M ,N 为双曲线x 24-y 2=1上关于坐标原点O 对称的两点, P 为双曲线上异于M ,N 的点,若直线PM 的斜率的取值范围是[12,2],则直线PN 的斜率的取值范围是 ( )A.(18,12)B.[-12,-18] C.[18,12] D.[-12,-18]∪[18,12]二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知离心率为√22的椭圆C :x 22+y 2b 2=1(0<b<√2)与y 轴的正半轴交于A 点, P 为椭圆上任意一点,则|PA|的最大值为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线Γ:x 2=my (m ≠0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是Γ上两个不同的动点,且∠AFB=θ(θ为常数),2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点M 作l 的垂线,垂足为N ,若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,实数λ的最小值为√2-√3,tan θ的值为 . 三、解答题(共48分)7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.图5-18.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-√6,0), 且过点T(√6,√22).(1)求椭圆C的方程;(2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围.9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB面积的最小值为16.(1)求抛物线的方程;(2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.图5-210.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l 与线段CB的交点为P.(1)求点P的轨迹Γ的方程;(2)已知Q 为曲线Γ上一动点,M (3,0),过O (O 为坐标原点)作线段QM 的垂线交曲线Γ于E ,D 两点,求|DE ||QM |的取值范围.答案1.B 由题意得ba=tan 60°=√3,又双曲线C过点(√2,√3),所以(√2)2a 2-(√3)2b2=1,联立方程得{ba =√3,2a 2-3b 2=1,解得{a 2=1,b 2=3,所以双曲线C 的标准方程是x 2-y 23=1,故选B .2.D 由题意知{|PF 1|2+|PF 2|2=16,12|PF 1||PF 2|=3,化简得(|PF 1|-|PF 2|)2=4,结合图形(图略),可得|PF 1|-|PF 2|=2=2a ,所以a=1,b=√22-12=√3,所以渐近线方程为y=±√3x ,所以双曲线的两条渐近线的夹角为π3,故选D .3.A 由于以O 为圆心,以b 为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O 为圆心,以c 为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c ≥b ,则 c 2≥b 2=a 2-c 2,所以2c 2≥a 2,所以1>e ≥√22,故选A.4.C 设M (x 0,y 0),N (-x 0,-y 0),P (m ,n )(m ≠±x 0),则k PM =n -y 0m -x 0,k PN =n+y 0m+x 0.因为点P ,M ,N 均在双曲线x 24-y 2=1上,所以m 24-n 2=1,x 024-y 02=1,两式相减得(m -x 0)(m+x 0)4-(n-y 0)(n+y 0)=0,化简得n -y0m -x 0·n+ym+x 0=14,即k PM ·k PN =14,又12≤k PM ≤2,即12≤14k PN≤2,解得18≤k PN ≤12,故选C .5.2 由椭圆C 的长半轴长a=√2,离心率e=c a =√2=√22,知c=1,所以b=√a 2-c 2=1,所以椭圆C的方程为x 22+y 2=1,所以 A (0,1).设P (x ,y ),由两点间的距离公式可得|PA|=√x 2+(y -1)2=√2-2y 2+y 2-2y +1=√4-(y +1)2, 因为-1≤y ≤1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值2.6.√33 因为2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2,所以M 为线段AB 的中点.设|AF|=x ,|BF|=y ,根据抛物线的定义,知|MN|=x+y 2,因为|AB|2=x 2+y 2-2xy cos θ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以λ2=(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|2|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=x 2+y 2-2xycosθx 2+y 2+2xy4=4(1-2+2cosθx y +yx+2)≥4(1-2+2cosθ4)=2-2cos θ,当且仅当x y =yx 时取等号.因为λ的最小值为√2-√3,2-2cos θ=(√2-√3)2,解得cos θ=√32,又0<θ≤π,所以θ=π6,所以 tanθ=√33.7.(1)因为椭圆C 的离心率为ca =√32,所以a 2-b 2a 2=34,即a 2=4b 2,所以椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2,又椭圆C 过点P (2,-1),所以4+4=4b 2,解得b 2=2,a 2=8, 所以椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1.(4分)(2)由题意,知直线PA ,PB 的斜率均存在且不为0,设直线PA 的方程为y+1=k (x-2)(k ≠0), 联立方程,得{x 2+4y 2=8,y =k (x -2)-1,消去y 得(1+4k 2)x 2-8(2k 2+k )x+16k 2+16k-4=0, (6分)所以2x 1=16k 2+16k -41+4k 2,即x 1=8k 2+8k -21+4k 2,因为直线PQ 平分∠APB ,且PQ 与x 轴平行,所以直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数, 设直线PB 的方程为y+1=-k (x-2)(k ≠0),同理可得x 2=8k 2-8k -21+4k 2. (9分)又{y 1+1=k (x 1-2),y 2+1=-k (x 2-2),所以y 1-y 2=k (x 1+x 2)-4k , 即y 1-y 2=k (x 1+x 2)-4k=k ·16k 2-41+4k 2-4k=-8k1+4k 2,x 1-x 2=16k1+4k 2. 所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-8k1+4k 216k 1+4k 2=-12,为定值.(12分)8.(1)解法一 依题意得{a 2-b 2=6,6a2+12b2=1,解得{a 2=8,b 2=2,(2分)所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(4分)解法二 依题意得c=√6,2a=√2(√6-√6)+(√22-0)=4√2,(2分)所以a=2√2,于是b 2=a 2-c 2=2, 所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(4分)(2)由题意知,直线l 的斜率存在,设直线l 的斜率为k.①当k=0时,可设直线l 的方程为y=y 0(-√2<y 0<√2,且y 0≠0),A (-x 0,y 0),B (x 0,y 0),则x 028+y 022=1,所以S=12|2x 0|·|y 0|=|x 0|·|y 0|=2√y 02·(2-y 02)≤2·y 02+(2-y 02)2=2,当且仅当y 02=2-y 02,即|y 0|=1时取等号,此时0<S ≤2. (6分)②当k ≠0时,可设直线l 的方程为y=kx+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立得{y =kx +m ,x 28+y 22=1,消去y ,整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-2)=0,(7分)由Δ=(8km )2-4(1+4k 2)·4(m 2-2)>0,得8k 2+2>m 2 (*), 则x 1+x 2=-8km1+4k2,x 1x 2=4(m 2-2)1+4k2,所以可得AB 的中点M (-4km1+4k 2,m1+4k 2). (9分)因为|PA|=|PB|,所以PM ⊥AB ,所以k PM =m1+4k 2+1-4km 1+4k 2-0=-1k ,化简得1+4k 2=3m ,结合(*)可得0<m<6.又点O 到直线l 的距离d=√1+k2,|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=4√1+k 2·√8k 2+2-m 21+4k 2,所以S=12|AB|·d=12·4√1+k 2·√8k 2+2-m 21+4k 2·√1+k 2, (11分)即S=23√6m -m 2=23√-(m -3)2+9. 所以,当m=3时,S 取得最大值2,即0<S ≤2.综上,△OAB (O 为坐标原点)的面积S 的取值范围为(0,2]. (12分)9.(1)不妨设点A 在第二象限,点B 在第一象限. 设直线OA :y=kx (k<0),与抛物线方程联立,化简得x 2-2pkx=0,解得x=0或x=2pk ,则A (2pk ,2pk 2),由于以AB 为直径的圆恒过原点O ,所以OA ⊥OB , 所以直线OB 的斜率为-1k,同理可得B (-2p k ,2pk2).(2分)所以S △AOB =12|OA||OB|=12√(4p 2k 2+4p 2k 4)(4p 2k 2+4p 2k 4)=2p 2√2+k 2+1k 2≥ 4p 2,当且仅当k=-1时等号成立.所以4p 2=16,p=2,即抛物线的方程为x 2=4y. (6分)(2)由(1)知y=x 24,则y'=x2,k MA =2k ,k MB =-2k.所以直线MA 的方程为y-4k 2=2k (x-4k ),直线MB 的方程为y-4k2=-2k(x+4k),(9分)联立两直线方程,得{y -4k 2=2k (x -4k ),y -4k 2=-2k (x +4k ),解得x=2(k 2-1)k ,y=-4, 由于x=2(k 2-1)k∈R,所以点M 在定直线y=-4(x ∈R)上. (12分)10.(1) 如图D 5-1,连接PA ,图D 5-1由于l 是线段AC 的垂直平分线, 所以|PC|=|PA|,所以|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=6>4=|AB|.(2分)所以点P 的轨迹是以B ,A 为焦点,以6为长轴长的椭圆,设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0), 则2a=6,2c=4,从而得a=3,c=2,b 2=a 2-c 2=5,故点P 的轨迹Γ的方程为x 29+y 25=1. (4分)(2)由题意知,直线QM 的斜率存在.当直线QM 的斜率为0时,|QM|=6,DE 为椭圆Γ的短轴, 则|DE|=2√5,所以|DE ||QM |=2√56=√53. (5分)当直线QM 的斜率不为0时,设直线QM 的方程为y=k (x-3),Q (x 0,y 0), 故直线DE 的方程为y=-1k x ,由{y =k (x -3),x 29+y 25=1得(5+9k 2)x 2-54k 2x+81k 2-45=0,Δ=(-54k 2)2-4(5+9k 2)(81k 2-45)>0,3+x 0=54k 25+9k 2, 即x 0=27k 2-155+9k 2,所以|QM|=√(x 0-3)2+(y 0-0)2=√(1+k 2)(x 0-3)2=30√1+k 29k 2+5. (8分)由{y =-1k x ,x 29+y 25=1得(5k 2+9)x 2=45k 2,所以|DE|=√1+(-1k )2·|√5|√5k 2+9|=6√5√1+k 25k 2+9,所以|DE ||QM |=6√5√1+k25k 2+9√29k 2+5=√55·2√5k 2+9.(10分)令t=√5k 2+9>3,则|DE ||QM |=√55·9(t 25-95)+5t =√525(9t-56t )(t>3),设g (t )=9t-56t(t>3),则g'(t )=9+56t2>0,所以g (t )在(3,+∞)上是增函数,于是g (t )>9×3-563=253,所以|DE ||QM |>√525×253=√53.综上,|DE||QM|的取值范围是[√53,+∞). （12分）。

