关于虚功原理充分性的证明-力学与实践-中国力学学会

虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。

2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。

(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。

要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。

应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。

求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。

由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。

4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。

虚功原理的证明
必要性
设质点系处于静力平衡状态， 设质点系处于静力平衡状态，证明作用于质点系所 有主动力所做虚功之和为 0。 。 r r Fi + Ri = 0 已知 设该体系有一虚位移， 设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri = 0
∑
n
i =1
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri =
1
基本概念
（1）虚位移 ）
想象中可能发生的无限小的位移， 想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束， 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有
r 改变（δt =0）， 表示为 δ r ） 。
关于虚位移的说明 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
3
虚功原理
设一个完整的由n 个质点组成的力学 系统， 系统，在k 个理想约束条件下处于静平衡 状态。 状态。其中第i 个质点受到的主动力为 F 则该体系静力平衡条件为： 约束力为 R ，则该体系静力平衡条件为：
i i
∑
n
i=1
uu r u r F i .δ r i = 0
虚功原理的证明
充分性
设作用于质点系所有主动力中所做虚功之和为 0， ， 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 设质点系在所有力作用下不平衡，则其中某些质点 设质点系在所有力作用下不平衡， 将从静止进入运动状态，于是对质点系内任意质点上有 将从静止进入运动状态，
10δr1 − RDδrD + 8δr2 = 0
如何求虚位移间的关系 由几何关系

§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。

Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。

见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。

力学中的虚功原理在力学的广袤天地里，虚功原理宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒。

它不仅是解决力学问题的有力工具，更是深入理解物体运动和受力关系的关键钥匙。

要弄清楚虚功原理，首先得明白什么是“功”。

简单来说，功就是力在位移上的积累。

当一个力作用在物体上，并且物体在这个力的方向上发生了位移，我们就说这个力做了功。

比如，你推一个箱子，使它在水平方向移动了一段距离，你施加的推力就做了功。

那么，虚功又是什么呢？这可得好好说道说道。

虚功并不是真正意义上的功，它是在一个假设的、满足约束条件的微小位移下，力所做的功。

这个微小位移是想象出来的，并非实际发生的。

虚功原理的核心思想是：对于一个处于平衡状态的系统，所有主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。

这听起来可能有点抽象，咱们来举个例子。

想象一个简单的杠杆，支点在中间，两端分别挂着不同重量的物体。

当杠杆处于平衡状态时，如果我们给它一个微小的虚拟位移，那么两端重物的重力所做的虚功之和就是零。

为什么虚功原理这么重要呢？这是因为它为我们解决力学问题提供了一种简洁而有效的方法。

在很多实际情况中，直接分析力和位移的关系可能会非常复杂，但通过虚功原理，我们可以巧妙地避开这些困难。

比如说，在求解复杂的静定结构问题时，传统的方法可能需要我们详细分析每一个杆件的受力和变形，但利用虚功原理，我们可以把注意力集中在系统的整体平衡上，通过设定合适的虚位移，快速得出结果。

再比如，在分析机械系统的运动时，虚功原理可以帮助我们确定各个部件之间的力和能量关系，从而优化系统的设计和性能。

虚功原理还与其他力学原理有着密切的联系。

比如，它和达朗贝尔原理就有着深刻的内在一致性。

达朗贝尔原理通过引入惯性力，将动力学问题转化为静力学问题，而虚功原理则在这个转化过程中发挥了重要作用。

在实际应用中，我们需要注意一些问题。

首先，要正确地确定系统的约束条件，只有这样才能合理地设定虚位移。

其次，对于不同类型的力，如保守力和非保守力，在运用虚功原理时也有不同的处理方法。

1 x B yC tan 2 1 [ FCy F ( tan )]yC 0 2 δyC 是任意的，∴ 1 FCy F tan ( ) 2
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )
四、虚位移原理应用
一) 用虚位移原理求平衡位置的主动力
基本步骤： 1. 受力分析 画出全部可作虚功的主动力； 2. 虚位移分析 1) 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2) 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 3. 使用虚位移原理：
若求B点约束反力，虚位移图？
若求A点约束反力，虚位移图？
二) 用虚位移原理求平衡时的约束反力 虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一假想的主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。

虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
一、虚功原理
受有理想约束 、 定常约束]的力学系统 保持[静 平 的力学系统, 受有理想约束[、 定常约束 的力学系统 保持 静]平 理想约束 衡的必要[充分 条件是作用于该系统的全部主动力的 充分]条件是作用于该系统的全部 衡的必要 充分 条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零 为零. 虚功之和为零 n r r ∑ Fi ⋅ δri = 0
i =1
在直角坐标系中, 在直角坐标系中, 上式写成
∑ (F
i =1
n
ix
δxi + Fiy δy i + Fiz δz i ) = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 必要条件的证明： 必要条件的证明： 当力学系统相对惯性系处于[ 当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时, 平衡时, r r i = 1,2,..., n Fi + FRi = 0 r r r i = 1,2,...n ( Fi + FRi ) ⋅ δri = 0 n r r n r r ∑ Fi ⋅ δri + ∑ FRi ⋅ δri = 0
=0
虚功原理主要用于求解： 虚功原理主要用于求解： (1)系统的静平衡位置 系统的静平衡位置； (1)系统的静平衡位置； (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的 (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的 关系. 关系.
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 应用虚功原理解题的主要步骤是： 应用虚功原理解题的主要步骤是： (1)明确系统的约束类型 看是否满足虚功原理所要求 明确系统的约束类型, 明确系统的约束类型 的条件； 的条件； (2)正确判断系统的自由度 选择合适的广义坐标； 正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标； 正确判断系统的自由度 (3)分析并图示系统受到的主动力； 分析并图示系统受到的主动力； 分析并图示系统受到的主动力 (4)通过坐标变换方程 将虚功原理化成 通过坐标变换方程, 通过坐标变换方程 的形式, 的形式, 进而得出广义平衡方程 Qα = 0, α = 1,2,L , s. 对有势系, 求出系统的势能V 对有势系 求出系统的势能 后，可通过 ∂V / ∂qα = 0 α = 1,2, L , s 得广义平衡方程; 得广义平衡方程; (5)求解广义平衡方程 求解广义平衡方程. 求解广义平衡方程

x
lM
y
y
M
x2 y2 l2
(x sint)2 y2 l2
•定常约束(steady constraint 稳定约束)：约束方程中不显含时 间t 的约束 •非定常约束(unsteady constraint不稳定约束)： 约束方程中显 含时间t 的约束
2.1 约束
4、双侧约束与单侧约束（约束的确定性？）
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xo r 0 是微分方程，
但经过积分可得到 xo r 0 ，该约束仍为完整约束。
2.1 约束
3、定常约束与非定常约束（约束是否与时间有
关？）
x
xA A xA sint
问题：若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示
为：
xi yi
xi (q1,, qk ) yi (q1,, qk )
zi zi (q1,, qk )
xi 如何求 yi
zi
例如：
O
l1
xi
k j 1
xi q j
q
j
yi
k j 1
yi q j
q
j
zi
k j 1
zi q j
q
j
x x l sin
2、光滑铰链
WN N r 0
W N N r N 'r 0
FA'
Foy O
ArA FA
B rB
Fox
FN
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
理想约束的典型例子： 3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动

