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垫拯生』选盆煎非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。
苏志霄郑兆昌（清华大学工程力学系，北京，１０００８４）谁≮＇Ｉ广摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。
进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及周期特性。
关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。
然而。
由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。
各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。
运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。
与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。
非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。
因此，非线性系统的响应具有连续递推性。
由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。
本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。
该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。
计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。
文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。
一元函数的连续性及其应用分析连续函数是数学中一个重要的概念，在许多领域中都起到关键作用。
本文将详细讨论一元函数的连续性，并分析其应用。
一、连续函数的定义在数学中，一元函数的连续性是指函数在其定义域上的每一个点都满足极限的定义。
即对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当x的取值在(x0 –δ, x0 + δ)范围内时，函数值在(f(x0) –ε, f(x0) + ε)范围内。
二、连续函数的特性连续函数具有以下重要特性：1. 若函数f(x)和g(x)在点x0处连续，那么f(x) + g(x)、f(x) - g(x)、f(x) * g(x)、f(x) / g(x)也在x0处连续；2. 若函数f(x)在点x0处连续，而g(x)在f(x0)处连续，那么g(f(x))也在x0处连续；3. 若函数f(x)在[a, b]区间上连续，那么f(x)在[a, b]上一定有最大值和最小值；4. 至多可以有有限个点不连续的函数也被称为连续函数。
三、连续函数的应用连续函数的应用非常广泛，下面以几个具体的应用场景进行分析。
1. 解析几何中的应用：在解析几何中，连续函数广泛应用于曲线的研究。
通过分析函数曲线的连续性，可以推导出曲线的拐点、极值点、切线等重要信息，进而对曲线进行更深入的研究。
2. 经济学中的应用：在经济学中，连续函数被用于建立供需关系、成本与利润的函数模型。
通过研究这些连续函数的性质，可以解决市场供需均衡、最大利润等重要的经济问题。
3. 物理学中的应用：在物理学中，连续函数在描述物理量随时间或空间的变化规律时经常被使用。
例如，位移、速度和加速度之间的关系可以用连续函数来描述。
4. 优化问题的求解：连续函数在解决优化问题时起到关键作用。
通过研究连续函数的极值点，可以确定问题的最优解，如求解最大值和最小值等。
5. 数值分析中的应用：在数值分析领域中，通过对连续函数进行逼近，可以得到更简洁、有效的数值计算方法。
《内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究》篇一摘要在数学领域中，Sturm-Liouville算子因其对物理和工程应用的重要性而备受关注。
特别是在描述物理系统、微分方程、信号处理等方面具有广泛应用。
然而，当Sturm-Liouville算子内部存在不连续性时，其性质和求解方法将变得更为复杂。
本文旨在研究具有内部不连续性的Sturm-Liouville算子，并对其特征、应用以及相关方法进行详细讨论。
一、引言Sturm-Liouville算子是一类重要的微分算子，在许多领域如量子力学、振动理论、信号处理等都有广泛应用。
当算子内部存在不连续性时，其特征值和特征函数的性质将发生显著变化。
因此，研究具有不连续性的Sturm-Liouville算子对于理解其基本性质、拓宽其应用范围以及发展相关求解方法具有重要意义。