第3讲　圆锥曲线中的热点问题高考定位　1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真 题 感 悟答案　52.(2018·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C 有两个不同的交点A，B，且直线P A交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)解　因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<1，又因为k≠0，故k<0或0<k<1.又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).从而k≠－3.所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.(1)解　由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.所以点P2在椭圆C上.(2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴.设l：x＝m，A(m，y A)，B(m，－y A)，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，∴当且仅当m>－1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2).所以l过定点(2，－1).考 点 整 合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒　圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，探究提高　求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【训练1】(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上.所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴.。

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

2019年高考专题■圆锥曲线的方程与性质1.椭圆(1)椭圆概念平而内与两个定点斥、鬥的距离的和等于常数2d (大于|斥毘|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若M为椭圆上任意一点，则有\MF}\-v\MF2\=2a.2 2 2 2椭圆的标准方程为：一+-^y = 1 ( 6Z > /? > 0 )(焦点在X轴上)或丄y + —7 = 1 (d>b>0)(焦点在y轴a~ b~ a~ b~上)。

注：①以上方程中的大小a>b>0f其中b2=a2-c\2 2 2 2②在4 + ^ = 1和£ +匚=1两个方程中都有a>b> 0的条件，要分清焦点的位置，只要看F和于的分a~ b~ a~b~x2 y2一母的大小。

例如椭圆一+ —= 1 ( m>0, /? > 0 , m^n )当m>n吋表不焦点在x轴上的椭圆；当m<n吋m n表示焦点在y轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质x2 v2①范圉：由标准方程—+ ^ = 1知|y|5b,说明椭圆位于直线x = y = ±b所围成的矩形里;a②对称性：在曲线方程里，若以-y代替y方程不变，所以若点(兀刃在曲线上时，点(兀-刃也在曲线上，所以曲线关于兀轴对称，同理，以一兀代替兀方程不变，则曲线关于y轴对称。

若同时以一兀代替兀，-y代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与兀轴、y轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令兀=0,得y = ±b,则B, (O,-/?), B2(0,Z?)是椭圆与)，轴的两个交点。

同理令y = 0得x = ±tz,即A,(—d,0), 卷(G,0)是椭圆与兀轴的两个交点。

2019年高考理数——圆锥曲线1.(19全国一理19．（12分）)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB u u u r u u u r，求|AB |．2.(19全国二理21．（12分）)已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.3.(19全国三理21．)已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.4.(19北京理（18）（本小题14分）)已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．设椭圆22 221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．6.(19浙江21．（本小题满分15分）)如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q 在点F的右侧．记,AFG CQG△△的面积分别为12,S S．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．参考答案：1．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．2．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k=+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．3．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或4.解：（Ⅰ）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =.（Ⅱ）抛物线C 的焦点为(0,1)F -.设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =.令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-.设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++u u u r u u u r 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++24(1)n =-++ 令0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.5. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =， 2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=． （Ⅱ）解：由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k=-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k -=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k =-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或．6.（1）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1. （2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故 220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =12S S取得最小值1+，此时G （2，0）．7.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以32 y=-.因此3(1,)2E--.11。