约束还分为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束不直接依赖于 时间, 其数学表达式不显含时间; 不稳定约束则明显依赖于时间, 其数学表达式显含时间.
此外，约束还可分为单侧约束(可解约束)和双侧约束(不可解). 单侧约束只在某一侧限制系统的运动, 至于向另一侧的运动则是 完全自由的. 例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长 的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的. 单侧约束的数 学表示式是不等式, 一般可写为
分析力学 analytical mechanics
一般力学的一个分支。以广义坐标为描述质点系的变量，以 虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏 观现象中的力学问题。 1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力 学》为这门学科奠定了基础。1834年和1843年W.R.哈密顿建立 了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进一步。1894年H.R. 赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开 始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力 学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方 程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来，又 发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。 分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。 它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体 系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于 连续介质力学和相对论力学。
三、约束力
根据牛顿定律 , 一切影响质点机械运动的因素都归 结为力. 因此约束作用也可以归结为力. 约束力的大小 随力学系统违背约束的趋势的不同而自动调节, 使约束 条件总是得以满足. 因此出现在运动方程中的约束力不 可能预先给定 , 它只能从运动方程并结合约束方程解出 来. 一般将作用于第i个质点的约束力记作Ri, 而把作用 于同一质点的其余的力称为主动力，记作Fi. 有的资料 把约束力称为约束反力，因为这种力是体现约束条件的 实体跟违背约束趋势对抗的反作用力.

理论力学
分析力学
虚功原理(1/13)

虚位移和实位移

在时间间隔 内发生的真实位移 称为 实位移 只要满足约束条件，沿任何方向的位移 都 可以设想为该时刻 的虚位移 实位移是真实的、由动力学规律唯一确定的位移，虚 位移是设想的、满足约束条件的任何方向的位移 实位移对应的时间增量 不等于零，虚位移对应的时 间增量 等于零


不稳定的：
中性的：
√
虚功原理(13/13)

例：杆AB长 l ，一端连接弹簧(系数 k ) 后悬挂，可沿墙和地面无摩擦滑动，杆 竖直时弹簧无拉伸，求平衡位置和P=kl 时的稳定性条件 势能函数(以 q 为广义坐标)

平衡条件 稳定性(设 P = kl )

√
√
虚功原理(7/13)

例：(求平衡时杆位置) 解：坐标系如右图所示 重力 和 、水平外力 ，分 别作用于 C,D,B 点 C,D,B 三点共9个坐标参量：

7个约束：OC, OA, AD, AB, zC = zD =zB = 0 虚功原理和广义坐标 ，
√
虚功原理(8/13)

平衡方程

张力 T1 和 T2 的大小
√
虚功原理(12/13)

势场中质点组的平衡条件和稳定性条件

平衡条件：在理想约束条件下，主动力是保守力的力学系 平衡条件 平衡的充分必要条件是，质点组势能函数对每个广义坐标 的偏导数等于零

稳定性条件(以一个自由度的体系为例：s = 1) 平衡条件

稳定性条件 稳定的：

例：非自由质点的虚位移

稳定约束情况：质点 M 受到固定曲面的约束 实位移：在某时刻 t，约束许可下，经 过无限小时间 ，质点真实的无限 小位移 虚位移：在某时刻 t，约束许可下， 无须经历时间，质点的设想位移

F
A
解析
如图所示，设想在A端将链条水平向 左拉出一段微小段长度dx， 则链条重力做 功 由虚功原理得
R
dW - dxgR
Fdx dW 0
B
可得
F gR
通过对以上几个实例的分析，我们 可以看出应用虚功原理求解问题，体 现了微元法、虚拟法、动态分析法等 物理分析方法，也能为问题的求解另 辟蹊径。
虚功原理： Fi ri 0，
表示的是物体在力系作用下处于平衡状态，若由于其 他原因使物体产生符合约束条件的微小连续位移δ r，则 所有主动力（外力与内力）在虚位移上所做的虚功总和 为零。由于导数与微分已经引入到高中数学，这为求复 杂情况下物体的虚位移带来了方便，因此在高中应用虚 位移原理求解物理问题已成为可能。高中物理有关静力 学问题，用常规方法求解有时需要列出复杂的方程进行 繁琐的数学运算，但如果应用虚功原理求解，往往会使 问题的求解过程大大简化。下面通过几个具体实例谈谈 虚功原理在求解静力学问题中的应用。
解析
建立如图所示的坐标系，设杆长为l，则A、B 两个小球的竖直位置与水平位置坐标分别为：
A
y A lsin，x B lcos
若在力F作用下B球向左发生一段位移dxB， 则在理想约束情况下，A球应竖直向上发生 一段微小位移dyA，θ 角增加微小量dθ 。求 微分有： 由虚功原理得： 解得：
由虚功原理得：
2Tdx B Fdy 0 0
解得：
F T tan 2 2
例2
质量分别为m、M的A、 B两小球用一根轻杆连 接，A靠在竖直光滑墙 上，B放在光滑水平面 上。现用一水平向左的 力F作用在B上使系统处 于平衡状态，此时杆与 水平面成θ 角，求力F 的大小。

