一元二次方程综合培优

一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。

一元二次方程培优提高题解析一、利用判别式判断方程根的情况1. 已知关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+2x - 1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。

在方程(m - 1)x^2+2x - 1=0中，a = m- 1，b=2，c=-1。

因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0且a≠0。

首先计算Δ = 2^2-4(m - 1)×(-1)>0，4 + 4(m - 1)>0，4+4m-4>0，4m>0，解得m>0。

又因为a=m - 1≠0，即m≠1。

所以m的取值范围是m>0且m≠1。

2. 若关于x的一元二次方程kx^2-2x + 1 = 0没有实数根，求k的取值范围。

解析：对于方程kx^2-2x + 1=0，其中a = k，b=-2，c = 1。

因为方程没有实数根，所以Δ=b^2-4ac<0。

Δ=(-2)^2-4k×1<0，4 - 4k<0，-4k<-4，解得k > 1。

又因为方程是一元二次方程，所以k≠0。

综上，k的取值范围是k>1。

二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 已知方程x^2-3x - 4 = 0的两根为x_1，x_2，求x_1^2+x_2^2的值。

解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，若两根为x_1，x_2，则x_1+x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。

在方程x^2-3x - 4 = 0中，a = 1，b=-3，c=-4。

所以x_1+x_2=-(-3)/(1)=3，x_1x_2=(-4)/(1)=-4。

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-4)=9 + 8=17。

2. 已知关于x的方程x^2+kx + k - 1=0的两根为x_1，x_2，且x_1^2+x_2^2=5，求k的值。

一元二次方程专题能力培优(含答案)第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2(3)21m xm x -++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的方程21(1)(2)10m m x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若一元二次方程2(24)(36)80a xa x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1D.26.若一元二次方程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 .7.已知实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.温馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.方法技巧：1.ax k+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会. 答案：1. D 解析：3020m m -≠⎧⎨+≥⎩，解得m ≥-2且m ≠3 2.解：（1）当212,10m m ⎧+=⎨+≠⎩时，它是一元二次方程.解得：m=1．当m=1时，原方程可化为2x 2-x-1=0； （2）当20,10m m -≠⎧⎨+=⎩或者当m+1+（m-2）≠0且m 2+1=1时，它是一元一次方程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为一元一次方程． 3.解：由题意，得：210,10.m m ⎧-=⎨-≠⎩ 解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.a a +=⎧⎨-≠⎩解得a=－2. 5. A 解析：∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），∴a 2－ab+a=0.∴a （a －b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：比较两个式子会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x 2对应了第二个式子中的1，第一个式子中的x 对应了第二个式子中的-1.故211x x ⎧=⎨=-⎩.解得x=－1.7. 解：∵实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，∴a 2－2013a+1=0. ∴a 2+1=2013a ，a 2－2013a=－1. ∴2.2 一元二次方程的解法专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1. 若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m= .3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 专题三解绝对值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解方程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9.探究下表中的奥秘，并完成填空：10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）-5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知 道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个 因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x 1=-2，x 2= 53． 根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b ＞0，则有 0,0a b >⎧⎨>⎩或者0,0.a b <⎧⎨<⎩请判断王 力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是一元二次方程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a,x 1·x 2=ca .根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为方程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __． 请你完成以上的填空．．．．．．．．．． （2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n +的值． 解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n+-=．∴21110nn --=.又210,mm --=且1mn ≠，即1m n ≠．∴1,m n是方程210xx --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1． （3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221mn +的值．知识要点：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac 与一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=. 温馨提示：1.x 2+6x+m 2是一个完全平方式，易误以为m=3. 2.若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax22+bx2+c=0；（2）x1+x2=﹣，x1•x2=.方法技巧：1.求二次三项式ax2+bx+c极值的基本步骤：（1）将ax2+bx+c化为a（x+h）2+k；（2）当a>0，k>0时，a（x+h）2+k≥k；当a<0，k<0时，a（x+h）2+k≤k.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1．x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.答案：1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3解析：据题意得，m2=9，∴m=±3．3.证明：－2x2+4x－5=－2（x2－2x）－5=－2（x2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2－3.∵（x －1）2≥0，∴－2（x －1）2≤0，∴－2（x －1）2－3＜0.∴无论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒小于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三角形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0；当kx 2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠⎧⎨-⨯⨯≥⎩.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤. 6.A 解析：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac ＝0，又a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代入b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a －c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2； ②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0.解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）．综上所述，原方程的解是x=0或x=－2．9.41 ，﹣3；41，3． 发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0， ∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+x 2)+a =2.∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8. 12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0． 又∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a . 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a ，解得a =24． 经检验a =24是方程－62-a a ＋4 =6-a a 的解． （2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数， ∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n2－3n－1=0.又2m2-3m-1=0,且mn≠1，即m≠1n ．∴m、1n是方程2x2-3x-1=0的两根．∴m+1n=32,m·1n=－12,∴m2+1n2=(m+1n)2-2m·1n=( 32)2-2·(－12)=134.2.3 一元二次方程的应用专题一、利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草坪的面积可表示为2m；（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时余下草坪的面积为2m；（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为14212m．求小路的宽x.专题二、利用一元二次方程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点．．．．．．的对角线有条.(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．（1）观察图形，请填与下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）红色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）红色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. 方法技巧：1. 变化率问题中常用a （1±x ）n =b ，其中a 是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系. 答案：1.解：设高为x 米，则宽为9.50.523x --米.由题意，得9.50.5233x x --⨯=. 解得121.5,3xx == (舍去,高度为2.8m 的一面墙上).当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==. 答：高为1.5米,宽为2米.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－13）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0.解，得x 1＝56，x 2＝10（不合题意，舍去）.∴2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm，52cm．3.解：(1)(1)a b-（或ab a-）；(2) (1)a b-（或ab a-）；(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x）m,由题意得：(50-x)（30-x）=1421. 解得 x1=1， x2=79（舍去）.答：小路的宽为1m.4.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意，得30%a（1+x）2=60%a.∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41．答：每年的增长率约为41%．5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得1＋x＋(1＋x)x＝81.整理得(1＋x)2＝81.∴x1＝8，x2＝－10（舍去）.∴(1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．6.解：（1）设平均每次下调%p，则有5670%)1(70002=-p.∴81.0%)1(2=-p .∵1—p%>0，∴1—p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元. ∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些． 7.解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵． 设该校共购买了x 棵树苗，由题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦ . 解得12220,80x x ==． 当1220x =时，()1200.52206040100--=<，∴1220x =不合题意，舍去；当280x =时，()1200.58060110100--=>，∴280x =. ∴80x =.答：该校共购买了80棵树苗． 8.解：(1)27－0.3=26.7；（2）设需要销售出x 部汽车可盈利12万元. ①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+0.5x=12.解得6)(2021=-=x x ，不合题意，舍去.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+x=12.解得24,521-==x x ，均不合题意，应舍去.答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. 9.解:（1）n －3；(2)设这个凸多边形是n 边形,由题意,得(3)142n n -=.解得127,4n n ==- (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形. (3)不存在.理由:假设存在n 边形有21条对角线. 由题意,得(3)212n n -=.解得3177n ±=.因为多边形的边数为正整数，但3177±故不合题意.所以不存在有18条对角线的凸多边形. 10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n －1；4，8，12，16（偶数）2n ．（2）由（1）可知n 为偶数时P 1=2n ．∴P 2=n 2－2n.根据题意得n 2－2n=5×2n ，n 2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）．∴存在偶数n=12使得P 2=5P 12．。

培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，.对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a（2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义a cad bcb d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若21493xx=，求x的值．(2)若11611x xx x+-=-+，求x的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。