2019年高考各地区圆锥曲线汇总（2019，浙江，21）如图，已知点)0,1(F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于Q ，且Q 在F 的右侧，记△AFG ，△CQG的面积分别为21,S S .（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求21S S 的最小值及此时点G 的坐标.解析：（Ⅰ）由题得12=p ，及2=p 所以抛物线的准线方程为12-=-=p x （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的方程为xy 42=设)2,(2t t A ，所以122-=t t k AF ，故121:2+-=y tt x l AF 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==121422y t t x x y 得04)1(222=---y t t y 设),(22y x B ，),(33y x C 所以422-=⋅y t ，即t y 22-=，又B 在抛物线上，所以221t x =所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-t tB 2,12因为G 为△ABC 的重心，由坐标重心公式得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++322,313322y t t x t t G 由题得0223=+-y t t ，所以t ty 223-=因为C 在抛物线上，所以231⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t x ，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t C 22,12所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,3222224t t t G 因为t t t t t t t k AC 2122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=所以)(22:2t x t t y l AC -=-，令0=y ，得12-=t x 所以()0,12-t Q 由于Q 在F 的右侧，故112>-t ，即22>t |2||13222|212241t tt t S ⋅-+-⋅=t tt t t t S 22322212122422-⋅+---⋅=所以122124242421---=--=t t t t t S S 令)0(22>-=m t m ，22+=m t 所以231324123412342221+=+-≥++-=++-=mm m m m S S 当且仅当3=m 时，不等式取等号所以21S S 的最小值为231+，此时)0,2(Q （2019,全国Ⅰ文，21）已知点B A ,关于坐标原点O 对称，4||=AB ，M 过点B A ,且与直线02=+x 相切.（Ⅰ）若A 在直线上0=+y x ，求M 的半径；（Ⅱ）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MP MA -为定值？并说明理由.解析：（Ⅰ）设圆M 的半径为r由于圆M 经过B A ,，所以圆心M 经过B A ,的垂直平分线，又A 经过0=+y x ，所以圆心M 经过直线xy =设),(a a M ，由于圆M 与2-=x 相切，所以ra =+|2|因为AB 中点O 与M 共线，所以AOMO ⊥由题可知2=AO ，所以2224a r +=联立⎩⎨⎧+==+2224|2|a r r a ，解得当0=a 时，4=r 当4=a 时，6=r 所以圆M 的半径为4或6（Ⅱ）设),(y x M ，由题得rx =+|2|又AO MO ⊥，所以2224ry x =++所以222)2(4+=++x y x ，化简得xy 42=故M 的轨迹为抛物线所以存在定点)0,1(P ，动点A 在直线1-=x ，使得||||MA MP -为定值，定值为0（2019,全国Ⅰ理，19）已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为B A ,，与x 轴的交点为P .（Ⅰ）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（Ⅱ）若3AP PB = ，求||AB .解析：（Ⅰ）设直线m y x l +=32:，设),(),,(2211y x B y x A 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y m y x 3322得0322=--m y y 所以⎩⎨⎧-=*=+(**)3)(22121m y y y y由题得254||||21=+⇒=+x x BF AF 252)(322121=++=+m y y x x 所以127=m ，所以12732:+=y x l （Ⅱ）由（Ⅰ）知m y x l +=32:，令0=y ，得m x =所以)0,(m P 由于3AP PB = ，得),(3),(2211y m x y x m -=--即*)*(*321y y -=由(*)和*)*(*得1,321-==y y 代入(**)得1=m 所以31341249414)(11||212212=+⋅+=-+⋅+=m y y y y k AB （2019,全国Ⅱ文，20）已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为C 上一点,O 为坐标原点.（Ⅰ）若△2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（Ⅱ）如果存在点P ，使得21PF PF ⊥，且△21PF F 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.解析：（Ⅰ）连接1PF ，由题得△2POF 为等边三角形，所以 9021=∠PF F 因为c PF OF ==22，又因为aPF PF 221=+所以ca PF -=21所以2212221F F PF PF =+，即02222=-+a ac c 所以0222=-+e e ，解得13-=e （Ⅱ）设),(00y x P 由题知(*)162||210=c y因为21PF PF ⊥，所以10000-=-⋅+cx y c x y ，即(**)22020c y x =+又因为P 在椭圆上，所以*)*(*1220220=+by a x 又*)*(*(**),(*),可得4=b ，)()(2222022b c a x b a -=-，所以22bc ≥因为3222222=≥+=b c b a ，所以24≥a ，当且仅当c b =取等号所以),24[+∞∈a （2019,全国Ⅱ理，21）已知点)0,2(-A ，)0,2(B ，动点),(y x M 满足直线AM 与BM 的斜率之积为21-，记M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（Ⅱ）过坐标原点的直线交C 于Q P ,两点，点P 在第一象限，x PE ⊥轴，垂足为E 连接QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：△PQG 是直角三角形；（ii ）求△PQG 面积的最大值.解析：（Ⅰ）由题得21-=⋅BM AM k k ，即2122-=-⋅+x y x y 整理得)2|(|12422≠=+x y x 所以C 为椭圆（Ⅱ）（i ）设直线kxy l PQ =:联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=12422y x kx y 得2212k x +±=设)0,(),,(),,(11111x E kx x Q kx x P --所以2211k x kx k QE ==，则)(2:1x x k y l QE -=联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=124)(2221y x x x k y 得=-+-+42)21(121222x k x x k x k 设),(22y x G 所以2121221k x k x x +=+-，即22122)23(k k x x ++=，则21322k x k y +=所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2132212,2)23(k x k k k x G 则k x k k x kx k x k k PG 12)23(212211213-=-++-+=所以1-=⋅PQ PG k k ，所以△PQG 为直角三角形（ii ）不妨设01>x ，0>k ，所以2112||k x PQ +=22122112212|2)23(|1||k k kx k k x x k PG ++=++-+=所以1)1(2)1(8)2)(21()1(82121221||||21222222121+++=+++=++⋅+⋅==kk k k k k k k k k kx k x PG PQ S PQG △令)2(1≥+=t k k t ，所以t t t t S PQG 1281282+=+=△设t t t f 21)(+=，则212)(tt f -='所以当),2(+∞∈t 时0)(>'t f ，)(t f 单调递增所以29)2()(=≥f t f 所以916298=≤PQG S △所以△PQG 面积的最大值为916（2019,全国Ⅲ，21）已知曲线2:2x y C =，D 为直线21-=y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A ,.（Ⅰ）证明：直线AB 过定点；（2019,全国Ⅲ文，21（Ⅱ））（Ⅱ）若以)25,0(E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.