二、不连续性Sturm-Liouville算子的基本性质不连续性Sturm-Liouville算子通常指在定义域内，由于某些物理或数学因素导致的函数不连续的Sturm-Liouville算子。
这类算子的特征值和特征函数具有独特的性质，如离散性、正交性等。
此外，其本征值和本征函数的求解也更加复杂。
三、求解方法针对具有不连续性的Sturm-Liouville算子，本文提出了一种基于数值分析的求解方法。
该方法首先将不连续的微分方程离散化，然后利用数值迭代法求解离散化后的方程组。
在求解过程中，还需要注意选择合适的初始猜测值和迭代终止条件。
此外，还可以利用有限元法、谱方法等对问题进行求解。
四、应用领域具有不连续性的Sturm-Liouville算子在许多领域都有广泛应用。
例如，在量子力学中，它可以用来描述具有势垒或势阱的物理系统；在信号处理中，它可以用来分析信号的频谱特性；在振动理论中，它可以用来描述系统的振动模式等。
此外，在控制论、生物医学工程等领域也有一定的应用。
五、结论本文研究了具有内部不连续性的Sturm-Liouville算子的基本性质、求解方法以及应用领域。
数值分析连续函数的最佳逼近第二讲数值分析中的最佳逼近是一个重要的概念，在连续函数的研究中有着广泛的应用。
本文将对数值分析中连续函数的最佳逼近进行详细的讨论。
首先，我们需要明确最佳逼近的含义。
在数值分析中，最佳逼近是指在给定的范围内选择一个函数来尽可能地接近给定的连续函数。
最佳逼近的问题可以分为两类：在指定函数族中选择一个函数和在给定的有界闭区间上最佳逼近。
在指定函数族中选择一个函数的最佳逼近问题可以通过最小二乘法来解决。
最小二乘法是指通过最小化指定函数和连续函数的残差平方和来选择一个最佳的函数。
在给定的有界闭区间上最佳逼近问题可以通过插值法来解决。
插值法是指通过在给定的有限数据点上插值得到一个函数，并使得插值函数在给定的有界闭区间上与连续函数的误差最小。
最常见的插值方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过构造一个或多个基于不同数据点的插值多项式来逼近连续函数。
拉格朗日插值法的优点是简单易用，但其缺点是计算复杂度高，尤其是在数据点较多的情况下。
牛顿插值法是通过构造一个差商的多项式来逼近连续函数。
差商是指用有限数据点之间的差来表示函数间的关系。
牛顿插值法相对于拉格朗日插值法来说更加高效。
此外，还有其他的最佳逼近方法，如最小二乘逼近和最小平均绝对误差逼近。
最小二乘逼近是通过最小化连续函数和指定函数族的平方误差来选择一个最佳的函数。
最小平均绝对误差逼近是通过最小化连续函数和指定函数族的绝对误差的平均值来选择一个最佳的函数。
最佳逼近的理论基础是泛函分析和数学分析中的一些重要定理，如魏尔斯特拉斯逼近定理和诺特尔定理。
魏尔斯特拉斯逼近定理指出，任意连续函数在有界闭区间上都可以用一个多项式来逼近。
诺特尔定理是关于差商和插值多项式收敛的一个重要定理。
最佳逼近问题在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，最佳逼近可以用于滤波器设计和图像压缩。
在数值计算中，最佳逼近可以用于求解微分方程等数值问题。
非连续变形分析块体模型研究非连续变形分析块体模型研究摘要：近年来，随着结构工程领域的不断发展，非连续变形分析块体模型的研究成为了研究热点之一。
本文通过对非连续变形分析块体模型相关理论、建模方法及工程应用等方面进行综述，总结归纳了目前的研究进展和存在的问题，并展望了未来的发展方向。
1.引言非连续变形是指物质在外部作用下发生的断裂和滑动现象。
在工程结构分析中，非连续变形是非常重要的一个问题。
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，非连续变形的研究也日益深入。
块体模型是非连续变形问题的一种常用研究方法，其能够较准确地描述结构中的断裂和滑动行为。
2.非连续变形分析块体模型理论2.1 断裂力学理论断裂力学是非连续变形分析的理论基础。
它研究物质在外部加载下的断裂过程和失效行为。
断裂力学理论通常包括线性弹性断裂力学和非线性断裂力学两个方面。
2.2 块体模型理论块体模型是一种用于描述结构中断裂和滑动行为的数学模型。
在块体模型中，结构体被视为由多个块体组成，块体之间通过界面相互作用。
常见的块体模型包拟采用弹性断裂力学模型和非线性断裂力学模型。
3.非连续变形分析块体模型建模方法3.1 块体离散方法块体离散方法是一种较常见且有效的建模方法。
它将结构体划分为多个块体，并假定块体之间可以发生滑动和断裂。
通过离散的方式将结构体的连续性近似转化为离散的非连续问题。
3.2 连续介质法与界面元法连续介质法和界面元法是直接对结构体进行建模的方法。
连续介质法将结构体视为连续的弹性体，通过求解连续介质力学方程来分析非连续变形问题。
界面元法则主要通过约束条件来描述结构体断裂面的行为。
4.非连续变形分析块体模型工程应用非连续变形分析块体模型在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在地震工程中，块体模型可以用于预测地震过程中结构体的断裂行为。