解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。

给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。

解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。

根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。

由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。

《第二十一章 一元二次方程》培优检测卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·吉林· 八年级期中）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++= C ．()()121x x -+= D ．223250x xy y --=【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、2210x x +=是分式方程，选项说法错误，不符合题意； B 、当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； C 、(1)(2)1x x -+=，即230x x +-=是一元二次方程，选项说法正确，符合题意； D 、223250x xy y --=是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．2．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知x ＝1是方程x 2﹣3x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】【分析】将x ＝1代入已知方程求出c 即可．【详解】解：把x ＝1代入x 2﹣3x +c ＝0得：1﹣3+c ＝0，解得：c ＝2，故选：D ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x 个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）A ．21400x x ++=B ．()21400x +=C ．()1400x x x ++=D ．12400x +=【答案】C【解析】【分析】根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：根据题意， ()1400x x x ++=,故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程． 4．（2021·贵州遵义·一模）已知a ，b 是一元二次方程2320x x +-=的两根，则252a a b ++的值是（ ）A ．-5B ．-4C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】把x =a 代入方程求出a 2+3a 的值，再利用根与系数的关系求出a +b 的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：把x =a 代入方程得：a 2+3a -2=0，即a 2+3a =2，由根与系数的关系得：a +b =-3，则原式=（a 2+3a ）+2（a +b ）=2-6=-4．故选：B ．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 5．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠0【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得0,≥ 一元二次方程有实数根，再解不等式即可．【详解】 解： 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， 22410k 且0,k ≠解得：1k ≥-且0,k ≠故选C【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，牢记“当0≥时，方程有实数根”是解题的关键，是基础题．6．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A ．方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B ．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0C ．只有当k ＝0时，方程kx 2+3x 1x 2为一元二次方程D ．当m 取所有实数时，关于x 的方程(m 2+1)x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A 、方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；B 、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），故选项错误；C 、当k ﹣1≠0，即k ≠1时，方程kx 2+3x ﹣1＝x 2为一元二次方程，故选项错误；D 、当m 取所有实数时，关于x 的方程（m 2+1）x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程是正确的． 故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·山东德州·九年级期末）已知关于x 的方程（m ﹣2）x |m |﹣3x ﹣4＝0是一元二次方程，则m ＝______【答案】-2【解析】【分析】 根据一元二次方程的定义得到2m =且20m -≠，由此求得m 的值．【详解】 解：依题意得：2m =且20m -≠，解得m =-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程的最高次项的未知数的指数为2，注意二次项的系数不能等于0．8．（2022·江苏·九年级）若x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个实数根，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】解：由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝4，x 1x 2＝3，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝（x 1+x 2）﹣x 1x 2＝4﹣3＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系． 9．（2022·全国·九年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __． 【答案】492【解析】设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了3t 步，甲斜向北偏东方向走了(710)t -步，利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其正值代入3t 中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了3t 步，甲斜向北偏东方向走了(710)t -步，则 依题意得：22210(3)(710)t t +=-，整理得：2401400t t -=， 解得：172t =，20t =（不合题意，舍去）， 7497722t ∴=⨯=，即甲走的步数是492， 故答案为：492． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）求代数式2272x x -+的最小值为_________． 【答案】338-【解析】【分析】直接利用配方法进行整理．【详解】解：∴2272722()22x x x x -+=-+ 2733332()488x =--≥-， ∴最小值为338-， 故答案是：338-． 【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，出的完全平方公式，利用非负性求解．11．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ⊗=+，若(1)3x x ⊗-=-，则x 的值为________．【答案】-1【分析】根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．【详解】解：根据题意得：()2(1)213x x x x ⊗-=+-=-得2210x x ++=解得121x x ==-故答案为：-1【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键． 12．（2022·浙江绍兴·八年级期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长为_______________；【答案】6或12或15【解析】【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x 1=2，x 2=5，根据题意讨论：当腰为2，底边为5时；当腰为5，底边为2时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【详解】∴x 2-7x +10=0，∴（x -2）（x -5）=0，∴x -2=0或x -5=0，∴x 1=2，x 2=5，当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15．故答案为6或12或15．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·江苏·九年级专题练习）解下列方程：(1)()24249x -= (2)()()2123x x +-= 【答案】(1)12113,22x x ==- (2)125,12x x ==- 【解析】【分析】（1）直接采用开平方的方法即可求出解．（2）将原方程化为一般形式，后采取因式分解法直接求出解．(1)解：原方程两边都除以4，得()24924x -=两边开平方，得722x -=± 所以，12113,22x x ==- (2) 解：原方程整理得22350x x --=，因式分解的：()()2510x x -+=，解得：11x =-，252x =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握开方法，因式分解法是求解一元二次方程的关键．14．（2022·全国·九年级）若关于x 的一元二次方程()222240m x x m -++-=的常数项为0，求m 的值．【答案】m ＝﹣2【解析】【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m 的值即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程()222240m x x m -++-=的常数项为0，∴22040m m -≠⎧⎨-=⎩ 解得：2m =-【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．15．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？【答案】20【解析】【分析】根据题意设车棚垂直于墙的一边的长为为x 米，则根据图并利用长×宽=面积，建立方程并求解即可．【详解】解：设车棚垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边的长为(5022)x +-米， 由题意列方程可得：(5022)240x x +-=，解得20x 或x =6当车棚垂直于墙的一边的长为6米时，平行于墙的一边的长为40米，大于墙长的18米， 答：车棚垂直于墙的一边的长为20米.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积为长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．16．（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．①小颖解方程的方法是____；②第二步变形的依据是____；(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．【答案】(1)配方法，等式性质(2)152x =，21x =- 【解析】【分析】（1）任务一，结合配方法解一元二次方程的步骤求解即可；（2）任务二，利用公式法求解即可．(1)解：小颖是将方程左边配成完全平方形式，∴小颖解方程的的方法是配方法，等式变形的依据是等式性质；(2)解：∴2a =，3b =-，5c =-，∴()()23425490∆=--⨯⨯-=>，则374x ±==， ∴152x =，21x =-． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（2022·江苏·九年级）已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=有两个相等的实数根．(1)请判断ABC 的形状；(2)当5a =，3b =时，求一元二次方程的解．【答案】(1)∴ABC 为直角三角形；(2)1213x x ==- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；（2）由（1）可得4c =，再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．(1)∴关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=有两个相等的实数根，∴()()()2240b a c a c ∆=-+-=，∴222b c a +=，∴∴ABC 为直角三角形；(2)∴222b c a +=，5a =，3b =，∴4c ，∴9261a c b a c +====-=，∴原方程为29610x x ++=， 解得：1213x x ==-． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·四川攀枝花·x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两根x 1，x 2，满足（x 1+1）（x 2+1）＝4，求k 的值．【答案】(1)k ≥﹣3且k ≠1(2)2【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，并使k ﹣1≠0，即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -，再将它们代入（x 1+1）（x 2+1）＝4，即可求出k 的值．(1)解：（1 ）∴关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个实数根．∴k﹣1≠0，∆＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．(2)解：∴关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝41k-，x1x2＝﹣11k-．∴（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即41k-﹣11k-+1＝4，整理，得：k﹣1＝1，解得：k＝2，经检验，k＝2是方程的解，∴k＝2．∴k的值为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．19．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bad bcc d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若764174x=，求x的值；(2)若1211011m mm m--=---，求m的值．【答案】(1)49 16(2)83或-1【解析】【分析】（1）根据新定义得到关于x的一元一次方程，然后利用整式的混合计算法则进行解方程即可；（2）根据新定义得到关于x的一元二次方程，然后解方程即可．(1)解：∴764174x=，∴1496404x -⨯=， ∴4916x =； (2) 解：∴1211011m m m m --=---，∴()()()()11-21110m m m m ----=-，∴222123110m m m m -+--+-=-，∴23580m m --=，∴()()3810m m -+=， ∴183m =，21m =-， ∴m 的值为83或1-． 【点睛】本题主要考查了新定义的知识，涉及到了解一元一次方程，解一元二次方程，整式的混合计算等知识，正确理解题意是解题的关键．20．（2022·浙江·杭州育才中学八年级期中）某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．(2)经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？【答案】(1)该商品平均每次下降的百分率为10%；(2)每件商品应降价1.5元或2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32．4元，列一元二次方程，求解即可；（2）设每件商品应降价m 元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程可得（40-30-m ）（48+8m ）=510，再解方程即可．(1)解：设每次降价的百分率为x ， 根据题意，得40（1-x ）2=32.4，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9=190%（不合题意，舍去），答：该商品平均每次下降的百分率为10%；(2)设每件商品应降价m 元， 根据题意，得（40-30-m ）（48+8m ）=510，整理得：2416150m m ，解得121.5, 2.5,m m答：每件商品应降价1.5元或2.5元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：例：解方程：30=．t =（t ≥0）∴原方程化为2t ﹣3＝0 ∴32t = 而32t =＞032=∴94x = 请利用上面的方法，解出下面两个方程：(1)80x +=(2)60x =【答案】(1)x ＝4(2)x ＝5【解析】【分析】（1t ，将方程变形为2280t t +-=，解出t 即可求出x ；（2()0t t ≥，将方程变形为220t t +-=，解出t 即可求出x ．(1)t =，将原方程转化为2280t t +-=，解得，12t =，24t =-，而20t => ，2=，4x ∴=；(2)解：()0t t =≥，∴原方程化为220t t +-= ，解得11t =，22t =-，而10t =>，1，5x ∴=．【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观22．（2022·河南濮阳·八年级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x 2﹣6x +8＝0的两个根是2和4，则方程x 2﹣6x +8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：(1)若一元二次方程x 2﹣9x +c ＝0是“倍根方程”，则c ＝______；(2)若（x ﹣1）（mx ﹣n ）＝0（m ≠0“倍根方程”，求代数式222223m mn n m n -++的值． 【答案】(1)18(2)0或35【解析】【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．（4）根据定义可求出n =2m 或n =12m ，代入原式后即可求出答案； (1)由题意可知：x ＝m 与x ＝2m 是方程x 2﹣9x +c ＝0的解，∴m +2m ＝9，m •2m ＝c ，∴m ＝3，c ＝18，故答案为18；(2)由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和xnm =，∴nm=2或12nm=，当n＝2m时，222222222323244m mn n m m m mm n m m-+-⋅+==++0，当n12=m时，22222222112323324154m m m mm mn nm n m m-⋅+-+==++；故代数式222223m mn nm n-++的值0或35．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．六、（本大题共12分）23．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，3＝2，x4＝﹣2(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求ab的值．【答案】(1)换元法；降次(2)x1＝2，x2＝﹣3(3)4或﹣3【解析】【分析】（1）根据解答过程归纳出银法为换元法，换元法的目的是将高次方程降为低次方程求解；（2）运用换元法求解，（3）运用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入计算即可．(1)解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；故答案为：换元法，降次；(2)解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解；当y＝6时，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3；(3)解：（a﹣4b）（a+3b）＝0，a﹣4b＝0或a+3b＝0，所以a＝4b或a＝﹣3b，当a＝4b时，4a bb b==44；当a＝﹣3b时，3a bb b-==-33．即ab的值为4或﹣3．【点睛】本题考查了高次方程：通过换元法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．。