（2019,全国Ⅲ理，21（Ⅱ））（Ⅲ）若以)25,0(E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积解析：（Ⅰ）设21,(0-x D ，易得直线AB 的方程为210+=x x y 当0=x 时，21=y 所以直线AB 过定点)21,0(（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==21202x x y y x 得01202=--x x x 所以0212x x x =+，121-=x x 121)(2021021+=++=+x x x x y y 所以AB 的中点212,(200+x x P 设该圆的半径为r 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+r x x r x 2202020)25212(12，解得10±=x ，00=x 当00=x 时，2=r ，所以圆的方程为4)25(22=-+y x当10±=x 时，2=r ，所以圆的方程为225(22=-+y x （Ⅲ）=-+=||1||212x x k AB )1(220x +设E 点到直线AB 的距离为1d ，D 点到直线AB 的距离为2d 所以()21||21d d AB S +=由（Ⅱ）知00=x 或10±=x 当00=x 时21:=y l AB 所以2||=AB ，21=d ，12=d 所以33221=⨯⨯=S 当10±=x 时，21:+±=x y l AB 所以4||=AB ，2221=+d d 所以24=S （2019,北京文，19）已知椭圆1:2222=+by a x C 的右焦点为)0,1(，且经过点()1,0A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线)1(:±≠+=t t kx y l 与椭圆C 交于两个不同点Q P ,，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2||||=ON OM ，求证：直线l 经过定点解析：（Ⅰ）由题得1,1==b c ，所以2=a 所以椭圆C 的方程为1222=+y x （Ⅱ）设),(),,(2211y x Q y x P 111x y k AP -=，所以x x y y l AP 1111:-=-令0=y ，则111y x x -=所以)0,1(11y x M -，同理)0,1(22y x N -联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 1222得0224)12(222=-+++t ktx x k 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+12221242221221k t x x k kt x x 有题得2|1||1|2211=--y x y x 所以212))((22121221=+-++-+t t x x k kt x x k x x 212124)(122212222222222=+-++--++-+-t t k kt k kt k t k k t 整理得0=t 所以kx y l =:，所以l 恒过定点)0,0(（2019,北京理，18）已知抛物线py x C 2:2-=，经过点)1,2(-.（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作直线不为0的直线l 交抛物线C 于N M ,两点，直线1-=y 分别交直线ON OM ,于点A 和B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴的两个定点.解析：（Ⅰ）因为C 经过)1,2(-所以p 24=，即2=p 所以y x C 4:2-=准线方程为1=y （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，设直线1:-=kx y l MN 联立⎩⎨⎧-=-=yx kx y 412得0442=-+kx x 所以k x x 421-=+，421-=x x 因为11x y k OM =，所以x x y y l OM 11:=令1-=y ，得11y x x -=，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,11y x A 同理⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,22y x B 设y 轴上点),0(t Q ，因为圆经过Q ，所以0QA QB ⋅= 11,1x QA t y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，22,1x QB t y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以0)1(22121=++t y y x x ，4)1(2=+t 解得3-=t 或1=t 所以以AB 的圆经过y 轴两个定点)1,0(),3,0(-（2019,江苏，17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆22224)1(:a y x F =+-交于点A ，与椭圆C 交于点D ，连接1AF 并延长交圆2F 于点B ，连接2BF 交椭圆C 于点E ，连接1DF .已知251=DF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点E 的坐标.解析：（Ⅰ）有题得1=c 因为ab DF 22||=，221=F F 所以425424=+a b ，所以a b 322=又因为222c a b -=，所以02322=--a a ，解得2=a ，3=b 所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x （Ⅱ）易得)4,1(A ，所以2241==AF k 所以22:1+=x y l AF 联立⎩⎨⎧=+-+=16)1(2222y x x y 得011652=-+x x 所以511-=B A x x ，即511-=B x ，512-=B y 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--512,511B ，则4351115122=+=BF k ，所以)1(43:2-=x y l BF 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)1(4313422x y y x 得013672=--x x 解得1-=x 或713=x 因为E 是直线2BF 与椭圆的交点，所以1-=x 所以23-=y ，所以E 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1（2019,天津文，19）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知||2||3OB OA =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为43的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4=x 上，且AP OC //，求椭圆的方程.解析：（Ⅰ）由题得b a 23=，即2243ba =又因为222cb a +=，所以224ca =所以椭圆的离心率21=e （Ⅱ）设圆心),4(m C ，圆的半径为r由（Ⅰ）得c a 2=，c b 3=，所以椭圆的方程为1342222=+cy c x 设)(43:c x y l +=联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=134)(432222c y c x c x y 得0136722=-+c cx x 解得c x =或c x 713-=当c x =时，c y 23=，满足题意当c x 713-=时，c y 149-=，不符合题意故⎪⎭⎫ ⎝⎛c c P 23,因为AP OC //，所以APOC k k =)0,2()0,(c A a A -⇒-所以cc c m 2234+=，解得2=m 因为圆C 与x 轴相切，所以2=r 所以圆的方程为()()42422=-+-y x又因为圆C 与直线l 相切，所以2534=+c ，解得2=c 所以32,4==b a 所以椭圆的标准方程为1121622=+y x （2019,天津理，18）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上，下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若||||OF ON =（O 为原点），且MN OP ⊥，求直线PB 的斜率.解析：（Ⅰ）由题得55,2==a c b 又因为222c b a +=，可得52=a 所以椭圆的方程为14522=+y x （Ⅱ）由题得)2,0(B ，设),(00y x P 所以002x y k PB -=，所以22:00+-=x x y y l PB 令0=y ，解得0022y x x -=，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2200y x M 因为1||=OF ，N 在y 轴负半轴，且||||ON OF =所以)1,0(-N 由于MN OP ⊥，所以0OP MN ⋅= 则(*)2202020y y x -=因为P 在椭圆上，所以(**)1452020=+y x 由(*)和(**)得710,730200-=±=y x 所以5302±=PB k （2019,上海，20）已知椭圆14822=+y x ，21,F F 为其左、右焦点，直线l 过点2F 且交椭圆于B A ,两点.（Ⅰ）AB 垂直于x 轴，求AB ；（Ⅱ）若 901=∠AB F ，且A 在x 轴上方，求B A ,两点坐标；（Ⅲ）直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N ，问：是否存在直线l ，使得MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）由于2,22==b a 所以222282||2===a b AB （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A 由题得120AF AF ⋅= 所以42121=+y x 又因为A 在椭圆上，所以1482121=+y x 联立可得2,011==y x 所以直线AB 的方程为xy -=2联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148222y x x y 得⎩⎨⎧==20y x 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3238y x 所以)2,0(A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,38B （Ⅲ）设直线AB 为myx +=2联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=148222y x my x 得044)2(22=-++my y m 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2424221221m y y m m y y 2111+=x y k AF ，所以)2(2:111++=x x y y l AF 令0=x ，则2211+=x y y 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22,011x y M ，同理⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22,022x y N 所以|16)(4|||8|2222|2|2222|212121221221122111+++-=+-+=+-+=y y m y y m y y x y x y x y x y S MN F △因为||1||11||212212y y m y y k AB -+=-+=，点1F 到直线AB 的距离214m d +=所以||2211y y S AB F -=△由题得||2|16)(4|||8212121221y y y y m y y m y y -=+++-1162162442222=++-++-m m m m 所以|8||2|22m m -=+，解得3±=m所以直线AB 的方程为23+±=y x 故存在直线23:+=y x l 使得MN F AB F S S 11△△=。