虚功原理的具体应用方式什么是虚功原理？虚功原理是力学中一个重要的概念，它描述了力和位移之间的关系。

根据虚功原理，一个力在物体上所做的功等于力在相应位移方向上的投影乘以位移的大小。

这个原理可以应用于各种力学问题中，包括刚体的平衡、弹性体的形变和系统的稳定性分析等。

虚功原理的具体应用方式在实际应用中，虚功原理可以通过以下具体方式来应用：1. 刚体的平衡问题在刚体的平衡问题中，虚功原理可以用来分析平衡条件和未知力的大小和方向。

通过选择合适的虚位移，可以使得某些力在虚位移上的投影为零，从而得到平衡条件。

利用虚功原理，可以解决各种复杂的刚体平衡问题，包括平衡杠、悬挂物体和斜坡上的物体等。

2. 弹性体的形变问题在弹性体的形变问题中，虚功原理可以用来分析弹性体的应力和应变关系。

通过选择合适的虚位移，可以将弹性体的应力和应变联系起来，从而得到弹性体的弹性模量和应力分布等信息。

虚功原理在弹性体力学的研究中起着重要的作用，可以帮助工程师设计出更加安全和可靠的结构。

3. 系统的稳定性分析在系统的稳定性分析中，虚功原理可以用来判断系统是否处于稳定状态。

通过选择合适的虚位移，可以将系统的势能变化与虚功联系起来，从而判断系统的稳定性。

虚功原理在控制系统的设计和优化中具有重要的应用价值，可以提高系统的稳定性和性能。

4. 力学问题的求解除了上述具体应用方式，虚功原理还可以应用于各种其他力学问题的求解。

通过选择合适的虚位移和虚力，可以得到力学问题的解析解或数值解。

虚功原理在力学问题求解中具有广泛的应用，可以帮助解决各种力学难题。

总结虚功原理是力学中的一个重要原理，它描述了力和位移之间的关系。

在实际应用中，虚功原理可以应用于刚体的平衡问题、弹性体的形变问题、系统的稳定性分析和力学问题的求解。

通过选择合适的虚位移和虚力，可以得到力学问题的解答，并增加系统的稳定性和性能。

通过对虚功原理的具体应用方式的理解，我们可以更好地应用虚功原理来解决各种力学问题。

刚体虚功原理
刚体虚功原理是力学中的一个重要原理，它描述了刚体在平衡状态下受力与移动的关系。

虚功原理的基本思想是，对于一个处于平衡状态的刚体而言，所有外力都可视为零。

因此，刚体在受力的情况下不会产生实际的功，但却可能存在虚功。

刚体虚功原理可以通过以下步骤进行推导和理解：
首先，我们将刚体平衡的条件表达为一个力的平衡方程。

假设刚体上有n个力作用，分别为F1、F2、...、Fn。

我们可以将它们的合力表示为ΣFi=0。

然后，我们将刚体的移动分解为平动和转动两个部分。

平动是指刚体作为一个整体进行的位移，而转动是指刚体绕一个轴线旋转的运动。

对于平动部分，我们可以引入位移的概念。

设刚体某一点的位移为δr，该点所受到的力为F。

则在平动过程中，该点所做的虚功可表示为δW=F·δr。

对于转动部分，则需要引入力矩的概念。

设刚体绕某轴线的转动力矩为M，该轴上的转动角度为δθ。

则在转动过程中，力矩所做的虚功可表示为δW=M·δθ。

最后，我们考虑整个刚体平衡过程中所有点的虚功之和，即Σ(δW)=Σ(F·δr)+Σ(M·δθ)。

根据力的平衡方程ΣFi=0，我们可以得到Σ(F·δr)=0。

因此，整个刚体平衡过程中的虚功Σ(δW)只
与转动部分的虚功有关。

刚体虚功原理的重要性在于，它为刚体平衡问题提供了一种便捷的分析方法。

通过运用虚功原理，我们可以直接对刚体的转动部分进行分析，而无需关注具体的力和位移。

这种方法在许多工程和科学领域中具有广泛的应用。

均不计，套筒的尺寸和系统摩擦也不计。AD=BC=b，OC=OD=a，在铅直轴
上作用一力偶，其力偶矩为M。若取调速器转角为 及杆AD和BC与铅直线 间的夹角 为广义坐标，求对应的广Q义力Q和 。
解：建如图直角坐标系, 系统所做虚功为：
DC
x
O

A
B