《一元二次方程》培优练习一．选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0B．y2+x＝1C．x2+1＝0D．2．将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，63．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．24．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝13B．（x+3）2＝13C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣3）2＝55．若实数x，y满足（x2+y2+3）（x2+y2﹣3）＝0，则x2+y2的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．16．关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0的一个根为0，则a的值为（）A．2B．0C．2或﹣2D．﹣27．一元二次方程﹣x2+6x﹣10＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝459．8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信．A．10B．11C．12D．1310．已知m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值（）A．2B．C．D．二．填空题11．若（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m ＝．12．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是．13．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝．14．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为．15．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．16．已知方程2x2+kx﹣2k+1＝0的两个实数根的平方和为，则k 的值为．三．解答题17．用适当的方法解下列方程：（1）2x2+1＝3x（2）x2+6x+4＝018．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a+1＝0．（1）若该方程有一根为0，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程仅有一个实数根？求出此时a的值．19．一个矩形的长为a，宽为b（a＞0，b＞0），则矩形的面积为a•b．代数式xy（x＞0，y＞0）可以看作是边长为x和y的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x﹣6＝0（x＞0）．具体过程如下：①方程变形为x（x+1）＝6；②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+1）2，又S ABCD＝4x（x+1）+12．∴（x+x+1）2＝4x（x+1）+1，又x（x+1）＝6，∴（2x+1）2＝25，∵x＞0，∴x＝2．参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx﹣n＝0的解（x＞0，m ＞0，n＞0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）20．“一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．21．某批发城在冬天到来之际进了一批保暖衣，男生的保暖衣每件价格60元，女生的保暖衣每件价格40元，第一批共购买100件．（1）第一批购买的保暖衣的总费用不超过5400元，求女生保暖衣最少购买多少件？（2）第二批购买保暖衣，购买男、女生保暖衣的件数比为3：2，价格保持第一批的价格不变；第三批购买男生保暖衣的价格在第一批购买的价格上每件减少了元，女生保暖衣的价格比第一批购买的价格上每件增加了元，男生保暖衣的数量比第二批增加了m%，女生保暖衣的数量比第二批减少了m%，第二批与第三批购买保暖衣的总费用相同，求m的值．参考答案一．选择题1．解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；故选：C．2．解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，故选：A．3．解：设方程的另一个根为t，根据题意得1•t＝﹣2，解得t＝﹣2．故选：C．4．解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，故选：A．5．解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+3）（t﹣3）＝0，所以t+3＝0或t﹣3＝0．所以t＝﹣3（舍去）或t＝3，即x2+y2的值为3．故选：B．6．解：∵（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴2﹣a≠0，即a≠2①由一个根是0，代入（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②由①②得a＝﹣2．故选：D．7．解：∵△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣10）＝36﹣40＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：D．8．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：A．9．解：设小希给x个同学发了短信，依题意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝﹣13，x2＝12．故选：C．10．解：∵m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，∴3m2﹣2m＝2，3m2﹣2＝2m，∴3m﹣＝2，∴原式＝＝，故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：由（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，得，解得m＝1，故答案为：1．12．解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，∴△≥0，∴△＝1﹣4（﹣m）≥0，即m≥﹣，故答案为：m≥﹣．13．解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案为：﹣1．14．解：二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）＝36（1+x）2，即所列的方程为36（1+x）2＝48，故答案为：36（1+x）2＝48．15．解：x2﹣9x+18＝0，（x﹣3）（x﹣6）＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．故答案为15．16．解：∵方程2x2+kx﹣2k+1＝0有两个实数根，∴△＝k2﹣4×2（﹣2k+1）≥0，解得k≥6﹣8或k＜﹣6﹣8．设方程2x2+kx﹣2k+1＝0两个实数根为x1、x2．则x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣k+，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝+2k﹣1＝，即k2+8k﹣33＝0，解得k1＝3，k2＝﹣11（不合题意，舍去）．故答案是：3．三．解答题（共5小题）17．解：（1）∵2x2+1＝3x，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1；（2）∵x2+6x+4＝0，∴a＝1，b＝6，c＝4，∴△＝36﹣16＝20，∴x＝＝﹣318．解：（1）将x＝0代入方程（a﹣1）x2+2x+a+1＝0得a+1＝0，解得：a＝﹣1．将a＝﹣1代入原方程得﹣2x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝1．∴a＝﹣1，方程的另一根为1．（2）当a＝1时，方程为2x+2＝0，解得：x＝﹣1；故a的值为﹣1．19．解：①方程变形为x（x+m）＝n；②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+m）2，又S ABCD＝4x（x+m）+m2．∴（x+x+m）2＝4x（x+m）+m2，又x（x+m）＝n，∴（2x+m）2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝（﹣m）（m＞0，n＞0）．20．解：（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则3000﹣x≥25%x天天向上独家原创解得：x≤2400∴该公司计划在线下销售量最多为2400万件；（2）由题意得：×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）化简得：m2﹣25m＝0解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝25∴m的值为25．21．解：（1）设女生保暖衣购买x件．40x+60（100﹣x）≤5400解之得x≥30答：女生保暖衣最少购30件；（2）设购买男、女生保暖衣的件数分别为3a、2a．根据题意，得设m%＝t，则m＝100t.3a×（1+t）×（60﹣20t）+2a×（1﹣t）×（40+30t）＝3a×60+2a×406t2﹣5t＝0解得：t1＝0（舍去），∴m＝100t＝．答：m的值是．。