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用方面，我们可以寻找符合条件的等量关系和进行等价转换，数形结合。

需要注意的是，定义的适用条件也要考虑清楚。

典型例题：例1：已知动圆M与圆C1：(x+1)^2+y^2=36内切，与圆C2：(x-1)^2+y^2=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：已知方程x^2/y^2+1=1表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断焦点位置之前，需要先将圆锥曲线化成标准方程。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题：例1：已知方程x^2/a^2+y^2/b^2=1表示的焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围。

例2：已知方程9-x^2/5-y^2/k=0，求k的取值使得方程为椭圆或双曲线。

题型三：圆锥曲线焦点三角形问题圆锥曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

常用正弦、余弦定理求解。

同时，PF，PF' = n，m+n，m-n，mn，m+n这四个关系也有应用。

典型例题：例1：椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求ΔF1PF2的面积。

例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求ΔF1PF2的面积。

双曲线的标准方程为什么？题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在求离心率、渐近线时，需要利用a、b、c三者的相等或不等关系式进行计算，同时注重数形结合思想和不等式解法。

典型例题：例1：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，渐近线方程为y=(b/a)x，求a、b、c的大小关系式和渐近线的最值或范围。

§9.8圆锥曲线的综合问题考纲解读分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.五年高考考点一定值与最值及范围问题1.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.解析(1)设直线AP的斜率为k,k==x-,因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)解法一:联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是x Q=.因为|PA|==(k+1),|PQ|=(x Q-x)=-,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.解法二:如图,连接BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ=·(-)=·-.易知P(x,x2),则·=2x+1+2x2-=2x2+2x+,=+=x2+x++x4-x2+=x4+x2+x+.Ⅰ|AP|·|PQ|=-x4+x2+x+.设f(x)=-x4+x2+x+,则f'(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,Ⅰf(x)在上为增函数,在上为减函数,Ⅰf(x)max=f(1)=.故|AP|·|PQ|的最大值为.2.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M是线段OC 延长线上一点,且|MC|Ⅰ|AB|=2Ⅰ3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.解析(1)由题意知e==,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y整理得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=.由题意可知圆M的半径r=|AB|=·.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立得x2=,y2=,因此|OC|==.由题意可知sin==,而==,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此=·=·=·≥1,当且仅当=,即t=2时等号成立,此时k1=±,所以sin≤,因此≤,所以∠SOT的最大值为.综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率k1=±.3.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).(1分)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.(4分)因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(5分)(2)由题意,t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.(7分)由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+|=.(8分)由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.(9分)由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.(10分)t>3等价于=<0,即<0.(11分)由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).(12分)教师用书专用(4—15)4.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.答案B5.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案6.(2016山东,21,14分)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2.求的最大值及取得最大值时点P的坐标.解析(1)由题意知=,可得a2=4b2.因为抛物线E的焦点F的坐标为,所以b=,所以a=1.所以椭圆C的方程为x2+4y2=1.(2)(i)设P(m>0).由x2=2y,可得y'=x,所以直线l的斜率为m.因此直线l方程为y-=m(x-m),即y=mx-.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.由Δ>0,得0<m<(或0<m2<2+),(*)且x1+x2=,因此x0=.将其代入y=mx-,得y0=.因为=-,所以直线OD方程为y=-x.联立得点M的纵坐标y M=-,所以点M在定直线y=-上.(ii)由(i)知直线l方程为y=mx-.令x=0,得y=-,所以G.又P,F,D,所以S1=·|GF|·m=,S2=·|PM|·|m-x0|=××=.所以=.设t=2m2+1.则===-++2,当=,即t=2时,取到最大值,此时m=,满足(*)式,所以P点坐标为.因此的最大值为,此时点P的坐标为.7.(2015课标全国Ⅰ,20,12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.解析(1)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M==,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P.由得=,即x P=.将点的坐标代入l的方程得b=,因此x M=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是=2×,解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.8.(2015浙江,19,15分)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,Ⅰ将AB中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-.Ⅰ由ⅠⅠ得m<-或m>.(2)令t=∈∪,则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.9.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解析(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立得消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=>,解得-<x<-1,或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.Ⅰ当x∈时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈.Ⅰ当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.10.(2014浙江,21,15分)如图,设椭圆C:+=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.解析(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为.又点P在第一象限,故点P的坐标为.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离d=,整理得d=.因为a2k2+≥2ab,所以≤=a-b,当且仅当k2=时等号成立.所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.11.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.Ⅰ(i)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k≠0时,方程Ⅰ的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).Ⅰ设直线l与x轴的交点为(x0,0),由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.Ⅰ1°若由ⅠⅠ解得k<-1或k>.即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.2°若或则由ⅠⅠ解得k∈或-≤k<0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.3°若则由ⅠⅠ解得-1<k<-或0<k<.即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.12.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.解析(1)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|==,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2.而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2.综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.13.(2013陕西,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.解析(1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,Ⅰ|O1M|=,又|O1A|=,Ⅰ=,化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,Ⅰ动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x. (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x1+x2=,Ⅰx1x2=,Ⅰ因为x轴平分∠PBQ,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,Ⅰ将Ⅰ,Ⅰ代入Ⅰ得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,Ⅰk=-b,此时Δ>0,Ⅰ直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).14.(2013安徽,18,12分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解析(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q的坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1.化简得=-(2a2-1).Ⅰ将Ⅰ代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.15.(2013山东,22,13分)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2.若k≠0,试证明+为定值,并求出这个定值.解析(1)由于c2=a2-b2,将x=-c代入椭圆方程+=1,得y=±,由题意知=1,即a=2b2.又e==,所以a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)解法一:设P(x0,y0)(y0≠0).又F1(-,0),F2(,0),所以直线PF1,PF2的方程分别为:y0x-(x0+)y+y0=0,:y0x-(x0-)y-y0=0.由题意知=.由于点P在椭圆上,所以+=1.所以=.因为-<m<,-2<x0<2,所以=.所以m=x0.因此-<m<.解法二:设P(x0,y0).当0≤x0<2时,Ⅰ当x0=时,直线PF2的斜率不存在,易知P或P.若P,则直线PF1的方程为x-4y+=0.由题意得=-m,因为-<m<,所以m=.若P,同理可得m=.Ⅰ当x0≠时,设直线PF1,PF2的方程分别为y=k1(x+),y=k2(x-).由题意知=,所以=.因为+=1,并且k1=,k2=,所以===,即=.因为-<m<,0≤x0<2且x0≠,所以=.整理得m=,故0≤m<且m≠.综合ⅠⅠ可得0≤m<.当-2<x0<0时,同理可得-<m<0.综上所述,m的取值范围是.(3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).联立得整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(-2kx0y0+k2-1)=0.由题意知Δ=0,即(4-)k2+2x0y0k+1-=0.又+=1,所以16k2+8x0y0k+=0,故k=-.由(2)知+=+=,所以+==·=-8,因此+为定值,这个定值为-8.考点二存在性问题1.(2015北京,19,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)由题意得解得a2=2.故椭圆C的方程为+y2=1.设M(x M,0).因为m≠0,所以-1<n<1.直线PA的方程为y-1=x,所以x M=,即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(x N,0),则x N=.“存在点Q(0,y Q)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,y Q)使得=”,即y Q满足=|x M||x N|.因为x M=,x N=,+n2=1,所以=|x M||x N|==2.所以y Q=或y Q=-.故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.点Q的坐标为(0,)或(0,-).2.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,所以设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意得Δ=+=0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=,当≠4时,k AE==-=,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.教师用书专用(3)3.(2013湖北,21,13分)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.解析依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1:+=1,C2:+=1.其中a>m>n>0,λ=>1.(1)解法一:如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|,所以=.在C1和C2的方程中,分别令x=0,可得y A=m,y B=n,y D=-m,于是===.若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.解法二:如图1,若直线l与y轴重合,则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|.所以===.若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.(2)解法一:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则d1==,d2==,所以d1=d2.