δW=Pδy1+Pδy2 +Mδ -2Pbsinαδα+Mδ P =Qαδα+Q δ
是从力的观点来研究平衡的。 (3). 当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何
静力学简单得多。 (4). 虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理
是分析力学的一个基本原理。
§2、 虚位移原理的应用 1. 用虚功原理解静力学问题
例1. 离心调速器如图，已知小球AB的重量都是P，套筒C 和各杆的重量
s=1.设Ａ、Ｂ、C三点坐标分别为
y
x x
2 A
2 B
+y
2 A
=R
2
+y2B =R 2
(xA -xB )2 +(yA -yB )2 =a2
o
x B
A CP
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y

x
C


y
C
= =
1 2 1 2
(x A (yA
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式

上海市应用数学和力学研究所Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics材料力学微课程适用对象和参考教材内容满足：航空、航天、机械、土木、动 力、水利、车辆、采矿、船舶、港口航道 及海岸工程等专业的材料力学教学要求。

例题、课后练习等主要以郭战胜、施冬莉、 宋亦诚、杨骁等编著，同济大学出版社2015 年出版的材料力学（第二版）为参考教材。

上海市应用数学和力学研究所Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics主讲人郭战胜主要教育工作经历 06.9 –今.上海大学上海市应用数学和力学研究所上海市应用数学和力学研究所Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics教授、博导 09.3–10.9. 美国哈佛大学访问学者 04.8–06.7. 同济大学力学博士后流动站博士后 01.9-04.7. 哈尔滨工业大学 工程力学博士研究生 99.9-01.7. 哈尔滨工业大学 结构工程硕士研究生  96.7–99.9. 中国建筑三局一公司（上海）技术员  96.7. 毕业于重庆建筑大学（现重庆大学）土木工程学院互等定理及虚功原理主讲人：郭战胜 教授 邮箱： davidzsguo@ 上海市应用数学和力学研究所 上海大学上海市应用数学和力学研究所Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics4本讲主要内容互等定理  虚功原理上海市应用数学和力学研究所Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics5互等定理线弹性，位移可以叠加，但应变能不能叠加FPFP1Vε1O Δ1FPFP2Δ OVε2 Δ2FPFP1+FP2Vε Δ Vε1OVε2Δ Δ上海市应用数学和力学研究所Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics互等定理一个有意义的结果FPFPFP1Δ2FP2ΔΔ1ΔO Δ1O Δ2上海市应用数学和力学研究所Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics互等定理应用能量守恒原理和叠加原理，可以导出功的互等 定理与位移互等定理。

怎么证明虚功原理的充分性要证明虚功原理的充分性，需要进行如下步骤：1. 假设存在一力学系统，在任意虚位移时，系统的虚功为零，即：∑Fi·δri = 0其中，∑Fi表示系统中所有作用力的矢量和，δri表示虚位移的矢量。