考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。

针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。

m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.4．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a -±=4122-=-⨯∴x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32. 5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60⨯.答：该店应按原售价的九折出售.9．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254y t=+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.10．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.。

《一元二次方程》培优【知识要点】：1、一元二次方程的解法 （1） 法；（2） 法；（3） 法；（4） 法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式为△= ，当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ；当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ； 当△<0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0没有实数解．3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1=，x 2那么：12x x += ，12x x = ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是0∆≥．3．特别地， 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2＋( x 1+x 2 )x ＋x 1.x 2 = 0．【精选题型】：1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 2＝x 1＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0．（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有实数根；（2）若原方程有两个实数根x 1和x 2，当52221=+x x 时求m 的值（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于2，另一个根小于2 ？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【拓展练习】:1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2 B ．2-C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ． m ＜14 B 。

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？【答案】（1）2cm ；（2）85s 或245s ；（3）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．【解析】 试题分析：（1）作PE ⊥CD 于E ，表示出PQ 的长度，利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．在Rt △PEQ 中，根据勾股定理列出关于x 的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y ，则12QP•CB=12（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。

一元二次方程-综合题型归类 培优练习【综合题型一】一元二次方程➼➻解法【综合①】一元二次方程的解法➼➻解一元二次方程★✭分式方程★✭换元法1．（2008·浙江温州·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①2310x x -+=；①2(1)3x -=；①230x x -=；①224x x -=．2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．3．（2019·上海·中考真题）解分式方程：228122-=--x x x x．4．（2020·湖北荆州·统考中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．问题：解方程2250x x ++=（提示：可以用换元法解方程），()0t t =≥，则有222x x t +=，原方程可化为：2450t t +-=，续解：2212(1)121x x x x x x +++-÷+++，其中x 满足220x x --=．6．（2020·四川广元·统考中考真题）先化简，再求值：2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭，其中a 是关于x 的方程2230x x --=的根．【综合题型二】解一元二次方程➼➻根的判别式★✭韦达定理★✭换元法【综合①】根的判别式➼➻求参数取值范围★✭证明7．（2017·北京·中考真题）已知关于x 的方程()23220x k x k -+++=（1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k 的取值范围8．（2013·山东淄博·中考真题）关于x 的一元二次方程()2a 6x 8x 90--+=有实根．（1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；①求2232x 72x x 8x 11---+的值．9．（2016·北京·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2-1=0有两个不相等的实数根．【综合②】根的判别式✭★韦达定理➼➻求参数取值范围★✭证明10．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．11．（2021·湖北荆门·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x ，2x 两实数根．（1）若11x =，求2x 及m 的值；（2）是否存在实数m ，满足()()126115x x m --=-？若存在，求出求实数m 的值；若不存在，请说明理由．12．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1) 求实数k 的取值范围．(2) 设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．【综合题型三】一元二次方程的应用【综合①】一元二次方程的应用➼➻增长率问题★✭传播问题13．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2) 2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加14．（2022·广西南宁·校联考一模）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米．请完成下列填空及问题：①用科学记数法表示数据8000万个为__________个；①如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米910-=米）15．（2017·广西桂林·中考真题）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．(1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2) 如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？【综合②】一元二次方程的应用➼➻图形问题★✭营销问题16．（2010·湖北宜昌·中考真题）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的213.设甬道的宽为x米.（1）求梯形ABCD的周长；17．（2021·山东日照·统考中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y （桶）与每桶降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？18．（2021·山东烟台·统考中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？19．（2012·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【挑战题型一】一元二次方程➼➻阅读材料问题★✭规律问题20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程()22213360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x ，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为1,22x =±，3,43x =±．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n +=，1mn =-．根据上述材料，解决以下问题：(1) 直接应用：方程42560x x -+=的解为_______________________；(2) 间接应用：已知实数a ，b 满足：422710a a -+=，422710b b -+=且a b ，求44a b +的值； (3) 拓展应用：已知实数x ，y 满足：42117m m +=，27n n -=且0n >，求241n m+的值．21．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a 材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：①一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，①m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求n mm n+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求11s t-的值．22．（2018·贵州黔东南·统考中考真题）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．（2022·安徽合肥·校考二模）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：＝第1个等式：1221+=++=+＝第2个等式：4682+=+＝第3个等式：912183+=+＝第4个等式：1620324(1)写出第5个等式：________．(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．24．（2018·江苏常州·中考真题）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；（2）拓展：用“转化”x=的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【挑战题型二】一元二次方程➼➻拓展问题★✭探究问题25．（2014·四川凉山·统考中考真题）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=1n（n+1）2n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是12下列用一元二次方程解决上述问题n（n+1）设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．26．（2022·山东青岛·统考二模）实际问题：婚礼上有116名宾客，地面上水平放置了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务．问题探究：为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究．探究一：用一条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图1所示，一条线来分多出1部分，最多分成1+1=2部分；探究二：用2条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图2所示，第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；探究三：用3条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图3所示，第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；探究四：用4条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图4所示，第4条线与原来3条线相交，多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；(1)探究五：用5条直线分一个长方形，第5条线与原来4条线相交，多出部分，即最多分成部分；(2)探究六：用n条直线分一个长方形，最多可以分成部分；（用含n的代数式表示）(3)探究七：我们可以将开始提出的问题转化为切割长方体，借助以上探究长方形切割的结论如何将长方体切割成14块？我们只需要在探究三的基础上，先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块，平行于地面切一刀，此时4刀可切成7×2=14块．探究八：如何用最少的切割次数，将一个长方体蛋糕切割成44块，请说明切割过程，无需画图；切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕？请说明切割的过程，无需画图．27．（2020·山东青岛·中考真题）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．参考答案1．①x =①1x =①10x =，23x =；①1x = 【分析】①利用公式法求解即可．①利用直接开平方法求解即可．①利用因式分解法求解即可；①利用配方法求解即可；解：①2310x x -+=； ①a =1，b =-3，c =1， ①①=（-3）2-4×1×1=5＞0，①x =即12x x ==； ①2(1)3x -=；①x -1=①1211x x == ①230x x -=； ①x （x -3）=0 ①x =0或x =3 ①10x =，23x =； ①224x x -= ①22141x x -+=+ ①()215x -=；①1x -=①1211x x ==2．1x 2x 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x -34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 解：原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝， 29x x 172﹣＝， 298181x x 1721616-++＝，29353x 416-（）＝，所以12x 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．x ＝－4.【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．解：去分母得2x 2－8＝x 2－2x ， 移项、整理得x 2＋2x －8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝－4．经检验：x ＝2是增根，舍去；x ＝－4是原方程的根． ①原方程的根是x ＝－4．【点拨】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根．4．11x =-21x =-．【分析】利用因式分解法解方程t 2+4t -5=0得到t 1=-5，t 2=11=，然后进行检验确定原方程的解．解：续解：()229t +=，23t ∴+=±，解得11t =，25t =-（不合题意，舍去），1t ∴=，221x x +=，2(1)2x ∴+=，1211x x ∴=-=-经检验都是方程的解．【点拨】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．5．x （x +1）；6【分析】先求出方程220x x --=的解，然后化简分式，最后选择合适的x 代入计算即可． 解：①220x x --= ①x =2或x =-1 ①2212(1)121x x x x x x +++-÷+++ =()221212()111x x x x x x +++÷+++-=()2222()11x x x x x ++÷++ =()()22112x x x x x ++⨯++=x （x +1）①x =-1分式无意义，①x =2当x =2时，x （x +1）=2×（2+1）=6．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x 的值是解答本题的易错点．6．a 2+2a+1；16【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可． 解：2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭ ()()1111a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥-⎣⎦ ()()()1111a a a a aa+-+=⨯-()21a =+=a 2+2a+1①a 是关于x 的方程2230x x --=的根， ①a 2-2a -3=0， ①a=3或a=-1， ①a 2+a≠0， ①a≠-1， ①a=3，①原式=9+6+1=16.【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键． 7．（1）证明见分析；（2）10k -<<【分析】（1）证出根的判别式240b ac ∆=-≥即可完成； （2）将k 视为数，求出方程的两个根，即可求出k 的取值范围. 解：（1）证明：1,(3),22a b k c k ==-+=+22224[(3)]41(22)21(1)0b ac k k k k k ∆=-=-+-⨯⨯+=-+=-≥①方程总有两个实数根（2）()23220x k x k -+++=①3(1)2k k x +±-=①121,2x k x =+= ①方程有一个小于1的正根①011k <+< ①10k -<<【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．（1）a 的最大整数值为7．（2）①12x 4x 4==①292-【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到()644a 690∆=-⨯-⨯≥且a 60-≠，解得7a 79≤且a≠6，然后在此范围内找出最大的整数．（2）①把a 的值代入方程得到2x 8x 90-+=，然后利用求根公式法求解．①由于2x 8x 90-+=则2x 8x 9-=-，把2x 8x 9-=-整体代入所求的代数式，再变形得到()272x 8x 2-+，再利用整体思想计算即可．解：（1）根据题意() a 60{644a 690-≠∆=-⨯-⨯≥，解得 a 6{7a 79≠≤．①a 的最大整数值为7．（2）①当a=7时，原方程变形为2x 8x 90-+=， 6441928∆=-⨯⨯=，①x 4==①12x 4x 4== ①①2x 8x 90-+=，①2x 8x 9-=-． ①()()2222232x 732x 7777292x 2x 2x 16x 2x 8x 29x 8x 119112222---=-=-+=-+=⨯-+=--+-+【点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握①与根的情况之间的关系是关键.9．（1）m ＞-54；（2）x 1=0，x 2=-3．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m =1，将m =1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 解：（1）①关于x 的一元二次方程2x +（2m +1）x +2m ﹣1=0有两个不相等的实数根， ①Δ=()()2221411m m +-⨯⨯-=4m +5＞0， 解得：m ＞54-；（2）m =1，此时原方程为2x +3x =0， 即x （x +3）=0， 解得：1x =0，2x =﹣3．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算． 10．(1) 见分析(2) 1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值． 解：（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+， ①2120m ≥， ①241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-， ①25αβ+=， ①52αβ=-， ①522ββ-+=， 解得：3β=，1α=-， ①23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 11．（1）25x =，3m =；（2）存在，2m =【分析】（1）根据题意可得①＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m 的方程，整理后可即可解出m 的值． 解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m −1)>0， ①m <5，将x 1=1代入原方程得：m =3， 又①x 1•x 2=2m −1=5， ①x 2=5，m =3；（2）设存在实数m ，满足()()126115x x m --=-，那么 有()1212615x x x x m -++=-⋅， 即6(21)615m m --+=-， 整理得：28120m m -+=， 解得2m =或6m =． 由（1）可知5m <， ①6m =舍去，从而2m =， 综上所述：存在2m =符合题意．【点拨】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，12b x x a +=-，12cx x a=．12．(1) k 174≤；(2) k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值． （1）解：①一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． ①∆≥0，即32-4（k -2）≥0， 解得k 174≤（2）①方程的两个实数根分别为12,x x ， ①12123,2x x x x k -+==-， ①()()12111x x ++=-， ①121211x x x x +++=-， ①2311k --+=-， 解得k =3．【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．13．(1) 20% (2) 18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ， 根据题意得：21000(1)1440x +=， 解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-， 经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造y 个老旧小区， 由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+， 解得181823y ≤． ①y 为正整数，①最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．14．(1) 10个人(2) ①7810⨯；①12.8米【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据“有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感”建立方程，解方程即可得；（2）①根据科学记数法的定义（将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）即可得；①利用160纳米乘以8000万即可得．（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人， 由题意得：22(1)242x +=，解得1210,12==-x x （不符题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人． （2）解：①8000万34781010810=⨯⨯=⨯， 故答案为：7810⨯；①9729716010810 1.6101081012.8--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（米）， 答：这些病毒粒子最大纵切面的总直径是12.8米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、科学记数法、负整数指数幂与同底数幂乘法的应用，正确建立方程和熟练掌握科学记数法是解题关键．15．(1) 该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2) 2021年最多可购买电脑880台【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，取其中的最大值即可．（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意得：5000（1＋x ）2=7200， 解得：x 1=0.2=20%，x 2=−2.2（舍去）．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元）， 设购买电脑m 台，则购买实物投影仪（1500−m ）台， 根据题意得：3500m ＋2000（1500−m ）≤86400000×5%， 解得：m ≤880，答：2021年最多可购买电脑880台．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x 的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m 的一元一次不等式．16．（1）256米 （2）（128-2x ）米 （3）4米解：（1）在等腰梯形ABCD 中， AD =EF =48，()121(10848)23050AE BC DF BC BE CF BC EF AB CD ⊥⊥==-=-=∴===，，，，∴梯形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA =50+108+50+48=256(米).···· 2分（2）甬道的总长：402482(1282)x x ⨯+-=-米.··············· 4分 （3）根据题意，得 21(1282)40(48108)132x x -=⨯⨯+.····················· 7分 整理，得x 2−64x +240=0， 解之得x 1=4，x 2=60.因6048>，不符合题意，舍去. 答：甬道的宽为4米.···························· 10分17．（1）y =10x +100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x 的一元二次方程，通过解方程即可求解． 解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得：1101303k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：10100y x =+；（2）由题意得：(10100)(5535)1760x x +⨯--=， 整理，得210240x x --=． 解得112x =，22x =-（舍去）． 所以5543x -=．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润=总利润得出一元二次方程是解题关键．18．（1）50元；（2）八折【分析】（1）设每件的售价定为x 元，根据利润不变，列出关于x 的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m 折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 解：（1）设每件的售价定为x 元， 则有：60(1020)(40)(6040)205xx -⨯+⨯-=-⨯，解得：125060x x ==，(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m 折， 根据题意得：62.55010m ⨯≤， 解得：8m ≤，答：至少打八折销售价格不超过50元．【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．19．（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．解：（1）设每千克核桃应降价x 元根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.①要尽可能让利于顾客，①每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯ 答：该店应按原售价的九折出售．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．20．(1) 1x ，2x =3x 4x =(2)454(3) 15【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；（3）令21m =a ，-n =b ，则2a +a -7=0，2b +b =0，再模仿例题解决问题． （1）解：令y =2x ，则有2y -5y +6=0，①（y -2）（y -3）=0，①1y =2，2y =3，①2x =2或3，①1x =2x =3x =4x =故答案为：1x =，2x =3x 4x =。