又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ,即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)·|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是=.Ⅰ将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得x A=,x B=.根据对称性可知x C=-x B,x D=-x A,于是===.Ⅰ从而由Ⅰ式和Ⅰ式可得=.Ⅰ令t=,则由m>n,可得t≠1,于是由Ⅰ式可解得k2=.因为k≠0,所以k2>0.于是Ⅰ式关于k有解,当且仅当>0,等价于(t2-1)<0.由λ>1,可解得<t<1,即<<1,由λ>1,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.解法二:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则d1==,d2==,所以d1=d2.又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ.因为===λ,所以=.由点A(x A,kx A),B(x B,kx B)分别在C1,C2上,可得+=1,+=1,两式相减可得+=0,依题意得x A>x B>0,所以>.所以由上式解得k2=.因为k2>0,所以由>0,可解得1<<λ.从而1<<λ,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一定值与最值及范围问题1.(人教A选2—1,二A,5,变式)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x无交点,则其离心率e的取值范围是()A.(1,2)B.(1,2]C.(1,)D.(1,]答案D2.(2017湖南长沙模拟,11)P是双曲线C:-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为()A.1B.2+C.4+D.2+1答案D3.(2018河北五校12月联考,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF的面积为(O是坐标原点).(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上的一点,过P的直线l与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限,切点为M,证明:|PF|+|PM|为定值.解析(1)设椭圆的半焦距为c,由已知得⇒Ⅰ椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:以短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1,F(1,0),设P(x0,y0),则+=1(0<x0≤).Ⅰ|PF|=====(2-x0).又l与圆x2+y2=1相切于M,Ⅰ|PM|=====x0,Ⅰ|PF|+|PM|=(2-x0)+x0=,为定值.考点二存在性问题4.(2018四川乐山模拟,20)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2+=0,过A,Q,F2三点的圆的半径为2.过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H 两点(点G在点M,H之间).(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.解析(1)因为2+=0,所以F1为F2Q的中点.由F1(-c,0),F2(c,0)及已知得Q的坐标为(-3c,0),因为AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,且过A,Q,F2三点的圆的圆心为F1(-c,0),半径为2c,所以2c=2,解得c=1,所以a=2,b=,所以所求椭圆方程为+=1.(2)假设存在点P满足题意,由已知得l的方程为y=kx+2(k>0),与椭圆方程联立,消去y可得(3+4k2)x2+16kx+4=0.设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1+x2=-,Δ=(16k)2-16(3+4k2)>0,又k>0,Ⅰk>.+=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2)=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4),=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)).由于菱形的对角线互相垂直,故(+)·=0,所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0,即(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0.因为k>0,所以x2-x1≠0.所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0.所以(1+k2)+4k-2m=0.解得m=-,即m=-.因为k>,所以+4k≥2=4当且仅当k=时,“=”成立,所以-≤m<0,故存在满足题意的点P,且m的取值范围是.5.(2017河北唐山模拟,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问:是否存在k使得以CD为直径的圆过E点?请说明理由.解析(1)直线AB的方程为bx-ay-ab=0,依题意可得解得Ⅰ椭圆的方程为+y2=1.(2)存在.理由:假设存在这样的k.联立得(1+3k2)x2+12kx+9=0,由题意知Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0,Ⅰ设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-,Ⅰx1·x2=,Ⅰ而y1·y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE⊥DE时成立,则y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,Ⅰ(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0,Ⅰ将ⅠⅠ代入Ⅰ整理得k=,经验证,k=时Ⅰ成立.综上可知,存在k=使得以CD为直径的圆过点E.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:30分钟)一、选择题(共5分)1.(2017河南郑州一模,11)已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则·的值为()A.3B.4C.5D.与P的位置有关答案A二、解答题(共30分)2.(2018湖南长沙模拟)已知动圆M在圆F1:(x+1)2+y2=外部且与圆F1相切,同时还在圆F2:(x-1)2+y2=内部与圆F2相切.(1)求动圆圆心M的轨迹方程;(2)记(1)中求出的轨迹为C,C与x轴的两个交点分别为A1、A2,P是C上异于A1、A2的动点,直线l:x=与x轴交于点D,直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|为定值.解析(1)设动圆M的半径为r,由已知得|MF1|=+r,|MF2|=-r,|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|,ⅠM点的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,故圆心M的轨迹方程为+=1.(2)设P(x0,y0),由已知得A1(-2,0),A2(2,0),则=,直线PA1的方程为:y=(x+2),=,直线PA2的方程为:y=(x-2),当x=时,E,F,Ⅰ|DE|·|DF|=(+2)×(-2)=×2,又Ⅰ(x0,y0)满足+=1,Ⅰ=-,Ⅰ|DE|·|DF|=-×2=,为定值.3.(2017广东汕头二模,20)已知O为坐标原点,圆M:(x+1)2+y2=16,定点F(1,0),点N是圆M上一动点,线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q,点Q的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点,曲线E与y轴的交点分别为B1、B2,直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点,请问线段长之积|OC|·|OD|是否为定值?如果是,请求出定值;如果不是,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若点C的坐标为(-1,0),过点C的直线l与E相交于A、B两点,求△ABD面积的最大值.解析(1)连接FQ,则|FQ|=|NQ|,Ⅰ|MQ|+|FQ|=|MQ|+|QN|=|MN|=4>|MF|,根据椭圆的定义得,E是以M(-1,0),F(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆,Ⅰ2a=4,即a=2,又Ⅰ焦点为(1,0),即c=1,Ⅰb2=a2-c2=4-1=3.故点Q的轨迹E的方程为+=1.(2)是定值.设P(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±3),不妨设B1在y轴负半轴上,则直线B1P的方程为y=x-.令y=0,得x C=,同理得x D=,Ⅰ|OC|·|OD|=|x C|·|x D|=.Ⅰ点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点,Ⅰ+=1,即3=4(3-),Ⅰ|OC|·|OD|==4,因此|OC|·|OD|是定值,且定值为4.(3)当点C的坐标为(-1,0)时,点D(-4,0),|CD|=3,设直线l的方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3m2+4)y2-6my-9=0,Δ=36(4m2+4),y1,2=,Ⅰ|y1-y2|=,△ABD的面积S=×|y1-y2|×3=·==.Ⅰm2≥0,Ⅰ≥1,又函数y=3x+在[1,+∞)上为增函数,Ⅰ3+≥4,ⅠS≤,Ⅰ当m=0,即直线AB的方程为x=-1时,△ABD的面积最大,且最大值为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法1.(2017江西南昌NCS项目模拟,11)抛物线y2=8x的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,若x1+x2+4=|AB|,则∠AFB的最大值为()A. B. C. D.答案D2.(2018天津模拟,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0),且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.(1)求椭圆C的离心率;(2)若点M在椭圆C上,不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,与直线OM相交于点N,且N是线段AB 的中点,求△OAB面积的最大值.解析(1)由题意得a-c=b,则(a-c)2=b2,结合b2=a2-c2,得(a-c)2=(a2-c2),即2c2-3ac+a2=0,亦即2e2-3e+1=0,结合0<e<1,解得e=.所以椭圆C的离心率为.(2)由(1)得a=2c,则b2=3c2.将代入椭圆方程+=1,解得c2=1.所以椭圆方程为+=1.易得直线OM的方程为y=x.当直线l的斜率不存在时,线段AB的中点不在直线y=x上,故直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),与+=1联立消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由y1+y2=k(x1+x2)+2m=,得线段AB的中点坐标为N,因为N在直线y=x上,所以-=2×,解得k=-.所以Δ=48(12-m2)>0,得-2<m<2,且m≠0,|AB|=|x2-x1|=·=·=.又原点O到直线l的距离d=,所以S△OAB=××=≤·=.当且仅当12-m2=m2,即m=±时等号成立,符合-2<m<2,且m≠0.所以△OAB面积的最大值为.3.(2017河南新乡调研,21)设O为坐标原点,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,抛物线C2:x2=-ay的准线方程为y=.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(2)设过定点M(0,2)的直线与椭圆C1交于不同的两点P,Q,若O在以PQ为直径的圆的外部,求直线的斜率的取值范围.解析(1)由题意得=,Ⅰa=2,故抛物线C2的方程为x2=-2y,又e=,Ⅰc=,Ⅰb=1,从而椭圆C1`的方程为+y2=1.(2)显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2).由得(1+4k2)x2+16kx+12=0,ⅠΔ=(16k)2-4×12×(1+4k2)>0,Ⅰk∈∪,x1+x2=,x1x2=,根据题意,得0<∠POQ<⇔·>0,Ⅰ·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+2k×+4=>0,Ⅰ-2<k<2,综上得k∈∪.方法2圆锥曲线中的定值、定点问题的解题方法4.(2018江苏启东模拟,20)设顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4),过P作抛物线的动弦PA,PB,并设它们的斜率分别为k PA,k PB.(1)求抛物线的方程;(2)若k PA+k PB=0,求证直线AB的斜率为定值,并求出其值;(3)若k PA·k PB=1,求证直线AB恒过定点,并求出其坐标.解析(1)依题意,可设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),因抛物线过点(2,4),故42=4p,解得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则k PA===,同理,k PB=,k AB=.Ⅰk PA+k PB=0,Ⅰ+=0,Ⅰ=,Ⅰy1+4=-y2-4,Ⅰy1+y2=-8,Ⅰk AB=-1.Ⅰ直线AB的斜率恒为定值-1.(3)Ⅰk PA k PB=1,Ⅰ·=1,Ⅰy1y2+4(y1+y2)-48=0.直线AB的方程为y-y1=,即(y1+y2)y-y1y2=8x.将y1y2=-4(y1+y2)+48代入上式得(y1+y2)(y+4)=8(x+6),该直线恒过定点(-6,-4),命题得证.5.(2018河南新乡模拟,20)已知右焦点为F的椭圆M:+=1(a>)与直线y=相交于P,Q两点,且PF⊥QF.(1)求椭圆M的方程:(2)O为坐标原点,A,B,C是椭圆M上不同的三点,并且O为△ABC的重心,试探究△ABC的面积是否为定值.若是,求出这个定值;若不是,说明理由.解析(1)设F(c,0),P,Q,将点P的坐标代入椭圆方程可得+=1,即t2=a2,Ⅰ由PF⊥QF,可得·=-1,即c2-t2=-,Ⅰ由ⅠⅠ可得c2=a2-.又a2-c2=3,解得a=2,c=1,故椭圆方程为+=1.(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,由O为△ABC的重心,可得=-(+)=,由C在椭圆上,得3+4=12,化简可得4m2=3+4k2,|AB|=·=·=·,C到直线AB的距离d==,S△ABC=|AB|·d=·=·=.当直线AB的斜率不存在时,|AB|=3,d=3,S△ABC=|AB|·d=.综上可得,△ABC的面积为定值.6.(2017福建福州模拟,20)已知点P是直线l:y=x+2与椭圆+y2=1(a>1)的一个公共点,F1,F2分别为该椭圆的左,右焦点,设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C.(1)求椭圆C的标准方程及离心率;(2)已知A,B为椭圆C上关于y轴对称的两点,Q是椭圆C上异于A,B的任意一点,直线QA,QB分别与y轴交于点M(0,m),N(0,n),试判断mn是否为定值,如果为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.解析(1)联立得(a2+1)x2+4a2x+3a2=0.Ⅰ直线y=x+2与椭圆有公共点,ⅠΔ=16a4-4(a2+1)×3a2≥0,得a2≥3,又a>1,Ⅰa≥,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,故当a=时,|PF1|+|PF2|取得最小值,此时椭圆C的标准方程为+y2=1,离心率为=.(2)mn为定值.设A(x1,y1),B(-x1,y1),Q(x0,y0)(y0≠y1),且已知M(0,m),N(0,n),由题意知k QA=k QM,Ⅰ=,即m=y0-=,同理,得n=,Ⅰmn=·=,又+=1,+=1,Ⅰ=1-,=1-,Ⅰmn===1,Ⅰmn为定值1.方法3存在性问题的解题策略7.(2016吉林长春外国语学校第一次质量检测,21)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,若4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值并证明你的结论;若不是,请说明理由.解析(1)依题意可得又a2=b2+c2,Ⅰa=2,b=1.Ⅰ椭圆C的方程是+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,Ⅰ直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,且4k=k1+k2,Ⅰ4k=+=+,得2kx1x2=m(x1+x2),Ⅰm2=,经检验满足Δ>0.。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