2. 根据虚功原理的定义，我们可以将上述虚功表达式转化为：∑(Fi·δri) = ∑(Fi·vi)dt = 0其中，vi表示虚位移的速度。

3. 根据向量内积的定义，将上式展开可得：∑(Fi·dri) = ∑(Fi·vi)dt = ∑(Fi·vi)·dt = 0其中，(Fi·dri)表示力Fi与虚位移dri的点积。

4. 引入广义坐标的概念，将力Fi表示为广义坐标qi的函数，即Fi = Fi(q1, q2, ..., qn)，其中，n为系统的自由度。

5. 对上式进行变换，得到：∑(∑(Fi·∂qi/∂t)·δqi)dt = 0其中，qi表示广义坐标，∂qi/∂t表示qi对时间的偏导数。

6. 对上式进行展开和整理可得：∑(∑(Fi·∂qi/∂t)·δqi)dt = ∑(Fi·∂qi/∂t)·δqi·dt = 0即：∑(Fi·∂qi/∂t)·δqi = 07. 由于上式对任意的虚位移δqi均成立，所以，我们可以得到：∑(Fi·∂qi/∂t) = 0即：系统中任意一个力的广义力矩的总和为零。

综上所述，通过以上推导，我们证明了虚功原理的充分性，即当系统中力的广义力矩的总和为零时，任意虚位移时系统的虚功为零。

Theoretical Mechanics
I § 15-2 虚位移原理 15P
E δθ1 A 2a δθ2 δθ2
例题
δrF
F G
δrG Q
δθ3 a D 2a
δrE
B 2a C
RC
利用虚位移图计算虚功. δW(Q) = Qaδθ1
δW(P) = Paδθ1
2 δr 2 E
δW ( RC ) = RC
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15设具有(双面,定常)理想约束的质点系,在某一位 置处于平衡状态的必要与充分条件是:所有作用于质 点系的主动力,在该位置的任何虚位移中所作的元功 之和等于零. 数学表达式
i =1 n
∑ F δ r = 0
i i
n
数学证明
i
∑ ( X δx + Y δy ) = 0
a
a
δrB
δrC = ACδθ1= ACδθ2 δθ1 = δθ2
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15利用虚位移图计算虚功. δW(m) = -m δθ1 δW(YB) =-2aYBδθ2 δW(P) = aP δθ2
a
A δθ2 δθ1 δθ2
例题
m
C
P δrC YB
i =1 i i i
虚功方程或静力学普遍方程 虚位移原理又称为虚功原理
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15虚位移原理的应用 求解复杂系统的平衡问题. 1)选取适当的广义坐标. 2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系. 3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解主动力之间的关系.

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FB | rA | cos FA | rB | sin ( )
6
7
8
tan
( P Q)l ( P Q) R l
2 2
9
cos( ) NA ( P Q) sin 2 cos( ) NB ( P Q) sin 2
AB 上的投影应相等，即
| rA | sin ( ) | rB | cos
可见 A，B 两点的虚位移 大小之比等于 根据虚位移原理的平 衡方程，有
W FA | rA | FB | rB | 0
| rA | cos | rB | sin ( )
4、求平衡构架内二力杆的内力。
4
【例】 曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度φ和ψ。不计机 构自身重量，求平衡时主动力 FA 和 FB 的大小应满足的关系。
A
r
O φ
B
FA
ψ
FB
5
【解】以 δrA 和 δrB 分别代
表主动力 FA 和 FB 作用点的虚位
移，如图所示。
因 AB 是刚杆，两端位移在
对质点系： ( Fi Ni ) ri 0
理想约束下
Ni ri 0
Fi ri 0 与前题条件矛盾
故 Fi ri 0时质点系必处于平衡。
3
1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力；
∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点Mi也平衡。
Fi Ni 0
对质点Mi 的任一虚位移 ri ，有 ( Fi Ni ) ri 0
对整个质点系： ( Fi Ni ) ri 0