一元二次方程复习+培优一．概念定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0〕的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：〔1〕必须是一个整式方程；〔2〕只含有一个未知数；〔3〕未知数的最高次数是2。

〔三个条件缺一不可〕例:假设〔m+1〕x m(m2)1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值是________．练习：1、在4(x1)(x2)5,x2y21,5x2100,2x28x0，21222，3x 212x3x22x3x40,x3,a，(x3)(2x1)2x中，是x一元二次方程有_________个。

2、要使方程〔a-3〕x2+〔b+1〕x+c=0是关于x的一元二次方程，那么__________. A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠-1D．a≠3且b≠-1且c≠03、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,那么a的值是___________.4、一元二次方程(x1)(x2)2(x21)的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

二．一元二次方程的解法一元二次方程的解法有：_____________________________________________________.例：用适当的方法解以下方程〔1〕x22x 2 0〔2〕3(x5)22(5 x)〔3〕(x2)(x 1) 10〔4〕(x2)2(6x)2〔5〕(2x3)23(2x 3) 4 0〔6〕x2(2a 1)x a2a0〔7〕3x 22(2)xb2a20ab练习：1..方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰，那么这个三角形的周长为。

2.方程x22x30的解是_______________________3〔2021绵阳〕关于m的一元二次方程7nm2n2m20的一个根为2，那么n2n2=．4..一元二次方程ax2bxc0的一个根是1，且a,b满足等式ba22a1，求此一元二次方程。