在岩土工程中，块体模型可以用于分析土体在外部荷载作用下的破坏机理。
5.存在的问题与发展方向目前，虽然非连续变形分析块体模型已经取得了一些研究进展，但仍然存在一些问题。
岩土工程中的数值分析方法在研究生教学中的改革探讨摘要：随着经济的飞速发展，城市地铁、穿湖隧道等岩土工程朝着“高、深、大”的方向发展，如何应用数值分析方法来模拟岩土工程设计或施工、为实际工程提供指导是研究的热点和重点，也是培养行业内专业人才的一个重要方向。
然而由于岩土工程中的数值分析方法涉及的计算方法繁多、理论知识抽象难懂、编程要求高等原因，导致教学困难。
本文基于多年的实践教学，从岩土体特性的复杂性及数值分析方法的局限性两方面分析了该课程的特点，阐述了各方法在使用时的优缺点，拓宽了学生的专业视野；总结了当前教学中存在的问题如教学内容单一、教学方法过于抽象、教学与实际工程脱节、学生条件和诉求差异性大等，最后从调动学生学习兴趣、培养学生编程习惯、组织学生小组讨论、进行工程实例教学及改变考核方式几方面提出了相应的教学改革方案。
1、引言根据岩土工程的定义可知，其主要研究对象是岩土体，通过利用、整治或改造岩土体性质来解决工程问题，按照工作内容可分为岩土工程勘察、岩土工程设计、岩土工程施工、岩土工程检测及岩土工程管理，各个环节紧密联系，不可分割；涉及的工程有地基工程、边坡工程、隧道工程、铁路工程、矿山工程、环境工程、城市地铁工程、水利水电工程、地下工程、军事工程、近海工程等。
在《2019-2025年中国岩土工程行业市场全景调研与竞争格局分析报告》[1]一书中，详细阐述了岩土工程行业在国民经济中的重要性、行业发展规划、行业发展对社会发展的影响，分析了行业主要技术人才的现状。
在岩土工程实施过程中常使用的方法有：监测、数值模拟、室内试验、模型试验等。
随着计算机的飞速发展，目前数值模拟由于其成本低、速度快等优点已成为各类工程中不可缺少的部分。
通过调研一些设计院及施工单位对行业专业人员的需求发现，缺少能熟练掌握大型数值计算软件及自己编程解决现场问题的专业技术人员，因此在高级专业技术人员教学中应倾向性的进行数值分析方法的教学。
姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。
求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。
在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。
二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。
取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。
则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。
如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。
非连续数值方法综述杨凡（河海大学水利水电学院，江苏南京210098）摘要：非连续问题是岩土及水利工程中不可避免的一类难题，由于其对工程的影响巨大，近几百年来特别近一个世纪以来一直是工程界研究的一个热门话题。
从最早的非连续问题解析解法—刚体极限平衡法出发，引申出近几十年来有关非连续问题研究的热点—非连续问题的数值解法，然后对这些非连续的数值方法的基本原理和实际应用发展情况进行一一综述。
关键词：非连续；数值方法；岩石和土都是经历过变形的地质体，受其成因、组成、结构、年代等诸多因素的影响，岩土材料具有高度的非连续性、非均匀性和各向异性的特征，在力学性质上表现出强烈的非线性。
岩土工程是一门综合应用岩石力学、土力学、工程地质学等基本知识解决实际工程中有关岩体与土体变形及稳定问题的学科[1]。
岩土工程中的非连续变形问题主要是由岩石及土体中不连续面的存在引起的，岩土工程问题中的不连续面大致可分为两类，一类是指存在于岩体中的节理、软弱夹层以及土体中的剪切破坏面，另一类则是岩土结构如各类基础、挡土结构、地下结构等与岩土体之间的接触面。
显然，不连续面对岩土体或结构的受力、变形有着重要的影响，因此为使计算结果真实地反映出岩土体及结构的受力和变形情况，在计算时不能忽视不连续面的存在[2]。
对于具有不连续面的结构，在承受荷载的过程中，不连续面的状态是在不断变化的，这将影响到两侧岩土体的应力和变形，从而影响到整个体系的应力场，而应力场的改变又影响到不连续面的状态。
因此，解决岩土力学问题的关键在于对非连续变形的模拟，分析研究结构中各种不连续面的构造特点和力学性能，研究其受力状态的变化规律及其对结构整体性能的影响是工程设计中的关键研究课题之一，具有很大的学术意义和实用价值[3]。
几百年来，人们对非连续变形问题作了大量的研究工作。
最早有关非连续问题的研究主要集中在寻求解析解的层面上。
1773年，法国科学家库伦在大量实验基础上总结了著名的库伦土压理论，刚性楔体和静力平衡的应用也为后续研究奠定了一个基调。
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