2019年高考文数——圆锥曲线1.(19全国一文21.（12分）)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切． （1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．2.(19全国二文20．（12分）)已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3.(19全国三文21．（12分）)已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．4.(19北京文（19）（本小题14分）)已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．5.(19天津文（19）（本小题满分14分）)设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知||2||OA OB=（O为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且OC AP∥，求椭圆的方程.参考答案：1．解：（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .2．解：（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b +=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．3．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,)2． （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r 22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．4.解：（I ）由题意得，b 2=1，c =1．所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212xy +=．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线AP 的方程为1111y y x x -=+．令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-． 由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++- 22222222212||224(1)()(1)1212t k t ktk k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1tt+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．5. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b 得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+ 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-.因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（Ⅰ）知( 2 , 0)A c -，故3242c t c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l 相切，2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.。

(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y xB. 12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x答案： B解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+by a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+yx . (2019全国1)16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=，则C 的离心率为 . 答案：2解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b e a=+=+︒=.(2019全国1) 19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3=，求||AB . 答案：（1）07128=+-x y ；（2）3134. 解答：（1）设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ， 联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆， ∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB . （2019全国2）8. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案：D 解答：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p .（2019全国2）11. 设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案:A解答：∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=解得2ca=，即2e =.（2019全国2）21. 已知点(2,0),(2,0)A B -，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .①证明：PQG ∆是直角三角形； ②求PQG ∆的面积的最大值. 答案： 见解析 解答：(1)由题意得：1222y y x x ⋅=-+-，化简得： 221(2)42x y x +=≠±，表示焦点在x 轴上的椭圆（不含与x 轴的交点）.(2) ①依题意设111100(,),(,),(,)P x y Q x y G x y --，直线PQ 的斜率为k (0)k > ，则101010101010,PG GQ y y y y y y k k x x x x x x ---+===---+，∴2210221012PG GQy y k k x x -⋅==--， 又1111122GQ EQ y y kk k x x x -====--，∴1PG k k=-， ∴PG PQ ⊥，即PQG ∆是直角三角形.②直线PQ 的方程为(0)y kx x =>，联立22142y kx x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得12122121x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ ， 则直线21111111111:()k PG y x x y x x kx x x k k k k k +=--+=-++=-+， 联立直线PG 和椭圆C ，可得222221122224(1)2(1)(1)40x k x k x x k k k +++-+-=， 则211024(1)2x k x x k ++=+，∴2111012114(1)()222PQGx k S y x x kx k ∆+=+=⋅+ 2222422218()8(1)8(1)1(2)(21)2522()5k k k k k k k k k k k k +++===++++++， 令1t k k=+，则2t ≥，∴2288812(2)5212PQG t t S t t t t∆===-+++， ∵min 19(2)2t t+=， ∴max 16()9PQG S ∆=. （2019全国3）10.双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ∆的面积为（ ）A: 4B:2C:D:答案: A解析：由双曲线的方程22042x y -=可得一条渐近线方程为2y x =；在PFO ∆中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF因为tan ∠得到PO =;所以12S PFO ∆==;故选A;（2019全国3）15.设1F、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.（2019全国3）21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点.过D 作C 的两条切线,切点分别是A ,B ,（1）证明：直线AB 过定点;（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 答案：见解析； 解答：（1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为012y k x =-，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ∆=-=，解得01k =±，并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以直线AB 的方程为12y =； 当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22y kx mx y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消y 并化简得2220x kx m --=，∵有两个交点∴2480k m ∆=+>， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有，122x x k +=，122x x m =-，由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2()2x f x =的图像，则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①， 同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②， 联立①，②并消去x 可得122112y y y y x x x x ---=-， 由已知可得两条切线的交点在直线12y =-上，则有 22122112112222x x x x x x -----=-，化简得，12212112(1)()2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠，即1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验12m =满足条件，所以直线AB 的方程为12y kx =+过定点1(0,)2， 综上所述，直线AB 过定点1(0,)2得证.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y kx =+，当0k =时，即直线AB 方程为12y =，此时点D 的坐标为1(0,)2-，以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1(0,)2F 恰为AB 中点，此时1123322ADBE S AB ED =⋅=⨯⨯=；当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+，则AB 中点坐标为21(,)2H k k +，由已知可得EH AB ⊥，即2152210EH k k k k k +-⋅=⋅=--， 解得，1k =±，由对称性不妨取1k =，则直线方程为12y x =+， 求得D 的坐标为1(1,)2-，4AB =，E 到直线AB距离1d ==D 到直线AB距离2d ==则121122ADBE S AB d AB d =⋅+⋅=， 综上所述，四边形ADBE 的面积为3或（2019北京）4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.（2019北京）18.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ONx x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019天津）5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF=（O 为原点），则双曲线的离心率为C. 2 【答案】D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。