数学一元二次方程一.选择题（共1小题）1•满足（n2-n - 1）n+2=l的整数n有几个（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二.填空题（共1小题）2. ______________________________________ 若（x2+y2）2 - 5 （x2+y2） - 6=0,则x2+y2= _______________________________________ .三.解答题（共27小题）3.已知x4 - 5X3+8X2 - 5x+1=0,求只+丄的值.4.解力程：#3x - 3+ - 19 - V2x+8 -05如果实数a’「°满足"5且ab+学+討那么牛的值是多少?6.满足（x・3）24- （y・3）乙6的所有实数对（x, y）屮，Z的最大值是多少？7.a, b为两个不相等且都不为零的数，同时有a2+pa+q=0, b'+pb+q=O,求丄+丄的值. a b28.先化简，再求值：（◎_ 冬）十Q :厉+1 _ 其中a是方程X-上二o的解. &+1 a2 - 1 29.己知Xi、X2是方程4x—（3m - 5） x - 6m2=0的两根，且匸|二手，求m的值.2 210.己知一元二次方程2x2 - 6x - 1=0的两实数根为xi、X2,不解方程，求代数式乜+乂的x2 X1 值.11.已知关于x的一元二次方程软2+"+丄二0（&工0）有两个相等的实数根，求2------- 严------------- 的值.(a - l)'+(b+l) (b-1)12.已知关于x的方程x'+2 (k - 3) x+k2=0有两个实数根xi、X2・(1)求k的収值范围；(2)若|xi+x2 ・ 9|=xiX2,求k 的值.13.若a, b, c 为Z\ABC 的三边，且关于x 的方程:4x2+4 (a2+b2+c2) x+3 (a2b2+b2c2+c2a2) =0有两个相等的实数根，试证AABC是等边三角形.14.解下列方程:(1) x'+x+l 2X2+X+2 19. x2+l x2+x+l 6(2)x2+llx - 8 x2+2x _ 8 x2 _ 13x ~ 8(3) (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) =120；15.已知关于x的方程(n? - l)x2-3(3m- 1 )x+18=0有两个正整数根(m是正整数).AABC 的三边a、b、c 满足c二2“^, m2+a2m - 8a=0, m2+b2m - 8b=0.求：(1) m的值；(2) AABC的面积.16.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm, AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cnVs的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动. （1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到儿秒时？点P和点Q的距离是1 Ocm.17.如图，四边形ACDE是证明勾股定理吋用到的一个图形，a, b, c是RtAABC和RtABED 边长，易知AE二佢c,这时我们把关于x的形如址2+逅cx+b二0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程''；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程'鮎/+应cx+b二0必有实数根；（3）若x=-l是“勾系一元二次方程鮎/+逅cx+ZO的一个根，且四边形ACDE的周长是6近,求AABC面积.18.等腰AABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以lcm/ 秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动吋I'可为t, APCQ的面积为S.（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时,S APCQ=S°ABC?（3）作PE丄AC于点E,当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.19.端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元.经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子.为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0<m<l）元.（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出—只粽子，利润为—元.（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获収的利润是420元并且卖出的粽子更多?20.己知关于x的一元二次方程x?+ （m+3）x+m+l=0.（1）求证：无论ni取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若X], X2是原方程的两根，且|xi - X2|=2-V2,求m的值，并求出此时方程的两根.21.已知：关于x的一元二次方程kx? - （4k+l） x+3k+3=0 （k是整数）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为"，X2（其中xi<x2）,设y=X2・X],判断y是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由.22.某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，月销售量将减少400千克.现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元？23.先阅读，再填空解答：方程X? - 3x - 4=0 的扌艮是：X1= - 1, X2=4,贝U XI+X2=3,X J X2= - 4；方程3X2+10X+8=0 的根是:X]=-2, x =,则X]+X2=-丄2，xiX2=-^-.2 3 3 3（1）___________________________ 方程2X2+X - 3=0 的根是：X1= ______ , X2= ，则X1+X2= __________________________ , XjX2= _ ；（2）若xi，X2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a定0,且a, b, c为常数）的两个实数根，那么X1+X2，X1X2与系数a, b, C的关系是：X]+X2= _ , X[X2= ___ ;（3）如果X], X2是方程x2+x・3=0的两个根，根据（2）所得结论，求X12+X22的值.24.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售岀500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，口销售量将减少20千克.现该筒场要保证每天盈利6000元，同吋又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？25.小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入.若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率.26.已知：关于x 的方程（a2- 1）（^-）2-（2a+7）（^—）+ii=o有实根.x _ 1 x _ 1（1）求a取值范围；X 1 X9 Q（2）若原方程的两个实数根为XI，X2,且一J+—二吕，求a的值.X1 - 1 Xn ~ 1 1127.已知AABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程J-（2k+3） x+Q+3k+2=0的两个实数根，（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）k为何值时，AABC是以BC为斜边的直角三角形；（3）k为何值时，AABC是等腰三角形，并求AABC的周长.28.如图，有一长方形的地，该地块长为x米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙.甲和乙为正方形.现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司.若已知丙地的血积为3200平方米，你能算出x的值吗？甲乙丙29.某种产品的年产量不超过1000t,该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）Z间的函数关系如图（2）.若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛2016年12月15日小北的初中数学一元二次方程培优组卷参考答案与试题解析一.选择题（共1小题）1.（2012•浙江校级自主招生）满足（n2-n - 1）n'2= 1的整数n有儿个（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【考点】一元二次方程的解；零指数:【专题】计算题.【分析】因为1的任何次幕为1, - 1的偶次幕为1,非0数的0次幕为1,所以应分三种情况讨论n的值.【解答】解：（l）i?-n-l=l,解得：n=2或n= - 1；⑵（n2-n-l=-l^ 解得：冋；[n+2为偶数（3）Jn2一解得：n=・2.（n+2二0故选：A.【点评】本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幕为1,・1的偶次幕为1,非0数的0次幕为1,三种情况，不要漏解.二.填空题（共1小题）2.（2016*磴口县校级二模）若（x'+y?）2 - 5 （x2+y2） - 6=0,贝0 x2+y2= 6 .【考点】换元法解一元二次方程.【专题】换元法.【分析】设x 2+y2=t.则原方程转化为关于t的一元二次方程t2 - 5t - 6=0,即（t-6）（t+1） =0；然后解关于t的方程即可.【解答】解：设x2+y2=t （t$0）.则t2 - 5t - 6=0,即（t - 6）（t+1） =0,解得，t=6或t=- 1 （不合题意，舍去）；故x2+y2=6.故答案是：6.【点评】本题考查了换元法解一元二次方程.解答该题时，注意x2+y2=t中的t的取值范圉: t>0.三.解答题（共27小题）3.已知x° - 5x'+8x? - 5x十1=0,求的值.x【考点】一元二次方程的应用.【专题】计算题；整体思想.【分析】通过观察可看到方程中各项系数关于中间项对称，xHO,在方程两边同除以X?, 可得到一个以X』为整体的一元二次方程，可求解.【解答】解：设通过观察可看到方程中各项系数关于中间项对称，XH0,在方程两边同除以得（X2+47> - 5 （x+丄）+8=0__ 2 Y【点评】本题的关键是找到题目的特点各项系数关于中间项对称以及把x+丄看作一个整体X求解.4.解方程：- 3+ ”5x - 19 - V2x+8 -0【考点】无理方程.【专题】计算题.【分析】先把方程移项，然后两边平方化为一元二次方程，检验根后即可得出答案.【解答】解：移项得- 3 - - #5x - 19,两边平方后整理得：#(3x- 3)阪面=12,再两边平方后整理得X2+3X - 28=0,所以xi=4, X2= - 7.经检验知，X2=・7为增根，所以原方程的根为x=4.说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程屮的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.【点评】本题考查了无理方程，属于基础题，关键是注意用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程屮的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.5.如果实数a, b, c满足a=2b+V2，且ab+返『+丄二°,那么丛的值是多少？2 4 a【考点】根的判别式；非负数的性质：偶次方.【分析】将a=2b+伍代入丄二0中，利用配方法将等式变形为两个非负数的和为02 4 U的形式，利用几个非负数的和为0,这几个非负数都为0,即可得出答案.【解答】解:将a=2b"勺代入ab+勺3?+丄二°得：2 4ab+2/lc2+^= (2b+V2)b+返『+丄=[(V2b) ?+2(V2b) •丄+ (丄)2]+2/i€22 2 2=(V2b+—) 2+^-c2=0,2 2・：c=0, b=-—,2V2・••建0.a【点评】此题考查了配方法在等式变形屮的运用，非负数的性质，关键是通过配方求出c、b 的值.6.满足(X-3) 2+ (y-3) 2=6的所有实数对(x, y)中，乞的最大值是多少？X【考点】根的判别式.【专题】计算题；函数思想.【分析】设丫=1伏，根据直线丫=1©与圆(x - 3) 2+ (y-3) 2=6相切时k有最大值和最小值, 把尸kx代入(x-3) 2+ (y-3) 2=6,得到关于x的一元二次方程，令△=(),得到关于k 的一元二次方程，然后解方程，最大解为所求.【解答】解：设丫=1<乂，则直线y=kx与圆(x-3) 2+ (y-3) ?=6相切时k有最大值和最小值，把丫=1«代入(x - 3) 2+ (y-3) 2=6,得(l+k?) x2 - 6 (k+1) x+12=0,•••△=36 (k+1) — 4X12X (1+k2) =0,即k2 - 6k+l=0,解此方程得，k=3+2V2或3・2伍.所以艺=k的最大值是3+2迈.X【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (aHO, a, b, c为常数)根的判别式.当厶>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.同时考查了运用△解决函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法.7.a, b为两个不相等且都不为零的数，同时有a2+pa+q=0, b2+pb+q=O,求丄』的值.a b【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】由一元二次方程的解的定义可以知道，a, b是方程x2+px+q=0的两个根，再由根与系数的关系，得到a+b和ab的值，代入代数式求出代数式的值.【解答】解：因为a, b同时满足a2+pa+q=0, b2+pb+q=O,所以a, b是方程x2+px+q=O的两个根.根据根与系数的关系有：a+b= - p, ab=q・ 1 4.1-a+b _ . p.•—‘—•a b ab q【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意可以知道a, b是方程x2+px+q=0的两个根，由根与系数的关系，可以得到a+b和ab的值，代入代数式求出代数式的值.28.(2013・重庆模拟)先化简，再求值：(巳_冬)三◎ : 2計1 _声,其中a是方程已+1 a2 - 1,一“*二0的解・【考点】一元二次方程的解；分式的化简求值.【专题】计算题；压轴题.【分析】根据题意先解方程求出a 的值，然后把代数式化简，再把a 的值代入即可.【解答】解：Ta 是方程/-只-上二0的解， 2/.a 2 - a -上=0, 2解方程得：a 二丄兰堂， 2-a 2s+1 a 2 - 1f a(a+l) - 2a ). (a - 1) 2 2={ ------------------ } ----- --------- - a a+l (a+1) (a~ 1)a _ a . a-12 a+l a+l」G-1) x 』L ・a 2a+l a - 1=a - a 2,当 J 码,原式=]+皿(1 - *皿)=1+应1-底-1;2 2 2 2 2 2 当J" 时,原式上塑(1・1")-I,2 2 2 2 2 2・・・代数式的值为-上. 2【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定 义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关 系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值.9. (2010*山东模拟)己知xi 、X2是方程4x? - (3m- 5 ) x - 6m 2=0的两根，且| — |=—, 求m 的值.【考点】根与系数的关系；根的判别式.【专题】压轴题.【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根Z和与两根Z积用m表示的形式，也可以根据两根之积得到X1X2W0,从而可以去掉已知等式的绝对值符号，然后结合根与系数的关系即可求出m的值.【解答】解：Ta=4, b=5 - 3m, c= - 6m2,・・・△= (5 - 3m) 2+4X4X6m2= (5 - 3m) 2+96m2,V5 - 3m=0与m=0不能同时成立.△= (5 - 3m) 2+96m2>0则：X1X2WO,又;即寻.x l__ 3• ■ -- ——x2 23 in 一5•n 9 -- —_ _ 3m 2严1七-一丁〜・一3・・口 -可七，_ 3 3in - 5-寿七+七二「一•4_ 3 __ 3m zT X2P X2-丁解得：mi=l, m2=5.【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.10.(2014・大庆校级模拟)已知一元二次方程2x2 - 6x - 1= 0的两实数根为xi、x2,不解方程，求代数式△+乂的值.x2 X1【考点】根与系数的关系.【专题】计算题；压轴题.【分析】首先将所求的代数式转化为含有X1+X2、X1・X2的形式，然后利用根与系数的关系求得X1+X2、X]・X2的值，最后将其代入所求的代数式并求值即可.【解答】解：由韦达定理得，Xl+X2=3・..(1分)X1 2- （2分）故（X 1 + X 9） ~ 2 x 1 w X 9=—! ------- ----------- - ---- ... （4 分）x /x 2 32-2X （-±）— ---------- - --------- ...（5 分）"T=-20. ... （6 分）【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一 种经常使用的解题方法.11. （2011-西城区一模）已知关于x 的一元二次方程8/+"+丄二0（8尹0）有两个相等的乙ab 2实数根，求 ------- 严 ------------- 的值.（a - l ）'+（b+l ） （b-1）【考点】根的判别式；分式的化简求值.【专题】压轴题；判别式法.【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=（）,据此可求出b 2=2a 的值;ab 2然后将其代入化简后的 ------- 严 --------------，并求值即可.（a - l ）'+（b+l ） （b-1）【解答】解：由题意，△二/ - 4&X 丄二护- 二0.（1分） 2b 2=2a. （2 分）・・・原式二——圧=—（3分）a 2 - 2a+l +b 2- 1 J 2 a 2 + b 2 - 2a9用2・・・原式=今-二2・（5分）a【点评】本题考查了根的判别式与分式的化简求值.本题利用一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a HO, a, b, c 为常数）的根的判别式△=（）,方程有两个相等的实数根.12. （2014・番禺区校级模拟）已知关于x 的方程x?+2 （k-3） x+k 2=O 有两个实数根 （1） 求k 的取值范围；_ _ 9a p 2a 2a a 2+2a - 2aa 2 .（4 分） Xi* X2・（2）若 |xi+x2 ・ 9|=X]X2,求k 的值.【考点】根的判别式；根与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式△=b2・4ac>0来求k的取值范围；(2)利用韦达定理求的关于k的一元二次方程|2k+3|=k2；然后根据(1)的k的取值范围, 需要对其分类讨论：①当2k+3M0,即■丄时，2k+3=k2,通过解方程求的k的值即可;2②当2k+3V0,即kC-丄时，-2k-3=l?,通过解方程求的k的值即可.2【解答】解：(1)根据题意，得△$(),即[2 (k-3) ]2-4k2^0,解得，kw22(2)根据韦达定理，得xi+x2= - 2 (k-3), xiX2=k2, ・••由|x】+X2 - 9|=X]X2，得| ・ 2 (k ・3) - 9|=k2,即|2k+3|=kS 以下分两种情况讨论：①当2k+3N0,即时，2k+3=k2,2即k2 - 2k - 3=0, 解得，ki= - 1, k2=3；又由(1)知，kw3,2②当2k+3<。