第12讲 圆锥曲线中的综合问题高考统计·定方向题型1 解析几何中的交汇与证明(对应学生用书第60页)圆锥曲线经常和数列、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇命制创新型证明题目，该类试题重视能力立意，强调思维的灵活性，尤其是培养学生严谨的科学态度，提升推理论证能力，对推进新课程标准实施具有指导意义．■高考考法示例·【例1】 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB→|成等差数列，并求该数列的公差． [思路点拨] (1)点差法将k 转化为含m 的表达式→求解m 的取值范围→转化为所证不等式(2)FP →＋F A →＋FB→＝0→P 点坐标由m 表示→求出P 点坐标→由A ，B 的横坐标表示F A →，FB →→证明2|d |＝||FB →|－|F A →||[证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP→|＝32.于是|F A →|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB→|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2. ②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128， 代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . [解] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB . 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .题型2 “构造法”求圆锥曲线中的最值范围问题(对应学生用书第61页)■核心知识储备·1．求圆锥曲线最值范围问题的两种构造方法(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式，再借助基本不等式求最值．(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再借助函数的单调性(或导数)求其值域．2．斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则弦长|P1P2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2，或|P1P2|＝1＋1k2(y1＋y2)2－4y1y2.■高考考法示例·【例2】(2018·衡水高考信息卷二)已知抛物线Γ：x2＝2py(p＞0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|＝4 3.(1)求抛物线Γ在A，B两点处的切线方程；(2)若直线l与抛物线Γ交于M，N两点，且M，N的中点在线段AB上，MN 的垂直平分线交y轴于点Q，求△QMN面积的最大值．[解](1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝±2p，所以4p＝43，解得p＝3，即x2＝6y.由y＝x26，得y′＝x3，故y′|x＝23＝233.所以在A点的切线方程为y－2＝233(x－23)，即2x－3y－23＝0；同理可得在B点的切线方程为2x＋3y＋23＝0.(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，故设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2＝6y与y＝kx＋m联立，得x2－6kx－6m＝0，又Δ＝36k2＋24m＞0，故x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m，故|MN|＝1＋k2·36k2＋24m＝23·1＋k2·3k2＋2m.又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，所以|MN|＝23·1＋k2·4－3k2，由Δ＝36k2＋24m＞0，得－233＜k＜233且k≠0.因为M，N的中点为(3k,2)，所以M，N的垂直平分线方程为y－2＝－1 k(x－3k)，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离 d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2， 所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2 ＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1＜u ＜73， 故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ). 设f (u )＝u 2(7－3u )， 则f ′(u )＝14u －9u 2， 结合1＜u ＜73，令f ′(u )＞0，得1＜u ＜149； 令f ′(u )＜0，得149＜u ＜73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473.【教师备选】 (2017·浙江高考)如图2-5-7，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .图2-5-7(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32， 所以－1＜x －12＜1，即直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.(2018·玉溪模拟)若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 取最大值时，求直线l 的方程．[解] (1)因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以圆C 半径为2，圆心C 是原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设C (p ，q )，由⎩⎪⎨⎪⎧qp ＝1p 2＋q2－2＝0，得p ＝q ＝2，所以C (2,2)．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2m |1＋m 2，所以b ＝222－d 2＝41＋m 2，由⎩⎨⎧x ＝my ＋2x 2＋5y 2＝5得(5＋m 2)y 2＋4my －1＝0，设直线l 与椭圆E 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m5＋m 2，y 1·y 2＝－15＋m 2， a ＝|AB |＝1＋m2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝25(m 2＋1)m 2＋5，ab ＝85m 2＋1m 2＋5＝85m 2＋1＋4m 2＋1≤25，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±3时等号成立．所以当m ＝±3时，ab 取最大值．此时直线l 的方程为x ±3y －2＝0.题型3 “转化法”求圆锥曲线中的定点定值问题(对应学生用书第61页)■核心知识储备·1．定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．2．定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．■高考考法示例· ►角度一 定点问题【例3－1】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知， 椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22. 则由k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．►角度二 定值问题【例3－2】 已知点A (1,0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)求动点B 的轨迹方程；(2)已知点P (2,0)，Q (2，－1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．[解] (1)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A ′(－1,0)．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵O 为AA ′的中点，C 为AB 中点，∴|A ′B |＝2|OC |.∴|BA ′|＋|BA |＝2OC ＋2AC ＝2OC ＋2CD ＝2OD ＝4＞|AA ′|＝2， ∴动点B 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相切，与题意不符．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)x 24＋y 23＝1，消去y 整理得(4k 2＋3)x 2－(16k 2＋8k )x ＋16k 2＋16k －8＝0. ∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点，∴Δ＝(16k 2＋8k )2－4(4k 2＋3)(16k 2＋16k －8)＞0， 解得k ＜12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 2＋8k 4k 2＋3，x 1x 2＝16k 2＋16k －84k 2＋3，∴k PM ＋k PN ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k (x 1－2)－1x 1－2＋k (x 2－2)－1x 2－2＝2kx 1x 2－(4k ＋1)(x 1＋x 2)＋8k ＋4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝124＝3(定值)．【教师备选】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22.图2-5-8(1)求椭圆C 的方程；(2)如图2-5-8，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．[解] (1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根， ∴x 20－4≠0，Δ＞0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1， 即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12.(3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x x 212＋y 26＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝121＋2k 21y 21＝12k 211＋2k 21，∴x 21＋y 21＝12(1＋k 21)1＋2k 21， 同理，可得x 22＋y 22＝12(1＋k 22)1＋2k 22. 由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12(1＋k 22)1＋2k 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18. 综上：|OP |2＋|OQ |2＝18.已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．[解] (1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则C (－x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝kx －2⇒x 2－4kx ＋8＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8. ∴k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)，即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过点(0,2)．题型4 “肯定顺推法”求圆锥曲线中的探索性问题(对应学生用书第62页)■核心知识储备· 1．存在性问题的解题步骤一设：假设满足条件的元素(点、直线等)存在；二列：用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组；三解：解方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线等)存在；否则，元素(点、直线等)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． ■高考考法示例·【例4】 (2018·广西南宁三校联考)已知椭圆方程C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点为(1,0)，离心率为e ＝12，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－34.(1)求椭圆的方程及△AOB 的面积；(2)在椭圆上是否存在一点P ，使OAPB 为平行四边形，若存在，求出|OP |的取值范围，若不存在说明理由．[解] (1)由题意得c ＝1，c a ＝12， ∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y 整理得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∵k OA ·k OB ＝－34，∴y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3m 2－12k 23＋4k2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3. ∵|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)·48(4k 2－m 2＋3)(3＋4k 2)2＝48(1＋k 2)(3＋4k 2)2·3＋4k 22＝24(1＋k 2)3＋4k 2.O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 224(1＋k 2)3＋4k 2＝12m 21＋k 2·24(1＋k 2)3＋4k 2＝123＋4k 22·243＋4k 2＝ 3.(2)若椭圆上存在一点P ，使OAPB 为平行四边形， 则OP →＝OA →＋OB →，设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝6m3＋4k 2，由于P 在椭圆上，所以x 204＋y 23＝1，即16k 2m 2(3＋4k 2)2＋12m 2(3＋4k 2)2＝1， 化简得4m 2＝3＋4k 2 ①，由k OA ·k OB ＝－34，知2m 2－4k 2＝3 ②， 联立方程①②知m ＝0，故不存在P 在椭圆上的平行四边形．(2018·大庆三模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率e ＝12，且椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＜0，设△F 1AB 的内切圆的半径为R ，则△F 1AB 的周长＝4a ＝8，S △F 1AB＝12(|AB |＋|F 1A |＋|F 1B |)R ＝4R ，因此，S△F 1AB最大，R 就最大，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.则S △F 1AB ＝12|F 1F 2|(y 1－y 2)＝12m 2＋13m 2＋4.令m 2＋1＝t ，则m 2＝t 2－1(t ≥1)， ∴S△F 1AB ＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t. 令f (t )＝3t ＋1t ， 则f ′(t )＝3－1t 2，当t ≥1时，f ′(t )≥0，f (t )在[1，＋∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1AB≤3，即当t ＝1，m ＝0时，S △F 1AB≤3，由S△F 1AB＝4R ，得R max ＝34，这时所求内切圆面积的最大值为9π16.故直线l ：x ＝1，△F 1AB 内切圆面积的最大值为9π16.[高考真题]1．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．[解] (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2， 由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)． [最新模拟]2．(2018·郑州质量预测)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1,0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得∠MQO ＝∠NQO ，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由．[解] (1)设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2，取F 关于y 轴的对称点F ′，连F ′P ，故|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4.所以点B 的轨迹是以F ′，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝1，曲线C 方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足题意的定点Q ，设Q (0，m )，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋12消去x ，得(3＋4k 2)x 2＋4kx －11＝0.由直线l 过椭圆内一点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线，故Δ＞0，由求根公式得： x 1＋x 2＝－4k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－113＋4k 2，由∠MQO ＝∠NQO ，得直线MQ 与NQ 斜率和为零．故 y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝kx 1＋12－m x 1＋kx 2＋12－mx 2＝2kx 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m (x 1＋x 2)x 1x 2＝0，2kx 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m (x 1＋x 2)＝2k ·－113＋4k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m ·－4k 3＋4k 2＝4k (m －6)3＋4k 2＝0.存在定点(0,6)，当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意．。