人教版九年级上册数学一元二次方程培优习题附答案一、单选题1．对于任意的实数，代数式2−5+10的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．无法确定2．已知实数x，y满足26336−276=1且2≠2，则2+22−2的值为（）A．54B．45C．12D．23．如果x2+2（1－2m）x+9=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方公式，则m等于（）. A．1B．-1C．－1或1D．－1或24．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题5．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x=。

6．若关于的一元二次方程(−1)2−4+2−1=0的一根是0，则＝. 7．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2=．三、解答题8．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。

为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？9．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？10．计算①3x2﹣3=2x（用配方法解）②4（x﹣1）2﹣9（3﹣2x）2=0．11．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？四、综合题12．已知：关于的一元二次方程B2−(4−3)+3−3=0（1）求证：无论取何值，方程都有实根；（2）若=−1是该方程的一个根，求的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求的值(为整数)．13．已知关于x的一元二次方程2+3B+3−1=0有两个实数根1，2.（1）若1=22，求k的值.（2）若1<1，2>1，求k的取值范围.14．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．15．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2016年交易额为500亿元，2018年交易额为720亿元。

初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。

当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。

2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。

解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。

证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。

例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。

一元二次方程培优综合练习1、有关x 旳代数式28x mx m +++是一种完全平方式．求m 旳值.2、Rt ABC △中,°=90C ∠,,a b 是方程2530x x -+=旳两个根,求Rt ABC △旳斜边上旳中线旳长．3、 已知ABC △中，ＡB ＝A Ｃ=m ，BC=n ．求证:有关x 旳方程22480x mx n -+=一定有两个不相等旳实数根．4、 已知a b c、、是ABC △旳三边长,且有关x旳方程()2212(1)0b x ax c x --++=有两个相等旳实数根.求证:ABC △是直角三角形．5、 已知a b c 、、是ABC △旳三边长,方程()()2222230a b c x a b c x ++++++=有两个相等旳实数根． 求证：ABC △是正三角形．6、已知a b c 、、是ABC △旳三边长， a b 、是方程2(4)480x c x c -+++=旳两根.①判断ABC △旳形状． ②若53a c =，求a b c 、、旳长．7、梯形ABC Ｄ中，AD ∥BC,AB=AD,8=13ABC ABCD s s △梯形,梯形旳高AE ，且1113+=40AD BC ． ①求B 旳度数．②设M 为对角线AC 上旳一点,DM 旳延长线与ＢC 相交于一点Ｆ,当ABC s △时,求CF 和DF 旳长.8、 已知有关x 旳方程()()222120x a x b ---+=有两个相等旳实数根.求20143a b +旳值．9、 已知a b ≠,且满足2310a a -+=，2310b b -+=.求221111a b +++旳值．１0、已知有关x 旳一元二次方程()21230m x mx m +-+-=有两个不相等旳实数根,且这两个实数根不互为相反数． ①求m 旳取值范畴．②当m 在取值范畴内取最小偶数时，方程旳两根为12,x x ,求()212314x x -旳值.11、已知有关x 旳方程()22120(0)mx m x m m --+-=>． ①求证：这个方程有两个不相等旳实数根．②如果这个方程旳两个实数根分别是12,x x ,且()()12335x x m --=，求m 旳值.12、已知实数x y z 、、满足2x y +=,21xy z =+,求x y z ++旳值．13、已知12,x x 是方程22(35)60x m x m ---=旳两个实数根，且12x x =32,求m 旳值．１4、已知有关x 旳一元二次方程2530x x ++=旳两根为αβ、． ①求()223(76)αββ+++旳值.②求旳值.15、已知有关x 旳方程230x x m +-=旳两个实数根旳平方和是1１. 求证：有关x 旳方程()223640k x kmx m m -+-+-=有两个不相等旳实数根.16、已知有关x 旳方程()22220x m x m --+=．问：与否存在实数m 使方程旳两根旳平方和等于5６,若存在，求出m ；若不存在,请阐明理由．1７、已知有关x 旳一元二次方程22(51)20x k x k -++-=，与否存在负数k ,使方程旳两实数根旳倒数和等于4？如果存在，祈求出k ;如果不存在,请阐明理由．１8、已知有关x旳一元二次方程()222310+++=旳两实数根旳和为m x m x—1，而有关x旳另一种一元二次方程22+++-+-=有2()2640x a m x a m m不小于0而不不小于5旳实数根，求整数a旳值．19、有关x旳一元二次方程22+++=有两个不相等旳实数m x m x4(81)40根．①若这个方程旳两个实数根旳倒数和不不不小于-2,求m旳取值范畴．②m为什么值时,这个方程旳两根之比是1：４.20、m为什么值时，一元二次方程2+++-=旳两根为2(3)4360m x mx mαβ．αβ、，且满足=21、已知有关x 旳一元二次方程22(2)04m x m x ---=．①求证:无论m 取什么值,方程总有两个不相等旳实数根． ②若这个方程旳两个实数根是12,x x ，且满足122x x =+,求m 旳值及1x 和2x .22、已知有关x 旳方程()22213(2)02x m x m -+++=． ①无论m 取何值，方程总有两正根.②若这个方程旳两实数根是12,x x ，且满足221212172x x x x +-=,求m 旳值.２3、已知有关x 旳一元二次方程2120x x k -+=旳两根之差为2，求这个方程旳两根及k 旳值．24、已知有关x 旳一元二次方程()221402x m +-=（m 是实数）． ①求证:方程必有两个不相等旳实数根． ②设,αβ为方程()221402x m +-=旳两根,且αβ<，若αβ方程220x qx ++=旳两根,求实数q 旳值.2５、已知有关x 旳一元二次方程222(2)40x k x k +-++=有两个实数根，且这两个实数根旳平方和比这两个根旳积大21，求k 旳值．。